2026年中考数学临考冲刺卷01（云南专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

2026年中考数学临考冲刺卷（云南专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共15小题，每小题2分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．《孙子算经》中提到“今有两数意义相反，当以正负别之”，意思是：有两个数如果它们的意义相反，就用正数和负数来区分．若海拔高于海平面米记作 米，则 米表示海拔为（ ） A．高于海平面米 B．低于海平面米 C．高于海平面米 D．低于海平面米 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正数表示高于海平面，负数表示低于海平面解答即可． 【详解】解：∵高于海平面米记作米， ∴低于海平面应用负数表示， ∴米表示低于海平面米． 故选：B． 2．下列4个艺术汉字示意图中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 3．2025年6月30日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》以亿元的国内票房正式收官，登顶全球影史动画电影票房榜．数据“亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此可得答案． 【详解】解：亿， 故选：D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，错误，故不符合要求； B中，错误，故不符合要求； C中，错误，故不符合要求； D中，正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法等知识．熟练掌握合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法是解题的关键． 5．下列图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．三棱锥 C．三棱柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个圆锥． 【详解】解：由主视图以及左视图可知这是一个锥体，再根据俯视图可知是一个圆锥，所以此几何体是一个圆锥． 6．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题根据二次根式和分式有意义的条件求解，二次根式的被开方数需为非负数，分式的分母不能为0，结合两个条件即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义 ∴ 解得且 ∴ 的取值范围是且． 7．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键；通过将各选项的点代入反比例函数解析式，验证是否满足等式，从而确定图象经过的点． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， 对于选项A：当时，，∴点不在图象上； 对于选项B：当时，，∴点在图象上； 对于选项C：当时，，∴点不在图象上； 对于选项D：当时，，∴点不在图象上； 故选：B． 8．学校后勤处计划在校园中央修建一个造型美观的多边形景观花坛．要求这个花坛的内角和为，则这个花坛应设计成（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，根据多边形内角和公式可得出，解出n即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意可知：， 解得：， 则这个花坛应设计成七边形， 故选：A 9．云南省大力发展绿色能源产业，光伏产品销量稳居西南地区前列．年，在技术创新、政策扶持、市场需求扩大等多重因素推动下，云南省某企业光伏产品销量持续攀升．假设年该企业光伏产品全年销量为万台，年该企业光伏产品全年销量为万台，设该企业光伏产品销量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据年销量年销量，列方程即可． 【详解】解：年该企业光伏产品全年销量为万台，年平均增长率为， 年该企业光伏产品全年销量为万台， 年该企业光伏产品全年销量为万台， 年该企业光伏产品全年销量为万台， ． 10．如图，已知A，B均为上的点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； 利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：A，B均为上的点，， ． 故选：C． 11．观察下列一组数：，，，，…，它们是按照一定规律排列的，这组数的第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类变化规律问题． 分符号、分子、分母三部分找出规律，进而作答即可． 【详解】解： ， ， ， ， …， 第n个数是． 故选：B． 12．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据是关于的一元二次方程，可知，根据一元二次方程有实数根，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 又有实数根， ， 解得：， 的取值范围为且． 13．“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草帽锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则此草帽锅盖的侧面积约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：此草帽锅盖的侧面积为：． 故选：C． 14．2024年成都世界园艺博览会，是由国家林业和草原局、中国花卉协会、四川省人民政府主办，成都市人民政府承办的B类世界园艺博览会，暑假期间，某校开展了“从世园看世界•与城市共生长”青少年世园研学主题活动．学校为了解同学们园内的参观时间，从参与研学活动的学生中随机调查了40名学生，调查结果列表如下． 参观时间/h 5 6 7 8 人数 9 13 12 6 则这40名学生参观时间的中位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了中位数，将这组数据按照从小到大的顺序排列，则中间两个数据是第20和第21个数据，这两个数的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：将数据按照从小到大的顺序排列，， 第20个数据是6，第21个数据是6， 所以中位数是：， 故选：B． 15．九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；因此此题可根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， 由网格可知：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 17．石拱桥是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，以历史悠久、形式优美、结构坚固等特点闻名于世．如图，某截面为圆弧的石拱桥桥洞，其跨度（所对弦长）为，拱高（的中点到弦的距离）为，则该桥洞所在圆的半径的长为___________m． 【答案】30 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是由以上知识点列出关于r的方程．设该桥洞所在圆的半径长是r m，由垂径定理得到，由勾股定理得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：设该桥洞所在圆的半径长是r m， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：30． 18．如图，在中，点分别为上的点，若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由平行得到，那么得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴（舍负）， 故答案为：． 19．某校为了进一步落实“德智体美劳五育并举”，决定结合学生需求增设体育项目为此校学生会对该校600名初中学生最喜爱的体育项目（从乒乓球、篮球、足球、羽毛球4项体育活动中选择，每人只选一项）进行了随机抽查，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计表和统计图，根据图表信息，可知该校约有____________名初中学生最喜爱足球． 【答案】240 【分析】本题主要考查了扇形统计图，用总数乘以计算即可． 【详解】解：（人） 该校约有240名初中学生最喜爱足球， 故答案为：240 三、解答题（本大题共8小题，满分62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20．（本题7分）计算：． 【答案】4 【分析】本题主要考查了零指数幂与负指数幂及特殊三角函数值的混合运算．原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】解： ． 21．（本题6分）如图，与相交于点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，关键是找到、所在的全等三角形．通过角的和运算得到，结合公共边和，利用判定，从而推出． 【详解】证明：∵，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． 22．（本题7分）某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下宣传语： 根据该宣传语，求每台新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】80 【分析】本题考查了分式方程在实际问题中的应用，是“分式方程”章节的核心考查方向，重点体现“数学建模”思想（将实际问题转化为分式方程求解 ）； 通过设未知数，利用“工作时间 = 工作总量÷工作效率”，结合“时间相同”建立分式方程，再按分式方程解法（去分母、解整式方程、检验 ）求解，突出“找等量关系”（时间相等）和“分式方程验根”（排除增根及不符合实际的解 ）的重要性． 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 由题意可得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 故每台新型机器人每天搬运的货物量为80吨． 23．（本题6分）数学活动课上，小晨所在的兴趣小组设置了一个跨学科的游戏活动：如图，他们把生活中的这几种现象的图片制成四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，其中卡片属于物理变化，属于化学变化．小晨将这些卡片背面朝上洗牌，然后放置在桌面上． (1)若组员小宇从中随机抽取一张卡片，则他抽到“．冰雪融化”的概率是__________； (2)若小晨从中随机抽取一张卡片，不放回，小轩再从剩余的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法，求他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率． 【答案】(1) (2)他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率为 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）利用画树状图的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，组员小宇从中随机抽取一张卡片，则他抽到“．冰雪融化”的概率是． 故答案为：． （2）解：画树状图如下：    共有12种等可能的结果，其中他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的结果有：，，共2种， 他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率为． 24．（本题8分）如图，菱形的对角线，交于点，点，分别在，的延长线上，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见详解 (2)菱形的边长为5 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到是平行四边形，然后根据，即可证明四边形是矩形； （2）由可得出，在中，利用正切函数设，则，在中，利用勾股定理求得的长． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ，即， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， ∵， ∴， 设，则， ， 在中，由勾股定理得： 即， 解得：或（舍去）， ， 菱形的边长为5． 25．（本题8分）根据以下素材，完成探究学习任务． 为村民小组设计总费用最少的购进方案 背景 东风知春意，万亩梨花开．3月下旬，个旧加级寨梨花迎来盛花期，“梨园春晓・万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏，某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售． 素材 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元． 解决问题： (1)任务1，确定单价：求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？ (2)任务2，拟定总费用最少的购进方案：若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)每瓶梨膏为30元，每瓶梨醋为20元 (2)购进梨膏175瓶，则购进梨醋125瓶，能使总费用最少，最少费用为7750元 【分析】（1）设购进的每瓶梨膏为元，每瓶梨醋为元．根据题意列方程得．解方程组求解即可； （2）设购进梨膏瓶，则购进梨醋瓶，购进总费用为元．由题意得，，整理得．根据函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：设购进的每瓶梨膏为元，每瓶梨醋为元． 根据题意列方程得． 解得． 答：购进的每瓶梨膏为30元，每瓶梨醋为20元． （2）解：设购进梨膏瓶，则购进梨醋瓶，购进总费用为元． 由题意得，解得． ，整理得． 随的增大而增大， 当时，有最小值． 此时． 答：购进梨膏175瓶，则购进梨醋125瓶，能使总费用最少，最少费用为7750元． 26．（本题8分）已知抛物线（实数a为常数）的对称轴为直线． (1)求抛物线的函数关系式； (2)记x在某个范围时，函数y的最大值为m，最小值为n，当时，则，求t的值． 【答案】(1) (2)t的值为或3 【分析】本题考查了求二次函数关系式，二次函数的增减性和最值，解题的关键是熟练掌握相关知识点，具有分类讨论的思想． （1）根据抛物线的对称轴为直线，得出，求出a的值即可； （2）根据抛物线的性质得出当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，再进行分类讨论：①当即时，y随x的增大而增大， 时，y有最小值n，时，y有最大值m，即可解答；②当时，时，y有最大值m，时，y有最小值n，即可解答；③当时，，时，y有最大值为5，则，当时：，当时：即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴抛物线的函数关系式为：； （2）解：， ∴对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①当即时，y随x的增大而增大， 时，y有最小值n，时，y有最大值m， ∴， 又， 整理得， 解得， 又， ∴不符合题意，舍去； ②当时， 时，y有最大值m，时，y有最小值n， ∴， 又， 整理得， 解得， 又， ∴不符合题意，舍去； ③当时，， ∴时，y有最大值为5， ∴， 又， ∴， 当时：， 解得（舍去），， 当时： 解得：（舍去），， ∴t的值为或3． 综上，t的值为或3． 27．（本题12分）如图，四边形的外接圆是以为直径的，，点是劣弧上任意一点（不与点重合），连接．延长至点，使． (1)求的度数； (2)求证：直线与相切； (3)点P在运动过程中，的值是否发生变化，若不变，求出这个值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)不变，． 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆内接四边形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由圆内接四边形的性质即可求出的度数； （）先证明，由是的直径，则所以，然后由相似三角形性质可得，最后由切线的判定方法即可求证； （）过点作，交于点，则，通过圆周角定理得，即，通过两角相等的三角形相似证明，最后通过相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切； （3）解：的值不改变，，理由如下： 过点作，交于点，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在中：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即：． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学临考冲刺卷（云南专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共15小题，每小题2分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．《孙子算经》中提到“今有两数意义相反，当以正负别之”，意思是：有两个数如果它们的意义相反，就用正数和负数来区分．若海拔高于海平面米记作 米，则 米表示海拔为（ ） A．高于海平面米 B．低于海平面米 C．高于海平面米 D．低于海平面米 2．下列4个艺术汉字示意图中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．2025年6月30日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》以亿元的国内票房正式收官，登顶全球影史动画电影票房榜．数据“亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．三棱锥 C．三棱柱 D．圆锥 6．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 7．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 8．学校后勤处计划在校园中央修建一个造型美观的多边形景观花坛．要求这个花坛的内角和为，则这个花坛应设计成（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 9．云南省大力发展绿色能源产业，光伏产品销量稳居西南地区前列．年，在技术创新、政策扶持、市场需求扩大等多重因素推动下，云南省某企业光伏产品销量持续攀升．假设年该企业光伏产品全年销量为万台，年该企业光伏产品全年销量为万台，设该企业光伏产品销量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知A，B均为上的点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 11．观察下列一组数：，，，，…，它们是按照一定规律排列的，这组数的第n个数是（   ） A． B． C． D． 12．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A．且 B． C．且 D． 13．“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草帽锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则此草帽锅盖的侧面积约是（   ） A． B． C． D． 14．2024年成都世界园艺博览会，是由国家林业和草原局、中国花卉协会、四川省人民政府主办，成都市人民政府承办的B类世界园艺博览会，暑假期间，某校开展了“从世园看世界•与城市共生长”青少年世园研学主题活动．学校为了解同学们园内的参观时间，从参与研学活动的学生中随机调查了40名学生，调查结果列表如下． 参观时间/h 5 6 7 8 人数 9 13 12 6 则这40名学生参观时间的中位数为（    ） A． B． C． D． 15．九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16．分解因式：______． 17．石拱桥是用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，以历史悠久、形式优美、结构坚固等特点闻名于世．如图，某截面为圆弧的石拱桥桥洞，其跨度（所对弦长）为，拱高（的中点到弦的距离）为，则该桥洞所在圆的半径的长为___________m． 18．如图，在中，点分别为上的点，若，则_______． 19．某校为了进一步落实“德智体美劳五育并举”，决定结合学生需求增设体育项目为此校学生会对该校600名初中学生最喜爱的体育项目（从乒乓球、篮球、足球、羽毛球4项体育活动中选择，每人只选一项）进行了随机抽查，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计表和统计图，根据图表信息，可知该校约有____________名初中学生最喜爱足球． 三、解答题（本大题共8小题，满分62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20．（本题7分）计算：． 21．（本题6分）如图，与相交于点，，，求证：． 22．（本题7分）某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下宣传语： 根据该宣传语，求每台新型机器人每天搬运的货物量． 23．（本题6分）数学活动课上，小晨所在的兴趣小组设置了一个跨学科的游戏活动：如图，他们把生活中的这几种现象的图片制成四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，其中卡片属于物理变化，属于化学变化．小晨将这些卡片背面朝上洗牌，然后放置在桌面上． (1)若组员小宇从中随机抽取一张卡片，则他抽到“．冰雪融化”的概率是__________； (2)若小晨从中随机抽取一张卡片，不放回，小轩再从剩余的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法，求他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率． 24．（本题8分）如图，菱形的对角线，交于点，点，分别在，的延长线上，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的边长． 25．（本题8分）根据以下素材，完成探究学习任务． 为村民小组设计总费用最少的购进方案 背景 东风知春意，万亩梨花开．3月下旬，个旧加级寨梨花迎来盛花期，“梨园春晓・万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏，某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售． 素材 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元． 解决问题： (1)任务1，确定单价：求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？ (2)任务2，拟定总费用最少的购进方案：若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用． 26．（本题8分）已知抛物线（实数a为常数）的对称轴为直线． (1)求抛物线的函数关系式； (2)记x在某个范围时，函数y的最大值为m，最小值为n，当时，则，求t的值． 27．（本题12分）如图，四边形的外接圆是以为直径的，，点是劣弧上任意一点（不与点重合），连接．延长至点，使． (1)求的度数； (2)求证：直线与相切； (3)点P在运动过程中，的值是否发生变化，若不变，求出这个值；若发生变化，请说明理由． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学临考冲刺卷（云南专用） 数 学·参考答案 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D D D C B A C C 11 12 13 14 15 B A C B B 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16． 17. 30 18. 19．240 三、解答题（本大题共11小题，满分88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20．（本题7分） 【详解】解： ………………………………………4分 ………………………………………6分 ．………………………………………7分 21．（本题6分） 【详解】证明：∵，， ∴，即，………………………………………2分 在和中，………………………………………4分 ∴………………………………………5分 ∴………………………………………6分 22． （本题7分） 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨， ……………………1分 由题意可得，，……………………3分 解得，，……………………5分 经检验，是原分式方程的解，且符合题意，……………………6分 答:每台新型机器人每天搬运的货物量为80吨．……………………7分 23． （本题6分） 【详解】（1）解：由题意知，组员小宇从中随机抽取一张卡片，则他抽到“．冰雪融化”的概率是． 故答案为：．…………………………………………………………2分 （2）解：画树状图如下：    ………………………………………4分 共有12种等可能的结果，其中他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的结果有：，，共2种， 他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率为．………………………………………6分 24． （本题8分） 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ，即， 又， 四边形是平行四边形，…………………………………………………………2分 ， ， 四边形是矩形；…………………………………………………………4分 （2）解：四边形是矩形， ， ∵， ∴， 设，则， ，…………………………………………………………6分 在中，由勾股定理得： 即， 解得：或（舍去），…………………………………………………………7分 ， 菱形的边长为5．…………………………………………………………8分 25． （本题8分） 【详解】（1）解：设购进的每瓶梨膏为元，每瓶梨醋为元．……………………1分 根据题意列方程得．…………………………………………………………2分 解得．……………………………………………………………………………3分 答：购进的每瓶梨膏为30元，每瓶梨醋为20元．……………………4分 （2）解：设购进梨膏瓶，则购进梨醋瓶，购进总费用为元．……………………5分 由题意得，解得．……………………6分 ，整理得．……………………7分 随的增大而增大， 当时，有最小值． 此时． 答：购进梨膏175瓶，则购进梨醋125瓶，能使总费用最少，最少费用为7750元……………………8分． 26． （本题8分） 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：，……………………………………………………………………………2分 经检验，是分式方程的解， ∴抛物线的函数关系式为：；…………………………………………………3分 （2）解：， ∴对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，……………………4分 ①当即时，y随x的增大而增大， 时，y有最小值n，时，y有最大值m， ∴， 又， 整理得， 解得， 又， ∴不符合题意，舍去；…………………………………………………………5分 ②当时， 时，y有最大值m，时，y有最小值n， ∴， 又， 整理得， 解得， 又， ∴不符合题意，舍去；……………………………………………………………………………6分 ③当时，， ∴时，y有最大值为5， ∴， 又， ∴， 当时：， 解得（舍去），，…………………………………………………………7分 当时： 解得：（舍去），， ∴t的值为或3． 综上，t的值为或3．…………………………………………………………8分 27． （本题12分） 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴，…………………………………………………………1分 又∵， ∴；…………………………………………………………3分 （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，…………………………………………………………4分 ∴， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，……………………………………………………………………………6分 ∵为的半径， ∴直线与相切；……………………………………………………………………………7分 （3）解：的值不改变，，理由如下：………………………………………8分 过点作，交于点，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，……………………………………………………………………………9分 ∵， ∴， 即， 在中：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，……………………………………………………………………………10分 ∵， ∴， 即， ∴， ∴，……………………………………………………………………………11分 即：．……………………………………………………………………………12分 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $