广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高一下学期五一假期数学作业（二）

**基本信息** 以复数、向量、立体几何、解三角形为核心，通过“概念辨析-原理应用-综合拓展”逻辑链整合高一数学模块，提炼运算技巧与空间推理方法，培养数学思维与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|2题|复数运算及虚部定义、共轭复数性质|从复数概念到几何意义的理解| |平面向量|5题|投影向量公式、数量积运算、共线定理|向量线性运算到数量积的应用拓展| |立体几何|6题|斜二测画法面积关系、体积公式、线面平行判定|空间几何体结构到位置关系的推理| |解三角形|5题|正弦定理、余弦定理、三角恒等变换|从边角关系到三角形性质的综合应用|

东莞市第十三高级中学2025-2026学年高一年级五一假期数学作业（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，向量在向量方向上的投影向量为，则（   ） A．3 B． C．2 D． 3．在中，点C满足，，则（    ） A． B． C．-1 D．1 4．用斜二测画法作一个边长为6的正方形，则其直观图的面积为（    ） A．36 B． C． D． 5．的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知直三棱柱的所有棱长都相等，点为正方形的中心，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，实心铁制几何体AEFCBD由一个直三棱柱与一个三棱锥构成，已知，，，，且，底面AEF.某工厂要将其铸成一个实心铁球，假设在铸球过程中原材料将损耗，则铸得的铁球的半径为 A． B． C． D． 8．锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足，函数，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题 9．在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．实轴上的点表示的数均为实数 B．虚轴上的点表示的数均为纯虚数 C．共轭复数的实部相等，虚部互为相反数 D．若为实数，则为纯虚数 10．在棱长为4的正方体中，动点在正方形（包括边界）内运动，且满足平面，则下列结论正确的是（    ） A．线段长度的最小值为 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角正弦值的取值范围为 D．若动点在线段上，则线段长度的最小值为 11．下列各式中，化简结果为 的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知向量，且，则_______ 13．如图，海中有一小岛B，周围3.8海里内有暗礁，一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°，若此舰不改变航行的方向继续前进，则此舰____________触礁的危险．（填“有”或“没有”） 14．如图，正方体的一个截面经过顶点，及棱上－点，其将正方体分成体积比为的两部分，则的值为______. 四、解答题 15．（1）若，求； （2）已知，，，求和的夹角. 16．已知向量，，，向量、的夹角为. （1）若A、B、C三点共线，求； （2）求. 17．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，求周长的取值范围. 18．如图，长方体中，分别是，的中点，分别是，的中点，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）求三棱锥的体积. 19．如果三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称它为倍角三角形．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)判断是否为倍角三角形，并说明理由； (2)已知． ①证明：是锐角三角形； ②若，求面积的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A C D D A A AC ABD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】根据复数的运算化简得，再根据虚部的定义即可求解． 【详解】，则所求虚部为. 故选：A． 2．B 【分析】根据投影向量的定义求出，再由数量积的定义计算可得. 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，， 所以， 所以． 因为，所以，所以（负值舍去）． 故选：B． 3．A 【分析】根据平面向量的加减法求出，即可. 【详解】根据向量加法的三角形法则得到， 化简得到， 所以，，则． 故选：A 【点睛】本题考查的是平面向量的加减法，较简单. 4．C 【分析】根据给定条件，利用斜二测画法所得直观图与原图形面积关系求得答案. 【详解】在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的，而边长为6的正方形面积为， 所以所求的直观图的面积为. 故选：C 5．D 【分析】根据题意，得到，利用余弦定理，求得，结合角为锐角，即可求解. 【详解】由，可得，即， 又由余弦定理，可得， 又因为角为锐角，即，所以，即角的取值范围是. 故选：D. 6．D 【分析】首先作辅助线，寻找异面直线所成的角或其补角，其次设棱长，求出相关线段长，最终利用等腰三角形的性质求解即可. 【详解】 如图，取中点，连接，则， 所以， 又为棱的中点，所以， 所以四边形是平行四边形， 故，所以或其补角就是异面直线与所成的角． 设该三棱柱的棱长为2，则， 而在等腰三角形中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D． 7．A 【分析】由球的体积等于该铁制几何体体积的80%可得球半径． 【详解】设铸得的铁球的半径为rcm.依题意，可得该几何体的体积为，则，解得. 故选：A． 【点睛】本题考查棱柱、棱锥、球的体积，掌握基本几何体的体积公式是解题关键． 8．A 【解析】先根据余弦定理得到，再根据正弦定理和两角和差正弦公式可得sinA=sin(B-A)，根据三角形为锐角三角形，求得，以及，的范围，再求出f(B)的表达式，利用三角函数的图像和性质求解. 【详解】，， ， ， ， ， 三角形为锐角三角形，，， ， ， = =， 所以, 因为, 所以. 故选A 【点睛】本题主要考查余弦定正弦定理理解三角形和三角函数的图像和性质，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．AC 【分析】根据复数的分类和实轴、虚轴的性质进行逐一判断即可. 【详解】A：因为实轴上的点表示的数均为实数，所以本选项说法正确； B：因为虚轴上的点（除原点外）表示的数均为纯虚数，所以本选项说法不正确； C：根据共轭复数的定义可知：共轭复数的实部相等，虚部互为相反数，所以本选项说法正确； D：当时，，而是实数不是纯虚数，所以本选项说法不正确， 故选：AC 10．ABD 【分析】对于,利用面面平行，确定点在线段在线段上，当时，线段长度的最小； 对于,三棱柱体积转化为，根据线面平行可知，点到平面的距离为定值， 即可判断； 对于,点是的中点，直线与所成角为，可排除； 对于，线段长度可转化为直线与之间的距离，在转化为线面距，即可求解. 【详解】对于,如下图所示，    连接, 易得平面,所以平面, 同理，平面,又所以平面平面, 又平面平面,故可知动点在线段上， 则时，线段长度的最小，此时是的中点，易求 所以正确； 对于,平面，故点到平面的距离为定值， 又的面积也为定值，则为定值，即三棱锥的体积为定值， 所以正确； 对于因为直线与所成角即为异面直线与所成角， 又为等边三角形，当位于的中点时，， 即直线与所成角为，其正弦值为故错误； 对于,由题意，异面直线与之间的距离，即为线段长度的最小值， 连接平面,    故平面,则异面直线与之间的距离 即为到平面距离，即点到平面的距离，设为 又    即 即则正确. 故选： 11．ABD 【分析】利用两角和的正切公式判断A、B，利用两角差的正弦公式判断C，利用二倍角公式判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：ABD 12． 【分析】根据给定条件借助平面向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】因为向量，且，则有，解得， 所以. 故答案为： 13．没有 【分析】过点作交于，在中算出在中算出，再利用即可得到答案 【详解】过点作交于，由已知，， 在中，， 在中，， 所以， 因为， 所以，所以该军舰没有触礁的危险． 故答案为：没有 14． 【分析】作出平面截正方体所得的截面，可知为等腰梯形；设，可利用表示出，利用切割的方式可表示出三棱台的体积，利用体积建立方程求得，进而得到，作比得到结果. 【详解】设平面与线段交于点，则截面为等腰梯形，延长两腰交于点，如下图所示： 设正方体棱长为，设，则，， 三棱台的体积： 又正方体体积    ，解得：      【点睛】本题考查空间几何体体积的相关问题的求解，关键是能够利用切割的方式，利用变量表示出三棱台的体积，进而利用体积构造方程求得变量的值；本题同样可直接采用棱台的体积公式来求解棱台的体积. 15．（1） ；（2） 【分析】（1）利用共轭复数的概念计算即可； （2）利用平面向量数量积运算律及夹角公式计算即可. 【详解】（1）由，得； （2）由， 得， 又，，， ， 和的夹角为 16．（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，若、、三点共线，则表达和，根据向量共线定理的坐标表示，可求得的值，求得模长. （2）根据题意，先求向量、的夹角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式求出正弦值. 【详解】解：（1）已知向量，， ∴，， 由点、、三点共线，得.解得. ， （3）因为，，所以，，， ，又，则. 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，平面向量数量积的应用，还考查了学生的计算能力，属于基础题. 17．(1)； (2). 【分析】（1）将所给的三角恒等式整理变形得，结合为锐角三角形求角； （2）设的外接圆半径为，由正弦定理得，进而有，利用为锐角三角形及正弦型函数性质求周长的取值范围. 【详解】（1）由，则， ∴，整理得， ∴或，又， ∴，即. （2）设的外接圆半径为，则，可得. ∴， 由题意，可得，则， ∴，故， ∴周长的取值范围是. 18．（1）证明见解析；（2）；（3）. 【分析】（1）取的中点，连接、，由平面几何的知识可得，，再由线面平行、面面平行的判定可得平面平面，再由面面平行的性质即可得证； （2）取的中点，过点作于，连接、，由题意结合长方体的几何特征、线面垂直的判定与性质可得即为二面角的平面角，计算出的长度即可得解； （3）由题意可得，由三棱锥的体积公式即可得解. 【详解】（1）证明：取的中点，连接、，如图： 因为分别是，的中点，所以，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，所以平面平面， 因为平面，所以平面； （2）取的中点，过点作于，连接、，如图： 因为是的中点，所以， 由长方体的性质可得平面，所以，， 又，所以平面，， 所以即为二面角的平面角， 因为，， 所以， 所以，所以， 所以， 所以二面角的正弦值为； （3）由题意三棱锥的体积， 又分别是，的中点，所以四边形为矩形， 所以， 所以， 所以三棱锥的体积为. 【点睛】本题考查了长方体几何特征及线面平行、面面平行的性质、判定的应用，考查了几何体体积的求解，属于中档题. 19．(1)是；理由见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）利用正弦定理将已知的边角比例关系转化为边的关系式，结合余弦定理与三角形内角和定理推导出存在一个内角等于另一个内角的两倍，从而完成判断； （2）结合第一问得到的的结论，由三角形内角和得到，再利用正弦定理将转化为关于角的三角函数不等式，求出三个内角的范围后验证三个内角都小于，完成证明；②由和确定的取值范围，结合第一问得到的边、角关系，将三角形面积表示为关于的函数，结合函数单调性求出面积的取值范围. 【详解】（1）△ABC是倍角三角形，理由如下： 由正弦定理得，结合已知条件可得，交叉相乘得： ， 由余弦定理，联立两式化简得， 由正弦定理可得， 又，， 代入整理得因为，所以或， 若得，不符合三角形内角和，舍去； 故，即，符合倍角三角形定义，因此是倍角三角形. （2）① 证明是锐角三角形： 由，得， 由正弦定理， 已知，故，又，得，即， 因为，，， 因此三个内角均为锐角，是锐角三角形. ②因为，所以， 由正弦定理及得，所以， 所以，又，所以， 所以， 又，所以， 因为函数在单调递增，， 所以，所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $