精品解析：2025—2026学年浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试数学试卷

2025—2026学年浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试 数学试卷 2026-04 本试卷共三大题，共4页．满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效． 一、单项选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分） 在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．错涂、多涂或未涂均无分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】，，． 故选：. 2. 已知a和b均为实数，且，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质判断选项即可. 【详解】选项：若，则，不成立； B选项：若，则，不成立； C选项：若，则，不成立． D选项：因为，所以，成立． 故选：D. 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由共轭复数的概念求解即可 【详解】，． 故选：C. 4. 已知角是第一象限角，下列各角是第四象限角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据角的定义和象限角的概念可判断各个选项. 【详解】因为角是第一象限角，则是第四象限角. 进而是第一象限角，是第二象限角，是第四象限角，是第三象限角． 故选：C. 5. 已知向量，向量，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的数量积运算的坐标表示求解即可. 【详解】向量，向量， 则. 故选：B. 6. 已知a和b均为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分性与必要性的概念判断即可. 【详解】∵a和b均为实数，当时，令， 则没有意义，故充分性不成立； 当时，则有，此时，故必要性成立， ∴“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 某班级有40名学生，小明是该班学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这40名学生中抽取5人进行家访，则小明同学被抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据简单随机抽样的概率求解即可. 【详解】总体有40个个体，每个个体被抽到的概率相同，均为． 故选：D. 8. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式以及正弦函数的最小正周期求解即可. 【详解】，其中， 最小正周期． 故选：A. 9. 已知直线l经过点，且直线l的倾斜角为，则直线l的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出直线斜率，写出直线的点斜式方程化为一般式方程即可得解. 【详解】斜率， 直线l的方程为，即． 故选：. 10. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙共3名航天员开展实验，每个舱安排1人，则不同的安排方法有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数计算即可. 【详解】3 个不同的人安排到 3 个不同的舱，每个舱 1 人，属于全排列， 共种不同的安排方法． 故选：D. 11. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合期望公式即可得解. 【详解】，， 故选：. 12. 已知偶函数的图像经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合偶函数的性质即可得解. 【详解】函数是偶函数，， 又，. 故选：. 13. 若角θ的顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义以及诱导公式求解即可. 【详解】，． 故选：C. 14. 某公司50名员工的月工资统计表如下： 工资/元 3600 4000 4400 5000 6000 7000 人数/名 5 10 20 7 5 3 记这50名员工月工资的平均数为元，中位数为元，众数为元，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平均数，中位数，众数的意义分别求得平均数，中位数，众数即可. 这50名员工月工资的平均数为元； 从小到大排列后第25和第26个数均为4400，所以中位数为元； 显然4400出现次数最多为20次，所以众数为元 故. 故选：B. 15. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解函数的定义域和值域，再逐一分析选项即可. 【详解】函数，则函数的定义域为，值域为， A选项，函数的定义域与值域都为R，不满足题意； B选项，函数的定义域为，值域为，满足题意； C选项，函数的定义域为R，值域为，不满足题意； D选项，函数的定义域为，值域为R，不满足题意. 故选：B. 16. 如图所示，已知正三棱锥的底面边长是6，且高，则正三棱锥的斜高是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据正三角形的性质以及三棱锥的性质求解即可. 【详解】如图所示，连接并延长交于点D，连接． 则为中点， 在正三棱锥中，， ，． 故选：D. 17. 已知点，是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上．若为直角三角形，则的面积为（ ） A. B. 1或 C. D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分类讨论，和的情况，结合椭圆的性质求出面积即可得解. 【详解】椭圆，，， ， 分类讨论：①若，则， ，； 若，同理可得面积为， ②若，设，，则，， ， 经检验：，该三角形成立， ．综上所述，或， 故选：. 18. 设，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】分段讨论解方程求得，进而计算. 【详解】当时，， 所以，. 由得，所以. 此时. 当时，， 所以，. 由得，无解. 综上，. 故选：C. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 19. 若指数函数（且）满足，则________． 【答案】27 【解析】 【分析】根据函数的解析式代入求解即可. 【详解】由题意得， 解得或（舍去）， ，． 故答案为：27. 20. 在数列中，已知首项，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的递推公式求解即可. 【详解】，， ． 故答案为：. 21. 在中，已知，，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合正弦定理及二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】由正弦定理得，即， ，即， ， 故答案为：. 22. 在的二项展开式中，已知二项式系数最大的项仅为第4项，则常数项为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数最大项仅为第4项得，令通项中的指数为0，求得常数项即可． 【详解】已知二项式系数最大的项仅为第4项， 说明展开式共项，即， 通项． 令，则， 常数项为． 故答案为：. 23. 如图所示，在长方体中，已知，，且点E，F，G分别为，，的中点，则异面直线与所成角的大小为________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据异面直线所成的角的概念求解即可. 【详解】如图所示，连接，，， 因为，所以四边形是平行四边形，进而. 则是异面直线与所成的角（或补角）． ，，， ，，即异面直线与所成角的大小为． 故答案为：. 24. 如图所示，已知抛物线的焦点为F，且经过该抛物线上的一点P作其准线的垂线，垂足为点Q．若，则________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先求解抛物线的焦点坐标与准线方程，再根据角度关系可得是等边三角形，由此可解. 【详解】抛物线方程可化为， 焦点，准线方程为． ，则， 又，则． 又，且， 是等边三角形， ． 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共72分） 解答应写出文字说明及演算步骤． 25. 已知角α为锐角，且，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）移项，将正余弦化为正切​，直接求解即可. （2）先利用​，结合同角三角函数的平方关系或二倍角公式求出和，再用正弦差角公式展开计算即可. 【小问1详解】 由得， ． 【小问2详解】 ． 26. 如图①所示，已知边长为2的菱形，对角线与相交于点O，，将菱形沿对角线翻折，使平面平面，如图②所示．求： （1）三棱锥的体积； （2）二面角的余弦值． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合面面垂直的性质得出平面，代入棱锥的体积公式即可得解. （）作出辅助线，找到二面角的平面角，求出所需线段的长度，结合余弦定理即可得解. 【小问1详解】 平面平面，且， 平面， 边长为2的菱形，对角线与相交于点O，， 则，所以，， 又， ； 【小问2详解】 如图所示，取的中点E，连接，， 又，， ，， 是二面角的平面角， ， ， ，， 则， 所以二面角的余弦值为. 27. 在平面直角坐标系中，已知点和点为x轴上的两点，且动点满足． （1）求动点Q的轨迹方程； （2）若直线与动点Q的轨迹相交于A，B两点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设动点，根据列方程化简即可； （2）先求出圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式计算即可. 【小问1详解】 设动点， 点和点，且动点满足， 则，化简得， 动点Q的轨迹方程为，其轨迹是以原点为圆心，为半径的圆． 【小问2详解】 由（1）得动点Q的轨迹方程为， 圆心到直线的距离为， ． 28. 如图所示，在平面模拟实践中，一个小球（假设小球的大小忽略不计）从斜坡上点O以一定的方向弹出，小球的飞行路线可以用二次函数（）的图像刻画，斜坡可以用一次函数的图像刻画，小球飞行的水平距离x（单位：m）与小球飞行的高度y（单位：m）的变化规律见下表． x 0 1 2 m 4 5 6 7 y 0 6 8 n （1）写出该二次函数的顶点坐标，以及实数m和n的值； （2）若小球在斜坡落点为A，求点A的坐标； （3）若斜坡上点B处有一竖直方向放置的障碍物（如图所示），且点B是的中点，障碍物的顶端C恰好在小球的飞行路线上，求障碍物的高度． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格确定顶点坐标，再由二次函数的对称性即可求出m和n的值. （2）由二次函数的顶点坐标公式列方程求出的值，再联立直线与抛物线方程求解交点即可. （3）首先由中点坐标公式确定点B，再将点B的横坐标代入二次函数的解析式中求值即可. 【小问1详解】 观察表格数据， 可得该二次函数的顶点坐标为. 所以该函数的对称轴为， 所以，. 【小问2详解】 该二次函数的顶点坐标为， 解得 ， 联立解得，或， 点A的坐标为. 【小问3详解】 点B是的中点， 点A的坐标为， 点， 当时，． 障碍物的高度为 29. 如图所示，瑞典数学家科赫在1904年构造了能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形再去掉底边……反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．把图①、图②、图③、图④中图形的边长依次记为，，，，边数依次记为，，，，周长依次记为，，，，设原正三角形（见图①）的边长． （1）分别写出，，，，的值； （2）分别求数列和的通项公式； （3）求． 【答案】（1），，，， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据图中边长以及边数求解即可； （2）根据规律可得数列的关系，由此求解通项公式即可； （3）先表示出数列的通项公式，由此求解即可. 【小问1详解】 根据图形可知，，，，，； 【小问2详解】 由（1）知，，其中且 ，； 【小问3详解】 由图可知， ． 30. 如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为，，且双曲线C经过点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若经过点A，的直线l交双曲线C的左支于点B，求： ①的值； ②的面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先求解与的长度，再由双曲线的定义求解a的值，由此求解即可； （2）①先求解直线l的方程，再联立直线与双曲线，求解点B的坐标即可求解； ②先求解点到直线的距离，再根据三角形面积求解即可. 【小问1详解】 ∵，， 由双曲线的定义知．可得， ∴， ∴双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 ①∵直线l的斜率为， ∴直线l的方程为，即． 联立，解得或， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， ∴． ②∵点到直线l的距离为， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试 数学试卷 2026-04 本试卷共三大题，共4页．满分150分，考试时间120分钟． 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效． 一、单项选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分） 在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．错涂、多涂或未涂均无分． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a和b均为实数，且，下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知角是第一象限角，下列各角是第四象限角的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，向量，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 已知a和b均为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 某班级有40名学生，小明是该班学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这40名学生中抽取5人进行家访，则小明同学被抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 9. 已知直线l经过点，且直线l的倾斜角为，则直线l的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙共3名航天员开展实验，每个舱安排1人，则不同的安排方法有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 11. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知偶函数的图像经过点，则（ ） A. B. C. D. 13. 若角θ的顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 14. 某公司50名员工的月工资统计表如下： 工资/元 3600 4000 4400 5000 6000 7000 人数/名 5 10 20 7 5 3 记这50名员工月工资的平均数为元，中位数为元，众数为元，则（   ） A. B. C. D. 15. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ） A. B. C. D. 16. 如图所示，已知正三棱锥的底面边长是6，且高，则正三棱锥的斜高是（ ） A. B. C. D. 3 17. 已知点，是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上．若为直角三角形，则的面积为（ ） A. B. 1或 C. D. 1或 18. 设，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 19. 若指数函数（且）满足，则________． 20. 在数列中，已知首项，且，，则________． 21. 在中，已知，，且，则________． 22. 在的二项展开式中，已知二项式系数最大的项仅为第4项，则常数项为________． 23. 如图所示，在长方体中，已知，，且点E，F，G分别为，，的中点，则异面直线与所成角的大小为________． 24. 如图所示，已知抛物线的焦点为F，且经过该抛物线上的一点P作其准线的垂线，垂足为点Q．若，则________． 三、解答题（本大题共6小题，共72分） 解答应写出文字说明及演算步骤． 25. 已知角α为锐角，且，求： （1）的值； （2）的值． 26. 如图①所示，已知边长为2的菱形，对角线与相交于点O，，将菱形沿对角线翻折，使平面平面，如图②所示．求： （1）三棱锥的体积； （2）二面角的余弦值． 27. 在平面直角坐标系中，已知点和点为x轴上的两点，且动点满足． （1）求动点Q的轨迹方程； （2）若直线与动点Q的轨迹相交于A，B两点，求． 28. 如图所示，在平面模拟实践中，一个小球（假设小球的大小忽略不计）从斜坡上点O以一定的方向弹出，小球的飞行路线可以用二次函数（）的图像刻画，斜坡可以用一次函数的图像刻画，小球飞行的水平距离x（单位：m）与小球飞行的高度y（单位：m）的变化规律见下表． x 0 1 2 m 4 5 6 7 y 0 6 8 n （1）写出该二次函数的顶点坐标，以及实数m和n的值； （2）若小球在斜坡落点为A，求点A的坐标； （3）若斜坡上点B处有一竖直方向放置的障碍物（如图所示），且点B是的中点，障碍物的顶端C恰好在小球的飞行路线上，求障碍物的高度． 29. 如图所示，瑞典数学家科赫在1904年构造了能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形再去掉底边……反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．把图①、图②、图③、图④中图形的边长依次记为，，，，边数依次记为，，，，周长依次记为，，，，设原正三角形（见图①）的边长． （1）分别写出，，，，的值； （2）分别求数列和的通项公式； （3）求． 30. 如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为，，且双曲线C经过点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若经过点A，的直线l交双曲线C的左支于点B，求： ①的值； ②的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $