江西吉安市五所县二中2023-2024学年高一下学期第二次联考数学试卷

江西吉安市五所县二中2023-2024学年高一下学期第二次联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是(　　) A．1　 B．2　 C．3　 D．4 2.下列有四个结论，其中说法正确的结论是(　 ) A．平行向量不一定是共线向量 B．模为0的向量与任意向量共线 C．若，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 3.已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于(　　) A．sin 2　 B．－sin 2　 C．cos 2　 D．－cos 2 4．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 6.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于(　　) A． 　B．2　　 C．3　　 D．4 7．下列四个命题中，正确的是（    ） ①若、，则. ②若，则. ③若，，且，则与的夹角为 ④已知向量，不共线，，，，则三点共线 A． B． C． D． 8．已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.给出下列四个有关向量概念的命题，则不正确的命题是 ( ) A.单位向量都相等 B.若A，B，C，D是不共线的四点，且，则四边形ABCD为平行四边形 C.向量的充要条件是且 D.已知为实数，若，则与共线 10.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝，点O在线段CD上(不与点C，D重合)，若＝x＋(1－x)，则实数x的取值可以是( ) A．－ 　　 B．－ C．－ D．－ 11．若、、是锐角三角形的内角，下列结论一定成立的有（   ） A． B． C． D． 12．已知函数，若有个零点，记为，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．的取值范围 C．的取值范围是 D． 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若＝，＝(λ＋1)，则λ＝ ． 14.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于 . 15．已知函数在区间上恰有3个最小值点，则实数的取值范围为________． 16．已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则P点的轨迹一定通过三角形ABC的________心． 四．解答题：本题共6小题，17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，已知角，的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，角，的终边与单位圆分别交于A，B两点，且，已知点． (1)求，的值；(2)求的值． 18.在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcos C＝(3a－c)cos B.(1)若·＝4，求△ABC的面积S；(2)若，求cos A的值. 19．已知． (1)若，求；(2)若的夹角为，求. 20．已知斜三角形的内角，，所对的边分别为，，；且． （1）求角；（2）若的面积为，周长为15，求的值． 21．如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的高度为（单位：m）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为. (1)在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ (3)若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 22.（1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；（2）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，求的最小值． 第二次联考数学试卷答案与解析 一、单选题 1.C 设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R.由题意得解得R＝2,θ＝3，即扇形的圆心角的弧度数是3.故选C． 2.B　对于A，共线向量是两个方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以A错误；对于B，模为0的向量是零向量，而零向量和任意向量共线，所以B正确；对于C，当时，满足，但与不一定是平行向量,所以C错误；对于D，零向量与它的相反向量相等，所以D错误.综上，知选项B正确，故选B． 3.D因为r＝＝2,由任意三角函数的定义,得sin α＝＝－cos 2.故选D． 4．D 因为，所以.故选D. 5．B 由，得，而，因此，解得，所以.故选B． 6.D 如图，在△OAC中，M为AC中点，所以＋＝2，在△OBD中，＋＝2，则＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.故选D． 7．A 对命题①:当时，零向量与任意向量平行，此时、，但与不一定平行，知①错误；对命题②:对等式两边平方得，， 若，则，因此，即，知②正确；对命题③: 两边同时平方得：，代入，得，计算得,又，故，知③错误；对命题④:，即，又二者有公共点，故三点共线，知④正确.故选A. 8．D 因为，所以，又，所以，即，又在区间上单调递增，所以， 故，，解得，．令得，又，所以；令得；当时，，不合题意．综上，的取值范围为．故选D. 二、多选题 9.ACD 对于选项A，由于单位向量模都相等，但方向不一定相同，知A不正确.对于选项B，因为，所以，且；又A，B，C，D是不共线的四点，知四边形ABCD为平行四边形，知B正确．对于选项C，当向量且方向相反时，即使，也不能得到，从而知向量的必要不充分是且，知C不正确.对于选项D，当实数时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，知D不正确.综上所述，知不正确的命题是ACD，故选ACD. 10.ACD 依题意,知B,C,D,O四点共线，可设＝y，则＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y)；因为＝，点O在线段CD上，且不与C，D重合，所以y∈(0,2)，又因为＝x＋(1－x)，所以由平面向量基本定理,比较系数得x＝－y∈(－2,0)，知实数x的取值范围是(－2,0)，而－,－,－∈(－2,0),故选ACD． 11．ABD 因为,,是锐角三角形的内角，则，且，对于A，因为，知A正确， 对于B，因为，知B正确，对于C，因为，，则,又在区间上单调递增，所以，知C错误；对于D，因为， 又，，则， 所以，即，知D正确.综上,故选ABD. 12．AC 将函数的图象关于轴对称，并将轴下方部分的图象翻折到轴上方，即可得到的图象，因的 最小正周期，故在上有个周期长，设，解得，故的图象的对称轴方程为， 由此作出函数的图象，如图：由图知，的零点个数问题，可转化为的图象与直线的交点个数问题，对于选项A，由有个零点，可知函数的图象与直线有个交点，即偶数个交点，由图象可知，当时，的图象与直线有个交点，不合题意；当时，的图象与直线有个交点，不合题意；当时，的图象与直线有个交点，不合题意；当时，的图象与直线有个交点，不合题意；当时，的图象与直线有个交点，符合题意；知A正确；对于选项B，由题意可知，，则，即，则，，易知函数在上单调递增，故的取值范围为，知B错误；对于选项C，当时，或，解得或，从图中可知，由选项A中的分析可知，故，从图可知关于直线对称，故，所以,则有,知C正确；对于选项D,与C项同理可得,,,,,,,因,则 ，知D错误.故选AC. 三、填空题 13.－　由条件＝，可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则＝－，又因＝(λ＋1)，所以λ＋1＝－，解得λ＝－． 14.2　设△ABC中的角A，B，C对应的边分别为a，b，c.依题意知b＝4，a＝2， 由余弦定理得cos A＝＝＝，整理得(c－2)2＝0，解得c＝2.所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×4×2×sin 60°＝2.故填2. 15． 因为，则，因为在区间上恰有3个最小值点，所以结合余弦函数的性质可得，，得，则实数的取值范围为.故填. 16．重 由正弦定理可知：，R为三角形的外接圆的半径，所以动点P满足．则， 因为是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线以A为起点的向量，方向与边上的中线方向相同，所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心．故填：重. 四、解答题 17．(1)；；(2). 解：（1）由知，又，故. 所以同理. （2）. 18.解:(1)在△ABC中，将条件bcos C＝(3a－c)cos B，化为bcos C＋ccos B＝3acos B，由余弦定理得bcos C＋ccos B＝＋(或由射影定理知bcos C＋ccos B＝a)，从而得a＝3acos B，且a ≠0，得cos B＝，于是知B为锐角,所以.又因·＝4，即accos B＝4，则得ac＝12.故△ABC的面积. (2)由(1)知，又因，知A<B,所以A为锐角；根据正弦定理,得,故. 19．(1)或；(2). 解:（1）若，则与的夹角为0或. 所以或. （2）因为 ，所以. 20．（1）；（2）或. 解：（1）∵，∴， 即，得.∵，∴，∴.又，∴. （2）由题可知,∴.由余弦定理得， 由，可得，∴，解得. ∴，结合，可解得或，所以或. 由正弦定理可得或. 21．(1),；(2)100秒；(3)20. 解：（1）由图可知，的最大值为，的最小值为，则，,因为筒车按逆时针每分钟转2圈，故，所以， 所以，当时，，所以，则， 因为，所以，所以，. （2）由（1）得，令，则，得，则，解得， 5分钟秒，则令，，得， 故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒. （3）不妨设，由题意得， 故;①，，解得，，故，当且仅当，时，等号成立， ②，，解得，显然当时，取得最小值，最小值为,综上，的最小值为20. 22．（1）；（2）. 解：(1)由题意， 又，由题意，解得， 又当时，即时，与共线；所以与的夹角为钝角时，知且；故实数的取值范围为. (2)由题意：由于为圆心，得，所以， 则，由，，所以，即,当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $