2026年北京市密云区部分学校中考二模九年级数学试卷

数学试卷 姓名 准考证号 考场号 座位号 1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。 考 2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。 生 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 须 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 知 5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1.如图是某几何体的展开图，该几何体是 (A) (B) (C) (D) 2.2025年，国产动画电影收获了一份令人欣喜的成绩单：全年电影票房排名前十位中，动画电影占4席，动 画电影票房突破250亿元.将250亿用科学记数法表示应为 (A)2.5×10 (B)2.5×108 (C)2.5×10° (D)2.5×100 3.实数4，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 A B 二3a0 3 (A)b-a<0 (B)ab>O (C)a+3>0 (D)-b>-3 4.若一个正n边形的一个内角的度数是其一个外角度数的3.5倍，则n的值为 (A)8 (B)9 (C)10 (D)12 5.若关于x的一元二次方程x2+6x-3m=0有两个相等的实数根，则m的值为 (A)-3 (B)3 (C)-1 (D)1 6.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次向上的面不相同的概率是 (子 (号 7.如图，P是∠AOB一边上的点.按以下步骤作图： (1)以点O为圆心，任意长为半径画弧交∠AOB的两边于点M,N; (2)分别以点M,N为圆心，大于MW长为半径画弧，两弧交于点C,作射线OC: (3)以点P为圆心，P0长为半径画弧，交射线OC于点Q,连接PQ,得到PQ∥OB. 0 B 结合上述作图方法，在不添加其他辅助线和字母的情况下，证明PQ∥OB的过程中一定不会用到的依 据是 (A)等腰三角形两底角相等 (B)内错角相等，两直线平行 (C)角平分线上的点到角两边的距离相等 (D)同位角相等，两直线平行 8.如图，在平面直角坐标系x0y中，A是函数y=4(x>0)图象上的动点，点B在x轴上，0A=AB,以0A,0B 为边的平行四边形AOBC的边BC交该函数的图象于点D,连接AD,OD. 给出下面四个结论： ①四边形AOBC可能是菱形； ②△A0D的面积始终等于4； ③点D可能是BC的中点； ④△AOD不可能是直角三角形 上述结论中，所有正确结论的序号是 (A)①② (B)①③ (C)②④ (D)①④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9若代数式4)有意义，则实数：的取值范国为 10.分解因式：xy2-16x= 1.方程2=3的解为 x-4x-3 12.2025年12月4日是我国第十二个国家宪法日.某中学团委在学校党支部的支持下，对九年级500名学 生进行了“法治知识”测试，并随机抽取了10名学生的测试成绩（满分100分），得到如下数据： 6578848687 9588829085 当测试成绩在85分及以上时可评为优秀，估计九年级500名学生中这次测试成绩可评为优秀的人数 是 13.能说明命题“若√a>√6，则a>b”是假命题的一组实数a,b的值为a= ,b= 14.当把一个篮球放人静止的水中时，篮球静止后会漂浮在水面上，且有一部分在水面之下.如图，可以将篮 球的竖直横截面看作半径为12cm的⊙O,水面与篮球接触面形成的弦长为AB,测得篮球露出水面的高 度CD为16cm,CD经过圆心O,且垂直于AB,则弦长AB为 cm 篮球竖直横截面 =水面 15.如图，在边长为4的正方形ABCD外有一点P,且△PCD是等边三角形，则△PAC的面积为 B A D 16.透明盒子中有A,B,C,D四个圆形盖子，现在需要将它们全部取出，要求每次只能取一个，将第一个取出 的盖子扣在桌面上，之后取出的盖子依次扣在前一个取出的盖子上面（不考虑盖子厚度）.每个盖子的直 径如下表： 盖子 A B C D 直径(cm) 1 2 3 4 (1)当四个盖子被全部取出后，若没有一个盖子被罩住，则这四个盖子取出的先后顺序为 ;(将 字母排序) (2)当四个盖子被全部取出后，恰好有两个盖子被罩住的顺序组合有 种 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6 分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程， 17.计算：()'+1-51-√18+6sin45 2-3x<3-4x, 18.解不等式组： 4x+ 5>-1. 19.已知x4y=0,求代数式3+6y+3 的值。 4x-2(x-y) 20.如图，在△ABC中，点D在AB上，CD⊥BC于点C,过点A作BC,CD的平行线，分别交CD,BC的延长线 于点E,F. (1)求证：四边形AECF是矩形； (2)若AC平分∠BA,aBAC=-,AF=4,求CD的长 21在平面直角坐标系0中，函数y子与y=+3交于点P(m,1。 (1)求k,m的值： (2)当x<2时，对于x的每一个值，函数y=2x+n的值小于函数y=x+3的值，直接写出n的取值范围. 22.毛毡包因为实用美观，结实耐用，制作简单，广受欢迎.如图1，是一款形如长方体的毛毡包，其长、宽、高 之比为7：3：5，包带长为51cm,宽为3.5cm(包带缝合处忽略不计)，该款毛毡包在制作时，要为需缝合 走线的边预留0.5cm宽距，包口四个边无需走线缝合，走线宽距不包含在包体的长宽高内.现有一块长 比宽多28cm的长方形毛毡料，因保存不当，部分受到污损，为了避免浪费，将未污损部分进行裁剪，恰 好能制作一个上述尺寸的毛毡包，裁剪方式如图2（虚线为缝合时的走线位置），求该毛毡包的长、宽、高 分别是多少？ 图1 图2 23.某校为探索美术创作能力培养模式，在八年级的两个班开展不同的美术教学模式，其中，一班仅开冷 规美术课堂教学，二班则增设“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓展活动.一学撕* 后，为了了解两种美术教学模式的效果，学校对八年级一班和二班各40名学生的美术创作能力进行评 分（满分10分，评分均为整数） 数据收集与整理 一班和二班学生美术创作能力评分的数据整理如下表： 评分（分） 6 7 8 9 10 一班人数 4 11 ▲ 10 3 二班人数 13 数据分析与运用 为了更深入地对比两种美术教学模式下学生美术创作能力的情况，学校对这两个班学生评分数据的众 数、中位数、平均数、方差（方差保留3位小数）进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 m 8 7.925 1.219 二班 8 8 0.978 (1)表中m的值为 ,n的值为 (2)对于这次评分，成绩比较整齐的是 班（填“一”或“二”）； (3)在第二学期，八年级一班的美术教学也增设了“校园写生+创意手工制作+美术作品展览”的趣味拓 展活动，学期结束后再次对一班的美术创作能力进行评分（满分10分，评分均为整数），并对评分数据进 行整理与分析，若已知全班同学评分的最低分为7分，最高分为10分，中位数为8.5分，众数为9分，若 要使平均数尽可能大，则8分和10分的同学共有 人 24.如图，四边形ABCD内接于⊙0，D是AC的中点，连接OA,OD (1)求证：∠AOD=∠B: (2)延长AD,BC交于点M,过点D作⊙0的切线交CM于点N.若∠BAD=90°，AD=6,CN=3,求MN的长 25.某路段路灯系统记录了当路灯开启后，经过t分钟后该路段的背景照度y,(自然光)和路灯照度y2(人工 光)的相关数据，部分数据如下表： 时间t/分钟 0 20 40 60 80 100 120 背景照度y,/勒克斯 15 13 10 7 4 2 路灯照度y,/勒克斯 3 9 15 20 24 26 26 (1)结合表中数据，当y2=6y1时，经过的时间为 分钟； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画y1与t,y2与t之间的关系.在下面的平面直角坐标系中，分别画 出y1与t,y2与t的函数图象； ↑y勒克斯 30 2 24 22 20 18 6 14 6 4 2 020406080100120140t/分钟 (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①若规定“有效工作”需满足y,+y2≥25，则路灯从开启后，经过 分钟开始“有效工作”： ②路灯启动时间可通过人为控制调整，在①的条件下，将现在记录的路灯开启时间记为。，有效工作开 始的时间记为1，为减少能耗需要延迟路灯开启时间，使得有效工作开始时间较，推迟半小时，则路灯 开启时间较t。应推迟 分钟（结果保留整数）. 26.在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2-2ax(a≠0). (1)若点A(1,-1)在抛物线上， ①求a的值； ②过点P(0,t)且与y轴垂直的直线交抛物线于E,F两点，且点E为线段PF的中点，求t的值； (2)点B(1-2a,y,),C(-1,2)是抛物线上的两点，且y>y2若抛物线在点B,C之间的部分（含点B,C) 上存在两点M(x1,m),N(x2,n)(点M,N不重合)，使得m=n,求a的取值范围. 27.已知，∠AOB=60°，点C在边OB上，P是边OA上一动点，且OP>0C,连接CP,点E在线段CP上（不与 端点重合)，连接OE并延长，将射线OE绕点0逆时针旋转60得到射线0E',并取射线OE'上一点为F, 连接FC交边OA于点D. (1)依题意补全题图1； (2)若∠OFC=∠POE,判断△OCD的形状，并证明； (3)在(2)的条件下，若点E为线段CP的中点，探究DF,DP与OC的数量关系，并证明. A A 0. C B 图1 备用图 28.对于平面内任意一点P,作点P关于直线1的对称点P,和关于直线L2的对称点P2,连接PP2,则称直 线PP2为点P关于，和L2的“镜像线” (1)点M(1,1)关于x轴和y轴的“镜像线”的解析式为 (2)已知N是直线y=+1上的动点，当点N关于x轴和y轴的“镜像线"与直线)=子+1平行时。 求点N的坐标； (3)如图，点A(a,-1)位于第四象限，直线I的解析式为y=x(0<k<1),记点A关于y轴和直线l的“镜 像线”与直线l相交所得的较小的夹角为a.若30°≤a<45°，直接写出α的取值范围。 3-2-10123x数 一、选择题（共16分，每题2分） 快速对答案：1-5 BDCBA6-8BCA 1.B【解析】展开图中有两个三角形，三个四边形， 是三棱柱的组成，这个几何体是三棱柱， 2.D【解析】250亿=250x10=2.5×10 3.C【解析】由题图可知-3<a<0,b>3,a<b,a<0,b >0,1al<3,-b<-3,b-a>0,.ab<0,a+3>0,故C 正确. 4.B【解析】设这个正n边形的一个外角的度数为 x,则一个内角的度数是3.5x,3.5x+x=180°，.x 40°，即这个正n边形的一个外角为40°，，正n边 形的外角和为360°，且每个外角相等，.n的值为 360°÷40°=9. 5.A【解析】根据题意，可得62-4×1×(-3m)=0,解 得m=-3, 6.B【解析】根据题意，画树状图如解图， 开始 第一次朝上的面 正面 反面 第二次朝上的面正面反面正面反面 第6题解图 或列表如下： 第一次 第二次 正 反 正 正，正 反，正 反 正，反 反，反 由树状图或列表可知，共有4种等可能的情况，其 中两次向上的面不相同的情况有2种，.P(两次向 21 上的面不相同)=42 7.C【解析】根据作图可知0C是∠AOB的平分线， P0=PQ,∠AOC=∠B0C(角平分线的定义)， ∠P0Q=∠PQ0(等腰三角形两底角相等)，①： ∠PQ0=∠B0C,∴.PQ∥OB(内错角相等，两直线平 行)；②由题意易得∠AOB=2∠A0C,∠APQ= ∠P0Q+∠PQ0,(三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角之和)，∴.∠APQ=2∠AOC,.∠AOB =∠APQ,∴.PQ∥OB(同位角相等，两直线平行)；图 中没有出现角平分线上的点到角两边的距离，故证 明过程中一定不会用到的依据是角平分线上的点 到角两边的距离相等。 子 8.A 回解题思路 ①OA=AB,.△AOB是等腰三角形，：点A是函 4 数y=—(x>0)图象上的动点，.∠AOB可能等于 60°，当∠AOB=60时，△AOB是等边三角形，.OA =OB,∴.平行四边形AOBC是菱形，故①正确； ②：四边形A0BC是平行四边形，六0ABC总 SA4005S640a 平行线间的距离处处相等，△AOD和△AOB为同底等高 的三角形 如解图①，过点A作AE⊥x轴于点E,,OA=AB,∴. 4 0B=BE,Saa=2S0E点A在函数y( 0)的图象上，Saoe=2 k1=2×4=2,.Sa40m7 S△A0B=2S△A0E=4,故②正确； ③如解图@，假设点D是BC的中点则BC2 BD 1 通过中点的性盾推导点D的坐标，验证是否符合函数解 析式 OE BF 第8题解图① 过点D作DF⊥x轴于点F,:四边形AOBC是平行 四边形，0A/BC,0A=BC,∠A0E=∠DBF,O D BD 1 =BC2AE⊥x轴，DF⊥x轴，∠AEO=∠DFB =0i△40a0B,83-0设点 A的坐标为(a,(a0)0E=a,4证=吾B照 =0B=a,BF-=20B=受，DF=34B=20P=0E 8服8即a号-点D的维标为空子。 将点D的横坐标代入y=兰中，得y。后 =88≠2 点D不在函数y=4(x>0)的图象上， 点的坐标不满足函数解析式，则点不在函数图来上，反 之在函教图象上 ∴点D不可能是BC的中点，故③错误； 14.162【解析】如解图，连接A0,:⊙0的半径为 ④在△AOD中，∠AOD不可能为直角，在点A运动 12cm,∴.A0=C0=12cm,CD=16cm,∴.OD= 的过程中，∠OAD可能为直角，如解图②，当OA在 CD-C0=4(cm),:CD经过圆心O,且垂直于AB, 直线y=x下方时，∠OAD为钝角，如解图③，当OD ∴在Rt△AOD中，由勾股定理得AD=√AO2-OD 在直线y=x上方时，∠AD0为钝角，则∠OAD是锐 角，∴∠OAD可能为直角，即△AOD可能为直角三角 =82(cm),∴.AB=2AD=162(cm). 形，故④借误，综上所述，正确的结论序号为①②， 篮球竖直横截面 B 水面 第14题解图 15.4+45【解析】如解图，过点P作PE⊥DC于点 图② 图③ E,:四边形ABCD是边长为4的正方形，.AD= 第8题解图 CD=4,∠ADC=90°，：△PCD是等边三角形，PE⊥ 二、填空题（共16分，每题2分） 9.x≠9【解析】根据题意，可知x-9≠0，解得x≠9. GDP0=CD=4,DE=CD=2,在R△PDE中， 10.x(y+4)(y-4)【解析】xy2-16x=x(y2-16)=x(y PE=√PD2-DE=25,.S△PMc=S△Ac+SaPc +4)(y-4). 11.x=6【解析】方程两边同时乘以(x-4)(x-3),得 2AD CD+2CD PE-TAD.DE-1 21 ×4× 2 2(x-3)=3(x-4),解得x=6,检验：将x=6代人(x 4+ ×4x2w3- 1 -4)(x-3)中，(x-4)(x-3)≠0，.x=6是分式方 2 2X4x2=4+4月 程的解 B 12.300【解析】从九年级随机抽取的10名学生的测 试成绩中，在85分及以上的有6个，估计九年 级500人中，这次成绩可评为优秀的人数是500× D 第15题解图 10*300 16.(1)DCBA:(2)11【解析】(1)：没有一个盖子被 13.-3,1(答案不唯一）【解析】命题“若√a>√， 罩住，“前一个盖子的直径大于后一个盖子的直 径，故取出的先后顺序为DCBA; 则a>b”,.取a=-3,b=1,则√a=√（-3)了=3， (2):若最后取出4cm的D盖子，则有A,B,C三 =√=1，满足a>,但-3<1，即a<b, 个盖子都能被罩住；D盖子取出顺序不能是第 ∴a>b不成立，故命题为假命题 四个，故可以为第一、第二或第三个.①当第一个 《新考法解读教育部发布的《关于加强初中学 取出D盖子时，第二个无论取哪个盖子都不能罩 业水平考试命题工作的意见》中明确指出：提高开 住D盖子，因为有两个盖子被罩住，故C盖子应该 放性试题比例.近年的中考试题中开放性试题的 在最后取出，第二个和第三个无论是先取A还是 比例越来越高，这类试题主要的考查形式有：条件 先取B,这两个盖子都能被C罩住，即有2种情 开放、过程开放和结论开放，其中2025年山西、湖 况：DABC,DBAC;②当第二个取出D盖子时，第一 北、武汉、广东等地均有考查，其中，条件开放：主 个盖子无论取哪个盖子，都能被D罩住，但第三个 要有①添加/补充条件类试题；②选择条件；③组 无论取哪个盖子都不能罩住D,故需要满足第四 合多选，结论开放：主要有①写出满足条件的值或 个取出的盖子能罩住第三个取出的盖子，故有3 表达式；②提出合理化的建议、给出合理化的评 种情况：ADBC,BDAC,CDAB;③当第三个取出D 价、制定合理化的标准，均在统计题中考查。 盖子时，前两次无论取哪两个盖子，都能被D罩 住，即有6种情况：ABDC,ACDB,BCDA,BADC, CADB,CBDA.综上所述，恰好有两个盖子被罩住 的顺序共有2+3+6=11（种）. 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20题6 分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6 分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分) 17.解：原式=4+5-32+32…(4分)》 =9.… …(5分)》 2-3x<3-4x①， 18.解：令4x+ 5>-1②， 解不等式①，得x<1,…(2分) 解不等式②，得x>-2,… (4分) .不等式组的解集为-2<x<1. …(5分)》 19.解：原式= (x2+2xy+y2) …(2分)》 4x-2x+2y 3(x+y)2 2(x+y) …(3分) 3(x+y) …(4分） 2 x-4+y=0, .x+y=4, 原武 =6.…(5分) 20.(1)证明：由题意易得AE∥CF,AF∥CE, .四边形AECF是平行四边形，…(2分)》 CD⊥BC, .∴.∠ECF=90°， .四边形AECF是矩形；…(3分) (2)解法 解：，AC平分∠BAF, ∴.∠BAC=∠CAF, :四边形AECF是矩形， ,∠F=∠E=90°，AE=CF,CE=AF, 在R△ACF中，tanLCAF=-tan LBAC=】 2,AF=4, CF=2, .AE=CF=2, …(4分)） .AF//CE, .∠ACE=∠CAF, .∠ACE=∠BAC, .CD=AD,…(5分)》 设CD=AD=x,则DE=4-x, 在Rt△AED中，(4-x)2+22=x2, 5 解得x= :CD=2 4+卡0++**…4中*4*… (6分) 解法二 解：如解图，过点D作DG⊥AC于点G, 同理解法一得AD=CD,CF=2,…(4分) AG=CG-AG, 在Rt△ACF中，AC=√AF+CF=25, AG=√5，…(5分)》 在Rt△DAG中，tan LDAG=2 5 .DG= 2 CD=AD=DC+AC=5 …(6分) 第20题解图 .1 21.解：(1)将点P(m,1)代入y=2, 得m=2, …(1分) 点P的坐标为(2,1)， 将点P(2,1)代人y=x+3, 得2k+3=1, 解得k=-1, k的值为-1，m的值为2；…(3分) (2)n≤-3. …(5分) 【解法提示】由(1)得点P的坐标为(2,1)，将点P (2,1)代人y=2x+n,得1=2x2+n,解得n=-3,如解 图，当x<2时，对于x的每一个值，函数y=2x+n的 值小于函数y=-x+3的值，n的取值范围为n≤-3. y=2x-3 P(2,1) y=-x+3 第21题解图 22.解：设这款毛毡包的长、宽、高分别是7xcm, 3xcm,5xcm,…(1分) 根据题意，得3.5×2+0.5×5+7x+5x+7x=28+5x+ 0.5+51,…(3分) 解得x=5.…(4分) 7x=35,3x=15,5x=25.…(5分)》 答：该毛毡包的长、宽、高分别是35cm,15cm, 25cm…(6分) 23.解：(1)8；8.35；…(2分)》 【解法提示】小，一班和二班各40名学生，一班得 分为8分的人数为40-4-11-10-3=12；二班得分 为8分的人数为40-1-7-13-5=14；一班得分为8 分的人数为12，是出现次数最多的，∴.m=8;二班 1 的平均分n=40×(6x1+7×7+8×14+9×13+10x5) =8.35. (2)二； (3分) 【解法提示】1.219>0.978，.一班成绩的方差 大于二班成绩的方差，“，二班的成绩比较整齐 (3)19.…(5分） 【解法提示】由题意知一班总人数为40，，中位数 为8.5分，众数为9分，.将所有同学的成绩按从 大到小（或从小到大）的顺序排列后，第21,20（或 20,21)名同学的成绩只能为8分和9分，∴.评分 为7分和8分的总人数为20，评分为9分和10分 的总人数为20，又，众数为9，若要使平均数尽可 能大，则评分10分的学生人数应尽可能多，∴评 分为9分的人数为11，评分为10分的人数为9， 则评分为7分和8分的人数均为10，∴.要使平均 数尽可能大，则8分和10分的同学共有19人 24.(1)证明：如解图①，连接0C, ∠B=。∠A0C,…(1分) 2 :D是AC的中点， .AD=CD. ·∠A0D=∠C0D=,∠AOC, ∠A0D=∠B;…(2分） 第24题解图① (2)解法一 解：如解图②，补全图形，连接AC交OD于点H, 连接0C, .AD=CD,AD=6, ∴.CD=AD=6, ∠BAD=90°， ∴，∠BCD=90°， ∴.∠NCD=90°， 在Rt△NCD中，CD=6,CN=3, .由勾股定理得DN=35,…(3分) 由(1)知∠A0D=∠C0D, ..0A=OC, 1 ÷OD⊥AC,AH=CH=2AC, ∴.∠CHD=90°， :DN是⊙O的切线， ∴.∠ND0=90°， .∴.∠CHD+∠ND0=180°， ∴.DNAC, ∴.∠DCH=∠CDN, 又：∠CHD=∠DCN=90°， ∴.△CDH∽△DNC, 0器 .CD2=DN·HC, 即62=35·HC, 125 ∴HC= ∴.AC=2HC= 24 5 (5分) AC∥DN ∴.△MDN∽△MAC, MN DN MC AC' MN DN ·MN+CNAC MN3/55 MN+32458' 解得MN=5.…(6分) CN 第24题解图② 解法二 解：如解图③，补全图形，连接BD,过点N作NP⊥ DM于点P, ∠BAD=90° ∴.BD是⊙O的直径， .∠BCD=90°， .AD=CD,AD=6, .AB=CB,CD=AD=6, ∴.∠ADB=∠CDB,AB=BC :DN是⊙O的切线， .∴.∠BDN=90° .∠CDB+∠CDN=90°，∠ADB+∠NDM=90°， ∴.∠CDN=∠NDM, .DW是∠CDM的平分线，…(4分) ∠BCD=90°， .CN⊥CD,∠CBD+∠CDB=90°， .∴.∠CDN=∠CBD ∴.tan∠CDW=tan∠CBD, CN CD ·cDcB 即3、6 6 CB' .CB=12, .AB=BC=12,…(5分) 又…PN⊥DM, ∴.PN=CN=3,∠NPM=90°， ∴.∠NPM=∠BAM, 又.∠M=∠M, ∴.△PMN∽△AMB, PN MN ·ABMB 品np MN 解得MN=5.…(6分) 图③ 图④ 第24题解图 解法三 解：如解图④，补全图形，连接BD, AD=CD,AD=6, .CD=AD=6,∠ABD=∠CBD, ∠BAD=90 .BD是⊙O的直径，∠BCD=90°， ∴.∠NCD=90°， ∴.∠CDN+∠DNC=90° DN是⊙0的切线，∴.∠NDB=90°， ∴.∠CDN+∠CDB=90° .∠DNC=∠CDB, 又：∠NCD=∠BCD=90°， ·.△CND∽△CDB. .DN CN 3 1 BDCD62,…(4分) ∠NDB=90°，∴.∠MDN+∠ADB=90°， :∠BAD=90°，.∠ABD+LADB=90°， ∴.∠ABD=∠MDN. ∴.∠CBD=∠MDN, 又.∠M=∠M, ∴.△MND△MDB MN-DN,即MN- 六MDBD,MD2' ,MD=2MW,…(5分) 在Rt△CDM中，由勾股定理得CD2+CM=DM, ∴.62+(3+MW)2=(2MN)2, 解得MN=5.… (6分) 25. 解：(1)80；…(1分) 【解法提示】由表中数据可得经过80分钟时， y1=4,y2=24,即y2=6y1 (2)画函数图象如解图： …(3分)》 y/勒克斯 30 24 22 20 约58,19.5 18 16 14 12 10 6 药70,3.4 y 020406080100120140t/分钟 第25题解图 (3)①40；…(4分) 【解法提示】如解图，画出y,+y2关于。的函数图 象，经过40分钟时，y1=10,y2=15,即y1+y2=25, 根据图象，可知当≥40时，y1+y2≥25，.路灯从 开启后，经过40分钟开始“有效工作” ②12.（答案不唯一)… (5分) 【解法提示】由题意得有效工作开始时间推迟半小 时，即相较时间。，经过70分钟为有效工作开始 时间，如解图，则此时背景照度y,约为5.4，即路 灯照度y2约为25-5.4=19.6.路灯开启后需经 过约58分钟路灯照度y2约为19.6，.延迟后路 灯开启时间约推迟了70-58=12（分）. 26.解：(1)①.点A(1,-1)在抛物线y=ax2-2ax(a≠ 0)上， .-1=a-2a, a=1;… (1分) ②由①可得抛物线的解析式为y=x2-2x, 当t>0时，如解图①，点E不在线段PF上，故不 成立； 第26题解图① 当=0时，点E与点P重合，也不成立；… …(2分) 当t<0时，如解图②， 第26题解图② :点E为线段PF的中点，且P(O,), “可设E(xo,t),则F(2xo,), ∴x6-2x0=(2x0)2-2×2x0, 2 解得o=了或o=0(舍去)， 28 3=9 …(3分) (2) 尼解题思路 y=ax2-2ax(a≠0)， 对称轴为直线x=1,… …(4分) （1)当a>0时，抛物线开口向上，当<L时X随x 的增大而减小 即在对称轴左侧，y随x的增大而减小 此时，12a<女 由a>0可得2a>0,故1藏去一个正裁的结果小于1. .点B(1-2a,y1)在对称轴左侧， -1<1, ∴.点C(-1,y2)也在对称轴左侧，如解图③， 0 第26题解图③ y1>y2, 1-2a<L 在对称轴左侧，y随x的增大而藏小，纵坐标大的横坐 标反而小 ∴.a>1; 此时，抛物线在点B,C之间的部分（含点BC)上 不存在两点M(1:m),N(2:n),使得m=n; … …(5分) 在对称轴同侧的西点之间的部分不可能存在纵坐标相 等的情况 (ⅱ)当a<0时，抛物线开口向下，当x<1时，y随x 的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小； 此时，1-2a心1 由a<0可得2a<0,枚1减去一个负鬟的结果大于1. ∴点B(1-2a,y1)在对称轴右侧， -1<1, .点C(-1,y2)在对称轴左侧， 如解图④， 第26题解图④ 点C关于对称轴的对称点C(3,y2)在对称轴 右侧， 关于抛物线对称轴对称两点到对称轴的距高相等， 且纵坐标相等 :y1>y2, ∴.1-2a<3 因为点C和点B在对称轴同侧，故只需比较点C和点 B的横坐标。 .a>-1, 此时抛物线在点B,C之间的部分（含点B,C)上 存在两点M(x1,m),N(x2:n),使得m=n: 当点B,C分别位于对称轴异侧时，在抛物线上点B,C 之间的部分关千对称轴对称的对应点均满足m= 综上所述，a的取值范围为-1<a<0.…(6分) 27.解：(1)补全题图如解图①：（答案不唯一） …(1分） P E D 0 B 第27题解图① (2)△0CD为等边三角形；…(2分) 证明如下： 由旋转的性质可知∠E0F=60°， .∠D0F+∠POE=60°， .·∠OFC=∠POE .∠D0F+∠0FC=60° ∴.∠ODC=∠D0F+∠0FC=60°， 又.∠A0C=60°， △0CD为等边三角形；…(3分) (3)DF=0C+DP. （4分) 证明过程如下： 如解图②，过点P作PG∥OC交射线OE于点G, E 第27题解图② .∠GPE=∠OCE,∠PGE=∠COE,∠OPG+ ∠AOB=180°， :∠A0B=60°， .∠0PG=120°， :点E为线段CP的中点，∴.PE=CE, 在△PEG和△CEO中， LGPE=∠OCE PE=CE LPEG=∠CEO ∴.△PEC≌△CEO(ASA), ..PC=OC, …(5分)》 由(2)可知△OCD为等边三角形， ∴.0C=D0,∠0DC=60° .D0=PG,∠FD0=180°-∠0DC=120°， ∴.∠FD0=∠OPG, :∠F0E=∠P0C=60°， ∴.∠FOD=∠COE, .∠PGE=∠COE, .∠F0D=∠0GP,…(6分) 在△FOD和△OGP中， I∠FOD=∠OGP DO=PG ∠FDO=∠OPG .△FOD≌△OGP(ASA), ∴.FD=OP, OP=OD+DP, .DF=0C+DP.…(7分) 28. 解：(1)y=-x;…(2分) 【解法提示】如解图①，点M关于x轴的对称点记 为点M1,点M关于y轴的对称点记为M2,则点 M(1,1)关于x轴的对称点为M1(1,-1),关于y 轴的对称点为M2(-1,1),设M,M2所在直线的解 析式为y=mx+b(m≠0)，将M1(1,-1),M2(-1,1) 代入，得 1=m解得1MM,所在直 1=-m+b, b=0, 线的解析式为y=-x,即点M(1,1)关于x轴和y 轴的“镜像线”的解析式为y=-x。 1M21 0 3-21 123x -1 M -2 -3 第28题解图① (2):N是直线y=7+1上的动点。 设点N的坐标为(x,2,+1), 1 记点N关于x轴的对称点为N,关于y轴的对称 点为N2, 点N关于x轴的对称点N,的坐标为(x,2。 1 1),关于y轴的对称点N,的坐标为(-x,2,+ 1 1),…(3分) +(-)=0,2-14(2+1)=0, .点N,和点N2的横坐标、纵坐标均互为相反数， 点N1和点N2关于原点对称， 直线NN2经过原点，即点N关于x轴和y轴的 “镜像线”经过原点. 如解图②，：点N关于x轴和y轴的“镜像线”与 直线y=之+1平行， 之直线的解析式为=子，…4分) 1 将点N(x,2-1)代入 2-1= 2,解得x=1, 1 1 六2*+1 2, 点N的坐标为(1，宁： …(5分) y y=-2 3 3-21 机23x -3 第28题解图② (3)1<a≤5.…(7分) 【解法提示】如解图③，点A关于y轴的对称点记 为点A,点A关于直线1的对称点记为点A2,作直 线A,A2,则直线A,A2为点A关于y轴和直线I的 “镜像线”，记直线A,A2与直线I的交点为B,则 ∠A,B0=a,连接AA2,由对称性可得直线I为AA 的垂直平分线，∴.直线11A42,∠BA2A=90°- ∠A2B0=90°-a.连接OA,0A1,点A,点A1关于 y轴对称，由对称性可得OA=OA1.连接OA2,直 线l的解析式为y=kx(0<k<1),∴.直线I经过原点 O,:点A,点A2关于直线1对称，∴.OA=0A2, .0A=0A,=0A2,.点A,A1,A2在以点0为圆心， 以OA长为半径的圆上，记⊙0与y轴正半轴交于 点C,连接A,C,AC,由圆周角定理可得∠A,AA= ∠A,CA,即∠A,CA=∠BA2A=90°-a,易得∠A,OA =2∠A,CA=180°-2a.连接AA1,交y轴于点D, OA=OA1,.∠A,OD=∠AOD,·.∠AOD= ∠A,0A=2(180P-2a)=90-过点A作A证1 x轴于点E,∠D0E=90°，.∠A0E=90°- ∠AOD=a,∴.∠AOE=∠A2B0=a,∴.无论k在0<k <1范围内取何值，都存在∠AOE=∠AB0=a, 点A的坐标为(a,-1),点A在第四象限， 0,∴.AE=1,OE=a.在Rt△AOE中，tan∠AOE= tana= E-1,当30°≤a<45时，ana随a的增 OE a 而增大，m30°≤ama<am450,即号≤2 ∴1<a≤5，即30°≤a<45时，a的取值范围是1< a≤5. -3到 第28题解图③