2026届宁夏回族自治区银川一中高三考前一个月综合模拟自测训练模拟卷（二）数学

2026届高三年级考前一个月综合模拟自测训练模拟卷（二） 数 学 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1．下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．高二某班生日活动之4月活动，四个小寿星想互相交换礼物.若每个小寿星只能拿一份别人准备的礼物，则共有（   ）种拿法. A．18 B．11 C．9 D．6 4．最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面18米，树上另一点B离地面11米，若在离地面2米的C处看此树，则取最大值时，点C到树底的距离与值的积为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是的导函数，的图象关于点中心对称，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知圆O的半径为2，弦，C是圆O上的一个动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．已知等和数列中，，公和为5，则（    ） A．0 B． C． D．4 8．设，分别是双曲线的左、右顶点，点在上且在第一象限内，直线与圆的另一个交点为，设，，若，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 二、多项选择题:共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（    ） A． B．展开式中的常数项为45 C．含的项的系数为 D．展开式中的有理项有6项 10．已知直线l：与圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．当时，直线l被圆C所截的弦长为 C．直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D．直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 11．在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，直线与平面所成角的最大值为 C．当时，线段长度的范围是 D．当时，不存在点使得直线与直线所成的角为 三、填空题:共3个小题，每小题5分，共15分. 12．若复数，则__________. 13．将整数1，2，3，…，2026从小到大排成一排，去掉排在奇数位置的数字后，从小到大重新排列，然后再去掉奇数位置上的数字，从小到大重新排列，依此类推，最后剩下的一个数字为______. 14．定义在上的函数，对任意实数都有，．若，则不等式的解集是______. 四、解答题:共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分） 已知为数列的前n项和，且. (1)求该数列的通项； (2)若，求数列的前n项和. 16．（本小题15分） 某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2）参考数据： 17．（本小题15分） 如图，在三棱柱中，平面，侧面是菱形，且，点为 的中点. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 18．（本小题17分） 已知椭圆（）和抛物线（），在，上各取两个点，这四个点的坐标为，，， (1)求，的方程； (2)若直线l过椭圆的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，直线与x轴交于点D，当的面积最大时，求直线l的方程； (3)设M是在第一象限上的点，在点M处的切线与交于P，Q两点，线段的中点为N，过原点O的直线与过点M且垂直于x轴的直线交于点R.证明：点R在定直线上. 19．（本小题17分） 已知函数． (1)求函数的最小值； (2)证明：当时，； (3)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 试卷第4页，共4页 高三自测模拟卷（二）数学 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 2026届高三年级考前一个月综合模拟自测训练模拟卷（二）数学参考答案 选择题部分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A C A B B C C ABD ABD AC 非选择题部分 12．1 13．1024 14． 15．（本小题13分） 解：（1）当时， 2分 所以， 3分 整理可得，，， 5分 且当时，，即， 6分 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故，. 7分 （2）因为， 8分 所以， 10分 所以. 13分 16．（本小题15分） 解：（1），， 1分 ， 2分 ， 3分 ， 4分 样本相关系数：， 6分 因为非常接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关关系. 7分 （2）5天中取件人数小于100的天数有3天， 从这5天中随机选取3天，的可能取值为1，2，3. 8分 ， ， ， 12分 所以的分布列为： 14分 1 2 3 的数学期望 15分 17．（本小题15分） 解：（1）因为平面，平面，所以， 1分 因为侧面是菱形，，所以是等边三角形， 2分 又点为的中点，所以， 3分 又因为，平面，，所以平面. 4分 （2）取的中点，连接，则， 因为平面，平面， 所以，所以， 5分 由（1）知，平面，平面，所以， 6分 所以，，两两垂直，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 7分 则，，，，所以，，. 9分 设平面的一个法向量，则，即 令，解得，，所以， 11分 设平面的一个法向量，则，即， 令，解得，所以， 13分 设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为. 15分 18．（本小题17分） 解：（1）抛物线满足与成正比，将四个点代入验证： 点和满足，得，故； 1分 剩余两点、在椭圆上，代入椭圆方程： 将代入得，再代入得， 2分 故； 3分 （2）设，，则，由题意可知直线的斜率存在，， 设直线l的方程为：， 4分 由得：，此时， 5分 所以，， 6分 由直线BC的方程：得：， 7分 令，则， 9分 所以，此时，所以，当最大时，的面积最大，而，即：，所以当的面积最大时， 10分 直线l的方程为：或． 11分 （3）设，由得， 12分 所以切线的方程为：， 13分 设，，由得：， 14分 由，得：，代入得：， 15分 所以，所以， 16分 由得：，所以点R在定直线上． 17分 19．（本小题17分） 解：（1）已知函数，求导得， 1分 令，解得，当时，，故，函数单调递减；当时，，故，函数单调递增； 3分 是极小值点，即为最小值点，最小值为． 4分 （2）因为，所以要证明，只需证明，只需证明， 5分 设，求导得，令，求导得， 6分 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值，， 7分 当时，，， 8分 在上单调递增，故， 9分 又，故，，原不等式得证． 10分 （3），不等式等价于，， 11分 令，当时，，故处等号成立； 12分 求导得，， 13分 令，求导得，，则，在上单调递增， 14分 当时，，， 存在，使得， 15分 当时，，又，所以当时，，不满足条件； 当时，，在上单调递增，故，单调递增， 16分 ，满足条件；实数的取值范围为． 17分 试题解析部分 1．D 解：对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误；对于B，是无理数，是有理数集，故B错误；对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误；对于D，由集合的无序性可得D正确. 2．A 解：由题意得，则，若在区间上单调递增，则在上恒成立，化简得在上恒成立，令，由二次函数性质得在上单调递增，而，则，得到，可得“”是“”的充分而不必要条件，故A正确. 3．C 解：第一步，第一位同学选礼物，有3种方法，第二步，礼物被拿走的同学选礼物，有3种方法，第三步，余下两位同学选礼物，只有1种方法，根据分步计数原理，共有种拿法. 4．A 解：如图，过点作，交于点，则，，， 设，，，在中，，在中，，所以，其中，当且仅当，即时等号成立，所以，即当时， 取得最大值，点到树底的距离为水平距离，则 取得最大值时，点C到树底的距离与值的积为. 5．B 解：已知，所以.因为的图象关于点中心对称.所以根据中心对称性质可得对任意实数恒成立.对求导得，即所以导函数的函数图像关于对称，即，解得.此时，因为的图象关于点中心对称，所以，解得.故. 6．B 解：取的中点D，则，，所以，因为，所以. 7．C 解：因为（公和），所以，两式相减可得，，可知数列是以为周期的周期数列，因为，所以，又公和为5，所以，所以，. 8．C 解：由题意知，，由在上，设，所以，则，，因为直线与圆的另一个交点为，所以，所以，所以，且.在中，因为，所以，易得，即，所以，所以，对比条件可知，故. 9．ABD 解：由题设，二项式展开式通项为，，由，且，则，所以，可得，所以，A对，则，，令，则，故常数项为，B对，令，则，故含的项的系数为，C错，令，则，故共有6项，D对. 10．ABD 解：对于A，可整理为： ，令，则，故直线l过定点，故A正确.对于B，当时，，圆C：的圆心为 ，到直线的距离为：，所以直线l被圆C所截的弦长为，B正确；对于C，因为，直线l恒过定点在圆内，所以直线l与圆C必然相交，当时，直线被圆截得的弦长最短，由直线的斜率，直线的斜率 ，且 ，则，所以直线l的方程为，化简可得，故C错误；对于D，由C知直线l与圆C必然相交，直线过圆心时，相交弦最长，所以 ，解得：，故D正确. 11．AC 解：如图，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，由得，即，选项A，时，，，则，所以，A正确；选项BC，，，由，所以，所以，由平面的一个法向量是，则，设直线与平面所成角为，则，由，则，则，，B错误、C正确；选项D，，，，，令，则，又，∴，即点存在，D错误. 12.解：由题意， 所以. 13.解：将数字1到2026从小到大排成一排，去掉排在奇数位置的数字后，从小到大重新排列为2，4，6，8，…，2026，共1013个数，形成以2为首项，2为公差的等差数列； 然后再去掉奇数位置上的数字，得到4，8，12，16， …，2024，共506个数，形成以4为首项，4为公差的等差数列； 依此类推得到以8为首项，8为公差的数列，共253项； 以16为首项，16为公差的数列，共126项. 以32为首项，32为公差的数列，共63项. 以64为首项，64为公差的数列，共31项. 以128为首项，128为公差的数列，共15项. 以256为首项，256为公差的数列，共7项. 以512为首项，512为公差的数列，共3项，分别为512，1024，1536， 故再去掉奇数位置的项最后剩一个数字为1024. 故答案为：1024. 14.解：由可知,设，则 所以，函数最小正周期为3， 由可得， 设(C为常数)，则，那么 ，在上单调递增， ， ， 由可得，， 即，又在上单调递增 所以，，故选A. 答案第12页，共13页 高三自测模拟卷（二）数学答案 第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $