立体几何与空间向量解答题题型讲义-2026届高三数学二轮复习

立体几何与空间向量解答题（各种类型） 【题型1 求异面直线所成的角】 规律方法 求异面直线所成角的方法： 1、通过平移，将异面直线所成角转化为相交直线所成的角，将角都放在三角形中，利用余弦定理求解。 2、用向量法求异面直线所成角的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； （4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 异面直线所成角：设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量． 1．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，矩形所在的平面和半圆弧所在的平面垂直，且，，是的中点． (1)证明：平面．(2)证明：．(3)求异面直线，所成角的余弦值． 【详解】（1）连接相交于，则是的中点， 由于是的中点，故平面，平面， 故平面 （2）矩形所在的平面和半圆弧所在的平面垂直，且交线为, 平面，故平面， 平面，故， 由于，故，, ,, 故，故， （3）取的中点，连接, 故, 即为异面直线，所成角或其补角， 由（2）知平面， 平面，故， 由于，故，所以, 又,故 故异面直线，所成角的余弦值为 【题型2 求直线与平面所成的角】 规律与方法 求线面角的常用方法： 1、直接作出线面角求解； 2、等体积法求出直线上一点到平面的距离，通过直角三角形可直接确定线面角的正弦值； 3、用向量法求解直线与平面所成角：设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 1.如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点． (1)证明MN∥平面PAB； (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. [分析]　(1)线面平行的判定定理⇒MN∥平面PAB． (2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角⇒直线AN与平面PMN所成角的正弦值． [解]　(1)证明：由已知得AM＝AD＝2. 如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2. 又AD∥BC，故TNAM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT. 因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB． (2)如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD， 且AE＝＝＝. 以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz. 由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N， ＝(0,2，－4)，＝，＝. 设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n＝(0,2,1)． 于是|cos〈n，〉|＝＝.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为. 2.如图，在三棱锥中，底面是边长2的等边三角形，，点F在线段BC上，且，为的中点，为的中点. (Ⅰ)求证：//平面； (Ⅱ)若二面角的平面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ). 【分析】 (Ⅰ) 取的中点，连接、，即可证明，，从而得到面面，即可得证； (Ⅱ) 连接，为二面角的平面角，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值； 【详解】 解：(Ⅰ)取的中点，连接、，因为为的中点，为的中点，所以，，又，所以，因为面，面，面，所以面，面，又，面，所以面面，因为面，所以平面； (Ⅱ)连接，因为底面是边长2的等边三角形，，所以，，所以为二面角的平面角，即，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设面的法向量为，则，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，所以 故直线与平面所成角的正弦值为； 【题型3 求平面与平面所成的角】 规律与方法 求二面角的常用方法 1、定义法：在两个半平面分别找棱的垂线，构造三角形，利用余弦定理求解； 2、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接点与棱上的垂足，即可得到二面角的平面角； 3、垂面法：已知二面角内一点到两个半平面的垂线，过两垂线的平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角。由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。 4、向量法： （1）找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； （2）找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 1．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，， 所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）不妨设，，． ，， 又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． ． 2．（23-24高三下·山东菏泽·月考）如图所示，平面平面，且四边形是矩形，在四边形中，，， （1）若，求证：平面； （2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：连接与交于点，连接， ，， ，，即 ， 又，则， ，，所以四边形是等腰梯形， 且，， 所以四边形是平行四边形， 又面，面，所以平面. （2）因为平面平面，且四边形是矩形，为两平面的交线，， 所以平面， 建立如图所示空间直角坐标系， 由与平面所成角为，易知面可得， 所以， 因为为等腰三角形，且， 所以点的横坐标长度为 ，纵坐标长度为， ， 则， ， ，， 设平面的法向量为，则， 取，， 设平面的法向量为， 则， 取，， ， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值. 3.（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【详解】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 【题型4 求空间距离】 规律与方法 求空间距离的常用方法： 1、直接法：根据已知条件，直接作出（或找出）所要求的距离，并进行求解； 2、转化法：如果空间中一些距离直接求起来比较困难时，可以把它转化为其他形式的距离来求解.比如线面距和面面距转化为点面距； 3、体积法：对于点面距离，当所求距离不易作出时，可先寻找一个合适的三棱锥，把所求距离看成是三棱锥的高，然后再利用两种方法求三棱锥的体积，抓住体积不变的原理达到求解点面距离的目的； 4、向量法：在立体几何中很多求空间距离的题目，如果它的背景适合建立空间直角坐标系，用空间向量法来求就会很方便。 （1）点到直线的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． （2）点到平面的距离：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为. （3）线面距和面面距：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 1．（23-24高三下·四川·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面是边长为4的正三角形，. （1）证明：平面平面ABCD； （2）求点A到平面SBC的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）证明：取CD中点E，连接SE，AE，BE， 易得，，因为，， 所以，，，故， 又，， 所以，故， 因为平面ABCD，平面ABCD，， 所以平面ABCD，又因为平面SCD， 所以平面平面ABCD. （2）由（1）知平面ABCD，且， 在中，， 所以， 故. 在中，，， 所以SB边上的高， 所以. 设点A到平面SBC的距离为d， 则，即，解得， 所以点A到平面SBC的距离为. 2．（23-24高三下·吉林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）. （1）证明：平面平面； （2）若点为的中点，求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：连接，如图所示， 平面， ， ，即， 又为中点，则，且， 四边形为正方形，， 平面平面， 又，、平面，平面， 又平面平面平面. （2）在中，分别为中点，， 又平面平面，平面， 点到平面的距离即为到平面的距离， （方法一）， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示空间直角坐标系，如图所示， 则， ， 设是平面的法向量， ， 取，则是平面的一个法向量， 点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为. （方法二）连接、，如图所示， 为等腰直角三角形，， 又平面是三棱锥的高， ， ， ， ， 设到平面距离为，则， ，即到平面的距离为. 【题型5 利用向量解决探究性问题】 规律与方法 假设所成的点或参数存在,并用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的位置关系、数量关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在。 常见位置关系的假设方式： 在直线上：,使得 在射线上：,使得 在线段上：,使得 在平面上：,使得 1．（2025·新疆喀什·三模）如图，在△中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至 ，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）. (1)若为棱的中点，证明：平面 ； (2)若，直线EF与平面BCDE所成角的正弦值为.（ⅰ）求 ；（ⅱ）求点到平面的距离. 【分析】）取的中点，连接，，则，通过证明平面平面，由面面平行的性质定理即可求证； （2）（ⅰ）证明平面，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值求，即可求解； （ⅱ）求平面的法向量为，利用空间向量法求距离即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 连接，因为为的中点，所以是等边三角形． 取的中点，连接，，则， 则，． 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，，平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面． （2）（ⅰ）因为，， 所以， 所以， 因为，所以， 又，，平面， 所以平面， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，， 则， 设， 则，． 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 所以， 整理得，解得舍，所以． （ⅱ）由（ⅰ）知，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，， 则， 所以点到平面的距离为． 2.（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知分别为的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在一点H，使得点H到平面的距离为？若存在，请求出点H的位置；若不存在，请说明理由. 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、面面角的向量求法 【分析】（1）先由条件证明平面，再由平面得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，得到，再证，求得，从而可得，依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得； （3）假设线段上存在一点，满足，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标. 【详解】（1）因平面，平面，则， 在正方形中，，因平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 因平面，故平面. （2）由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又平面，平面， 因平面，则， 因点是的中点，，则， 因平面，则平面， 因平面，则， 因平面，则平面， 因平面，则，即. 由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因，， ，则，即. 以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，故可取， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为， 则. 即平面与平面的夹角的余弦值为. （3）由（2）可得，则，假设线段上存在一点，满足， 代入坐标，可得，则， 由（2）已得平面的法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 即在线段上存在一点H在线段靠近E或F的四等分点处，使得点H到平面的距离为. 3.（23-24高三下·全国·一模）如图，棱柱的所有棱长都等于2，且，平面平面． （1）求平面与平面所成角的余弦值； （2）在棱所在直线上是否存在点P，使得平面．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，点P在的延长线，且. 【解析】（1）如图： 取中点，连接，，. 因为各棱长均为2，且，所以是等边三角形.所以. 又因为，，所以是等边三角形. 所以，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 由，所以可以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 那么：，，，. 设平面的法向量为， 则，取； 因为平面，可取平面的法向量. 则，即为平面与平面所求角的余弦值. （2）因为， 设，因为在上，可设， 则，可得. 设平面的法向量为， 则， 取. 由. 所以存在点P，使得平面，此时点P在的延长线，且. 【题型6 空间几何中的最值范围问题】 规律与方法 1、立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得A关于平面的对称点A，从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值. 2、对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的“静”是指问题中的不变量或者是不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，然而抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解. 1.（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）. (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）要证明线面垂直，需证明直线与平面内两条相交直线垂直； （2）先根据二面角的大小确定相关线段的关系，再通过建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值，最后求其最大值. 【详解】（1）因为 平面，平面，所以； 又，是的中点，所以； 因为，平面，所以平面. （2）由平面，得，故  ， 设  ，以为原点，为轴，为轴，平面内过作 的垂线为轴，建立坐标系， 各点坐标：， 设，则， 直线的方向向量： ， 平面的法向量：由（1）知 ， 设直线与平面所成角为，则：， 令，其对称轴为，此时， 代入得. 2.（2025·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上． (1)求证：平面平面； (2)当取得最小值时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明面面垂直、求二面角、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理、判定定理和面面垂直的判定定理证明即可； （2）解法一：由二面角的性质可知即为二面角的平面角，利用垂直关系和等面积法求出的边长，进而求出的余弦值即可；解法二：建立空间直角坐标系，求出平面和的法向量，利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为四边形为菱形，所以 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）由（1）知平面， 因为平面，所以，， 又，平面平面，所以即为二面角的平面角， 当取得最小值时，有， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为在菱形ABCD中，，， 所以，， 又因为，所以， 又因为在中，，解得, 则在中，， 所以二面角的余弦值为． 解法二：由底面，底面，且底面为菱形可知两两垂直， 又当取得最小值时，有， 以为原点，分别为轴建空间直角坐标系， 因为在菱形ABCD中，，， 所以，为等边三角形，易得，， 则，，，，， 易知为平面的法向量， 又由（1）得平面，平面， 所以，又因为，，平面，平面， 所以平面， 所以为平面的法向量， 又， 所以二面角的余弦值为. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为在母线上，且． （1）求证：平面平面； （2）设线段上动点为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】 （1）证明见解析 （2）1 【分析】 （1）设交于点连接，由， 并结合可证得平面由此证得， 再利用三角形相似证得从而证得平面进而证得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，设， 通过向量和平面的法向量建立直线与平面所成角的正弦值的关系式，并利用基本不等式，即可求最值． （1） 证明：如图，设交于点连接， 易知， 又平面平面， 又平面．又是底面圆的内接正三角形， 由，可得，．又，， 即．又，， ，即．又平面，， 平面．又平面，平面平面． （2） 易知．以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则．设， 可得． 设直线与平面所成的角为，则. 令，，则 ，当且仅当时，等号成立， 当时，有最大值， 于是当时，有最大值为， 的最大值为， 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 题型7：与球相关的问题 1．（2025·陕西西安·二模）如图，已知三棱锥. (1)证明：平面平面； (2)若三棱锥的各顶点都在球的球面上，求球的半径： (3)求直线与平面所成的角的正弦值. 【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明面面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）先由几何知识证明及，再利用线面垂直证明平面，即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用球心到球面上各点距离相等列出相应等式，即可求解； （3）结合（2）利用空间向量法求解线面夹角. 【详解】（1）在中，由，得，所以， 所以， 所以. 又因为，所以，所以. 又因为，所以，所以， 又因为平面， 所以平面，又平面，所以平面平面. （2）由（1）可知，以为原点，分别为轴和轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设球心，半径，则，所以 ， 解得，所以球的半径为. （3）由（2）知，， 设平面一个法向量分别为，则，即 则，取，则得； 设直线与平面所成的角为，所以 . 2（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）如图，在四棱锥中，是正三角形，． (1)求证：平面平面； (2)设，若点均在球的球面上且点在平面内． （i）求四棱锥的体积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明面面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）先得到，结合得平面，故平面平面； （2）（i）解法一：作出辅助线，得到四边形的面积，由面面垂直得到线面垂直，四棱锥的高为，并求出，由锥体体积公式得到答案； 解法二：先得到四棱锥的高为，建立空间直角坐标系，设，，其中，根据半径相等得到方程组，求出，从而利用锥体体积公式得到答案； （ii）解法一：作出辅助线，得到为二面角的平面角，求出各边长，由余弦定理和三角函数可得，进而由余弦定理可得，得到答案． 解法二：建立坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求出平面与平面夹角余弦值. 【详解】（1）由条件得，，则是线段的中垂线， 所以． 又平面， 所以平面，而平面， 故平面平面； （2）（i）解法一： 如图所示，记与交于点，连接， 由题意，为四边形的外接圆圆心，即四点共圆， 由条件，可得是线段的中垂线， 所以，故， 则是四边形的外接圆直径，点为的中点． 因为，所以， 四边形的面积为． 取的中点，连接，则． 因为为的中点，所以． 由（1）知，平面平面，平面平面， 平面， 所以平面，即四棱锥的高为． 又平面，则，而， 所以， 四棱锥的体积为． 解法二：记与交于点，连接，由为的中点，所以． 由（1）知，平面平面，平面平面， 平面，所以平面，即四棱锥的高为． 以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由是正三角形，可知，， 由点在平面内，设，，其中， 设，可得方程组， 解得，． 所以，四边形的面积为． 又，四棱锥的体积为． （ii）解法一：作，垂足为点，连接． 由为公共边，则， 所以且， 即为二面角的平面角． 由， 在中，由余弦定理，，则， 所以． 又，在中，由余弦定理，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 解法二：由（i）知，， 因为， 设平面的法向量为， 由，取，则， 所以平面的法向量为． 因为， 设平面的法向量为， 由， 取，则， 所以平面的法向量为． ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 课后作业： 1.（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为 2.如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面，. (1)证明：； (2)设直线CP与平面ABCD所成角为. （i）求四棱锥的体积； （ii）若点M为棱CP上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）连接BD交AC于点O，连接OP. 因为底面ABCD为菱形，所以O为BD中点，. 因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD， 所以平面PAC.           因为平面PAC，所以. 因为O为BD中点，所以, 所以，所以. （2）（i）过P作于点H， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面PAC， 所以平面ABCD， 所以为直线CP与平面ABCD所成角，即.    因为平面，平面ABCD，所以. 又，，，平面PDH， 所以平面PDH.            因为平面PDH，所以， 结合可知H为的垂心.        由于底面ABCD是边长为的菱形，， 故为等边三角形，因此H为的重心， ，，，，. 由于，，所以，      所以四棱锥的体积. （ii）以OB为x轴，OC为y轴，过O点作平面ABCD的垂线作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. 设，故. 设平面的一个法向量为， ，， 则， 取，则.        设平面的一个法向量为， ，， 则， 取，则，    设二面角的平面角为， 则 ，         令，则， 所以， 由于，         故， 当且仅当，即时取等号，         故的最大值为，因此的最小值为.     3.在三棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，. (1)求证：平面； (2)求异面直线与的夹角的余弦值； (3)设点是三棱锥外接球上一点，求到平面距离的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在中，因为，满，所以； 因为平面平面，平面平面平，故平面； 又因为平面，所以. 因为是等腰直角三角形，， 所以. 又平面平面， 所以平面. （2）如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，以垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 取的中点，则，且， 则点的坐标为. 又， 则， ， ， ， ， 故异面直线与的夹角的余弦值为. （3）设三棱锥外接球的球心的坐标为， 则由，可得， 解得，即. 球的半径， 由（1）知，平面，则平面的一个法向量为， 又因为，则球心到平面的距离为 . 故点到平面距离的最大值为. 4,。（24-25高三上·福建福州·月考）如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求直线BD到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为，，所以， 可得，又为直四棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 且，平面， 所以平面，又平面， 可得，因为， 所以； （2）由（1），以为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立 空间直角坐标系，设， 则， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，令，则，， 所以， 设直线与平面所成角为， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，， 因为平面，平面平面， 平面平面，所以， 因为平面，平面， 所以平面，所以直线BD到平面的距离 可转化为点B到平面的距离，， . 5.（24-25高三上·广东深圳·月考）如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中，，劣弧的长为，为圆的直径，平面与平面的交线为. (1)证明：； (2)若平面与平面夹角的正切值为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）法一： ，平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， ； 法二： 圆面圆面，平面圆面， 平面圆面，， 又，； （2）法一： 以为原点，分别为轴，垂直于轴直线为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 劣弧的长为， ，， ，， 设平面的法向量为， 由，即， 令，则，， 平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 则， 即，(负值舍去)， 即到平面距离为， 则. 法二： 如图，过作，即平面与平面的交线为， 作于，连接， 平面，平面，， 又，平面， 平面，， 是平面与平面夹角， 的长为， ，， ， 则，， 即到平面距离为， . 6.（24-25高三上·江西南昌·月考）如图，在矩形纸片中，，沿将折起，使点到达点的位置，且满足平面⊥平面. (1)求证：平面平面，并求的长度； (2)若是线段上（不包括端点）的一个动点，是否存在点，使得直线与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析，； (2)存在点，使得直线与平面的夹角为，，理由见解析 【解析】（1）过点作⊥于点， 因为平面⊥平面，交线为，⊥，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以平面平面， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 又，由勾股定理得； （2）存在点，使得直线与平面的夹角为，此时，理由如下： 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 由（1）知，，，故， 由勾股定理逆定理得⊥，且， 所以， 过点作⊥于点， 由（1）知，平面平面，故⊥平面， 且，， 所以， 其中，设，， 设，则， 解得，故， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以， 与平面的夹角为，故与夹角为或， 又， 所以，即， 解得，则. 7．（24-25高三上·北京·期中）如图，在四棱锥中，直线平面.，，，，，平面平面，F为线段的中点，E为线段上一点. (1)证明：；(2)证明：； (3)是否存在点E，使得点E到平面的距离是，若存在求出的值，若不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在，. 【解析】（1）证明：因为平面，平面，平面平面， 所以； （2）因为，F为线段的中点， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以； （3）取的中点，连接，过作‖，交于， 因为F为线段的中点，，所以‖， 因为，所以，所以， 由（2）可知平面，平面， 所以， 所以两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为‖，，， 所以四边形为矩形， 所以， 因为，所以, 因为，所以， 所以， 因为，，所以为等边三角形， 所以，， 设，则， 因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 若点E到平面的距离是，则， 所以，解得， 所以，所以. 8.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置． (1)证明：AE⊥PB； (2)当四棱锥P­ABCE的体积最大时，求二面角A­PE­C的余弦值． 解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O， 因为AB∥CE，AB＝CE，所以四边形ABCE为平行四边形， 所以AE＝BC＝AD＝DE，所以△ADE为等边三角形， 所以在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝，BD⊥BC， 所以BD⊥AE. 翻折后可得OP⊥AE，OB⊥AE， 又OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB＝O，所以AE⊥平面POB， 因为PB⊂平面POB，所以AE⊥PB. (2)当四棱锥P­ABCE的体积最大时，平面PAE⊥平面ABCE. 又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO⊂平面PAE，PO⊥AE，所以OP⊥平面ABCE. 以O为坐标原点，OE所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，P，E，C，所以＝，＝，设平面PCE的法向量为n1＝(x，y，z)， 则，即，设x＝，则y＝－1，z＝1，所以n1＝(，－1，1)为平面PCE的一个法向量， 易知平面PAE的一个法向量为n2＝(0，1，0)， cos〈n1，n2〉＝＝＝－. 由图知所求二面角A­PE­C为钝角，所以二面角A­PE­C的余弦值为－. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 立体几何与空间向量解答题（各种类型） 【题型1 求异面直线所成的角】 规律方法 求异面直线所成角的方法： 1、通过平移，将异面直线所成角转化为相交直线所成的角，将角都放在三角形中，利用余弦定理求解。 2、用向量法求异面直线所成角的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； （4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值． 异面直线所成角：设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量． 1．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，矩形所在的平面和半圆弧所在的平面垂直，且，，是的中点． (1)证明：平面．(2)证明：．(3)求异面直线，所成角的余弦值． 【题型2 求直线与平面所成的角】 规律与方法 求线面角的常用方法： 1、直接作出线面角求解； 2、等体积法求出直线上一点到平面的距离，通过直角三角形可直接确定线面角的正弦值； 3、用向量法求解直线与平面所成角：设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有. 1.如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点． (1)证明MN∥平面PAB； (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 2.如图，在三棱锥中，底面是边长2的等边三角形，，点F在线段BC上，且，为的中点，为的中点. (Ⅰ)求证：//平面； (Ⅱ)若二面角的平面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【题型3 求平面与平面所成的角】 规律与方法 求二面角的常用方法 1、定义法：在两个半平面分别找棱的垂线，构造三角形，利用余弦定理求解； 2、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接点与棱上的垂足，即可得到二面角的平面角； 3、垂面法：已知二面角内一点到两个半平面的垂线，过两垂线的平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角。由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。 4、向量法： （1）找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； （2）找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 1．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． ． 2．（23-24高三下·山东菏泽·月考）如图所示，平面平面，且四边形是矩形，在四边形中，，， （1）若，求证：平面； （2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 3.（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【题型4 求空间距离】 规律与方法 求空间距离的常用方法： 1、直接法：根据已知条件，直接作出（或找出）所要求的距离，并进行求解； 2、转化法：如果空间中一些距离直接求起来比较困难时，可以把它转化为其他形式的距离来求解.比如线面距和面面距转化为点面距； 3、体积法：对于点面距离，当所求距离不易作出时，可先寻找一个合适的三棱锥，把所求距离看成是三棱锥的高，然后再利用两种方法求三棱锥的体积，抓住体积不变的原理达到求解点面距离的目的； 4、向量法：在立体几何中很多求空间距离的题目，如果它的背景适合建立空间直角坐标系，用空间向量法来求就会很方便。 （1）点到直线的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点， 设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为． （2）点到平面的距离：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为. （3）线面距和面面距：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。 1．（23-24高三下·四川·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面是边长为4的正三角形，. （1）证明：平面平面ABCD； （2）求点A到平面SBC的距离. 2．（23-24高三下·吉林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）. （1）证明：平面平面； （2）若点为的中点，求直线到平面的距离. 【题型5 利用向量解决探究性问题】 规律与方法 假设所成的点或参数存在,并用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的位置关系、数量关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在。 常见位置关系的假设方式： 在直线上：,使得 在射线上：,使得 在线段上：,使得 在平面上：,使得 1．（2025·新疆喀什·三模）如图，在△中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至 ，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）. (1)若为棱的中点，证明：平面 ； (2)若，直线EF与平面BCDE所成角的正弦值为.（ⅰ）求 ；（ⅱ）求点到平面的距离. 2.（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知分别为的中点，平面与棱交于点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)判断线段上是否存在一点H，使得点H到平面的距离为？若存在，请求出点H的位置；若不存在，请说明理由. 3.（23-24高三下·全国·一模）如图，棱柱的所有棱长都等于2，且，平面平面． （1）求平面与平面所成角的余弦值； （2）在棱所在直线上是否存在点P，使得平面．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由． 【题型6 空间几何中的最值范围问题】 规律与方法 1、立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得A关于平面的对称点A，从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值. 2、对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的“静”是指问题中的不变量或者是不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，然而抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解. 3.转化为函数问题。 1.（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）. (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 2.（2025·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上． (1)求证：平面平面； (2)当取得最小值时，求二面角的余弦值． 3.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为在母线上，且． （1）求证：平面平面； （2）设线段上动点为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 则， 设平面的法向量为， 题型7：与球相关的问题 1．（2025·陕西西安·二模）如图，已知三棱锥. (1)证明：平面平面； (2)若三棱锥的各顶点都在球的球面上，求球的半径： (3)求直线与平面所成的角的正弦值. 2（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）如图，在四棱锥中，是正三角形，． (1)求证：平面平面； (2)设，若点均在球的球面上且点在平面内． （i）求四棱锥的体积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值． 课后作业： 1.（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 2.如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面平面，. (1)证明：； (2)设直线CP与平面ABCD所成角为. （i）求四棱锥的体积； （ii）若点M为棱CP上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值. 3.在三棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，. (1)求证：平面； (2)求异面直线与的夹角的余弦值； (3)设点是三棱锥外接球上一点，求到平面距离的最大值. 4。（24-25高三上·福建福州·月考）如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求直线BD到平面的距离． 5.（24-25高三上·广东深圳·月考）如图，将长方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，其中，，劣弧的长为，为圆的直径，平面与平面的交线为. (1)证明：； (2)若平面与平面夹角的正切值为，求四棱锥的体积． 6.（24-25高三上·江西南昌·月考）如图，在矩形纸片中，，沿将折起，使点到达点的位置，且满足平面⊥平面. (1)求证：平面平面，并求的长度； (2)若是线段上（不包括端点）的一个动点，是否存在点，使得直线与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由. 7．（24-25高三上·北京·期中）如图，在四棱锥中，直线平面.，，，，，平面平面，F为线段的中点，E为线段上一点. (1)证明：；(2)证明：； (3)是否存在点E，使得点E到平面的距离是，若存在求出的值，若不存在请说明理由. 8.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置． (1)证明：AE⊥PB； (2)当四棱锥P­ABCE的体积最大时，求二面角A­PE­C的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $