2026年江苏省八年级下学期数学期末高频考点专题复习-四边形中的新定义与拓展探究问题 讲义

八年级下学期数学期末高频考点专题复习-四边形中的新定义与拓展探究问题 一、考点概述 1.题型特点 这类题目会先给出一个全新的四边形相关概念（如“垂美四边形”“等邻边四边形”），或一段与四边形性质相关的拓展材料，要求学生理解规则、结合已学的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，完成证明、计算、探究或结论拓展，本质是“新定义+几何综合”，核心仍是四边形的性质、全等三角形、勾股定理等基础知识点。 2.核心考查能力 （1）阅读理解与信息提取能力：读懂题目定义的新四边形规则、限制条件； （2）知识迁移与转化能力：将新定义问题转化为熟悉的平行/特殊四边形问题； （3）逻辑推理与证明能力：结合全等、相似、勾股定理等进行几何证明与计算； （4）分类讨论与探究能力：对不同情况（如点的位置、边的关系）进行分类讨论，探究结论的一般性。 二、解题核心步骤 1.精读定义，拆解关键条件圈出定义中的核心要素，比如“对角线互相垂直的四边形”“有一组邻边相等的四边形”，明确新定义四边形的判定标准。 2.“翻译” 规则，转化为几何语言将文字描述转化为图形、符号语言，画出示意图，标出已知条件和需要求证的结论。 3.结合基础知识点，搭建解题桥梁回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，以及全等三角形、勾股定理等工具，找到已知条件和结论之间的联系。 4.分情况讨论，验证探究结论对于拓展探究问题，要考虑点的不同位置、图形的不同形态，逐一分析，避免漏解；最后验证结论是否符合新定义的所有条件 三、易错提醒 1.误解新定义的核心条件：一定要区分“有一组邻边相等”和“两组邻边分别相等”、“对角线互相垂直”和“对角线互相垂直平分”的区别，避免扩大或缩小定义范围。 2.忽略分类讨论：拓展探究问题中，点的位置、边的关系可能存在多种情况，只考虑一种情况容易漏解。 3.不会结合基础知识点：新定义问题本质是基础知识点的变形，要主动联系全等三角形、勾股定理、特殊四边形的性质，不要被“新定义”吓到 考点一：与四边形有关的新定义问题 例1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧！我们定义∶有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”． 【定义理解】 (1)如图① ，已知四边形为等邻角四边形，且，求的度数． 【定义运用】 (2)如图② ，在五边形中，，对角线平分，求证∶四边形为等邻角四边形； 【定义拓展】 (3)如图③ ，在等邻角四边形中，．点P为边BC边上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N，在点P的运动过程中，的值是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，说明理由． 变式训练：（25-26八年级上·江苏南京·月考）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． (1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°、n°，若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为时，“接近度” ； ②当菱形的“接近度” 时，菱形就是正方形． (2)若我们将菱形的“接近度”定义为，则： ①当菱形的一个内角为时，“接近度” ； ②当菱形的“接近度” 时，菱形就是正方形． (3)小军同学仿照菱形的“接近度”的定义，给出了如下矩形的“接近度”的定义：设矩形相邻两条边长分别是a和b（），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．你认为他的定义 （填“合理”或“不合理”）． 考点二：与四边形有关的拓展探究问题 例2．（25-26八年级下·江苏·期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．等边的边延长线上有一动点，连接，以为边作等边，连接． 【初步感知】 （1）如图1，当点不与点重合时，兴趣小组探究得出结论： ①；②的度数是定值，请你写出他们的证明过程； 【深入探究】 （2）如图2，点是线段的中点，连接，猜想和的数量关系． 小明猜想：假设点刚好和点重合时，猜想出结论是：； 小红也提出了自己的想法：因为题设中提到了中点，所以想到添加中点构造辅助线进行转化．如图，是小红添加的辅助线，点，点，点分别是线段，，的中点，请你帮她继续完成证明过程． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，若等边的边长是，则点从点向右运动过程中，的最小值是．（直接写出答案，无需证明）    变式训练：（25-26八年级下·江苏·期中）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个边长分别为3和2的正方形按如图1所示的位置摆放，探究小正方形绕点A旋转过程中和的数量和位置关系．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点A顺时针旋转过程中（如图2所示），和满足什么数量关系？ (2)在旋转过程中继续探究和的关系，回答以下问题： ①探究和位置关系，请给出猜想，并证明结论； ②若连接和，当时，请算出四边形的面积； (3)在旋转过程中，是否为定值？若是，请直接写这个定值；若不是，请说明理由． 1．（25-26八年级下·江苏·期中）定义：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合等腰直角四边形定义的特殊四边形； (2)如图1，等腰直角四边形中，，．若，，请利用如图2的辅助线，求的长； (3)如图3，在矩形中，，，点P是对角线的中点，过点P作直线分别交边、于点E、F．当四边形是等腰直角四边形时，直接写出四边形的面积． 2．（24-25八年级下·江苏·期末）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）概念理解 如图1，在四边形中，添加一个条件使得四边形是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件______． （2）问题探究 如图2，已知，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接． ①四边形______（填“是”或“不是”）等邻边四边形； ②求线段的长度． （3）拓展应用 如图3，在等邻边四边形中，和为四边形的对角线，为等边三角形，试探究和的数量关系，并说明理由． 3．（25-26八年级下·江苏·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 4．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形．    (1)如图1，在平行四边形中，，是它的两条对角线，．请用题中矩形定义证明：平行四边形是矩形； (2)如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，将（2）中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，请说明理由． 5．（25-26八年级下·江苏·月考）我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图1，，则四边形为等邻角四边形．    (1)定义理解：以下平面图形中，一定是等邻角四边形的是______； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 (2)如图2，在四边形中，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连接，，且，求证：四边形为等邻角四边形； (3)如图3，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，猜想，，之间的数量关系？并请说明理由． 6．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）在学习了“特殊的平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题： (1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有_______（把所有正确的序号都填上）； ①“双直四边形”的对角线不可能相等： ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． (2)如图①，正方形中，点、分别在边、上，连接，，，，线段、于点O，若，证明：四边形为“双直四边形”； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上，且，在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”，若存在；请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 7.（24-25八年级下·江苏镇江·期中）阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形． (1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______； (2)如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________． 8．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）【阅读】如图1，四边形中，，，，，经过点的直线将四边形分成两部分，直线与所成的角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处，我们把这个操作过程记为． 【理解】若点与点重合，则这个操作过程为； 【尝试】 （1）若点与的中点重合，则这个操作过程为[_____，_____]； （2）若点恰为的中点（如图2），求的值； 【应用】经过操作，点落在点处，若点在四边形的边上，直线与相交于点，试画出图形并求出的值； 9．（25-26八年级下·江苏·期中）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）【概念阅读】：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为“友好点”；若再满足两个顶角和是，则称这个两个顶点关于这条底边互为“超级友好点”． 【概念理解】（1）如图1，在中，，，若点与关于互为超级友好点，则_____ 【实践操作】（2）如图2，长方形，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为超级友好点．（不用证明，不写作法，保留作图痕迹） 【思维探究】（3）如图3，在长方形中，，，点是直线上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为超级友好点，直线与直线交于点，在点运动过程中，当线段与线段的长度相等时，求的长．     11．（25-26八年级下·江苏·月考）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． (1)【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． (2)【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由． ②若，试求出正方形的面积． 12．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下． (1)【操作判断】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上取一点，沿着折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，如图1，当点落在上，则_______°； (2)【迁移探究】 小敏同学将矩形纸片换成边长为5的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点在上，延长交于点，如图2． ①求证：； ②求的长度． (3)【拓展应用】 小敏在（2）的操作基础上继续探究，连接，当点落在上，如图3，过点作于点，求的长度． 13．（24-25八年级下·江苏南通·月考）综合与探究 问题呈现： “智想”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解决，如图1，在正方形的边上任取一点E，以为边在与正方形的同侧作正方形． 探究结论： （1）连接，则与的数量关系是______，位置关系是______； 探究发现： （2）如图2，在图1的基础上连接，作的中点M，连接，判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 探究拓展： （3）“智慧”数学小组把“边上任取一点E”改成了“边的延长线上任取一点E”，其余条件不变，请在图3中补全图形，并直接写出与的数量关系和位置关系． 14．（25-26八年级下·江苏·期中）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 15．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）在学习正方形时，我们遇到过这样的问题：如图，在正方形中，点、、、分别在、、、上，且，垂足为，那么与相等吗？分别过点、作、，垂足分别为、，通过证明，得到． 根据阅读材料，完成下面探究1、探究2中的问题． 【探究1】 如图2，在正方形中，点在上，使用无刻度的直尺和圆规作，交于点（要求直尺、圆规各使用一次），保留作图痕迹，并标出点，不要求写作法； 【探究2】 如图3，在正方形中，点、分别在、上，将正方形沿着翻折，点、分别落在、处，且经过点，将纸片展开，延长交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由． 16．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）综合与实践：平行四边形纸片的折叠 (1)探究1：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为，延长交于点．求证：． (2)探究2：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处．猜想，之间的数量关系，并证明． (3)探究3：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在线段上，过点作，交延长线于点，其中，，，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期数学期末高频考点专题复习-四边形中的新定义与拓展探究问题 一、考点概述 1.题型特点 这类题目会先给出一个全新的四边形相关概念（如“垂美四边形”“等邻边四边形”），或一段与四边形性质相关的拓展材料，要求学生理解规则、结合已学的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，完成证明、计算、探究或结论拓展，本质是“新定义+几何综合”，核心仍是四边形的性质、全等三角形、勾股定理等基础知识点。 2.核心考查能力 （1）阅读理解与信息提取能力：读懂题目定义的新四边形规则、限制条件； （2）知识迁移与转化能力：将新定义问题转化为熟悉的平行/特殊四边形问题； （3）逻辑推理与证明能力：结合全等、相似、勾股定理等进行几何证明与计算； （4）分类讨论与探究能力：对不同情况（如点的位置、边的关系）进行分类讨论，探究结论的一般性。 二、解题核心步骤 1.精读定义，拆解关键条件圈出定义中的核心要素，比如“对角线互相垂直的四边形”“有一组邻边相等的四边形”，明确新定义四边形的判定标准。 2.“翻译” 规则，转化为几何语言将文字描述转化为图形、符号语言，画出示意图，标出已知条件和需要求证的结论。 3.结合基础知识点，搭建解题桥梁回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，以及全等三角形、勾股定理等工具，找到已知条件和结论之间的联系。 4.分情况讨论，验证探究结论对于拓展探究问题，要考虑点的不同位置、图形的不同形态，逐一分析，避免漏解；最后验证结论是否符合新定义的所有条件 三、易错提醒 1.误解新定义的核心条件：一定要区分“有一组邻边相等”和“两组邻边分别相等”、“对角线互相垂直”和“对角线互相垂直平分”的区别，避免扩大或缩小定义范围。 2.忽略分类讨论：拓展探究问题中，点的位置、边的关系可能存在多种情况，只考虑一种情况容易漏解。 3.不会结合基础知识点：新定义问题本质是基础知识点的变形，要主动联系全等三角形、勾股定理、特殊四边形的性质，不要被“新定义”吓到 考点一：与四边形有关的新定义问题 例1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧！我们定义∶有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”． 【定义理解】 (1)如图① ，已知四边形为等邻角四边形，且，求的度数． 【定义运用】 (2)如图② ，在五边形中，，对角线平分，求证∶四边形为等邻角四边形； 【定义拓展】 (3)如图③ ，在等邻角四边形中，．点P为边BC边上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N，在点P的运动过程中，的值是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值为定值，定值为． 【分析】（1）根据“等邻角四边形”的定义，再结合已知条件和四边形内角和定理求解即可； （2）根据两直线平行，内错角相等，再结合角平分线的定义和“等邻角四边形”的定义证明即可． （3）作垂足为Q，作垂足为R，易得四边形是矩形可得且，再证明可得，进而得到，再利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为等邻角四边形，且， ∴、均不可能与、中的任意一个角相等，否则总内角和大于． ∴． ∵， ∴， 解得：． （2）证明：∵， ∴， ∵对角线平分， ∴． ∴． ∴四边形为等邻角四边形． （3）解：的值是定值，定值为． 如图，作垂足为Q，作垂足为R， ∵， ∴四边形是矩形． ∴且， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ 在点P的运动过程中，的值为定值． 变式训练：（25-26八年级上·江苏南京·月考）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． (1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°、n°，若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为时，“接近度” ； ②当菱形的“接近度” 时，菱形就是正方形． (2)若我们将菱形的“接近度”定义为，则： ①当菱形的一个内角为时，“接近度” ； ②当菱形的“接近度” 时，菱形就是正方形． (3)小军同学仿照菱形的“接近度”的定义，给出了如下矩形的“接近度”的定义：设矩形相邻两条边长分别是a和b（），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．你认为他的定义 （填“合理”或“不合理”）． 【答案】(1)①30；②0 (2)①；②1 (3)不合理 【分析】（1）①②根据菱形的“接近度”定义，越小，菱形就越接近正方形，解答即可； （2）①②根据菱形的“接近度”定义为，解答即可； （3）根据矩形的“接近度”定义为，只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形，进行说明． 【详解】（1）解：①∵内角为， ∴与它相邻内角的度数为． ∴菱形的“接近度”， 故答案为：30； ②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形， 故答案为：0； （2）解：若我们将菱形的“接近度”定义为，则： ①当菱形的一个内角为时，“接近度”； 故答案为：； ②当菱形的“接近度”时，菱形就是正方形， 故答案为：1； （3）解：不合理，理由如下： ∵越接近1，矩形越接近于正方形； ∴当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形， 故答案为：不合理． 考点二：与四边形有关的拓展探究问题 例2．（25-26八年级下·江苏·期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．等边的边延长线上有一动点，连接，以为边作等边，连接． 【初步感知】 （1）如图1，当点不与点重合时，兴趣小组探究得出结论： ①；②的度数是定值，请你写出他们的证明过程； 【深入探究】 （2）如图2，点是线段的中点，连接，猜想和的数量关系． 小明猜想：假设点刚好和点重合时，猜想出结论是：； 小红也提出了自己的想法：因为题设中提到了中点，所以想到添加中点构造辅助线进行转化．如图，是小红添加的辅助线，点，点，点分别是线段，，的中点，请你帮她继续完成证明过程． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，若等边的边长是，则点从点向右运动过程中，的最小值是．（直接写出答案，无需证明）    【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）①根据等边三角形的性质，得出，，进而可得，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； ②根据①的结论得出，进而根据等边三角形的性质，得出，即可求解． （2）①假设点刚好和点重合时， 则，根据等边三角形的性质，即可求解； ②如图3所示，点，点，点分别是线段，，的中点，证明，根据三角形的中位线的性质，得出，即可得出结论； （3）当时，最小，而，则当最小时取得最小值，根据勾股定理以及含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵等边，， ∴，， ∴， ∴ ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴； （2）①如图所示，假设点刚好和点重合时， 则， ∴ 故答案为：． ②如图3所示，点，点，点分别是线段，，的中点， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵分别为的中点， ∴ ∴； （3）由（1）②可得，则在射线上， ∴当时，最小，而，则当最小时取得最小值， 在中，， 则， ∴， ∴； 变式训练：（25-26八年级下·江苏·期中）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个边长分别为3和2的正方形按如图1所示的位置摆放，探究小正方形绕点A旋转过程中和的数量和位置关系．小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点A顺时针旋转过程中（如图2所示），和满足什么数量关系？ (2)在旋转过程中继续探究和的关系，回答以下问题： ①探究和位置关系，请给出猜想，并证明结论； ②若连接和，当时，请算出四边形的面积； (3)在旋转过程中，是否为定值？若是，请直接写这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② (3)的值为定值26 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）①令相交于点O，连接，根据全等得出，根据三角形的内角和定理，即可得出结论；②易得，根据的面积推出，即可求解； （3）根据勾股定理可得，，即可推出，即可求解． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵四边是正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①令相交于点O，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴的面积 ． （3）解：∵正方形边长分别为3，2， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∴的值为定值26． 1．（25-26八年级下·江苏·期中）定义：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合等腰直角四边形定义的特殊四边形； (2)如图1，等腰直角四边形中，，．若，，请利用如图2的辅助线，求的长； (3)如图3，在矩形中，，，点P是对角线的中点，过点P作直线分别交边、于点E、F．当四边形是等腰直角四边形时，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)正方形 (2) (3)或 【分析】（1）根据等腰直角四边形定义求解即可； （2）如图所示，过点C作交于点D，证明出，得到，，证明出是等腰直角三角形，求出，得到，进而求解即可； （3）分，，，四种情形讨论求解即可． 【详解】（1）解：符合等腰直角四边形定义的特殊四边形可以为正方形； （2）解：如图所示，过点C作交于点D， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， 如图，连接，当时，四边形是等腰直角四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴四边形的面积； 如图，连接，当时，四边形是等腰直角四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴四边形的面积； 如图，连接，当时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴此时，四边形不是等腰直角四边形， 同理可得当时，四边形不是等腰直角四边形； 综上可得，四边形的面积为或． 2．（24-25八年级下·江苏·期末）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）概念理解 如图1，在四边形中，添加一个条件使得四边形是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件______． （2）问题探究 如图2，已知，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接． ①四边形______（填“是”或“不是”）等邻边四边形； ②求线段的长度． （3）拓展应用 如图3，在等邻边四边形中，和为四边形的对角线，为等边三角形，试探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）或或或任写一个即可； （2）①是；②； （3），见解析 【分析】（1）根据新定义，添加一组邻边相等即可求解． （2）由旋转可得：，则四边形是等邻边四边形；②过点D作于点H，通过证明为等边三角形，推出，则，，进而得出， 最后根据勾股定理即可求解； （3）过作，且，连接，，证明为等边三角形，，进而根据等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，或或或任写一个即可； （2）①由旋转可得：， ∴四边形是等邻边四边形； 故答案为：是； ②过点D作于点H， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：； （3） 过作，且，连接，，   ， ， 又，为等边三角形， ， ，， ， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， ，， ∴， ， ． 3．（25-26八年级下·江苏·期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是正方形，；②周长的最小值为 【分析】（1）由旋转可得，由全等三角形的性质则可得四边形符合“直等补”四边形的条件，因而问题解决； （2）①由已知可得四边形是矩形，现证明，则易得是正方形；设，由勾股定理建立方程即可求得x的值； ②作点C关于的对称点H，连接，交于点N，则当M与N重合时，的周长最小，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， 又绕B点旋转得到，且与重合， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）解：①∵，， ∴； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， 即， ∴四边形是矩形； ∴； 即， ∴； 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ∴； ②如图，作点C关于的对称点H，连接，交于点N， 则， ∵， ∴当M与N重合时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵的周长为， ∴的周长最小值为； ∵， ∴由勾股定理得：， ∴周长的最小值为． 4．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形．    (1)如图1，在平行四边形中，，是它的两条对角线，．请用题中矩形定义证明：平行四边形是矩形； (2)如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，将（2）中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论仍然成立，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明和全等，根据全等三角形对应角相等即可得证； （2）连接，根据点是的中点以及翻折的性质可以求出,然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （3）利用平行四边形的性质，首先得出， ，进而得出，再推出,即可得出结论． 【详解】（1）四边形是平行四边形， . 在和中， 平行四边形是矩形． （2）． 理由如下：如下图，连接，    ∵是的中点， ∴， ∵沿折叠后得到， ∴， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （3）（2）中的结论仍然成立． 证明：如下图，连接，    ∵是的中点， ∴， ∵将沿折叠后得到， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形为平行四边形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 即（2）中的结论仍然成立． 5．（25-26八年级下·江苏·月考）我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图1，，则四边形为等邻角四边形．    (1)定义理解：以下平面图形中，一定是等邻角四边形的是______； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 (2)如图2，在四边形中，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连接，，且，求证：四边形为等邻角四边形； (3)如图3，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，猜想，，之间的数量关系？并请说明理由． 【答案】(1)②④ (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据等邻角四边形的定义即可直接得出答案； （2）连接，证明，得出，从而得到，，即可证明四边形为等邻角四边形； （3）过点P作，证明得到，再由矩形得到，即可得出． 【详解】（1）解：∵矩形和正方形都有一组邻角相等， ∴矩形和正方形是等邻角四边形， 故答案是：②④； （2）证明：连接，    ∵垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为等邻角四边形． （3），理由如下： 过点P作，垂足为F，    ∵， ∴， ∴， ∵四边形为等邻角四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 即． 6．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）在学习了“特殊的平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题： (1)下列关于“双直四边形”的说法，正确的有_______（把所有正确的序号都填上）； ①“双直四边形”的对角线不可能相等： ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． (2)如图①，正方形中，点、分别在边、上，连接，，，，线段、于点O，若，证明：四边形为“双直四边形”； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上，且，在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”，若存在；请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②③ (2)证明见解析 (3)存在，点的坐标或 【分析】（1）由“双直四边形”的定义依次判断即可． （2）设的交点为点，先根据SAS证明    ，于是得，再证明，即可得 ，由此得四边形为“双直四边形”． （3）先求出的解析式，再分三种情况讨论：，，，分别求出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：∵正方形是“双直四边形”，正方形的对角线相等． 故①不正确． ∵“双直四边形”的对角线互相垂直， ∴“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半． 故②正确． ∵中心对称的四边形是平行四边形，对角线互相垂直且有一个角是直角的平行四边形是正方形． ∴若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． 故③正确． 故答案为：②③； （2）证明：如图，设与的交点为， ∵四边形是正方形， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ，     ∴四边形为“双直四边形”． （3）解：假设存在点在第一象限，使得四边形为“双直四边形”． 如图，设的交点为 ∵，， ， 即， ， 解得， ， 是的中点， ， 设直线的解析式为则      解得      ∴直线的解析式为     设， ①当时，则， ， 则； ②当时， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 此时点坐标还是； ③当时， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ∵，， ∴， ∴， 整理得， ， 当时，， 此时在第四象限，不符合题意． 当时，， 此时在第一象限，符合题意． 综上，或． 7.（24-25八年级下·江苏镇江·期中）阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形． (1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______； (2)如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________． 【答案】(1)鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等； (2)见解析 (3) 【分析】（1）在和中，即可得出结论； （2）连接相交于点，由（1）可得，由四边形是平行四边形，可得．再证出，然后得出平行四边形是菱形即可； （3）连接与相交于点，设相交于点，由勾股定理得出，再求出，再求出，再由面积法求出，即可求解． 【详解】（1）解：垂直平分， ， 在和中， ， ， ，， 即：鹞形的一条对角线平分一组对角，鹞形的一组对角相等； 故答案为：鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等； （2）证明：如图，连接相交于点， 由（1）可得， 四边形是平行四边形， ． ． ， 四边形是菱形； （3）解：如图，连接与相交于点，设相交于点， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）【阅读】如图1，四边形中，，，，，经过点的直线将四边形分成两部分，直线与所成的角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处，我们把这个操作过程记为． 【理解】若点与点重合，则这个操作过程为； 【尝试】 （1）若点与的中点重合，则这个操作过程为[_____，_____]； （2）若点恰为的中点（如图2），求的值； 【应用】经过操作，点落在点处，若点在四边形的边上，直线与相交于点，试画出图形并求出的值； 【答案】尝试（1），16；（2）应用：见解析，14 【分析】本题考查了翻折（折叠）变换、全等三角形、等腰直角三角形等知识点，解题关键是正确理解题目给出的变换的定义，并能正确运用折叠的性质．注意数形结合思想的应用． 尝试 （1）如图1所示，若点D恰为的中点，证明，进而得到，，可得结论； （2）如图2所示，若点D恰为的中点，作辅助线，证明，得，根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，所以，则，可得结论； 应用 如图3，作辅助线，根据点B与点E关于直线l对称，知，证明四边形是平行四边形，得，，可得的值，即a的值． 【详解】解：（1）点D与的中点重合，如图1， 由折叠得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， 则这个操作过程为； 故答案为：，16； （2）延长，交于点N，如图2． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴根据线段垂直平分线的性质可得， ∴根据等腰三角形的性质可得． 由折叠可得， ∴， ∴； 应用 解：过点B作于点H，如图3． ∵， ∴． ∵点B与点E关于直线l对称， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∴a的值为14． 9．（25-26八年级下·江苏·期中）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，线段有最大值，最大值为． 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系、旋转的性质属于综合题． 将绕点顺时针旋转得到，根据正方形的性质可知，因为，可得：； 过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，可证，根据全等三角形的性质可得，可以求出，根据勾股定理可得：，即可求出；     将绕点逆时针旋转得线段，连接、，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可证，当、、三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ； 故答案为：；                    解：如下图所示，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，     ，，，， 直角梯形中，（），，， ， 四边形是正方形，，， 点与重合，、、三点共线，                    ， 由可知， 在和中，， （）， ，                                          ， ， ，， ， 在中，， ， 解得：；                                      当时，线段有最大值，               如下图所示，将绕点逆时针旋转得线段，连接、， 是等腰直角三角形，， ， ，              四边形是正方形， ，， ，即， 在和中，， ， ，                                 当有最大值时，有最大值， ，， 当、、三点共线时，有最大值， 最大值为， ， 此时， 当时，线段有最大值，最大值为． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）【概念阅读】：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为“友好点”；若再满足两个顶角和是，则称这个两个顶点关于这条底边互为“超级友好点”． 【概念理解】（1）如图1，在中，，，若点与关于互为超级友好点，则_____ 【实践操作】（2）如图2，长方形，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为超级友好点．（不用证明，不写作法，保留作图痕迹） 【思维探究】（3）如图3，在长方形中，，，点是直线上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为超级友好点，直线与直线交于点，在点运动过程中，当线段与线段的长度相等时，求的长．     【答案】（1）或；（2）作图见解析；（3）或或 【分析】（1）根据“超级友好点”的定义即可即可得到结论； （2）以为圆心，为半径画弧交于，连接，作的角平分线交于，点，点即为所作； （3）分四种情形：①当，点在线段上时；②当（点在线段的延长线上）时，此时点与重合；③当，点在线段的延长线上时；④当（点在线段的延长线上）时，此时点与重合，分别求解即可解决问题． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵点与关于互为超级友好点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 当点，在的同侧时， ； 当点，在的异侧时， ； 综上所述，或， 故答案为：或；    （2）如图，点，点即为所作； （3）① 如图，点在线段上时，连接，设， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∵点与点关于互为超级友好点， ∴，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； ② 如图，（点在线段的延长线上），此时点与重合； ③ 如图，点在线段的延长线上时，连接，设， ∵点与点关于互为超级友好点， ∴，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， 即； ④ 如图，（点在线段的延长线上），此时点与重合； 综上所述，满足条件的值为或或． 11．（25-26八年级下·江苏·月考）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． (1)【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． (2)【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由． ②若，试求出正方形的面积． 【答案】(1)钝角三角形；证明见详解 (2)①直角三角形；证明见详解；②S四边形ABCD= 【分析】（1）根据等边三角形性质得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再证△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC为钝角三角形即可； （2）①以、、为边的三角形是直角三角形，连结CG，根据正方形性质，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再证△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可证△AGC为直角三角形即可；②连结BD，根据勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵△ABC与△EBD均为等边三角形， ∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°， ∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC， ∴∠EBA=∠DBC， 在△EBA和△DBC中， ， ∴△EBA≌△DBC（SAS）， ∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD， ∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°， ∴△ADC为钝角三角形， ∴以、、为边的三角形是钝角三角形． （2）证明：①以、、为边的三角形是直角三角形． 连结CG， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB， ∵EG为正方形的对角线， ∴∠BEA=∠BGE=45°， ∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°， ∴∠EBA=∠GBC， 在△EBA和△GBC中， ， ∴△EBA≌△GBC（SAS）， ∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°， ∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°， ∴△AGC为直角三角形， ∴以、、为边的三角形是直角三角形； ②连结BD， ∵△AGC为直角三角形，， 由（2）可知，AE=CG， ∴AC=， ∴四边形ABCD为正方形， ∴AC=BD=， ∴S四边形ABCD=． 12．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下． (1)【操作判断】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上取一点，沿着折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，如图1，当点落在上，则_______°； (2)【迁移探究】 小敏同学将矩形纸片换成边长为5的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点在上，延长交于点，如图2． ①求证：； ②求的长度． (3)【拓展应用】 小敏在（2）的操作基础上继续探究，连接，当点落在上，如图3，过点作于点，求的长度． 【答案】(1)30 (2)①证明见解析；② (3) 【分析】（1）由折叠可知垂直平分，，，连接，易证是等边三角形，所以； （2）①连接，证明，即可得到；②由（1）可求得，则，则，则，设，则，由勾股定理求得的值，即可求出的长度； （3）连接，可得与都是直角三角形，在中，由勾股定理求得，则，过点作，可得四边形是矩形，设，则，，在与中，根据勾股定理列方程，求出的值，即可求出的长度． 【详解】（1）解：如图①，连接， 由折叠可知垂直平分，，， ∵． ． 是等边三角形． ． ． （2）解：①证明：如图②，连接， 由折叠可知：，， ． ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ∴． ． ②由（1）得， ． ． ， ． ． 在中，， 设，则， 由勾股定理得：，即，解得， ， ． （3）解：如图③，连接， 由题可得与都是直角三角形， 在中，由勾股定理得，， ． 过点作，则四边形是矩形， 设，则，， 在与中，由勾股定理得， ， 即，解得， ． 13．（24-25八年级下·江苏南通·月考）综合与探究 问题呈现： “智想”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解决，如图1，在正方形的边上任取一点E，以为边在与正方形的同侧作正方形． 探究结论： （1）连接，则与的数量关系是______，位置关系是______； 探究发现： （2）如图2，在图1的基础上连接，作的中点M，连接，判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 探究拓展： （3）“智慧”数学小组把“边上任取一点E”改成了“边的延长线上任取一点E”，其余条件不变，请在图3中补全图形，并直接写出与的数量关系和位置关系． 【答案】（1），；（2），；（3），． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，三角形中位线的性质等，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据“”证明≌，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）延长，使，再根据“”证明，可得，，然后根据三角形内角和定理判断，再根据三角形中位线的性质得出答案； （3）仿照（2）解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：，， 证明：如图：延长到N，使，连接交于点Q，交于点P． ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴，． 在中，， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵点M是的中点，． ∴是的中位线． ∴， ∴，， 故答案为：，； （3）解：补全如图： 结论为：，， 延长到N，使，连接交于点Q，交于点P． ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴，． 在中，， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵点M是的中点，． ∴是的中位线． ∴， ， ∴，． 14．（25-26八年级下·江苏·期中）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 15．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）在学习正方形时，我们遇到过这样的问题：如图，在正方形中，点、、、分别在、、、上，且，垂足为，那么与相等吗？分别过点、作、，垂足分别为、，通过证明，得到． 根据阅读材料，完成下面探究1、探究2中的问题． 【探究1】 如图2，在正方形中，点在上，使用无刻度的直尺和圆规作，交于点（要求直尺、圆规各使用一次），保留作图痕迹，并标出点，不要求写作法； 【探究2】 如图3，在正方形中，点、分别在、上，将正方形沿着翻折，点、分别落在、处，且经过点，将纸片展开，延长交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】[探究1]见解析；[探究2]（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： [探究1]以为圆心，为半径画弧，交于，连接即可； [探究2]（1）利用翻折的性质和证明，然后利用全等三角形的性质即可得证； （2）连接，过F作于N，可得四边形是矩形，得出，，，，利用翻折的性质，等边对等角以及外角的性质可得，进而得出，从而得出，类似材料中的思路可证得，得出，即可得出答案． 【详解】[探究1]解：如图，即为所求，    ∵四边形是正方形， ∴，，， 由作图知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； [探究2]（1）证明：∵翻折， ∴，， 又， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接，过F作于N，则四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， 又， ∴， ∵翻折， ∴， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 又，， ∴． 16．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）综合与实践：平行四边形纸片的折叠 (1)探究1：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为，延长交于点．求证：． (2)探究2：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处．猜想，之间的数量关系，并证明． (3)探究3：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在线段上，过点作，交延长线于点，其中，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，根据折叠得出，等量代换得出，等边对等角即可得证； （2）取的中点，连接，则是的中位线，得出，即可得证； （3）勾股定理求得，同（1）的方法证明，在中，勾股定理求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为，延长交于点， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 如图，取的中点，连接， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形，，， ， ∴，，， ∵，， 在中，， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $