2026年中考数学 旋转专题训练

2026中考 旋转专题训练 1．如图1，点O为直线MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边OD，OB在直线MN上，∠COD＝∠AOB＝90°． （1）将图1中的三角板COD绕点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若∠AOC＝30°，则∠BOD＝ 　 　； （2）将图1中的三角板COD绕点O沿顺时针方向按每秒15°的速度旋转一周，三角板AOB不动，请问几秒后OD所在的直线平分∠AOB？ （3）将图1中的三角板COD绕点O沿逆时针方向按每秒12°的速度旋转两周，同时三角板AOB绕点O沿逆时针方向按每秒4°的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后OC所在的直线平分∠AON？ 2．在菱形ABCD中，∠B＝α（90°≤α＜180°），点E是边BC上一点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转α得到线段EF，连接CF． （1）如图1，α＝90°，求∠DCF的度数； （2）如图2，90°＜α＜180°，求∠DCF的度数（含α的代数式表示）； （3）如图3，α＝120°，AB＝2，点M是DC边上一动点，连接MF，若MF＝AB，N是CM延长线上一点，且MN＝CF，连接FN，请直接写出FN的最大值． 3．已知：把Rt△GHQ和Rt△ACB按图1方式摆放（点Q与点A重合），点G、A（Q），C在同一条直线上．∠H＝∠C＝90°，∠HGQ＝45°，GQ＝AC＝8cm，BC＝6cm．如图2，△GHQ从图1位置出发，以2cm/s的速度沿AC方向向点C匀速移动，在△GHQ移动的同时，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BA方向向点A匀速移动．当Q与C重合时，△GHQ与点P都停止移动．P关于BC的对称点为P′，PP′交BC于点E，QE交BP′于点F，设移动时间为t（s）．解答下列问题： （1）t为何值时，∠HQP＝45°？ （2）设△QEP′的面积为y cm2，求y与t的函数关系式？ （3）是否存在某个时刻t，使得QF⊥BP′？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 4．【尝试初探】 （1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，将线段AB绕着点A逆时针旋转90°得到线段AM，过M作MN⊥AC于点N，求证：MN＝BC+CN； 【深入探究】 （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在射线BC上取一点D（点D不与B、C重合），连接AD，将线段AD绕着点A逆时针旋转90°得到线段AM，连接BM交线段AC于点E，设BC＝mCD，AE＝nCE． （ⅰ）当m＝2时，求n的值； （ⅱ）请直接写出n与m之间满足的函数关系式． 5．已知，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D，E分别是BC，AC的中点，点F是线段BD上的动点，连接EF，点D关于EF的对称点是G． （1）如图1，若α＝60°，且点G恰好在线段BE上，求； （2）①如图2，当60°＜α＜180°时，依题意补全图形； ②连接AG，DG，恰好AG＝DG，用等式表示线段BF，AC，BC之间的数量关系，并证明． 6．如图，∠AOB＝60°，∠AOB的边OA上有一动点P，从距离点O18cm的点M处出发，沿线段MO、射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s；射线OC绕着点O从OA开始以5°/s的速度顺时针旋转．已知动点P，Q以及射线OC同时运动，设运动时间是t s． （1）当点P在MO上运动时，PO＝ 　 　cm．（用含t的代数式表示） （2）当点P在线段MO上运动，t为何值时，OP＝OQ？此时射线OC是∠AOB的平分线吗？并说明理由． （3）是否存在t，使得P，Q两点在射线OB上相距2cm？若存在，请求出t的值，并求出此时∠BOC的度数；若不存在，请说明理由． 7．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE，M、N分别是DE、AE的中点． （1）如图1中，点D、E分别在AC、BC的边上，则线段BE与MN的位置关系是 　 　，线段BE与MN的数量关系是 　 　； （2）将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转至如图2所示的位置，连接BE，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转，使点B，E，D在同一直线上（图3），若，，求出此时线段MN的长为多少？ 8．等边△ABC中，点M为BC上一点． （1）如图1，连接AM，点D为AB上一点，连接DM，DM＝AD，若∠MAC＝20°，求∠BMD的度数； （2）如图2，点M关于直线AC的对称点为点N，连接CN，AN，BN，点E为BN中点，连接CE，猜想CE与AN的数量关系，并证明你的结论； （3）连接AM，将AM绕点A顺时针旋转60°得到AP，连接BP，CP，点M在BC上运动的过程中，当线段AP取最小值时，请直接写出的值． 9．已知，△ABC和△DBE都是等腰三角形，且AB＝BC，BD＝BE． （1）如图1，若∠ABC＝∠DBE，点C是DE上一点，连接AD，求证：AD＝CE； （2）如图2，若∠DBE＝3∠ABC＝90°，△DBE绕点B旋转，BD经过AC的中点，点A落在DE上，请探究AE、AB、AD之间的数量关系并给出证明； （3）如图3，若∠DBE＝120°，EB＝3，点D和点C重合，连接AE，点P为AB上一点，连接EP，DP，当△AED面积的最大值时，请直接写出EP+AP+DP的最小值． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，点D为边AC的中点，点E是边BC上的动点（点E与点B不重合），作EF⊥AB，交线段AB于点F，联结EF、DE、DF． （1）若EF＝2CE．求CE的长； （2）若BE＝x，△DEF的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）当△BEF沿EF翻折，点B落在点G的位置，当△DEG是以点G为直角顶点的直角三角形时，求BE的长． 11．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，射线AD、AE的夹角为，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交射线AE于点G，联结CG． （1）如图①，射线AD、AE都在∠BAC内部． ①若a＝110°，∠CAE＝20°，则∠CBG＝ 　 　°． ②作点B关于直线AD的对称点H，证明GH＝GC． ③请直接写出线段BF、FG、CG之间的数量关系：　 　． （2）如图②，射线AD在∠BAC内部，射线AE在∠BAC外部，其他条件不变，试探究线段BF、FG、CG之间的数量关系，并证明． 12．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在线段BA，CA的延长线上，且AD＝AE，连接EB，DC． （1）求证：∠EBC＝∠DCB； （2）现将△ADE绕点A顺时针旋转α（0°≤α≤90°）， ①如图2，当α＝90°时，若DE＝DC，求证：BC＝BE； ②在旋转的过程中，当线段BE的中点F恰好落在直线AD上时，请利用备用图画出符合题意的示意图，并探究线段AF，AD，AC之间的数量关系． 13．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点D在AC边（端点除外）上，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转120°，得到对应线段BE，过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F． （1）求证：CD＝EF； （2）如图2，连接DE，CF，DE交CF于点G． ①求证：CD+CG＝GF； ②连接CE，若CE＝BD，AD＝2，直接写出BF的长． 14．已知：在等腰直角△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．点P是平面上不与点A、点B重合的一点，连接PA，线段PA绕点P逆时针旋转90°得到PQ，连接QA、CQ、BP． （1）如图1，当点P在BC延长线上时，则∠PCQ的度数为　 　，并说明理由； （2）如图2，当点Q在CB的延长线上时，若BP＝AB＝4，求△BAP的面积； （3）如图3，点E、F分别是AB、CB的中点，点P在直线EF上，当点B、P、Q共线时，请直接写出BP与AP的数量关系． 15．在Rt△ACB中．∠ACB＝90°，点O是AB的中点，点D是直线AC上一点，连接OD． （Ⅰ）【问题探究】 如图①，当AC＝BC，点D在线段AC上时，将射线OD绕点O顺时针方向旋转90°交BC于点E，连接OD，则CE 　 　AD（填“＞”，“＜”或“＝”）； （Ⅱ）【问题推广】 如图②，当AC＝BC，点D在线段CA延长线上时，将射线OD绕点O顺时针方向旋转90°交BC延长线于点E，请写出CD，CE，CB三条线段之间的数量关系，并证明； （Ⅲ）【拓展延伸】 如图③，当∠BAC＝30°，点D在线段AC延长线上时，将线段OD绕点O逆时针方向旋转60°得到OE，点E恰好落在线段BC的延长线上，若CD＝2，求线段CE的长． 16．在一次数学探究课上，老师给同学们提供了图1的数学模型：“在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，等于腰长的一条线段AD绕点A旋转，…”同学们通过探究后，交流各自的体会： 小晴同学：若α＝60°，则AD在△ABC内旋转任意位置，∠BDC的大小不变（如图2）； 小颖同学：若α＝60°，则AD在△ABC外旋转任意位置，∠BDC的大小也不变（如图3）； 小宁同学：综合前面的结论，发现在图1条件中，AD旋转到任意位置上，∠BDC与α都存在一定的数量关系； … 老师：在图4中，若α＝60°时，过点D作直线DF与AC交于点F，若∠CFD＝∠ABD，在直线DF上取一动点P，当PA﹣PC的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系； 问题： （1）若α＝60°时， ①如图2，当AD在△ABC内旋转任意位置，∠BDC＝ 　 　°； ②如图3，当AD在△ABC外旋转任意位置，∠BDC＝ 　 　°； （2）若α取任意数值（0＜α＜90°），AD旋转任意位置，∠BDC＝ 　 　（用含α的式子表示）； （3）在图4中，α＝60°，过点D作直线DF与AC交于点F，若∠CFD＝∠ABD，在直线DF上取一动点P，当PA﹣PC的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系，请说出你们的猜想并说明理由． 17．问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题： 等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，点D在底边BC上（点D不与点B，C重合），将这个纸片沿AD折叠，点B的对应点是点E． 猜想证明： （1）如图1，当DE⊥BC时，过点A作AF⊥BC于点F，试判断△ADF的形状，并说明理由； 问题延伸： （2）在（1）的条件下，AE与BC相交于点G，当点G是AE中点时，求证：CF＝2DE； 问题解决： （3）如图2，当△ABC为等边三角形时，点M在AE上，△ADC≌△AMC，过点M作MN∥DE，交BC于点N，连接CM． ①直接写出∠DCM的度数； ②求证：CN＝DE． 18．如图1，已知直线MN∥GH，且MN和GH之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板ACB和DEF，其中∠ACB＝90°，∠DFE＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝1．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： （1）如图1，点A在MN上，边BC在GH上，边DE在直线AB上． ①将直角三角形DEF沿射线BA的方向平移，当点F在MN上时，如图2，求∠AFE的度数； ②将直角三角形DEF从图2的位置继续沿射线BA的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求∠FAN度数； （2）将直角三角形ABC如图3放置，若点A在直线MN上，点C在MN和GH之间（不含MN，GH上），边BC和AB与直线GH分别交于D，K．在△ABC绕着点A旋转的过程中，设∠MAK＝n°，∠CDK＝（4m﹣2n﹣10）°，则m的取值范围为　 　． 参考答案与试题解析 1．如图1，点O为直线MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边OD，OB在直线MN上，∠COD＝∠AOB＝90°． （1）将图1中的三角板COD绕点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若∠AOC＝30°，则∠BOD＝ 　150°　； （2）将图1中的三角板COD绕点O沿顺时针方向按每秒15°的速度旋转一周，三角板AOB不动，请问几秒后OD所在的直线平分∠AOB？ （3）将图1中的三角板COD绕点O沿逆时针方向按每秒12°的速度旋转两周，同时三角板AOB绕点O沿逆时针方向按每秒4°的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后OC所在的直线平分∠AON？ 【分析】（1）根据旋转的性质可得∠AOC＝∠DOM＝30°，由∠BOD＝180°﹣∠DOM即可求解； （2）根据旋转的性质，分类讨论：当△COD旋转至△C′OD′时，OD′平分∠AOB；当△COD旋转至△C'OD'时，OD'所在直线平分∠AOB，交AB于点E，由此即可求解； （3）根据旋转的性质，分别算出三角板COD旋转的时间，在此时间里三角板AOB旋转的度数，分类讨论：当三角板AOB绕点沿逆时针方向旋转0°～90°时；当三角板AOB绕点沿逆时针方向旋转90°～180°时；当三角板AOB绕点沿逆时针方向旋转180°～240°时；根据数量关系列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵∠COD＝∠AOB＝90°． ∴∠COD+∠AOB＝90+90＝180°， ∵三角板COD绕点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置， ∴∠AOC＝∠DOM＝30°， ∴∠BOD＝180°﹣∠DOM＝180°﹣30°＝150°， 故答案为：150°； （2）三角板COD绕点沿顺时针方向按每秒15°的速度旋转一周，则旋转时间为360÷15＝24（秒）， 如图，当△COD旋转至△C'OD'时，OD'平分∠AOB，则∠AOD'∠AOB＝45°， ∴∠MOD'＝∠MOC+∠AOD'＝90°+45°＝135°， ∴135÷15＝9， 即9秒时，OD所在的直线平分∠AOB； 如图，当△COD旋转至△C'OD'时，OD'所在直线平分∠AOB，交AB于点E， ∴9+180÷15＝21， 即21秒时，OD所在的直线平分∠AOB， 综上，9秒或21秒时，OD所在的直线平分∠AOB； （3）三角板COD绕点沿逆时针方向按每秒12°的速度旋转两周，则旋转时间为360×2÷12＝60（秒）， 三角板AOB绕点沿逆时针方向按每秒4°的速度旋转，旋转的角度为4×60＝240°， 设旋转时间为t秒， 当三角板AOB绕点O沿逆时针方向旋转0°～90°时，OC所在的直线平分∠AON，如图， ∴， 解得t＝13.5； 当三角板AOB绕点O沿逆时针方向旋转90°～180°时，OC所在直线平分∠AON，如图， ∴， 解得t＝31.5； 当三角板AOB绕点O沿逆时针方向旋转180°～240°时，OC所在的直线平分∠AON，如图， ∴， 解得t＝49.5； 综上所述，13.5秒或31.5秒或49.5秒时，OC所在的直线平分∠AON． 2．在菱形ABCD中，∠B＝α（90°≤α＜180°），点E是边BC上一点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转α得到线段EF，连接CF． （1）如图1，α＝90°，求∠DCF的度数； （2）如图2，90°＜α＜180°，求∠DCF的度数（含α的代数式表示）； （3）如图3，α＝120°，AB＝2，点M是DC边上一动点，连接MF，若MF＝AB，N是CM延长线上一点，且MN＝CF，连接FN，请直接写出FN的最大值． 【分析】（1）过点F作FG⊥BC，交BC延长线于点G，先证出△GEF≌△BAE，根据全等三角形的性质可得EG＝AB，GF＝BE，从而可得CG＝GF，再根据等腰三角形的性质可得∠FCG＝∠CFG＝45°，由此即可得； （2）延长BC到点G，使CG＝BE，连接FG，先根据菱形的性质、平行线的性质可得∠DCG＝∠B＝α，再证出△GEF≌△BAE，根据全等三角形的性质可得FG＝BE，∠G＝∠B＝α，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）由（2）知当α＝120°时，∠DCF＝90°，过点N作NP⊥CN于点N，且使NP＝CM，连接PM，构造出△PMN≌△MFC，得出PM＝MF＝AB＝2，∠PMN＝∠MFC，再得出∠PMF＝90°，取PM中点H，连接NH，FH，得出，，由两点之间线段最短得，即可求解． 【解答】解：（1）如图，过点F作FG⊥BC，交BC延长线于点G， ∵在菱形ABCD中，∠B＝α＝90°， ∴四边形ABCD是正方形，∠BAE+∠AEB＝90°， ∴AB＝BC，CD⊥BC， 由旋转的性质得AE＝EF，∠AEF＝α＝90°， ∴∠GEF+∠AEB＝90°， ∴∠GEF＝∠BAE， 在△GEF和△BAE中， ∴△GEF≌△BAE（AAS）， ∴EG＝AB，GF＝BE， ∴EG＝BC， ∴EG﹣EC＝BC﹣EC， 即CG＝BE， ∴CG＝GF， ∴∠FCG＝∠CFG＝45°， 又∵CD⊥BC， ∴∠DCF＝90°﹣∠FCG＝45°； （2）如图，延长BC到点G，使CG＝BE，连接FG， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝α（90°＜α＜180°）， ∴AB＝BC，AB∥CD，∠BAE+∠AEB＝180°﹣α， ∴∠DCG＝∠B＝α， ∵CG＝BE， ∴CG+CE＝BE+CE， 即EG＝BC， ∴EG＝AB， 由旋转的性质得AE＝EF，∠AEF＝α， ∴∠GEF+∠AEB＝180°﹣α， ∴∠GEF＝∠BAE， 在△GEF和△BAE中， ， ∴△GEF≌△BAE（SAS）， ∴FG＝BE，∠G＝∠B＝α， ∴CG＝FG， ∴∠FCG＝∠CFG， ∴； （3）由（2）知当α＝120°时，， 如图，过点N作NP⊥CN于点N，且使NP＝CM，连接PM， ∴∠PNM＝∠MCF＝90°， 又∵NP＝CM，MN＝CF， ∴△PMN≌△MFC（SAS）， ∴∠PMN＝∠MFC，PM＝MF， ∵MF＝AB，AB＝2， ∴PM＝MF＝AB＝2， ∵∠MCF＝90°， ∴∠MFC+∠CMF＝90°， ∴∠PMN+∠CMF＝90°， ∴∠PMF＝180°﹣（∠PMN+∠CMF）＝90°， 取PM中点H，连接NH，FH， ∵∠PNM＝90°，PM＝MF＝2， ∴， ∴， 由两点之间线段最短得，且当N、H、F依次共线时， NF取得最大值为． 3．已知：把Rt△GHQ和Rt△ACB按图1方式摆放（点Q与点A重合），点G、A（Q），C在同一条直线上．∠H＝∠C＝90°，∠HGQ＝45°，GQ＝AC＝8cm，BC＝6cm．如图2，△GHQ从图1位置出发，以2cm/s的速度沿AC方向向点C匀速移动，在△GHQ移动的同时，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BA方向向点A匀速移动．当Q与C重合时，△GHQ与点P都停止移动．P关于BC的对称点为P′，PP′交BC于点E，QE交BP′于点F，设移动时间为t（s）．解答下列问题： （1）t为何值时，∠HQP＝45°？ （2）设△QEP′的面积为y cm2，求y与t的函数关系式？ （3）是否存在某个时刻t，使得QF⊥BP′？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由∠H＝∠C＝90°，∠HGQ＝45°，∠HQP＝45°，得PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，根据相似三角形的性质得，通过勾股定理求出AB＝10cm，然后把AP＝（10﹣t）cm，AQ＝2tcm，代入求解即可； （2）由对称性质可证PE∥AC，证明△BPE∽△BAC，根据相似三角形的性质得求出BE，PE＝P'E，然后由面积公式即可求解； （3）先证明△ECQ∽△EFB，则，即然后证明△PEB≌△PEB（SAS），故∠BPE＝∠BPE＝∠BEF，从而得到tan∠BPE＝tan∠BEF，所以，然后代入求值即可； 【解答】解：（1）如图， ∵∠H＝∠C＝90°，∠HGQ＝45°，∠HQP＝45°， ∴∠AQP＝∠HQG+∠HPQ＝90°， ∴∠AQP＝∠C＝90°， ∴PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴， 由勾股定理得：， ∵PB＝t cm，AP＝（10﹣t）cm，AQ＝2t cm， ∴， 解得：； （2）∵P与P'关于BC对称， ∴PP'⊥BC，PE＝P'E， ∴∠PEB＝∠C＝90°， ∴PE∥AC， ∴△BPE∽△BAC， ∴， ∴， ∴t，BE， ∴，， ∴； （3）存在，理由，如图，QF⊥BP'时， ∴∠BFE＝∠C＝90°， ∵∠ECQ＝∠EFB， ∴△ECQ∽△EFB， ∴， ∴， 由（2）得：，，， ∴， ∵P与P'关于BC对称， ∴PB＝P'B，∠PEB＝∠P'EB＝90°， ∵BE＝BE， ∴△PEB≌△P'EB（SAS）， ∴∠BPE＝∠BP'E＝∠BEF， ∴tan∠BPE＝tan∠BEF， ∴， ∴， ∴． 4．【尝试初探】 （1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，将线段AB绕着点A逆时针旋转90°得到线段AM，过M作MN⊥AC于点N，求证：MN＝BC+CN； 【深入探究】 （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在射线BC上取一点D（点D不与B、C重合），连接AD，将线段AD绕着点A逆时针旋转90°得到线段AM，连接BM交线段AC于点E，设BC＝mCD，AE＝nCE． （ⅰ）当m＝2时，求n的值； （ⅱ）请直接写出n与m之间满足的函数关系式． 【分析】（1）可证明△ABC≌△MAN，从而AN＝BC，MN＝AC，进一步得出结果； （2）（i）分两种情形：当点D在BC上时，作MF⊥AC于F，由（1）知：AF＝CD，FM＝AC，可证得△FEM≌△CEB，从而EF＝CECFAC，进一步得出结果；同样得出当点D在BC的延长线时的结果； （ii）分两种情形：当点D在BC上时，作FM⊥AC于F，由（1）知：AF＝CD，EF＝CE，不妨设CD＝a，则AC＝BC＝ma，从而AF＝CD＝a，EF＝CE（AC﹣AF），从而表示出AE＝AF+EF＝a，根据AE＝nCE得出等式a，进而得出结果；同样方法得出当点D在BC的延长线上时的情形． 【解答】（1）证明：∵段AB绕着点A逆时针旋转90°得到线段AM， ∴∠BAM＝90°，AB＝AM， ∴∠BAC+∠CAM＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°， ∴∠B＝∠CAM， ∵MN⊥AC， ∴∠ANM＝90°， ∴∠AMN＝∠C， ∴△ABC≌△MAN（AAS）， ∴AN＝BC，MN＝AC， ∵AC＝AN+CN＝BC+CN， ∴MN＝BC+CN； （2）解（i）：如图1﹣1， 当点D在BC上时， 作MF⊥AC于F， ∴∠MFE＝∠ACB＝90°， 由（1）知：AF＝CD，FM＝AC， ∵BC＝2CD， ∴AF， ∵BC＝AC， ∴BC＝FM，CF＝AFAC， ∵∠FEM＝∠BEC， ∴△FEM≌△CEB（AAS）， ∴EF＝CECFAC， ∴AE＝AF+EFAC， ∴n， 如图1﹣2， 当点D在BC的延长线上时， 作MF⊥AC，交CA的延长线于点F， 由上可知：AF＝CD，FM＝AC＝BC，EF＝CE， ∵CF＝AF+AC＝CD+2CD＝3CD， ∴EF＝CE，AE＝EF﹣AF， ∴n， 综上所述：n＝3或； （ii）如图2， 当点D在BC上时， 作FM⊥AC于F， 由上知：AF＝CD，EF＝CE， 不妨设CD＝a，则AC＝BC＝ma， ∴AF＝CD＝a，EF＝CE（AC﹣AF）， ∴AE＝AF+EF＝a， ∵AE＝nCE， ∴a， ∴n， 如图3， 当点D在BC的延长线上时， 作MF⊥CA，交CA的延长线于点F， 由上知， AF＝CD＝a，AB＝AC＝ma，AF＝CD＝a， ∴CE＝EF，AE＝EF﹣AF， ∵AE＝nCE， ∴， ∴n， 综上所述：当点D在BC上时，n；当点D在BC的延长线上时，n． 5．已知，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D，E分别是BC，AC的中点，点F是线段BD上的动点，连接EF，点D关于EF的对称点是G． （1）如图1，若α＝60°，且点G恰好在线段BE上，求； （2）①如图2，当60°＜α＜180°时，依题意补全图形； ②连接AG，DG，恰好AG＝DG，用等式表示线段BF，AC，BC之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）先求出∠BGF的度数，即可得出； （2）①根据题意补全图形即可；②通过全等，直角三角形斜中线等得到，由此得出结论． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝a＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠A＝60°， ∵点D，E分别是BC，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，∠EBF＝30°， ∴DE∥AB， ∴∠EDC＝∠ABC＝60°， ∴∠EDF＝120°， ∵点D关于EF的对称点是G， ∴△EDF≌△EGF， ∴FD＝GF，∠EGF＝∠EDF＝120°， ∴∠BGF＝60°， ∴∠BFG＝90°， 在 Rt△BGF中，， ∴； （2）①如图所示： ②∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， 又∵E是AC中点， ∴在Rt△ADC中，， 又∵AG＝DG， ∴EG垂直平分AD，即AD⊥EG且AD⊥BC， ∴GE∥FD， ∴∠1＝∠2， ∵点D关于EF的对称点是G， ∴GE＝ED，DM＝MG． ∴△GEM≌△DFM， ∴DF＝EG且GE∥FD， ∴四边形GFDE是平行四边形，且EG＝ED， ∴平行四边形GFDE是菱形， ∴DE＝DF，， 又∵， 即2BF+AC＝BC． 6．如图，∠AOB＝60°，∠AOB的边OA上有一动点P，从距离点O18cm的点M处出发，沿线段MO、射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s；射线OC绕着点O从OA开始以5°/s的速度顺时针旋转．已知动点P，Q以及射线OC同时运动，设运动时间是t s． （1）当点P在MO上运动时，PO＝ 　（18﹣2t）　cm．（用含t的代数式表示） （2）当点P在线段MO上运动，t为何值时，OP＝OQ？此时射线OC是∠AOB的平分线吗？并说明理由． （3）是否存在t，使得P，Q两点在射线OB上相距2cm？若存在，请求出t的值，并求出此时∠BOC的度数；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先确定出PM＝2t cm，即可得出结论； （2）先根据OP＝OQ，建立方程求出t＝6，进而求出∠AOC＝30°，即可得出结论； （3）分P、Q相遇前相距2cm和相遇后2cm两种情况，建立方程求解，即可得出结论． 【解答】解：（1）当点P在MO上运动时， 由运动知，PM＝2t cm， ∵OM＝18cm， ∴PO＝OM﹣PM＝（18﹣2t）cm， 故答案为：（18﹣2t）； （2）由（1）知，OP＝（18﹣2t）cm， 当OP＝OQ时，则有18﹣2t＝t， ∴t＝6即t＝6时，能使OP＝OQ， ∵射线OC绕着点O从OA上以每秒5°的速度顺时针旋转， ∴∠AOC＝5°×6＝30°， ∵∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°＝∠AOC， ∴射线OC是∠AOB的角平分线； （3）存在t，使得P，Q两点在射线OB上相距2cm；理由如下： 分为两种情形．当P、Q相遇前相距2cm时，OQ﹣OP＝2cm， ∴t﹣（2t﹣18）＝2， 解得：t＝16， ∴∠AOC＝5°×16＝80°， ∴∠BOC＝80°﹣60°＝20°， 当P、Q相遇后相距2cm时，OP﹣OQ＝2cm， ∴（2t﹣18）﹣t＝2， 解得t＝20， ∴∠AOC＝5°×20＝100°， ∴∠BOC＝100°﹣60°＝40°， 综合上述，t＝16，∠BOC＝20°或t＝20，∠BOC＝40°，P，Q两点在射线OB上相距2cm． 7．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE，M、N分别是DE、AE的中点． （1）如图1中，点D、E分别在AC、BC的边上，则线段BE与MN的位置关系是 　BE⊥MN　，线段BE与MN的数量关系是 　BE＝2MN　； （2）将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转至如图2所示的位置，连接BE，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转，使点B，E，D在同一直线上（图3），若，，求出此时线段MN的长为多少？ 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得 BC＝AC，CE＝CD，进而可得 BE＝AD，根据三角形的中位线的性质即可得出结论； （2）同（1）的方法，即可求解； （3）分两种情况讨论：当E在BD上时，当D在BE上时，根据勾股定理求得，DE，进而在Rt△ABD中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形， ∴BC＝AC，CE＝CD， ∴BE＝AD， ∵M、N分别是DE、AE的中点， ∴MN∥AD，2MN＝AD， 又∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC⊥BC， ∴BE⊥MN，BE＝2MN； （2）（1）中的结论仍然成立：BE⊥MN，BE＝2MN， 连接AD，延长BE交于H， ∵△ABC 和△DCE都是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE， ∵M、N分别是DE、AE的中点， ∴MN∥AD，2MN＝AD， ∴BE＝2MN， ∠ABH+BAD ＝∠ABH+∠CAD+∠BAC ＝∠ABH+∠CBE+∠BAC ＝∠CBA+∠BAC ＝90°， ∴∠BHA＝90°， ∴BE⊥AD， ∴BE⊥MN； （3）如图所示，连接AD， 当E在BD上时， 同理可得BE⊥AD，BE＝2MN， ∵点B，E，D在同一直线上， ∴AD⊥DE， ∵∠BCA＝∠ECD＝90°， ∴∠BCE＝∠ACD， 又∵BC＝CA， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝AD， ∵，CD ∴AB，， 设AD＝x， 在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AC2， ∴， 解得：x＝2（负值舍去）， ∴AD＝2， ∴， 如图所示，当D在BE上时， 同理可得△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝AD， 在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AC2， ∴， 解得：AD＝4（负值舍去）， ∴MNAD＝2， 综上所述，MN＝1或2． 8．等边△ABC中，点M为BC上一点． （1）如图1，连接AM，点D为AB上一点，连接DM，DM＝AD，若∠MAC＝20°，求∠BMD的度数； （2）如图2，点M关于直线AC的对称点为点N，连接CN，AN，BN，点E为BN中点，连接CE，猜想CE与AN的数量关系，并证明你的结论； （3）连接AM，将AM绕点A顺时针旋转60°得到AP，连接BP，CP，点M在BC上运动的过程中，当线段AP取最小值时，请直接写出的值． 【分析】（1）由等边三角形的性质可得AC＝AB＝BC，∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，由外角的性质可求解； （2）由轴对称的性质可得CN＝CM，AN＝AM，∠ACN＝∠ACB＝60°＝∠CAB，由AAS可证△CEN≌△FEB，可得CE＝EF，CN＝BF，由SAS可证△ACM≌△CBF，可得CF＝AM，即可求解； （3）由题意可得当AM⊥BC时，AM有最小值，即AP有最小值，由旋转的性质可证△AMP是等边三角形，可得AM＝MPa，∠AMP＝60°，由直角三角形的性质可得PHa，即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝BC，∠B＝∠C＝∠BAC＝60°， ∵∠MAC＝20°， ∴∠DAM＝40°， ∵DM＝AD， ∴∠DAM＝∠DMA＝40°， ∵∠AMB＝∠AMD+∠DMB＝∠C+∠MAC， ∴20°+60°＝40°+∠BMD， ∴∠BMD＝40°； （2）AN＝2CE，理由如下：如图，连接AM，延长CE交AB于F， ∵点M关于直线AC的对称点为点N， ∴CN＝CM，AN＝AM，∠ACN＝∠ACB＝60°＝∠CAB， ∴CN∥AB， ∴∠NCE＝∠BFE， ∵点E为BN中点， ∴NE＝BE， 又∵∠BEF＝∠CEN， ∴△CEN≌△FEB（AAS）， ∴CE＝EF，CN＝BF， ∴CF＝2CE，CM＝BF， 又∵AC＝BC，∠ACB＝∠ABC＝60°， ∴△ACM≌△CBF（SAS）， ∴CF＝AM， ∴AN＝AM＝2CE； （3）如图，连接CP，MP，BP，过点P作PH⊥直线BC于H， 设AC＝AB＝BC＝2a， ∵将AM绕点A顺时针旋转60°得到AP， ∴AM＝AP，∠MAP＝60°， ∵点M在BC上运动， ∴当AM⊥BC时，AM有最小值，即AP有最小值， ∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC， ∴∠CAM＝∠BAM＝30°， ∴∠PAC＝90°，CM＝BM＝a，AMa， ∵AM＝APa，∠MAP＝60°， ∴△AMP是等边三角形， ∴AM＝MPa，∠AMP＝60°， ∴∠PMH＝30°， ∴PHa， ∴． 9．已知，△ABC和△DBE都是等腰三角形，且AB＝BC，BD＝BE． （1）如图1，若∠ABC＝∠DBE，点C是DE上一点，连接AD，求证：AD＝CE； （2）如图2，若∠DBE＝3∠ABC＝90°，△DBE绕点B旋转，BD经过AC的中点，点A落在DE上，请探究AE、AB、AD之间的数量关系并给出证明； （3）如图3，若∠DBE＝120°，EB＝3，点D和点C重合，连接AE，点P为AB上一点，连接EP，DP，当△AED面积的最大值时，请直接写出EP+AP+DP的最小值． 【分析】（1）由SAS可证△ABD≌△CBE，可得AD＝CE； （2）由等腰直角三角形的性质可得EH＝DH＝BH，∠DBH＝45°，由直角三角形的性质可求AB＝2AH，由线段的和差关系可求解； （3）由题意可得当AB⊥DE时，△ADE面积有最大值，可得AB垂直平分DE，可得EP＝PD，∠ABD＝∠ABE＝60°，可证△ABD是等边三角形，EP+AP+DP＝2DP+AP＝2（DPAP），则当点H，点P，点D三点共线，且DH⊥AF时，DP+PH有最小值，最小值为AD的长，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABD＝∠EBC， 又∵AB＝BC，BD＝BE， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD＝CE； （2）解：AE＝AB+AD，理由如下：过点B作BH⊥DE于H， ∵∠DBE＝3∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝30°， ∵BD经过AC的中点， ∴∠ABD＝15°＝∠DBC， ∵BD＝BE，∠DBE＝90°，BH⊥DE， ∴EH＝DH＝BH，∠DBH＝45°， ∴∠ABH＝30°， ∴AB＝2AH， ∴EH＝DH＝AH+AD， ∴AE＝AH+EH＝AH+AH+AD＝AB+AD； （3）解：∵∠DBE＝120°，EB＝3＝DB， ∴AB＝3，∠BED＝∠BDE＝30°， ∴DE＝3， ∴当AB⊥DE时，△ADE面积有最大值， 又∵BE＝DB， ∴AB垂直平分DE， ∴EP＝PD，∠ABD＝∠ABE＝60°， ∴EP+AP+DP＝2DP+AP＝2（DPAP）， ∵AB＝BD，∠ABD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝AB＝3，∠BAD＝60°， 如图，作∠BAF＝30°，交BE于F，过点P作PH⊥AF于H， ∴PHAP，∠FAD＝90°， ∴EP+AP+DP＝2（DPAP）＝2（DP+PH）， ∴当点H，点P，点D三点共线，且DH⊥AF时，DP+PH有最小值，最小值为AD的长， ∴EP+AP+DP的最小值为2×3＝6． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，点D为边AC的中点，点E是边BC上的动点（点E与点B不重合），作EF⊥AB，交线段AB于点F，联结EF、DE、DF． （1）若EF＝2CE．求CE的长； （2）若BE＝x，△DEF的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）当△BEF沿EF翻折，点B落在点G的位置，当△DEG是以点G为直角顶点的直角三角形时，求BE的长． 【分析】（1）根据题意，由勾股定理得出BC的长，再证明△BEF∽△BAC，再根据相似三角形的性质，对应边成比例，即，从而得到等式，求解即可得出答案； （2）作FH⊥AC交AC于点H，从而得到△AFD的面积，再分别求出其他几个三角形的面积，再进行计算即可得到y关于x的函数关系式，然后根据题意即可得到函数的定义域； （3）根据△BEF沿EF翻折，从而得到△BFE≌△GFE，再根据△DEG是以点G为直角顶点的直角三角形，得到点G的位置，经过运算即可得到AD＝GD，从而证明Rt△DEG≌Rt△DEC，最后得到BE的长． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4， ∴BC2， 令CE＝a， ∵点E是边BC上的动点，， ∴BE＝BC﹣CE＝2a， ∵EF＝2CE， ∴EF＝2a， ∵EF⊥AB， ∴∠BFE＝∠C＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BEF∽△BAC， ∴， ∴， 解得：a， ∴CE的长为； （2）由（1）可得△BEF∽△BAC， ∴，即， ∵BE＝x， ∴EF，BFx，CE＝2x， ∴AF＝AB﹣BF＝4， 如图1，作FH⊥AC交AC于点H， ∴∠FHA＝∠C＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△AFH∽△ABC， ∴，即， ∴FH， ∵点D是边AC的中点， ∴AD＝CDAC＝1， ∴S△DEF＝S△ABC﹣S△BEF﹣S△DCE﹣S△ADF，即S△DEFAC•BCBF•EFCE•CDAD•FH， ∴y2×2x•1×（2x）1， 整理得：yx2x， ∵点E是边BC上的动点，点E与点B不重复， ∴0＜x≤2， ∴y关于x的函数关系式为yx2x，定义域为0＜x≤2； （3）∵EF⊥AB，△BEF沿EF翻折，点B落在点G的位置， ∴点G在直线AB上，△BFE≌△GFE， ∴EG＝BE，∠EGF＝∠B， ∵△DEG是以点G为直角顶点的直角三角形， ∴∠EGD＝90°； 若点G落在边AB的延长线上，如图2， 此时∠EGD＜90°，不满足条件， ∴点G只能落在线段AB上，如图3， 由题意可知∠EGF+∠AGD＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠EGF＝∠B， ∴∠A+∠EGF＝90°， ∴∠A＝∠AGD， ∴△AGD是等腰三角形，AD＝GD， ∵点D是边AC的中点， ∴AD＝CD， ∴AD＝CD＝GD， ∵∠EGD＝∠C＝90°，CD＝GD，DE＝DE， ∴Rt△DEG≌Rt△DEC（HL）， ∴EG＝EC， ∵EG＝BE， ∴BE＝ECBC， ∴BE的长为． 11．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，射线AD、AE的夹角为，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交射线AE于点G，联结CG． （1）如图①，射线AD、AE都在∠BAC内部． ①若a＝110°，∠CAE＝20°，则∠CBG＝ 　25　°． ②作点B关于直线AD的对称点H，证明GH＝GC． ③请直接写出线段BF、FG、CG之间的数量关系：　BF＝FG﹣CG　． （2）如图②，射线AD在∠BAC内部，射线AE在∠BAC外部，其他条件不变，试探究线段BF、FG、CG之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）①先根据角的运算得出∠BAD的度数，根据三角形内角和求出∠ABC的度数；再根据直角三角形两锐角互余可得出∠ABG的度数，作差可得结论； ②连接AH，可得出AB＝AH＝AC，再根据∠BAC＝α，∠DAEα，可得出∠BAF+∠CAEα，∠HAF+∠HAGα，所以∠CAE＝∠HAG；进而可得△AGH≌△AGC（SAS），再由全等三角形的性质可得结论； ③由②得BF＝HF，GH＝CG，所以BF＝HF＝FG﹣GH＝FG﹣CG； （2）在BG延长线上取点H，使HF＝BF．连结AH．由垂直平分线的性质可得AB＝AH，∠BAF＝∠HAF；设∠CAD＝x，∠CAE＝y，所以∠DAE＝x+y，由此表达∠BAC，∠BAF，∠HAF，由∠HAE＝∠DAE+∠HAE，可得x+2y＝x+y+∠HAE，所以∠HAE＝y，即∠HAE＝∠CAE；由此可得△ACG≌△AHG（SAS），所以CG＝HG，由此可得结论． 【解答】（1）①解：∵∠BAC＝α＝110°，∠DAEα＝55°，∠CAE＝20°， ∴∠BAD＝120°﹣55°﹣20°＝45°， ∵BF⊥AD， ∴∠AFB＝90°， ∴∠ABF＝90°﹣45°＝55°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝30°， ∴∠CBG＝∠ABF﹣∠ABC＝55°﹣30°＝25°； 故答案为：25． ②证明：如图1，连结AH， ∵点B与点H关于直线AD对称，AF⊥BH， ∴BF＝HF， ∴AD是BH的垂直平分线， ∴AB＝AH，∠BAF＝∠HAF， ∵AB＝AC， ∴AH＝AC， ∵∠BAC＝α，∠DAEα， ∴∠BAF+∠CAEα，∠HAF+∠HAGα， ∴∠CAE＝∠HAG； ∵AG＝AG， ∴△AGH≌△AGC（SAS）． ∴GH＝GC； ③解：BF＝FG﹣CG，理由如下： 由②知：BF＝HF，GH＝CG， ∴BF＝HF＝FG﹣GH＝FG﹣CG， 即BF＝FG﹣CG； 故答案为：BF＝FG﹣CG； （2）BG＝2BF﹣CG； 证明：如图2，在BG延长线上取点H，使HF＝BF．连结AH． ∵AF⊥BH，BF＝HF， ∴AB＝AH，∠BAF＝∠HAF； 设∠CAD＝x，∠CAE＝y， ∴∠DAE＝x+y， ∵∠DAE∠BAC． ∴∠BAC＝2x+2y， ∴∠BAF＝∠BAC﹣∠CAD＝2x+2y﹣x＝x+2y． ∴∠HAF＝∠BAF＝x+2y， ∵∠HAE＝∠DAE+∠HAE， ∴x+2y＝x+y+∠HAE， ∴∠HAE＝y，即∠HAE＝∠CAE； ∵AB＝AC，AB＝AH， ∴AC＝AH， ∵AG＝AG． ∴△ACG≌△AHG（SAS）． ∴CG＝HG； ∵BG＝BH﹣GH，BH＝2BF， ∴BG＝2BF﹣CG． 12．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在线段BA，CA的延长线上，且AD＝AE，连接EB，DC． （1）求证：∠EBC＝∠DCB； （2）现将△ADE绕点A顺时针旋转α（0°≤α≤90°）， ①如图2，当α＝90°时，若DE＝DC，求证：BC＝BE； ②在旋转的过程中，当线段BE的中点F恰好落在直线AD上时，请利用备用图画出符合题意的示意图，并探究线段AF，AD，AC之间的数量关系． 【分析】（1）证明△BCE≌△CBD，从而得出∠EBC＝∠DCB； （2）①连接CE，证明∠BEC＝∠BCE，从而BE＝BC； ②延长AF至G，使FG＝AF，连接BG，证明△AFE≌△GFB，从而BG＝AE，∠G＝∠DAE＝90°，从而AG2+BG2＝AB2，进一步得出结论． 【解答】（1）证明：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵AD＝AE， ∴BD＝CE， 在△BCE与△CBD中， ， ∴△BCE≌△CBD（SAS）， ∴∠EBC＝∠DCB； （2）①证明：如图1， 连接CE， ∵∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠BAE＝180°， ∴点B，A，E三点共线， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ACB＝45°， ∵∠DAE＝90°，AD＝AE， ∴∠AED＝45°， ∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BE＝BC； ②解：如图2， 4AF2+AD2＝AC2，理由如下： 延长AF至G，使FG＝AF，连接BG， ∵F是BE的中点， ∴BF＝EF， ∵∠AFE＝∠BFG， ∴△AFE≌△GFB（SAS）， ∴BG＝AE，∠G＝∠DAE＝90°， ∴AG2+BG2＝AB2， ∴AG＝2AF，BG＝AE＝AD，AB＝AC， ∴（2AF）2+AD2＝AC2， ∴4AF2+AD2＝AC2． 13．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点D在AC边（端点除外）上，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转120°，得到对应线段BE，过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F． （1）求证：CD＝EF； （2）如图2，连接DE，CF，DE交CF于点G． ①求证：CD+CG＝GF； ②连接CE，若CE＝BD，AD＝2，直接写出BF的长． 【分析】（1）由AAS可证△DBC≌△EBF，可得CD＝EF； （2）①由全等三角形的性质可求∠DCB＝∠BFE＝90°，CB＝BF，由AAS可证△CDG≌△HEG，可得CG＝GH，即可求解； ②先证EK垂直平分BC，可得CH＝BH，由直角三角形的性质可求HF＝2x＝CD，BF＝BCx，由勾股定理可求解． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠A＝30°，∠CBF＝120°， ∵将线段BD绕点B顺时针旋转120°， ∴BD＝BE，∠DBE＝120°＝∠CBF， ∴∠DBC＝∠EBF， ∵EF⊥AB， ∴∠F＝∠C＝90°， ∴△DBC≌△EBF（AAS）， ∴CD＝EF； （2）①证明：如图2，在CF上截取HF＝EF，连接EH， ∵△DBC≌△EBF， ∴∠DCB＝∠BFE＝90°，CB＝BF， ∵将线段BD绕点B顺时针旋转120°， ∴BD＝BE，∠DBE＝120°＝∠CBF， ∴∠BCF＝∠BFC＝30°， ∴∠EFH＝60°，∠DCG＝120°， ∵HF＝EF， ∴△HEF是等边三角形， ∴EH＝EF＝HF＝DC，∠EHF＝60°， ∴∠GHE＝120°＝∠DCG， 又∵∠CGD＝∠HGE， ∴△CDG≌△HEG（AAS）， ∴CG＝GH， ∴GF＝GH+HF＝CG+CD； ②解：延长EH交BC于K，连接BH， ∵△CDG≌△HEG， ∴CG＝GH，DG＝GE， ∴四边形CDHE是平行四边形， ∴HE∥AC， ∴∠ACB＝∠CKE＝90°， ∵CE＝BE， ∴EK垂直平分BC， ∴CH＝BH， ∴∠CBH＝∠BCH＝30°， 设CH＝BH＝x， ∵∠CBF＝120°，∠CBH＝30°， ∴∠HBF＝90°， 又∵∠BFC＝30°， ∴HF＝2x＝CD，BF＝BCx， ∵AD＝2，∠A＝30°， ∴ACBC， ∴2+2x＝3x， ∴x＝2， ∴BF＝2． 14．已知：在等腰直角△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．点P是平面上不与点A、点B重合的一点，连接PA，线段PA绕点P逆时针旋转90°得到PQ，连接QA、CQ、BP． （1）如图1，当点P在BC延长线上时，则∠PCQ的度数为　45°　，并说明理由； （2）如图2，当点Q在CB的延长线上时，若BP＝AB＝4，求△BAP的面积； （3）如图3，点E、F分别是AB、CB的中点，点P在直线EF上，当点B、P、Q共线时，请直接写出BP与AP的数量关系． 【分析】（1）如图1，过Q作QH⊥BP于H，根据旋转的性质得到∠APQ＝∠B＝∠QHP＝90°，求得∠APB+∠PAB＝∠APB+∠QPH＝90°，根据全等三角形的性质得到BA＝PH，∠BP＝HQ，推出CH＝HQ，于是得到∠PCQ＝∠CQH＝45°； （2）如图2，取AQ的中点O，连接PO，BO，根据旋转的性质得到∠APQ＝90°，AP＝PQ，求得OP＝AO＝OQ＝OBAQ，∠PAQ＝∠AQP＝45°，根据圆周角定理得到∠AQP＝∠ABP＝45，根据等腰直角三角形的性质得到PE＝BEPB，求得PE＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）如图，当点Q在线段PB上时，延长AQ交CB的延长线于H．根据平行线的性质得到∠EFB＝∠ACB＝45°，得到∠PAO＝∠OFH，推出PE＝EA＝EB，求得∠EPA＝∠EAP＝∠CAH，得到∠H＝∠CAH，根据等腰三角形的性质得到CH＝CA，得到∠AQC＝90°，推出A，Q，B，C四点共圆，根据圆周角定理得到∠QAB＝∠QCB＝22.5°，∠QBA＝∠ACQ＝22.5°，求得∠QAB＝∠QBA＝22.5°，得到QA＝QB，设AQ＝a，则QB＝AQ＝a，PQ＝APa，于是得到AP＝（1）BP；如图中，当点P在线段CD上时，同法可证：QA＝BQ，设AQ＝a，则BQ＝AQ＝a，PQ＝APa，求得BP＝BQ﹣PQ＝aa，得到AP＝（1）BP． 【解答】解：（1）∠PCQ的度数为45°， 理由：如图1，过Q作QH⊥BP于H， ∵线段PA绕点P逆时针旋转90°得到PQ， ∴∠APQ＝∠B＝∠QHP＝90°， ∴∠APB+∠PAB＝∠APB+∠QPH＝90°， ∴∠PAB＝∠QOH， ∵AP＝PQ， ∴△APB≌△PQH（AAS）， ∴BA＝PH，∠BP＝HQ， ∵AB＝BC， ∴PH＝BC， ∴BP＝CH， ∴CH＝HQ， ∴∠PCQ＝∠CQH＝45°， 故答案为：45°； （2）如图2，取AQ的中点O，连接PO，BO， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABQ＝90°， ∵段PA绕点P逆时针旋转90°得到PQ， ∴∠APQ＝90°，AP＝PQ， ∴OP＝AO＝OQ＝OBAQ，∠PAQ＝∠AQP＝45°， ∴当A，B，Q，P四点在以AQ为直径的同一个圆O上， ∴∠AQP＝∠ABP＝45°， 过P作PE⊥AB于E， ∴∠PEB＝90°， ∴△PEB是等腰直角三角形， ∴PE＝BEPB， ∵PB＝AB＝4， ∴PE＝2， ∴△BAP的面积AB•PE4×2； （3）如图3﹣1中，当点Q在线段PB上时，延长AQ交CB的延长线于H． ∵BE＝EA，CF＝FB， ∴EF∥AC， ∴∠EFB＝∠ACB＝45°， ∵∠PAO＝45°， ∴∠PAO＝∠OFH， ∵∠POA＝∠FOH， ∴∠H＝∠APO， ∵∠APB＝90°，EA＝EB， ∴PE＝EA＝EB， ∴∠EPA＝∠EAP＝∠CAH， ∴∠H＝∠CAH， ∴CH＝CA， ∵∠AQP＝∠BQC＝45°， ∴∠AQC＝90°， ∴CQ⊥AH， ∴∠QCA＝∠QCB＝22.5°， ∵∠AQC＝∠ABC＝90°， ∴A，Q，B，C四点共圆， ∴∠QAB＝∠QCB＝22.5°，∠QBA＝∠ACQ＝22.5°， ∴∠QAB＝∠QBA＝22.5°， ∴QA＝QB， 设AQ＝a，则QB＝AQ＝a，PQ＝APa， ∴PB＝PQ+BQa+a， ∴， ∴AP＝（1）BP； 如图中，当点P在线段CD上时，同法可证：QA＝BQ，设AQ＝a，则BQ＝AQ＝a，PQ＝APa， ∴BP＝BQ﹣PQ＝aa， ∴． ∴AP＝（1）BP， 综上所述，BP与AP的数量关系为AP＝（1）BP或AP＝（1）BP． 15．在Rt△ACB中．∠ACB＝90°，点O是AB的中点，点D是直线AC上一点，连接OD． （Ⅰ）【问题探究】 如图①，当AC＝BC，点D在线段AC上时，将射线OD绕点O顺时针方向旋转90°交BC于点E，连接OD，则CE 　＝　AD（填“＞”，“＜”或“＝”）； （Ⅱ）【问题推广】 如图②，当AC＝BC，点D在线段CA延长线上时，将射线OD绕点O顺时针方向旋转90°交BC延长线于点E，请写出CD，CE，CB三条线段之间的数量关系，并证明； （Ⅲ）【拓展延伸】 如图③，当∠BAC＝30°，点D在线段AC延长线上时，将线段OD绕点O逆时针方向旋转60°得到OE，点E恰好落在线段BC的延长线上，若CD＝2，求线段CE的长． 【分析】（1）连接OC，根据等腰直角三角形的性质得到∠A＝∠B＝45°，求得∠OCE＝∠OCA＝45°，CO⊥AB，根据直角三角形的性质得到OA＝OB＝OCAB，根据旋转的性质得到∠DOE＝90°，根据全等三角形的性质得到CE＝AD； （2）连接OO，根据等腰直角三角形的性质得到∠A＝∠B＝45°，求得∠OCE＝∠OCA＝45°，CO⊥AB，根据直角三角形的性质得到OA＝OB＝OCAB，根据旋转的性质得到∠DOE＝90°，根据全等三角形的性质得到CE＝AD，于是得到CD＝AC+AD＝BC+CE； （3）连接OC，BD，由点O是Rt△ABC斜边AB的中点，得到OB＝OA＝OO，根据等边三角形的性质得到∠BOC＝∠BCO＝60°，根据旋转的性质得到OD＝OE，∠DOE＝60°＝∠BOC，根据全等三角形的性质得到 BD＝CE，∠OBD＝∠OCE，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°， ∵点O为斜边AB中点， ∴∠OCE＝∠OCA＝45°，CO⊥AB， ∴， ∴∠A＝∠OCE，∠AOC＝90°， ∵将射线OD绕点O顺时针方向旋转90°交BC于点E， ∴∠DOE＝90°， ∴∠COE＝∠AOD＝90°﹣∠COD， ∴△AOD≌△COE（ASA）， ∴AD＝CE； （2）CD＝CE+BC，证明如下： 如图，连接OC， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝∠B＝45°，点O为斜边AB中点， ∴∠BCO＝∠BAC＝45°， ∴∠ECO＝∠DAO＝135°，CO⊥AB， ∴，∠AOC＝90°， ∵将射线OD绕点O顺时针方向旋转90°交BC延长线于点E， ∴∠DOE＝90°， ∴∠COE＝∠AOD＝90°﹣∠AOE， ∴△OAD≌△OCE（ASA）， ∴CE＝AD， ∴CD＝AC+AD＝CB+CE； （3）如图，连接OC，BD， ∵点O是Rt△ABC斜边AB的中点， ∴OB＝OA＝OC， ∵∠A＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠BOC＝∠BCO＝60°， ∵将线段OD绕点O逆时针旋转60°得到线段OE， ∴OD＝OE，∠DOE＝60°＝∠BOC， ∴∠BOD＝∠COE＝60°＝∠DOC， ∴△OBD≌△OCE（SAS）， ∴BD＝CE，∠OBD＝∠OCE， ∵∠OCE＝180°＝∠BCO＝120°， ∴∠OBD＝120°， ∵∠DCB＝∠OBD＝∠OBC＝120°﹣60°＝60°， 在Rt△BDC中，sin60°， ∴， ∵CD＝2， ∴CE． 16．在一次数学探究课上，老师给同学们提供了图1的数学模型：“在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，等于腰长的一条线段AD绕点A旋转，…”同学们通过探究后，交流各自的体会： 小晴同学：若α＝60°，则AD在△ABC内旋转任意位置，∠BDC的大小不变（如图2）； 小颖同学：若α＝60°，则AD在△ABC外旋转任意位置，∠BDC的大小也不变（如图3）； 小宁同学：综合前面的结论，发现在图1条件中，AD旋转到任意位置上，∠BDC与α都存在一定的数量关系； … 老师：在图4中，若α＝60°时，过点D作直线DF与AC交于点F，若∠CFD＝∠ABD，在直线DF上取一动点P，当PA﹣PC的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系； 问题： （1）若α＝60°时， ①如图2，当AD在△ABC内旋转任意位置，∠BDC＝ 　150　°； ②如图3，当AD在△ABC外旋转任意位置，∠BDC＝ 　30　°； （2）若α取任意数值（0＜α＜90°），AD旋转任意位置，∠BDC＝ 　180°α或α　（用含α的式子表示）； （3）在图4中，α＝60°，过点D作直线DF与AC交于点F，若∠CFD＝∠ABD，在直线DF上取一动点P，当PA﹣PC的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系，请说出你们的猜想并说明理由． 【分析】（1）①由AB＝AD＝AC，推出∠ABD＝∠ADB，∠ADC＝∠ACD，可得∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°+∠DBC+60°+∠DCB＝120°+（180°﹣∠BDC），求出∠BDC即可； ②由AB＝AD＝AC，推出∠ABD＝∠ADB，∠ADC＝∠ACD，可得∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝∠DBC﹣60°﹣（60°﹣∠DCB）＝﹣120°+（180°﹣∠BDC），求出∠BDC即可； （2）利用（1）中方法可得结论； （3）结论：PA＝PC的最大值＝BD．如图4中，作点C关于直线DF的对称点C′，连接AC′，DC′，CC′，PC′．利用全等三角形的性质证明AC′＝BD可得结论． 【解答】解：（1）①如图2中，∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵AB＝AD＝AC， ∴∠ABD＝∠ADB，∠ADC＝∠ACD， ∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°+∠DBC+60°+∠DCB＝120°+（180°﹣∠BDC）， ∴∠BDC＝150°． 故答案为：150； ②如图3中，∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵AB＝AD＝AC， ∴∠ABD＝∠ADB，∠ADC＝∠ACD， ∴∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝∠DBC﹣60°﹣（60°﹣∠DCB）＝﹣120°+（180°﹣∠BDC）， ∴∠BDC＝30°． 故答案为：30； （2）当AD在△ABC内旋转时，∠BDC＝180°α． 当AD在△ABC外旋转时，∠BDCα． 故答案为：180°α或α． （3）结论：PA﹣PC的最大值＝BD 理由：如图4中，作点C关于直线DF的对称点C′，连接AC′，DC′，CC′，PC′． ∵∠CFD+∠AFD＝180°，∠CFD＝∠ABD， ∴∠ABD+∠AFD＝180°， ∴∠BAF+∠BDF＝180°， ∵∠BAF＝60°， ∴∠BDF＝120°， ∵∠BDC＝150°， ∴∠CDF＝150°﹣120°＝30°， ∵C，C′关于DF对称， ∴DC＝DC′，∠CDF＝∠C′DF＝30°， ∴∠CDC′＝60°， ∴△CDC′是等边三角形， ∴∠DCC′＝∠ACB＝60°，CD＝CC′， ∴∠BCD＝∠ACC′， ∵CA＝CB， ∴△BCD≌△ACC′（SAS）， ∴AC′＝BD， ∴PC＝PC′， ∴PA﹣PC＝PA﹣PC′≤AC′＝BD， ∴PA-PC的最大值为BD． 17．问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题： 等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，点D在底边BC上（点D不与点B，C重合），将这个纸片沿AD折叠，点B的对应点是点E． 猜想证明： （1）如图1，当DE⊥BC时，过点A作AF⊥BC于点F，试判断△ADF的形状，并说明理由； 问题延伸： （2）在（1）的条件下，AE与BC相交于点G，当点G是AE中点时，求证：CF＝2DE； 问题解决： （3）如图2，当△ABC为等边三角形时，点M在AE上，△ADC≌△AMC，过点M作MN∥DE，交BC于点N，连接CM． ①直接写出∠DCM的度数； ②求证：CN＝DE． 【分析】（1）根据折叠的性质证明∠ADB＝135°，进而可以解决问题； （2）证明△AFG≌△EDG（AAS），得AF＝DE．然后利用等腰三角形的性质即可解决问题； （3）①根据△ABC为等边三角形，得∠ACB＝60°，根据△ADC≌△AMC，得∠ACB＝∠ACM＝60°，进而可以解决问题； ②在AC上取一点H，使CH＝CM，连接MH，证明△CMH是等边三角形，得MC＝MH＝CH＝CD，∠MHC＝∠CMH＝60°，然后证明△AMH≌△MCN（ASA）．得AH＝CN．进而可以解决问题； 【解答】（1）解：△ADF为等腰直角三角形，理由如下： 由题意可得△ABD≌△AED， 则∠ADB＝∠ADE． ∵ED⊥BC， ∴∠BDE＝90°， ∵∠ADB+∠ADE+∠BDE＝360°， ∴∠ADB＝135°， ∴∠ADF＝180°﹣∠ADB＝45°， ∵AF⊥BC， ∴∠AFD＝90°， ∴∠DAF＝∠ADF＝45°， ∴AF＝DF； （2）证明：∵点G是AE中点， ∴AG＝EG． ∵ED⊥BC，AF⊥BC， ∴∠EDG＝∠AFG＝90°， 又∠AGF＝∠EGD． ∴△AFG≌△EDG（AAS）， ∴AF＝DE． ∴DE＝BD＝DF． ∵AB＝AC，AF⊥BC， ∴CF＝BF＝2DE； （3）①解：∠DCM＝120°； ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵△ADC≌△AMC， ∴∠ACB＝∠ACM＝60°， ∴∠DCM＝120°； ②证明：如图2，在AC上取一点H，使CH＝CM，连接MH， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠BCA＝∠B＝60°， ∵△ADC≌△AMC， ∴∠ACM＝∠ACB＝60°，BD＝DE，CD＝CM． ∵CH＝CM， ∴△CMH是等边三角形． ∴MC＝MH＝CH＝CD，∠MHC＝∠CMH＝60°， ∴∠AHM＝∠NCM＝120°． ∵△ABD≌△AED， ∴AB＝AE＝AC，BD＝DE，∠E＝∠B＝60°， ∵MN∥ED， ∴∠AMN＝∠E＝60°， ∴∠AMH+∠HMN＝∠NMC+∠HMN． 即∠AMH＝∠NMC． ∴△AMH≌△MCN（ASA）． ∴AH＝CN． ∵CH＝CD， ∴AH＝BD． ∵BD＝DE， ∴AH＝DE． ∴NC＝DE． 18．如图1，已知直线MN∥GH，且MN和GH之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板ACB和DEF，其中∠ACB＝90°，∠DFE＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝1．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： （1）如图1，点A在MN上，边BC在GH上，边DE在直线AB上． ①将直角三角形DEF沿射线BA的方向平移，当点F在MN上时，如图2，求∠AFE的度数； ②将直角三角形DEF从图2的位置继续沿射线BA的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求∠FAN度数； （2）将直角三角形ABC如图3放置，若点A在直线MN上，点C在MN和GH之间（不含MN，GH上），边BC和AB与直线GH分别交于D，K．在△ABC绕着点A旋转的过程中，设∠MAK＝n°，∠CDK＝（4m﹣2n﹣10）°，则m的取值范围为　70°＜m＜92.5°　． 【分析】（1）①由直角三角形的性质和外角性质可求解； ②分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解； （2）由平行线的性质和四边形内角和定理可得n＝4m﹣235°，由边BC和AB与直线GH分别交于D，K，可得45°＜n＜135°，即可求解． 【解答】解：（1）①∵∠DFE＝90°， ∴∠DEF+∠EDF＝90°， ∵∠EDF＝30°， ∴∠DEF＝60°， ∵∠DEF＝∠EAF+∠AFE， ∴∠AFE＝∠DEF﹣∠EAF＝60°﹣45°＝15°； （2）由题意可知，∠AFD＝90°或∠FAD＝90°， ①如图2﹣1，当∠AFD＝90°时， ∵∠AFD＝90°， ∴∠FAD+∠ADF＝90°， ∵∠ADF＝30°， ∴∠FAD＝60°， ∴∠FAN＝∠FAD﹣∠BAN＝60°﹣45°＝15°； ②如图2﹣2，当∠FAD＝90°时， ∠FAN＝∠FAD﹣∠BAN＝90°﹣45°＝45° ∴∠FAN度数为15°或45°； （2）∵MN∥GH， ∴∠MAK＝∠AKH＝n°， ∵∠CAB+∠ACB+∠AKD+∠CDK＝360°， ∴45°+90°+n°+（4m﹣2n﹣10）°＝360°， ∴4m﹣n＝235°， ∴n＝4m﹣235°， ∵边BC和AB与直线GH分别交于D，K， ∴45°＜n＜135°， ∴45°＜4m﹣235°＜135°， ∴70°＜m＜92.5°， 故答案为：70°＜m＜92.5° 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