2025-2026学年河北省职教高考研究联合体第四次联合考试数学试题

**基本信息** 2025-2026学年河北省职教高考研究联合体第四次联考数学试题，以承德避暑山庄建筑（题14）、技师学院抽样（题15）等真实情境为载体，覆盖中职数学核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，适配模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|20/60|集合、函数、不等式、复数、数列、立体几何|结合文化与生活情境，考查抽象能力与运算能力，如古建筑三角形判断（题14）| |填空题|5/15|函数定义域、等比数列、排列组合、圆锥体积、轨迹方程|聚焦数学语言表达，如轨迹方程（题25）体现模型意识| |解答题|5/45|集合运算、三角函数、概率统计、椭圆方程、立体几何综合|分层设计能力梯度，如概率分布与方差（题28）、四棱锥体积与距离（题30），发展推理能力与空间观念|

2025-2026学年河北省职教高考研究联合体第四次联合考试数学 参考答案 一、选择题(本大题共20小题,每小题3分,共60分) 1.B【解析】由题意得或1},则. 2.C【解析】由题知,则,即,故选项A错误;因为,所以,即,故选项B错误;因为0,则,则,故选项C正确;因为,则,故选项D错误. 3.D【解析】因为,所以或,解得或. 4.A【解析】因为函数的定义域为,所以,则函数的定义域为. 5.C【解析】因为,所以,故,则 6.【解析】联立解得所以 7.【解析】因为圆关于直径所在的直线对称,所以点关于直线的对称点一定在圆上.设点关于直线的对称点为,则解得1,故点必在圆上. 8.【解析】由题知,所以,即,即,即,所以. 9.A【解析】因为,所以是公差为5的等差数列.因为公差大于0,所以数列为递增数列.方法一:令,解得,又因为为递增数列,所以数列前3项为正，第4项为0，从第5项开始为负,所以为的最小值. 方法二:由等差数列的前项和公式得,对称轴为,又,所以或时,最小,所以. 10.C【解析】由准线方程为,得,则,故该抛物线的方程为,设抛物线上的动点,则,所以,当时,. 11.【解析】方法一:因为,所以. 方法二:因为,所以与共线且方向相反,所以. 12.【解析】若随机变量,则,所以,则. 13.A【解析】设正三棱锥为,由于该三棱锥的所有棱长都相等,设棱长为2,过顶点作底面的垂线，垂足为，则为所求角.因为为等边三角形，为的重心,所以,所以. 14.D【解析】由,得.又因为,所以.所以,所以,即,由,可得.同理,所以是等边三角形. 15.B【解析】400名教职工中30周岁及以上的人数为275人，用分层抽样的方法抽出的80名教职工中,30周岁及以上的人数为80－人，所以抽取45周岁及以上的教职工的人数为. 16.A【解析】由的内角成等差数列,知,因为,所以，所以，又因为，所以，所以，则根据余弦定理得,解得. 方法二，所以，根据三角形两边之和大于第三边，得，解得.故选A. 17.D【解析】令,则各项系数和为,得,解得. 18.D【解析】若函数的图像不经过第二象限,则根据指数函数的图像与性质可知指数函数在上必须是增函数,故,另外还需要把的图像向下平移至少1个单位长度,所以. 19.B【解析】已知正三角形的边长为4,则该正三角形的高为,所以用斜二测画法画该三角形的直观图时,底边长不变还是4,而高变为原三角形高的一半,即为,且与底边的夹角为,则所得直观图的面积为. 20.A【解析】若,且,则,又因为函数是上的偶函数,且在上是增函数,所以在上是减函数,所以,又因为,所以. 二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 21.【解析】因为分段函数的定义域是各段函数自变量取值范围的并集,所以函数的定义域为. 22.2【解析】因为的顶点在轴上,所以的图像与轴只有一个交点,则,即,即,所以数列的公比. 23.1680【解析】. 24.【解析】因为,所以,所以圆锥的高,所以该圆锥的体积. 25.【解析】由题意得,所以点的轨迹为双曲线,,焦点在轴上,又能构成三角形,所以不能在轴上,即,所以点的轨迹方程为. 三、解答题(本大题共5小题,共45分) 26.解:因为,所以或. 1分 2分 因为,所以. 3分 所以 5分 解得. 7分 所以实数的取值范围为. 8分 27.解:(1) 3分 4分 . 5分 函数的最小正周期. 6分 (2)当时，函数的最小值为， 7分 此时,即的取值集合为. 8分 28.解:(1)设{选出的3名学生中至少有1名男生}， 2分 (2)随机变量的所有可能取值为1,2,3. 3分 4分 5分 6分 所以随机变量的分布列为下表, 7分 1 2 3 8分 9分 29.解:(1)由题意得解得 3分 故椭圆的标准方程为. 4分 (2)设，，则，， 两式相减可得, 6分 整理,得, 7分 因为是弦的中点,所以, 8分 代入上式,得,即直线的斜率, 9分 所以直线的方程为,即. 10分 30.解:(1)如图所示，连接交于点，取的中点，连接， 过点作于点,连接. 1分 因为是的中点,所以,且. 因为平面,所以平面,所以. 2分 又因为,所以平面,所以, 所以是所求二面角的平面角. 3分 因为,所以,所以是的中点,所以. 因为是边长为4的等边三角形,所以, 所以, 4分 在Rt中,, 故二面角的正切值为. 5分 (2)由题知，， 6分 . 7分 (3)在Rt中，， 则, 8分 设点到平面的距离为,则, 9分 解得,即点到平面的距离为. 10分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河北省职教高考研究联合体第四次联合考试 数学试题2026-04 说明: 一、本试卷共4页，包括三道大题30个小题，共120分.考试时间120分钟.其中第一道大题(20个小题)为选择题. 二、答题前请仔细阅读答题纸上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.在答题纸上与题号相对应的答题区域内答题,写在试卷、草稿纸上或答题纸非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题纸上做任何标记. 三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案. 四、考试结束后,将本试卷与答题纸一并交回. 一、选择题(本大题共20小题,每小题3分,共60分.在每小题所给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) 1.已知集合,则 A. B. C. D. 2.已知,则下列各式成立的是 A. B. C. D. 3.不等式的解集为 A. B. C. D. 4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为 A. B. C. D. 5.若复数,则 A. B. C. D.20 6.已知,则的值为 A. B. C. D. 7.已知点是圆上一点,且直线经过圆心,则下列各项中的点一定为圆上一点的是 A. B. C. D. 8.已知,则由小到大的排列顺序为 A. B. C. D. 9.已知数列的通项公式为,其前项和为,则下列描述正确的是 A.数列是递增数列,的最小值为-30 B.数列是递增数列,的最大值为30 C.数列是递减数列,的最小值为30 D.数列是递减数列,的最大值为-30 10.已知抛物线的顶点是坐标原点,准线方程为,在该抛物线上有一个动点,则动点与点的最小距离为 A. B. C. D. 11.已知向量,则 A.0 B. C. D. 12.若随机变量,则 A. B. C. D. 13.若正三棱锥的侧棱与底面三角形各边长相等,则该三棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为 A. B. C. D. 14.河北承德避暑山庄的古建筑檐角常被设计成三角形造型,现有一个三角形檐角框架,角所对的边分别是,满足,则的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等边三角形 15.某技师学院共有400名教职工,其中不到30周岁的教职工有125人，在周岁内的教职工有人，45周岁及以上的教职工有人.现用分层抽样的方法从中抽出80名教职工统计他们的血型情况.若抽取[30,45)周岁的教职工34人，则抽取45周岁及以上的教职工的人数为 A.10 B.21 C.25 D.55 16.若的内角所对的边是,且角成等差数列,的面积为，周长为20，则 A.7 B.10 C. D.15 17.若的二项展开式中的各项系数和为243,则实数 A.1 B.2 C.-1 D.-2 18.若函数的图像不经过第二象限,则下列各式中正确的是 A. B. C. D. 19.已知正三角形的边长为4,用斜二测画法画出该三角形的直观图,则所得直观图的面积为 A. B. C. D. 20.已知函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，且,则下列关系正确的是 A. B. C. D.与无大小关系 二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 21.已知函数则函数的定义域为_____.(用区间表示) 22.已知数列是等比数列,若的顶点在轴上,则数列的公比为_____. 23.已知9名学生到3个计算机机房进行实训，每个机房分到3名学生，则不同的分配方法有_____种. 24.已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为_____. 25.已知平面上两点,动点满足||,且能构成三角形，则顶点的轨迹方程为_____. 三、解答题(本大题共5小题,共45分.要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤) 26.(8分)已知集合，其中.若,求实数的取值范围. 27.(8分)已知函数.求: (1)函数的最小正周期； (2)函数的最小值及取最小值时对应的的取值集合. 28.(9分)某学校组织学生参加技能大赛，计划从3名女生和2名男生中选出3名组成参赛队.求: (1)选出的学生中至少有1名男生的概率; (2)选出的学生中女生人数的概率分布及方差. 29.(10分)已知椭圆的短轴长为6，且上焦点到上顶点的距离与它到下顶点的距离之比为1:9. (1)求该椭圆的标准方程； (2)已知是直线被该椭圆所截得的弦的中点,求直线的方程. 30.(10分)如图所示，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，且平面为的中点.求: (1)二面角的正切值； (2)三棱锥的体积； (3)点到平面的距离. 第30题图 学科网（北京）股份有限公司 $