第23章 一次函数 单元复习（7大知识点总结+10大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学八年级下册易错题重难点培优讲义

第23章 一次函数 知识点1：一次函数与正比例函数概念 一次函数：形如（、为常数，）的函数。 正比例函数：形如（为常数，）的函数，是特殊的一次函数（）。 易错警示：判断时必须满足且自变量次数为。 知识点2：一次函数的图象与性质 项目 内容 图象特征 一次函数（）的图象是一条直线，必过点和 增减性 时，随增大而增大； 时，随增大而减小 象限分布 ：一、二、三象限 ：一、三、四象限 ：一、二、四象限 ：二、三、四象限 易错警示 不可只看或只看，必须结合k、b符号共同判断象限与趋势 知识点3：一次函数图象平移 规律：上加下减（常数项），左加右减（只对）。 示例：向上平移个单位；向左平移个单位。 易错警示：左右平移漏给加括号，符号用反。 知识点4：待定系数法求解析式 步骤：设→代→解→写。 1.设：设（）； 2.代：代入两点坐标列方程组； 3.解：求、； 4.写：写出解析式并注明范围。 正比例函数只需1个点，一次函数需2个点。 知识点5：一次函数与方程、不等式 与方程：的解图象与轴交点横坐标。 与不等式： 图象在轴上方的范围； 图象在轴下方的范围。 与方程组：两直线交点坐标对应方程组的解。 知识点6：一次函数与几何面积 直线与坐标轴围成三角形面积：（、为截距）。 易错警示：计算时忘记加绝对值，交点坐标求错。 知识点7：一次函数实际应用 建模步骤：审→设→列→求→验→答。 核心：将行程、计费、利润等转化为模型。 易错警示：遗漏自变量取值范围（非负、整数、实际限制）。 【易错题型】 【题型1】一次函数概念、图象、平移易错题 1.易错点总结 概念：忽略，混淆一次函数与正比例函数； 图象：、符号与象限、增减性对应错误； 平移：左右平移漏括号、符号反； 2.纠错技巧 判定义：看、次数为； 看图象：定增减，定交点，综合定象限； 记平移：左加右减只对，上加下减对常数 【例题1】.（25-26八年级上·安徽宣城·期末）下列函数是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数． 根据正比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； B．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； C．，符合正比例函数的定义，是正比例函数； D．，不符合正比例函数的定义，不是正比例函数； 故选：C． 【变式题1-1】.（2026·陕西西安·三模）已知正比例函数的图象经过点，那么一次函数的图象不经过（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】A 【分析】先根据正比例函数图象经过的点求出m的值，再根据m的值确定一次函数的表达式，最后根据一次函数的性质判断其图象不经过的象限． 【详解】解：∵点在正比例函数上， ∴，解得， 将代入一次函数中，可得：， 对于一次函数（k，b为常数，），当时，函数图象经过一、二、三象限， ∵在一次函数中，，， ∴该函数图象经过一、二、三象限，不经过第四象限． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·四川宜宾·期中）将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”规律求解即可． 【详解】解：将直线 向下平移2个单位长度，根据平移规律可得平移后直线的解析式为 ． 【变式题1-3】.（2026·江苏无锡·二模）将直线向下平移4个单位长度，若平移后的直线经过第二、第三、第四象限，则k的值可以是________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先根据平移规律得到平移后直线的解析式，再根据一次函数图象经过的象限确定的取值范围，在范围内取一个符合条件的值即可； 【详解】解：将直线向下平移个单位长度，根据平移规律可得平移后直线的解析式为 ，即， 平移后的直线经过第二、第三、第四象限， ， 的值可以是（答案不唯一）． 【基础题型】 【题型2】一次函数与正比例函数判断 1.考点总结 识别一次函数：，； 识别正比例函数：，（）； 根据定义求参数。 2.解题技巧 两步判断：次数为、系数不为； 正比例函数是特殊一次函数，反之不成立。 【例题2】.（25-26八年级上·全国·期末）下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D．（，是常数） 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数． 根据一次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，即，不是一次函数，故此选项不符合题意； B、，即，不是一次函数，故此选项不符合题意； C、，即，符合（，），是一次函数，故此选项符合题意； D、（，是常数），但未指定，当时，是常数函数，不是一次函数，因此不一定是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·北京·开学考试）若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正比例函数要求自变量的次数为1，且比例系数不为0，据此列关系计算即可． 【详解】∵是关于的正比例函数， ∴根据正比例函数的定义可得， 解，得，即， 由，得， ∴． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）当__________时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的定义，一次函数解析式 的结构特征：（1）是常数， ；（2）自变量的次数是；（3）常数项可以为任意实数． 根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数 是一次函数， ∴， 解得. 故答案为：． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·河北衡水·期中）下列说法中不成立的是（   ） A．在中，与成正比例 B．在中，与成正比例 C．在中，与成正比例 D．在中，与成正比例 【答案】D 【分析】对于两个变量x、y，若满足（k是常数，且），那么y与x成正比例，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴与成正比例，原说法正确，不符合题意； B、在中，与成正比例，原说法正确，不符合题意； C、在中，与成正比例，原说法正确，不符合题意； D、在中，与成正比例，与不成比例，原说法错误，符合题意； 【题型3】由、判断图象与增减性 1.考点总结 符号定增减，符号定与轴交点； 结合、判断图象经过象限。 2.解题技巧 口诀：正增、负减，正上、负下； 函数值比较：，大大；，大小。 【例题3】.（25-26八年级下·河北邢台·期中）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象的性质解题即可． 【详解】解：函数的图象是一条直线， 当时，；当时，； ∴图象经过和，故选项B符合题意． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·福建福州·期中）直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知函数所经过的象限得出，的取值范围，进而可判断直线的图象所经过的象限． 【详解】解：直线的图象经过一、三、四象限， ，， ， 直线的图象经过二、三、四象限，如C选项所示． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，为平面直角坐标系内一点，是轴上一点，直线的函数表达式为，当的值随着值的增大而增大时，点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大，得出直线一定经过第一、三象限，根据，M是x轴上一点，得出点M一定在x轴负半轴上，从而得出答案． 【详解】解：∵直线的函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大， ∴该函数图象一定经过一、三象限，即直线一定经过一、三象限， ∵，M是x轴上一点， ∴M一定在x轴负半轴上． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·北京·期中）若点都在直线（为常数）上，则的大小关系是（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数解析式的斜率判断y随x的增减性，再比较两点横坐标的大小即可得到y的大小关系． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 【题型4】待定系数法求解析式 1.考点总结 两点定一次函数，一点定正比例函数； 代入坐标解方程组求、。 2.解题技巧 步骤：一设、二代、三解、四写； 有交点、截距时优先用特殊点代入。 【例题4】.（25-26八年级下·湖南常德·期中）一次函数的图象过，两点． (1)求函数的表达式． (2)试判断点是否在函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)在函数的图象上，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将点的横坐标代入解析式求，看是否等于纵坐标即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将，代入表达式， 可得：， 解得， 即； （2）解：在函数的图象上， 理由如下：当时，， 即点在函数图象上． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）一次函数过、． (1)求解析式； (2)求时，y的值． 【答案】(1) (2)5 【详解】（1）解：代入得； 代入得 ． （2）解：当时，． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知一次函数的图象经过和． (1)求关于的函数解析式； (2)在图中画出该函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)作图见解析，点不在函数图象上 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式得出二元一次方程组，求出解即可得出答案； （2）根据列表，描点，连线得出函数图象，再将代入关系式验证即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：列表： x 0 1 y 1 4 描点，连线如下图： 当时，， ∴点不在一次函数的图象上． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·广东广州·期中）已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)若的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先根据与成正比例设出函数式，代入求出，得到解析式； （）再将点代入解析式求出； （）最后把代入，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵与成正比例， 设函数为， 将代入得：， 解得， ∴此函数解析式为：； （2）解：∵点在函数图象上， ∴将坐标代入解析式得：， 解得：； （3）解：∵， ∴将代入不等式得：， 整理，得． 【题型5】一次函数与坐标轴围成面积 1.考点总结 求直线与、轴交点坐标A、B； 计算直角三角形面积。 2.解题技巧 求交点：令得，令得； 面积：，必带绝对值。 【例题5】.（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）一次函数的图象过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积，则的值是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 当时，，根据三角形面积公式即可得，化简即可求解． 【详解】解：当时，， 根据题意可得：， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·山东青岛·周测）一次函数的图象经过，两点． (1)求函数表达式； (2)求此图象与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查一次函数，涉及待定系数法，三角形面积等知识，本题属于中等题型． （1）根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）求得一次函数的图象与坐标轴的交点，根据三角形的面积即可求出答案． 【详解】（1） 解：设一次函数的解析式为：， 将，代入， ， 解得：， 一次函数的解析式为：； （2）解：令，可得， 解得， 则直线与轴的交点为， 令，可得， 则直线与轴的交点为， 所以此图象与坐标轴围成的三角形面积为． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·全国·寒假作业）若方程组的解中，x是正数，y是非正数． (1)求k的正整数解； (2)在（1）的条件下求一次函数与坐标轴围成的面积． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查一次函数的问题，关键是根据方程组得出方程组的解列出不等式组解答． （1）根据方程组得出方程组的解，再列出不等式组解答即可． （2）把k的值代入得出面积即可． 【详解】（1）解：解方程组得：， 因为x是正数，y是非正数， 可得：， 解得：， 因为k取正整数， 所以； （2）解：把代入中，可得， 当时，；当时，， 所以与坐标轴的面积为． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知一条直线经过，两点，且与x轴交于点C． (1)求表示这条直线的二元一次方程； (2)求出点C的坐标； (3)画出二元一次方程所表示的直线，并求的面积． 【答案】(1) (2) (3)图见解析，4 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）令求出，即可得到点C的坐标； （3）根据点A，B的坐标画出函数图象，然后根据三角形面积公式进行计算． 【详解】（1）解：设表示这条直线的二元一次方程为， 把，代入得：， 解得， ∴表示这条直线的二元一次方程为； （2）令，得， 解得， ∴； （3）直线如图所示： 连接， ∵， ∴， ∴． 【提升题型】 【题型6】一次函数与方程、不等式综合 1.考点总结 方程解图象与轴交点； 不等式解集图象在轴上/下方的范围； 两函数大小比较看图象上下。 2.解题技巧 数形结合，直接读图写解集，不硬算； 交点是分界点，左右判断大小。 【例题6】.（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把点的坐标代入正比例函数解析式求出的值，确定交点坐标，再根据函数图象在交点右侧时的图象在的上方即可得出答案； 【详解】解：∵函数过点， ∴， 解得， ∴交点的坐标为， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集是． 【变式题6-1】.（2026·广西梧州·一模）已知一次函数与的图象如图所示，当时，与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据图象可得，两直线交点的横坐标为，在直线的右侧，即可求解． 【详解】解：由图象可得，当时，． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·福建福州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为．如图，若直线（k，b为常数，且）与直线相交于点P，则点P的坐标为______． 【答案】 【分析】根据方程组的解就是交点坐标即可求解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴， 解得：， ∴二元一次方程组的解为， ∵二元一次方程组的解就是两个一次函数和图象的交点坐标， ∴点P的坐标为：． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线：与y轴交于点，与轴交于点；直线：经过点和点，且与相交于点D，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当x取何值时，? (3)求的面积． 【答案】(1)：；： (2) (3)15 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）先求出点坐标，然后结合图形，可知时，； （3）先求出点，利用即可求出答案． 【详解】（1）解：∵直线：与y轴交于点， ∴， ∴直线的表达式为：； ∵直线：经过点和点， ∴， ∴， ∴直线的表达式为：； （2）解：联立， 解得， ∵直线与相交于点D， ∴点， 结合图像可知时，； （3）解：将代入直线：，得到，解得， ∵直线与轴交于点； ∴点， ∵， ∴， ∴的面积． 【题型7】一次函数图象平移与对称 1.考点总结 平移规律：上加下减、左加右减； 平行直线：相同；垂直：。 2.解题技巧 平移：不变，只变常数项或整体； 左右平移一定给加括号。 【例题7】.（25-26八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为_____． 【答案】9 【分析】先根据直线的平移的性质得出平移后的关系式，再将点代入关系式可得答案． 【详解】解：将直线向上平移m个单位长度可得关系式为， ∵直线经过点， ∴， 解得． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（　　） A．第三、二、一象限 B．第二、三、四象限 C．第二、一、四象限 D．第三、四、一象限 【答案】B 【分析】由一次函数图象的平移规律和一次函数图象与系数的关系解题即可． 【详解】解：∵一次函数的图象由直线向下平移个单位长度得到， 根据平移规律“上加下减”可得平移后的解析式为， ∴， 又∵， ∴一次函数中，斜率为负，且与轴交于负半轴，因此图象经过第二、三、四象限． 【变式题7-2】.（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据关于x轴对称的性质求出k和b的值，再判断函数图象不经过的象限即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， 根据轴对称性质，点关于轴对称的点为，因此将替换为即可得到原直线关于x轴对称的直线方程， ∴关于轴对称的直线为，整理得， 该直线与是同一直线，对应系数相等， ∴， 解得，， ∴所求一次函数为， ∵，， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【变式题7-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的对称变换，熟悉一次函数关于轴和轴的对称变换规律，是解题的关键．利用点关于坐标轴对称的性质求解对称直线表达式即可． 【详解】解：（1）关于轴对称时，点的对称点为， 代入原方程得，即． （2）直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为， 代入原方程得，即， 【培优题型】 【题型8】最优方案与利润最值应用 1.考点总结 建立利润/费用/运费的一次函数模型； 结合不等式求范围，利用增减性求最值。 2.解题技巧 ，最大最大；，最小最小； 先定范围，再求最值，作答完整。 【例题8】.（2026·云南文山·一模）仔细阅读下表中的内容，据表中信息完成任务一和任务二． 背景 某学校计划购入A，B两款学习机，辅助日常教学，经过市场调研，了解到这两款学习机的相关信息如下： 信息一： ①购买3台A款学习机和4台B款学习机共需6200元； ②购买2台A款学习机和8台B款学习机共需8400元． ☆任务一 (1)求每台A款学习机，每台B款学习机的价格； 信息二 该校决定购买这两款学习机共50台，配备给部分班级作教学实验，两款都要购买，且购买B款学习机的数量不超过A款的1.5倍． ☆任务二 (2)请为该校提供最省钱的购买方案． 【答案】(1)每台A款学习机的价格是1000元,每台B款学习机的价格是800元 (2)购买20台A款学习机，30台B款学习机，最省钱 【分析】（1）根据购买两款学习机的两组总价条件，列二元一次方程组，求解两款的单价； （2）先设购买款的数量，用它表示款数量和总费用；再根据款数量不超过 款倍的约束条件，求费用函数的最小值，得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设每台款学习机的价格是元，每台B款学习机的价格是元． 由题意得，解得， ∴每台款学习机的价格是1000元，每台款学习机的价格是800元． （2）解：设购买台款学习机，台款学习机，总费用为元． 由题意可得：， 解得． 由题意得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，w取得最小值， 此时，，． ∴购买20台款学习机，30台款学习机，最省钱． 【变式题8-1】.（2026·云南大理·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 大理白族扎染技艺流传千年，是第一批国家级非物质文化遗产，被誉为“针尖上的青花瓷”．某校文化节期间，舞蹈社团计划购买扎染服饰若干套用于表演，以彰显白族扎染非遗魅力，增强学生对大理民族文化的了解，提升文化自信． 素材一 经市场调查发现，每套女款扎染服饰比每套男款扎染服饰贵20元． 素材二 购买3套女款扎染服饰和5套男款扎染服饰共需540元； 素材三 该社团计划购买女款和男款服饰共30套，男女款均需购买，且购买男款的数量不超过购买女款数量的． 请完成下列任务： (1)任务一：计算每套女款和每套男款扎染服饰的价格分别是多少元？ (2)任务二：请给出最节省费用的购买方案． 【答案】(1)每套女款扎染服饰80元，每套男款扎染服饰60元 (2)当购买女款扎染服饰20套、男款扎染服饰10套时，总费用最低 【分析】（1）设每套女款扎染服饰元，每套男款扎染服饰元，列方程组，解方程组即可； （2）设购买女款扎染服饰套，则购买男款扎染服饰套，购买总费用为W元，得到，由购买男款的数量不超过购买女款数量的得到，求出，计算即可． 【详解】（1）解：设每套女款扎染服饰元，每套男款扎染服饰元， ，解得，， 答：每套女款扎染服饰80元，每套男款扎染服饰60元； （2）解：设购买女款扎染服饰套，则购买男款扎染服饰套，购买总费用为W元， ， 购买男款的数量不超过购买女款数量的 ，解得 随的增大而增大， 当时，的值最小 当购买女款扎染服饰20套时，总费用最低， 此时，购买男款扎染服饰套． 当购买女款扎染服饰20套、男款扎染服饰10套时，总费用最低． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·河北邢台·期中）根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素 材 1 某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素 材 2 甲种蔬菜种植总成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的每平方米种植成本为36元． 问题解决： (1)任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式 (2)任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值 (3)任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少a元（a是常数且），问此时x取何值时总费用最少？最少总费用是多少？（可以用含a的代数式表示） 【答案】(1) (2)种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，W最小，W的最小值为3820元 (3)当时，总费用最少，最少费用元 【分析】（1）利用待定系数法可得甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式； （2）依据题意，求出，再根据一次函数性质可得答案； （3）依据题意，求出，再根据a的范围结合一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为， 根据函数图象可得：， 解得：， ∴甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为． （2）解：根据题意得：， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，W取最小值，最小值为（元）， ∴种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，W最小，W的最小值为3820元． （3）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W最小，最小值为：， ∴当时，总费用最少，最少费用元． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）综合实践 背景一 深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两种型号的“燕宝啾啾”玩偶共80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的． 背景二 经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价每个37元．因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖88元，小号“燕宝啾啾”玩偶每个卖45元． (1)该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？ (2)该文创店所获得的最大利润是多少？ (3)实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过40个．在(1)问的条件下，若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？ 【答案】(1)35件 (2)1630元 (3)当 时，小号数量35 个，利润最大．当时，小号数量可为 35∼40 个；当时，小号数量40 个时，利润最大． 【分析】（1）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，然后根据题意列不等式求解即可； （2）设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，然后根据题意列出一次函数解析式，再根据一次函数的性质求最值即可； （3）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，，易得则文创店所获得的利润，然后分、和三种情况解答即可． 【详解】（1）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶x个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个， 由题意可得：，解得：， 所以该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少35件． （2）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶a个，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，， 则文创店所获得的利润， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，文创店所获得利润最大，最大利润为元． （3）解：设文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶b件，则购进大号“燕宝啾啾”玩偶个，， 则文创店所获得的利润， ∵， ∴当 时，，w 随b增大而减小，故，即小号数量35 个，利润最大． 当时，，小号数量可为 35∼40 个； 当时，，w 随b增大而增大，故，即小号数量： 40 个时，利润最大． 【题型9】一次函数与动点、几何综合 1.考点总结 动点路程、面积、长度与时间成一次函数； 结合三角形、四边形、坐标求解析式。 2.解题技巧 按运动阶段分段，用表示底/高； 抓不变量简化列式，注意图形存在性。 【例题9】.（25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，且．点是的中点，为直线上的一个动点，连接．若，则点的坐标是__________． 【答案】或 【分析】求出点B和点C的坐标，进而可求出点A的坐标，则可求出直线的解析式，再分两种情况：点在点下方和点在点上方，过点作交直线于，可证明是等腰直角三角形，通过一线三垂直模型构造全等三角形讨论求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴，， ， ， ． ∵点A在x轴的负半轴上， ． 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，当点N在点B的下方时，过点M作交直线于点H，过点M作于点D，过点N作于点F，过点H作交直线于点E， 则， ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ∵点M是的中点，，， ． 设，则， ， ， 解得， ∴点N的坐标为； 当点N在点B的上方时，过点M作交直线于点H，过点M作于点D，过点N作交直线于点F，过点H作于点E， 同理可证明， ， ∵点M是的中点，，， ． 设． ， ， ， ， ∴点坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，为一次函数的图象上一点． (1)求A、B两点的坐标． (2)已知点，连接，求的面积． (3)若点Q为一次函数图象上第一象限内一点，且满足，，求的值． 【答案】(1)； (2)4 (3) 【分析】（1）求出时，y的值和时，x的值可得答案； （2）设交x轴于点C，求出直线的解析式为，可得点，从而得到，再由，即可求解； （3）过点P作轴于点D，过点Q作轴于点E，则，由题意知，且，从而得到，，证明，可得，，从而得出点，代入解析式求得m的值，进一步可得n的值，代入即可得出答案． 【详解】（1）解：在中， 当时，， ∴， 当时，，解得， ∴； （2）解：设交x轴于点C， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴； （3）解：如图，过点P作轴于点D，过点Q作轴于点E，则， 由题意知，且， ，， ， ， ∵， ， 又， ， ，， 点， 点Q在直线上， ， 解得， ， 则． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，直线分别与x，y轴相交于点A、B，点P，Q分别在直线和线段上，，，设点P的坐标为． (1)求k，b的值； (2)设的面积为S，求S关于m的函数关系式； (3)如果的面积等于10，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据题意求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）可得直线的关系式，进而得到，再根据列式求解即可； （3）根据（2）所求，求出时m的值，进而求出对应的n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵点A，B在直线上， ∴ 解得； （2）解：由（1）得直线的关系式为， ∵点在直线上， ∴， ∴ = =， 当时， ， 当时，=， ∴； （3）解：当时， 或 ， 解得或， 当时，； 当时， ． ∴点P的坐标为或． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·湖南长沙·期中）已知，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出这个一次函数的图象； (3)一次函数的图象与x轴交于点C，点P为x轴上的一个动点，若的面积为12，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先描点，再连线画出函数图象即可； （3）先求出点C的坐标，再根据题意可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和， ∴， ∴， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵点P为x轴上的一个动点，且 的面积为12， ∴，即， ∴， ∴点P的横坐标为或点P的横坐标为， ∴点P的坐标为或． 【题型10】一次函数存在性与最短路径 1.考点总结 面积最值、点的存在性、最短路径； 与对称、平行、垂直结合。 2.解题技巧 最短路径：对称法+两点之间线段最短； 存在性：设坐标，列方程求解，验证范围。 【例题10】.（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定． （1）将代入，得出，再代入，即可求解； （2）由（1）可得的解析式为，进而求得，设交轴于点，得出，进而求得面积为，根据与面积相等得出，即可求解； （3）根据，将绕点逆时针旋转得到，得到等腰直角三角形，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则为的交点，证明，求出，直线与直线的交点为；点关于点的对称点，则直线与直线的交点为另一个． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得 ∴ 将代入得， 解得：； （2）解：由（1）可得的解析式为， 当时，，解得： ∴ 如图，设交轴于点， 当时，， ∴ ∴ ∵直线与轴交于点， 当时，，则 ∴， ∴ ∵， ∴ ∵与面积相等 ∴ 解得： ∵ ∴或 （3）存在点，使得，理由如下； 将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则是等腰直角三角形， ∴为的交点 ，， ， ， ， ， ， ，， ， 直线与轴交于点 当时，，解得 设直线的解析式为，代入得 解得： 直线的解析式为， ， 同理可得直线的解析式为， 解得： 设关于的对称点为， 的中点为， 即 同理可得直线的解析式为 解得： ∴ 综上所述，或 【变式题10-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）定义：在平面直角坐标系中，若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点与点关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为这两个函数的“对偶值”． 【问题探究】 【概念初探】 (1)已知函数与函数具有“对偶关系”，请求它们的“对偶值”； 【模型构建】 (2)如图①，将直线向下平移个单位长度得到直线．若直线与的“对偶值”为，求与满足的关系式； 【深度探索】 (3)如图②，直线与轴、轴相交于A、B两点，直线与轴相交于点，直线上是否存在一个点，使得，且的面积等于3？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或 【分析】（1）设点在函数的图象上，根据“对偶关系”的定义，可得点在函数的图象上，列出方程，求解即可． （2）根据平移，可得，再根据“直线与的“对偶值”为”，可得，，从而求出； （3）设，根据题意，可得，情况一，利用角之间的关系，得，直线的解析式为，从而，则，进而，利用面积列方程，求解即可；情况二，利用角之间的关系，易得是的中点，易求，则直线的解析式为，从而，则，进而，利用面积列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设点在函数的图象上， 函数与函数具有“对偶关系”， 点关于轴的对称点在函数的图象上， ， 又， ，解得， 当时，， 它们的“对偶值”为； （2）解：直线向下平移个单位长度得到直线， 直线的解析式为， 直线与的“对偶值”为， 设点在直线上，则点关于轴的对称点在直线上， ，， ，解得， ， 则与满足的关系式为； （3）解：点在直线上， 设， 直线与轴相交于点， ，则， 第一种情况，如图②，在直线上取点，连接， ， ， 则直线的解析式为， ， ，解得， 的面积等于3， ，解得， ， ； 第二种情况， 如备用图，在直线上取点，连接，并延长交于点， 直线与轴、轴相交于A、B两点， 当时，，当时，，即， ，， ，， ， ， ，， ， ， 则，即是的中点， ，即， 设直线的解析式为， ，解得， ，则， ，解得， 的面积等于3， ，解得， ， ； 综上：存在，的值为或． 【点睛】本题主要考查一次函数图象的平移性质，一次函数与方程，平面直角坐标系中点关于坐标轴对称点的特点等知识点，理解并灵活运用新定义解决问题是解决本题的关键． 【变式题10-2】.（24-25八年级下·河南安阳·月考）如图中，轴，，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)分别求C、D两点坐标； (2)在x轴上存在点F，使得最短，求出点F的坐标； (3)在（2）的基础上，将线段向左平移m个单位长度，若与有唯一交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的性质，轴对称的性质，平移的性质． （1）根据平行四边形的性质得到，轴，进而求出点D、C的横坐标，即可求出C、D两点坐标； （2）先得到点D关于x轴对称的点E坐标为，连接，与x轴的交点即为所求点F，设直线的解析式为，求出直线的解析式为，令，则，即可求出点F的坐标； （3）根据平移结合图像作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，轴， ∵点A的坐标为， ∴点D的横坐标为 即点D的坐标为； ∵点B的坐标为，轴， ∴点C的横坐标为， 即点C的坐标为； （2）∵点D的坐标为， ∴点D关于x轴对称的点E坐标为 连接，与x轴的交点即为所求点F， 设直线的解析式为， ∵点A的坐标为，点E的坐标为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点F的坐标为； （3）如图， 由图可知，当F到达O点时，与有两个交点，此时， 继续左移，与有唯一交点， ∴， 当F到达G点时，与有唯一交点，此时， 继续左移，与无交点， ∴ 即． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）【问题提出】 （1）如图，垂直平分交于点，连接、，若，，求的面积； 【问题解决】 （2）如图，是某公园的一块空地，现要将其打造成一片花海，在边上的点F处修一个观景台，从点向点和边上的点分别修两条小路和，再分别从向边修两条与边垂直的观光长廊和（于点，于点），在区域种植郁金香．以所在直线为轴、以所在直线为轴建立平面直角坐标系（图中个单位长度表示），得到点的坐标为．已知，，，．（观景台的大小和小路、观光长廊的宽度均忽略不计） ①求所在直线的函数表达式； ②若点P是上的动点，要沿铺设一条石板小路，求这条石板小路的最短长度． 【答案】 （） （）①所在直线的函数表达式② 【分析】（）先利用垂直平分线性质得出，再在中通过勾股定理求出的长度，进而得到的长，最后代入三角形面积公式计算出的面积； （）首先根据点和，计算出；再结合的对称性质，推导出，进而得到，确定点的坐标为；最后设直线的解析式为，代入的坐标，从而得到直线的函数表达式； （）首先依据“垂线段最短”确定当时，小路的长度最短；然后结合上一问的坐标与解析式，计算出，并利用勾股定理求出接着设，通过在和中分别用勾股定理表示，建立关于的方程并求解得到，最后将代入勾股定理公式，计算出． 【详解】（）解：∵垂直平分交于点， ∴，， ∵，， 在中，， ∴， ∴； （2）①∵点， ∴ ∵， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∵， ∴， 设所在直线的函数表达式， 把点、点代入解析式， 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式； ②解：作垂足为点，即此时这条石板小路的长度最短， 由①得， ∵所在直线的函数表达式 令，得， ∴， 在中，， 同理：， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， 故这条石板小路的最短长度为． 【点睛】本题主要考查的知识点包括：垂直平分线的性质、勾股定理的应用、坐标与一次函数解析式的推导、点到直线的垂线段最短原理，以及通过建立方程求解几何最值问题，整体覆盖了几何图形的性质计算、平面直角坐标系的坐标推导、函数表达式的确定，还有利用代数方程解决几何最值的综合应用． 【易错重难点总结】 1.核心易错点 概念：忽略，混淆一次函数与正比例函数； 图象：、符号与象限、增减性对应混乱； 平移：左右平移漏括号、符号反； 面积：计算忘绝对值，交点求错； 应用：不写自变量取值范围，不符合实际。 2.本章重难点 重点：一次函数图象与性质、待定系数法、实际应用； 重点：一次函数与方程、不等式的数形结合； 难点：动点与分段函数、几何综合、方案最优； 难点：跨情境建模与分类讨论。 3.解题通用步骤 定性：判类型→定、→定图象与增减； 求式：找点→设式→代入→求、→写范围； 应用：建模→定范围→用增减→求最值/方案； 数形结合：看图写范围，用式画图象。 4.高分必备口诀 一次函数：，，正比成； 图象性质：定增减，定交点，符号定象限； 平移规则：左加右减只对，上加下减对常数； 面积计算：交点求对，绝对值不漏； 实际应用：建模不忘范围，最值看增减。 5.素养提升关键 强化数形结合，用图象理解代数，用代数刻画图象； 熟练建模能力，把生活、几何、物理问题转为一次函数； 规范分类讨论，平移、面积、存在性不重不漏； 注重书写完整，范围、答句、单位缺一不可。 【同步练习】 一、单选题 1．下列各点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各点横坐标代入解析式，计算对应的y值，与点的纵坐标对比即可判断. 【详解】解：A、 当时，，故A不符合要求； B、当时，，故B不符合要求； C、 当时，，与点的纵坐标相等，故C符合要求； D、 当时，，故D不符合要求. 2．若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据正比例函数求参数，解题的关键是掌握正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义（形如，且为常数的函数），需让原函数的二次项系数为0，同时一次项系数不为0，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 由，解得， ∵当时，，满足条件， ∴， 故选：D． 3．一次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点与都在直线上，则；③函数图象不经过第四象限．其中正确的说法是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：图象经过第一、二、三象限， ，， ，故①③正确； ②由图象知，y随x增大而增大．点与都在直线上， ， ∴，故②错误； 综上，正确的说法是①③． 4．已知一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据已知一次函数的位置判断和的符号，再判断目标一次函数经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴一次函数的图象不经过的象限是第二象限． 二、填空题 5．某弹簧在不挂物体时的长度是．下表描述了在弹簧弹性限度内，弹簧长度与所挂物体的质量的对应关系．当所挂物体质量为时，弹簧长度为__________． 物体的质量 1 2 4 弹簧长度 15.5 16 17 【答案】16.5 【详解】解：由题意可得，是的一次函数，设. 已知弹簧不挂物体时长度为 ，即当时，，因此. 将 代入解析式得： . 解得. 因此函数解析式为 . 当 时， . 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C，P在直线上运动，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，所以当时，的值最小，利用等积法，求出的长即可． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，；当时，； ∴， ∴， ∴， ∵直线与直线交于点C，P在直线上运动， ∴直线即为直线， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 过点作，交于点， ∵， ∴， ∴； 即的最小值为． 7．如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点A，B的坐标分别为，，将沿x轴向右平移，当线段扫过的面积为16时，点C落在直线上，则k的值为______． 【答案】2 【分析】根据题意得出，，再由题意得出，即向右平移4个单位长度，确定，代入函数解析式即可． 【详解】解：如图所示： ， ∵点A、B的坐标分别为，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵线段扫过的面积为16， ∴， ∴，即向右平移4个单位长度， ∴， ∵点在直线上， ∴，解得． 8．已知正比例函数的图像经过第二、四象限，点、在该正比例函数的图像上，如果，那么________、（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先根据正比例函数图象经过的象限判断比例系数的符号，再结合正比例函数的增减性，比较与的大小． 【详解】解：设该正比例函数的解析式为， 因为正比例函数的图像经过第二、四象限， 所以可得， 根据正比例函数的性质，当时，随的增大而减小. 又因为， 所以． 三、解答题 9．学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”．如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系．根据下表，回答以下问题： 海拔高度h（千米） … 0 1 2 3 4 5 … 气温 … 20 14 8 2 … (1)由表可知，海拔高度每上升1千米，温度降低_____________摄氏度． (2)当海拔高度为h（千米）时，气温t为多少摄氏度？ (3)某飞机飞行高度11000米，请计算在该海拔高度的气温是多少？ 【答案】(1)6 (2)气温t为摄氏度 (3) 【分析】根据表格数据探究气温随海拔的变化规律，首先计算得到海拔每升高1千米的温度降低值，再结合初始气温推导气温t与海拔h的关系式，最后统一单位后代入关系式计算得到对应海拔的气温即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴海拔高度每上升1千米，温度降低． （2）解：由题意得，当海拔高度为h（千米）时，气温， ∴气温t为摄氏度． （3）解：由（2）可得，当海拔高度为h（千米）时，气温t为摄氏度， ∵， ∴当千米时， ， ∴该海拔高度的气温是． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x，y轴交于B，C两点，正比例函数的图像与L1交于点． (1)填空： ______， ______． (2)不等式的解集是______； (3)若点M是直线上的一个动点，连接，当的面积是面积的2倍时，直接写出符合条件的点M的坐标； 【答案】(1)5，4 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求得点坐标，将点坐标代入一次函数可得的值； （2）利用图像直接判断不等式的解集即可； （3）设，根据，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得：， 然后将代入得：， 解得：； （2）解：由图像可知，不等式的解集为：； （3）解：由（1）得：一次函数， 点在直线上， 设点的坐标为，把代入，得， 点坐标为，， 点坐标， ， 把代入，得， 点坐标为，， ， 解得：或14， 当时，； 当时，； 点的坐标为或． 11．一次函数图象过点，，题目中的矩形部分是一段因墨水污染无法辨认的文字． (1)根据现有的信息，请求出题中的一次函数的解析式． (2)根据关系式画出这个函数图象． (3)过点A作直线将（为坐标原点）分成面积比为的两部分，请画出该直线，并求出所对应的函数关系式． 【答案】(1) (2)见解析 (3)过点能画出2条，图见解析，它们所对应的函数关系式是或 【分析】（1）设一次函数的解析式是，把点，，代入得出方程组，求出方程组的解即可； （2）过点，作直线即可； （3）根据面积得出点坐标，利用待定系数法求出解析式，再画出直线即可． 【详解】（1）解：（1）设一次函数的解析式是， 把、代入得：， 解得：，， ∴一次函数的解析式是． （2）解：画出函数图象如图： （3）解：∵、， ∴， ∵或， ∴ 或 ， 当 时， 则 ， ∴， ∴ ， ∴， 此时，设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为，同理（2）画出直线； 当 时， 同理，得， 此时，设直线的解析式为 ，则 ，解得， ∴直线的解析式为，同理（2）画出直线； 直线和如图： 综上所述，过点能画出直线将分成面积比为的两部分，可以画出2条，它们所对应的函数关系式是或． 12．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠． 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x次，按照方案一所需费用为元，且，按照方案二所需费用为元，且，其函数图象如图所示． (1)求和b的值，并说明它们的实际意义； (2)求的值； (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身，请你根据他的健身次数给他选择哪种方案所需费更少？请说明理由． 【答案】(1)， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元；表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元 (2) (3)当健身6次时，选择方案一和方案二一样；当健身6次以上，选择方案一合算；当健身6次以下，选择方案二合算，理由见解析 【分析】（1）把点，代入，得到关于和b的二元一次方程组，求解即可； （2）根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出的值； （3）根据的函数关系式求出当两种方案费用相等时健身的次数．再分情况讨论． 【详解】（1）解：∵的图象过点，， ∴， 解得， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元； （2）解：由题意可得，打折前的每次健身费用为（元）， ∴ ； （3）解：由题意可知， ，， ∴， 解得 当健身6次时，选择方案一和方案二一样， 当健身6次以上，选择方案一合算， 当健身6次以下，选择方案二合算． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 一次函数 知识点1：一次函数与正比例函数概念 一次函数：形如（、为常数，）的函数。 正比例函数：形如（为常数，）的函数，是特殊的一次函数（）。 易错警示：判断时必须满足且自变量次数为。 知识点2：一次函数的图象与性质 项目 内容 图象特征 一次函数（）的图象是一条直线，必过点和 增减性 时，随增大而增大； 时，随增大而减小 象限分布 ：一、二、三象限 ：一、三、四象限 ：一、二、四象限 ：二、三、四象限 易错警示 不可只看或只看，必须结合k、b符号共同判断象限与趋势 知识点3：一次函数图象平移 规律：上加下减（常数项），左加右减（只对）。 示例：向上平移个单位；向左平移个单位。 易错警示：左右平移漏给加括号，符号用反。 知识点4：待定系数法求解析式 步骤：设→代→解→写。 1.设：设（）； 2.代：代入两点坐标列方程组； 3.解：求、； 4.写：写出解析式并注明范围。 正比例函数只需1个点，一次函数需2个点。 知识点5：一次函数与方程、不等式 与方程：的解图象与轴交点横坐标。 与不等式： 图象在轴上方的范围； 图象在轴下方的范围。 与方程组：两直线交点坐标对应方程组的解。 知识点6：一次函数与几何面积 直线与坐标轴围成三角形面积：（、为截距）。 易错警示：计算时忘记加绝对值，交点坐标求错。 知识点7：一次函数实际应用 建模步骤：审→设→列→求→验→答。 核心：将行程、计费、利润等转化为模型。 易错警示：遗漏自变量取值范围（非负、整数、实际限制）。 【易错题型】 【题型1】一次函数概念、图象、平移易错题 1.易错点总结 概念：忽略，混淆一次函数与正比例函数； 图象：、符号与象限、增减性对应错误； 平移：左右平移漏括号、符号反； 2.纠错技巧 判定义：看、次数为； 看图象：定增减，定交点，综合定象限； 记平移：左加右减只对，上加下减对常数 【例题1】.（25-26八年级上·安徽宣城·期末）下列函数是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026·陕西西安·三模）已知正比例函数的图象经过点，那么一次函数的图象不经过（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【变式题1-2】.（25-26八年级下·四川宜宾·期中）将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______． 【变式题1-3】.（2026·江苏无锡·二模）将直线向下平移4个单位长度，若平移后的直线经过第二、第三、第四象限，则k的值可以是________． 【基础题型】 【题型2】一次函数与正比例函数判断 1.考点总结 识别一次函数：，； 识别正比例函数：，（）； 根据定义求参数。 2.解题技巧 两步判断：次数为、系数不为； 正比例函数是特殊一次函数，反之不成立。 【例题2】.（25-26八年级上·全国·期末）下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D．（，是常数） 【变式题2-1】.（25-26八年级下·北京·开学考试）若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）当__________时，函数是一次函数． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·河北衡水·期中）下列说法中不成立的是（   ） A．在中，与成正比例 B．在中，与成正比例 C．在中，与成正比例 D．在中，与成正比例 【题型3】由、判断图象与增减性 1.考点总结 符号定增减，符号定与轴交点； 结合、判断图象经过象限。 2.解题技巧 口诀：正增、负减，正上、负下； 函数值比较：，大大；，大小。 【例题3】.（25-26八年级下·河北邢台·期中）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·福建福州·期中）直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，为平面直角坐标系内一点，是轴上一点，直线的函数表达式为，当的值随着值的增大而增大时，点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·北京·期中）若点都在直线（为常数）上，则的大小关系是（  ） A． B． C． D．不能确定 【题型4】待定系数法求解析式 1.考点总结 两点定一次函数，一点定正比例函数； 代入坐标解方程组求、。 2.解题技巧 步骤：一设、二代、三解、四写； 有交点、截距时优先用特殊点代入。 【例题4】.（25-26八年级下·湖南常德·期中）一次函数的图象过，两点． (1)求函数的表达式． (2)试判断点是否在函数的图象上，并说明理由． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）一次函数过、． (1)求解析式； (2)求时，y的值． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知一次函数的图象经过和． (1)求关于的函数解析式； (2)在图中画出该函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． x 0 1 y 1 4 【变式题4-3】.（25-26八年级下·广东广州·期中）已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)若的取值范围为，求的取值范围． 【题型5】一次函数与坐标轴围成面积 1.考点总结 求直线与、轴交点坐标A、B； 计算直角三角形面积。 2.解题技巧 求交点：令得，令得； 面积：，必带绝对值。 【例题5】.（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）一次函数的图象过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积，则的值是______． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·山东青岛·周测）一次函数的图象经过，两点． (1)求函数表达式； (2)求此图象与坐标轴围成的三角形面积． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·全国·寒假作业）若方程组的解中，x是正数，y是非正数． (1)求k的正整数解； (2)在（1）的条件下求一次函数与坐标轴围成的面积． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知一条直线经过，两点，且与x轴交于点C． (1)求表示这条直线的二元一次方程； (2)求出点C的坐标； (3)画出二元一次方程所表示的直线，并求的面积． 【提升题型】 【题型6】一次函数与方程、不等式综合 1.考点总结 方程解图象与轴交点； 不等式解集图象在轴上/下方的范围； 两函数大小比较看图象上下。 2.解题技巧 数形结合，直接读图写解集，不硬算； 交点是分界点，左右判断大小。 【例题6】.（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（2026·广西梧州·一模）已知一次函数与的图象如图所示，当时，与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式题6-2】.（25-26八年级下·福建福州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为．如图，若直线（k，b为常数，且）与直线相交于点P，则点P的坐标为______． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线：与y轴交于点，与轴交于点；直线：经过点和点，且与相交于点D，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当x取何值时，? (3)求的面积． 【题型7】一次函数图象平移与对称 1.考点总结 平移规律：上加下减、左加右减； 平行直线：相同；垂直：。 2.解题技巧 平移：不变，只变常数项或整体； 左右平移一定给加括号。 【例题7】.（25-26八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为_____． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（　　） A．第三、二、一象限 B．第二、三、四象限 C．第二、一、四象限 D．第三、四、一象限 【变式题7-2】.（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式题7-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线． （1）该直线关于y轴对称的直线的函数解析式为______； （2）该直线关于x轴对称的直线的函数解析式为______． 【培优题型】 【题型8】最优方案与利润最值应用 1.考点总结 建立利润/费用/运费的一次函数模型； 结合不等式求范围，利用增减性求最值。 2.解题技巧 ，最大最大；，最小最小； 先定范围，再求最值，作答完整。 【例题8】.（2026·云南文山·一模）仔细阅读下表中的内容，据表中信息完成任务一和任务二． 背景 某学校计划购入A，B两款学习机，辅助日常教学，经过市场调研，了解到这两款学习机的相关信息如下： 信息一： ①购买3台A款学习机和4台B款学习机共需6200元； ②购买2台A款学习机和8台B款学习机共需8400元． ☆任务一 (1)求每台A款学习机，每台B款学习机的价格； 信息二 该校决定购买这两款学习机共50台，配备给部分班级作教学实验，两款都要购买，且购买B款学习机的数量不超过A款的1.5倍． ☆任务二 (2)请为该校提供最省钱的购买方案． 【变式题8-1】.（2026·云南大理·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 大理白族扎染技艺流传千年，是第一批国家级非物质文化遗产，被誉为“针尖上的青花瓷”．某校文化节期间，舞蹈社团计划购买扎染服饰若干套用于表演，以彰显白族扎染非遗魅力，增强学生对大理民族文化的了解，提升文化自信． 素材一 经市场调查发现，每套女款扎染服饰比每套男款扎染服饰贵20元． 素材二 购买3套女款扎染服饰和5套男款扎染服饰共需540元； 素材三 该社团计划购买女款和男款服饰共30套，男女款均需购买，且购买男款的数量不超过购买女款数量的． 请完成下列任务： (1)任务一：计算每套女款和每套男款扎染服饰的价格分别是多少元？ (2)任务二：请给出最节省费用的购买方案． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·河北邢台·期中）根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素 材 1 某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素 材 2 甲种蔬菜种植总成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的每平方米种植成本为36元． 问题解决： (1)任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式 (2)任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值 (3)任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少a元（a是常数且），问此时x取何值时总费用最少？最少总费用是多少？（可以用含a的代数式表示） 【变式题8-3】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）综合实践 背景一 深圳实验学校四十周年校庆的吉祥物是“燕宝啾啾”，某文创店购进大、小两种型号的“燕宝啾啾”玩偶共80个，且购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量不少于大号“燕宝啾啾”玩偶数量的． 背景二 经调查，大号“燕宝啾啾”玩偶进价每个58元，小号“燕宝啾啾”玩偶进价每个37元．因此，文创店计划大号“燕宝啾啾”玩偶每个卖88元，小号“燕宝啾啾”玩偶每个卖45元． (1)该文创店购进小号“燕宝啾啾”玩偶至少多少件？ (2)该文创店所获得的最大利润是多少？ (3)实际进货时，小号“燕宝啾啾”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“燕宝啾啾”玩偶的购进数量不得超过40个．在(1)问的条件下，若该文创店保持两种型号的“燕宝啾啾”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大，求购进小号“燕宝啾啾”玩偶的数量？ 【题型9】一次函数与动点、几何综合 1.考点总结 动点路程、面积、长度与时间成一次函数； 结合三角形、四边形、坐标求解析式。 2.解题技巧 按运动阶段分段，用表示底/高； 抓不变量简化列式，注意图形存在性。 【例题9】.（25-26八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，直线与轴、轴分别交于点，且．点是的中点，为直线上的一个动点，连接．若，则点的坐标是__________． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，为一次函数的图象上一点． (1)求A、B两点的坐标． (2)已知点，连接，求的面积． (3)若点Q为一次函数图象上第一象限内一点，且满足，，求的值． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，直线分别与x，y轴相交于点A、B，点P，Q分别在直线和线段上，，，设点P的坐标为． (1)求k，b的值； (2)设的面积为S，求S关于m的函数关系式； (3)如果的面积等于10，求点P的坐标． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·湖南长沙·期中）已知，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出这个一次函数的图象； (3)一次函数的图象与x轴交于点C，点P为x轴上的一个动点，若的面积为12，求点P的坐标． 【题型10】一次函数存在性与最短路径 1.考点总结 面积最值、点的存在性、最短路径； 与对称、平行、垂直结合。 2.解题技巧 最短路径：对称法+两点之间线段最短； 存在性：设坐标，列方程求解，验证范围。 【例题10】.（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）定义：在平面直角坐标系中，若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点与点关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为这两个函数的“对偶值”． 【问题探究】 【概念初探】 (1)已知函数与函数具有“对偶关系”，请求它们的“对偶值”； 【模型构建】 (2)如图①，将直线向下平移个单位长度得到直线．若直线与的“对偶值”为，求与满足的关系式； 【深度探索】 (3)如图②，直线与轴、轴相交于A、B两点，直线与轴相交于点，直线上是否存在一个点，使得，且的面积等于3？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式题10-2】.（24-25八年级下·河南安阳·月考）如图中，轴，，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)分别求C、D两点坐标； (2)在x轴上存在点F，使得最短，求出点F的坐标； (3)在（2）的基础上，将线段向左平移m个单位长度，若与有唯一交点，请直接写出m的取值范围． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）【问题提出】 （1）如图，垂直平分交于点，连接、，若，，求的面积； 【问题解决】 （2）如图，是某公园的一块空地，现要将其打造成一片花海，在边上的点F处修一个观景台，从点向点和边上的点分别修两条小路和，再分别从向边修两条与边垂直的观光长廊和（于点，于点），在区域种植郁金香．以所在直线为轴、以所在直线为轴建立平面直角坐标系（图中个单位长度表示），得到点的坐标为．已知，，，．（观景台的大小和小路、观光长廊的宽度均忽略不计） ①求所在直线的函数表达式； ②若点P是上的动点，要沿铺设一条石板小路，求这条石板小路的最短长度． 【易错重难点总结】 1.核心易错点 概念：忽略，混淆一次函数与正比例函数； 图象：、符号与象限、增减性对应混乱； 平移：左右平移漏括号、符号反； 面积：计算忘绝对值，交点求错； 应用：不写自变量取值范围，不符合实际。 2.本章重难点 重点：一次函数图象与性质、待定系数法、实际应用； 重点：一次函数与方程、不等式的数形结合； 难点：动点与分段函数、几何综合、方案最优； 难点：跨情境建模与分类讨论。 3.解题通用步骤 定性：判类型→定、→定图象与增减； 求式：找点→设式→代入→求、→写范围； 应用：建模→定范围→用增减→求最值/方案； 数形结合：看图写范围，用式画图象。 4.高分必备口诀 一次函数：，，正比成； 图象性质：定增减，定交点，符号定象限； 平移规则：左加右减只对，上加下减对常数； 面积计算：交点求对，绝对值不漏； 实际应用：建模不忘范围，最值看增减。 5.素养提升关键 强化数形结合，用图象理解代数，用代数刻画图象； 熟练建模能力，把生活、几何、物理问题转为一次函数； 规范分类讨论，平移、面积、存在性不重不漏； 注重书写完整，范围、答句、单位缺一不可。 【同步练习】 一、单选题 1．下列各点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 2．若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 3．一次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点与都在直线上，则；③函数图象不经过第四象限．其中正确的说法是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．已知一次函数（、为常数，且）的图象不经过第三象限，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 5．某弹簧在不挂物体时的长度是．下表描述了在弹簧弹性限度内，弹簧长度与所挂物体的质量的对应关系．当所挂物体质量为时，弹簧长度为__________． 物体的质量 1 2 4 弹簧长度 15.5 16 17 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C，P在直线上运动，则的最小值为_______． 7．如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点A，B的坐标分别为，，将沿x轴向右平移，当线段扫过的面积为16时，点C落在直线上，则k的值为______． 8．已知正比例函数的图像经过第二、四象限，点、在该正比例函数的图像上，如果，那么________、（填“”、“”或“”） 三、解答题 9．学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”．如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系．根据下表，回答以下问题： 海拔高度h（千米） … 0 1 2 3 4 5 … 气温 … 20 14 8 2 … (1)由表可知，海拔高度每上升1千米，温度降低_____________摄氏度． (2)当海拔高度为h（千米）时，气温t为多少摄氏度？ (3)某飞机飞行高度11000米，请计算在该海拔高度的气温是多少？ 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x，y轴交于B，C两点，正比例函数的图像与L1交于点． (1)填空： ______， ______． (2)不等式的解集是______； (3)若点M是直线上的一个动点，连接，当的面积是面积的2倍时，直接写出符合条件的点M的坐标； 11．一次函数图象过点，，题目中的矩形部分是一段因墨水污染无法辨认的文字． (1)根据现有的信息，请求出题中的一次函数的解析式． (2)根据关系式画出这个函数图象． (3)过点A作直线将（为坐标原点）分成面积比为的两部分，请画出该直线，并求出所对应的函数关系式． 12．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠． 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x次，按照方案一所需费用为元，且，按照方案二所需费用为元，且，其函数图象如图所示． (1)求和b的值，并说明它们的实际意义； (2)求的值； (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身，请你根据他的健身次数给他选择哪种方案所需费更少？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $