2026年中考数学压轴题专题-二次函数与角度问题

2026年中考数学压轴题专题-二次函数与角度问题 1.如图，抛物线与y=ax2+bx+3与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧)，与y轴 相交于点C,顶点为1,4)，直线y=3x+7与x,y轴分别相交于点D,E,与直线BC相交 于点F. B (1)求该抛物线对应的函数表达式： (②)请探究在第三象限内的抛物线上是否存在点P,使得∠PBF=∠DFB?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。 2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(-1,0), B(3,0)两点，与y轴交于点C B ○ B 图1 图2 (1)求该抛物线的解析式： (2)如图1，当点P在直线BC上方的抛物线时，连接PC、PB,点M是x轴上一动点，连 接PM、CM.当△PBC的面积最大时，求PM+MC的最小值； (3)在(2)的条件下，将抛物线沿着射线BC的方向平移，当抛物线经过点C时停止平移， 平移后的抛物线为y,点H是抛物线y对称轴上一点，当∠HPC=∠BCP,直接写出所有 满足条件的点H的坐标， 试卷第1页，共3页 3.如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A-2,0),点B(3,0),交y轴于点C. 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式. (②)如图1，点P在直线BC上方抛物线上运动，过点P作PE⊥BC于点E,PF⊥x轴于点F ,PF交BC于点D,求V2PE+,AF的最大值，以及此时点P的坐标. (3)将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度后，得到新抛物线与y轴交于点C,点B的对 应点为B,点M,W是第一象限内新抛物线上的点，且点N到y轴的距离等于点A到y轴的 距离的一半，∠MNB'=∠CBN,请求出点M的坐标. (④)在(3)的条件下，点G是新抛物线的对称轴上一点，在x轴上是否存在一点Q,使得以 点G，Q,M,B为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在， 请说明理由. 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过点(2，-5)，交x轴于点 A-3,0)和点B.交y轴于点C. V 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)如图，点P是直线AC上方抛物线上一动点.连接PA,PC.求△PAC面积最大值及此时 点P的坐标： (3)将原抛物线沿x轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线y,新抛物线y与x轴的负半轴 试卷第1页，共3页 交于点M.点N为平移后的新抛物线上一动点，当∠NMB=∠CAB.请直接写出所有符合 条件的点N的坐标. 5.如图，己知抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于点A(1,0)和B(3,0),与y轴交于点C 图1 2 (1)求抛物线的解析式： (2)点M是抛物线的顶点，求出△MBC的面积； (3)如图2.连接AC,点P是抛物线上的一动点，且满足∠PBC=45°-∠AC0,请直接写出 点P坐标， 6.如图，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点(-l,6),与y轴交于点 C,与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，连接AC,BC,tan∠CBA=4. M B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线CA上方抛物线.上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E,交AC于点D ·点M是线段DE,上一动点，MN⊥y轴，垂足为N,点F为线段BC的中点，连接AM, NF. ①求线段PD长度的最大值 ②当线段PD长度取最大值时，求AM+MN+NF的最小值； ③将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新地物线经过(2)中线段PD长度取得最大值时的 点D,且与直线AC相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动点，当∠ODK=∠ACB时， 接写出所有符合条件的点Q的坐标， 试卷第1页，共3页 7.己知：如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A1,0),B(3,0),与y轴相交于点 C(0,-3. (图1)》 (图2) (备用图) (1)求该抛物线的表达式； (②)如图2，点D为该抛物线第四象限上的一点，连接AC,AD,使∠BAD=2LAC0,请 求出点D的坐标； (3)点P为该抛物线对称轴上的一点，问在(2)的条件下，该抛物线上是否存在点Q,使得 以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存 在，请说明理由 8.如图，抛物线y=ax2+2x+c顶点P到y轴的距离为1.与x轴交于点A和点B(3,0),与 y轴交于点 (1)求抛物线的解析式. (2)设D是抛物线第一象限上的一个动点，过点D作DM⊥x轴于点M,交直线BC于点N, 当线段DN最长时，求点N点坐标 (3)在(2)的条件下，连接AN,抛物线上是否存在点H,使得LHCN=∠ANC,若存在， 请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由. 9.如图，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2+bx+3(a≠0)交x轴于A,B两点，交y轴 于C,且点B(3,0,tan∠0AC=3. 试卷第1页，共3页 H B ()求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H,过点P作PM L BC于点 M,点Q,点R分别是直线BC,y轴上的两动点，连接OH,HR,QR,当5PM+AH 2 取得最大值时，求三角形HOR周长的最小值； (3)将抛物线沿射线AC方向平移√10个单位得新抛物线y,点K是x轴上方新抛物线y上的 一点，连接KB,过点K作KG⊥BC交直线BC于点G,当∠BKG=∠BCA时，直接写出所 有符合条件的点K的横坐标. 10.如图，抛物线y=ax2-x+c交x轴于A(-3,0),B两点（点A在点B的左侧），交y轴 于点C(0,6). 本y M B F F 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点D(1,4)在抛物线上，过点D作DF1x轴于点F,过点A的直线交y轴于点 E(O,2),点P是直线AE上方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥AE于点M,PN⊥DF于 点N,求EPM+PN的最大值，以及此时点P的坐标， (3)如图2，在(2)的条件下，将抛物线y=ax2-x+c沿射线DA方向平移2√2个单位，得 试卷第1页，共3页 到新抛物线片，点R是新抛物线片上一个动点，当∠RAD+∠BDF=45°时，请直接写出所 有符合条件的点R的坐标 11.如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于点A(-1,0)、点 B(4,0),与y轴交于点C.点P是第一象限的抛物线上一动点. B A B 左图 右图 (1)求抛物线的表达式； (②)如左图，连接PC,当LPCB=2LCBA时，求点P的坐标； (3)如右图，过点P作PD⊥BC于点D,求BD+PD的最大值， 12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交 于点C(0,3),且经过点D(4,-5). VA D D (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，过P作PE∥y轴，交直线CD于点E,若以P、E、O、C为顶点的四 边形是平行四边形，求点P的横坐标； (3)抛物线上是否存在点Q,使∠QCD=45°.若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在， 请说明理由。 13.如图，已知直线)=-x+2与x镇、y轴分别交于点B、C,抛物线 y=-】x+bx+C过点B、C,且与x轴交于另一点A,联结4C、BC,点P在抛物线上运 2 试卷第1页，共3页 动. A B O (1)求该抛物线的表达式： (2)若S。4Bc=S.PBc,求点P的坐标； (3)若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA+45°时，求点P的坐标. 试卷第1页，共3页 参考答案 1,(1)解：由题知，抛物线的顶点为1,4)， .y=axr2+bx+3=a(x-12+4 .b=-2a,a+4=3, 解得：a=-1,b=2, .抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. (2)解：存在 理由：直线y=3x+7与x,y轴分别相交于点D,E, :当y=0时，3x+7=0,解得x=一3 7 :点D的坐标为子 解-x2+2x+3=0,得x1=-1,x2=3, 点A的坐标为-1,0)，点B的坐标为3,0， 在y=-x2+2x+3中，当x=0时，y=3, 点C的坐标为0,3)， 3s+t=0 设直线BC的解析式为y=sx+1,则 t=3 s=-1 解得： t=3’ .直线BC的表达式为y=-x+3 y=3x+7「x=-1 解方程组 少=-x+3得 y=4 点F的坐标为-1,4). 连接FA,过点P作PM⊥x轴，垂足为M, 答案第1页，共2页 4 设点P的坐标为m,-m2+2m+3, an∠PBM=PM_上m2+2m+3m2-2m-3 BM 3-m 3-m 当∠PBF=∠DFB时， m2-2m-31 3-m3 4 解得m=- 3’m,=3(舍)， 413 点P的坐标为 3-9 【点晴】本题考查了求二次函数解析式，二次函数综合一角度问题、解直角三角形的应用、 求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此 题的关键。 2.(1)y= 2x2+号x+2 3 23v1ò 2》a2) 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合应用. (1)把A-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+2a≠0)计算即可； (2)作P关于x轴的对称点Q,P9交BC于N,则PQ⊥x轴，连接CQ,QM,先求出直 线sC解折式为=号+2，再设Pm号+号知+2小测Nm知+2小求出 PN=-号m+2a,再银糕5。小P以玻出面积敏大位，得到P引，再由对 称可得PM+MC=QM+CM≥CQ,当M在线段CQ上时，PM+MC=CQ最小，求出最小 答案第1页，共2页 值CQ的长即可： )先求出平移后解析武为y三号-氵x+2,对称轴为直线x=2,当H在直线PC 方时，由∠PC:C可行8C/P明，求直线P以解新式为=子+子与：=-2的 交点即为H-2,6 当H在直线PC下方时，如图H2,由∠HPC=LBCP,可得 159 FC=FP,根据距离公式求出F 14’7 再求出直线PH,解析式为y=x-?, 6 x4,与x=-2的 交点即为H, -2, 12 【详解】(1)解：把A(-1,0),B(3,0)代入y=ar2+br+2a≠0)得 0=a-b+2 0=90+3b+2’解得 b= 4 该抛物线的解析式为y+x+2 3 (2)解：作P关于x轴的对称点Q,P9交BC于N,则PQ⊥x轴，连接CQ,QM, D M B 9 令=0，则y三-3+，x+2=2、 3 .C(0,2）, 2=b [b=2 设直线C都式为)=+，代入c02,10得6-站+4，解得飞=号 直线BC解新式为y=子+2. :点P在直线BC上方的抛物线，PQ⊥x轴， 设P号+m+2小则+2小， 3 答案第1页，共2页 2.S..me + 1 1 =2xa-e小PW +2 329 =-m2+3m=-m- 2+4 2 :P关于x轴的对称点Q, 引w=w .PM+MC=QM+CM≥CQ, 当M在线段CQ上时，PM+MC=CQ最小，最小值CQ 2 (3)解：：直线BC解析式为y=-二x+2, 3 :.将抛物线沿着射线BC的方向平移，可设抛物线向左移动3个单位，再向上移动2n个单位， 平移后解斩式为y=x+3训+等x+3训+22， 2 3 :当抛物线经过点C时停止平移， 2 24 把C(0,2)代入y=- 引+3训+x+3别+22a有2子+号×3加+2+2 3 解得n=1,n2=0(舍去)， :平移后解析式为y= 3x+3+x+3+22=号x- 3+2, 8 对称轴为直线x=- 3=-2, 2 ×2 3 当H在直线PC上方时，如图点H即为H, 答案第1页，共2页 D ⊙ B ∠H,PC=∠BCP, .BC∥PH, 设直线PH,解析式为y= 3+b, 代入P35) ×三+6，解得，=了 :直线P以解折成为y=子+子 2.72 当x=-2时，y=- 2 3术+ (2》 当H在直线PC下方时，如图点H即为H2,此时PH2交BC于F, 答案第1页，共2页 D B ∠H,PC=∠BCP,即∠FPC=∠FCP, .FC=FP, 15 解得n= 14 r侣引 设直线PH2解析式为y=kx+b, 17 代入引侣别 5-3k+b 221 k3= 6 915 ，解得 k3 +b3 b3=- 7-14 直线PH,解析式为y=x-? 64’ 46×(-2-789 当x=-2时，y=x-7-17x 6 412 2》 综上所述，当∠HPC=∠BCP时，所有满足条件的点H的坐标为 -2, 3.①y=-x2+x+3 2 2 答案第1页，共2页 (②)V2PE+4F最大值为3：P2,2) (3)M(3,2 (4)存在点Q,点Q的坐标 30或300 【分析】(1)把点A-2,0),点B(3,0)代入即可求解： (2)根据题意可得，△BOC是等腰直角三角形，并求出直线BC的解析式为：y=-x+3, 可得PED是等题直角三角形.则PD-PE,设Pp++3jD<p<引，则 D叫，p+引，Pn0,且A-20.PD=P2+弓P,4F=p+2,结合=次函数图象的 3 性质即可求解； (3)根据抛物线的平移可得C'(0,2),B'(4,0),N(1,3),并求出直线B'C'的解析式，过点 N作NM∥B'C',交抛物线与点M,运用待定系数法求出直线MN的解析式，再联立新抛 物线为方程组即可求解。 (4)分两种情况：当GQ∥MB',GQ=MB'时或当B'M为以点G,Q,M,B为顶点的四边形 为平行四边形的对角线时，根据平行四边形性质分别求出即可· 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过点A(-2,0),点B(3,0), 4a-2b+3=0 代入可得， 9a+3b+3=0’ a=- 解得， 2 1 b2 1 1 抛物线解析式为：y= 2r+2x+3: (2)解：当x=0时，y=3,即C(0,3, B(3,0,C(0,3),∠B0C=90°， .OB=OC=3,即△BOC是等腰直角三角形， L0BC=0CB=45°， 设直线BC的解析式为：y=kx+b,(k≠0)， 点B3,0),点C(0,3). 答案第1页，共2页 [3k+b=0 b=3 k=-1 解得， b=3 直线BC的解析式为：y=-x+3, 如图所示， F B :PE⊥BC,PF⊥x轴， .∠PED=∠BFD=90°，且∠OBC=45°， .∠PDE=∠BDF=90°-45°=45°， PED是等腰直角三角形， PD=√2PE, 设P2+P+3j0<p<到，则D(p,-p+,Fn.0,且-20， +0+3-(p+到=pr+ PD=-1 +2D,AF=P+2, V2PE+}A=-1 +2D+2p+2=- p+2p+1=p-2+3. -2<0, :当P=2时，√2PE+AF有最大值，最大值为3， 1 1 y=-号×22+号×2+3=2， 2 2 P(2,2: (3)解：存在点M,点M的横坐标为xM=3,理由如下， 2 答案第1页，共2页 :将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为： ”2 令x=0,则y=2, 解得x=-1,x2=4, C'(0,2),B'(4,0), 点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A(-2,0)到y轴的距离的 一半， xw=0A=1,且0<xw<4, .N(1,3, B'(4,0,C(0,2), 设直线B'C'的解析式为y=mx+nm≠O), 4m+n=0 n=2 1 m=- 解得， 2, n=2 ·直线B'C'的解析式为：y=- x+2, 2 新抛物线图像如图所示， 答案第1页，共2页 M B 过点N作NM∥B'C',交抛物线与点M,则∠MNB'=∠C'BW, 设直线MN的解析式为y=x+了，把点N,3)代入得，x1+=3, 7 解得，f= 2' 1 直线MN的解析式为：y=- 2x+2 17 y=- 2 联立新抛物线与直线MN为方程组得， y=- 2 1 3 22 x=1 (与点N重合，不符合题意，舍去)或{ x=3 解得， y=3 =2 M3,2; 4)解：：新抛物线的解析式为：y三2x+了， 25 2* :对称轴为直线x= 2 :M(3,2),B'(4,0),点Q在x轴上，以点G,2,M,B'为顶点的四边形为平行四边形， 当GQ∥MB,GQ=MB时，如下图： 答案第1页，共2页 3 X= 2 G M 92 :M3.2,则c32 0 91 “点M向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到B(4,0), ·点G, 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到2 同理，有G(32,则0(20)： 当B'M为以点G,O,M,B为顶点的四边形为平行四边形的对角线时， 3 2 M G 则GM∥B'Q,GM=B'Q, :,2,则c32 B'4,0, so4.o) 综上所述，存在点Q,点Q的坐标 2300 【点晴】本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函 数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次 方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键 答案第1页，共2页 4.(1)y=-x2-2x+3 (3)2,3)或(4，-5) 【分析】(1)将点A的坐标和(2，-5)代入解析式，即可求解； (2)过点P作PD⊥x轴，交x轴于D,交BC于E,待定系数法求得直线AC的解析式为 y=x+3,设xp=m,Pm,-m2-2m+3,E(m,m+3),则有PE=yp-yE=-m2-3m,由 S△P4c=S△PME+S△PCE及二次函数的性质即可求解； (3)由二次函数图象平移得y'=-(x-1)+4,①当∠NMB=∠CAB时，由平行线的判定方 法得MN,∥AC,由待定系数法得直线MN,的解析式为y=x+1,联立二者解析式，即可求 解；②当∠N,MB=∠CAB时，直线MN,与直线MN2关于x轴对称，直线MN2经过N,关于 x轴对称点(2，-3)，同理可求. 【详解】(1)解：由题意得 「4a+2b+3=-5 9a-3b+3=0 a=-1 解得： b=-2' :抛物线的解析式为y=-x2-2x+3; (2)解：如图，过点P作PD⊥x轴，交x轴于D,交BC于E, VA E B 当x=0时，y=3, C(0,3, 设直线AC的解析式为y=+b,则有 答案第1页，共2页 [-3k+b=0 b=3 [k=1 解得： b=3’ :直线AC的解析式为y=x+3, “A-3,0), 0A=3, 设xp=m, .Pm,-m2-2m+3), E(m,m+3, ∴PE=yp-yE =-m2-2m+3-m+3 =-m2-3m, ∴S.PAC=SPAE+SPCE PE:AD+PE.OD -PE(D+00 PE-04 m-3 、3 3、9 2 %, “点P是直线AC上方抛物线上一动点， :-3<m<0, 、3 0, 9 :当x= 2 3 2时， 2× 2 答案第1页，共2页 27 81 -(-2} 5 =4 》 故P4C面积最大值为召，此时点P的坐标为多)： (3)解：由题意得 M(-1,0), :y=-x2-2x+3 =-(x+1)2+4, :y'=-(x+1-22+4 =-(x-1)2+4, ①当∠NMB=∠CAB时，如图， MN,∥AC, M B :设直线MN,的解析式为y=x+h,则有 -1+b=0, 解得：b=1, :直线MN的解析式为y=x+1, 答案第1页，共2页 y=x+1 联立 y=-(x-1)2+4' 解得： x=-1x2=2 出=0 3=3’ N(2,3): ②当∠N,MB=∠CAB时，如图， :直线MN与直线MN2关于x轴对称， B N2 :直线MN2经过N,关于x轴对称点(2，-3)， 同理可求直线MN2的解析式为y=-x-1, y=-x-1 联立 y=-x-12+4' 解得： [x=-1「x2=4 乃=0’ h=-5’ N24,-5): 综上所述：N的坐标为2,3)或(4，-5). 【点晴】本题考查了待定系数法，二次函数与三角形面积最值综合问题，二次函数与角度综 合问题，掌握待定系数法，能熟练利用二次函数的性质求最值及分类讨论思想解题问题是解 题的关键。 5.(1)y=-x2+4x-3 (2)S.MBc=3 国后)-25 a+b-3=0 【分析】(1)将点A1,0)和B3,0)代入y=ax2+bx-3可得 9a+3b-3=0'再解方程组可得 答案第1页，共2页 答案： (2)如图，连接MC,MB,记MC与x轴的交点为K,求解M(2,1)及MC的解析式，再求 解K的坐标，最后利用三角形的面积公式计算即可： (3)如图，连接AC,取T(0,-1),连接BT交抛物线于P,证明∠0CB=∠0BC=45°， △AC0≌△TB0,可得∠ACB=∠TBC=45°-∠AC0,即∠PBC=45°-∠AC0,求解直线BT 为yx-1,再进一步解答即可：如图，：87C关于直线BC对称的a0C,证明 ∠TCQ=90°，可得Q(2,-3),同理可得：BQ的解析式为：y=3x-9,记直线与抛物线的 交点为P,再进一步求解即可 【详解】(1)解：将点A1,0)和B3,0)代入y=ax2+bx-3可得： 「a+b-3=0 a=-1 90+36-3=0'解得6=4 .y=-x2+4x-3. (2)解：如图，连接MC,MB,记MC与x轴的交点为K, y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1, M(2,1, 当x=0时，y=-x2+4x-3=-3, .C(0,-3, 设直线MC为y=kx-3, 2k-3=1,解得：k=2, 直线MC为y=2x-3, 答案第1页，共2页 3 当y=2x-3=0时，解得x=2, (3)解：如图，连接AC,取T(0,-1,连接BT交抛物线于P, P B(3,0,C(0,-3,A1,0), .0B=0C,0A=0T,而∠B0C=90°， .∠0CB=∠0BC=45°，△AC0≌aTB0, .ZACO=ZTBO, .∠ACB=∠TBC=45°-∠AC0,即∠PBC=45°-∠AC0, 设直线BT为y=ex-1, 1 :3e-1=0,解得：e=3 1 直线BT为y=二x-1, 3 y=-x2+4x-3 1 =3-l x=3 解得： 3 .7 y= 9 答案第1页，共2页 如图，△BTC关于直线BC对称的△BQC, ∴∠QBC=∠TBC,CT=CQ=2,∠TCB=∠QCB=45°， ∠TCQ=90°， .0(2,-3), 同理可得：BQ的解析式为：y=3x-9,记直线与抛物线的交点为P, LP'BC=45°-LAC0, +4r-3 y=3x-9 x=3 x=-2 解得： y=0 或 y=-15' .p'(-2,-15), 综上：p37)）】 39 或(-2，-15) 【点晴】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与图形面积，二次函数与角度问题， 本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键 6.(1)y=-x2-3x+4; a0m4:@2:@-2或98 2 【分析】(1)由题意利用正切函数求得0B=1,得到B(1,0),再利用待定系数法即可求解： (2)①求得A-4,0),利用待定系数法求得直线AC的解析式，设P(p,-p2-3p+4),即可 求得PD最大值； ②证明四边形AMNE是平行四边形，得到AM=EN,推出当E、N、F共线时，EF取最小 值，即AM+MN+NF取最小值，据此求解即可； ③求得D(-2,2),再利用平移的性质得到新抛物线的解析式y'=-x2-7x-8,再分两种情况 讨论，计算即可求解. 【详解】(1)解：令x=0,则y=4, .C(0,4), 答案第1页，共2页 .0C=4, .:tan∠CBA=4, 俗4 .OB=1, B(1,0), 6=a-b+4 将B(1,0)和-1,6)代入y=ax2+bx+4得 0=a+b+4' a=-1 解得b=3 .抛物线的表达式为y=-x2-3x+4: (2)①解：令y=0,则0=-x2-3x+4, 解得x=-4或x=1, D M N .A-4,0), 设直线AC的解析式为y=mx+4, 代入A-4,0),得0=-4m+4, 解得：m=1, .直线AC的解析式为y=x+4, 设Pp,-p2-3p+4(-4<p<0),则D(P,p+4), .PD=-p2-3p+4-（p+4)=-(p+2)2+4, .-1<0, 当p=-2时，PD最大，此时P(-2,6), .PDu =4 答案第1页，共2页 ②由①得：AE=2,MN=0E=2,E-2,0, .AE=MN,AE∥MN, 连接EN, 四边形AMNE是平行四边形， :AM EN, .AM +MN N F E N MN N F 2 M N E F :当E、N、F共线时，EF取最小值，即AM+MN+NF取最小值， :点F为线段BC的中点， 62 +2247 :4M+MN+NF的最小值为V④ +2； ③解：由①得点D的横坐标为-2，代入y=x+4,得y=2, .D-2,2, .新抛物线由y=-x2-3x+4向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， y'=-(x+2)2-3x+2)+4-2=-x2-7x-8, 过点D作D9,∥BC交抛物线y于点g, .∠QDK=∠BCA, 同理求得直线BC的解析式为y=-4x+4, :Dg∥BC, 直线Dg的解析式为y=-4x-6, 联立得-4x-6=-x2-7x-8, 解得x1=-1,x2=-2, 当x=-1时，y=-2, .0-1,-2), 答案第1页，共2页 作DO关于直线AC的对称线得DO交抛物线y于点2， ∠Q2DK=∠QDK=∠BCA, 设DQ交x轴于点G, 由旋转的性质得到DG=DG', 过点D作DR∥x轴，作DH⊥x轴于点H,作G'H'⊥DR于点H', S G R H KD G 当y=0时，0=-4x-6, 号》 sq- A-4,0）,C(0,4), 0A=0C, .L0AC=∠0CA=45°， :DR∥x轴， .∠RDA=∠DAH=∠ADH=45°， .∠G'DH'=∠GDH, :∠G'H'D=∠GHD=90°，DG'=DG .△GD'H'≌△GDH, 61=6H=2-号0n-0M=2. 13 同理直线DQ2的解析式为y=-,x+ 4 2, 答案第1页，共2页 1 联立-x2-7x-8=- 4x+2 解得x=-2或x=19 当x=-19 119),343 4 时，y=一 442161 1943 416 综上，符合条件的点0的坐标为-山，-2)或416 1943 【点晴】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系 式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题 的关键， 7.(1)y=-x2+4x-3 ga (3)存在； 117) 19_105 (4'16 4,-16 【分析】(1)利用待定系数法求解析式即可； (2)在x轴上截取OE=OA,连接EC,过点A作AN⊥EC于N,过点D作DM⊥x轴于 M,证明LACE=2LAC0,根据勾股定理得出AC=√0A2+0C2=√0，根据等积法求出 AN=30,根据勾股定理得出NC=√4C-4w_4yi 2,设D(m,-m2+4m-3),得出 5 DM=m-4n+3,OM=m,，证明△ANCDMA,得出A=C DM AM ,即可得出答案； (3)设P(2,yp),Q1,-12+4t-3),当AD为平行四边形的对角线时，当AP为平行四边形 的对角线时，当AQ为平行四边形的对角线时，分别根据中点坐标公式求解即可. 【详解】(1)解：把点A1,0),点B(3,0),点C(0,-3)代入y=ax2+bx+c 9a+3b+c=0 得a+b+c=0, c=-3 a=-1 解得b=4, c=-3 抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3; 答案第1页，共2页 (2)解：在x轴上截取OE=OA,连接EC,过点A作AN⊥EC于N,过点D作DM⊥x轴 于M,如图所示： AY EO A BM :0A=OE,CO⊥AE, :CE=CA, :∠AC0=∠EC0, :∠ACE=2LAC0, :A(1,0),C(0,-3), ∴0A=1,0C=3, ∠A0C=90°， 在RtAAOC中，由勾股定理得： ...AC=V04+0C2=10, :CE=CA=10, S.Mc-10C.AE=1AN-CE, 2 2 x3x2-xNx0, 1 2 AN=310 5 在Rt△ANC中，由勾股定理得： NC=VAC2-Aw_4i而 5 设D(m,-m2+4m-3, .DM=m2-4m+3,0M=m; 又：0A=1, ∴.AM=m-1, :∠DAM=2∠AC0=∠ACN, 答案第1页，共2页 又：∠ANC=∠DMA=90°， :△ANC∽△DMA, :AN、Cw 3V10 4V10 5 5, m2-4m+3m-1 15 解得m1=1(舍去)，m2= 4 (3)解：抛物线y=-x2+4x-3的对称轴为：x=2, 假设存在，设P(2,yp),Q(1,-t+41-3, 根据解析(2)可知：D5-33 4’16 ,A1,0), 分两种情况讨论： 当AD为四边形的对角线时，根据中点坐标公式得： 15 4 =1+2, 解得：1= 4 117) 此时(416) 当AP为四边形的对角线时，根据中点坐标公式得： 1+2=15+1, 4 3 解得：t= 4 此时Q 3105 4169 当AQ为四边形的对角线时，根据中点坐标公式得： 1+1=1 +2, 4 解得：t=19 4 19105 :此时4,16 综上分析可知：点Q的坐标为 【点晴】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求解析式，三角形面积问题，三 角形相似的判定和性质，以及二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与 答案第1页，共2页 性质是解题的关键， 8.(1)y=-x2+2x+3 ©》 (3)存在， 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，一次函数的平移，一次函数与二次函数综合， 二次函数的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题. (1)由题意可得，抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线经过点B3,0),可得A(-1,0),用 待定系数法即可求解； (2)求出直线BC的解析式，设点D坐标为(，-t2+2t+3),则点N(t,-t+3),进而表示出 DN的长，根据二次函数的性质，即可求解. (3)先求得直线AN的解析式，进而根据平行线的性质，得出AH的解析式，联立抛物线 解析式，即可求解。 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+2x+c顶点P到y轴的距离为1.则对称轴是直线x=1, 与x轴交于点A,B(3,0), A-1,0), [a-2+c=0 9a+6+c=0 a=-1 解得 c=3, .抛物线的解析式y=-x2+2x+3; （2):y=-x2+2x+3, .C(0,3), 设直线BC的解析式为y=c+3, 将点B3,0)代入得：0=3k+3, 解得：k=-1, .直线BC的解析式为y=-x+3; 设点D坐标为t,-2+2t+3,则点N(1,-1+3, 答案第1页，共2页 ov-4+到-+到=+=-号 当时0v最长，此时N》 (0)解：设直线的解折式为y=+4,代入4-10，N[3别得 -k1+b=0 3+ 3 3 解得： k25 63 5 直线4的解折式为y+号 5 如图所示，当CH∥AN时，∠HCN=∠ANC, 3 设直线CH的解析式为y=二x+h,代入C(0,3)得，h=3, 5 3 y=亏x+3 〔3 联立少+3 y=-x2+2x+3 7 x=0 x-5 解得： 或 y=3 6 V=2 传器 设H关于BC的对称点为H'(m,n), .HC=HC,HH的中点在BC:y=-x+3上， 答案第1页，共2页 7 96 m+- +n 5+3=2 2 2 21 1 m=- 25或 m- 解得： (舍去) 54 n=5 n225 218 .H'255) 设直线CH'的解析式为y=k2x+3,代入H' 218 25'5 821k+3 5=-25 5 解得：k,=3 5 y=3+3 í5 联立少=3+3 y=-x2+2x+3 {x- x=0 解得： 3 y=3 (舍去)或 (舍去) 32 y9 796 综上所述，抛物线上是否存在点H 5'25 使得LHCN=LANC. 9.(1)y=-x2+2x+3 (222 2 613-24或1 6 【分析】(1)先求出点C的坐标，利用tan∠OAC=3,求出点A的坐标，结合B(3,0),利 用二次函数的交点式求解即可； (2)求出直线BC的解析式，设PH交BC于点T,设P(m,-m2+2m+3,则可得 Tm,-m+3,H(m,0),PT=yp-y,=-m2+3m,AH=m+1,利用等腰直角△PMT得出 Pm=W.,则pW:h-方PT:=+名+1，利用=次数的最的 2 2 2 答案第1页，共2页 求出Y5PM+AH最大时点H的坐标，作点H关于y轴的对称点H"',关于直线BC的对称 2 点H",连接HR,H"Q,BH",HH",利用对称求出H'和H"的坐标，由对称可得 HR=HR,H"Q=HQ,则△HQR的周长=HR+QR+HQ=HR+QR+H"Q≥HH",求 H'H"即可； (3)利用0A=1,0C=3,AC=√042+0C2=√0，求出平移后的解析式 y=-x2+4x+3,分两种情况：①当点K在BC下方时，此时点K设为点K,设直线BK交 AC于点R,交y轴于点M,过点M作ML⊥BC于点L,先得出∠CRB=∠KG,B=90°， 再求出a∠CBK=:则可求出点M的坐标，再求出直线BM的解析式，联立新抛物线解 析式即可求解；②当点K在BC上方时，方法同①. 【详解】(1)解：当x=0时，y=ax2+bx+3=3, .0C=3,C0,3, :tan∠0AC=3, 0C3=3, ÷0A0A .0A=1, A-1,0), 又：抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)交x轴于A,B两点，B(3,0), 设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3)=ar2-2ax-3a, 又：抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)， .ax2+bx+3=ax2-2ax-3a, .3=-3a, 解得：a=-1, .抛物线解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：设直线BC的解析式为y=x+d, 将B(3,0),C(0,3代入， 3k+d=0 得： d=3’ 答案第1页，共2页 [k=-1 解得： d=3' 直线BC的解析式为y=-x+3, 设PH交BC于点T,设Pm,-m2+2m+3, :PH⊥x轴， .Tm,-m+3,H(m,0), .PT=yp-y =-m2+3m,AH =m+1, :0B=0C=3,∠B0C=90°， .∠0BC=∠0CB=45°， ∠CTP=∠BTH=45°， :PM⊥BC, ∠PMT=90°， .∠MTP=∠MPT=45°， PM -TM5 PT-V2PT 2Γ pA(m)m1 2 1 0, :对于抛物线5PM+AH=-m+m+1开口向下， 12 2 2 2 5 又：对称轴为直线m= 当m-时，PM+取得最大值，此时H[0小 2 2 如图，作点H关于轴的对称点Hr0, 关于直线BC的对称点H",连接HR,HQ, BH",HH", 答案第1页，共2页 M H B 由对称可得LHBC=LHBC=45,BH=BH”=3-5=, -22 .∠HBH"=90°， r》 由对称可得HR=HR,H"Q=HQ, .△HOR的周长=HR+QR+HQ=HR+QR+H"Q, 由两点之间线段最短得HR+QR+H"Q≥HH”,且当H'、R、Q、H"依次共线时取得最小 值， 此时△HQR的周长最小值=HH" (3)解：.0A=1,0C=3,AC=V0A2+0C2=√10， .将抛物线沿射线AC方向平移√10个单位得新抛物线y,相当于水平向右平移1个单位长 度，再向上平移3个单位长度， y'=-(x-1)2+2(x-1+3+3=-x2+4x+3, 当点K在BC下方时，如图，此时点K设为点K,设直线BK,交AC于点R,交y轴于点M ,过点M作ML⊥BC于点L, 答案第1页，共2页 G M A ∠BK,G=∠BCA,∠K,BG=∠CBR,∠KGB=90°， .∠CRB=∠KGB=90°， 1 :S△ABc= 1 AB-OC-2AC-BR, .BR=4B.OC_4x3610 AC 10 5 :BC=V0C2+0B2=3V2, ·CR=VBC2-BR_31O 5 .tan∠CBK,= CR 1 BR2 :ML⊥BC, itan∠CBK,=L-1 BL 2' ∠0CB=45°， .∠OCB=∠CML=45°， :CL ML, :BC CL+BL ML+2ML =3ML =32, ML=√2， ∴CM=√2ML=2, .OM=1, .M(0,1, 答案第1页，共2页 设直线BM的解析式为y=px+q, 将M(0,1,B(3,0代入， 得： 9=1 3p+q=0 1 D=- 解得： 3， 9=1 “直线BM的解析式为y=- 3+1, 联立抛物线y'=-x2+4x+3, 得：-x2+4x+3=-二x+1, 3 解得：x=13-V241或13+24 (此时在x轴下方，故舍)， 6 6 ·点K的横坐标为13-V241 6 当点K在BC上方时，如图，此时点K设为点K,设直线BK,交y轴于点N,过点N作 NS⊥BC于点S, .∠K,BG2=∠KBG1, ·tan∠K,BG,=S-1 BS 2' .BS=2NS, :∠NCS=∠0CB=45°， .LNCS=∠CNS=45°， NC .NS=CS= 2, .BS=2NS =2CS, WS=CS=BC=3√2， .NC=√2WS=6, .0N=9, N(0,9, 设直线BN的解析式为y=r+e, 将N(0,9),B(3,0代入， 答案第1页，共2页 e=9 得： 3t+e=01 t=-3 解得： e=9’ 直线BN的解析式为y=-3x+9, 联立抛物线y=-x2+4x+3, 得：-x2+4x+3=-3x+9, 解得：x=1或6（此时在x轴下方，故舍）， 点K2的横坐标为1； 综上所述，满足条件的点K的横坐标为13-√24或1. 6 【点晴】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求二次函数，二次函数的最值，一 次函数与二次函数的交点，勾股定理，三角函数，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数， 熟练掌握这些性质和判定是解题的关键， 10.(1)y=-x2-x+6 阳9》 3 PM+PN的最大值为1 (3)点R的坐标为(-2,4或 -21+√265√265+3 8 32 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (2)待定系数法求出直线5的解析式为y=子x+2,作PH∥y轴交E于，令DF交 4E于G,证实∠4E0=∠PHW,得钻sn∠PHM-P时=如∠E0店·计笑 3 ΓPH PH=EpM,，从而可得正PM+PN=PH+PN,设P(m,-m-m+6)-3<m<0),则 Hm,5m+2N1,-m2-m+6),表示出PH=-m2- 2 m+4,PN=1-m,从而可得 3 3 PM+PN PH+PN - 4261 m+ 最后由二次函数的性质即可得解： 3 (3)求出抛物线与x轴的另一个交点坐标B(2,0),由题意可得新抛物线乃的解析式为 答案第1页，共2页 y=-x2-5x-2,求出新抛物线y与x轴的交点坐标为 75 -,0或 220 小 △ADF为等腰直角三角形，得到∠DAF=∠ADF=45°，求出直线AD的解析式为y=x+3, y=x+3 联立 17求解得出新抛物线片与直线AD的交点坐标为-1,2)，（-5，-2)， 再分两种情况：当点R在AD上方时，过点A作直线SA∥DF,连接DA,BD,作RQ⊥SA 于Q,则LSAD=∠ADF=45°，∠QAR+∠RAD=45°；当点R在AD下方时，作RT⊥x轴 于T,则LRAD+∠RAT=45°，分别解直角三角形求解即可. 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2-x+c交x轴于A-3,0),B两点（点A在点B的左侧）， 交y轴于点C(0,6), 9a-（-3)+c=0 c=6 a=-1 解得： c=6’ .抛物线的解析式为y=-x2-x+6: (2)解：设直线AE的解析式为y=c+b, -3k+b=0 将A(-3,0),E(0,2)代入解析式可得 b=2 2 k= 解得： 3, b=2 2 直线AE的解析式为y=三x+2, 3 如图，作PH∥y轴交AE于H, 答案第1页，共2页 D H M B 0 图1 则∠AEO=∠PHM, E(0,2),A(-3,0, .OE=2,0A=3, .AE=√A02+0E2=3, .sin∠AEO= A0 3 AE13 .sin∠PHM= PM 3 PH =sin∠AE0= 3, ·PH=3 PM, 3 PM PN-PH+PN. 3 2 设P(m,-m2-m+6-3<m<0,则Hm,亏m+2N1,-m2-m+6), PH=-m2-m+63m+2=m2-子m+4,Pw=1-m, 3 .pof +PN=PH+PNm )2.61 3 8m+5=-m+3 9 :-1<0, 当m= 4时， PM+PN的值最大，为gt时-m-m+6-9.即P手9） 3 (3)解：：y=-x2-x+6=- :抛物线的对称轴为直线x=一2' 1 A-3,0), 答案第1页，共2页 ∴.抛物线与x轴的另一个交点坐标B(2,0), :将抛物线y=ax2-x+c沿射线DA方向平移2√2个单位，得到新抛物线， :将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线？， 4 解得：5=75 175 22 22 .新抛物线乃与x轴的交点坐标为 :A-3,0,D(1,4), :AF=DF=4, ∴.△ADF为等腰直角三角形， .∠DAF=∠ADF=45°， 设直线AD的解析式为y=kx+b, 将A-3,0),D(1,4)代入解析式得 4=k+b 0=-3k+b' 解得： k=1 b=3 .直线AD的解析式为y=x+3, y=x+3 x=-1x=-5 联立 引+解 y=2 或 y=-21 .新抛物线y与直线AD的交点坐标为(-1,2)，（-5，-2)， 如图，当点R在AD上方时，过点A作直线SA∥DF,连接DA,BD,作RQ⊥SA于Q, 则∠SAD=∠ADF=45°，∠QAR+∠RAD=45°， 答案第1页，共2页 R D 设Rn,-n2-5n-2(-3<n<-1),则2(-3，-n2-5n-2）, .QR=n+3,A0=-n2-5n-2, :LRAD+∠BDF=45°， .∠OAR=∠BDF, :D1,4,B(2,0, .BF=1,DF=4, tan∠QAR=tan∠BDF=BF=L DF 4' n+3 1 -m-5n-24' 解得：n=-2或n=-7（不符合题意，舍去)， 当n=-2时，-n2-5n-2=4,此时R(-2,4)； 当点R在AD下方时，作RT⊥x轴于T,则∠RAD+∠RAT=45°， 人y :∠RAD+∠BDF=45°， ·∠RAT=∠BDF, 答案第1页，共2页 设R(s,-2-5s 2 22 ,则AT=3+3,RT=-52-55-2, :tan∠RAT=tan∠BDF=BF=！, DF 4 ：-s2-5s-2.1 +34’ 解得：y=-21+265或=-21-265 (不符合题意，舍去)， 8 8 当5=-21+265时，-g2-5-2=26+3,此时R -21+√265√265+3 8 32 32 -21+√265√265+3 综上所述，点R的坐标为-2,4或 8 32 【点晴】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合一线段问题、二次函数综 合一角度问题、解直角三角形的应用、求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质等 知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此 题的关键。 3 9 11.(1)y=- x+3 4 4 a 3)28g 48 【分析】(1)由待定系数法即可求解； (2)过点C作CE∥AB,则LECB=∠CBA,过点P作PF⊥CE于点F,∠PCB=2LCBA, 则∠PcE=∠CaB,则m∠PcE=an∠CB4-设Pa++小，则 3 9 F=,CF=,限器子 9 子m+4”_3,解方程，即可求解： 4 (3)过点P作PT⊥x轴于点T,交CB于点H,作DN⊥PH于点N,设 ∠Ta-c34,ma8瓷-子散点P+子+小则n-+时小 进而分别表示出BD,PD,根据二次函数的性质即可求解， 【详解】(1)解：由题意得：y=a(x+1)(x-4)=ax2-3x-4, 则-4a=3,则a=子 答案第1页，共2页 :抛物线解析式为：y=+9x+3, 9 44 (2)过点C作CE∥AB,则LECB=∠CBA,过点P作PF⊥CE于点F, 当x=0,则y=3, 则C(0,3),则0C=3 :LPCB=2LCBA,则LPCE=∠CBA, 又B(4,0),则0B=4, 则an∠PCE=tan∠CBA=OC=3_PF OB 4 CF 。+3,则PF=-。m2+二m，CF=m 4 3 9 m2+m3, ： 4 名 4 解得：m=0(舍去)或m=2 37 当m=2时，- 4 49 4m+3s-3 4 2+3=9 。9 P22月 (3)过点P作PT⊥x轴于点T,交CB于点H,作DN⊥PH于点N, 设∠TPD=∠CBA=a,tana= 0C3 OB 4' BC=0C2+0B2=5 答案第1页，共2页 sina-cosa=亏' 3 .4 设直线BC的表达式为y=+3,代入B(4,0), ：0=4k+3, 钢：天=号 :直线BC的表达式为y=-2x+3, 设点Px, 4 4 x2+9 PH=-3 3 x+3- 4 4 3x2+3x x+3=- 则DH=PHsina-?PH,BH=TB-4-刘 3 5 cosa 4 BD-HD+BH-PH+(4-) 又：PD=Hcos=2PH 2 2 PH =2pH+4-+ 4 =w4 =-3x+3x+54-刘 4 3 0，当x=名时，8D+片PD有绿大 289 48 :8D+号PD的最大值为 89 48 【点晴】主要考查了二次函数综合，解直角三角形，勾股定理.解题的关键是利用数形结合 的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之 间的关系。 12.(1)y=-x2+2x+3 (2)1或3或2+√7或2-√万 答案第1页，共2页 【分析】(1)根据待定系数法，将点C、点D代入抛物线解析式，解关于b、C的一元一次 方程，即可求得抛物线的解析式： (2)通过点C(0,3)、D4,-5求出直线CD的解析式，设点P、E的坐标，结合PE∥y轴， 以P、E、O、C为顶点的四边形是平行四边形得PE=OC,解一元二次方程即可. (3)过点D作DK⊥CQ于点K,过点K作TG∥y轴，过点C作CT⊥TG于点T,过点D作 DG⊥TG于点G.设点K(P,9q),当CQ在CD右侧时，证明△CTK≌△KGD,得CT=KG 、TK=GD,故可推出 -g=p-4解二元次方程组可符日、即K-2,-引，结合 p=9+5 p=6 点C(0,3)推出直线CK的解析式为y=-写x+3,联立 =-3x+3解一元二次方程即可 y=-x2+2x+3 Q仔劉】 当CQ在CD左侧时，同理可得(-1,0). 【详解】(1)解：将点C(0,3、D(4,-5代入y=-x2+bx+c,得： c=3 -16+4b+3=-5’ 解得：b=2, :抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. （2)解：设点Pm,-m2+2m+3, :抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C(0,3), :0C=3. 设直线CD的解析式为y=c+d, d=3 将点C(0,3、D(4,-5)代入，得： 4k+3=-5 解得：d=3,k=-2, :直线CD的解析式为y=-2x+3. ·设Em,-2m+3), PE=-m2+2m+3-(-2m+3)=-m2+4m, PE∥y轴， .PE∥OC, 答案第1页，共2页 :当PE=OC时，以P、E、O、C为顶点的四边形是平行四边形， .-m2+4m=3, 解得m=1或m=3或m=2+√万或m=2-√万. (3)解：抛物线上存在点Q,使LQCD=45°，理由如下： 过点D作DK⊥CQ于点K,过点K作TGy轴，过点C作CT⊥TG于点T,过点D作 DG⊥TG于点G. 设点K(P,q). ①当CQ在CD右侧时，如图： VA K >:DK⊥C9,CT⊥TG,DG⊥TG, G :∠CKD=∠T=∠D=90°， :L0CD=45°， △CKD是等腰直角三角形， :CK=KD,∠CKT=90°-∠GKD=∠KDG, 在△CTK和△KGD中， ∠T=∠G ∠CKT=∠KDG, CK=KD aCTK≌△KGD(AAS, .CT=KG,TK=GD, C(0,3),D(4,-5, p=9+5 3-g=p-4' 答案第1页，共2页 p=6 解得： (9=1 K(6,1, 由K(6,1,C(0,3可得直线CK的解析式为y=- 3+3, 联立 y=-3 x+3 y=-x2+2x+3 7 x=0 x= 解得： (此时点C,点？重合，舍去)或 y=3 20 J= eg9》 ②当CQ在CD左侧时，如图： T灯 K Gh D 「4-p=3-9 同理可得： 5+q=-p 解得： p=-2 9=-3’ ·K(-2,-3),直线CK的解析式为y=3x+3, [y=3x+3 x=0 x=-1 联立 y=-x2+2x+3'解得： y=3 (此时点C,点Q重合，舍去)或 y=0 0(-1,0）. 720 :综上所述，点Q坐标为 3’91 或0(-1,0) 【点晴】本题是二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图 答案第1页，共2页 象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，一线三垂直模型判定三角形全等和全等三角 形的性质，等腰三角形的判定和性质，解一元二次方程，解二元一次方程组等，用含字母的 式子表示相关点坐标和相关线段的长度且利用待定系数法求函数的解析式是解题关键 1 3 13.(0y=-2+2x+2 2 (2)点P的坐标为(5，-3) (3)点P的坐标为6，-7 【分析】1)先求出直线y=-+2与x轴、y轴的交点坐标，再利用特定系数法求解， (2)当SABc=SPC时，分点P在直线BC下方与点P在直线BC上方两种情况，根据点P 与点A到直线BC的距离相等，求出点P所在直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程 求出交点坐标即可； (3)利用勾股定理的逆定理证明ABC是直角三角形，通过导角得出∠ACO=∠CBA,在x 轴上取点E(2,0),连接CE,结合∠CAQ=∠CBA+45°得出∠ACE=∠CAQ,进而得出 CE∥PQ,求出直线PQ的解析式，与抛物线解析式联立，解方程求出交点坐标即可. 详解】)解：y=二)x+2 令y=0,得x=4;令x=0,得y=2; ：B4,0,C0,2); 路B4,01，C0,2代入y=号2+x+C (1 得：了2 ×42+4b+c=0 c=2 3 b 解得2， c=2 3 .y= _1+2x+2: 2 2 2解：=++2中，令0，得-5++2=0. 3 3 2 2 2 解得x=4,x2=-1, :A-1,0),B(4,0, 答案第1页，共2页 当S。MBc=S,Pac时，点P与点A到直线BC的距离相等， 分两种情况： ①点P在直线BC下方时，点P在过点A且与直线BC的平行线上. :直线BC的解析式为y=- 2x+2, 1 :设点P在直线y=-。x+k上， 2 1 1 将A-1,0)代入y=-二x+k,得：二+k=0, 2 解得k= 2 1x上， ·点P在直线y=2-2 x2+3x+2 Y=- 2 2 联立 11，得： -x+3x+2=-x- 21 2 y=- 2 2x-2 解得x=-1,x2=5, 当x=-1时，点P的坐标为(-1,0)，与点A重合，不合题意； 当x=5时，点P的坐标为5，-3)，符合题意； ②点P在直线BC上方时，点P在与直线BC的平行线上，该平行线到直线BC的距离与点A 到直线BC的距离相等. :直线BC的解新武为y=一x+2,过点A且与直线BC平行的直线解折式为 点P所左直线的解析式为：=2+2+》+？， 2+22x+2 12 y=- 2r 联立 2+2 3 19 ,得： y=-2x+2 整理，得x2-4x+5=0, :△=(-4)2-4×1×5=-4<0， ·方程没有实数根， 这种情况不存在. 答案第1页，共2页 综上可知：点P的坐标为5，-3)： (3)解：：A-1,0),B4,0,C(0,2, AC2=12+22=5,BC2=22+42=20,AB2=25, i AC2+BC2=AB2, :ABC是直角三角形， :∠ACB=90°， :∠AC0+∠CA0=∠CBA+∠CA0=90°， ∠ACO=∠CBA, 在x轴上取点E(2,0),连接CE,如图： B O E 则0E=0C=2, :∠0CE=45°， :∠ACE=∠AC0+45°=∠CBA+45°=∠CAQ, :CE∥PQ, “E(2,0),C(0,2), :直线CE的解析式为y=-x+2, 设直线PQ的解析式为y=-x+n, 把A(-1,0)代入，得：1+n=0, 解得n=-1, :直线PQ的解析式为y=-x-1, x=-1x=6 解方程组 y=- 2+2 ,得 或 y=-x-1 y=0 y=-7’ :点P的坐标为(6，-7). 答案第1页，共2页 【点晴】本题考查了二次函数与一次函数的综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的 性质，勾股定理逆定理的应用，利用平行线表达式的关系求直线的表达式等知识点，第三问 难度较大，能根据CE∥PQ,利用直线CE的解析式求出直线PQ的解析式是解题的关键. 答案第1页，共2页