2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试冲刺数学试题（二）

2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试 冲刺数学试题（二） 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 3．某中职学校为调查全校3000名学生的视力情况，随机抽取了300名学生进行调查，下列说法正确的是（   ）． A．总体是3000名学生 B．样本容量是300 C．个体是每一个学生 D．样本是300名学生 4．已知点分别是直线和直线上的动点，则两点之间的最短距离为（   ） A． B． C． D．4 5．已知，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的母线长为3，侧面积为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 8．已知点是角终边上一点，则等于（   ） A． B． C． D． 9．已知向量，向量，且，则（   ） A． B． C． D．1 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 11．若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与相交 12．从5名男生和2名女生中任选2人参加演讲比察，则所选2人中至少有1名女生的选法种数为（   ） A．10 B．11 C．21 D．22 13．函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．最大值为2，最小正周期为 B．最大值为2，最小正周期为 C． D． 14．如图所示是一个几何体的三视图及其尺寸，则该几何体的体积为（    ）    A．48 B．60 C．144 D．108 15．抛物线上点M到直线的距离为5，F为焦点，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 16．如图，已知正方体，则下列结论正确的个数为（   ）    ①与垂直；    ②与平行； ③直线与所成的角是；    ④直线与所成的角是． A．1 B．2 C．3 D．4 17．在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（    ） A． B． C．20 D． 18．某种产品的广告费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间的关系如下表： 1 3 4 5 7 6 8 12 10 14 若与的回归直线方程为，则（    ） A．4.1 B．4.7 C．4.8 D．6.8 19．已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．3 D．9 20．设是定义在上的周期为6的偶函数，且在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5 小题，每小题3分，共 15分） 21．圆在点处的切线方程为 ． 22．已知，，则角等于 . 23．已知数列是等比数列,, 则数列前4项的和 . 24．若椭圆经过抛物线的焦点，则椭圆的焦距为 ． 25．定义新运算“”：当时，；当时，．则函数在区间上的最大值是 ． 三、解答题（本大题共5小题，共45分。要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 26．已知函数对一切实数都有成立，且． (1)求的值及函数的解析式； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 27．已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，，求边a和c的长； (2)若，，求的面积以及周长． 28．某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值； (2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取人进一步了解情况，用表示抽到的评分在分以上的人数，求的分布列及数学期望． 29．如图，在中，是的中点，．将沿折起，使点移至图中点位置． (1)若，求二面角的大小； (2)当三棱锥的体积取最大时，求二面角的正切值． 30．如图所示，在平面直角坐标系中，已知双曲线C上的一个动点P到两个定点和的距离满足，直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线上支的一个动点，求： ①的最小值； ②的面积的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省中等职业学校对口升学文化考试 冲刺数学试题（二）答案 1．A【详解】因为，， 所以，则.故选：A 2．D【详解】因为复数z满足，所以有，即.故选:D. 3．B【详解】由题意可知，总体为全校3000名学生的视力情况；个体为每一个学生的视力情况；样本为300名学生的视力情况；样本容量为，故选项A、C、D错误，故选：B. 4．A【详解】因为直线，，所以，所以两点之间的最短距离即为两平行线之间的距离所以最短距离．故选：A． 5．A【详解】函数，底数，在定义域上为减函数，所以， 函数，底数，所以在定义域上为增函数，所以， 函数，底数，所以在定义域上为增函数，所以， 所以，故选：. 6．D【详解】由题意，设圆锥的母线长和底面半径分别为，则， 解得，所以圆锥的高，所以该圆锥的体积.故选：D． 7．C【详解】因为双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上， 则，，，， 则，，则该双曲线的离心率故选：C. 8．A【详解】因为点是角终边上一点， 所以，即，故选：A. 9．B【详解】向量，向量，且，则，解得.则.故选：B. 10．D【详解】因为， 代入可得 ； 代入可得； 两式相减得，解得.故选：D. 11．C【详解】对于A，若，，则平行或异面，故A错误. 对于B，若，则平行或异面或相交，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则与相交或异面，故D错误.故选：C. 12．B【详解】从5名男生和2名女生中任选2人参加比赛， 所选2人中至少有1名女生包括：选中的为2名女生和0名男生、1名女生和1名男生两种， 选2名女生和0名男生，有种选法， 选1名女生和1名男生，有种选法， 所以共有种选法．故选：B． 13．A【详解】由图像可知，最大值为2，则振幅，因为，解得，所以最小正周期为，A正确，B错误；因为， 所以， 将点代入函数解析式，得， 解得． 又，所以，C，D错误．故选：A． 14．A【详解】由三视图可以判断几何体为正四棱锥， 因为斜高为5，底面边长为6，所以高为4， 所以体积．故选:A． 15．B【详解】的准线为， 点M到直线的距离为5，则点M到直线的距离为6， 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离， 则，故选：B 16．B【详解】①：在正方体中，平面， 又平面，所以，故①正确； ②：连接，    在正方体中，平面， 又平面，所以， 又因为在正方形中，， ，平面， 所以平面， 又平面，所以，故②错误； ③：连接，    在正方体中，， 所以为直线与所成的角， 又因为平面，平面， 所以， 设正方体棱长为a，则, 所以在直角三角形中，， 所以直线与所成的角不是，故③错误； ④：在正方体中，， 所以为直线与所成的角， 设正方体棱长为a，则, 所以在直角三角形中，， 又因为，所以， 所以直线与所成的角是，故④正确， 所以结论正确的为①④，共2个. 故选：B. 17．A【详解】因为的展开式共有7项，且二项式系数对称分布， 所以可知第4项二项式系数最大， 所以， 所以二项式系数最大的项的系数为．故选:A． 18．C【详解】根据表格中的数据，可得，， 即样本中心为，代入回归直线方程，即，解得. 故选：C. 19．A【详解】由题得，即， 所以，.故选：A 20．C【详解】因为是定义在上的周期为6的偶函数， 所以，，， 又函数在上是减函数， 所以，即.故选：C. 21．【详解】因为点在圆上，圆心， 所以点为切点，则切线与直线垂直，故切线斜率， 所以切线方程为，即．故答案为： 22．【详解】在上单调递减， 则满足的角有一个在第三象限， 先求上满足的角，得， 由，得所求，故答案为：. 23．15【详解】设数列的首项为，公比为,因为,，所以解得,所以数列的前项和.故答案为：. 24．【详解】由抛物线，可知其焦点在轴，， 所以其焦点坐标为，又因为椭圆经过抛物线的焦点， 所以，解得：，所以椭圆的方程为， 即，所以，所以焦距，故答案为：. 25．6【详解】题目已知，根据新运算的定义可知， 当时，，，则； 当时，，，则， 此时函数在上单调递增，. 综上，故的最大值为6．故答案为：6. 26．解：（1）令，则， 令，则， 又， ， ． （2）方法一：由，得，整理得， 当时，不等式恒成立， 令，只需满足即可， 又的图像的对称轴为，图像为开口向上的抛物线， 当，即时，的最小值，解得； 当，即时，的最小值，解得，不符合的前提条件； 当，即时，的最小值，无解； 综上所述，的取值范围是． 方法二：由，得，整理得， 可整理为， 当时，不等式恒成立，即恒成立， 令，只需满足即可， 与在上都是增函数，在上也是增函数， ， ， 的取值范围是． 27．解：（1）在中，，，. 根据余弦定理可得，. 化简得，解得或（舍去）. 又因为，所以. 故边的长为，边的长为. （2）在中，,， 根据正弦定理可得，. 所以. 又因为，所以，即. 根据三角形的面积公式可得. 由余弦定理可得，. 化简得， 又因为,则，解得. 所以的周长为.综上所述，的面积为，周长为. 28．解：（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为， 则，解得. （2）因为评分在分以上的学生所占的频率为， 由题意可知，， 所以，，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. 29．解：（1）， 是二面角的平面角． 是的中点，， ． 又，． 二面角的大小为． （2）面积不变， 最大时，最大，此时平面， 又平面，即,故 取的中点，连接，如图， ，， 即是二面角的平面角， 因为,平面，所以平面， 又平面，即， 在直角三角形中，， , 二面角的正切值为． 30．解：（1）设双曲线方程为：， 由双曲线定义可知，，即， 由双曲线两焦点和可得：， 则， 故双曲线方程为：. （2）①因为，所以， 则当点在线段上时，有最小值，即， 当时，由可得，所以直线与轴交于， 则， 所以. ②当时，由可得，所以直线与轴交于， 所以， 要使的面积最小，则点到直线的距离最小， 此时过点作双曲线上支的切线与直线平行， 不妨设该切线方程为， 则由可得：， 则由可得：， 当时，由可得：切点纵坐标不满足，舍去， 故， 则两平行线与的距离为： ， 的面积最小为. 学科网（北京）股份有限公司 $