5.7 正弦函数的图像和性质（教案）--语文版《数学 基础模块上册》《上好课》

语文版《数学基础模块 上册》 第五单元 三角函数 5.7 正弦函数的图像和性质 一、教材 语文出版社《数学》（基础模块 上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节课是语文版数学基础模块上册第四单元三角函数的核心内容，核心知识点包括正弦函数图像的绘制方法、正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等性质，为后续学习余弦函数、正切函数的图像与性质、三角函数模型的应用奠定了重要的基础。教材以生活实例为逻辑起点，结合三角函数的定义，既衔接了学生对任意角三角函数、单位圆的已有认知，又深化了从特殊到一般的数学思维，提升学生利用函数图像分析函数性质的能力。 五、学情分析 多数学生已具备任意角三角函数的定义、单位圆中三角函数线的认知基础，并且对一次函数、二次函数的图像与性质有一定了解，这为他们学习正弦函数的图像和性质打下了基础。但如果只采用纯理论推导与图像讲解的方式可能无法引起学生的学习兴趣，还容易对正弦函数的周期性理解不透彻，混淆不同区间的单调性，五点法绘制图像时关键点选取错误。因此可以通过分步绘制与课堂练习帮助学生掌握正弦函数的图像和性质，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.理解并掌握正弦函数的图像和性质； 2.能熟练运用正弦函数的图像与性质解决定义域、值域等相关问题； 3.通过正弦函数图像与性质的学习，提升运用数形结合方法分析函数性质的能力，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。 七、教学重点 1.正弦函数的图像； 2.正弦函数的性质。 八、教学难点 运用正弦函数的图像与性质解决定义域、值域等相关问题。 九、教学方法 案例法：通过案例帮助学生理解正弦函数的图像和性质，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对正弦函数的图像和性质进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究正弦函数的图像和性质，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 同学们，在学习新知识前我们先来观察与思考：坐在摩天轮上的乘客，距离地面的高度随转动时间怎么变化？ 分析： 在之前的课程学习中我们已经看到了三角函数值具有“周而复始”的变化规律，那么三角函数的图像是如何反映这种变化规律的呢？今天我们就来学习——正弦函数的图象和性质。 本节我们先利用“描点法”画出正弦函数在相应区间上的简图，再进一步得到正弦函数的图像——正弦曲线． 通过生活实例引出新知识点：正弦函数的图像和性质。 新知讲授 1.正弦函数的图像 要用“描点法” 比较准确地画出正弦函数在相应区间上的简图，列表是关键，我们先用“描点法”作出，的图像． （1）列表： （2）描点． （3）连线：用一条光滑的曲线把所描的点依次连接起来就画出了，的图像，如图所示． 因为终边相同的角的三角函数值相等，所以正弦函数在，，，时的图像，与 时的图像的形状完全相同，只是位置不同，因此只需把，的图像向左或向右平行移动，，个单位，就可以得到正弦函数，的图像，如图所示． 观察上图，不难看出，正弦函数图像中，，，，这五个点是确定正弦函数，图像的大致形状的关键点. 就是说，把这五个关键点描出后，函数图像的大致形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，可先描出这五个关键点，再用平滑的曲线将它们连接起来，就可以得到相应区间上的正弦函数的简图. 这种近似的画正弦函数简图的方法叫做“五点法”. 2.正弦函数的性质 由正弦函数的图像可以知道： （1）定义域 正弦函数的定义域是 。 （2）值域 正弦函数，的值域是，即对于任意的，都有。其中，当，时，有；当，时，有。 （3）周期性 观察正弦函数的图像，我们发现，正弦函数的函数值按照一定的规律重复出现。由公式 （）也可以得到证实。 一般地，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得对于函数定义域内的任意，等式 恒成立，那么称函数为周期函数，其中，常数叫做该函数的周期．如果这样的常数中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做该函数的最小正周期． 因此，正弦函数是周期函数，它的周期不止一个，如，，，以及，，，事实上，就是它的周期．显然，它的最小正周期是．今后谈到三角函数的周期时，我们都是指它们的最小正周期． （4） 奇偶性 观察正弦函数，的图像， 我们发现它的图像关于坐标原点对称．由诱导公式可知，正弦函数，是奇函数． （5）单调性 观察正弦函数，的图像，可以看出，当由增大到时，曲线逐渐上升，即由增大到；当由增大到时，曲线逐渐下降，即由减小到．具体变化见下表： 因此，由正弦函数的周期性可得到如下结论：正弦函数，在每一个闭区间上，函数值都从增大到，是增函数；在每一个闭区间上，函数值都从减小到，是减函数． 总结正弦函数的图像和性质。 案例分析 【例题】“五点法”画出下列函数的简图： （1）； （2）． 【解析】（1）列表： 描点画图，如图所示． （2）列表： 描点画图，如图所示。 【例题】出下列函数的最大值和最小值： （1）； （2）. 【解析】（1）当 时，； 当时，。 （2）当时，； 当时，。 【例题】比较下列各对正弦值的大小： （1）与； （2）比较 与 的大小。 【解析】（1），且， 又在上是增函数， 。 （2），且， 又在上是减函数， 。 通过案例来帮助学生更好地理解正弦函数的图像和性质。 学以致用 【练习】已知函数的周期为，且，为正整数． (1)求的值； (2)设是的最小值，求函数的单调递增区间． 【解析】（1）已知函数的周期为， 由可知，， 解得，又， 所以，． （2）由（1）可得， 则就是， 由，，得，． 故此函数的单调递增区间是，． 【练习】已知函数． (1)用“五点法”作法函数在上的简图； (2)根据图象求在上的解集． 【解析】（1）五个关键点列表如下： 0 1 1 3 1 作图： （2）根据（1）中的图象，可得在上的解集为． 通过即时练习以及知识回顾，进一步加强学生对正弦函数的图像和性质的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】函数的最大值、最小值分别是（ ） A．2， B．1， C．1， D．2， 【解析】当时， 函数有最大值， 当时， 函数有最小值. 故选:B. 【练习2】函数在区间______上是增函数．（ ） A． B． C． D． 【解析】    由正弦函数的图像可知， 函数在上是减函数，在上是增函数， 在上先增后减，在上先减后增， 所以A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意. 故选：B. 【练习3】关于正弦型函数的图像，下列说法不正确的是（ ） A．关于原点中心对称 B．最大值为2 C．最小正周期为 D．单调递减区间为 【解析】因为正弦型函数是奇函数，所以的图像关于原点中心对称，故选项A不符合， 函数的最大值为1，所以最大值为2，故选项B不符合， 函数最小正周期为，故选项C符合， 函数与的单调性相同，所以单调递减区间为，故选项D不符合. 故选：C. 【练习4】函数的图象（ ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于直线对称 【解析】对于函数， 当时，，其函数图象关于点对称，A正确； 当时，，其函数图象不关于直线对称，B错误； 当时，，其函数图象不关于点对称，C错误； 当时，，其函数图象不关于直线对称，D错误. 故选：A. 【练习5】函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【解析】函数的最小正周期为. 故选：B. 【练习6】函数的最大值与最小值分别是（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是 【解析】由正弦函数性质可知，， 所以，所以， 所以，函数的最大值是，最小值是. 故选：C 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺。 知识梳理 1.正弦函数的图像 五个关键点：，，，， 2.正弦函数的性质 由正弦函数的图像可以知道： （1）定义域：。 （2）值域： （3）周期性：正弦函数是周期函数，就是它的周期，它的最小正周期是． （4）奇偶性：正弦函数，是奇函数． （5）单调性：正弦函数，在每一个闭区间上，函数值都从增大到，是增函数；在每一个闭区间上，函数值都从减小到，是减函数． 帮助学生构建完整的知识网络，强化记忆。 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 1.正弦函数的图像 五个关键点：，，，， 2.正弦函数的性质 由正弦函数的图像可以知道： （1）定义域：。 （2）值域： （3）周期性：正弦函数是周期函数，就是它的周期，它的最小正周期是． （4）奇偶性：正弦函数，是奇函数． （5）单调性：正弦函数，在每一个闭区间上，函数值都从增大到，是增函数；在每一个闭区间上，函数值都从减小到，是减函数． 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过分步推导引入正弦函数图像，结合图像探究函数性质，多数学生能初步理解正弦函数的图像特征，掌握正弦函数的基本性质与五点法绘制图像的方法。但在课堂检测中也发现：个别学生在解决单调区间、最值问题时出错，因此在课后练习中，需增加相关的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $