江苏省南通市第一初级中学2025-2026学年下学期中考数学模拟练习试题

**基本信息** 融合郭守敬望远镜科技数据与《算法统宗》文化素材，通过动态几何（如动点面积问题）、综合实践（正方形折叠探究）等创新设计，考查抽象能力、推理意识与数据观念，适配中考分层要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、相似三角形、反比例函数|第2题科学记数法结合科技前沿，第5题方程组融入传统文化| |填空题|6/22|因式分解、一元二次方程根与系数、矩形几何计算|第16题正方形动点与圆综合，考查空间观念| |解答题|9/98|统计分析（机器人分拣数据）、函数最值、折叠实践探究|20题通过统计图表培养数据意识，24题实践操作发展创新意识|

答案与解析 1.【答案】  【解析】解：“正”和“负”相对，所以，如果水位上升记作，那么水位下降记作． 故选：． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 2.【答案】  【解析】解：数据万条用科学记数法表示为：条． 故选：． 科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案． 本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握形式为，，为整数是关键． 3.【答案】  【解析】解：根据幂的乘方、积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法、单项式乘法法则逐项分析判断如下： A.，即选项A错误，不符合题意； B.，即选项B错误，不符合题意； C.，即选项C错误，不符合题意； D.，即选项D正确，符合题意． 故选：． 运用幂的乘方、积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法、单项式乘法法则逐项判断即可解答． 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 4.【答案】  【解析】先求出正边形的一个外角度数，再根据多边形外角和为，用除以一个外角度数即可得到边数． 【详解】解：正边形的每个内角都是， 每一个外角为， ． 5.【答案】  【解析】解：由题意可得，， 故选：． 根据老头用元钱共买了斤肉和斤鱼，斤肉的钱数等于斤鱼的钱数，可以列出相应的方程组，本题得以解决． 本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 6.【答案】  【解析】解：∽，面积比为：， 与的周长比为：． 故选：． 根据相似三角形的性质解答即可． 本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：根据扇形的弧长的公式可得：  ，  故选：． 根据扇形的弧长公式计算即可． 本题考查了扇形的弧长计算；熟练掌握该知识点是关键． 8.【答案】  【解析】解：，，，  ，  当时，点在边上，如图所示，    此时  ，  ，  ，  ∽，  ，  ，，，    当时，，  ，  当时，点在边上，如图所示，    此时，  ，  ，  ，  ∽，  ，  ，，  ，  当时，，  ，  ，  故选：． 根据勾股定理求出，再分别求出和时的，的长，再用三角形的面积公式写出与的函数解析式即可． 本题考查直角三角形，三角形相似，平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题，解题的关键是对函数图象是熟练掌握． 9.【答案】  【解析】解：由、、、上，这四条平行线， 作于，交于， 由弦图得， 得正方形面积， 由， 得正方形面积， 由，， 得， 故当时，正方形面积的最小值． 故选：． 由、、、上，这四条平行线，作于，交于，由弦图得，得正方形面积，由，得正方形面积，由，，得，故当时，正方形面积的最小值． 本题主要考查了弦图和二次函数，解题关键是正确建立函数关系式． 10.【答案】  【解析】根据平行四边形的性质求出的面积，再根据求出的面积；设点坐标，利用相似三角形性质表示出点的坐标，利用三角形面积公式建立方程求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，且为中心对称图形，而反比例函数图象也为中心对称图形， 点为的交点， ， ． ， ． 过点作轴于，过点作轴于， ， ，  ．  设，则，， ，即点的纵坐标为． 点在反比例函数上， 点的横坐标为．  ． ， ，即， ， 解得． ． ， ， ， ． ， ． 11.【答案】  【解析】解：原式 ． 故答案为：． 直接化简二次根式，进而计算得出答案． 此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键． 12.【答案】  【解析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 13.【答案】  【解析】解：点在反比例函数的图象上， ， 解得． 故答案为：． 直接把点代入反比例函数，求出的值即可． 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ； 故答案是：． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再把通分变形，再代入数值计算即可． 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 15.【答案】  【解析】解：连接交于点，延长交于点，如图， 矩形，， ，， ， ， ∽， ， ，， ， ∽， ， ，， ， ， ， ∽， ， ， ． 连接交于点，延长交于点，证明∽和∽以及∽，分别求得，，，据此计算即可求解． 本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 16.【答案】   【解析】解：连接，    四边形是正方形，  ，，，  ，，  ，，  过点作于点，交于点，  ，  ，，  ，，  ≌，  ，  设，则，，，  ，  ，，  ，  ，  ，  ，  ∽，   ，  ，  解得：，  ，  ，  ，  故答案为：，． 连接，过点作于点，交于点，易得，那么根据同弧所对的圆周角相等可得的度数，设，则，，，易得≌，则，那么，  易得∽，根据对应边成比例得到含的方程，求得的合适的解，即可求得的长． 本题综合考查圆的相关知识．综合利用圆，全等及相似的相关知识是解决本题的关键． 17.【答案】   【解析】解：原式 ； 原式 ． 先利用绝对值、乘方、立方根、负整数指数幂化简，再进行加减； 利用分式的性质进行化简即可． 本题考查的是分式的混合运算，实数的运算，负整数指数幂，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 18.【答案】， ， 在和中， ， ≌  函数，，是该函数图象上任意两点， ，， ， ， ，且， ， 即，，   【解析】证明：， ， 在和中， ， ≌； 函数，，是该函数图象上任意两点， ，， ， ， ，且， ， 即，， ． 由平行线的性质得，再由证明≌即可； 由题意得，，再求出，然后由，得，且，则，即可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定与性质以及函数的图象等知识，熟练掌握全等三角形的判定和函数的图象是解题的关键． 19.【答案】   【解析】从甲地到乙地有、、三条路线， 任选一条从甲地到乙地的路线，选择的概率是， 故答案为：； 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好选到最短路线的结果有种， 恰好选到最短路线的概率为． 直接由概率公式求解即可； 画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好选到最短路线的结果有种，再由概率公式求解即可． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 20.【答案】  购买型智能机器人合适，从众数、平均数、中位数来看，型机器人的数据都高于型机器人， 所以购买型智能机器人合适  上述条形统计图和表格分别表示、型号智能机器人每天可分拣的快递数量，请你结合材料分析各自的优势可得： 条形统计图：能够直观地显示被抽取的型号智能机器人每天可分拣的快递的具体数目；通过直条的长短可以清楚地看出数量的多少；数据之间的差别比较直观，容易看出各个数据项之间的对比关系等；表格统计：合理地安排统计数据，能够清晰、简明地反映出数据的分布特征；便于对统计数据进行对照、比较和分析，还有利于计算统计分析指标；减少文字叙述篇幅，能够达到简明易懂、紧凑有力的分析效果等  【解析】解：型号的智能机器人每天可分拣万件的机器人有台，数量最多， 故众数； 型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是，， 故中位数； ； 故答案为：；；； 购买型智能机器人合适．理由如下： 从众数、平均数、中位数来看，型机器人的数据都高于型机器人， 所以购买型智能机器人合适； 上述条形统计图和表格分别表示、型号智能机器人每天可分拣的快递数量，请你结合材料分析各自的优势可得： 条形统计图：能够直观地显示被抽取的型号智能机器人每天可分拣的快递的具体数目；通过直条的长短可以清楚地看出数量的多少；数据之间的差别比较直观，容易看出各个数据项之间的对比关系等； 表格统计：合理地安排统计数据，能够清晰、简明地反映出数据的分布特征；便于对统计数据进行对照、比较和分析，还有利于计算统计分析指标；减少文字叙述篇幅，能够达到简明易懂、紧凑有力的分析效果等． 根据众数和中位数的定义和方差计算公式求解即可； 从众数、中位数、平均数三个方面分析； 根据条形统计图和表格统计的特点解答即可． 本题考查条形统计图，正确进行计算是解题关键． 21.【答案】如图，四边形即为所求作的正方形   【解析】解：如图，四边形即为所求作的正方形；  过作交的延长线于，  四边形是平行四边形，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  由知垂直平分，  ，，  ，  ，  ，  四边形是正方形，  ． 作线段的垂直平分线，分别交和于和，分别在和上截取，即可得到正方形；  过作交的延长线于，由含度角的直角三角形的性质求出，得到，由勾股定理求出，由锐角的正切定义得到，即可求出的长，于是得到的长． 本题考查平行四边形的性质，正方形的判定和性质，作图复杂作图，解直角三角形，勾股定理，关键是掌握正方形的判定方法，锐角的正切定义． 22.【答案】如图，点即为所求； 方法：以为圆心，为半径作弧，交于点，作直线即可；理由：连接． ，， ， ， ， 是半径， 直线是切线 的长  【解析】解；如图，点即为所求； 方法：以为圆心，为半径作弧，交于点，作直线即可； 理由：连接． ，， ， ， ， 是半径， 直线是切线； 连接． ， 是等边三角形， ， 的长． 以为圆心，为半径作弧，交于点，作直线即可； 判断出，理由弧长公式求解． 本题考查作图复杂作图，等边三角形的判定和性质，切线的判定和性质，弧长公式，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 23.【答案】解：由题知，当时，， 当时，， 整理得； 与之间的函数关系式为： 设月销售利润为，由题知， 当时，时利润最大， 此时万元； 当时， ， 当时，有最大值为， 即当月销售单价是元时，月销售利润最大，最大利润是万元； 由知，当月销售单价是元时，月销售利润最大， 即， 解得， 的值为．  【解析】根据题意写出销售量和销售单价之间的关系式即可； 根据销售量和销售单价之间的关系列出销售利润和单价之间的关系式求最值即可； 根据中的函数和月销售单价不高于元件的取值范围，确定值即可． 本题主要考查一次函数性质和二次函数的性质及方程的应用，熟练应用二次函数求最值是解题的关键． 24.【答案】证明：在正方形中，，则， ∽， ， ， ，即， 在正方形中，，则， 点为的三等分点；   ；   存在，点是线段的三等分点  【解析】证明：在正方形中，，则， ∽， ， ， ，即， 在正方形中，，则， 点为的三等分点； 解：如图所示： 设正方形的边长为，， 则，， 沿翻折得到，沿翻折，使得与重合， ，， 在正方形中，， 则由勾股定理可得， ， 则， ； 解：存在，理由如下： 如图所示： 不妨令正方形的边长为，则， 沿翻折，使得点与点重合，则，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 则， 解得， ， ， ， ， ∽， ， 则， 解得， ， 则，即， 点是线段的三等分点． 25.【答案】【小题】 解：当，时，，， ． 设直线，代入 ，解得：， ， 过点作轴，交于点，过点作，过点作， 当时，， 点， ， ． 【小题】 连接，过点作轴，过点作轴， ，， 中，， 中，， ，化简得， ， ， ． 方法： 过点作轴，分别过点，，作，， ，则 ， ，即， 化简得， ， ， ． 【小题】 直角三角形． 理由如下：方法：作点关于轴的对称点，连接，，， ， ， 的坐标为， 点和点关于轴对称， ，与也关于轴对称， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 点和点关于轴对称， 轴， ， ，即， 以，及为边组成三角形是直角三角形． 以，及为边组成三角形是直角三角形． 方法：过点作轴，过点作轴 ， 设直线，将和代入， 求得， 点坐标为． ， 所以， ，即， 化简得， ． ， ， ， ， 以，及为边组成三角形是直角三角形．   第16页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市第一初级中学2025-2026学年度中考数学 模拟练习试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果水位上升记作，那么水位下降记作(    ) A. B. C. D. 2.根据中国科学院国家天文台发布的公告，截至年月底，我国国家重大科技基础设施郭守敬望远镜发布光谱数已达万条，数据量稳居世界第一数据万条用科学记数法表示为(    ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.一个正边形的每一个内角都是，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.明代数学家程大位的著作算法统宗中有一个问题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼问肉、鱼各价几何？若设肉元斤，鱼元斤，则可列方程组为(    ) A. B. C. D. 6.若∽，面积比为：，则与的周长比为(    ) A. ： B. ： C. ： D. ： 7.若扇形的半径为，圆心角是，则此扇形的弧长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，中，，，点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.如图，正方形的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为、、若，当变化时，正方形面积的最小值为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、、、分别在反比例函数上，四边形是平行四边形，对角线相交于，延长交轴于点，若，的面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，第11-12小题，每小题3分；第13-14小题，每小题4分，共22分。 11.计算的结果是______． 12.分解因式：           ． 13.已知点在反比例函数的图象上，则        ． 14.一元二次方程的两个实数根分别为，，则        ． 15.如图，在矩形中，，点在边上，且，是的中点，是的中点，过点作交于点，则的长为        ． 16.如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点，作的外接圆，交于点连接，则的度数为            ；若，则            ． 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 计算：． 化简：． 18.本小题分 已知：如图，点，，，在一条直线上，，，求证：≌． 已知函数设，是该函数图象上任意两点，且求证：． 19.本小题分 从甲地到乙地有、、三条路线，从乙地到丙地有、两条路线，其中是最短路线． 任选一条从甲地到乙地的路线，选择的概率是______． 请用画树状图或列表的方法表示任选一条从甲地到丙地的所有等可能路线，并求恰好选到最短路线的概率． 20.本小题分 智能机器人的用途广泛，涵盖家庭、医疗、教育、工业等多个领域，通过技术赋能，正在逐步替代重复性劳动，提升服务效率，同时为特殊群体提供支持，未来应用场景将更加多元化和智能化如图，是智能机器人分拣快递，实践小组随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计信息如图表： 【数据收集与整理】 如图是型号的智能机器人每天可分拣的快递数量单位：万件条形统计图： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量单位：万件如表所示： 分拣快递数量万件 机器人台数台 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数万件 中位数万件 平均数万件 方差万件 型号 和 型号 请你根据以上数据，解答下列问题： 填空：表中______，______，______； 若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司做出合理选择，并说明理由； 上述条形统计图和表格分别表示、型号智能机器人每天可分拣的快递数量，请你结合材料分析各自的优势各写出一条即可 21.本小题分 如图，在▱中，，． 尺规作图：作正方形，使得点，分别在，上，点，在上；不写作法，保留作图痕迹 在的条件下，若，，求的长如需画草图，请使用图 22.本小题分 如图，点为上一点，连接并延长至点，使． 请用无刻度的直尺和圆规在圆上找一点，使为的切线保留作图痕迹，不写作法，并证明； 在的条件下，设的半径为，求的长度． 23.本小题分 红星公司销售一种成本为元件产品，若月销售单价不高于元件，一个月可售出万件；月销售单价每涨价元，月销售量就减少万件其中月销售单价不低于成本设月销售单价为单位：元件，月销售量为单位：万件． 直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？ 为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款元已知该公司捐款当月的月销售单价不高于元件，月销售最大利润是万元，求的值． 24.本小题分 综合与实践：如何将正方形纸片折叠出相等的三列 背景 书法社团课上，需要将正方形书法纸折叠成均等的三列如图，这引起数学兴趣小组的关注兴趣小组准备三张边长均为的正方形纸片，为折叠出均等的三列提供三组方案，请你论证． 方案 如图 步骤：折均等的四列； 步骤：连接对角线分别交折痕于点、点、点，知； 步骤：连接延长交线段于点． 方案 如图 步骤：对折正方形，折痕为； 步骤：沿翻折得到； 步骤：沿翻折，使得与重合，点为折痕与的交点． 方案 如图 步骤：对折正方形，折痕为； 步骤：沿翻折，使得点与点重合，点与点对应； 步骤：线段与交点为． 问题论证 问题 在方案中，求证：点为的三等分点． 问题 在方案中，求与的比值． 问题 在方案中，图已标注的点中是否存在线段的三等分点？若存在，指出并证明；若不存在，说明理由． 25.本小题分 平面直角坐标系中，点，是反比例函数图象上两点，点和点关于点对称．设点，的横坐标分别为， 如图，若，，求的面积； 如图，当时，求的值； 如图，过点作直线的垂线，垂足为，并交轴于点，直线交轴于点，连接，若以，及为边组成三角形，请判断该三角形的形状，并说明理由． 第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $江苏省南通市第一初级中学2025-2026学年度中考数学 模拟练习试题 (总分：150分考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在箐题卡上，写在斌卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.如果水位上升0.8m记作+0.8m,那么水位下降0.5m记作() A.0.5m B.-0.5m C.1.3m D.-1.3m 2.根据中国科学院国家天文台发布的公告，截至2025年10月底，我国国家重大科技 基础设施--郭守敬望远镜(LAM0ST)发布光谱数已达2807万条，数据量稳居世界 第一.数据2807万条用科学记数法表示为() A.2.807×107条 B.28.07×106条C.280.7×105条D.2807×104条 3.下列运算正确的是() A.(2m3)3=6m6 B.(a+b)2=a2+b2 C.m8÷m4=m2 D.2a·3b=6ab 4.一个正n边形的每一个内角都是144°，则n的值为() A.7 B.8 C.9 D.10 5.明代数学家程大位的著作算法统宗》中有一个问题：老头提篮去赶集，一共花去七十七：满满装了一 菜篮，十斤大肉三斤鱼：买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼问肉、鱼 各价几何？若设肉x元/斤，鱼y元/斤，则可列方程组为() A8010”s05y。7c80+3.7D8-0” 6.若△ABC∽△DEF,面积比为9：16，则△ABC与△DEF的周长比为() 第1页，共8页 A.2:3 B.3:4 C.9:16 D.4:3 7.若扇形的半径为3，圆心角是120°，则此扇形的弧长为() A.2π B.3π C.4n D.6π 8.如图1，△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4点D从点A出发沿折线AC-CB运动到点B停止，过点D 作DE⊥AB,垂足为E.设点D运动的路径长为x,△BDE的面积为y,若y与x的对应关系如图2所示，则a b的值为() A号 B.14 c号 D.82 5 y C 0 D b B 0 6 7 图1 图2 9.如图，正方形ABCD的四个项点分别在四条平行线L1、L2、l3、L4上，这四条平行线中相邻两条之间的距 离依次为a、b、c若a+b=1,当a变化时，正方形ABCD面积的最小值为() A B月 c D a 小 b D 10如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A、B、C、D分别在反比例函数y=上，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC、BD相交于O,延长AD交x轴于点E,若AD=2DE,口ABCD的面积为16，则k 的值为() A.3 B号 c D.6 第2页，共8页 二、填空题：本题共6小题，第11-12小题，每小题3分：第13-14小题，每小题4分，共22分。 11.计算V⑧-√18的结果是 12.分解因式：4m2-16=一· 13.已知点P(m,2)在反比例函数y=的图象上，则m=一· 14一元二次方程ax2+4x-5=0的两个实数根分别为x1,x2,则号+是=一· X1 X2 15.如图，在矩形ABCD中，AB=4,点E在边BC上，且BE=3CE,F是AB的中点，P是DF的中点，过点P 作PQ/AB交EF于点Q,则PQ的长为一· p B E 16.如图，点P是边长为1的正方形ABCD的边AB上一动点，连接DP,交对角线AC于点E,作△ADP的外接 圆⊙O,交AC于点F连接PF,则LDPF的度数为；若AE=2CF,则AP=一· D C 01 E B 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分) (1)i计算：1-2到+2-27+(-为2. (2)化简：2a-2a-4、a-2 a+1-a2÷a22a+ 第3页，共8页 18.(本小题10分) (1)已知：如图，点A,B,C,D在一条直线上，EA/FB,EA=FB,AC=BD.求证：△ACE≌△BDF. (2)已知函数y=1-是设Px1,y),Q(x2y2)是该函数图象上任意两点，且？2>x1>0.求证：2>y1: E 19.(本小题10分) 从甲地到乙地有A1、A2、A3三条路线，从乙地到丙地有B1、B2两条路线，其中A1B2是最短路线. (1)任选一条从甲地到乙地的路线，选择A2的概率是一一· (2)请用画树状图或列表的方法表示任选一条从甲地到丙地的所有等可能路线，并求恰好选到最短路线的 概率. 20.(本小题10分) 智能机器人的用途广泛，涵盖家庭、医疗、教育、工业等多个领域，通过技术赋能，正在逐步替代重复性 劳动，提升服务效率，同时为特殊群体提供支持，未来应用场景将更加多元化和智能化如图，是智能机器 人分拣快递，实践小组随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计信息如图表： 【数据收集与整理】 如图是A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图： 第4页，共8页 机器人分拣快递数量统计图 台数/台 1314151617分拣数量/万件 B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量( 16 17 20 22 23 万件) 机器人台数（台） 1 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2 A型号 14和16 b 15 C B型号 ? 20 20 4.2 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中a=一，b=一一一，C=一一； (2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司做出合理选 择，并说明理由： (3)上述条形统计图和表格分别表示A、B型号智能机器人每天可分拣的快递数量，请你结合材料分析各自 的优势.（各写出一条即可） 21.(本小题10分) 如图1，在☐ABCD中，∠ABC=60°，AB<AD. (1)尺规作图：作正方形EFGH,使得点E,G分别在AD,BC上，点F,H在BD上：（不写作法，保留作图痕 迹) (2)在(1)的条件下，若AB=4,AD=8,求EG的长.（如需画草图，请使用图2） A B B 图1 图2 第5页，共8页 22.(本小题10分) 如图，点C为⊙0上一点，连接0C并延长至点A,使AC=OC. (1)请用无刻度的直尺和圆规在圆上找一点B,使AB为⊙O的切线（保留作图痕迹，不写作法），并证明： (2)在(1)的条件下，设⊙0的半径为5，求BC的长度. C 23.(本小题12分) 红星公司销售一种成本为40元/件产品，若月销售单价不高于50元/件，一个月可售出5万件；月销售单价 每涨价1元，月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x(单位：元/件)，月销售 量为y(单位：万件) (1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？ (3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元.已知该公司捐 款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求α的值. 第6页，共8页 24.(本小题13分) 综合与实践：如何将正方形纸片折叠出相等的三列 书法社团课上，需要将正方形书法纸折叠成均等的三列（如 图①)，这引起数学兴趣小组的关注兴趣小组准备三张边长 背景 均为α的正方形纸片，为折叠出均等的三列提供三组方案， 图① 请你论证 H B 如图② 步骤1：折均等的四列： 方案 步骤2：连接对角线AC分别交折痕于点E、点F、点G,知 F G 图② AE=EF-FG-GC; 步骤3：连接DE延长交线段AB于点H. D C 如图③ 步骤1：对折正方形，折痕为EF: 方案 步骤2：沿AF翻折△ABF得到△AB'F: E… F 2 步骤3：沿AH翻折△ADH,使得D与B重合，点H为折痕与 图③ B CD的交点. D H A人H 如图④ 方案步骤1：对折正方形，折痕为EF: E 图④ 3 步骤2：沿MN翻折，使得点D与点F重合，点A与点A对应； 步骤3：线段AF与AB交点为H. D 问题论证 问题 在方案1中，求证：点H为AB的三等分点. 问题 在方案2中，求CH与DH的比值. 2 问题在方案3中，图④已标注的点中是否存在线段AB的三等分点？若存在，指出并证明；若不存 3 在，说明理由. 第7页，共8页 25.(本小题13分) 平面直角坐标系xOy中，点A,B是反比例函数y=(x>O)图象上两点，点A和点A'关于点0对称.设点 A,B的横坐标分别为m,n(m≠n). B A E 图1 图2 图3 (1)如图1，若m=3,n=1,求△AAB的面积： (2)如图2，当LABA'=90时，求mn的值： (3)如图3，过点A作直线A'B的垂线，垂足为D,并交x轴于点E,直线A'B交y轴于点C,连接CE,若以 A'C,AE及CE为边组成三角形，请判断该三角形的形状，并说明理由. 第8页，共8页