第三单元《因数和倍数》强化分层训练（例题+变式训练）（专项训练）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

第三单元《因数和倍数》强化分层训练（例题+变式训练） 题型一：概念辨析类 ★☆☆ 基础层 例题1：在算式 72÷8=9 中，（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。 解析：8和9是72的因数，72是8和9的倍数。 变式训练： 1. 在算式 56÷7=8 中，（ ）是（ ）和（ ）的倍数，（ ）和（ ）是（ ）的因数。 1. 在算式 13×4=52 中，52是（ ）和（ ）的倍数，（ ）和（ ）是52的因数。 1. 一个数的最小因数是（ ），最大因数是（ ）。 1. 一个数的最小倍数是（ ），（ ）最大的倍数。 ★★☆ 提高层 例题2：一个数既是24的因数，又是24的倍数，这个数是（ ）。 解析：只有它本身，所以是24。 变式训练： 1. 一个数既是15的因数，又是15的倍数，这个数是（ ）。 1. 一个数既是32的因数，又是8的倍数，这个数可能是（ ）。 1. 一个数既是48的因数，又是12的倍数，这个数最小是（ ），最大是（ ）。 ★★★ 拓展层 例题3：一个两位数，它是3的倍数，又是奇数，且所有因数的和是24。这个数是多少？ 解析：3的倍数且奇数的两位数有：15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93,99。计算因数和：15的因数有1,3,5,15，和为24，符合条件。所以这个数是15。 变式训练： 1. 一个两位数，它是4的倍数，且所有因数的和是28。这个数是多少？ 1. 一个两位数，它是3的倍数，且十位数字与个位数字之和是9。这个数最大是多少？最小是多少？ 1. 一个自然数，它既是7的倍数，又是7的因数，且大于1，这个数是（ ）。 题型二：倍数特征类 ★☆☆ 基础层 例题4：在下面的数中，同时是2和3的倍数的有（ ），同时是2、3、5的倍数的有（ ）。 72, 85, 90, 105, 120, 135 解析：同时是2和3的倍数即6的倍数：72,90,120；同时是2、3、5的倍数即30的倍数：90,120。 变式训练： 1. 在 45, 60, 75, 80, 100, 120 中，同时是2和5的倍数的有（ ），同时是3和5的倍数的有（ ）。 1. 在 24, 36, 48, 54, 72, 96 中，同时是2和3的倍数的有（ ），同时是3和4的倍数的有（ ）。 1. 写出一个三位数，它同时是2、3、5的倍数，且百位是1：________。 1. 最小的同时是2、3、5的倍数的三位数是（ ），最大的两位数是（ ）。 ★★☆ 提高层 例题5：四位数 2□4□，同时是2、3、5的倍数，这个数最小是（ ），最大是（ ）。 解析：个位必须0，数字和2+□+4+0=6+□是3倍数，□最小0（6是3倍数）得2040，□最大9（15是3倍数）得2940。 变式训练： 1. 四位数 3□5□，同时是2、3、5的倍数，这个数最小是（ ），最大是（ ）。 1. 五位数 12□3□，同时是2、5的倍数，且是3的倍数，这个数最小是（ ），最大是（ ）。 1. 三位数 7□2，同时是2和3的倍数，这个数可能是（ ）。 ★★★ 拓展层 例题6：一个三位数，百位数字是最小的合数，十位数字是最大的一位数，且这个数同时是3和5的倍数。这个数是多少？ 解析：最小的合数是4，最大的一位数是9，所以百位4，十位9，个位必须是0或5。数字和4+9+0=13不是3倍数；4+9+5=18是3倍数。所以这个数是495。 变式训练： 1. 一个三位数，百位数字是最小的质数，十位数字是最大的一位偶数，且这个数同时是2和5的倍数。这个数最小是多少？ 1. 一个三位数，个位数字是5，且这个数同时是3和5的倍数，百位数字与十位数字之和是7。这个数可能是多少？（写出一个即可） 1. 一个四位数，千位是10以内最大的质数，百位是最小的奇数，十位是既是奇数又是合数的最小一位数，且这个数同时是2和3的倍数。这个数最小是多少？ 题型三：公因数与公倍数应用类 ★☆☆ 基础层 例题7：求24和36的最大公因数和最小公倍数。 解析：最大公因数12，最小公倍数72。 变式训练： 1. 求18和27的最大公因数和最小公倍数。 1. 求15和20的最大公因数和最小公倍数。 1. 求14和21的最大公因数和最小公倍数。 1. 求32和48的最大公因数和最小公倍数。 ★★☆ 提高层 例题8：把40本笔记本和56支铅笔平均分给若干个同学，每人分得的笔记本数量相同，铅笔数量也相同，且正好分完。最多有多少个同学？每人分得笔记本和铅笔各多少？ 解析：人数是40和56的最大公因数=8。笔记本40÷8=5本，铅笔56÷8=7支。 变式训练： 1. 把36个苹果和48个梨平均分给几个小朋友，正好分完。最多有几个小朋友？每人分得苹果和梨各多少个？ 1. 用长12厘米、宽9厘米的长方形纸片拼成一个正方形（无缝隙、不重叠）。正方形的边长至少是多少厘米？至少需要多少张纸片？ 1. 一筐橘子，每次取3个剩1个，每次取5个剩1个，每次取7个也剩1个。这筐橘子至少有多少个？ ★★★ 拓展层 例题9：两个数的最大公因数是6，最小公倍数是72，且这两个数都是合数。这两个数可能是多少？ 解析：设两数为6a、6b，a、b互质，则6ab=72→ab=12。互质数对(1,12)、(3,4)。原数为(6,72)和(18,24)。6是合数，72是合数，18和24都是合数。所以两组解：(6,72)或(18,24)。 变式训练： 1. 两个数的最大公因数是4，最小公倍数是48，且两数都是合数。这两个数可能是多少？ 1. 两个数的最大公因数是9，最小公倍数是54，其中一个数是27，另一个数是多少？ 题型四：质数合数与分解质因数类 ★☆☆ 基础层 例题10：把42分解质因数。 解析：42=2×3×7。 变式训练： 1. 把36分解质因数。 1. 把54分解质因数。 1. 把105分解质因数。 1. 把72分解质因数。 ★★☆ 提高层 例题11：一个长方形的面积是91平方厘米，长和宽都是质数。这个长方形的周长是多少厘米？ 解析：91=7×13，长和宽为7和13，周长=(7+13)×2=40厘米。 变式训练： 1. 一个长方形的面积是85平方厘米，长和宽都是质数。周长是多少？ 1. 一个长方形的面积是143平方厘米，长和宽都是质数。周长是多少？ ★★★ 拓展层 例题12：已知a、b、c是不同的质数，且 a×b + b×c = 70，求 a+b+c。 解析：b×(a+c)=70=2×5×7。b为质数。 若b=2，a+c=35，无质数对（和35的质数对只有2+33,3+32...，33不是质数）； 若b=5，a+c=14，质数对(3,11)符合，a+b+c=3+5+11=19； 若b=7，a+c=10，质数对(3,7)但b=7重复且a、c需不同，故排除。 所以答案为19。 变式训练： 1. 已知a、b、c是不同的质数，且 a×b + b×c = 56，求 a+b+c。 1. 已知a、b、c是不同的质数，且 a×b×c = 105，求 a+b+c。 1. 已知a、b、c是不同的质数，且 a×b + a×c = 84，求 a+b+c。 五综合运用（含新定义、规律探究、综合推理） 例题13（新定义） 一个“幸运数”定义为各位数字之和是5的倍数。判断 257 是不是幸运数。 解析：2+5+7=14，14不是5的倍数，所以不是。 变式训练： 1. 判断 348 是不是幸运数（定义同例题）。 1. 判断 560 是不是幸运数。 1. 写出一个三位幸运数。 1. 最大的两位幸运数是多少？ 例题14（完美数） 完美数是指一个数等于它的所有真因数（除自身外）之和。验证36是不是完美数。 解析：36的真因数：1,2,3,4,6,9,12,18，和为1+2+3+4+6+9+12+18=55≠36，所以不是。 变式训练： 1. 验证 6 是不是完美数。 1. 验证 28 是不是完美数。 1. 一个两位数，它是完美数，这个数是多少？ 例题15（数字黑洞） 数学黑洞“495”：任选一个三位数（各数位数字不完全相同），用其最大排列减最小排列，重复操作，最终都会得到495。请以“352”为例验证。 解析：352→532-235=297→972-279=693→963-369=594→954-459=495。 变式训练： 1. 以“256”为例，写出黑洞验证过程。 1. 以“123”为例，写出黑洞验证过程。 1. 以“981”为例，写出黑洞验证过程，并说明为什么最终结果是9的倍数。 例题16（因数倍数综合） 一个数既是48的因数，又是12的倍数，这个数可能是哪些？ 解析：48的因数：1,2,3,4,6,8,12,16,24,48；其中12的倍数：12,24,48。所以可能是12、24、48。 变式训练： 1. 一个数既是36的因数，又是9的倍数，这个数可能是哪些？ 1. 一个数既是30的因数，又是5的倍数，这个数可能是哪些？ 1. 一个数既是24的倍数，又是72的因数，这个数可能是哪些？ 1. 一个数既是16的因数，又是8的倍数，这个数可能是哪些？ 例题17（条件推理） 一个两位数，它是3的倍数，又是5的倍数，且十位数字比个位数字大2。这个数是多少？ 解析：同时是3和5倍数→15的倍数，两位数为15,30,45,60,75,90。十位比个位大2的只有75（7-5=2），所以是75。 变式训练： 1. 一个两位数，它是2的倍数，又是5的倍数，且十位数字与个位数字的和是9。这个数是多少？ 1. 一个三位数，它是2、3、5的倍数，且百位是5，十位比个位大1。这个数是多少？ 1. 一个两位数，它是6的倍数，且十位数字是质数，个位数字是合数。这个数最小是多少？最大是多少？ 例题18（最大公因数与最小公倍数逆向） 两个数的最大公因数是6，最小公倍数是72，且这两个数都是合数。这两个数可能是多少？ 解析：同例题9，答案：(6,72)或(18,24)。 变式训练： 1. 两个数的最大公因数是5，最小公倍数是60，且两数都是合数。这两个数可能是多少？ 1. 两个数的最大公因数是3，最小公倍数是90，其中一个数是15，另一个数是多少？ 答案专区（请勿提前查看） 题型一：概念辨析类 基础层答案 1. 56是7和8的倍数，7和8是56的因数。 1. 52是13和4的倍数，13和4是52的因数。 1. 1；它本身。 1. 它本身；没有。 提高层答案 1. 15。 1. 8,16,32。 1. 最小12，最大48。 拓展层答案 1. 12（因数和1+2+3+4+6+12=28，且12是4的倍数）。 1. 最大90，最小18。 1. 7。 题型二：倍数特征类 基础层答案 1. 同时2和5倍数：60,80,100,120；同时3和5倍数：45,60,75,120。 1. 同时2和3倍数：24,36,48,54,72,96；同时3和4倍数：24,36,48,72,96。 1. 例如120,150,180（答案不唯一）。 1. 最小三位数120，最大两位数90。 提高层答案 1. 最小3150，最大3750。 1. 最小12030，最大12930。 1. 702,732,762,792。 拓展层答案 1. 280。 1. 例如705（百位7、十位0、个位5，数字和12是3倍数，且个位5是5倍数）。其他还有615,525,435,345,255,165。 1. 最小7194（千位7，百位1，十位9，个位4，数字和21是3倍数，个位偶数）。 题型三：公因数与公倍数应用类 基础层答案 1. 最大公因数9，最小公倍数54。 1. 最大公因数5，最小公倍数60。 1. 最大公因数7，最小公倍数42。 1. 最大公因数16，最小公倍数96。 提高层答案 1. 最多12个小朋友，每人苹果3个，梨4个。 1. 边长至少36厘米，需要12张。 1. 至少106个。 拓展层答案 1. (4,48)或(12,16)（注意4是合数）。 1. 另一个数是18。 题型四：质数合数与分解质因数类 基础层答案 1. 36=2×2×3×3。 1. 54=2×3×3×3。 1. 105=3×5×7。 1. 72=2×2×2×3×3。 提高层答案 1. 周长44厘米。 1. 周长48厘米。 拓展层答案 1. 15或30（b=2时a+c=28得和30；b=7时a+c=8得和15）。 1. 15。 1. 31或44（a=3时b+c=28得31；a=2时b+c=42得44）。 综合运用答案 例题13变式答案 1. 3+4+8=15是5倍数，是幸运数。 1. 5+6+0=11不是，不是幸运数。 1. 例如235（答案不唯一）。 1. 96。 例题14变式答案 1. 6=1+2+3，是完美数。 1. 28=1+2+4+7+14，是完美数。 1. 28。 例题15变式答案 1. 256→652-256=396→963-369=594→954-459=495。 1. 123→321-123=198→981-189=792→972-279=693→963-369=594→954-459=495。 1. 981→981-189=792→972-279=693→963-369=594→954-459=495。每一步的结果各位数字和是9的倍数，所以差是9的倍数。 例题16变式答案 1. 9,18,36。 1. 5,10,15,30。 1. 24,72。 1. 8,16。 例题17变式答案 1. 90。 1. 510。 1. 最小24，最大78（78的十位7是质数，个位8是合数，且78是6的倍数；96的十位9不是质数，故排除）。 例题18变式答案 1. (15,20)（5和60中5不是合数，排除）。 1. 18。 学科网（北京）股份有限公司 $