4.6 指数函数、对数函数的应用（教案）--语文版《数学 基础模块上册》《上好课》

语文版《数学基础模块 上册》 第四单元 指数函数与对数函数 4.6 指数函数、对数函数的应用 一、教材 语文出版社《数学》（基础模块 上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节是语文版数学基础模块上册第四单元指数函数与对数函数的收尾内容，核心知识点包括指数函数模型、对数函数模型在实际问题中的应用，以及利用函数性质求解最值、参数等问题。本节内容既是指数函数、对数函数概念与性质的综合延伸，也是数学建模思想的重要体现，为后续学习其他函数模型的应用、提升数学综合运用能力奠定了基础。教材以生活中的实际情境为逻辑主线，既整合了学生对指数、对数运算及函数性质的已有认知，又强化了实际问题到数学模型再到实际验证的思维链条，突出了数学的工具性与应用性。 五、学情分析 多数学生已具备指数函数与对数函数的定义、图像性质、基本运算的认知基础，并且对生活中增长快慢等现象有一定直观认识，这为他们学习指数函数与对数函数的应用打下了基础。但如果只采用单纯例题讲解的方式可能无法引起学生的学习兴趣，还容易对实际问题中数量关系提炼不准确、忽略定义域的实际限制、建模后不能正确运用函数性质求解、对结果的实际意义检验不到位。因此可以通过与生活实际紧密结合的实例、分步拆解建模过程等方法帮助学生掌握本节内容，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.理解并掌握指数函数与对数函数模型的实际意义； 2.能从实际问题中抽象出具体模型并运用指数函数与对数函数的性质解决实际问题； 3.通过指数函数与对数函数应用的学习与实践，提升从实际情境中抽象数学模型的能力，培养数学建模、逻辑推理的核心素养。 七、教学重点 1.指数函数与对数函数模型的实际意义； 2.从实际问题中抽象出具体模型。 八、教学难点 运用指数函数与对数函数的性质解决实际问题。 九、教学方法 案例法：通过案例帮助学生理解指数函数与对数函数的应用，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对指数函数与对数函数的应用进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究指数函数与对数函数的应用，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 知识回顾 知识回顾： 同学们，我们在之前的课程中已经学习了指数函数与对数函数的相关定义、图像和性质，接下来让我们进行一个简单的回顾： 1.什么是指数函数？ 一般地，形如且，的函数，叫做指数函数.其中，是自变量，是不等于1的正的常数. 2.指数函数的图像和性质是怎样的？ 3.什么是对数函数？ 一般地，形如（且），的函数，叫做对数函数。 4.对数函数的图像和性质是怎样的？ 指数函数、对数函数在许多实际问题中都有重要的应用，下面我们来举例说明． 通过回顾旧知识点引出新知识：指数函数与对数函数的应用。 教学引入 【案例1】某金融学毕业生开发一种储蓄按复利计算利率，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期为，写出本利和随存期变化的函数解析式．如果存入本金1000元，每期利率8%，试计算5期后的本利和是多少（精确到0.01）． 【分析】已知本金为元， 1期后的本利和为； 2期后的本利和为； 3期后的本利和为； …… 期后的本利和为。 将，，代入上式，得 。 利用计算器计算，得 。 答：按复利计算的函数式为，5期后的本利和约为1469.33元。 说明：在实际问题中，我们常常会遇到有关计算平均增长率的问题。如果原来产值的基础数为，平均增长率为，则对于时间的总产值或总产量，可以表示为。 今后遇到解决平均增长率的问题，都要用到这个函数式。 【案例2】某机电学校优秀毕业生开办的机械加工厂今年年利润收入为1000万元，如果两年利润收入平均增长率为6%，那么经过几年后它的年利润收入可以翻两番？ 【分析】设经过年后工厂年利润收入为，则 ， 两边取常用对数，得， 而 答：大约经过24年后，这个工厂年利润收入可以翻两番。 通过案例分析引出指数函数与对数函数的应用。 新知讲授 指数函数、对数函数的应用 总结指数函数与对数函数的应用。 案例分析 【案例】按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期为，写出本利和随存期变化的函数解析式．如果存入本金1000元，每期利率为，试计算5期后的本利和是多少（，精确到1元）？ 【解析】由题意，1期到期本利和为：， 2期到期本利和为：， 3期到期本利和为：， 所以存期为时，本利和（）； 将，，代入得 元， 即5期后的本利和约是元. 【案例】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，求该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份（参考数据：，，）． 【解析】设经过年后公司的研发资金为，， 则， 两边取以为底的对数，根据函数可得， 即， 所以当即年时，， 所以到2027年，公司研发资金开始超过200万元． 通过案例来帮助学生更好地理解指数函数与对数函数的应用。。 学以致用 的基础上再降价 . (1)用含 的代数式表示促销后的价格； (2)若促销后价格为81元，求原价 . 【解析】（1）第一次降价后价格是, 第二次降价后价格是； （2）由题意 ，解得 ， 故原价为100元. 【练习】某企业的投资回报率与投资项目的运营时长（年）满足. (1)当投资项目运营时长为年时，求投资回报率. (2)若要使投资回报率达到，求投资项目运营时长. 【解析】（1）因为投资回报率与投资项目的运营时长满足， 当时，， 因为，所以. （2）由题意知，投资回报率达到时，， 即， 化简得， 即，解得. 同学们，我们现在已经掌握了指数函数与对数函数的相关应用，接下来老师将举例一些场景，请大家判断应该用指数函数还是对数函数解决？ 1.已知初始细菌数和繁殖时间，算最终数量；指数函数 2.已知最终细菌数和初始数量，算繁殖了多久；对数函数 3.已知存款时间，算本息和；指数函数 4.已知目标本息和，算存款时间；对数函数 5.已知声音的声压，算分贝数.对数函数 通过及时练习以及知识回顾，进一步加强学生对指数函数与对数函数的应用的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】一种产品原来的年产量是a件，今后10年内，计划使产量平均每年比上一年增加，则年产量y（单位：件）关于经过的年数x（且）的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【解析】∵原年产量是a件，计划使产量平均每年比上一年增加， ∴每年产量是上一年的倍， ∴经过的年数x（且）后的年产量为， ∴函数解析式为. 故选：A. 【练习2】某商品的价格每年以的速率递增，若当前价格为元，则至少经过多少年后价格能达到元？（参考数据： ，）（ ） A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 【解析】设经过年后价格最接近元， 则，即， 所以，即， 由，， 得，所以至少经过6年后价格能达到元， 故选：B. 【练习3】某商品的价格今年比去年上涨了，若要恢复到去年的价格，明年应降价（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意，设去年的价格为a，则今年的价格为， 设要恢复到去年的价格，明年应降价x,则， 解得. 故选：B. 【练习4】地震能量与震级满足，若8.0级地震能量为，6.0级地震能量为，则是的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【解析】由得：. 对于8.0级：. 对于6.0级：. 所以：. . 故选：A. 【练习5】习总书记说“绿水青山就是金山银山”某林场牢记使命、攻坚克难，绿色种植面积以每5年的速度增长，要达到最初种植面积的10倍大约需要经过（ ）年？ A．50 B．100 C．125 D．200 【解析】设需要经过5n年，才能达到最初种植面积的10倍， 则，所以， 所以. 故选：C. 【练习6】声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为， ，， ，， 所以， 因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍. 故选：B. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺。 知识梳理 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过选取典型实际问题引入，多数学生能初步理解指数函数与对数函数在实际中的应用意义，掌握简单模型的建立与求解方法。但在课堂检测中也发现：个别学生在结合函数单调性、最值求解实际问题时，出现步骤不规范的问题，因此在课后练习中，需增加相关的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $