命题大赛 第9章平面向量单元测试卷-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 苏教版数学必修二平面向量单元卷，覆盖向量线性运算、数量积、解三角形等核心知识，通过实际情境（如公路仰角测量）与多问设计，考查数学眼光、思维与语言，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量坐标运算、三角形判定|结合图形（如中点三等分点）考查几何直观| |多选题|3/18|向量性质、解三角形公式|辨析向量夹角范围等，培养推理能力| |填空题|3/15|正六边形向量、不可到达点测量|融入实际测量情境，体现应用意识| |解答题|5/77|向量平行垂直、解三角形综合|多问设计（如15题三问），从基础运算到最值探究，发展运算能力与模型意识|

苏教版数学必修二第9章平面向量章节检测解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B B A D D ABD ACD 题号 11 答案 ABD 1．D 【详解】. 2．C 【分析】根据向量的坐标运算求解后判断各选项. 【详解】A选项，因为，，所以， 所以，是直角三角形，A正确； B选项，因为，所以，又因为四点不共线，所以四边形是平行四边形，B正确； C选项，，，则，C错误； D选项，因为，则是线段中点，所以，D正确. 3．B 【分析】根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论. 【详解】因为是的中点，所以， 因为是的靠近的三等分点，所以， 所以． 4． B 【分析】向量的数量积运算已知向量 【详解】依题意，， 5．B 【分析】结合题干和正弦定理建立方程求解. 【详解】在中由正弦定理，可得： 已知，则，且， 代入上式：，解得. 6．A 【分析】根据题意，利用两角和的正弦公式，求得，得到为直角三角形，结合直角三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在中，因为，所以均为锐角， 可得，， 所以， 又因为，所以，所以为直角三角形， 因为，可得， 所以的面积为. 7．D 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系求出，再利用余弦定理求出即可. 【详解】在中，， 则， 在中，，由余弦定理得， 在中，， 由余弦定理得， 在中，. 8．D 【分析】由方向向量和向量垂直可得的角平分线与边垂直，再根据数量积定义和三角形内角和定理判断三角形形状即可. 【详解】、分别是、方向的单位向量， 两个单位向量的和方向为的角平分线方向， 由条件，可知的角平分线与边垂直， 因此，为等腰三角形. 由向量数量积的定义，可得： 是三角形内角，即，因此. 结合得，可得， 三个内角不全相等，故是等腰非等边三角形. 9．ABD 【分析】利用正余弦定理依次进行判断即可. 【详解】对于A，由正弦定理得，其中为外接圆的半径， 由此可得， 因此，故A正确； 对于B，若，由正弦定理，可得， 又因为，所以，因此，故B正确； 对于C，若，展开并化简得， 由余弦定理得，由于，所以， 此时角还不能确定，因此不能保证是等边三角形，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，代入余弦定理， 化简得到，故D正确. 10．ACD 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当时，不一定成立，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，根据向量加法的三角形法则，可知成立，故D正确． 11．ABD 【分析】根据已知，设，且在以为圆心，1为半径的圆上，数形结合并结合向量数量积、加减法、模长的几何意义判断各项的正误. 【详解】由， 若，且在以为圆心，1为半径的圆上，如下图示， 由图，当与圆相切时，即最大，最小显然为0， 所以，A对； 当为圆与轴的交点时取得最值，结合图易知，B对； 如图，若轴，由， 显然在圆与轴的两个交点之间运动（含交点），故，而， 所以的取值范围是，C错； 如图，若是中点，则，则， 显然中点轨迹是以为圆心，为半径的圆上运动，则， 所以，D对. 故选：ABD 12．/ 【分析】由余弦定理先求出，再由同角三角函数的平方关系即可求. 【详解】由余弦定理，得，又， 所以. 故答案为： 13． 【分析】在中，先利用正弦定理求出，然后在中，利用余弦定理求得结果. 【详解】在中，， 所以. 所以根据正弦定理得，即，解得. 因为，所以是等边三角形，所以. 在中，， 根据余弦定理得，代入数据得 ，解得， 即. 14．11 【详解】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值11. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示，列式计算. （2）利用向量垂直的坐标表示，列式求解. （2）利用模的坐标表示求出，再利用夹角公式求解. 【详解】（1）由，得，所以. （2）依题意，，由， 得，所以. （3）依题意，，则，而， 解得，即，则， ，因此，又， 所以. 16．(1)； (2)． 【分析】（1）利用向量共线定理及其推论待定系数计算即可； （2）利用向量数量积公式及模长公式计算即可. 【详解】（1）易知 ， 因为三点共线，所以，解得； （2）记， 则，， 又，，，故， ， ， ，     则． 17．(1) (2)4 (3) 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示，结合正弦定理建立方程，求解角． （2）已知两边及夹角，直接利用余弦定理求第三边． （3）利用正弦定理将表示成关于角的函数，再求出函数的取值范围即可． 【详解】（1）且，． 由正弦定理，得， 代入上式得， ，又，. （2）在中，由余弦定理：． 又，代入上式得， 或（舍去）． （3）在中，， 由正弦定理得． ． 又，． ． ，， ． 即的取值范围为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）运用余弦定理将角化为边，化简后再用余弦定理求出，得出B即可． （2）先用余弦定理得出a，c关系式，再将三角形面积进行转化，用等面积法，运用面积公式求解即可． （3）先用中线的向量表达式，，两边平方，将中线长转化为求ac的范围，后将ac又转化为三角函数求值域问题，最终求得中线长范围． 【详解】（1）已知，由余弦定理可得， 因为，代入中，得，化简得， 则，因为，所以． （2），，由余弦定理得， 即，又因为，所以， 由面积关系可得， ， 所以，即. （3）因为E是AC的中点，所以， 则， 由正弦定理得，， 即， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，即边AC上的中线BE的取值范围为． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解； （2）由正弦定理转化为三角函数，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦型三角函数求值域即可； （3）由余弦定理及基本不等式求出范围，再由三角形面积公式得出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为， 所以， 即， 由可得，即， 由，可得. （2）因为， 所以 ， 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以，， 所以. （3）如图， 由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立， 又， 化简可得，， 所以，当且仅当时等号成立. 故BD长度的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏教版数学必修二第9章平面向量章节检测 双向细目表 考查范围：平面向量、三角函数与解三角形、等式与不等式 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 平面向量的混合运算 2 适中 用坐标表示平面向量,平面向量线性运算的坐标表示,数量积的坐标表示,线段的定比分点 3 适中 平面向量的混合运算,用基底表示向量 4 容易 数量积的计算 5 容易 正弦定理解三角形,正弦定理边角互化的应用 6 适中 用和、差角的正弦公式化简、求值,已知正（余）弦求余（正）弦,三角形面积公式及其应用 7 适中 高度测量问题,余弦定理解三角形 8 适中 数量积的运算律,向量夹角的计算,垂直关系的向量表示 二、多选题 9 适中 正、余弦定理判定三角形形状,正弦定理解三角形,正弦定理边角互化的应用 10 适中 数量积的运算律,平行向量（共线向量） 11 适中 向量加法法则的几何应用,平面向量数量积的几何意义,向量减法法则的几何应用,解析法在向量中的应用 三、填空题 12 较易 余弦定理解三角形 13 适中 距离测量问题,正弦定理解三角形,余弦定理解三角形 14 适中 数量积的坐标表示,向量与几何最值 四、解答题 15 适中 由向量共线（平行）求参数,向量夹角的计算,利用向量垂直求参数,数量积的坐标表示 16 适中 向量夹角的计算,已知向量共线（平行）求参数,用基底表示向量 17 适中 辅助角公式,求三角形中的边长或周长的最值或范围,正弦定理解三角形,用和、差角的正弦公式化简、求值,余弦定理解三角形 18 适中 求三角形中的边长或周长的最值或范围,三角恒等变换的化简问题,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形 19 较难 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦,逆用和、差角的余弦公式化简、求值,求含sinx(型)函数的值域和最值,正弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形,基本不等式求积的最大值 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏教版数学必修二第9章平面向量章节检测 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项） 1．（   ） A． B． C． D． 2．已知点，，，则下列结论错误的是（    ） A．是直角三角形 B．若点，则四边形是平行四边形 C．若，则 D．若，则 3．如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 4．已知等边三角形 ABC 的边长为 4，则 （   ） A．8 B． C． D． 5．在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知中，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 7．如图，公路北侧有一幢楼，高为300米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走400米到点B处，测得仰角为30°，再行走400米到点C处，测得仰角为θ，则（   ） A． B． C． D． 8．在中，向量与满足，且，则为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰非等边三角形 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项） 9．在中，内角所对的边分别为，下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则是等边三角形 D． 10．下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 11．已知平面向量为非零向量，且满足，则（    ） A．夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在中，角的对边分别为，若，则_________. 13．如下左图，两点都在河对岸（不可到达），某测量队测得米，，，，求两点的距离__________. 14． 如上右图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为 。 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知向量. (1)若 ，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若，且，求向量的夹角. 16．如图，中，，，，，为的中点，与相交于点． (1)若，求的值； (2)求的余弦值． 17．已知的内角A，B，C所对的边为a，b，c，向量，，且； (1)求角A； (2)若，，求c； (3)若，求的取值范围． 18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求角B； (2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长； (3)求边AC上的中线BE的取值范围． 19．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $