19.3.1 二次根式的加减-教学设计 2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.3二次根式的加法与减法 第 1课时 二次根式的加法与减法人教版八年级数学下册 19.2.3 二次根式的加法与减法 教案（含概念、性质、最简二次根式） 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：新授课 一、教学目标 1. 知识与技能：回顾并巩固二次根式的概念、成立条件及核心性质；理解二次根式加法与减法的法则，掌握同类二次根式的定义及判断方法；能熟练运用概念、性质，先将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算，规范解题步骤。 2. 3. 过程与方法：通过回顾旧知、类比整式加减（合并同类项），探究二次根式加减的本质，培养学生的类比推理、归纳总结和规范运算能力，体会转化的数学思想，强化对二次根式本质及同类二次根式的理解。 4. 5. 情感态度与价值观：让学生在知识衔接中感受数学的严谨性和连贯性，培养严谨的解题习惯、主动探究的意识，增强学习数学的兴趣，体会数学的简洁美和逻辑美，感受同类二次根式与加减运算的内在关联。 6. 二、教学重难点 重点：二次根式的概念、性质及最简二次根式的应用；同类二次根式的定义及判断方法；二次根式加法与减法的法则及规范运算。 难点：同类二次根式的准确判断；先将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算的解题习惯培养；避免出现非同类二次根式直接加减的错误。 三、教学准备 教师：多媒体课件、例题板书；学生：复习二次根式的概念、性质、最简二次根式判断方法，预习本节课内容，初步感知同类二次根式的含义，梳理旧知易错点。 四、教学过程 （一）复习导入（8分钟） 1. 回顾旧知：提问学生：什么是二次根式？什么是最简二次根式？引导学生完整表述，重点强调二次根式√a（a≥0）的两个核心的和最简二次根式的两个标准；回顾二次根式的三大核心性质，快速辨析：(√5)²=5、√((-3)²)=-3（错误）、√6≥0（正确），强化性质记忆和应用。 2. 类比导入：回顾整式加减的核心是合并同类项（如3x+5x=8x），提问：二次根式的加减运算是否也有类似规律？引出同类二次根式的概念，告知学生：二次根式的加减，需先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，今天我们就探究二次根式的加法与减法。 3. 初步感知：出示实例：√2+2√2、√3+√5，引导学生观察两组式子的区别，初步判断“同类”与“非同类”二次根式的不同，为探究新知铺垫。 （二）探究新知（18分钟） 1. 探究同类二次根式：结合最简二次根式，出示对比实例，引导学生观察总结： （1）√2、2√2、5√2（化简后，被开方数都是2）；（2）√3、3√3、√12（√12化简为2√3，被开方数也为3）；（3）√5、√20（√20化简为2√5）；（4）√2、√3（被开方数不同）。 2. 归纳同类二次根式定义：学生交流讨论后，教师引导归纳：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。强调：判断同类二次根式的前提是“化为最简二次根式”，被开方数相同是核心标准，与系数无关。 3. 探究二次根式加减法则：类比整式合并同类项，结合同类二次根式定义，引导学生归纳法则： （1）加法法则：先将二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式的系数相加，被开方数不变，即a√b + c√b = (a+c)√b（b≥0）； （2）减法法则：先将二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式的系数相减，被开方数不变，即a√b - c√b = (a-c)√b（b≥0）； 重点强调：非同类二次根式不能直接进行加减运算（如√2+√3无法化简），运算前必须先化为最简二次根式，再判断是否为同类二次根式。 4. 法则应用示范：结合性质和最简二次根式要求，示范简单加减运算：√12 + √3 = 2√3 + √3 = 3√3；√27 - √12 = 3√3 - 2√3 = √3，讲解步骤：化简→判断同类→合并系数。 （三）典例讲解（12分钟） 例1（同类二次根式判断+加减运算）：（1）判断下列各组是否为同类二次根式（先化简）：① √8与√2；② √18与√27；③ 2√5与√20；（2）计算：① √12 + √27 + √3；② √45 - √20 + √5；③ √8 + √18 - √32。讲解时强调：第一步必须化简为最简二次根式，第二步判断是否为同类，第三步合并同类二次根式，非同类二次根式保留，不盲目加减。 例2（性质应用+加减混合运算）：（1）运用性质化简并计算：√(16x) + √(9x)（x≥0）；（2）计算：√(20) - √(5) + √(1/5)，引导学生先化简每一个二次根式（含分母有理化），再判断同类，最后规范合并，确保结果为最简二次根式，符合二次根式概念和性质。 教师板书规范解题步骤，提醒学生注意：先化简、再判断、后合并，避免非同类二次根式直接加减，强化运算规范性，培养严谨的解题习惯。 （四）巩固练习（8分钟） 布置分层练习：基础题（同类判断+加减运算）：判断√12与√3是否为同类二次根式、计算√2 + √8、√27 - √3；提高题（化简+加减混合运算）：√(18) + √(20) - √(8)、√(48) - √(12) + √(1/3)，要求所有结果化为最简二次根式，符合二次根式概念和性质。学生独立完成，小组内核对答案，教师巡视指导，针对同类判断、化简不彻底、非同类二次根式盲目加减的易错点集中讲解。 （五）课堂小结（3分钟） 引导学生回顾：本节课重点回顾了二次根式的概念、性质及最简二次根式的判断方法，掌握了同类二次根式的定义、判断方法，以及二次根式加法与减法的法则；明确二次根式加减的核心步骤是“化简→判断同类→合并系数”，非同类二次根式不能直接加减，运算结果必须为最简二次根式，牢记概念和性质的应用前提。师生共同梳理重点、易错点，加深记忆。 （六）布置作业（2分钟） 基础作业：教材对应习题，巩固二次根式概念辨析、性质应用、同类二次根式判断及加减运算，要求所有运算结果化为最简二次根式；拓展作业：思考二次根式加减与乘除运算的区别与联系，尝试总结二次根式混合运算的基本思路，结合概念和性质判断运算的合理性。 五、板书设计 19.2.3 二次根式的加法与减法（含概念、性质、最简二次根式） 1. 二次根式概念：形如√a（a≥0）的式子（① 含√；② a≥0） 2. 二次根式性质： （1）双重非负性：√a≥0（a≥0） （2）(√a)² = a（a≥0） （3）√(a²) = |a|（a为任意实数） 3. 最简二次根式：① 无开得尽方的因数/因式；② 无分母 4. 同类二次根式：最简后，被开方数相同（与系数无关） 5. 加减法则：化简→判断同类→合并系数（a√b±c√b=(a±c)√b，b≥0） 例1：同类判断+加减运算 例2：化简+混合运算 （解题步骤） （解题步骤） 六、教学反思 本节课将二次根式的概念、性质、最简二次根式与加减运算有机融合，通过类比整式加减探究新知，符合学生的认知规律，基本达成教学目标。但部分学生对同类二次根式的判断不够准确，易忽略“先化为最简二次根式”的前提；同时存在化简不彻底、非同类二次根式盲目加减的错误，对二次根式减法的符号处理不够规范。后续需增加同类二次根式判断和加减运算的变式训练，细化“化简→判断→合并”的步骤讲解，强化运算规范性，帮助学生熟练掌握各知识点的关联应用，提升规范运算能力。 教学设计 教学目标 课题 19.3 第1课时二次根式的加法与减法 授课人 素养目标 1.理解可以合并的二次根式的含义，会判断几个二次根式是不是可以合并的二次根式. 2.理解和掌握二次根式加减的方法，会正确进行二次根式的加减运算. 3.通过类比整式的加减法，体会化归思想，提高计算能力，培养认真细致的良好学习习惯. 教学重点 二次根式加减法则的理解及应用. 教学难点 探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减运算. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：回顾旧知，导入新课 【回顾导入】 1.观察下列两组二次根式，它们各有什么特征? 答：第(1)组二次根式的被开方数相同，都是2，第(2)组二次根式的被开方数不同，但化简为最简二次根式后，被开方数相同，都是2. 2.复习回顾，感悟知识： (1)2x和5x 是 (填“是”或“不是”)同类项,所以2x+5x= 7x ; (2)3a²和-a³ 不是 (填“是”或“不是”)同类项，所以 类比整式的加减，被开方数相同的二次根式应该如何加减?被开方数不同的二次根式又该如何加减?本课时我们将进行相关知识的学习. 【教学建议】 对于第(2)组二 次根式学生可能无法直接找出特征规律，教师可提示学生先化简为最简二次根式. 设计意图 回顾最简二次根式的化简，类比整式的合并同类项，引入新课. 活动二：问题引入，自主探究 探究点 1 可以合并的二次根式 思考(教材P13思考)：如何计算 与 的被开方数相同吗?你认为它们能否直接相加? 答： 与 的被开方数不同，无法直接相加. 2.将 与 化为最简二次根式，看看它们可以合并吗?为什么? 答： 可以合并.由于它们有共同的因数 ，可以利用分配律进行合并.即 归纳总结：可以合并的二次根式：化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式. 3.若 和最简二次根式可以合并,则m= 3 . 【对应训练】 1.下列各式中，能与 合并的是(D) 2.下列各组二次根式中，化简后能合并的是(D) A. 与 B. 与 C. 与 与 【教学建议】 提醒学生注意以 下两点： (1)在有理数范围 内成立的运算律，在实数范围内仍然成立. (2)辨别两个二 次根式能否合并，一定要先化为最简二次根式，再看它们的被开方数是否相同，若相同则可以合并，若不同则不能合并. 设计意图 引导学生发现可以 合并的二次根式. 16名师教学设计 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 设计意图 探究点 2 二次根式的加减 解答教材P13例1和例2，回答下列问题： 1.计算 并说明其中的依据. 解： .将 看成共同的因式，依据是分配律. 2.教材P13例1和例2的计算中先做了什么?后做了什么? 答：先把每个二次根式化简成了最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式进行合并. 归纳总结：一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并. 3.比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论? 答：二次根式的加减，第一步是化简，第二步是合并被开方数相同的二次根式，第二步类似于整式的加减中的合并同类项. 【对应训练】 教材P14练习第1,2题. 【教学建议】 指定学生代表解 答，提醒学生在二次根式的加减中注意：(1)若被开方数中含有带分数或者小数，则要先化成(假)分数，进而化为最简二次根式；(2)原式中若有括号，要先去括号，特别注意需要变号的情况，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 引导学生掌握二次根式的加减的一般步骤. 活动三：重点突破，提升探究 例 (教材P14例3)有一块长为7.5d m、宽为5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm²和18dm²的正方形木板? (1)截取的两块正方形木板的边长分别是多少? 答：截取的两块正方形木板的边长分别是 dm和 (2)按如图方式截取正方形木板，原木板的长和宽分别需要满足什么条件? 答：原木板的长需要大于( ，原木板的宽需要大于 (3)分析比较对应数据，你认为能否按要求截出相应的两块木板? 解： 因为 ，所以 7.5.所以这块木板足够宽，也足够长.因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是 8 dm² 和18dm²的正方形木板. 【对应训练】 教材P14练习第3题. 【教学建议】 二次根式的估值 方法多种多样，若是比较大小，可直接用平方法；若估值精度要求不高，可直接判断二次根式位于哪两个整数之间；若估值精度要求较高，可利用计算器取近似值. 设计意图 利用二次根式的加减，并估计二次 根式 的近似值，解决生活中的实际问题. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么样的二次根式可以合并?二次根式的加减的一般步骤是怎样的? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P16习题19.3第1,2,4 题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 19.3二次根式的加法与减法 第1课时 二次根式的加法与减法 1.化简后被开方数相同的二次根式才可以合并. 2.二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 教学反思 本节课从实际问题引出二次根式的加减，要注意引导学生自主探究，用合并同类项的方法来解决二次根式的加减.运算中的主要难点在于化简二次根式，教学中要注意找到学生不熟练的地方加以巩固. 八年级数学下册 17 学科网（北京）股份有限公司 备课素材 解题大招 解题大招一 可以合并的二次根式 例1 若最简二次根式与二次根式 可以合并，求a，b的值. 分析：先把 化简，再根据最简二次根式的概念和二次根式可以合并的条件，列方程组进行求解. 解：首先把二次根式化为最简二次根式，即 由题意，得 整理，得 解得 解题大招二 二次根式的加减 例2 已知 求 的值. 分析：首先将已知等式变形成两个完全平方式的和的形式，然后结合非负数的性质求出x，y的值.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并，最后代入求值. 解：因为 所以 所以( 所以 原式 . 当 时，原式 解题大招三 二次根式的大小比较方法 比较二次根式的大小，通常有平方比较法、作差比较法、作商比较法、倒数比较法、分子有理化法等. (1)运用平方法 如：比较3 和2 的大小.解：因为( 且18>12,所以 (2)运用作差法 如：比较3 和2 的大小.解：因为 ，所以 (3)运用作商法 如：比较： 和2 的大小.解：因为 所以 (4)运用倒数法 如：比较 与 的大小(其中n 为正整数). 解：因为 又n为正整数，所以 所以 (5)运用分子有理化法 如：比较 与 的大小. 解：因为 ,又 +所以 即 学科网（北京）股份有限公司 $