4.6 指数函数、对数函数的应用（练习）--语文版《数学 基础模块上册》《上好课》（原卷版+解析版）

语文版《数学基础模块 上册》 第四单元 指数函数与对数函数 4.6 指数函数、对数函数的应用 一、单选题 1．若提供100个成语，小李在分钟内能够记忆的成语个数大致符合，（为常数），若小李在5分钟内能够记忆10个成语，则小李15分钟内能记忆的成语个数大约为（ ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】C 【分析】根据题意，代入函数的解析式，求出，再代入求解即可. 【详解】因为小李在5分钟内能够记忆10个成语，所以，解得. 则小李15分钟内能记忆的成语个数为. 故选：C. 2．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数内的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至10000，则C大约增加了（ ） A．11% B．22% C．33% D．100% 【答案】C 【分析】根据题意，将香农公式进一步化简，再分别求得两个信噪比对应的值，从而得解. 【详解】根据题意，香农公式可以化简为， 当时，， 当时，， 所以C大约增加了. 故选：C. 3．核酸检测在新冠疫情防控中起到了重要作用，是重要依据之一．核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则的值约为（参考数据：，）（ ） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 【答案】C 【分析】建立指数增长模型，设定初始DNA数量为，扩增次后数量为，建立等式解指数方程. 【详解】设初始DNA数量为，每扩增一次数量增加， 扩增次后的数量公式为， 所以扩增 5 次后数量为， 依题意，可得，可化为， 即，得到. 故选：C. 二、填空题 4．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现，鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，表示鲑鱼耗氧量的单位数.若一条鲑鱼的游速为，则它的耗氧量是_______个单位. 【答案】 【分析】根据题意，结合对数函数的应用，代入即可求解. 【详解】因为鲑鱼的游速可以表示为函数，且一条鲑鱼的游速为， 所以，即， 所以，解得. 即它的耗氧量是个单位. 故答案为：. 5．把某溶液的浓度变为原来的称为一次“标准稀释”，那么通过_______次“标准稀释”后，该溶液的浓度达到初始浓度的．（用数字作答） 【答案】4 【分析】根据指数增长模型求解. 【详解】设初始溶液浓度为(，经过次“标准稀释”后溶液浓度为， 因为每次“标准稀释”后溶液浓度变为原来的， 所以经过次“标准稀释”后，溶液浓度， 已知经过次“标准稀释”后溶液浓度达到初始浓度的， 则可得，即，则， 所以通过次“标准稀释”后，该溶液的浓度达到初始浓度的． 故答案为：4． .三、解答题 6．20世纪30年代，里克特（）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，这里是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）. (1)若一次地震中，一个距离震中的测震仪记录的地震最大振幅是，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级（精确到）； (2)计算里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的多少倍？（附：） 【答案】(1)4.6级 (2)100倍 【分析】（1）根据，，计算即可得出结果； （2）由，化简计算求得即可得出结果. 【详解】（1）由题设可知：， 所以 ， 因此，该次地震的震级约为里氏4.6级. （2）设里氏8级和里氏6级地震的最大振幅分别为，. 由题设可得：， ∴， 因此，里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的100倍. 一、单选题 1．某产品连续两次降价，原价100元，现价（ ） A．80元 B．81元 C．82元 D．83元 【答案】B 【分析】根据题意，结合指数函数的应用，即可求解. 【详解】现价元. 故选：B. 2．里氏震级M的计算公式为，其中是测振仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测得，则这次地震的震级为（ ） A．3级 B．4级 C．5级 D．6级 【答案】C 【分析】根据对数函数的应用即可求解. 【详解】由，所以. 故则这次地震的震级为5级. 故选：C. 3．企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正的常数）．如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（ ） A．40% B．50% C．64% D．81% 【答案】C 【分析】由，得污染物含量的初始值为，根据得，得，代入，即可求出答案. 【详解】当时，；当时，， 即，得，所以； 当时，. 故选：C. 4．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与时间x（年）近似满足关系式，观测发现2019年冬（作为第一年）有越冬白鹤3000只，估计到2025年冬越冬白鹤有（ ） A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只 【答案】C 【分析】根据对数函数模型，分析解答即可. 【详解】由题意可知，当时，， 即， 所以，所以， 到2025年冬，即时， ， 即估计到2025年冬越冬白鹤有6000只. 故选：C. 二、填空题 5．某种储蓄利率为，按复利计算，若本金为30000元，设存入工期x年后的本金和利息为y元，则y随x变化的函数关系为________ 【答案】， 【分析】利用指数型函数求解即可； 【详解】由题可知，本金和利息. 故答案为： 6．某生物研究机构为了抑制一种有害昆虫的数量，引入了它的天敌动物进行实验.已知该引进动物的繁殖数量（只）与引入时间（年）的关系为，如果该动物在引入一年后的数量为100只，当该动物繁殖到500只时，会对生态环境造成危害，那么引入____________年后，必须采取措施进行预防. 【答案】31 【分析】根据题意求出值，再将代入关系式中即可得解. 【详解】该引进动物的繁殖数量（只）与引入时间（年）的关系为， 该动物在引入一年后的数量为100只，则，解得， 所以关系式为， 当时，， 解得年， 所以引入年后，必须采取措施进行预防， 故答案为：. 7．已知某种果蔬的有效保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）近似满足函数关系（为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间为_________小时 【答案】 【分析】首先将，和，代入函数解析式中，得出的值，再将代入求值即可. 【详解】已知， 将，和，， 得，得， 即，所以， 当时，， 所以在时，该果蔬的有效保鲜时间为小时， 故答案为：. 三、解答题 8．声音的强度等级（单位：分贝）与声音强度（单位：）满足. (1)当声音强度时，求声音的强度等级. (2)若声音强度等级分贝，求声音强度. 【答案】(1)分贝 (2) 【分析】（1）根据解析式，利用对数运算，即可求解. （2）根据解析式，利用对数式与指数式的互换，即可求解. 【详解】（1）由题意知， 当时，分贝. （2）由题意知声音强度等级分贝， 令分贝，即， 化简得， 即，解得. 9．一款智能手表的电池续航时间y（小时）与使用次数x满足指数函数关系. (1)使用10次后，电池续航时间为多少小时？ (2)若电池续航时间变为18小时，大约使用了多少次？（结果保留整数，参考数据：,，） 【答案】(1)22.7小时 (2)13次 【分析】（1）根据代入使用次数计算电池续航时间即可求解. （2）根据和给定续航时间列方程，利用对数求解使用次数即可. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 所以使用10次后电池续航时间约为小时. （2）因为，且， 所以，即. 两边取对数得， 所以（次）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 语文版《数学基础模块 上册》 第四单元 指数函数与对数函数 4.6 指数函数、对数函数的应用 一、单选题 1．若提供100个成语，小李在分钟内能够记忆的成语个数大致符合，（为常数），若小李在5分钟内能够记忆10个成语，则小李15分钟内能记忆的成语个数大约为（ ） A．21 B．24 C．27 D．30 2．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数内的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至10000，则C大约增加了（ ） A．11% B．22% C．33% D．100% 3．核酸检测在新冠疫情防控中起到了重要作用，是重要依据之一．核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则的值约为（参考数据：，）（ ） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 二、填空题 4．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现，鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，表示鲑鱼耗氧量的单位数.若一条鲑鱼的游速为，则它的耗氧量是_______个单位. 5．把某溶液的浓度变为原来的称为一次“标准稀释”，那么通过_______次“标准稀释”后，该溶液的浓度达到初始浓度的．（用数字作答） 三、解答题 6．20世纪30年代，里克特（）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，这里是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）. (1)若一次地震中，一个距离震中的测震仪记录的地震最大振幅是，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级（精确到）； (2)计算里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的多少倍？（附：） 一、单选题 1．某产品连续两次降价，原价100元，现价（ ） A．80元 B．81元 C．82元 D．83元 2．里氏震级M的计算公式为，其中是测振仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测得，则这次地震的震级为（ ） A．3级 B．4级 C．5级 D．6级 3．企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正的常数）．如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（ ） A．40% B．50% C．64% D．81% 4．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与时间x（年）近似满足关系式，观测发现2019年冬（作为第一年）有越冬白鹤3000只，估计到2025年冬越冬白鹤有（ ） A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只 二、填空题 5．某种储蓄利率为，按复利计算，若本金为30000元，设存入工期x年后的本金和利息为y元，则y随x变化的函数关系为________ 6．某生物研究机构为了抑制一种有害昆虫的数量，引入了它的天敌动物进行实验.已知该引进动物的繁殖数量（只）与引入时间（年）的关系为，如果该动物在引入一年后的数量为100只，当该动物繁殖到500只时，会对生态环境造成危害，那么引入____________年后，必须采取措施进行预防. 7．已知某种果蔬的有效保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）近似满足函数关系（为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间为_________小时 三、解答题 8．声音的强度等级（单位：分贝）与声音强度（单位：）满足. (1)当声音强度时，求声音的强度等级. (2)若声音强度等级分贝，求声音强度. 9．一款智能手表的电池续航时间y（小时）与使用次数x满足指数函数关系. (1)使用10次后，电池续航时间为多少小时？ (2)若电池续航时间变为18小时，大约使用了多少次？（结果保留整数，参考数据：,，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $