精品解析：山西晋城市2025-2026学年高考适应性模拟数学试题

山西晋城市2025-2026学年高考适应性模拟数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（ ） A. B. C. D. 5. 当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则( ) A. B. C. D. 7. 已知函数的极大值点为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如“对勾函数”的图象能由某条双曲线绕原点旋转得到，其渐近线分别为直线与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线．现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到函数的图象．设的离心率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点是的一个顶点 C. 的方程为 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为1的正方体中，为棱AD的中点，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是 11. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则周长的最小值为11 C. 若A，F，B三点共线，且，则 D. 若直线AB过，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为__________． 13. 已知正项等比数列的前4项和为90，，则__________． 14. 当时，，则实数的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图． （1）求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数； （2）若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？ 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 附：． 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）令，求函数在上的零点个数． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积为． （1）求角； （2）若外接圆的半径为2，判断的形状． 18. 在四棱锥中，平面平面，，是线段的中点． （1）证明：． （2）若二面角的平面角的余弦值为． ①求线段的长； ②若为线段的中点，点在线段上，是否存在实数，使得当时，平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，离心率为，且点在椭圆上，为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程． （2）不过点的直线与椭圆相交于M，N两点，点在轴上方，点在轴下方．当直线的斜率存在时，设直线l，AM，AN的斜率分别为，则． ①证明：直线恒过定点； ②设①中的定点为，点G，H分别满足，记的面积为，的面积为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西晋城市2025-2026学年高考适应性模拟数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，， 则． 2. 若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 则，所以在复平面内所对应的点为，位于第一象限． 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为向量，且，即， 所以，解得． 故. 所以. 4. 某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式，结合已知条件，求得上下底面圆半径，再利用勾股定理，求得母线长即可. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为2r， 则圆台的体积为，解得， 所以母线的长是. 5. 当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的几何性质来判断最短弦长的位置关系. 【详解】直线过定点， 圆的标准方程为，则圆心为，半径为． 当时，直线与圆相交所得弦长最短，因为， 所以直线的斜率为，故，解得． 6. 若，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过平方两个已知等式并相加，利用三角恒等式消去和，得到，结合已知范围确定，即；再将此关系代入原方程之一，化简后无需求出的具体值，直接得到和的值，最后用和角公式计算，得出结果. 【详解】因为，所以① 又因为，所以② ①+②得 所以． 又因为，所以，即． 把代入中，得. 则，即． 把代入中，得. 则，即． 所以． 7. 已知函数的极大值点为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析该函数的单调性，可得出，然后由化简得出，将代入化简可得答案. 【详解】因为，该函数的定义域为，， 因为，即， 即，即， 所以， 又因为，所以（*）， ①当时，， 当时，；当时，. 所以函数的减区间为，增区间为，此时函数无极大值点，不合题意； ②若，由可得，由可得或， 此时函数的增区间为、，减区间为， 则函数的极大值点为，即得， 则由（*）得， ， 因为，所以； ③当时，由可得，由可得或， 所以函数的减区间为、，增区间为， 所以函数的极大值点为，同②可得. 综上所述，. 8. 将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图象，比如“对勾函数”的图象能由某条双曲线绕原点旋转得到，其渐近线分别为直线与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线．现将双曲线绕原点旋转一个合适的角度，得到函数的图象．设的离心率为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点是的一个顶点 C. 的方程为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据题设定义可得的渐近线为直线与轴，且直线与轴夹角为，进而得到双曲线两渐近线夹角为，且双曲线的离心率与的离心率相等，可得双曲线的一条渐近线倾斜角为，即，进而求解离心率即可；对于B，易得双曲线的实轴方程为，进而求解判断即可；对于D，根据两个顶点坐标求出实轴长，即可判断；对于C，根据的关系求出，即可判断. 【详解】对于A，“对勾函数”图象的渐近线为直线与轴， 且直线与轴夹角为， 由题意，是双曲线绕原点旋转得到， 则双曲线两渐近线夹角为，且双曲线的离心率与的离心率相等， 即双曲线的一条渐近线倾斜角为，由渐近线方程得， 所以双曲线的离心率，故A错误． 对于B，双曲线的两条渐近线分别为直线和， 且直线与轴夹角为， 所以双曲线的实轴方程为， 联立，解得或， 故双曲线的两个顶点为，故B错误； 对于D，双曲线的实轴长为， 即，故D错误； 对于C，由，得， 故双曲线的方程为，故C正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的概率求解思路，以及方差的性质，结合已知条件，对选项逐一分析，即可选择. 【详解】对A：因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，所以，故A正确； 对B：因为，且， 所以，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误． 故选：AC. 10. 在棱长为1的正方体中，为棱AD的中点，则（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】ABC选项，建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式，线面角的夹角正弦公式进行求解；D选项，先证明面面平行，进而得到线面平行，从而得到动点的轨迹，求出区域面积 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 故， 则，，A正确； B选项，，，， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 点到平面的距离为，B正确； C选项，由B知，平面的法向量为， 设直线与平面所成角的夹角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为，C错误； D选项，分别取的中点，连接，， 则， 因为，，所以四边形为平行四边形，故， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又，平面，所以平面平面， 当动点平面时，平面， 则动点的轨迹所形成区域为及其内部， 为等边三角形，边长为，故面积是，D正确. 11. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则周长的最小值为11 C. 若A，F，B三点共线，且，则 D. 若直线AB过，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据焦点坐标得到抛物线方程，求出，得到答案；B选项，根据焦半径进行转化，得到的最小值，进而得到周长的最小值；C选项，设出直线方程，联立抛物线方程，根据三角形面积公式得到直线斜率，并得到；D选项，设出直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理得到的坐标，并得到各边长，由余弦定理，同角三角函数关系和二倍角公式得到答案. 【详解】A选项，抛物线的焦点为，即， 解得，故 ，故点纵坐标为3，中，令得， 不妨设，则，， 故，A错误； B选项，若，则， 过点作⊥准线于点，则，则， 故当三点共线时，取得最小值， 过点作⊥准线于点，故的最小值为， 则周长的最小值为，B正确； C选项，若A，F，B三点共线，显然直线的斜率存在， 设直线方程为，联立得， ，， 故， ， 点到直线的距离为， 故，故， 解得，故，， 则，C错误； D选项，若直线AB过，显然斜率存在，设为， 联立与得， 则，解得，， 因为，故，解得或， 当时，，显然此时重合，不过点，不满足要求， 当时，，此时，满足要求，则，， 所以，所以， ，， 故， 所以， 又，， ， 故，， 则，D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】先展开化简，分别应用展开式通项计算求出系数. 【详解】的展开式中， 含的项为， 所以的展开式中的系数为8． 13. 已知正项等比数列的前4项和为90，，则__________． 【答案】72 【解析】 【分析】根据题设条件求出公比，再由等比数列通项公式计算求解. 【详解】因为是等比数列，设其公比为， 依题意可得， 因，两式相除，得，整理得，解得， 所以. 14. 当时，，则实数的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式转化为，令，换元后，分离参数，转化为，再求的最大值即可. 【详解】，因为，故，也即， 对，，故其在单调递增， 且当时，；当趋近于时，趋近于； 令，则；原不等式等价于，又， 故，令，则， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 故在时取得极大值，也是最大值，故，也即的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图． （1）求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数； （2）若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？ 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 附：． 【答案】（1），人 （2）表格如下： 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 不能认为这次成绩是否优秀与性别有关． 【解析】 【小问1详解】 由各组频率之和为，得，解得， 则属于“优等生”的有 人. 【小问2详解】 由题意，样本中男生有人，则女生有人． 属于“优等生”的男生有人，则属于“优等生”的女生有人. 不属于“优等生”的男生有人，不属于“优等生”的女生有人． 所以得到列联表如下： 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 零假设：这次成绩是否优秀与性别无关． 根据表中数据，计算得． 根据小概率值的独立性检验，推断成立．所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关． 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）令，求函数在上的零点个数． 【答案】（1） （2）个 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）由可得，令，则函数的零点个数即为直线与函数的图象的公共点的个数，利用导数分析函数的单调性，即可得出结论. 【小问1详解】 当时，，则，所以，， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意可得，， 令可得， 令，则函数的零点个数即为直线与函数的图象的公共点的个数， ， 令，其中， 则， 令，则， 由可得，由可得， 所以函数在处取得极大值，也是最大值， 所以，所以，即恒成立， 所以函数在上单调递减，且， 故当时，，所以，则函数在上单调递减， 当时，；当时，. 所以直线与函数的图象有且只有一个公共点， 故函数在上只有一个零点. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积为． （1）求角； （2）若外接圆的半径为2，判断的形状． 【答案】（1） （2）是等边三角形 【解析】 【分析】（1）利用已知的余弦定理形式 和面积公式，通过两式相除消去 ，直接求出 ，进而确定 . （2）利用外接圆半径和正弦定理将边长用角度的正弦表示，代入已知的面积和边的关系式，得到关于 和 的方程组，解出 ，从而判断三角形为等边三角形. 【小问1详解】 由余弦定理，得①， 由三角形的面积公式，得②． ②÷①，得，即． 由，得． 【小问2详解】 由题意，得外接圆的直径为4，则由正弦定理，得， 所以． 因为的面积为， 所以，化简得．③ 因为，所以， 化简得．④ 因为，所以由③④，得， 所以．⑤ 由③⑤解得，又， 所以，故必有， 所以，所以是等边三角形. 18. 在四棱锥中，平面平面，，是线段的中点． （1）证明：． （2）若二面角的平面角的余弦值为． ①求线段的长； ②若为线段的中点，点在线段上，是否存在实数，使得当时，平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为，且是线段AD的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，平面，所以； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直的定义得出线线垂直； （2）①根据题意，建立恰当的空间直角坐标系，先求出平面与平面的法向量，再根据求平面与平面夹角余弦公式计算求解参数；②计算得出，进而得出，再应用线面平行的向量关系列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①又底面是直角梯形，过作 ， 由平面，平面， 故， 故两两垂直， 故可以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、， 设，则， 则， 设平面的一个法向量， 因为，可得， 令，则，所以， ， 设平面的一个法向量， 可得， 令，则，所以， 设的平面角为， 则， 所以，所以； ②因为，且为线段的中点，所以， 点在线段上，因为， 若平面，且平面的一个法向量， 所以， 解得； 19. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，离心率为，且点在椭圆上，为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程． （2）不过点的直线与椭圆相交于M，N两点，点在轴上方，点在轴下方．当直线的斜率存在时，设直线l，AM，AN的斜率分别为，则． ①证明：直线恒过定点； ②设①中的定点为，点G，H分别满足，记的面积为，的面积为，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） ①因直线的斜率存在，可设其方程为， 依题意，，否则不满足点在轴上方，点在轴下方， 由点不在直线上，即， 将代入，消去得（*）， ，即， 设，则， 则，， ， 因为，所以， 则，即，解得， 故直线的方程为，恒过点； ② 【解析】 【分析】（1）根据离心率和所过的点，结合得到方程组，求出椭圆方程； （2）①设出直线的方程，联立椭圆方程，根据得到，故恒过点； ②根据比例关系得到各个三角形的面积关系，变形得到关于M，N两点坐标的关系，分两种情况，求出关于的关系式，得到取值范围. 【小问1详解】 由题意得，，又， 解得，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①略 ②由①得，由可知点为的重心， 连接，则在线段上，且，其中， 因为，所以，， 而，， 故， 因为，则,，， 故 ， 其中，， 故， 因，故（*）可化为，恒成立， 解得， 若，则， 则， ， 因为，所以， 若，则， 则， ， 因为，所以， 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $