20.1.2 勾股定理的应用-教学设计 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第2 课时 勾股定理的应用人教版八年级数学下册 勾股定理的应用 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：新授课 一、教学目标 1. 知识与技能：回顾勾股定理的含义（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²），熟练掌握勾股定理的正用、逆用及变形；能运用勾股定理解决实际生活中的简单几何问题（如测量、折叠、航海、立体图形表面最短路径等），规范书写解题步骤。 2. 3. 过程与方法：通过回顾勾股定理、分析实际问题、转化为几何模型、运用定理求解，培养学生的建模思想、逻辑推理能力和应用意识，体会“数形结合”“转化”的数学思想，提升解决实际问题的能力。 4. 5. 情感态度与价值观：感受勾股定理在实际生活中的广泛应用，体会数学与生活的密切联系，激发学生运用数学知识解决实际问题的兴趣，培养严谨的解题习惯和合作探究意识，增强学习数学的实用性认知。 6. 二、教学重难点 重点：勾股定理的正用（已知直角三角形两边求第三边）、逆用（判断三角形是否为直角三角形）及变形应用；能将实际问题转化为直角三角形模型，运用勾股定理求解。 难点：将实际问题抽象为直角三角形几何模型，明确模型中的直角边、斜边；灵活运用勾股定理解决折叠、立体图形表面最短路径等复杂问题，避免忽略实际场景中的隐含条件。 三、教学准备 教师：多媒体课件（包含实际问题情境图、几何模型示意图）、板书模板、直尺；学生：复习勾股定理的含义及验证方法，预习本节课实际应用场景，梳理勾股定理的常见变形（如c=√(a²+b²)、a=√(c²-b²)）。 四、教学过程 （一）复习导入（8分钟） 1. 回顾旧知：提问学生：勾股定理的内容是什么？适用条件是什么？引导学生完整表述：直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²，强调适用条件为直角三角形；回顾勾股定理的常见变形，提问：已知直角三角形斜边和一条直角边，如何求另一条直角边？（a=√(c²-b²)、b=√(c²-a²)）。 2. 情境导入：出示实际问题情境——工人师傅测量池塘两端A、B的距离，无法直接测量，如何利用勾股定理解决？引出课题——勾股定理的应用，告知学生：勾股定理不仅是几何中的重要定理，在实际生活、生产中也有广泛应用，今天我们就学习如何运用勾股定理解决各类实际问题。 3. 铺垫引导：强调解决此类问题的核心思路：将实际问题转化为直角三角形模型，找出模型中的直角边和斜边，再运用勾股定理及其变形求解。 （二）探究新知（18分钟） 1. 明确应用核心：梳理勾股定理的三大应用场景及解题步骤，强调“建模”的重要性： （1）核心思路：实际问题 → 抽象为直角三角形模型 → 确定直角边、斜边 → 运用勾股定理（正用、逆用、变形） → 验证结果是否符合实际意义。 （2）注意事项：① 先判断图形是否为直角三角形，若不是，需通过作辅助线构造直角三角形；② 明确各边对应的实际意义，注意单位统一；③ 计算时注意平方、开方的准确性，结果需符合实际场景（如边长为正、距离为非负）。 2. 常见应用场景探究（结合实例讲解） 场景一：测量距离（无法直接测量的两点距离） 实例：在池塘边取一点C，使AC⊥BC，测得AC=6m，BC=8m，求池塘两端A、B的距离。引导学生分析：构造Rt△ABC，∠C=90°，AC、BC为直角边，AB为斜边，运用勾股定理AB=√(AC²+BC²)，代入计算得AB=10m，规范书写解题步骤。 场景二：折叠问题（直角三角形折叠中的边长计算） 实例：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，将△ABC沿AB折叠，使点C落在点C'处，求CC'的长度（简要讲解：折叠后AC=AC'、BC=BC'，AB垂直平分CC'，先求AB长度，再利用面积法求高，即CC'的一半）。 场景三：立体图形表面最短路径（圆柱、长方体表面） 实例：一个圆柱的底面直径为4cm，高为5cm，一只蚂蚁从圆柱底面圆周上一点A出发，沿圆柱侧面爬到相对的底面圆周上一点B，求最短路径长度。引导学生分析：将圆柱侧面展开为长方形，长方形的长为底面圆的周长（2πr=4πcm），宽为圆柱的高（5cm），最短路径为长方形的对角线，运用勾股定理求解。 3. 逆用应用：判断三角形是否为直角三角形（补充） 实例：已知三角形三边长分别为5、12、13，判断该三角形是否为直角三角形。引导学生运用勾股定理逆用：5²+12²=25+144=169=13²，因此该三角形为直角三角形，强调逆用的核心是“较短两边的平方和等于最长边的平方”。 （三）典例讲解（12分钟） 例1（测量距离）：在平静的湖面上，有一个荷花高出水面1m，一阵风吹来，荷花被吹到一边，花朵齐及水面，已知荷花移动的水平距离为2m，求湖水的深度。讲解时强调：设湖水深度为x m，则荷花的长度为(x+1)m，构造Rt△，直角边为x m和2m，斜边为(x+1)m，运用勾股定理列方程x²+2²=(x+1)²，解方程得x=1.5m，规范书写解题步骤（设未知数、列方程、求解、检验）。 例2（立体图形最短路径）：一个长方体礼盒，长8cm、宽6cm、高10cm，一只蚂蚁从礼盒的一个顶点A出发，沿礼盒表面爬到对角的顶点B，求最短路径长度。引导学生分析：长方体表面展开有三种不同方式，分别计算三种展开图中对角线的长度，对比得出最短路径，强调“展开图形、构造直角三角形”的核心思路。 教师板书规范解题步骤，提醒学生注意：① 设未知数时要明确含义；② 列方程时要找准直角边和斜边；③ 立体图形展开要考虑不同情况，避免遗漏；④ 结果要检验是否符合实际意义。 （四）巩固练习（8分钟） 布置分层练习：基础题（测量与逆用）：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，c=15，求b；已知三角形三边长为6、8、10，判断是否为直角三角形。提高题（折叠与立体图形）：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，将△ABC沿AC折叠，求折叠后点B到AC的距离；一个圆柱底面半径为3cm，高为4cm，求蚂蚁沿侧面爬行的最短路径长度。学生独立完成，小组内核对答案，教师巡视指导，针对建模不准确、方程列写错误、展开方式遗漏等易错点集中讲解。 （五）课堂小结（3分钟） 引导学生回顾：本节课重点掌握了勾股定理的正用、逆用及变形应用，学会了将实际问题转化为直角三角形模型，解决测量、折叠、立体图形最短路径等实际问题；明确了解题核心是“建模”，注意单位统一、结果检验，牢记勾股定理的适用条件。师生共同梳理解题步骤和易错点，加深记忆。 （六）布置作业（2分钟） 基础作业：教材对应习题，巩固勾股定理的各类应用，规范书写解题步骤；拓展作业：收集生活中运用勾股定理的实例（至少1个），尝试运用勾股定理解决，体会数学与生活的联系；思考复杂折叠问题中如何快速构造直角三角形。 五、板书设计 勾股定理的应用 1. 勾股定理：直角三角形中，a²+b²=c²（a、b为直角边，c为斜边） 变形：c=√(a²+b²)、a=√(c²-b²)、b=√(c²-a²) 2. 核心思路：实际问题 → 直角三角形模型 → 运用定理求解 3. 常见应用场景： ① 测量距离（构造直角三角形） ② 折叠问题（利用折叠性质+面积法） ③ 立体图形最短路径（展开图形+构造直角三角形） ④ 逆用：判断直角三角形 4. 注意：单位统一、结果检验、建模准确 例1：测量距离 例2：立体图形最短路径 （规范书写解题步骤） （规范书写解题步骤） 六、教学反思 本节课聚焦勾股定理的实际应用，通过实例探究、典例讲解，引导学生掌握建模思想和解题步骤，符合八年级学生的认知规律，基本达成教学目标。但部分学生难以将实际问题快速抽象为直角三角形模型，尤其是立体图形展开时容易遗漏不同展开方式；在列方程求解时，容易出现勾股定理应用错误、计算失误等问题；对逆用勾股定理判断直角三角形的思路掌握不够熟练。后续需增加实际问题建模的专项训练，细化立体图形展开的讲解，设计变式练习强化方程思想和逆用能力，帮助学生熟练掌握勾股定理的各类应用，提升解决实际问题的能力。 教学设计 教学目标 课题 20.1 第2课时勾股定理的应用 授课人 素养目标 1.进一步理解和掌握勾股定理. 2.能够利用勾股定理解决简单的实际问题. 3.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，体会转化思想、模型思想，形成应用意识. 教学重点 运用勾股定理解决实际问题. 教学难点 勾股定理的灵活应用. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】 (教材P27练习第3题)电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸(1英寸=2.54cm)为单位.王芳测得自家电视机的屏幕宽为71cm，高为40cm，这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸(结果取整数)? 【教学建议】 让学生交流讨论， 引导学生回忆勾股定理的内容，再尝试解决问题. 设计意图 借助实际情境，激发学生的学习兴趣. 活动二：问题引入，自主探究 探究点 勾股定理的应用 例1 (教材P26例2)一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么? 分析： 解:连接AC,在 Rt△ABC 中,根据勾股定理, 所以 因为 AC 大于木板的宽 2.2m，所以木板能从门框内通过. 【教学建议】 让学生 交 流 讨 论，引导学生从实际生活的角度多方面考虑，从而分析出解决问题的关键条件：比较 AC 和木板的宽.教师总结：解决木板进门问题不仅需要考虑木板的长、宽和门的长、宽，有时还要考虑门的对角线. 设计意图 培养学生把实际生活中的问题转化为数学问题的能力. 八年级数学下册27 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 例2 (教材P26例3)如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点B 到墙面的距离BO 为0.7m.如果将梯子底端沿OB 向外移动0.8m，那么梯子顶端也沿墙AO 下滑0.8m吗? 分析： 解：如图，当梯子底端沿OB 向外移动0.8m时，设梯子的底端由点 B 移动到点D,顶端由点 A 下滑到点 C.可以看出,AC=OA-OC. 在 Rt△AOB 中,根据勾股定理,( OA=2.4. 在 Rt△COD 中,根据勾股定理, OC=2. 所以,AC=OA-OC=2.4-2=0.4. 因此，当梯子底端向外移动0.8m时，梯子顶端并不是下滑0.8m，而是下滑0.4m. 【对应训练】 1.教材P27练习第1,2题. 2.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙上时，顶端距离地面 2m，那么小巷的宽度为(C) A.0.7m B.1.5m C.2.2m D.2.4m 【教学建议】 引导学生分析出 梯子顶端下滑的距离AC=OA-OC,从而需要先计算出 OA，OC 的长度.从题中抽象 出 Rt△AOB 和Rt△COD,分别利用勾股定理求出 OA,OC. 活动三：重点突破，提升探究 例3 有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺，求竹竿长与门高. 解：如图，设门高x尺，则竹竿长(x+1)尺. 根据勾股定理可得 即 解得x=7.5. 则x+1=8.5. 故竹竿长 8.5尺,门高 7.5 尺. 【对应训练】 如图，在树上距地面10m的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上C 处有一筐水果，一只猴子从 D 处向上爬到树顶A 处，然后利用拉在 A 处的滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 处先滑到地面B 处，再由 B 处跑到C 处，已知两只猴子所经过的路程都是15m，求树高AB. 解:根据题意,得BD=10m,BD+BC=AD+AC=15m,所以BC=5m. 设AD= xm,则AC=(15-x)m,AB=(10+x)m. 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理可得. 即 ,解得x=2.所以 AB=12m. 答:树高 AB 为 12m. 【教学建议】 提醒学生：(1)在 实际生活中，树、竿、建筑等一般视为垂直于地面，从而可抽象出直角三角形模型；(2)当已知直角三角形两边的数量关系和第三边的长度时，一般设未知数，再借助勾股定理列方程求解. 设计意图 巩固用勾股定理解决实际问题的能力. 28 名师教学设计 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 想想生活中哪些场景可以利用勾股定理?只知道直角三角形一边的长和另两边的数量关系，怎样求出另两边的长? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P30~31习题20.1第2,3,4,5,9,10,12题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 20.1勾股定理及其应用 第2课时 勾股定理的应用 1.勾股定理的简单应用. 2.勾股定理中的方程思想. 教学反思 本节课以生活中常见的问题为例，引导学生想象、比较、分析，把实物抽象为直角三角形模型，再借助勾股定理来求解，充分培养学生把课本上的理论知识应用到实际生活中的能力.教学中发现学生的阅读理解和空间想象能力还有待提高，需要在后续的学习中加强. 备课素材 解题大招 解题大招一 利用勾股定理解决图形面积问题 例1 如图,在△ABC中,AB=13,AC=15,BC=14,求△ABC的面积. 解:如图,过点A 作AD⊥BC于点D,设BD的长为x,则CD的长为14-x. ∵AD²=AB²-BD²,AD²=AC²-CD²,∴AB²-BD²=AC²-CD², 解得x 即△ABC 的面积是84.C 例2 如图,在四边形ABCD 中,AB= ,BC=5- ,CD=6,∠ABC=135°,∠BCD=120°,求四边形ABCD 的面积. 解:如图,过点A 作AE⊥CB 交CB 的延长线于点 E,过点 D作DF⊥BC 交BC 的延长线于点 F. ∵∠ABE=180°-∠ABC=180°-135°=45°,∠DCF=180°-∠BCD=180°-120°=60°, ∴易知AE=1 又 由AE⊥EF,DF⊥EF,易知AE∥DF.∴四边形AEFD 是梯形. ∴S四边形ABCD=S梯形AEFD—S△ABE—S△CDF 解题大招二 利用勾股定理解决图形折叠问题 例3 如图,在长方形ABCD 中,E为AD上一点,将△CDE 沿CE 翻折至△CFE,EF 交AB 于点G,CF 交AB 于点H,且GA=GF.若CD=10,BC=6,则AE 的长是 . 八年级数学下册 29 学科网（北京）股份有限公司 解析:：由长方形和折叠的性质,可知∠A=∠D=∠F=90°,DE=EF,AD=BC=6,CF=CD=AB=10. 在△AGE 和△FGH 中, ∴△AGE≌△FGH(ASA), ∴AE=FH,GE=GH,∴AH=GA+GH=GF+GE=EF=DE. 设AE=FH=x,则AH=DE=AD-AE=BC-AE=6-x,∴BH=AB-AH=10-(6-x)=x+4,CH=CF-FH=10-x. .故答案为 例4 如图,折叠长方形ABCD 的一边AD,使点 D 落在BC 边上的点F 处,AE 是折痕. (1)若AB=4,AD=5,求折痕AE 的长; (2)若 ,且CE:CF=3:4,求长方形ABCD 的周长. 解:(1)由折叠可知,AD=BC=AF=5,DE=EF,CD=AB=4,∠AFE=∠D=∠B=90°,∴BF== =3,∴CF=BC-BF=5-3=2. 设EF=DE=x,则CE=CD-DE=4-x. 解得 (2)设CE=3x(x>0),则(CF=4x,∴EF===5x,∴DE=EF=5x,∴AB=CD=DE+CE=8x. 设AF=AD=y(y>0),则BF=y-4x. 在Rt△ABF 中,AB²+BF²=AF²,∴(8x)²+(y-4x)²=y²,∴y=10x,∴AD=10x. 在 Rt△ADE 中, 解得 或 (舍去), ∴AD=10x=2,AB=8x= .∴长方形ABCD 的周长：为 培优计划 培优点 勾股定理与动点问题 例 如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,AC=20cm,P,Q分别是△ABC的两边上的动点,其中点 P 从点A 开始沿A→B 方向运动，且速度为1cm/s；点Q 从点B 开始沿B→C→A 方向运动，且速度为2cm/s，它们同时出发，当一点到达终点时，另一点也随之停止，设出发的时间为 ts. (1)BC= 12 cm. (2)当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上?并求出此时CQ 的长. (3)当点Q 在边AC上运动时，写出使△BCQ 成为等腰三角形时t的值. 解:(2)当点 P 在边AC 的垂直平分线上时,PC=PA=t cm,PB=AB—PA=(16—t) cm.在 Rt△BPC 中, 即 解得 易知此时点 Q 在边AC.上， (3)①当CQ=BQ时,如图①,则∠C=∠CBQ.∵∠ABC=90°,∴∠CBQ+∠ABQ=90°.∵∠A+∠C=90°,∴∠A= ②当CQ=BC时,如图②,则BC+CQ=12+12=24(cm),∴t=24÷2=12; ③当BC=BQ时,如图③,过点 B 作BE⊥AC 于点E,则 综上所述，当t 的值为11或12或 时，△BCQ 为等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $