上海市上海师范大学附属中学宝山分校2025-2026学年高二下学期期中考试考数学试题

**基本信息** 以数学思维与现实应用为核心，通过分层设问考察抽象能力与推理意识，适配期中阶段性评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|函数性质、立体几何|结合科技情境考察空间观念| |填空题|4/20|概率统计、数列|设置开放问题培养创新意识| |解答题|6/70|导数应用、解析几何|分层设问融合运算能力与模型意识|

2026年上师宝分高二下期中考试数学试卷 一、填空题 1.抛物线y2=4x的焦点坐标是 【解析】(1,0) 2.直线ax+3y+2=0与直线(a-2)x-5y-1=0平行，则a= 【解标】子 3.已知f)是定义在R上的可导函数，若m②-2-=1，则f2)=一 h→0h 【解析】1 4.若f(x)=x2-xf(1),则f(0)=一 【解析】-1 5.若直线3x-4y+a=0与圆(x-2)2+(y-1)2=4相交，则实数a的取值范 围是 【解析】（-12,8) 6.经过点(0,4)，且与圆C:x2+y+10x+10y=0相切于原点的圆的方程为 【解析】(x-2)2+(y-2)2=8 7.若双曲线C的一条渐近线经过点(1，一2)，且右焦点到该渐近线的距离为2， 则该双曲线的方程为一 【解析12-上=1或上号 4 1641 8.设点A在直线V3x-y+1=0上，点B在函数f(x)=Inx的图象上，则IAB引 的最小值为 【解析】1+n3 9.若函数f(x)=ex-ax在区间(0,1)上有极值点，则实数a的取值范围是 【解析】(，e) 10.已知抛物线E:y2=2px的焦点为F,点A(x1,yz)，B(x2,y2)在抛物线上， 若yy=-2,且IFA+FB的最小值为号，则F到抛物线E的准线的距离 为 【解析】 或0 3 11.如图，小明同学听到外面有小狗的叫声，于是放下作业跑到窗台PQ:y=0(x∈ [3,4])寻找小狗.已知矩形EFGH与曲边图形STB为视线遮挡物，其中线段 EF:y=6(x∈[0,2])，曲线SB:y=-(x-7)2+7(x∈[5，).小狗沿线段CB:y= 7(x∈[0，)以每秒1米的速度从C跑到B,则小明能看到小狗的最长时间为 秒.（精确到0.01） y(单位/米) E x(单位/米) P Q 【解析】 连接QF交线段BC于点M,过点P作出线SB的切线交线段BC于点N, 则小明能看到的视野范围长度为线段MN长度，由己知，P(3,0),Q(4,0),F(2,6), 所以直线FQ方程为y=-3x+12,令y=7得x=,故点M(,7) 设曲线SB过点P的切线与曲线SB的切点横坐标为n,斜率为k, 则2n-7, 所以切点坐标为6,6)，切线方程为y=2x-6, 令y=7,得x=号所以点N(假，)， 所以MN=号-}=名，小明能看到小狗的最长时间为名÷1=是名≈483秒， 6 故答案为：4.83. 12.现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯（如图），其杯口内得为4cm,深8cm, 现将一半径为cm的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则r的取值范 围为 【解析】 解：以杯口内径为短轴，杯深为长半轴，建立如图所示的直角坐标系， 故可设半椭圆轴截面方程为云+号=10≤0， 设小球球心为D(0,t),t∈(-8，+o),P(x,y)为半椭圆上任一点， 则1PD1=+0-=y2-2ty+2+4,其中y∈[-8,01， 设f0y)=若y2-2y+2+4, 则函数图象的对称轴为y=t,当t≤-8时，即当-8<t≤-三时， 函数fy)在[-8,0]单调递增， 则当y=-8时，PD2取最小值，此时小球放入时，即当-8<t≤-号时， 函数fy)在[-8,0]单调递增 则当y=一8时，PD2取最小值，此时小球放入玻璃杯中，小球可以接触杯底且？= t-(-8)∈(o, 当t>-三时，t>-8,则函数fy)在 (8 即最小值必不在y=一8处取到，故此时小球放入玻璃杯中，小球不接触杯底， 综上所述，小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则半径？的取值范围为 0,1. 二、选择题 m+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为机 13.方程+ A.(任，3) B.(3c.()D.)u（3 【解析】C y(x) 14.如图，已知函数f(x)的图象在点P(2,f(2)处的切线为1，则f(2)+f(2)= (）A.3B.-2 C.1 D.2 【解析】C 15.已知点集2，={(x,y)‖ax+by+ax-byl=2,n2={(x,y)川(ax+by)2+(ax- by)2=2c分别表示曲线「，「2，其中实数a,b,c满足ab≠0，c>0,则『，「2的 公共点的个数可能为( ) A.1个 B.2个C.3个 D.4个 【解析】D 16,2022年，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回 舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标 系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2)椭圆的短轴与 半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点 A,与下半圆交于点B,则下列结论中正确的个数是()个， G ① 椭圆的长轴长为4√2 ②线段AB长度的取值范围是[4,2+2V· ③△ABF的面积最小值是4 ④△AFG的周长恒为4+4v2 A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】C 三、解答题 17.已知函数f)=号x-4x+4 (1)求出函数f(x)的单调区间 (2)求函数f(x)在区间[-3,4纠上的最大值和最小值. 【解析】 (1)f(x)=x2-4=(x+2)(x-2), 令f(x)=0,解得x1=-2,x2=2. x∈(-∞，-2)，f(x)>0,fx)为增函数， x∈（-2,2)，f(x)<0,fx)为减函数， x∈(2，+o),f(x)>0,f(x)为增函数 所以fx)的增区间为(-∞，一2)，(2，+o),减区间为-2,2) (2)由(1)知：x∈[-3，-2]，fx)为增函数，x∈[-2,2]，fx)为减函数， xE[2,4],f(x)为增函数. f-列=7f-习a=-f网=9 28 5 所以f)在区间[-3,4上的最大值为召，最小值为-， 18.已知椭圆C:苦+苦-1的左右焦点分别为F,P2P为椭圆C上一点 (1)当P为椭圆C的上顶点时，求∠F1PF2的大小； (2)直线y=kx-1)与椭圆C交于A,B,若AB到=誓，求k的值。 【解析】 ()已知椭圆c:苦+苦-1，根据椭圆的标准方程三+芳=1(a>b>0) 可得a2=4,b2=3,则a=2,b=3。 根据c=√a2-b2,可得c=V4-3=1,所以F1(-1,0),F2(1,0)。 当P为椭圆C的上顶点时，P(O,,则IPFl=IPF2l=12+(V)2=2,IF,F2l= 2c=2。 在△F,PF2中，根据余弦定理cos4F,PP2=1PrPr 2PF1l-IPF2l 可得cos2PPE2-2=3 2×2×2 因为0<∠F,PF2<π，所以∠R,PF,=号。 y=k(x-1) (2)联立 ,消去y可得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0。 设A,W）,B(,为）根据韦达定理，可得+=器x= 8k2 344k2。 根据弦长公式IAB=V1+k2 (x1+x2)2-4xx2 可得lAB|=V1+k2 8k21 3+4k2 -4×k2-2-16 3+4k2=5 化简可得√1+k2 64k4 V(3+4k27 16k2-48_15,即 3+4k2 5 6 V1+k2 644-16k2(3+4k2)+48(3+4k2）-16 (3+4k☒2 进一步化简可得√1+k. 受普即*R-,即 V(3+4k2)2 5 02-号即60(2+)=163+4k即60R2+60=48+64,即4秋2 3+4k2 12,解得k=±V3。 19.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴为2，短半轴为r,计划将此钢板切割成 等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上， 记CD=2x,梯形而积为S. (1)求面积S关于变量x的函数表达式，并写出定义域： (2)求面积S的最大值， 【解析】 )以AB的中点0为原点建立直角坐标系0-y,则椭圆方程为：三+兰： 1y≥O)设点C的横坐标为x,则其纵坐标y满足椭圆方程，解得： y=2Vr2-x2(0<x<) 梯形面积公式为：上底下底S=×(上底+下底)×高 上底CD=2x,下底AB=2r,高为y=2V2-x2,代入得： S=号×(2x+2r)×22-x=2(x+rW2-x,定义域为：x0<x<r} (2)为求S的最大值，令fx)=S2=4x+r)2(r2-x2),其中0<x<r。 对fx)求导：f(x)=8(x+r(r-2x) 令f)=0,得x=5· 当0<x<时，f()>0,fx)单调递增； 当<x<r时，f)<0,fx)单调递减。 因此，fx)在x=)处取得最大值，即S也取得最大值。 代入计算： r调G-》4×窗×-)-4×髻号T 所以sx=F⑤=受=9,2 答：面积S关于x的函数表达式为S=2x+rV2-2,定义域 为x0<x<月：面积5的最大值为9,2 20.已知双曲线C的标准方程为兰-卡=1(a>0,b>0),若虚轴长为25，且双 曲线上的任意一点P到左右两个焦点F1和F2距离之差的绝对值为2， (1)求双曲线C的标准方程： (2)若点Q(0,1),求IPQ1的取值范围： (3)若斜率为k的直线L过右焦点F2,且与C的右支相交于A、B两点，问： 在x轴上是否存在定点M,使得无论直线L绕点F2怎样转动，总有MA·MB= 0成立？如果存在，求出定点M的坐标；如果不存在，请说明理由. 【解析】 （1)由双曲线定义可知，双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为2α。 由题意得20=2，解得Q=1。所以双曲线C的标准方程为：”-号=1 由a=1,b=V3得渐近线方程为y=±x,即：y=±V3x (2)解：设P(x,),则x2=1+号。1PQ2=2+y-2=1+苦+y2-2y+1= y2-2y+2。 配方得：1PQ12=-引}+号。 8 因为y∈R,所以当y=子时，PQI2取得最小值。 所以1PQ1≥，故1PQ1的取值范围是臣，+∞）。 (3)由(1)知c=√1+3=2，所以右焦点F2(2,0)。 设直线L的方程为y=k(x-2)。 y=k(x-2) 联立方程组： 2-苦-1 消去y得：(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0。 设A(x1,y1),B(x2,y2),则： 4k2 4k2+3 x1+x2Fk2-3x12=K2-3 假设存在定点M(m,O),使得MA⊥MB,则MA·MB=0 即(x1-m)(x2-m)+yy2=0。 又y2=2x-20-2)=k2xx2-20x++=器 代入整理得： (m2-4m-5)k2+(3-3m2)=0。 要使上式对任意k恒成立，需满足： m2-4m-5=0 (3-3m2=0 解得m=-1。 定点M（1,0) 21.设函数y=f(x)的定义域为R,其导函数为y=f(x),x∈R.若存在区间I 及实数t满足：对任意x∈都有f(x+t)≥t·f(x)恒成立，则称函数y=f(x) 为I上的"M(t)函数” (1)判断函数y=e×是否为[O,+o∞)上的M(2)函数，并说明理由； (2)已知实数m满足：函数y=x2+mx+1为[2，+∞)上的M(1)函数，求m的 取值范围： (3)已知函数y=f(x)存在最大值.对于以下两个命题，P:对任意x∈R,都有 f(x)≤0与f(x)≥0恒立：Q:对任意正整数n,满足函数y=f(x)都是R上 的M(n)函数；判断P是否为Q的充要条件，并详理由. 【解析】 (1)函数y=e*是[0，+∞)上的M2)函数。理由如下： 已知函数y=ex,根据求导公式(ex)=ex,可得f(x)=e×。 若函数y=ex是[0，+o)上的M2)函数，则对任意x∈[0，+∞)，都有f(x+2)≥ 2f(x)恒成立。 将fx)=ex,f(x)=ex代入f(x+2)≥2f(x),得到e*+2≥2ex。 因为e*>0,两边同时除以e×,得到e2≥2，所以对任意x∈[0，+oo), et+2≥2e恒成立。因此，函数y=ex是[0，+o)上的M(2)函数。 (2)己知函数y=x2+mx+1,根据求导公式(x)=nxn-1,可得f(x)=2x+m。 因为函数y=x2+mx+1为[2，+∞)上的M(1)函数，所以对任意x∈[2，+oo),都 有fx+1)≥f(x)恒成立。 将fx)=x2+mx+1,f(x)=2x+m代入f(x+1)≥f(x), 得到(x+1)2+m(x+1)+1≥2x+m。 展开并整理不等式(x+1)2+m(x+1)+1≥2x+m: ×2+2x+1+mx+m+2≥2x+m,+mx+220,即m2-=-(x+）。 令g)=x+xE2,+),对g求导，根据求导公式(x)=n-1可得 g(x)= 1-是-号。因为x∈2，+∞)，所以x2-2>0,2>0,即g>0,所以g)在 [2,+∞)上单调递增。 10 则gmn=g(2)=2+号=3，所以-x+)max=-3,所以m之-3。 因此，m的取值范围是【一3，+∞)。 (3)P是Q的充要条件。理由如下： 充分性：若P成立，即对任意x∈R,都有f(x)≤0与fx)≥0恒成立。 对于任意正整数n,，f(x+n)≥f(x)≥0，nf(x)≤0，所以f(x+n)≥nf(x)恒成 立， 即函数y=f(x)是R上的M(n)函数，充分性得 必要性：若Q成立，即对任意正整数n,函数y=f(x)都是R上的M(n)函数，则对 任意正整数n,任意x∈R,都有f(x+n)≥nf(x)恒成立。 令n=1,则f(x+1)≥f(x)。 因为函数y=f(x)存在最大值，设最大值为M,则存在xo∈R,使得f(xo)=M。 对于任意x∈R,f(x)≤M=f(xo),所以fx)在x=xo处取得最大值，根据函数 在某点取得最大值的性质，可得f(xo)=0。 由f(x+1)≥f(x),令x=xo,则f(xo+1)≥f(x)=0,又因为fx)≤f(xo)=M ,所以f(xo+1)≤M=f(xo),所以fxo+1)=f(xo)=M。 因为f(x+1)≥f(x),所以f(x)≤fx+1)≤f(xo)=M,又因为f(xo)=0,所以 f x)≤0。因为f(x+n)≥nf(x),令n足够大，当n→+∞时，若f(x)<0,则f(x+ n)<0,而nf(x)≤0，这与f(x+n)≥nf(x)矛盾，所以fx)≥0，必要性得证。 因此，P是Q的充要条件。 112026年上师宝分高二下期中考试数学试卷 一、填空题 1.抛物线y2=4x的焦点坐标是 2.直线ax+3y+2=0与直线(a-2)x-5y-1=0平行，则a= 3已知f)是定义在R上的可导函数，若m②2D-1,则f)=一 4.若f(x)=x2-xf(1)，则f(0)= 5.若直线3x-4y+a=0与圆(x-2)2+(y-1)2=4相交，则实数a的取值范 围是 6.经过点(0,4)，且与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程为 7.若双曲线C的一条渐近线经过点(1，一2)，且右焦点到该渐近线的距离为2， 则该双曲线的方程为 8.设点A在直线V3x-y+1=0上，点B在函数f(x)=Inx的图象上，则IAB引 的最小值为 9.若函数f(x)=ex-ax在区间(0,1)上有极值点，则实数a的取值范围是 10.已知抛物线E:y2=2px的焦点为F，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线上， 若yy2=-2,且IFA川+FB|的最小值为号，则F到抛物线E的准线的距离 为一 11.如图，小明同学听到外面有小狗的叫声，于是放下作业跑到窗台PQ：y=0(x∈ [3,4)寻找小狗.已知矩形EFGH与曲边图形STB为视线遮挡物，其中线段 EF:y=6(x∈[0,2)，曲线SB:y=-(x-7)2+7(x∈[5，).小狗沿线段CB:y= 7(x∈[O,)以每秒1米的速度从C跑到B，则小明能看到小狗的最长时间为 秒.（精确到0.01） y(单位/米 x(单位/米 P O 12.现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯（如图），其杯口内得为4cm,深8cm, 现将一半径为rc的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则r的取值范 围为 二、选择题 13.方程+名=1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为( A.(民，3 B.(，3) c.() o.到)3) 14.如图，已知函数f(x)的图象在点P(2,f(2)处的切线为1，则f(2)+f(2)= ()A.-3 B.-2C.1 D.2 15.已知点集21={(x,y)‖ax+by+lax-byl=2,22={(x,y)川(ax+by)2+(ax- by)2=2c}分别表示曲线T,『2,其中实数a,b,c满足ab≠0，c>0,则「1，『2的 公共点的个数可能为() A.1个 B.2个 C.3个D.4个 16,2022年，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回 舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标 系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2)椭圆的短轴与 半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点 A,与下半圆交于点B,则下列结论中正确的个数是()个. ①椭圆的长轴长为4√2 ②线段AB长度的取值范围是[4,2+2V2. ③△ABF的而积最小值是4 ④△AFG的周长恒为4+4V2 A.1B.2 C.3 D.4 三、解答题 17.己知函数f()=号x-4x+4 (1)求出函数f(x)的单调区间 (2)求函数f(x)在区间[-3,4纠上的最大值和最小值. 18.己知椭圆C苦+号=1的左右焦点分别为F,F,P为椭圆C上一点 (1)当P为椭圆C的上顶点时，求∠F,PF2的大小 (2)直线y=kx-)与椭圆C交于A,B,若AB=华，求k的值. 19.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴为2r,短半轴为「，计划将此钢板切割成 等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上， 记CD=2x,梯形而积为S. (1)求面积S关于变量x的函数表达式，并写出定义域： (2)求面积S的最大值 20.已知双曲线C的标准方程为等-卡=1(a>0,b>0.若虚轴长为25，且双 曲线上的任意一点P到左右两个焦点F1和F2距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线C的标准方程： (2)若点Q(0,1),求1PQ1的取值范围： (3)若斜率为k的直线L过右焦点F2,且与C的右支相交于A、B两点，问： 在x轴上是否存在定点M,使得无论直线L绕点F2怎样转动，总有MA·MB= 0成立？如果存在，求出定点M的坐标；如果不存在，请说明理由， 21.设函数y=f(x)的定义域为R,其导函数为y=f(x),x∈R.若存在区问I 及实数t满足：对任意x∈都有f(x+t)≥t·f(x)恒成立，则称函数y=f(x) 为I上的"M(t)函数”. (1)判断函数y=e×是否为[O,+o)上的M(2)函数，并说明理由； (2)已知实数m满足：函数y=x2+mx+1为[2，+∞)上的M(1)函数，求m的 取值范围： (3)已知函数y=f(x)存在最大值.对于以下两个命题，P：对任意x∈R,都有 f(x)≤0与f(x)≥0恒立：Q:对任意正整数n,满足函数y=f(x)都是R上 的M(n)函数；判断P是否为Q的充要条件，并详理由.