第4章 三角形 单元复习（5大知识点总结+9大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年北师大版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

该初中数学三角形单元复习讲义通过表格梳理与定义解析构建知识体系，系统呈现三角形概念分类、三边关系、内角外角、重要线段及全等判定等核心知识点，用对比表格归纳三线性质与全等判定方法，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与精准方法指导，从基础的内角计算到提升的等腰分类讨论，再到培优的全等实际应用，如测量池塘距离的情境题，培养几何直观与应用意识。易错点总结与解题步骤指引，助力不同层次学生提升，为教师分层教学提供支撑。

第4章 三角形 知识点1：三角形的概念与分类 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。 按边分：不等边三角形、等腰三角形（含等边）；按角分：锐角、直角、钝角三角形。 稳定性：三角形具有稳定性，四边形不具有。 知识点2：三角形三边关系 核心：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边。 第三边范围：已知两边$a,b$，则。 易错：两边之和等于第三边不能构成三角形。 知识点3：三角形内角与外角 项目 内容 内角和 直角三角形 两锐角互余 外角性质 外角=不相邻两内角和；外角＞任意不相邻内角 外角和 知识点4：三角形的三条重要线段 线段 定义 核心性质 中线 顶点→对边中点 平分面积；三条中线交于重心 角平分线 内角平分线→对边 平分内角；交点到三边等距 高 顶点→对边垂线 锐角△：三条高在内部；直角△：交于顶点；钝角△：两条高在外部 知识点5：全等三角形 定义：能完全重合的两个三角形，记作。 性质：对应边相等、对应角相等、周长/面积/对应线段相等。 判定：SSS、SAS、ASA、AAS（易错警示：无AAA、SSA）。 【易错题型】 【题型1】三角形三边关系应用 1.易错点总结 只算一组两边和，忽略任意二字。 等腰三角形求边长，不检验三边关系。 求第三边范围，忘记两边之差＜第三边。 2.纠错技巧 判断：用较短两边和＞最长边即可。 等腰：分腰/底讨论，必验三边关系。 【例题1】.（2026·河北邯郸·二模）如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（   ） A．2米 B．3米 C．10米 D．14米 【答案】C 【分析】根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边解答即可； 【详解】解：∵在中，米，米， 根据三边关系可得： ， 则，即， 对比选项，只有10米符合该范围． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·安徽宿州·期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题分3为腰长和3为底边长两种情况讨论，计算对应边长后求出“优美比”，同时根据三角形三边关系验证能否构成三角形，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵等腰的周长为， ∴底边长 ， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； ②当为底边长时， ∵等腰的周长为， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”为； 综上，该等腰三角形的“优美比”是或． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是________． 【答案】25 【分析】题目未明确腰和底边的长度，因此需要分两种情况讨论，再根据三角形三边关系验证能否组成三角形，即可得到结果． 【详解】解：根据等腰三角形的定义，分以下两种情况讨论： 当边长为的边为腰时， 三角形的三边长分别为，，， 因为，不满足三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，因此这种情况不成立，舍去； 当边长为的边为腰时， 三角形的三边长分别为，，， 满足三角形的三边关系定理， 此时这个等腰三角形的周长为． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·四川·期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：当时，则， 根据三角形三边关系，可得， 当时，代入得， 又∵， ∴， ∴此时无整数解； 当时，代入，即， ∴， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴此时无整数解； 综上可得当时，满足条件的整边的个数为：（个）； 若（为正整数）时， 同上理可得：满足条件的整边的个数为：（个）． 【基础题型】 【题型2】三角形内角和与角度计算 1.核心考点 内角和、直角三角形两锐角互余、外角性质。 2.解题技巧 求角：设未知数，用内角和/外角列方程。 直角三角形：见直角→两锐角相加=90°。 【例题2】.（25-26七年级下·四川·期中）一个三角形两个内角的度数分别如下，三角形为锐角三角形的是（　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】先根据三角形内角和为，求出每个选项中第三个内角的度数，再根据锐角三角形的定义判断，锐角三角形的三个内角都小于. 【详解】解：∵三角形内角和为，锐角三角形要求三个内角都小于， A、，该三角形是直角三角形，不符合要求； B、，三个内角分别为，都小于，该三角形是锐角三角形，符合要求； C、，，该三角形是钝角三角形，不符合要求； D、，，该三角形是钝角三角形，不符合要求. 【变式题2-1】.（25-26九年级下·河南新乡·期中）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，再根据平行线的性质求出，然后根据三角形外角的性质得答案． 【详解】解：如图所示， 根据题意可知， ∵，与是对顶角， ∴， ∴． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，这是一款手推车的平面示意图，其中，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质求出的度数，由邻补角互补求出的度数，最后根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题2-3】.（上海市青浦区2026学年九年级数学试学科练习卷）如图，，如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等和平行线的性质求出 的度数，再利用三角形外角的性质求出 的度数． 【详解】解：，， （两直线平行，同位角相等）． 是的外角， ． ， ． ． 【题型3】三角形三线（中线、高、角平分线） 1.核心考点 三线定义、画法、中线平分面积、高的位置判断。 2.解题技巧 中线：面积对半分，周长差=两边之差。 高：钝角△高在外部，直角△高与直角边重合。 【例题3】.（25-26七年级下·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 【答案】B 【分析】根据不同类型三角形的特征逐一判断选项即可． 【详解】解：∵钝角三角形只有1条高在三角形内部，2条高在三角形外部， ∴ A选项错误； ∵钝角三角形有2条高不在三角形内部，直角三角形有2条高在三角形边上（不在内部），锐角三角形3条高都在三角形内部，不存在3条高都不在三角形内部的情况， ∴三角形三条高至多有两条不在三角形内部，B选项正确； ∵直角三角形三条高的交点在直角顶点，即交点在三角形边上，既不在三角形内部，也不在三角形外部， ∴C选项错误； ∵任意三角形内角平分线的交点都在三角形内部， ∴ D选项错误． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·山西临汾·期中）下列四个图中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高，利用三角形高的定义线段是的高的是： ． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，G为的重心，连结并延长交于点D，若，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形的重心．熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍列式计算即可得解． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 【题型4】全等三角形的判定与对应元素 1.核心考点 全等判定方法、对应边/角找法、简单证明书写。 2.解题技巧 找对应：公共边/角、对顶角、重合边/角优先定对应。 判定：先标已知，凑SSS/SAS/ASA/AAS。 【例题4】.（25-26八年级下·江西吉安·月考）如图，已知，，，三点共线，如果，，求的长． 【答案】7 【分析】先利用线段和差求出，再利用全等三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·四川·期中）如图，若，且，，，，则的面积为（　） A．8 B．6 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·重庆南岸·期中）如图，，若，，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的对应角相等得出，再利用三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：，， ． 在中，由三角形内角和定理得． ， ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·安徽安庆·月考）若如图所示的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应角相等，进行求解即可. 【详解】解：∵两个三角形全等，且的两条邻边分别为， ∴. 【提升题型】 【题型5】等腰三角形边长与周长计算 1.核心考点 等腰定义、三边关系、分类讨论。 2.解题技巧 分类：谁为腰、谁为底，两种情况。 必验：短边和＞长边，舍去不成立情况。 【例题5】.（25-26七年级下·河南周口·期中）用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，已知边长分别为腰和底边，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到腰长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：若为等腰三角形的腰长， 则底边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时腰长为； 情况2：若为等腰三角形的底边长， 则腰长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时腰长为， 综上，该等腰三角形的腰长为或． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·陕西·期中）一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为______． 【答案】15或18 【分析】分两种情况讨论腰长的取值，再根据三角形三边关系验证能否组成三角形，最后计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论∶ 情况一∶若腰长为，则底边长为，此时三角形三边长分别为、、． ∵，，满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时周长为． 情况二∶若腰长为，则底边长为，此时三角形三边长分别为、、． ∵，，满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时周长为． 【变式题5-2】.（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】5 【分析】根据等腰三角形定义，构成三角形三边关系分情况讨论即可． 【详解】解：①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为5． 【变式题5-3】.（2026·河南三门峡·一模）等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【答案】C 【分析】根据题意，分两种情况讨论腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 情况2：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形. ∴三角形的周长为． 【题型6】三角形中的角度模型（八字、角平分线） 1.核心考点 八字模型、双角平分线模型角度计算。 2.解题技巧 八字：直接用对角和相等。 双内角平分线：。 【例题6】.（2026·辽宁大连·一模）如图，，与相交于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出，再由平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴． 【变式题6-1】.（2026·安徽阜阳·二模）将一副三角板按如图所示摆放，两个三角板的斜边重合，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解答． 【详解】解：根据外角的性质得，． 【变式题6-2】.（2026年安徽宿州市中考第二次模拟考试数学（试题卷））如图，在中，，，且．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和求得，根据题意可得，再利用三角形内角和即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，， ∴， 在中，． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)如图1，，平分，平分，则 度． (2)如图2，，，分别是，的三等分线（即，）求的度数． (3)在中，，分别是，的n等分线（即，），试说明与的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，根据平分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （2）先根据三角形内角和定理求出，根据三等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （3）先根据三角形内角和定理求出，根据等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； 【详解】（1）解：， ， ∵平分平分， ， ， ； （2）解：∵， ， ∵分别是的三等分线， ， ， ． （3）解：∵分别是的等分线， ∴，， ． 【题型7】添加条件证三角形全等 1.核心考点 全等判定、缺啥补啥、开放性条件。 2.解题技巧 先标已知：公共边/角、对顶角、平行线角。 补齐：凑SAS/ASA/AAS/SSS，避开SSA/AAA。 【例题7】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点，，，在同一直线上，且，，那么添加一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：∵，∴，即， A：当时，且，，满足，可以判定，故不符合题意； B：当时，可得，且，，满足，可以判定，故不符合题意； C：当，且，，满足，无法判定，故符合题意； D：当时，且，，满足，可以判定，故不符合题意． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·重庆·期中）如图，与相交于点，且，再添加一个条件后仍然不能直接证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定对各选项进行判断即可． 【详解】解：已知，， 选项A：若，根据即可证明，不符合题意； 选项B：若，根据即可证明，不符合题意； 选项C：若，其相关关系为，不可证明，符合题意； 选项D：若，根据即可证明，不符合题意． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·重庆·月考）如图，点在一条直线上，，．再添加一个条件后仍然不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可. 【详解】解：∵，， ∴当时，利用可以证明； 当，即时，不能证明； 当时，利用可以证明； 当时，则，可以证明. 【变式题7-3】.（2026·河北张家口·一模）如图，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴当时，可以判定； 当时，则，可以判定； 当时，可以判定； 当时，无法判定. 【培优题型】 【题型8】全等三角形性质与计算（线段/角度） 1.核心考点 全等→对应边等、对应角等，用于求值。 2.解题技巧 先证全等，再代换求边长/角度。 隐藏条件：公共边、公共角、直角。 【例题8】.（25-26八年级下·甘肃白银·期中）随着技术的发展.中国在空天地一体化网络建设中处于领先地位，某科技企业研发的基站信号覆盖范围可抽象为三角形，如图，在中，为的中点，为边上一点．连接，并延长至点，使得，连接． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）结合是的中点，运用证明，即可作答． （2）由全等三角形的性质得，再结合平行线的性质得，最后代入数值到计算，即可作答． 【详解】（1）证明：是的中点， . 在和中， ． （2）解：由（1）得， . 又，， ， ． 【变式题8-1】.（2026·湖南株洲·一模）如图，小明想测量池塘两岸上A、B两点的距离．他在平地上取一点C，使测量者能从C直线走到A和B两点，在平地上延长至点D，使，延长BC至点E，使，连接．若测得米，则A，B两点间的距离为________米． 【答案】 20 【分析】根据题意利用“边角边”证明与全等，再根据全等三角形对应边相等即可求解； 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·上海·期中）如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 【答案】4 【分析】根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵顶点、、分别与顶点、、对应，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·北京·期中）如图，中，，为上一点，，交于点，求证： 【答案】证明见详解 【分析】根据已知条件可知四边形是平行四边形，得到，再证明，即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴（）， ∴． 【题型9】全等三角形实际应用（测量距离） 1.核心考点 构造全等、转化不可测距离、情境建模。 2.解题技巧 找全等：利用中点、平行、垂直构造SAS/ASA。 书写：先证全等，再对应边代换得距离。 【例题9】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末） 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得___________．（只添加一个条件） ④测量的长即可． 乙：①在水池外过点B作的垂线，在上取点、，使得． ②过D作BF的垂线DE，使点在同一条直线上． ③测量的长即可． 问题解决： (1)直接写出乙的方案是否可行． (2)补全甲方案，并说明可行的理由． 【答案】(1)可行 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用“”证明，即可解题； （2）根据全等三角形判定定理，添加合适的条件，证明，即可解题． 【详解】（1）解：乙的方案可行，理由如下： 由作图过程可知，， 在与中， ， ， ， 即测量出的长度，即可得出池塘两端的距离； （2）解：添加条件为：， ， ， 理由如下： 在与中， ， ， ， 即测量出的长度，即可得出池塘两端的距离． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）综合与实践： (1)方法感悟： 一个班的同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端，的距离，设计了如下方案： 方案（Ⅰ）如图①，先在平地上取一个可直接到达，两点的点，连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后测出的距离即为的长． 感悟解题方法，并完成下列填空： 解：如图①所示，在和中，，________________________（对顶角相等），，所以____________（填写判定理由），所以（全等三角形的对应边相等），即的距离即为的长； (2)方法迁移： 方案（Ⅱ）如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离．请你说明理由； (3)问题拓展： 方案（Ⅱ）中作，的目的是使__________________，若仅满足（不为），则方案（Ⅱ）的结论____________（填“成立”或“不成立”）． 【答案】(1)，，（）； (2)见解析； (3)，成立． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键； （1）根据题干思路完成过程； （2）根据题干思路写出解答过程； （3）说明方案Ⅱ中作垂直的目的以及一般情况下的结论即可． 【详解】（1）解：如图①所示，在和中， ，（对顶角相等），， 所以（填写判定理由）， 所以（全等三角形的对应边相等）， 即的距离即为的长； （2）解：∵，， ． 在和中， ， ∴； （3）解：方案（Ⅱ）中作，的目的是使； 若仅满足方案（Ⅱ）仍成立， ∵仍可根据其他条件来构造全等三角形确定AB的长度． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·广东潮州·期末）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 【甲】如图1，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 【乙】如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，你认为两位同学的设计方案是否可行； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】(1)甲：可行；乙：可行 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质： （1）根据全等三角形的判定方法，即可判断是否可行； （2）根据全等三角形的判定及性质即可求得答案． 【详解】（1）解：甲：可行； 乙：可行； （2）甲可行的理由如下： 在和中 所以． 所以． 乙可行的理由如下： 在和中 所以． 所以． 【变式题9-3】.（23-24七年级下·江苏泰州·期末）【实践与探究】测量距离 活动1：用“卡钳”工具测定工件内槽的宽 如图1，卡钳是由两根钢条组成，点为，的中点．如果，则 cm．其原理是运用了三角形全等判定方法中的 ．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：测量隔着池塘的两点，之间的距离 如图2，小聪设计的测量隔着池塘的两点，之间距离的具体操作如下： （1）将标杆垂直立在池塘岸边的点处，再将激光笔固定在标杆的顶部处； （2）调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点处； （3）保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点处； （4）测量 的长即为，之间的距离．请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出，之间距离的道理． 【答案】活动1：8；；活动2： 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键. 活动1：由题意可得，，，再根据对顶角相等可得，即可利用“”证明，可得，即可求解； 活动2：由题意得，，，，利用“”证明，可得，即可求解． 【详解】解：活动1：∵O为、的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：8，； 活动2：测量的长即为A、B之间距离，证明过程如下： 由题意得，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即测量的长即为A、B之间距离， 故答案为：． 【易错重难点总结】 1.核心易错点 三边关系：漏任意、等腰不检验、两边和等于第三边误判。 角度计算：外角性质用错、忘记内角和180°。 全等判定：用SSA/AAA、对应边角找错。 三线：钝角△高画在内部、中线与角平分线混淆。 2.本章重难点 重点：三边关系、内角和、三线性质、全等判定与性质。 难点：全等证明书写、角度模型推导、等腰分类讨论、折叠全等。 3.解题通用步骤 边长：判三边关系→分类→检验→作答。 角度：标角→用内角和/外角/互余→列方程→计算。 全等：找已知→定对应→凑判定→证全等→得结论。 4.高分必备技巧 判三角形：短+短＞长一步到位。 等腰题：先分类，再验三边。 全等题：先标图，再凑条件，避开SSA。 角度题：外角优先，方程简化。 面积题：中线等分面积，比例快速算。 5.素养提升关键 强化几何直观：会画图、标条件、找模型。 规范推理表达：步步有据，全等书写严谨。 落实分类讨论：等腰、高、折叠多情况不遗漏。 运用转化思想：实际问题→全等模型，未知边→已知边。 培养严谨习惯：检验三边关系、验高位置、验全等条件。 【同步练习】 一、单选题 1．以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（　） A．3，4，5 B．8，7，15 C．13，12，26 D．5，5，11 【答案】A 【详解】解：A．∵，， ∴可以构成三角形，符合题意； B．∵，， ∴不可以构成三角形，不符合题意； C．∵，， ∴不可以构成三角形，不符合题意； D．∵，， ∴不可以构成三角形，不符合题意． 2．如图，在中，，点是的重心，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心性质及直角三角形面积公式，首先根据直角三角形面积公式求出 的面积，再利用三角形重心的性质：重心与三个顶点连线将三角形分成面积相等的三个三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵ 点 是的重心， ∴， ∵， ∴． 3．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件利用证明，可得，进而利用角的和差关系证得，再利用证明，利用全等三角形的性质逐一判断选项即可． 【详解】 解：A．在和中， ， ， 故选项A不符合题意； B．， ， 即， 在和中， ， ， 故选项B不符合题意； C．， ， ， 即， 故选项C不符合题意； D．与是不同位置的角度，无直接关系，故不一定相等， ∴选项D符合题意． 二、填空题 4．在，，，若第三边的长度是整数，则_____． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，进而根据为整数即可求解． 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴ 即 ， ∴， 为整数， ． 5．小明回顾了用尺规作的过程是： 由尺规作图可知，，，， 所以________， 所以________．（填写理由依据） 【答案】 全等三角形的对应角相等 【分析】根据全等三角形的判定定理及性质解答即可． 【详解】解：由尺规作图可知，，，， 所以， 所以（全等三角形的对应角相等）． 6．已知a，b，c是三角形的三边，其中，，则c的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系求解，三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，代入已知的值即可得到的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系可知，第三边满足， 将，代入得，即． 故答案为：． 三、解答题 7．如图，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据推出，利用证出即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 8．如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用可证； （2）根据全等三角形的性质可证，，根据可知． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ； （2）解：， ，， ， ． 9．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”，后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，风筝的一角缺失，为修补该风筝，现测得：，，，． (1)求修补完风筝后的长度． (2)若用纸面积为，求的用纸面积． 【答案】(1)的长度为 (2)的用纸面积为 【分析】（1）证明，即可得到答案； （2）证明，根据图形间的面积关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴修补完风筝后的长度为． （2））∵， ∴，， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 即， ∴的用纸面积为 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 三角形 知识点1：三角形的概念与分类 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。 按边分：不等边三角形、等腰三角形（含等边）；按角分：锐角、直角、钝角三角形。 稳定性：三角形具有稳定性，四边形不具有。 知识点2：三角形三边关系 核心：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边。 第三边范围：已知两边$a,b$，则。 易错：两边之和等于第三边不能构成三角形。 知识点3：三角形内角与外角 项目 内容 内角和 直角三角形 两锐角互余 外角性质 外角=不相邻两内角和；外角＞任意不相邻内角 外角和 知识点4：三角形的三条重要线段 线段 定义 核心性质 中线 顶点→对边中点 平分面积；三条中线交于重心 角平分线 内角平分线→对边 平分内角；交点到三边等距 高 顶点→对边垂线 锐角△：三条高在内部；直角△：交于顶点；钝角△：两条高在外部 知识点5：全等三角形 定义：能完全重合的两个三角形，记作。 性质：对应边相等、对应角相等、周长/面积/对应线段相等。 判定：SSS、SAS、ASA、AAS（易错警示：无AAA、SSA）。 【易错题型】 【题型1】三角形三边关系应用 1.易错点总结 只算一组两边和，忽略任意二字。 等腰三角形求边长，不检验三边关系。 求第三边范围，忘记两边之差＜第三边。 2.纠错技巧 判断：用较短两边和＞最长边即可。 等腰：分腰/底讨论，必验三边关系。 【例题1】.（2026·河北邯郸·二模）如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（   ） A．2米 B．3米 C．10米 D．14米 【变式题1-1】.（25-26七年级下·安徽宿州·期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式题1-2】.（25-26八年级下·山东青岛·期中）若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是________． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·四川·期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【基础题型】 【题型2】三角形内角和与角度计算 1.核心考点 内角和、直角三角形两锐角互余、外角性质。 2.解题技巧 求角：设未知数，用内角和/外角列方程。 直角三角形：见直角→两锐角相加=90°。 【例题2】.（25-26七年级下·四川·期中）一个三角形两个内角的度数分别如下，三角形为锐角三角形的是（　） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式题2-1】.（25-26九年级下·河南新乡·期中）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（    ） A． B． C． D． 根据题意可知， ∵，与是对顶角， ∴， ∴． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，这是一款手推车的平面示意图，其中，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（上海市青浦区2026学年九年级数学试学科练习卷）如图，，如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型3】三角形三线（中线、高、角平分线） 1.核心考点 三线定义、画法、中线平分面积、高的位置判断。 2.解题技巧 中线：面积对半分，周长差=两边之差。 高：钝角△高在外部，直角△高与直角边重合。 【例题3】.（25-26七年级下·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 【变式题3-1】.（25-26七年级下·山西临汾·期中）下列四个图中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，G为的重心，连结并延长交于点D，若，则______． 【题型4】全等三角形的判定与对应元素 1.核心考点 全等判定方法、对应边/角找法、简单证明书写。 2.解题技巧 找对应：公共边/角、对顶角、重合边/角优先定对应。 判定：先标已知，凑SSS/SAS/ASA/AAS。 【例题4】.（25-26八年级下·江西吉安·月考）如图，已知，，，三点共线，如果，，求的长． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·四川·期中）如图，若，且，，，，则的面积为（　） A．8 B．6 C．5 D．10 【变式题4-2】.（24-25七年级下·重庆南岸·期中）如图，，若，，则的度数是________． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·安徽安庆·月考）若如图所示的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 【提升题型】 【题型5】等腰三角形边长与周长计算 1.核心考点 等腰定义、三边关系、分类讨论。 2.解题技巧 分类：谁为腰、谁为底，两种情况。 必验：短边和＞长边，舍去不成立情况。 【例题5】.（25-26七年级下·河南周口·期中）用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·陕西·期中）一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为______． 【变式题5-2】.（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 【变式题5-3】.（2026·河南三门峡·一模）等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【题型6】三角形中的角度模型（八字、角平分线） 1.核心考点 八字模型、双角平分线模型角度计算。 2.解题技巧 八字：直接用对角和相等。 双内角平分线：。 【例题6】.（2026·辽宁大连·一模）如图，，与相交于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（2026·安徽阜阳·二模）将一副三角板按如图所示摆放，两个三角板的斜边重合，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（2026年安徽宿州市中考第二次模拟考试数学（试题卷））如图，在中，，，且．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)如图1，，平分，平分，则 度． (2)如图2，，，分别是，的三等分线（即，）求的度数． (3)在中，，分别是，的n等分线（即，），试说明与的关系． 【题型7】添加条件证三角形全等 1.核心考点 全等判定、缺啥补啥、开放性条件。 2.解题技巧 先标已知：公共边/角、对顶角、平行线角。 补齐：凑SAS/ASA/AAS/SSS，避开SSA/AAA。 【例题7】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点，，，在同一直线上，且，，那么添加一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·重庆·期中）如图，与相交于点，且，再添加一个条件后仍然不能直接证明的是（    ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·重庆·月考）如图，点在一条直线上，，．再添加一个条件后仍然不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【变式题7-3】.（2026·河北张家口·一模）如图，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【培优题型】 【题型8】全等三角形性质与计算（线段/角度） 1.核心考点 全等→对应边等、对应角等，用于求值。 2.解题技巧 先证全等，再代换求边长/角度。 隐藏条件：公共边、公共角、直角。 【例题8】.（25-26八年级下·甘肃白银·期中）随着技术的发展.中国在空天地一体化网络建设中处于领先地位，某科技企业研发的基站信号覆盖范围可抽象为三角形，如图，在中，为的中点，为边上一点．连接，并延长至点，使得，连接． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【变式题8-1】.（2026·湖南株洲·一模）如图，小明想测量池塘两岸上A、B两点的距离．他在平地上取一点C，使测量者能从C直线走到A和B两点，在平地上延长至点D，使，延长BC至点E，使，连接．若测得米，则A，B两点间的距离为________米． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·上海·期中）如图，点、、在同一直线上，若，顶点、、分别与顶点、、对应．若，，则______． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·北京·期中）如图，中，，为上一点，，交于点，求证： 【题型9】全等三角形实际应用（测量距离） 1.核心考点 构造全等、转化不可测距离、情境建模。 2.解题技巧 找全等：利用中点、平行、垂直构造SAS/ASA。 书写：先证全等，再对应边代换得距离。 【例题9】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末） 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲：①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得___________．（只添加一个条件） ④测量的长即可． 乙：①在水池外过点B作的垂线，在上取点、，使得． ②过D作BF的垂线DE，使点在同一条直线上． ③测量的长即可． 问题解决： (1)直接写出乙的方案是否可行． (2)补全甲方案，并说明可行的理由． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）综合与实践： (1)方法感悟： 一个班的同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端，的距离，设计了如下方案： 方案（Ⅰ）如图①，先在平地上取一个可直接到达，两点的点，连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后测出的距离即为的长． 感悟解题方法，并完成下列填空： 解：如图①所示，在和中，，________________________（对顶角相等），，所以____________（填写判定理由），所以（全等三角形的对应边相等），即的距离即为的长； (2)方法迁移： 方案（Ⅱ）如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离．请你说明理由； (3)问题拓展： 方案（Ⅱ）中作，的目的是使__________________，若仅满足（不为），则方案（Ⅱ）的结论____________（填“成立”或“不成立”）． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·广东潮州·期末）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 【甲】如图1，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 【乙】如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，你认为两位同学的设计方案是否可行； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【变式题9-3】.（23-24七年级下·江苏泰州·期末）【实践与探究】测量距离 活动1：用“卡钳”工具测定工件内槽的宽 如图1，卡钳是由两根钢条组成，点为，的中点．如果，则 cm．其原理是运用了三角形全等判定方法中的 ．（填“”或“”或“”或“”） 活动2：测量隔着池塘的两点，之间的距离 如图2，小聪设计的测量隔着池塘的两点，之间距离的具体操作如下： （1）将标杆垂直立在池塘岸边的点处，再将激光笔固定在标杆的顶部处； （2）调整激光笔与标杆的夹角，使其射出的光线正好落在池塘对岸的点处； （3）保持标杆与激光笔的夹角不变，转动标杆，这时激光笔射出的光线落在同岸的点处； （4）测量 的长即为，之间的距离．请你用学过的知识说明通过以上步骤能测出，之间距离的道理． 【易错重难点总结】 1.核心易错点 三边关系：漏任意、等腰不检验、两边和等于第三边误判。 角度计算：外角性质用错、忘记内角和180°。 全等判定：用SSA/AAA、对应边角找错。 三线：钝角△高画在内部、中线与角平分线混淆。 2.本章重难点 重点：三边关系、内角和、三线性质、全等判定与性质。 难点：全等证明书写、角度模型推导、等腰分类讨论、折叠全等。 3.解题通用步骤 边长：判三边关系→分类→检验→作答。 角度：标角→用内角和/外角/互余→列方程→计算。 全等：找已知→定对应→凑判定→证全等→得结论。 4.高分必备技巧 判三角形：短+短＞长一步到位。 等腰题：先分类，再验三边。 全等题：先标图，再凑条件，避开SSA。 角度题：外角优先，方程简化。 面积题：中线等分面积，比例快速算。 5.素养提升关键 强化几何直观：会画图、标条件、找模型。 规范推理表达：步步有据，全等书写严谨。 落实分类讨论：等腰、高、折叠多情况不遗漏。 运用转化思想：实际问题→全等模型，未知边→已知边。 培养严谨习惯：检验三边关系、验高位置、验全等条件。 【同步练习】 一、单选题 1．以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（　） A．3，4，5 B．8，7，15 C．13，12，26 D．5，5，11 2．如图，在中，，点是的重心，则的面积是（   ） A． B． C． D． 3．山东潍坊是中国风筝之乡，匠人在制作过程中采用了全等的相关知识．在如图所示的风筝“龙骨”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．在，，，若第三边的长度是整数，则_____． 5．小明回顾了用尺规作的过程是： 由尺规作图可知，，，， 所以________， 所以________．（填写理由依据） 6．已知a，b，c是三角形的三边，其中，，则c的取值范围是______． 三、解答题 7．如图，．求证：． 8．如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 9．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”，后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，风筝的一角缺失，为修补该风筝，现测得：，，，． (1)求修补完风筝后的长度． (2)若用纸面积为，求的用纸面积． 学科网（北京）股份有限公司 $