2026年内蒙古自治区中考数学二次函数与几何图形综合题专项训练（二）

中考数学压轴题·每日两题专项突破 数学学科中考备考资料 内蒙古自治区中考数学压轴题·专项突破方法总结 核心考点： 二次函数解析式、点坐标、线段长度、面积问题、特殊三角形（等腰、直角）、平行四边形、相似三角形、动点问题、最值问题。 解题通法： 1.求解析式：利用待定系数法，根据交点、顶点、对称轴设表达式。 2.点坐标表示：设横坐标，表示纵坐标，用坐标表示线段长度。 3.面积处理：割补法、铅锤法、底乘高、坐标差计算。 4.存在性问题：分类讨论（等腰按腰分、直角按直角顶点分、平行四边形按对角线分）。 5.最值问题：配方法、函数单调性、几何最短路径。 6.数形结合：画图分析，先定位置，再列方程求解。 本专题专为内蒙古中考数学命制，聚焦试卷压轴题型，精选二次函数与几何综合核心考法，每套含2道典型压轴题，覆盖高频考点与命题趋势。题目难度贴合中考实际，注重思路引导与方法提炼，适合中考二轮复习、压轴突破与培优训练使用。 内蒙古中考压轴题专练（一）·二次函数与几何综合 建议用时：30分钟 满分：24分（每题12分） 压轴题题型一：二次函数综合 1.本小题分【问题背景】我国利用“大数据农业”思维构建标准化、智能化育种体系，将数据采集、智能温控等信息技术引入农业生产，实现标准化管理，提高农业生产的质量和效益． 【素材】如图，某种植基地的大棚的横截面是由抛物线和矩形构成，已知矩形长米，宽米抛物线最高点到地面的距离为米． 【素材】种植某农作物时，每棵农作物高大约，为了保证生长空间，相邻两棵农作物种植点之间间隔，农作物顶部不触碰大棚，且种植后农作物成轴对称分布． 【解决问题】 如图，为中点，以所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，通过素材提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的函数表达式无需写出自变量的取值范围； 在图的平面直角坐标系中，在不影响农作物生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围，并求出最前排符合所有种植条件的农作物最大数量； 为了安全，需安装“支撑架”对大棚进行加固，“支撑架”由三根支架构成，其中，垂直于地面，平行于地面，且点，均在抛物线上经考察，当“支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强，此时为最安全的状态请通过计算说明最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是多少米． 压轴题题型二：几何图形综合 2.本小题分 结合图形，解答下列各题： 发现：如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：≌． 探究：如图，在矩形中，为边上一点，且，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长； 在的条件下求的长． 内蒙古中考压轴题专练（二）·二次函数与几何综合 建议用时：30分钟 满分：24分（每题12分） 压轴题题型一：二次函数综合 1.本小题分 洒水车是城市绿化的主力军如图，洒水车浇水时喷出水的轨迹可以近似为抛物线数学兴趣小组成员为了解洒水车要如何控制才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带，通过建立数学模型进行探索． 如图，建立平面直角坐标系，喷水口离地面竖直高度为米可以把洒水车喷出的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，喷出水的最大射程为米把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米竖直高度米，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示小组成员通过进一步分析发现：喷头喷出的水流的下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的． 【问题解决】 直接写出点，的坐标； 求上边缘抛物线的函数解析式，下边缘抛物线的解析式及与轴交点的坐标； 若要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内，求的取值范围． 压轴题题型二：几何图形综合 2.本小题分 如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点延长交于点，连接． 猜想证明： 四边形的形状是______； 如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 如图，若，，求的长． 内蒙古中考压轴题专练（一）·二次函数与几何综合 数 学 学 科 评 分 标 准 1.解：由题意，，，， 设， 把，代入得，解得， 抛物线的函数表达式...................3分 当时， 解得， ，； 相邻两棵农作物种植点之间间隔，农作物顶部不触碰大棚，且种植后农作物成轴对称分布， 在距离轴的两侧开始种植，最前排可种植棵...................8分 平行于地面，且点，均在抛物线上， ，关于轴对称， ，垂直于地面， ，关于轴对称，， “支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强， ，， 设，则， 解得或舍去，...................10分 ， ，． 故最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是米．...................12分 【考点解析】 根据题意，求出，，的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； 令，求出的值，进而求出种植点的横坐标的取值范围，由题意可得在距离轴的两侧开始种植，进而求出最前排可种植的棵数即可； 根据题意，易得，设，代入函数解析式进行求解，进而得到的长，即可得出结果． 本题考查二次函数的应用，正方形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2. 证明：将沿翻折到处，四边形是正方形， ，，， ， 在和中， ， 故≌ ......................................................................................................4分 解：四边形为矩形， ，，， 根据翻折可得：，， 设，则， 在中，， ， 解得：， .....................................................................................................8分 解：如图，延长，交于点， 根据解析可得：，，， ， ， ∽， ， ， ，， 在矩形中，， ∽，∽， ， ， ..............................................................................................................................10分 设， 则， ， ∽， ， ， ． 的长为............................................................................................................................12分 【考点解析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，解决本题的关键是得到∽，∽． 内蒙古中考压轴题专练（二）·二次函数与几何综合 数 学 学 科 评 分 标 准 1.解：喷水口离地面竖直高度为米， ； 喷出水的最大射程为米， ；...........................................................................................................................................3分 上边缘抛物线的顶点为，且过点和， 所以设上边缘抛物线的顶点式为， 将，分别代入，得： ， 解得， 上边缘抛物线的解析式为：，................................................5分 即， 由题意可得：设下边缘抛物线的解析式为， 将代入，得 ， 解得或与上边缘重合，舍去， 下边缘抛物线的解析式为：................................................7分 令，则， 即， 解得或不符合题意，舍去， 下边缘抛物线与轴交点的坐标为................................................................9分 若要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内， ， ，则， 将代入，得： 解得不符合题意，舍去或，...........................................................10分 当时，点在上边缘抛物线上，此时， ．........................................................................................................................12分 【考点解析】本题考查二次函数的性质，正确进行计算是解题关键． 2.由旋转得，，， ， 四边形是矩形， 将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点， ， 四边形是正方形， 故答案为：正方形.............................................................................4分 ； 证明：如图，过点作于点，则， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌，...............................................................................6分 ； 四边形是正方形， ，， 将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点， ，， ， ；..............................................................................................................8分 如图，过点作于点， ，， ， ，且， ， 解得：或不符合题意，舍去， ............................................................11分 由得：≌， ，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：.......................12分 【考点解析】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质与判定、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地添加解题所需要的辅助线，构造全等三角形． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $