2026年中考数学临考冲刺卷九年级数学（广州专用）

2026年中考数学临考冲刺卷（广州专用） 九年级数学 （满分120分，完卷时间120分钟） 一、单选题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．在，0，，，，0.2020020002，中，无理数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．下列几何体中，可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 4．一元二次方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相同的实数根 C．有两个不同的实数根 D．无法判断 5．为直观反映某种股票的涨跌情况，最合适的为（    ） A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．统计表 6．把直线向下平移n个单位长度后，与直线的交点在第四象限，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．不确定 8．如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 9．如图，在扇形中，，点是的中点，点、分别为半径，上的动点．若，则周长的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 10．抛物线经过点、、．则下列说法正确的是（   ） A．顶点可能在第一象限 B．若，则顶点在第三象限 C．顶点不可能在第二象限 D．若，则顶点在第四象限 二、填空题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．如果，那么的邻补角等于 _____． 12．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，若，则△BDE与四边形ADEC的面积比是______． 13．若代数式有意义，则m的取值范围是________． 14．如图，中，，，若，，则的长度为____． 15．二次函数的图像的顶点坐标是___________. 16．如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是_______． 三、解答题（本大题共9题，满分72分） 17．（本题6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 18．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 19．（本题6分）如图，为等边三角形，点在边上，过点作，且． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 20．（本题6分）某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位应试者进行了笔试和面试，他们各自成绩 (百分制)如下表所示.    应试者 笔试 面试 甲 85 75 乙 60 95 (1)如果公司认为笔试和面试同等重要，从他们的成绩看，被录取的是________； (2)如果公司认为，作为公关人员面试应该比笔试更重要，按笔试成绩占，面试成绩占，计算应试者的平均成绩(百分制)，谁将被录取？ 21．（本题8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于、两点，点，点． (1)求一次函数的解析式，并画出一次函数的图象； (2)结合图象，请直接写出关于x的不等式的解集：___________； (3)点P是x轴上的一个动点，若，求点的坐标． 22．（本题8分）重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶900个销售．工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工45个，又加工了4天才完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前4天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 23．（本题10分）综合与实践 在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． (1)【初步思考】 若点落在矩形的边上（如图）． ①当点与点重合时，___________； ②当点与点重合时，___________． (2)【深入探究】 当点在上，点在上时（如图）， ①求证：四边形为菱形； ②当时，求的长． (3)【拓展延伸】 若点为动点，点为的中点，直接写出的最小值． 24．（本题10分）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图． 【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题： （3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值． （4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 25．（本题12分）【模型再现】 （1）如图1，四边形中，，为对角线，． ①求证：平分； ②若，，则________； 【模型应用】 （2）如图2．四边形中，，为对角线，，E为的中点，连接、，与交于点F．若，，求的值； 【模型拓展】 （3）如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上，用无刻度的直尺作图．在图3中上画出点F（点F不与点C重合），使．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考数学临考冲刺卷（广州专用) 九年级数学 (满分120分，完卷时间120分钟) 一、单选题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A B C B B 二、填空题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 9 11.120120度：12.8；13.m≥-1且m≠1：14.5：15.(1，：16. 6-25≤t≤6+25 三、解答题（本大题共9题，满分72分) 17.(本题6分) 【详解】解不等式①得2x-3<5,2x<8,x<4, 解不等式②得3x+1≥-2,3x≥-3，x≥-1， 故不等式组的解集为：-1≤x<4. 数轴表示如下： -5-4-3-2-101234 18.(本题6分) 【详解】解：4+2 a-2a2-2a+1a-1 =a-1.(a+2a-2),2 十 Γa-2 (a-12a-1 =0+22 a-1a-1 a+4 a-1, 答案第1页，共2页 3+47 当a=3时，原式=3-12 19.(本题6分) 【详解】(1)证明：：△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠BAC=∠ACD=60°， :BE∥AC, ∴.∠ABE=∠BAC, .∠ABE=∠ACD, 在△ABE和△ACD中， AB=AC ∠ABE=∠ACD BE=CD :△ABE≌△ACD(SAS) (2)解：△ADE为等边三角形，理由如下： ,△ABE≌△ACD, .AE=AD,∠BAE=∠CAD, ∴.∠DAE=∠BAC=60°， ∴.△ADE为等边三角形. 20.(本题6分) 【详解】(1)根据题干：笔试与面试同等重要，甲方的平均成绩为： (85+75)÷2=160÷2=80 ,乙方平均成绩为： (60+95)÷2=155÷2=77.5 ∴.甲方平均成绩大于乙方，被录取是甲方. (2)甲的平均成绩：85×40%+75×60%=79（分）， 乙的平均成绩：60×40%+95×60%=81（分）， 因为81>79，所以乙将被录取. 【点晴】此题考查了算术平均数、加权平均数，熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算 方法是解答此题的关键。 21.(本题8分) 【详解】(1)解：将点C2,4代入y= 答案第2页，共2页 得4=2x4=8 ·反比例函数解析式为y=8 将点D(m,-2到代入y= ，得ms 24, :D-4-2 将C24,D川-4，-2到，代入=4x+b得， 4=2k+b -2=-4k+b, k=1 解得b=2, y=x+2 .一次函数解析式为 画出一次函数图象如图， -8-6-42O2.4.68.+. (2)解：C(24,D-42 根据函数图象可得：当-4或0<<2时，+b<生 答案第3页，共2页 关于的不等式+6车的解集为：-4或0<2 故答案为：x<-4或0<x<2: (3)解：如图， 设直线CD交y轴于点A, 8 6 -81-6-42O2 由y=x+2,令x=0,解得y=2, 0,2) .S.coD A4k-5动-26=6， 2 3 SAcOP= 2×6=9 2 设P,0 ÷8k429=9, 解得t=±4.5， :P-4.5,0或P4.50 22.(本题8分) 【详解】(1)解：设甲车间增加工人后每天加工玩偶x个，则增加前每天加工 x-45个， 答案第4页，共2页 4x=900-5(x-45) 由题意得： 解得：x=125 .增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为125个： (2)解：设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为)个，则改进技术后每天加工玩偶 1+ 的个数为 4 个 2000 1000 1000 -4= 由题意得： y y 1 解得：y=50, 经检验，y=50是原方程的解， ∴.乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为50个. 23.(本题10分) 【详解】(1)解：①当点P与点A重合时，E为AD的中点，F为CB的中点， .CF-CD-3 故答案为：3； ②当点E与点A重合时，如图， 0 F A(E) B 由折叠可得，DF=AD=6, :CD=AB=10」 .CF=10-6=4, 故答案为：4： (2)①证明：点D的对应点记为点P,折痕为EF, .DO=PO,EF⊥PD ,四边形ABCD是矩形， DC∥AB, 答案第5页，共2页 .∴.∠FDO=∠EPO :∠DOF=LEOP, ∴.△DOF≌△POE ASA :.DF=PE, DF∥PE, .四边形DEPF是平行四边形， EF⊥PD .oDEPF为菱形： ②解：当AP=8时，设菱形的边长为x,则DE=EP=x, .AE=8-x, 在RtAADE中，由勾股定理得，AD+AE2=DE2, 6+8-x)2=x2 25 4’ .DE=EP=25 .当AP=8时， AD=6, .DP=VAD2+AP2=V62+82=10 :.OD=IDP=5 Γ2 ∴OE=VDE2-OD 25 4 515 , EF=20E=15 (3)解：如图，连接AF, :点F为DC的中点， :DF=CF=CD=5, 2 在RtAADF中，，∠D=90,AD=6, 答案第6页，共2页 B..AF=AD2+DF2=62+52=61 .PF=DF=5, AP≥AF-PF=V6I-5 的最小值是V6-5. 24.(本题10分) 【详解】解：(1)根据坐标系可知此函数顶点坐标 5,625，且图象过0,0点， 代入顶点式得：y=ax-5到'+6.25 .0=a0-5+6.25 解得：a=-0.25, y=-0.25(x-52+6.25 (2)厢式货车能顺利通过隧道，理由如下： 当宽3m、高3.5m的厢式货车从隧道驶过时， .5-3-2m, ·x=2代入解析式得：y=-0.25×2-5到2+6.25=4 ∴.4-3.5=0.5m, ∴厢式货车能顺利通过隧道： (3)假设10=m,可得B=(10-2m 4D=-0.25(x-5)}2+6.25(m. :矩形ABCD的周长为l, :1=2-0.25(x-5)}2+6.25+2(10-2x=-0.5x2+x+20=-0.5x-12+20.5 答案第7页，共2页 ∴.当x=1时，1的最大值为：20.5m; (4)在(3)的条件下，当矩形ABCD周长最大时，x=1,y=-0.25(1-5+6.25=2.25 AB=CD=8m, :D12.25)C49,2.25 过点P作PM⊥DC于点M, P5,6.25) :DM=MC=DC=4m,P-625-225=4m .∠PDM=45°DP=V2MP=4W2m 如图，分以下三种情况： P B ∠DPC,=90° DC DC=8m 当1 时，根据旋转的性质得 由勾股定理得CP=VDC-DP2=4V2m DP=CP .∠PDC1=45° :a=∠CDC=45+45°=90° 当<PDC,=90 时，=∠CDC,=45°+90°=1350 答案第8页，共2页 当∠PDC=90°时，a=360-∠CDC,=360°-∠PDC,-∠PDC)=360°-450=315° 综上所述，旋转角a的度数为90°或135°或315° 25.(本题12分) AD DC 【详解】(1)①证明：：∠ADC=∠ACB'ACCB, ∴.△ADC∽△ACB, ∴.∠DAC=∠CAB, .AC平分∠DAB; 解：②△ADC∽△ACB, 60 AC=ABxAD .AC=8,AB=14, .64=14AD, ·D=32 7 32 故答案为：7； (2)解：∠ACB=90°，点E为AB的中点， .AB=2CE=10, .AC=AB2-BC2 =8 .△ADC∽△ACB, 6 、>A=64 AB10 由(1)知∠DAC=∠EAC, CE=AE, ∴.∠ECA=∠EAC, ∴.∠DAC=∠ECA, 答案第9页，共2页 ,∠AFD=∠CFE ∴.△AFD∽△CFE, DF AD 6.4 32 EF=CE525· (3)解：如图，点F即为所作 G FA H B 答案第10页，共2页 2026年中考数学临考冲刺卷（广州专用） 九年级数学 （满分120分，完卷时间120分钟） 一、单选题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．在，0，，，，0.2020020002，中，无理数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，立方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数。 【详解】解：：分数，属于有理数， ：整数，属于有理数， ：非完全平方数的平方根，属于无理数， ：无限不循环小数，属于无理数， ：立方根结果为，属于有理数， ：有限小数，属于有理数， ：分数，属于有理数， 综上，无理数有和，共2个， 故选：C． 2．下列几何体中，可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立体几何的定义及性质解题即可． 【详解】解：B选项能够通过长方形绕着长边旋转一周可得， 故选B． 【点睛】本题主要考查立体几何的初步认识，能够熟练分辨哪个立体图形能够通过旋转得到是解题关键． 3．下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的乘方运算，同底数幂的乘除法法则，合并同类二次根式的法则依次判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，故该选项不符合题意； B、，计算正确，故该选项不符合题意； C、，计算正确，故该选项不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘除法法则，合并同类二次根式的法则，熟练掌握相关法则是解题关键． 4．一元二次方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相同的实数根 C．有两个不同的实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程无实数根，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 5．为直观反映某种股票的涨跌情况，最合适的为（    ） A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．统计表 【答案】C 【分析】扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；统计表以表格形式，能体现很大的信息量，且有很强的分类、比较的功能． 【详解】根据题意，要直观反映某种股票的涨跌情况，即变化情况，结合统计图各自的特点，应选择折线统计图， 故选：C． 【点睛】此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点，熟记它们各自特点和应用场景是解题关键． 6．把直线向下平移n个单位长度后，与直线的交点在第四象限，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线y＝﹣x+4向下平移n个单位长度后可得：y＝﹣x+4﹣n，求出直线y＝﹣x+4﹣n与直线y＝2x﹣4的交点，再由此点在第四象限可得出n的取值范围． 【详解】解：直线y＝﹣x+4向下平移n个单位后可得：y＝﹣x+4﹣n， 与直线联立得： 解得：， 即交点坐标为（，）， ∵交点在第四象限， ∴ 解得：2＜n＜8． 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标、一元一次不等式组的解法，注意第四象限的点的横坐标大于0、纵坐标小于0．联立解析式求出交点坐标是解题的关键． 7．已知反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，只需把所给点的横纵坐标相乘，判断出k的取值范围，再判断出函数所在的象限． 【详解】解：把代入， 则， ∴此反比例函数的图象在一，三象限， 故选：B． 8．如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定以及三角形的中位线定理，顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形，再根据即可证明结论． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴，，，，， 且， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 故选：C． 9．如图，在扇形中，，点是的中点，点、分别为半径，上的动点．若，则周长的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，分别作点关于、的对称点、，连接、，，交于，交于，交于，如图，利用，得到的周长，根据两点之间线段最短可判断此时的周长最小，接着证明，，然后计算出即可． 【详解】解：连接，分别作点关于、的对称点、，连接、，，交于，交于，交于， 如图， ，， 的周长， 此时的周长最小， 点是的中点， ， 点与点关于对称， ，， 同理得，， ，， 而， ，， ， 在中，， ， ， 周长的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系和最短路径问题． 10．抛物线经过点、、．则下列说法正确的是（   ） A．顶点可能在第一象限 B．若，则顶点在第三象限 C．顶点不可能在第二象限 D．若，则顶点在第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，确定顶点坐标符号是解题关键.由的纵坐标相等，可以确定抛物线对称轴，确定，将代入抛物线，确定的正负情况，结合顶点坐标进一步确定正负情况，即可确定纵坐标的正负，明确顶点位置． 【详解】解：抛物线经过点， 该抛物线的对称轴为，则顶点不可能在一，四象限，故A、D选项错误， 抛物线经过， 当时， ，即 该抛物线开口向上 当时， 代入得 顶点坐标为 顶点横坐标为 顶点在轴左侧 又纵坐标为， 当时，顶点在第三象限．故B正确 当时，同理可得 又纵坐标为， ， 当时，顶点可能在第二、三象限．故C错误 故选：B． 二、填空题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．如果，那么的邻补角等于 _____． 【答案】/120度 【分析】根据邻补角的定义直接解答即可． 【详解】解：如果，那么的邻补角等于； 故答案为：． 【点睛】本题考查了邻补角的定义，熟知相邻且互补的两个角是邻补角是解题关键． 12．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，若，则△BDE与四边形ADEC的面积比是______． 【答案】 【分析】证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 13．若代数式有意义，则m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出关于的不等式，进而得出答案． 【详解】解：要使式子有意义， 则且， 解得：且． 故选：且 14．如图，中，，，若，，则的长度为____． 【答案】 【分析】本题考查余弦的定义，掌握表示和的长是解题的关键，根解直角三角形的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．二次函数的图像的顶点坐标是___________. 【答案】 【分析】将二次函数一般式变形为顶点式即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查求二次函数的顶点，熟练掌握将二次函数一般式变形为顶点式是解题的关键． 16．如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识；设半径为2的与角的两边相切于、，连接，，延长交于，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，得到，如图，延长交于，根据直角三角形的性质得到，，求得，当与相切于点且点在圆心的右侧时，有最大值，连接，则四边形是正方形，根据正方形的性质得到，求得；如图，当与相切于点且点在圆心的，左侧时，有最小值，同理可得，于是得到结论． 【详解】解：设半径为2的与角的两边相切于，，如图，连接，，延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，延长交于， ，， ， ， ， ，， ， ， 当与相切于点且点在圆心的右侧时，有最大值， 连接，则四边形是正方形， ，， (； 如图，当与相切于点且点在圆心的左侧时，有最小值， 同理可得； 故的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，满分72分） 17．（本题6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解不等式①得，，， 解不等式②得，，， 故不等式组的解集为：． 数轴表示如下： 18．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先把分子、分母分解因式计算分式的乘法，然后运算加法化简，再把a的值代入计算解题即可 【详解】解： ， 当时，原式． 19．（本题6分）如图，为等边三角形，点在边上，过点作，且． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形，见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是等边三角形，得，，又，得，所以，然后通过“”证明即可； （）由，所以，，则，从而证明为等边三角形． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：为等边三角形，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 20．（本题6分）某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位应试者进行了笔试和面试，他们各自成绩 (百分制)如下表所示.    应试者 笔试 面试 甲 85 75 乙 60 95 (1)如果公司认为笔试和面试同等重要，从他们的成绩看，被录取的是________； (2)如果公司认为，作为公关人员面试应该比笔试更重要，按笔试成绩占，面试成绩占，计算应试者的平均成绩(百分制)，谁将被录取？ 【答案】(1)甲 (2)乙将被录取 【分析】（1）根据笔试和面试同等重要的前提，算出各自的平均成绩再进行比较即可． （2） 根据加权平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】（1）根据题干：笔试与面试同等重要，甲方的平均成绩为：，乙方平均成绩为：． ∴甲方平均成绩大于乙方，被录取是甲方． （2）甲的平均成绩：（分）， 乙的平均成绩：（分），       因为，所以乙将被录取． 【点睛】此题考查了算术平均数、加权平均数，熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算方法是解答此题的关键． 21．（本题8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于、两点，点，点． (1)求一次函数的解析式，并画出一次函数的图象； (2)结合图象，请直接写出关于x的不等式的解集：___________； (3)点P是x轴上的一个动点，若，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，图象见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）先将点代入反比例函数解析式求得，然后将 代入反比例函数解析式求得的值，即可求得点的值，待定系数法求得一次函数解析式，根据的坐标，画出一次函数的图象即可求解； （2）根据直线在双曲线下方时的取值范围，即可求得不等式的解集； （3）设，根据列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得， ∴反比例函数解析式为， 将点代入，得， ∴， 将，,代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式为， 画出一次函数图象如图， （2）解：∵，， 根据函数图象可得：当或时，， ∴关于x的不等式的解集为：或， 故答案为：或； （3）解：如图， 设直线交轴于点， 由，令，解得， ∴, ∴， ∵， 设， ∴， 解得， ∴或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数交点问题，直线围成的三角形的面积，数形结合是解题的关键． 22．（本题8分）重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶900个销售．工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工45个，又加工了4天才完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前4天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】(1)增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个； (2)乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为50个． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程及一元一次方程是解答此题的关键． （1）设甲车间增加工人后每天加工玩偶个，则增加前每天加工个，根据题意列出方程，解方程即可得到答案； （2）设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个，根据“提前4天完成任务”，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲车间增加工人后每天加工玩偶个，则增加前每天加工个， 由题意得：， 解得：， ∴ 增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个； （2）解：设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴ 乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为50个． 23．（本题10分）综合与实践 在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． (1)【初步思考】 若点落在矩形的边上（如图）． ①当点与点重合时，___________； ②当点与点重合时，___________． (2)【深入探究】 当点在上，点在上时（如图）， ①求证：四边形为菱形； ②当时，求的长． (3)【拓展延伸】 若点为动点，点为的中点，直接写出的最小值． 【答案】(1)①；② (2)①证明见解析；② (3) 【分析】（）①根据折叠的性质解答即可；②画出图形，再根据折叠的性质解答即可； （）①证明，得到，即可得四边形是平行四边形，再根据即可求证；②设菱形的边长为，则，在中，利用勾股定理可得，即得，又由勾股定理可得，即得，再利用勾股定理求出即可求解； （）连接，利用勾股定理可得，由折叠得，又由三角形的三边关系可得，即可求解． 【详解】（1）解：①当点与点重合时，为的中点，为的中点， ， 故答案为：； ②当点与点重合时，如图， 由折叠可得，， ∵， ， 故答案为：； （2）①证明：∵点的对应点记为点，折痕为， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 为菱形； ②解：当时，设菱形的边长为，则， ∴， 在中，由勾股定理得，， ， ， ∴， 当时， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， ∵点为的中点， ∴， 在中，∵， ， ， ， 的最小值是． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24．（本题10分）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图． 【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题： （3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值． （4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）；（4）或或 【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，旋转的性质． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知得出当时，正好是汽车宽度，求出即可； （3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出； （4）根据题意，画出符合条件的三角形，根据旋转的性质分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 代入顶点式得：， ∴， 解得：， ∴； （2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下： 当宽、高的厢式货车从隧道驶过时， ∴， ∴代入解析式得：； ∴， ∴厢式货车能顺利通过隧道； （3）假设，可得， ∴； ∵矩形的周长为l， ∴， ∴当时，l的最大值为：； （4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，， ∴，， 过点P作于点M， ∵， ∴，， ∴，， 如图，分以下三种情况： 当时，根据旋转的性质得， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 当时，； 当时，； 综上所述，旋转角的度数为或或． 25．（本题12分）【模型再现】 （1）如图1，四边形中，，为对角线，． ①求证：平分； ②若，，则________； 【模型应用】 （2）如图2．四边形中，，为对角线，，E为的中点，连接、，与交于点F．若，，求的值； 【模型拓展】 （3）如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上，用无刻度的直尺作图．在图3中上画出点F（点F不与点C重合），使．    【答案】（1）①见解析；②；（2）；（2）见解析． 【分析】（1）①根据，，可得，从而证明结论； ②根据，得，代入计算即可； （2）由直角三角形斜边上中线的性质得，再运用勾股定理得，由，得，再证明，从而解决问题． （3）取格点，连接交圆于点F，点F即为所作．由可判断，得到，可得到，利用圆周角定理以及垂径定理可证明． 【详解】（1）①证明：∵，， ∴， ∴， ∴平分； 解：②∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，点F即为所作．    【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等等，运用前面探索的结论解决新问题是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $