2026届高考数学模拟卷（新Ⅰ卷）（三）

**基本信息** 以党史知识竞赛、研学活动分配为情境，覆盖复数、数列、概率等核心知识，通过分层设计考查数学思维与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数运算、命题否定、等比数列|基础题为主，注重概念辨析| |多选|3/18|统计量、函数性质、抛物线|多选项设计考查思维严谨性| |填空|3/15|三角恒等变换、多项式系数、导数几何意义|聚焦运算能力与数学抽象| |解答|5/77|概率分布列、数列求和、立体几何证明、双曲线综合、函数极值与证明|15题结合党史竞赛情境（文化传承），19题多问递进（能力梯度），体现数学建模与逻辑推理|

2026高考数学模拟卷（新Ⅰ卷）（三） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上， 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D．5 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 3．已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，则（    ） A．27 B．9 C．3 D． 4．某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向．学校安排6名教师负责这5个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（   ） A．2400 B．1800 C．1500 D．2100 5．已知圆与过点的直线l交于A，B两点，则弦的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知平面向量均为单位向量，若，则（   ） A． B． C． D．5 8．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象与原来的图象重合.当时，，则（    ） A．1 B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有两个或两个以上选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 9．已知两组样本数据，第一组，第二组，若，则（   ） A．这两组数据的平均数一定相等 B．这两组数据的极差一定相等 C．这两组数据的第90百分位数一定相等 D．这两组数据的众数一定相等 10．已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 11．抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，设为坐标原点，的倾斜角为，若，则（    ） A． B． C． D．的面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则=_________. 13．已知多项式，若，则___________． 14．已知函数，若直线与曲线相切，则___________. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卷上写出必要的解题步骤 15．（13分）某市举办了党史知识竞赛．初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响． (1)若该单位获得决赛资格的小组个数为，求的分布列与数学期望； (2)已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率．若最后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是，该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率． 16．（15分）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64，数列是公比大于0的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 17．（15分）如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求． 18．（17分）已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且. (1)求的方程； (2)若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）. ①记，的面积分别为，，且，求点的坐标； ②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 19．（17分）已知函数. (1)求函数的极值; (2)证明：对任意的； (3)若函数有且仅有一个零点，证明：方程 无实数根. 学科网（北京）股份有限公司 $《2026高考数学模拟卷（新I卷）（三）》参考答案 题号 1 2 6 7 9 10 11 答案 0 A A B 0 0 BC BC ABD 1.D 【详解】z·z=(1-2i1)(1+2i1)=12-(2i)2=1-4i2=5. 2.A 【详解】命题Vx∈R,x>x2”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题x∈R,x>x2的否定是“]xeR,x≤x2”. 3.A 【详解】由题意得：a3a4= 工=9=3，又由等比数列性质可得： T,1 27 a2a5=a1a6=a3a4=3, 所以T6=a2a5·a,a6aa4=3×3×3=27, 4.B 【详解】由题意可得其中一个研学活动有2名教师负责，剩下四个研学活动有1 名教师负责， 故不同的分配方法种数为C2A;=1800 5.D 【详解】由题意，圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=9,圆心坐标为C(3,4), 半径r=3, 设圆心到直线的距离为d,则过P2,3)的直线与圆的相交弦长 AB =2Vr2-d2, 当直线与CP所在直线垂直时，d最大，此时 d=CP=V2-3)2+(3-4)2=V2,当d最大时，AB最小，所以最小的弦 长1A8=2V32-(V2°=2万 6.D 【详解】设圆柱的底面半径为r,则底面圆的直径为2r, 椭圆的短半轴平行于截面与底面交线的方向，长度等于底面圆的半径，即b=r, 长半轴垂直于截面与底面交线的方向，由二面角的几何关系可得 2v3r a=- c0s30°3 所以c=Va2-b2 2-2= V3 3 r 所以该椭圆的离心率e=C=3 1 30 a 23 2 3 7.C 【详解】因为AB=AC=BC=1,且BC=AC-AB,则 BC=(AC-AB)=AC+AB'-2AB.AC, 即1=11-284C,可等而元= 又因为BD=AB+3AC,则AD=AB+BD=2AB+3AC 则AD=(2AB+3AC=4AB+9AC2+12AB.AC=4+9+6=19, 所以AD=V9 8.D 【详解】将y=f(x)的图象向右平移π个单位长度，所得图象与原来的图象重 合， 则f)有周期元，则有k.2红=k∈N),即o=2k(keN), 又0<o<4,故o=2,即f(x)=2sin 2x+ 上单调递减， 由f()+f3)=0,则2x++2x+ 3 2 =π即x+名=5， 则f(x+)=2sin2×2+）=2sin -十一 33 5π=-3 3 9.BC 【详解】由x≤，≤x≤x4,得x≤占十立≤x,第一组数据由小到大排列为 2 飞，十，4， 2 x≤++3≤x,第二组数据由小到大排列为，++，，，x,或 3 3 飞，5，++3，， 3 对于由与+臣+写+5+)一写+5+冬五++5+ 1 2 3 (++,+雪=30x+x,-2x)≤0，当且仪当x+3=2x取等 1 5、2 3 号， 因此这两组数据的平均数不一定相等，A错误； 对于B,这两组数据的极差都为x4-x1,B正确： 对于C,由5×90%=4.5，得这两组数据的第90百分位数都为x4,C正确： D,取=1，x=2,x=3,x4=4,第一组数据为1,2,3,4,5个 现次数相同， 第二组数据为1,2,2,3,4，其众数为2，因此这两组数据的众数不同，D错误 10.BC 【详解】由 f(x)=v3sin2x+2cos2x=3 sin 2x+cos2x+1=2sin 2+6+1, 对于A:f八2 -2si 2x号+-1=2sn子1-5+1.所以1a 3 象不关于直线x= 对称，故A错误： 12 对于B: 7 -2sin 2径+-1=2m41,房以到的图象关 于点 5π 对称，故B正确； 对于C:由f(x)-f（x)=4,所以 mf2+}-1[2sm2+8-4 5所以2+}s2+}-2，-的小值为 T_1x2π=刀，故C正确： 2222 对于D:由f(x)+f(x3)=2(x≠2)，所以 2sm2x+}+1+2sm2+别1=2. 2+引-n2+】 所以2x++2x+=2m,keZ,或2x+ =2kπ+元，k∈Z, 6 6 6 2x,+6 所以x1+X2= -元+km,ke乙，或x-x,=km+,keZ, 6 可取名=子名=子此时写-名登k+0, 所以x+x的最小值为0，故D错误 11.ABD 【详解】A:因为AB=16OF=16,所以0F=1,则=1，所以p=2, 正确； B:当a=90°时，直线I:x=1代入y2=4x,可得y=±2，则AB=4不符， 故a≠90°，直线l:y=tana(x-1,代入y2=4x,得 tan2a)x2-(2tan2a+4)x+tan2a =0, 设4(x,,B(,),则5+名=2ana+4, tano 书31， 因为AB=16,所以x+x2+p= 2tan2a+4+2=16,则an2a= tana 3 1 sin2a 1 sin2a= 所以cos2a3 ,则 sin2a+cos a =1 cos-a= 1 sina=2正确： c因为ma-}所以(ama-2ma+4x+m2a=0,化为 x2-14x+1=0, 则x=14±192=7士4N5,MFl=7士4W5+1=8士4W5,错误： 2 D:So=2oF(+=2×1xy- 1x5x4-4 =anal-F2aa+-4折-2×3 ×8V3=4,正确. 23 12. 5 【详解】因为角a的终边经过点P(-1,2)，所以r=0P=V-1)+22=V5, 所以cosa= -15 551 13.3 【详解】令x=1,可得a+a1+a2+a3+a4+a,+a6=32a-2), 令x=-1,可得a0-41+a2-a3+a4-a+a6=0, 两式相减得2(a1+a3+a5)=32(a-2)→a1+a3+a5=16(a-2). 又a1+a3+a=16,所以a-2=1→a=3. 14.2e-1 【详解】由函数f=(x-2en,可得f')=nx+X-2e=lnx 2e1, x 2e1, 设切点为(，f(x小，则fx,)=血。 因为直线y=(1-2e)x+b与曲线y=f(x)相切， 2e+1=1-2e,即lhw- 可得n _2e+2e=0, 又因为函数y=nx和y= 2e+2e在(0，+0)上都是增函数， 所以函数gx=lnx-2e+2e在0，+o)上是增函数，且 g1=1n1-2e+2c=0, 1 所以由nx 2e+28=0,可得唯一解x=1,所以切点为1,0， Xo 则0=(1-2e)+b,解得b=2e-1. 15.【详解】(1)设甲，乙通过两轮制的初赛分别为事件A,A2, 由题意可得，X的取值可能为0,1,2， 则Prx=0--》) 叫x=-引+到号 326 P(X=2)=2× 5525 则X的分布列为： 0 6 13 6 P 25 25 25 13 6 所以E(X)=0× +1× +2×- =1; 25 2525 (2)设B表示事件“该单位的某小组对最后一道题回答正确”，C表示事件“甲 小组抢到最后一道题，C,表示事件“乙小组抢到最后一道题”， 则PG0Pc川啡c)-P叫ac)-号 根据全概率公式，可得 P(B)=P(C)P(BC)+P(C:)P(BC:)= 93,11249 205205100 93 从而PCB=PCA.PICP4G 205= 27 P(B P(B 49 49 100 从而该题如果被答对，恰好是甲小组答对的概率为 7 49 16.【详解】(1)因为数列{a,}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64， 所以8a,+2 ×7 ×2=64,解得a1=1,所以an=1+2(n-1=2n-1: 数列{bn}是公比大于0的等比数列，设公比为9，则9>0， 因为b=3,b-b=18,所以3g2-3q=18,解得9=3或9=-2（舍）， 所以bn=3×3”-1=3”. (2)由(1)知c,==2n-1 bn30 135,2n-1 1 则5京+++3，可得 3 京+ 两式相减可得2Sn=2+ 122,,22n-1 =33+3+…+ 3”3n+ 1 93+1 2n-122n+2 3=33+1’ 所以Sn=1-n+1 3n 17.【详解】(1)因为AD⊥平面BCD,BCC平面BCD,所以AD⊥BC. 因为BC⊥CD,AD,CDC平面ACD,AD∩CD=D,所以BC⊥平面ACD. 因为BCC平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD. (2)(方法一)如图，连接PN并延长，与DC的延长线交于点Q,连接BQ. 因为MN//平面BCD,MNc平面PBQ, 平面BCD∩平面PBQ=BQ,所以MN∥BQ. 因为M是PB的中点，所以N是PP的中点，所以MN=BO. 过点N作NT∥AD,交CD于点T,因为N是P2的中点，所以NT=PD, 为P是4D的中点，所以NTAD,所以CT、T CD AD 4 3 因为BC=CD=AD=2,所以CT=2TD=2 3 因为N是PQ的中点，NT∥AD,所以QT=TD= 2 所以0c=Q7-C7=3-1-1, 22 则在直角△BCQ中，可得BQ=√5，所以MN= 5 2 (方法二)以C为坐标原点，CD,CB,DA为正交基底建立如图所示的空间直 角坐标系. 因为BC=CD=AD=2, P是AD的中点，M是BP的中点，所以 202P2.0.a02,0,Mu 设CN=2CA=(2元，0,22)(0<2≤1)， 所以MN= 22-12- 因为平面BCD的法向量i=(0,0,I),MN/I平面BCD,所以M⊥元， 所以2-=0，=所以-（10 所Aw-9 [2a=4, 18.【详解】(1)由题意知b√3解得a=2,b=V3, (a2 所以E的方程为 x y =1. 43 (2)由题意可知，A-2,0),B(2,0),设P(-1,m),因为直线PA交E于另 外一点M(不同于点B), 所以m40,又双曲线的渐近线为y=士5，枚m-0≠士5，解得 2 -1+2-2 mx￥百 2 所以直线PA:y-0=x+2 ,即y=m(x+2), m-0-1+2 x2 y2 =1 由 4-3，消y得3-4m2）x2-16m2x-16m2-12=0, y=m(x+2) 所以-2·xM= -16m2-1 3-4m2 8m2+6，所以 ,解得xM=3-4m yu =m 8m2+6 +2 12m 3-4m23-4m2 @因为分4-2m叫，马=方x4 12m 24m 3-4m2 3-4m2 8-吕州以2则-合24细 解得m=2或m=-2,即点P的坐标为-1,2)或-1，-2). ②直线PB:'-0、x-2 m012即y=1x-2列， x2 y -=1 由 43 ,消y得（27-4m2)x2+16m2x-16m2-108=0, y=x-2 27-4m2≠0， 3 ,所以2xw= -16m2-108 , 解得xw= -8m2-54 即m≠ 2 27-4m2 27-4m2 m -8m2-54 -2 36m 所以ywN= 3 27-4m2 27-4m2, 36m 12m 所以直线MN的斜率k=27-4m23-4m 6m -8m2-548m2+6 9-4m2’ 27-4m23-4m2 12m 6m 8m2+6 所以直线MN的方程为y- 3-4m29-4m2 3-4m2 令y=0,得 12m 6m 8m2+6 3-4m29-4m2 X 3-4m2 解得 8m2+6 2(9-4m2）_16m2-12=-4, 3-4m2 3-4m2 3-4m2 所以直线MN恒过定点H(-4,0), 又0G1MW,即OG1GH,又点A是H0的中点，所以4G=号HO=2, 所以AG是定值，且定值为2. 19.【详解】(1)函数f(x)=2x-e2x-1的定义域为R,求导得f'(x)=2-2e2x, 当x<0时，f'(x)>0;当x>0时，f'(x)<0,函数f(x)在(-o,O)上递增， 在(0，+o)上递减。所以当x=0时，函数f(x)取得极大值∫(0)=-2，无极小 值. (2)不等式 f()<--sin x-e'-1<-x-si --xl> 2 令函数h(g=e-x-x+l,x≥0，依题意，x∈[0，+D),h(x)>sinx, 求导得h'(x)=e-x-1,令函数y=e-x-l,x≥0，求导得y'=e"-1≥0， 因此函数h(x)在[0，+o)上单调递增，1'(x)≥h(O)=0,函数h(x)在[0，+0)上 单调递增， 则)≥0)=2>sinx,所以对任意的xe0,+of停<-r-simr。 (3)函数g(x)=f(x)+4ae=2x-e2r+4ae-1定义域为R,求导得 g'(x)=2-2e2r+4ae', 由g(x)=0,即e2-2ae-1=0,得e=a+Va2+1,函数g'(x)有唯一零点 xo =In(a+va2+1), 当x<x时，g'(x)>0;当x>x时，g'(x)<0,函数g(x)在(-o,x)上递增， 在(x,+0)上递减， 函数g(x)在x=x处取得最大值g(x), 且当x→-0时，g(x)→-0；当x→+0时，g(x)→-0， [g'(xo)=0m2-2e2o+4ae=0 由函数g(x)有且仅有一个零点，得 8(x)=0 ，即 2x-e2+4ae-1=01 消去a得e2+2x。-3=0,令函数o(x)=e2x+2x-3,显然函数p(x)在R上 单调递增， 面p0=-2x0p1u2=21n241>0,则0<<n2.a=e-. .3 叉函数y5e”之在0，n2)上单调递增，因此0<0了 4 方程4x2+8ax+3a=0中，△=64a2-48a=64aa-3<0, 4 所以方程4x2+8ar+3a=0无实数根.