精品解析：山东日照第一中学2025-2026学年高三第二次模拟考试数学试卷

2026年日照第一中学高三第二次模拟考试 数学 2026.04 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：D 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算及共轭复数的定义即可求出结果. 【详解】因为，所以， . 故选：B. 3. 已知抛物线上的一点的横坐标为，则点到焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】抛物线的准线方程为， 由抛物线定义可知，点到焦点的距离与点到准线的距离相等， 则点到焦点的距离. 4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，即可求参数的取值范围. 【详解】函数为增函数，的对称轴为，开口向上， 若函数在区间上单调递增，则且， 解得：. 故选：C 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用差角的正切公式及二倍角的正切公式求解. 【详解】由，得，解得， 所以. 故选：B 6. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设为正面向上的次数，则， 总得分, 由于，， 所以 ，所以D正确. 7. 已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由内切球的体积为可求内切球的半径.设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点.根据正四棱锥的底面边长及即可求解的值，利用棱锥体积公式即可求解. 【详解】因为内切球的体积为，所以内切球的半径为1. 如图所示，设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点. 因为正四棱锥的底面边长为， 所以. 又，所以，即，解得. 所以，所以正四棱锥的体积为. 故选：C. 8. 已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量模的运算结合二次函数顶点式即可求的最小值. 【详解】由题意得， 则， 代入，得， 所以当时，取最小值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有10个数据为：3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有（ ） A. 众数是4 B. 平均数是4 C. 极差是3 D. 中位数是4.5 【答案】BC 【解析】 【详解】10个数据中3出现了4次，4出现了3次，5出现了2次，6出现了1次， 所以次数最多的数据是3，所以众数是3，故A错误； 平均数为，故B正确； 极差为，故C正确； 中位数为，故D错误. 10. 设双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与的两条渐近线的交点分别为、，为的中点，为坐标原点.则（ ） A. 是直角三角形 B. 是等腰直角三角形 C. D. 直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线确定的大小，可判断A的真假；利用三角形中位线的性质，可判断B的真假；利用勾股定理，可求的长度，判断C的真假；利用正弦定理求的正弦，进而求其正切，再根据双曲线的对称性判断D的真假. 【详解】如图， 由于，则，，，A正确； 如图，连接，由于为的中位线，则且,所以，于是为等腰直角三角形，B正确； 由，则，， 则，，则C错误； 在中，由正弦定理：，则， 于是，由对称性可知，D正确； 11. 选取正方体表面上两个不同的点P，Q，定义第k次操作为“将正方体绕直线旋转角”. 则经过下列操作，正方体可能与自身重合的有（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】先分析正方体的旋转对称性，得到旋转角度应满足的条件，再依次验证选项即可. 【详解】要使正方体经过旋转后能与自身重合，旋转轴必须是正方体的对称轴， 且总旋转角度必须是该对称轴对应的基本对称角度（即满足重合的最小旋转角度）的整数倍， 正方体有三类旋转对称轴：面心轴（连接相对两个面的中心），基本对称角度为； 体对角线轴（连接相对两个顶点），如图：正方体绕旋转后重合， 故基本对称角度为； 棱心轴（连接相对两条棱的中点），基本对称角度为， 由于点是在表面上选取的，只要连线经过正方体中心，就可以成为上述三种对称轴之一， 因为所有的操作都是绕同一条直线进行的，所以最终的总旋转角度就是各次角度之和， 对于A，总角度可以为，A正确； 对于B，总角度可以为，B正确； 对于C，总角度为或，均不是的整数倍，C错误； 对于D，总角度可以为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布.若，则=__________. 【答案】0.28 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可 【详解】由题可得：; 故答案为： 13. 若圆经过，，圆心在直线上，则圆的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆的方程为，结合条件列出方程组，求出半径即可求解. 【详解】设圆的方程为， 所以，解得， 所以圆的面积为. 故答案为：. 14. 如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，且，，结合已知条件，进而得到、、，即可求解. 【详解】因为， 点是图象上的同一直线上的三点，直线与轴交于点， 两点关于点对称.，两点关于点对称.， 设，，，，且，， 所以①，则， 所以，故或， 若，即是的一个零点，不符合题意， 所以，则，而， 所以，结合①有，所以， 而，所以，， 所以，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面，平面， 所以 ， 又由题可知，， ，平面 且， 所以平面， 又因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明； (2)建系，利用空间向量的坐标运算可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴建系如图， 由，，可得， 则有 设平面的一个方向量为 ， 所以 即 令则， 所以 因为平面，所以为平面的一个法向量， 所以，， 即二面角的余弦值等于. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）判断的形状； （2）设，且D是边的中点，求当最大时的面积. 【答案】（1）等腰三角形 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式化简后可得，故可得即三角形为等腰三角形； （2）根据余弦定理和基本不等式可得当最大时为正三角形，故可求此时三角形面积. 【小问1详解】 由二倍角公式得， ∴，整理得， 即. ∵，∴，即，即为等腰三角形. 【小问2详解】 由（1）及题设，有， ∴ ， 而为三角形内角，∴，当且仅当时，等号成立. 即的最大值为，此时由，而，故， 故，可得为直角三角形且， 又由（1）可得为正三角形，∴的面积. 17. 已知函数，为的导数，其中为自然对数的底数. （1）求； （2）证明：当时，； （3）设，对任意的，若，求证：. 【答案】（1）1 （2）证明：设， ， 所以在上单调递增，当时，， 所以，当时，成立. （3）证明：因为，则， 由（2）知，即， ∴ 所以. 原式 【解析】 【分析】（1）求导数，代入即可求得结果； （2）令，求导数由基本不等式得到最值，然后得到函数在上单调，从而得到最值，即可得证； （3）由（2）得到，然后得到的不等式，从而可求得不等式左边的范围，从而得证. 【小问1详解】 ， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 曲线E：（）与直线l：交于点A，过点A且与l垂直的直线交曲线E于另外的点B，设线段AB的中点为P，定点Q的坐标为. （1）用t表示点A的坐标； （2）证明：为定值； （3）是否存在某条直线始终与以为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）因为直线斜率为，所以直线斜率为， 即直线：， 联立直线和曲线得： ，化简得： ， 设， ，中点 ， 由韦达定理可得：，即 ， 所以， 根据两点间距离公式可得：， 又因为线段AB的中点为P，所以， 由两点距离公式可得：  ， ， 所以，  即为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）联立曲线和直线求交点. （2）先求出过与直线垂直的直线方程，联立曲线方程，用韦达定理求点坐标，进而得到点坐标，最后计算为定值. （3）根据直线与以为直径的圆相切验证特殊直线是否存在. 【小问1详解】 因为曲线和直线交于点， 所以将直线代入曲线E：， 则， 化简得，即，即， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在直线：满足条件，下证之. 设圆心为，半径为，直线 交于， ，连接，则，， 设，为与之间的距离， ，， 由（2）可知，， 所以， 所以圆心到的距离， 故与相切，直线满足条件. 19. 有张编号分别为到的卡片，横向随机排列.对于这张卡片，初始状态下卡片标号从左到右为，，…，记此时的卡片排列为（，，…）.对这张卡片的排列进行如下三步操作：1.取出最左边的卡片，记其标号为；2.剩余卡片中，标号小于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空），标号大于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空）；3.对这张卡片重新排列，得到新排列：（，，…，k，，，…）.每进行完上述三步操作，称为一次“完整操作”. （1）若初始排列为，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列； （2）求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列的概率； （3）记初始排列中有个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到的顺序排列，当时，证明：. 【答案】（1） （2） （3） 补充定义．对于长度为的排列，一次操作后变为， 要使该排列经过若干次操作后能变为顺序排列，必须满足： （1）本身是可排序的排列（共种可能）： （2）在初始时就必须是严格递增的序列（仅1种可能）． 因此，首位为的可排序序列数为：． 将从1到的所有情况相加，得到递推式：． 下面证明原不等式，根据递推式写出的展开式： ， 将上式代入要证的不等式并移项整理，等价于证明： ， 又由的递推式可知：． 移项可得：． 代入前述等价不等式，问题转化为证明： 要使上式成立，只需证明对任意的，都有． 由于且由于，该不等式等价于证明：． 因为，所以，进而有． 又已知，故恒成立． 因此，对任意的，不等式均成立． 原不等式得证． 【解析】 【分析】（1）根据题意，逐步对初始数列进行完整操作； （2）分析初始排列的特点，计算出满足条件的排列种数与总排列数的比值； （3）分析初始排列经过连续若干次完整操作后能得到的顺序排列的情况，通过对排列的构造和分析证明不等式. 【小问1详解】 第一次完整操作： 初始排列为，最左边的卡片标号， 可得标号小于的卡片，， 标号大于的卡片， 重新排列得到新排列， 第二次完整操作： 最左边的卡片标号， 可得标号小于的卡片， 标号大于的卡片，，， 重新排列得到新排列. 连续经过两次完整操作后得到的新排列. 【小问2详解】 要使初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列，必须满足： ，即原排列中小于的个元素已经是递增顺序； ，即原排列中大于的个元素已经是递增顺序； 首元素为时，剩余个位置由已经各自内部有序的和穿插而成， 确定中元素的位置可确定整个排列，共有种排法， 又因为可以取遍中的任意整数， 所以满足条件的初始排列总数为. 又因为个元素的全排列总数为， 所以初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列的概率. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年日照第一中学高三第二次模拟考试 数学 2026.04 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知抛物线上的一点的横坐标为，则点到焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 16 8. 已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有10个数据为：3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有（ ） A. 众数是4 B. 平均数是4 C. 极差是3 D. 中位数是4.5 10. 设双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与的两条渐近线的交点分别为、，为的中点，为坐标原点.则（ ） A. 是直角三角形 B. 是等腰直角三角形 C. D. 直线的斜率为 11. 选取正方体表面上两个不同的点P，Q，定义第k次操作为“将正方体绕直线旋转角”. 则经过下列操作，正方体可能与自身重合的有（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ，， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布.若，则=__________. 13. 若圆经过，，圆心在直线上，则圆的面积为________. 14. 如图，已知，在函数的部分图象中，其图象上的点是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，E为的中点，． （1）证明：． （2）求二面角的余弦值． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）判断的形状； （2）设，且D是边的中点，求当最大时的面积. 17. 已知函数，为的导数，其中为自然对数的底数. （1）求； （2）证明：当时，； （3）设，对任意的，若，求证：. 18. 曲线E：（）与直线l：交于点A，过点A且与l垂直的直线交曲线E于另外的点B，设线段AB的中点为P，定点Q的坐标为. （1）用t表示点A的坐标； （2）证明：为定值； （3）是否存在某条直线始终与以为直径的圆相切？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由. 19. 有张编号分别为到的卡片，横向随机排列.对于这张卡片，初始状态下卡片标号从左到右为，，…，记此时的卡片排列为（，，…）.对这张卡片的排列进行如下三步操作：1.取出最左边的卡片，记其标号为；2.剩余卡片中，标号小于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空），标号大于的卡片按照原排列中的从左到右顺序依次为，，…（若不存在则为空）；3.对这张卡片重新排列，得到新排列：（，，…，k，，，…）.每进行完上述三步操作，称为一次“完整操作”. （1）若初始排列为，写出连续经过两次完整操作后得到的新排列； （2）求初始排列经过一次完整操作后恰好能得到的顺序排列的概率； （3）记初始排列中有个排列种数能经过连续若干次完整操作后能得到的顺序排列，当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $