24.1.2 第2课时 平均数、中位数和众数的应用-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版八年级数学下册 平行四边形的性质的运用 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：习题课/应用课 一、教学目标 1. 知识与技能：熟练掌握平行四边形的三大核心性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）及邻角互补的推论；能灵活运用这些性质解决边长计算、角度推理、对角线相关计算、折叠拼接等实际应用问题；规范书写几何解题步骤，明确每一步的推理依据。 2. 3. 过程与方法：通过典例分析、变式训练、小组探究，梳理平行四边形性质的应用思路和解题技巧，培养学生的逻辑推理能力、综合分析能力和数形结合思想，提升运用几何性质解决实际问题的能力。 4. 5. 情感态度与价值观：感受平行四边形性质的实用性，激发学生运用几何知识解决问题的兴趣，培养严谨的解题习惯和合作探究意识，增强学习几何知识的信心，体会数学与生活的密切联系，建立完整的几何应用思维。 6. 二、教学重难点 重点：平行四边形性质的灵活运用；针对不同应用场景（边长、角度、对角线、折叠等）选择合适的性质解题；规范书写几何解题步骤。 难点：灵活运用平行四边形的性质解决含多条件、折叠、拼接、与其他几何知识结合的综合问题；明确几何推理的逻辑顺序，规范标注推理依据。 三、教学准备 教师：多媒体课件（包含性质梳理、典例示意图、变式练习题、易错点解析）、板书模板、直尺、圆规、三角板、平行四边形纸片；学生：复习平行四边形的定义及三大核心性质，整理前期错题，准备直尺、圆规、三角板，预习性质应用相关题型。 四、教学过程 （一）复习回顾（5分钟） 1. 快速回顾：提问学生，平行四边形有哪些核心性质？引导学生完整表述，并规范书写几何语言： ① 对边性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC； ② 对角性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补：∠A+∠B=180°）； ③ 对角线性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。 2. 导入课题：强调平行四边形的性质是解决几何计算、推理的核心依据，今天我们重点学习“平行四边形的性质的运用”，通过典例和变式训练，掌握不同场景下的解题思路和技巧，突破应用难点。 （二）核心应用梳理（7分钟） 梳理平行四边形性质的常见应用场景，明确解题核心思路，帮助学生建立应用框架： 1. 场景一：边长计算（核心用“对边相等”） 思路：已知平行四边形的一组对边长度，可直接求另一组对边；结合周长公式（周长=2×（邻边和）），可求未知边长或周长。 2. 场景二：角度推理（核心用“对角相等、邻角互补”） 思路：已知平行四边形的一个角，可求其余三个角；结合角的和差、角平分线等知识，可解决复杂角度推理问题。 3. 场景三：对角线相关计算（核心用“对角线互相平分”） 思路：已知平行四边形一条对角线的长度或其中一段的长度，可求对角线的另一段或整条对角线长度；结合勾股定理，可求边长、面积等。 4. 场景四：综合应用（折叠、拼接、与三角形结合） 思路：先利用平行四边形的性质，转化已知条件，再结合折叠的性质（对应边相等、对应角相等）、三角形全等、勾股定理等知识，逐步求解。 强调：所有应用的前提的是“明确四边形是平行四边形”，解题时先标注已知条件，再选择对应的性质，规范书写推理步骤，注明每一步的依据。 （三）典例精讲（18分钟） 结合不同应用场景，精讲典例，拆解解题步骤，强化解题技巧，规范书写格式。 例1（基础应用：边长与周长计算）：在▱ABCD中，已知AB=8cm，BC=5cm，E、F分别是AB、CD的中点，求EF的长度及▱ABCD的周长。 讲解步骤：① 明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，AB=8cm，BC=5cm，E、F是AB、CD中点；② 选择性质：平行四边形对边平行且相等，故AB=CD=8cm，AB∥CD；③ 推导EF长度：E、F是中点，AE=EB=4cm，CF=FD=4cm，又AB∥CD，故EB∥CF且EB=CF，四边形EBCF是平行四边形，EF=BC=5cm；④ 计算周长：周长=2×（AB+BC）=2×（8+5）=26cm；⑤ 规范书写解题过程，注明每一步依据（平行四边形性质、中点定义等）。 例2（进阶应用：角度与角平分线结合）：在▱ABCD中，∠A=100°，BE平分∠ABC，交AD于点E，求∠AEB、∠BED的度数。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，∠A+∠ABC=180°（邻角互补），∠A=∠C=100°，故∠ABC=80°；② BE平分∠ABC，故∠ABE=∠EBC=40°；③ 由AD∥BC（平行四边形对边平行），内错角相等，故∠AEB=∠EBC=40°；④ 由平角定义，∠AEB+∠BED=180°，故∠BED=140°；⑤ 规范书写推理过程，强调“平行四边形对边平行”“邻角互补”的灵活运用。 例3（综合应用：对角线与勾股定理结合）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AC=12cm，BD=16cm，AB=10cm，求证：▱ABCD是矩形。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，对角线互相平分，故OA=OC=6cm，OB=OD=8cm；② 已知AB=10cm，观察OA、OB、AB的长度，6²+8²=10²，由勾股定理逆定理，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°；③ 对角线互相垂直的平行四边形是矩形，故▱ABCD是矩形；④ 规范书写证明过程，体现平行四边形性质与勾股定理逆定理的综合运用，注明每一步推理依据。 例4（拓展应用：折叠与性质结合）：将▱ABCD沿边BC折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，已知AB=6cm，AD=4cm，∠ABC=60°，求△ABC'的面积。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，AB=CD=6cm，AD=BC=4cm，AB∥CD；② 折叠后，BC=BC'=4cm，∠C=∠C'，∠ABC'=∠ABC=60°；③ 由AB∥CD，∠ABC+∠C=180°，故∠C=120°，∠C'=120°；④ 过点C'作AB的垂线，垂足为H，在Rt△C'BH中，∠C'BH=60°，BC'=4cm，可求C'H=2√3cm；⑤ 计算△ABC'的面积=1/2×AB×C'H=1/2×6×2√3=6√3cm²；⑥ 规范书写解题步骤，梳理折叠性质与平行四边形性质的结合点。 教师板书每道典例的规范解题步骤，重点强调：① 先标注已知条件和图形中的隐含条件；② 选择合适的平行四边形性质，结合其他几何知识（角平分线、勾股定理、折叠性质）；③ 推理过程要严谨，每一步都要注明依据；④ 计算时注意准确性，规范书写单位。 （四）变式训练（10分钟） 布置分层变式练习，贴合典例场景，强化性质运用，及时巩固解题技巧： 1. 基础变式（边长与角度）：在▱ABCD中，AB=7cm，AD=5cm，∠B=70°，E是AD的中点，求CE的长度（提示：过C作AD的垂线）；已知▱ABCD中，∠A比∠B小20°，求四个角的度数。 2. 进阶变式（对角线）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=5cm，OB=12cm，求▱ABCD的边长和面积；若AC⊥BD，AB=13cm，求AC、BD的长度。 3. 综合变式（折叠与全等）：将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处，连接A'C，已知AB=5cm，AD=3cm，求A'C的长度（提示：证明△A'CD是等腰三角形）。 学生独立完成，小组内核对答案、交流解题思路，教师巡视指导，针对易错点（如忽略平行四边形对边平行的性质、推理过程不规范、计算失误）集中讲解，强化解题技巧。 （五）易错点总结（3分钟） 梳理学生在性质运用中常见的易错点，重点强调： 1. 忽略前提条件：运用性质前，未明确“四边形是平行四边形”，直接套用性质； 2. 性质混淆：误用“对角互补、邻角相等”，混淆对边、对角的关系； 3. 推理不规范：未注明推理依据，步骤跳跃，逻辑混乱； 4. 综合应用中，无法灵活结合其他几何知识（如勾股定理、折叠性质），难以转化已知条件。 引导学生针对性规避易错点，养成“先找条件、再选性质、规范推理”的解题习惯。 （六）课堂小结（2分钟） 引导学生回顾：本节课重点掌握了平行四边形性质的四大应用场景（边长、角度、对角线、综合应用），梳理了不同场景的解题思路和技巧；明确了运用性质的核心是“先明确平行四边形，再选择对应性质，规范书写推理步骤”；通过典例和变式训练，提升了综合解题能力。师生共同梳理核心解题技巧，加深记忆。 （七）布置作业（2分钟） 基础作业：整理本节课典例及变式题，规范书写解题步骤，注明每一步依据；完成教材对应性质应用习题，巩固基础应用。 拓展作业：收集生活中需要运用平行四边形性质解决的实际问题（如测量边长、角度），尝试写出解题过程；思考：平行四边形的性质在矩形、菱形中的应用有哪些异同。 五、板书设计 平行四边形的性质的运用 一、核心性质（几何语言） 1. 对边：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 2. 对角：∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补） 3. 对角线：OA=OC，OB=OD（O为交点） 二、常见应用场景及思路 1. 边长计算：对边相等+周长公式 2. 角度推理：对角相等+邻角互补 3. 对角线：互相平分+勾股定理 4. 综合应用：性质+折叠/全等/勾股定理 三、解题关键 1. 明确前提：四边形是平行四边形 2. 规范步骤：注明推理依据，逻辑严谨 四、典例精讲（规范书写步骤） 例1：边长与周长 例2：角度与角平分线 例3：对角线与勾股定理 例4：折叠综合 六、教学反思 本节课聚焦平行四边形性质的运用，以典例精讲、变式训练为核心，梳理了不同应用场景的解题思路和技巧，重点强化了几何推理的规范性和性质的灵活运用，衔接前期所学的平行四边形性质、勾股定理、折叠性质等知识，符合八年级学生的认知规律和应用能力培养需求，基本达成教学目标。但部分学生在综合应用场景中，难以快速结合平行四边形性质与其他几何知识，转化已知条件的能力不足；部分学生解题步骤不够规范，推理依据标注不完整；对对角线互相平分的性质应用不够灵活，容易忽略对角线与边长的关联。后续需增加综合变式训练，针对性突破转化难点，强化解题步骤的规范性指导，设计分层习题，兼顾不同层次学生的需求，帮助学生熟练掌握平行四边形性质的运用技巧，提升几何综合解题能力。 第2课时 用平均数、中位数和众数刻画数据的集中趋势 教学目标 课题 24.1.2 第2课时 用平均数、中位数和众数刻画数据的集中趋势 授课人 素养目标 1.进一步认识平均数、中位数、众数都是数据的代表，能根据所给信息求出相应的数据代表. 2.结合具体情境体会平均数、中位数、众数在描述数据时的差异，能根据具体问题选择适当的统计量作为代表，并做出自己的评判. 3.经历整理、描述、分析数据的过程，发展统计意识，提高分析问题和解决问题的能力. 教学重点 根据具体问题选择适当的统计量来分析数据. 教学难点 能灵活运用这三个统计量解决实际问题. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：引用例题，导入新课 【例题导入】 (教材P160 例7)如表是某公司员工月收入的资料. (1)分别计算这家公司员工月收入的平均数、中位数和众数. 解：这家公司员工月收入的平均数 将公司20名员工的月收入按从小到大的顺序排列，可以得到第10个和第11个数据分别为3600和5000，则中位数为4300. 该公司员工的月收入共有6个类别，其中出现次数最多的类别是5000，共7次，则众数为5000. (2)比较这家公司员工月收入的平均数、中位数和众数，这三个统计量是否存在差异，产生差异的原因是什么? 答：这三个统计量存在较大的差异.产生差异的原因是三个统计量的计算原理不一样，其中平均数受极端值影响，中位数受数据的中间量影响，众数受数据出现的频次影响. 平均数、中位数和众数都能反映数据的集中趋势，那么在日常生活中，为了描述一组数据的特征，我们应当选择其中的哪一个统计量呢?让我们一起进入本课时的学习. 【教学建议】 学生在实际生活情境中回顾平均数、中位数和众数的求法，教师引导学生思考对平均数、中位数和众数三种统计量意义的认识. 设计意图 通过教材例题引发学生思考，为导入新课作准备. 活动二：实践探究，引出新知 探究点 平均数、中位数和众数的应用 在活动一中，若要反映这家公司员工月收入水平，应当选择哪一个统计量?为什么? 答：在20名员工中，仅有3名员工的月收入在7080元以上，而另外17名员工的月收入都在7080元以下.因此，用月收入的平均数代表所有员工的月收入水平不太合适.而中位数4300说明一半员工的月收入高于4300元，另一半员工的月收入低于4300元.众数5000说明员工的月收入出现频次最高的是5000元.相对于平均数而言，中位数和众数更能代表这家公司所有员工的月收入水平. 例1 阅读教材P161例8，回答下列问题： (1)教材P161例8第(1)问分别问的是什么统计量? 答：分别是众数、中位数和平均数. (2)例题中为了让大家容易找到数据的中位数和众数，分别用统计表和条形图描述了样本数据，你认为较高的销售目标应该根据哪个统计量来确定? 答：结合统计图表知这组样本数据的众数是15，中位数是18，平均数约是20，三个统计量中平均数最大，为20.可以估计，销售目标定为每月20万元时大约有的营业员可以完成，所以较高的销售目标应该根据平均数来确定. (3)看到题目中出现一半左右我们首先想到什么统计量?这里的销售目标应该根据哪个统计量来确定? 答：首先想到中位数，这里的销售目标应该根据中位数来确定. 归纳总结：平均数、中位数、众数都可以刻画一组数据的集中趋势，但它们各有特点.这三种统计量的意义(优势)与不足，如表所示： 统计量 意义 不足 平均数 平均数是刻画数据集中趋势最常用的统计量，它能够充分利用数据提供的信息，在现实生活中较为常用 受极端值的影响较大 中位数 中位数是一组数据按大小排序后处于中间位置的数，计算简单，不易受极端值影响 不能充分利用数据提供的信息 众数 众数是一组数据中出现次数最多的数据，不易受极端值影响 当各个数据的重复次数差别不大时，众数往往不具有代表性 【对应训练】 1.随机抽取某小吃店一周的营业额(单位：元)如表： (1)这组数据的平均数是 780 ，中位数是 680 ，众数是 640 . (2)估计一个月的营业额(按30天计算)： ①星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估计合适吗? 不合适 . ②选择一个你认为最合适的数据估计该小吃店一个月的营业额. 解：用该小吃店这一周的营业额的平均数估计一个月的营业额，则估计一个月的营业额为30×780=23400(元). 2.教材P163练习. 【教学建议】 引导学生由例题理解平均数、中位数和众数各自的特点，在实际应用中要根据具体情况选择适当的统计量反映数据的集中趋势. 【教学建议】 针对这个表，教师可向学生口头强调：若想要知道一组数据的平均水平，则往往利用平均数反映；若个别数据偏差较大，则常利用中位数反映数据的集中趋势；众数反映的是一组数据的多数水平，若某些数据重复出现，则众数往往是人们关心的统计量. 设计意图 通过提问的方式引发学生思考，结合具体问题深化对平均数、中位数和众数三种统计量意义的认识. 活动三：知识运用，巩固提升 例2 在学校组织的科学知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为90分、80分、70分、60分，学校将八年级(1)班和(2)班的成绩整理并绘制成如图的统计图： (1)求此次竞赛中八年级(2)班成绩不低于70分的人数； (2)补全下表： 平均数 中位数 众数 八年级(1)班 77.6 80 80 八年级(2)班 77.6 70 90 (3)请根据上述图表对这次竞赛成绩进行分析，并写出两个结论. 解：(1)八年级(1)班的参赛人数为6+12+2+5=25. 因为两班参赛人数相同，所以此次竞赛中八年级(2)班成绩不低于70分的人数为25×(44%+4%+36%)=21. (3)①平均数相同的情况下，从众数来看，八年级(2)班的成绩更好一些；②平均数相同的情况下，从中位数来看，八年级(1)班的成绩更好一些.(答案不唯一) 【对应训练】 某校举行了垃圾分类知识测试，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下： 抽取的七年级学生的测试成绩统计表 分值 5 6 7 8 9 10 人数 6 6 10 5 6 7 小明将抽取的学生的测试成绩进行了分析，如表为其中的一部分： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 a 7 八年级 B 8 c 根据图表，解答问题： (1)填空：表中的a= 7 ，b= 7.5 ，c= 7.5 . (2)若规定6分及6分以上为合格，该校七年级和八年级共1200名学生参加了此次测试，则估计本次测试成绩合格的学生人数是 1050 . (3)本次测试哪个年级学生的成绩较好?说明理由. 解：本次测试八年级学生的成绩较好.理由：因为七、八年级学生的平均成绩相等，而八年级学生的成绩的众数、中位数均大于七年级学生的成绩的众数、中位数，所以八年级学生的成绩较好. 【教学建议】 学生独立解答，教师进行指导并提醒学生：要解答例2，主要是要将统计图中的信息进行有效提取.注意例题中有个关键信息是每班参加比赛的人数相同，这样可推知八年级(2)班的人数，这个是算出题中八年级(2)班各等级人数的基础.另外，第(3)问要注意看学生是否注意到平均数相同这一细节. 设计意图 巩固学生对平均数、中位数和众数三者之间区别与联系的认知. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 平均数、中位数和众数都是反映数据哪方面特征的统计量?这三个统计量的意义(优势)和不足分别是什么? 【知识结构】 【业布置】 1.教材P165~166习题24.1第11，12，13题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 24.1.2 中位数和众数 第2课时 用平均数、中位数和众数刻画数据的集中趋势 平均数、中位数和众数的区别与联系. 教学反思 本节课首先从平均数、中位数和众数的计算导入，再通过比较三种统计量的大小，结合其实际意义，从不同角度分析数据，加深对统计量优势与不足的理解，最后通过实际问题的解答让学生学会选择合适的统计量进行决策或评价. 通过本节课的学习，引导学生客观全面地看待问题，培养了学生的科学态度. 解题大招 平均数、中位数和众数的综合 平均数、中位数和众数都可以作为一组数据的代表，它们有各自的特点和求法，而且能从不同的角度提供信息，帮助人们去分析、决策，提出意见或建议，因此在实际应用中要根据具体问题选择适当的统计量来代表数据.为了较全面、科学地分析一组数据，要避免只从一个方面考虑，在具体题目中灵活地选择恰当的统计量对数据做出正确的评判. 例1 已知一组数据：x，10，12，6的中位数与平均数相等，则x的值是 4或8或16 . 分析：x的值未知，需要分情况讨论，再列方程求解. 解析：这组数据的平均数为，中位数按不同顺序可以分四种情况讨论，即①x，6，10，12；②6，x，10，12；③6，10，x，12；④6，10，12，x.可得符合题意的x的值为4或8或16. 例2 某校八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况统计如图所示. (1)本次共抽查学生 50 人，并将条形图补充完整. (2)捐款金额的众数是 10 ，中位数是 12.5 . (3)估计八年级600名学生共捐款多少元? 解：(1)解析：本次共抽查学生14÷28%=50(人).故答案为50. 捐款10元的学生有50－9－14－7－4=16(人)，补全条形图如图所示. (2)解析：由条形图可得，捐款金额的众数是10，中位数是(10+15)÷2=12.5.故答案为10，12.5. (元)，因此，估计八年级600名学生共捐款7860元. 学科网（北京）股份有限公司 $