第18章 等腰三角形（单元复习课件）数学新教材沪教版五四制七年级下册

单元复习课件 第十八章 等腰三角形 新教材沪教版五四制·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 理解等腰三角形、等边三角形定义，熟练掌握等边对等角、三线合一及等边三角形的边角性质； 3.能结合全等、三角形内角外角知识，规范书写证明过程，解决计算、证明及几何变式综合题。 2. 能运用等角对等边判定等腰三角形，掌握等边三角形的两种判定思路，会进行简单几何推理； 单元学习目标 单元知识图谱 考点一：等腰三角形的性质 1. 性质定理 性质定理1:等腰三角形的两个底角相等(简称____________________) 性质定理2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 (简称______________________) “等边对等角” “三线合一” 考点串讲 考点一：等腰三角形的性质 2. 性质拓展 (1)等腰三角形两腰上的中线、高，两底角的平分线分别相等. (2)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 考点串讲 考点一：等腰三角形的性质 2. 性质拓展 (3)当等腰三角形的顶角为90°时（等腰直角三角形），它的两条直角边相等，两个锐角都是45°. (4)当等腰三角形的顶角为36°时（黄金三角形），等腰三角形底角平分线把三角形分成两个等腰三角形. 考点串讲 考点一：等腰三角形的性质 2. 性质拓展 （5）大边对大角，小边对小角，等边对等角，反之也都是真命题. △ABC中，∵AB>AC,∴∠ACB>∠ABC；∵AB<AC,∴∠ACB<∠ABC；∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC； 考点串讲 考点二：等腰三角形的判定 1. 判定方法 (1)定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； (2)判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. (简称__________________________). “等角对等边” 考点串讲 考点二：等腰三角形的判定 2.性质和判定的区别 性质和判定是互逆关系 “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题_________________________ 易错题： 不能叙述为：底角相等的三角形是等腰三角形。因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些等腰三角形的“专属概念”. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 考点串讲 考点二：等腰三角形的判定 3.关于“三线合一” 提醒：三线合一的逆命题都是真命题，但不是定理，所以不能直接用于等腰三角形的判定，往往需要借助全等来推理. 在△ABC中①AB=AC,②AD⏊BC，③AD平分∠BAC，④BD=DC, （2）逆命题 ②④⟹ ①，③；②③⟹ ①，④；③④⟹ ①，②； （1）“三线合一”： ①②⟹ ③，④；①③⟹ ②，④；①④⟹ ②，③； 考点串讲 考点二：等腰三角形的判定 4.一个常见模型：“角平分线+平行⇒等腰” 考点串讲 考点二：等腰三角形的判定 5.一个常见的辅助线——倍长中线 【即学即练】 如图，已知：在△ABC中，D是边BC的中点，∠1=∠2.求证：AB＝AC. 证明： 如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接CE. 在△ABD和△ECD中， ∵BD=DC,∠BDA=∠CDE ∴ △ABD≌△ECD(SAS). ∴ AB=EC,∠1=∠E(全等三角形的对应边相等，对应角相等). 又∵∠1=∠2, ∴ ∠2=∠E. ∴ AC=EC(等角对等边). ∴ AB=AC. 考点串讲 考点三：等边三角形 1. 性质定理： 等边三角形的每一个角都等于60°. 2. 判定定理： （1）三个内角都相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 考点串讲 考点三：等边三角形 3.常见的几何模型 类型 图例 结论 旋转模型     条件:等边△ABC中 △ABP绕点A逆时针旋转60 结论: △ABP≌△ACE △APE是等边三角形 ∠BQC=60   条件:等边△ABC中 △ABP绕点O顺时针旋转120 结论: △ABP≌△CAE ∠BQE=60 考点串讲 考点三：等边三角形 3.常见的几何模型 手拉手模型   条件:等边△PBC和△PAE手拉手 AC,BE叫作手拉线 结论: △BPE≌△CPA BE=AC ∠AQE=60 考点串讲 考点四：线段的垂直平分线 1. 性质定理：线段的垂直平分线上的任意一点________________________________. 到该线段两个端点的距离相等 2. 判定定理： 与一条线段的两个端点距离相等的点____________________________. 在这条线段的垂直平分线上. 考点串讲 考点四：线段的垂直平分线 3. 求作已知线段的垂直平分线 如图，已知线段AB,求作线段AB的垂直平分线. 【分析】 根据线段垂直平分线的判定定理和直线公理,只需要作出两个点，使每一个点到线段AB的两个端点的距离都相等，这两点所确定的直线就是线段AB的垂直平分线. 考点串讲 题型一、 等腰三角形的性质 【典例1】已知四边形的边长如图所示．当△ABC为等腰三角形时，对角线的AC长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 分析：根据等腰三角形的定义得到AC=4或AC=6; 再结合三角形的三边关系计算可知AC<6． C 等腰三角形中的腰不确定时常常需要分类讨论. 题型剖析 题型一、 等腰三角形的性质 【变式1】在△ABC中，∠B=20,∠A=110，点P在△ABC的三边上运动，当△APC成为等腰三角形时，顶角的度数是 __________________． 分析：然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解 C 110\50\80 题型剖析 题型一、 等腰三角形的性质 【变式2】在等腰△ABC中，如果过顶角顶点A的一条直线AD将△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠BAC＝________________． 分析：①当BD=AD，CD=AD时，如图①所示，∠BAC=90 90\108 ②当AD=BD，AC=CD时，如图②所示，∠BAC=108 题型剖析 题型一、 等腰三角形的性质 【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，过D点作DE⏊BC于点E，延长ED交的CA延长线于点F．点H是BC的中点，连接AH． 求证：AF=AD 分析：由三线合一可知 AH⏊BC,∠BAH=∠CAH 再由 FE//AH,∠BAH=∠CAH，借助“角平分线+平行得等腰”即可获证。 题型剖析 题型二、 等腰三角形的判定 【典例1】已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=4，BC=3，点D在边 AB 上运动，连接CD，将 △CDB沿着 CD 翻折，点 B 落在点E 处，连接AE．当 AE//CD 时，DE 的长为__________． 分析：由翻折∠EDA=∠BDC 再由 AE//CD,∠EDA=∠BDC，借助“角平分线+平行得等腰”可证AD=DE。 所以 AD=DE=DB=2.5 2.5 题型剖析 题型二、 等腰三角形的判定 【变式1】已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=36，点D在边AB上，CD=DB，图中共有_______个等腰三角形． 分析：本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用，根据等腰三角形的判定方法，等角对等边，进行判断即可． △ABC\△DBC\△ACD共3个. 3 题型剖析 题型二、 等腰三角形的判定 【变式2】如图，在△ABC中∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线交BC于点D，过C作CN⏊AD交AD于点H，交AB于点N． (1)求证：△ANC为等腰三角形； (2)求证：BN=CD． 分析：(1)“三线合一”逆命题不能直接用于证明三角形是等腰三角形，所以第（1）小问要用全等来证； (2)连DN，证△ANDACD,可知ND=DC;∠AND=∠ACD 由∠ACD=2∠B，可知∠AND=2∠B=∠B+∠NDB 所以可证：ND=BN 于是可得BN=CD 题型剖析 题型三、 等边三角形 【典例1】下列条件中，不能判断是等边三角形的是（     ）． D 题型剖析 题型三、 等边三角形 【变式1】如图，将一个△ABC绕点B顺时针旋转60得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1． (1)求∠A1AB的度数； (2)求证：∠A1AC=∠C1． 【分析】（1）根据旋转的性质可知AB=A1B,又已知旋转角为60，所以可证△ABA1为等边三角形； （2）根据旋转的性质可知∠CBC1=∠A1AB=60，所以AA1//BC, 所以∠A1AC=∠C=∠C1. 题型剖析 题型三、 等边三角形 【变式2】如图，在等边△ABC中，点D在边 BC 上，点E在 AC 的延长线上，DE=DA． 求证：BD=CE； 【分析】将△BAD绕点A逆时针旋转60 可得△ADM是等边三角形，再证△DCM△DCE即可. 题型剖析 题型四、 线段垂直平方线 【典例1】如图，在△ABC中，AB=AC=12cm，AC的垂直平分线分别交 AB、AC于点 D、E，且△BDC的周长为22cm，求底边 BC 的长． 【分析】由垂直平方线的性质可知AD=DC，所以可知BC的长度为22-12=10（cm）. 题型剖析 题型四、 线段垂直平方线 【变式1】已知：在△ADC中，P是CD的中点，B是边AD延长线上的一点，BD=AC，连接AP、BC． (1)如图（1），如果AP⏊CD，证明：BD=AD； (2)如图（2），过点D作DE//AC，交AP的延长线于点E，连接BE，如果∠CAD=60， 证明：BC=2AP． 【分析】(1)由垂直平方线的性质可知AD=AC，所以AD=BD. (2)由CD=PD,AC//DE,可证△ACP△DEP,所以AP=PE,DE=AC=BD. 由∠CAD=60,可证△BDE是等边，所以NE=BD=AC,再证△ABE△BAC. 即可证BC=AE=2AP. 题型剖析 感谢聆听! $