2026届宁夏回族自治区银川一中高三考前一个月综合模拟自测训练模拟卷（一）数学

2026届高三年级考前一个月综合模拟自测训练模拟卷（一） 数 学 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知中，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 4．现要把6个不同的苹果平均地分装入3个不同的盒子中．这6个苹果中有4个是一级果，2个是二级果，则恰好有一个盒子中均为一级果的概率为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，在边上，且，若，，则（   ） A．26 B．28 C．36 D．39 6．已知数列满足，，则的个位数字为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．已知直线与曲线和都相切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题:共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某高端茶饮品牌推出一款新品冷泡茶，为优化产品配方，品牌对该款茶的“最佳饮用时长”x（单位：小时，指冲泡后风味最佳的时长区间）进行市场调研.从全国门店随机抽取了100名消费者进行试饮测试，统计结果如下表： 最佳饮用时长x（小时） 消费者人数y 2 38 a b 6 已知最佳饮用时长x的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），根据调研数据可认为x近似服从正态分布，用样本平均值作为的值，样本标准差s作为的值.则下列说法正确的是（   ）.（参考数据：若随机变量，则，，） A．， B．饮用时长在小时内的消费者占比估计值为13.59% C．饮用时长超过5.5小时的消费者占比估计值为2.275% D．若规定概率低于0.27%的事件为小概率事件，则本次调研中未发生小概率事件，即该款茶的最佳饮用时长符合品牌预设标准 10．如图，在的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化． 例如：   下列的方格中，哪些图形可由上图经过4次移动得到（    ） A．   B．   C．   D．   11．如图，在棱长为3的正方体中，为对角线上的动点，，下列说法正确的是（    ） A． B．点到直线的距离的最小值为 C．过，N，A三点的平面截正方体所得截面的周长为 D．当时，三棱锥外接球的体积为 三、填空题:共3个小题，每小题5分，共15分. 12．计算：______． 13．已知椭圆的左右焦点分别是，点满足，线段与椭圆交于点，作于，其中为坐标原点，则椭圆的离心率为__________. 14．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为__________. 四、解答题:共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分） 设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 16．（本小题15分） 已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2. (1)若，求数列的前n项和； (2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围. 17．（本小题15分） 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是正方形，底面ABCD，是线段PC的中点，在线段PB上，． (1)求证：平面BDE； (2)求证：平面DEF (3)在线段PB之间（不含端点），EG与PA所成的角为，求平面DEF与平面DEG夹角的余弦值． 18．（本小题17分） 已知为坐标原点，点是焦距为的双曲线上的三个点，分别是线段的中点，是的两条互相垂直的渐近线. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与分别交于和，求证：； (3)判断的外接圆是否过定点；若是，请写出定点坐标并证明；若否，请说明理由. 19．（本小题17分） 元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. (1)当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； (2)当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 试卷第4页，共5页 高三自测模拟卷（一）数学 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 2026届高三年级考前一个月综合模拟自测训练模拟卷（一）数学参考答案 选择题部分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C A D D A C B ABD BCD ABD 非选择题部分 12． 13． 14． 15．（本小题13分） 解：（1）函数的导数为， 1分 当时，恒成立，故，所以在上单调递增； 2分 当时，令 ，得. 3分 当时，，单调递减； 4分 当时，，单调递增. 5分 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. 6分 （2）由（1）知，当时，在处取得最小值， 因此，对任意，有. 7分 只需证明 ，即 8分 令，. 求导得， 9分 ，故在上单调递增. 10分 由知，当时，，当时，， 11分 所以在单调递减，在单调递增. 所以在处取得最小值. 12分 因此，即成立，等号当且时取得. 13分 16．（本小题15分） 解：（1）已知：时，； 1分 时，， 2分 验证也满足，故. （答案中未写扣1分） 是首项为1、公比为2的等比数列，故，. 3分 ，则：① 4分 两边同乘得：②. 5分 ①-②得： 6分 中间等比数列求和得， 7分 代入整理得：. 8分 （2）不等式，对恒成立， 9分 代入得：. 10分 设，作差得： 11分 时，； 12分 时，； 13分 时，， 14分 故的最大值为，因此，即. 15分 17．（本小题15分） 解：（1）连接AC，交BD于，连接OE，因为E，O为中点， 1分 所以EO是的中位线，所以， 2分 又因为平面平面BDE，所以平面BDE． 3分 （2），又是PC的中点，所以，因为底面ABCD，所以，而平面平面PDC，所以平面，平面PDC，所以 5分 又平面平面PBC，故平面PBC，平面PBC，所以， 6分 又因为平面平面DEF，故平面DEF． 7分 （3）设，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 8分 设．，，，， 因为与所成的角为， 9分 则即， 10分 化简得，又因为，解得 11分 又因为，故，设平面DEG的一个法向量为，则 ，令，则 所以． 13分 由（2）可知：平面DEF，故是平面DEF的一个法向量， 14分 设平面DEF与平面DEG夹角为，则有．故平面DEF与平面DEG夹角的余弦值为． 15分 18．（本小题17分） 解：（1）双曲线的渐近线方程为，由题意两条渐近线互相垂直，因此斜率乘积为：， 2分 已知双曲线焦距，故，又双曲线满足，代入得：， 3分 因此双曲线的方程为：. 4分 （2）由题可知，只需证明为线段中点， 当斜率不存在时，为等腰直角三角形，为线段中点显然成立． 5分 当斜率存在时，设，分别与交于和，线段中点为； 7分 联立与，计算得：， 8分 设，由韦达定理： 9分 则中点的横坐标为：，代入直线方程得纵坐标：，故，为中点，证毕． 11分 （3）由对称性可知，若外接圆过定点，则定点为坐标原点， 下面证明：四点共圆. 12分 注意到，和中，至少有两条直线的斜率存在，不妨设的斜率存在， 设 13分 由（2）知，， 则，， 15分 又为的中点三角形，故 ，即， 16分 ，故，即四点共圆，故外接圆过定点. 17分 19．（本小题17分） 解：（1）由题可知：的取值可能为， 1分 ，，， 3分 故的分布列为： 2 3 4 故. 5分 （2）记事件：甲同学获奖，显然，，设表示甲投掷的次数，若甲投掷次并获奖， 6分 则， 所以， 7分 令， 所以， 8分 两式相减： 9分 ， 即，所以． 11分 （3）记表示乙同学的得分，， 记事件：乙同学获奖，表示乙同学得分为分时，最终获奖的概率， 显然，又， 12分 由全概率公式知：， 所以， 13分 那么： ， 14分 即， 同理：， ， ， ， 累加有， 所以， 即，即， 即， 16分 由甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为得：， 由，即，解得，故的最小值为. 17分 试题解析部分 1．A 解：，，故. 2．C 解：由题意，，若相互独立，则相互独立，相互独立，所以，所以，故充分性成立；若，即，则，即，故，即相互独立，故相互独立，故必要性成立，故“相互独立”是“”的充分必要条件. 3．A 解：在中，因为，所以均为锐角，可得，，所以，又因为，所以，所以为直角三角形，因为，可得，所以的面积为. 4．D 解：由题可知不同装法的总数为，事件：“恰好有一个盒子中均为一级果”对应的装法数为，因此事件发生的概率，故选项D正确． 5．D 解：因为在边上，方向相同，夹角为，所以．因为，所以．因为，所以，所以．因为，且，所以．因为，所以，即 6．A 解：由题设，则，令，得，则，，显然也满足上式，，则，显然个位数字为2. 7．C 解：令直线与曲线的切点为，由，则，而，故，所以，令直线与曲线的切点为，由，则，故，而，故，所以. 8．B 解：，，，，，，；函数的零点个数等价于函数与直线的交点个数；作出与的图象如下图所示， 结合图象可知：当时，与在每个区间上有且仅有一个交点，则当时，与共有个交点；当时，与没有交点，即当时，与没有交点；当时，与有且仅有一个交点，即当时，与有且仅有个交点；当时，，，二者没有交点，即当时，与没有交点；综上所述：当时，函数的零点个数为个. 9．ABD 解：对于A，由题可得，，解得：，故A正确；对于B，由题可得，则，由正态分布知识，，则，故B正确；对于C，因，则，故C错误；对于D，由题可得，从而或 ，因小概率事件范围与题目所涉及范围无交集，则该调查中未发生小概率事件，故D正确. 10．BCD 解：   对于A项，需要三步（或者步），如图3. 第一步：第三列向下移动一次，第三列已经符合； 第二步：第一列向上移动一次； 第三步：第一行向右移动一次，即可得到A图象. 根据变换的性质，可知三步以后，要想得到A图象，只能再进行偶数步变换（即先向任意方向移动一步，下一步再向相反方向移动）才可以做到， 所以需要步，4步不能做到，故A项错误； 对于C项，与原图一致，有多种移动方式. 如图1，将第一行，向左移动四次即可.故C正确； 对于B项，只需移动前三列即可，如图2. 第一步：第一列向上移动一次，第一列已经符合； 第二步：第二列向上移动一次； 第三步：第二列向上移动一次，第二列已经符合； 第四步：第三列向下移动一次，第三列已经符合.故B正确； 对于D项，如图4， 第一步：第三行向左移动一次； 第二步：第三行向左移动一次； 第三步：第三列向上移动一次； 第四步：第三列向上移动一次. 即可得到D图象，故D正确. 11．ABD 以为坐标原点，​为轴，​为轴，为轴，建立空间直角坐标系，对于A，表示出各点坐标，利用向量数量积运算即可判断；对于选项B，利用空间中点到直线的距离公式结合二次函数的性质即可求解；对于C，取，连接，可得过，N，A三点的平面截正方体所得截面为梯形，求出各边长即可判断；对于D,有条件可得，由​是直角三角形，可得外接圆半径​​，外心为​中点，设外接球球心，由即可得到球心坐标，从而求得外接圆的半径结合球的体积公式即可求解.解：以​为坐标原点，​为轴，​为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，由，得，由为对角线上的动点，设对于A，，，所以则，故A正确；对于B，由于，，所以，，，则点到直线的距离，即所以当​时，，B正确;对于C，取，连接，因为，，所以，因为，，所以四边形为平行四边形，则，所以，且故过，N，A三点的平面截正方体所得截面为梯形，由于，，，所以过，N，A三点的平面截正方体所得截面的周长为，故C不正确；对于D，由，，得，则，由​是直角三角形，其外接圆半径​​，外心为​中点，设外接球球心，由：则，解得：，则外接球半径：，所以三棱锥外接球的体积：，故D正确； 12.解：． 13.解：∵ 椭圆方程为（），根据椭圆定义，对椭圆上任意一点，都有.∵ 点满足，且，∴ ，即为等腰三角形，. ∵ 于，等腰三角形三线合一，∴ 为线段的中点.∵ 是坐标原点，椭圆焦点关于原点对称，即是的中点，∴ 在中，是三角形中位线.∴ .∵ ，∴ .∴ ，得.∴ . 14．解：由为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称，由为偶函数，可得，所以函数关于直线对称，所以，从而得，所以函数是周期为4的周期函数，因为，所以在中，令，得，令，得，令，得，所以，于是. 答案第16页，共17页 高三自测模拟卷（一）数学答案 第4页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $