5.7 正弦函数的图像和性质（课件）--语文版《数学 基础模块上册》《上好课》

5.7 正弦函数的图像和性质 第五单元 三角函数 语文版 基础模块 上册 学习目标 1.理解并掌握正弦函数的图像和性质； 2.能熟练运用正弦函数的图像与性质解决定义域、值域等相关问题； 3.通过正弦函数图像与性质的学习，提升运用数形结合方法分析函数性质的能力，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 教学引入 5.7 正弦函数的图像和性质 教学引入 教学引入 新知讲授 5.7 正弦函数的图像 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 案例分析 案例分析 案例分析 新知讲授 5.7 正弦函数的性质 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 周期函数 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 案例分析 案例分析 学以致用 5.7 正弦函数的图像和性质 学以致用 学以致用 学以致用 学以致用 知识回顾 同学们，我们完成了正弦函数的图像和性质相关知识点的学习，接下来咱们一起快速回顾一下刚学的内容，大家可以踊跃举手回答： 1.如何绘制正弦函数的图像？ 2.正弦函数的性质有哪些？ 3.如何合理应用正弦函数的图像和性质？ 师生交流 拓展思考互动 同学们，我们现在已经掌握了正弦函数的图像和性质，接下来我们请一位同学上台，在如图所示的坐标系中绘制正弦函数在上的图像。 课堂练习 5.7 正弦函数的图像和性质 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 5.7 正弦函数的图像和性质 课堂小结 课堂小结 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 同学们，在学习新知识前我们先来观察 与思考： 坐在摩天轮上的乘客，距离地面的高度 随转动时间怎么变化？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 分析： 在之前的课程学习中我们已经看到了三角函数值具有“周而复始”的变化规律，今天我们将通过学习正弦函数的图象和性质来探究三角函数的图像是如何反映摩天轮高度的变化规律。 本节我们先利用“描点法”画出正弦函数在相应区间上的简图，再进一步得到正弦函数的图像——正弦曲线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 要用“描点法”比较准确地画出正弦函数在相应区间上的简图，列表是关键，我们先用“描点法”作出，的图像． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）列表： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）描点． （3）连线： 用一条光滑的曲线把所描的点依次连接 起来就画出了，的图像，如 图所示． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因为终边相同的角的三角函数值相等，所以正弦函数在，，，时的图像，与时的图像的形状完全相同，只是位置不同，因此只需把，的图像向左或向右平行移动，，个单位，就可以得到正弦函数，的图像，如图所示． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 观察上图，不难看出，正弦函数图像中 ，，，， 这五个点是确定正弦函数，图像的大致形状的关键点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 就是说，把这五个关键点描出后，函数图像的大致形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，可先描出这五个关键点，再用平滑的曲线将它们连接起来，就可以得到相应区间上的正弦函数的简图. 这种近似的画正弦函数简图的方法叫做“五点法”. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】“五点法”画出下列函数的简图： （1）； （2）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）列表： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 描点画图，如图所示． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）列表： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 描点画图，如图所示． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由正弦函数的图像可以知道： （1）定义域 正弦函数的定义域是。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）值域 正弦函数，的值域是，即对于任意的，都有。其中，当，时，有；当，时，有。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）周期性 观察正弦函数的图像，我们发现，正弦函数的函数值按照一定的规律重复出现。由公式（）也可以得到证实。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得对于函数定义域内的任意，等式恒成立，那么称函数为周期函数，其中，常数叫做该函数的周期． 如果这样的常数中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做该函数的最小正周期． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因此，正弦函数是周期函数，它的周期不止一个，如，，，以及，，，事实上，就是它的周期．显然，它的最小正周期是．今后谈到三角函数的周期时，我们都是指它们的最小正周期． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （4）奇偶性 观察正弦函数，的图像，我们发现它的图像关于坐标原点对称．由诱导公式可知，正弦函数，是奇函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （5）单调性 观察正弦函数，的图像，可以看出，当由增大到时，曲线逐渐上升，即由增大到；当由增大到时，曲线逐渐下降，即由减小到． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 具体变化见下表： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因此，由正弦函数的周期性可得到如下结论： 正弦函数，在每一个闭区间上，函数值都从增大到，是增函数； 在每一个闭区间上，函数值都从减小到，是减函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 因此，正弦函数，在每一个闭区间上，函数值都从增大到，是增函数；在每一个闭区间上，函数值都从减小到，是减函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】出下列函数的最大值和最小值： （1）； （2）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）当 时，； 当时，。 （2）当时，； 当时，。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】比较下列各对正弦值的大小： （1）与； （2）比较与的大小。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1），且，又在上是增函数， 。 （2），且，又在上是减函数， 。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知函数的周期为，且，为正整数． (1)求的值； (2)设是的最小值，求函数的单调递增区间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）已知函数的周期为， 由可知，， 解得，又， 所以，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （2）由（1）可得， 则就是， 由，，得，． 故此函数的单调递增区间是，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知函数． (1)用“五点法”作法函数在上的简图； (2)根据图象求在上的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）五个关键点列表如下： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 作图： （2）根据（1）中的图象，可得在上的解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 提示：在[0,2π]上的函数值：，，，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】函数的最大值、最小值分别是（ ） A．2， B．1， C．1， D．2， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值. 故选:B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】函数在区间______上是增函数．（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由正弦函数的图像可知， 函数在上是减函数，在上是增函数， 在上先增后减，在上先减后增， 所以A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】关于正弦型函数的图像，下列说法不正确的是（ ） A．关于原点中心对称 B．最大值为2 C．最小正周期为 D．单调递减区间为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为正弦型函数是奇函数，所以的图像关于原点中心对称，故选项A不符合， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 函数的最大值为1，所以最大值为2，故选项B不符合， 函数最小正周期为，故选项C符合， 函数与的单调性相同，所以单调递减区间为，故选项D不符合. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】函数的图象（ ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于直线对称 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 对于函数， 当时，，其函数图象关于点对称，A正确； 当时，，其函数图象不关于直线对称，B错误； 当时，，其函数图象不关于点对称，C错误； 当时，，其函数图象不关于直线对称，D错误. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 函数的最小正周期为. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由正弦函数性质可知，， 所以，所以， 所以，函数的最大值是，最小值是. 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习6】函数的最大值与最小值分别是（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 正弦函数的图像 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 五个关键点：，，，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 正弦函数的性质 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 定义域：，值域: 周期性：是周期函数，就是它的周期，最小正周期是． 奇偶性：，是奇函数． 单调性：正弦函数在上，是增函数； 在间上是减函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $