专题07 探索规律（思维导图+必备知识&考点清单+分层训练）全国通用-2026年小升初数学二轮复习真题培优讲练

该小学数学小升初探索规律专题复习讲义，涵盖数字、图形、算式、周期等六大规律知识点，通过导图指引构建思维框架、知识清单梳理考点考向、考点讲练强化解题技能、分层训练夯实基础与拓展拔尖，帮助学生掌握通用解法与实战技巧。 亮点在于母题精讲结合举一反三，如整数排列规律通过分析相邻数差倍关系培养推理意识，图形变化规律用磁力球模型探究培养几何直观。分层训练覆盖基础与拔尖，助力学生提升规律探究能力，教师可精准把握考点，提高复习针对性与效率。

2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•全国通用 专题07 探索规律（必备知识&二轮复习+考点清单 全国通用） 【解析版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01 数字中的规律 知识点02 图形中的规律 知识点03 算式中的规律 知识点04 数形结合的规律 知识点05 周期规律 知识点06 找规律问题常见策略 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点一 算式的规律（整数） 考点二 算式的规律（分数） 考点三 整数排列的规律 考点四 分数排列的规律 考点五 图形的变化规律 考点六 图形的运动规律 考点七 数表中的规律 考点八 简单覆盖规律 考点九 通过操作实验探索规律 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 数字中的规律 知识必备 1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发现规律； 2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方； 重要提示：根据规律找到空缺的数后注意与前后数运用规律检验 知识点02 图形中的规律 知识必备 1.根据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换..... 2.可通过观察、分析、猜想等方法探索 知识点03 算式中的规律 知识必备 1.先要真正观察算式与结果的特点，再根据规律计算出这一类算式结果 2.可运用计算器计算，发现得数的规律。 知识点04 数形结合的规律 知识必备 1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题 2.可将“形”转化为“数"，再探索变化规律。 知识点05 周期规律 知识必备 1.找出图形或数字依次重复出现的现象，从而找出规律解决问题 2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。 知识点06 找规律问题常见策略 知识必备 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。 重要提示：对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式. 考●点●讲●练 考点一 算式的规律（整数） 母题精讲（2025·湖南长沙·小升初真题）表示n个a相乘，那么结果的个位数字是( )。 【答案】7 【思路引导】一个数的乘方的个位数字，会按照固定的周期循环出现。我们先分别找出2n、3n、7n、9n的个位数字循环规律，再根据指数计算出每个数的个位，最后相加取个位即可。 【规范解答】22015的个位数字：2n的个位数字周期为：2，4，8，6； 2015÷4＝503⋯⋯3，余数为3，对应周期第3个数字，个位是8。 32016的个位数字：3n的个位数字周期为：3，9，7，1； 2016÷4＝504，余数为0，对应周期第4个数字，个位是1。 72017的个位数字：7n的个位数字周期为：7，9，3，1； 2017÷4＝504⋯⋯1，余数为1，对应周期第1个数字，个位是7。 92018的个位数字：9n的个位数字周期为：9，1； 2018÷2＝1009，余数为0，对应周期第2个数字，个位是1。 求和取个位：8＋1＋7＋1＝17，个位数字为7。 举一反三01（2025·湖南长沙·小升初真题）用表示组成n的数字中不是零的几个数字乘积，例如：；；。则( )。 【答案】2116 【思路引导】根据题意可以得到规律：个位数结果为个位数，十位数结果为十位数×个位数，百位数为百位数×个位数．据此规律解决此题即可，f（10）＝1，f（20）＝2，f（30）＝3，f（40）＝4，f（50）＝5，f（60）＝6，f（70）＝7，f（80）＝8，f（90）＝9，f（100）＝1。 【规范解答】f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（99）＋f（100） ＝（1＋2＋3…＋9）＋1×（1＋2＋3…＋9）＋2×（1＋2＋3…＋9）＋3×（1＋2＋3…＋9）＋…＋9×（1＋2＋3…＋9）＋（1＋2＋3…＋9＋1） ＝（1＋2＋3…＋9）×（1＋1＋2＋3…＋9）＋46 ＝45×46＋46 ＝2070＋46 ＝2116 f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（99）＋f（100）＝2116。 【考点剖析】解决这道题关键是根据题意可以得到规律：个位数结果为个位数，十位数结果为十位数×个位数，百位数为百位数×个位数．据此规律解决此题即可。 举一反三02（2025·湖南长沙·小升初真题）①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9    ②6＋7＋8＋9＋10＝8×5 ③472＋473＋474＋475＋476＋477＋478＝475×7 根据以上三个规律，请你回答下面问题： 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×_____。 你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个。_____ 【答案】 9 11＋12＋13＋14＋15＝13×5 【思路引导】通过观察给定的三个例子，发现连续奇数个整数的和等于中间数乘整数的个数。据此数出算式中加数的个数即可解答第一空；第二空写出的是连续奇数个整数的和即可（答案不唯一）。 【规范解答】101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×9 同样规律的加法算式：11＋12＋13＋14＋15＝13×5（答案不唯一） 考点二 算式的规律（分数） 母题精讲（2025·安徽合肥·小升初真题）脱式计算（能简算的要简算）             123×5.67＋8.77×567         1－ 【答案】；1； 5670； 【思路引导】（1）先算括号内的加法，先把小括号里的异分母进行通分再相加得到的结果乘2后，再算括号外的分数除法，据此得到结果； （2）利用加法交换律先把和交换位置，得到，再利用加法结合律和减法性质得到简便计算，据此得到结果； （3）首先将8.77×567转化为877×5.67，再利用乘法分配律简便计算，据此得到结果； （4）先把化成，化成，化成，化成，化成，化成，化成，再去掉括号计算，据此得到结果。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝2－1 ＝1 （3）123×5.67＋8.77×567   ＝123×5.67＋877×5.67 ＝（123＋877）×5.67 ＝1000×5.67 ＝5670 （4）1－ ＝1－－－－－－－ ＝1－1＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋ ＝ 举一反三01（2025·吉林长春·小升初真题）计算。 ①           ② ③                       ④ 【答案】①1740；②11110； ③1022；④ 【思路引导】①将化成小数，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算进行简便计算； ②将转化成，根据加法交换律a＋b＝b＋a和加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）将、、和分别与一个相加即可凑整简便； ③利用换元法，设＝，则＝，用即可求得； ④＝，而＝，所以＝，所以＝；同理可知＝，＝，＝；再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算进行简便计算； 据此计算。 【规范解答】① ＝17.4×37－17.4×19＋17.4×82 ＝17.4×（37－19＋82） ＝17.4×100 ＝1740 ② ＝ ＝ ＝ ＝10＋100＋1000＋10000 ＝11110 ③设＝ 则＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1024－2 ＝1022 即＝1022 所以＝1022 ④ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【考点剖析】本题关键在于找出数与数之间的规律。 举一反三02（2024·山东青岛·小升初真题）在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的，得到和两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的，第4次操作就在第三次操作基上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的，经过4次操作后所有数的和是________。 【答案】32 【思路引导】根据题意可知：1＋3＝4 第一次操作后所有数的和是1＋4＋3＝8。 第二次操作后所有数的和是，从，可知：中间的4算了2次，头尾的1和3只算了1次；若1、4、3都各算了2次，再减去头尾的1和3多算的1次，那么第二次比第一次就增加，第二次操作后所有数的和就可以是：。 据此第三次操作后所有数的和＝第二次操作后所有数的和＋第二次操作后所有数的和×2×－4×。 同理第四次操作后所有数的和＝第三次操作后所有数的和＋第三次操作后所有数的和×2×－4×。据此解答。 【规范解答】1＋3＝4 第一次操作后所有数的和是1＋4＋3＝8。 第二次操作后所有数的和： ＝ ＝14 第三次操作后所有数的和： ＝ ＝22 第四次操作后所有数的和： ＝ ＝32 经过4次操作后所有数的和是32。 【考点剖析】根据每次增加的数的规律，推导每次操作后所有数的和的关系式是解题的关键。 考点三 整数排列的规律 母题精讲（2025·广东佛山·小升初模拟）1、2、5、14、41、122，下一个数是( )。 【答案】365 【思路引导】通过观察，2＝1×3－1，5＝2×3－1，14＝5×3－1，41＝14×3－1，122＝41×3－1，发现后一个数是前一个数乘3减1。据此解答。 【规范解答】根据分析得出： 122×3－1 ＝366－1 ＝365 1、2、5、14、41、122，下一个数是365。 举一反三01（2025·湖南长沙·小升初真题）观察数列，将数列补充完整：1，3，8，22，60，_____，448。 【答案】164 【思路引导】通过观察数列，发现从第三项开始，每一项等于前两项之和再乘2。因此，第六项（空白处）等于第四项和第五项之和再乘2，据此计算；再验证第五项和第六项之和再乘2是否等于第七项，据此解答。 【规范解答】第三项：（1＋3）×2＝4×2＝8 第四项：（3＋8）×2＝11×2＝22 第五项：（8＋22）×2＝30×2＝60 第六项：（22＋60）×2＝82×2＝164 验证第七项：（60＋164）×2＝224×2＝448，与给定值一致。 因此，观察数列，将数列补充完整：1，3，8，22，60，164，448。 【考点剖析】解答本题的关键是找到规律：从第三项开始，每一项等于前两项之和的2倍，并验证后续项以确保规律的正确性。 举一反三02（2025·重庆北碚·小升初真题）使用数字0，2，3，5，7，9组成无重复数字的数。 （1）四位数有多少个？ （2）四位数奇数有多少个？ （3）四位数偶数有多少个？ （4）整数（包括一位，两位，三位，四位）有多少个？ （5）是5的倍数的三位数有多少个？ （6）是25的倍数的四位数有多少个？ （7）大于3920的四位数有多少个？ （8）小于3920的四位数有多少个？ （9）由小到大排列的四位数中，3920是第几个数？ （10）由小到大排列的四位数中，第128个数是多少？ 【答案】（1）300个；（2）192个；（3）108个；（4）431个；（5）36个；（6）30个；（7）188个；（8）111个；（9）112个；（10）5073 【思路引导】最高位不能为0。 四位数＝千位＋百位＋十位＋个位，千位不能为 0，按“千位→百位→十位→个位”分步选。 三位数＝百位＋十位＋个位，百位不能为 0，按“百位→十位→个位”分步选。 用乘法算搭配数，用各个数位上的选择数相乘，算出总数。 （1）千位：可选2、3、5、7、9，有5种选择； 百位：千位用了1个数字，剩5个（含0），有5种选择； 十位：剩4个数字，有4种选择； 个位：剩3个数字，有3种选择。 用乘法算搭配数，列式为5×5×4×3，算出四位数的个数。 （2）奇数的个位必须是单数（3、5、7、9），先定个位，再选千位（不能为 0 和个位已用数字）： 个位：3、5、7、9，有4种选择； 千位：去掉0和个位的数字，有4种选择； 百位：剩4个数字，有4种选择； 十位：剩3个数字，有3种选择。 用乘法算搭配数，列式为4×4×4×3，算出四位数奇数的个数。 （3）偶数的个位是0或 2，分两类（个位是0和个位是2）： 个位是0：千位有5种选择，百位有4种选择，十位有3种选择。 用乘法算搭配数，列式为5×4×3。 个位是2：千位有4种选择、百位有4种选择、十位有3种选择。 用乘法算搭配数，列式为4×4×3。 将两种分类个数加起来，算出四位数偶数的个数。 （4）一位数：0、2、3、5、7、9，有6个； 两位数：十位有5种选择（非0），个位有5种选择（剩5个数字）。 用乘法算搭配数，列式为5×5。 三位数：百位有5种选择，十位有5种选择，个位有4种选择。 用乘法算搭配数，列式为5×5×4。 四位数：有300个。 将一位数、两位数、三位数和四位数的个数加起来，就是整数的个数。 （5）5的倍数个位是0或5，分两类： 个位是0（百位非0）：百位有5种选择，十位有4种选择。 用乘法算搭配数，列式为5×4。 个位是5（百位不能是0和5）：百位有4种选择，十位有4种选择。 用乘法算搭配数，列式为4×4。 将两类个数相加，就是5的倍数的三位数的个数。 （6）25的倍数末两位必须是25、50、75，分三类： 末两位是25：千位不能是 0、2、5，有3种选择；百位剩3个数字，有3种选择。 用乘法算搭配数，列式为3×3 ； 末两位是50：千位不能是0、5，有4种选择；百位剩3个数字，有3种选择。 用乘法算搭配数，列式为4×3。 末两位是75：千位不能是0、7、5，有3种选择；百位剩3个数字，有3种选择。 用乘法算搭配数，列式为3×3 。 将三类个数相加，就是25的倍数的四位数的个数。 （7）千位大于3，有3种选择，百位有5种选择、十位有4种选择、个位有3种选择。 用乘法算搭配数，列式为3×5×4×3。 千位等于3，百位只能等于9； 十位大于2（5、7），有2种选择，个位有3种选择。 用乘法算搭配数，列式为2×3。 十位等于2：个位有2种选择。 将三种情况的结果相加，就是大于3920的四位数的个数。 （8）四位数总数有300个，减去“大于 3920的四位数（188个）”和“等于 3920的四位数（1个）”，就是小于3920的四位数的个数。 （9）由小到大排列，3920 前面的数就是“小于 3920 的四位数”，所以个数＝前面的数的个数＋1。 （10）按千位从小到大排，先算千位的个数： 千位等于2，百位有5种选择，十位有4选择，个位有3种选择。 用乘法算搭配数，列式为5×4×3 ＝20×3 ＝60（个） 千位等于3，百位有5种选择，十位有4选择，个位有3种选择。 用乘法算搭配数，列式为5×4×3 ＝20×3 ＝60（个） 60＋60＝120（个） 千位等于5，百位等于0时： 十位等于2，个位有3种选择（5023、5027、5029，第121～123个）； 十位等于3，个位有3种选择（5032、5037、5039，第124～126个）； 十位等于7，第127个是5072，第128个数5073。 【规范解答】（1）5×5×4×3 ＝25×4×3 ＝100×3 ＝ 300（个） 答：四位数有300个。 （2）4×4×4×3 ＝16×4×3 ＝64×3 ＝192（个） 答：四位数奇数有192个。 （3）个位上是0：5×4×3 ＝20×3 ＝60（个） 个位上是2：4×4×3 ＝16×3 ＝48（个） 60＋48＝108（个） 答：四位数偶数有108个。 （4）一位数：有6个； 两位数：5×5＝25（个）； 三位数：5×5×4 ＝25×4 ＝100（个） 四位数：300个。 6＋25＋100＋300＝431（个） 答：整数有431个。 （5）个位是0：5×4＝20（个） 个位是5：4×4＝16（个） 20＋16＝36（个） 答：是5的倍数的三位数有36个。 （6）末两位是25：3×3＝9（个） 末两位是50：4×3＝12（个） 末两位是75：3×3＝9（个） 9＋12＋9＝30（个） 答：是25的倍数的四位数有30个。 （7）千位大于3：3×5×4×3 ＝15×4×3 ＝60×3 ＝180（个） 千位等于3，百位等于9，十位大于2：2×3＝6（个） 千位等于3，百位等于9，十位等2：2个 180＋6＋2＝188（个） 答：大于3920的四位数有188个。 （8）300－188－1 ＝112－1 ＝111（个） 答：小于3920的四位数有111个。 （9）111＋1＝112（个） 答：由小到大排列的四位数中，3920是第112个数。 （10）千位等于2：5×4×3 ＝20×3 ＝60（个） 千位等于3：5×4×3 ＝20×3 ＝60（个） 60＋60＝120（个） 千位等于5，百位等于0，十位等于2，个位有3种选择（5023、5027、5029，第121～123个）； 十位等于3，个位有3种选择（5032、5037、5039，第 124～126个）； 十位等于7，第127个数是5072，第128个数是5073。 答：由小到大排列的四位数中，第128个数是5073。 【考点剖析】最高位不能为0； 特殊要求（奇数、偶数、5的倍数等）先定“特殊位置”（如个位），再选其他位置； 用“乘法算搭配数”，用“加法算总个数”； 比较大小、排序问题，按“高位到低位”依次分析（先看千位，再看百位……）。 考点四 分数排列的规律 母题精讲（2025·贵州黔西·小升初模拟）找规律填空。 (1)，，，______，15。 (2)，，，，______，______。 【答案】(1)5 (2) 【思路引导】（1）×3＝，×3＝，则此题的规律是前一个数乘3等于后一个数。据此解答。 （2）×＝，×＝，×＝，则此题的规律是前一个数乘等于后一个数。据此解答。 【规范解答】（1）×3＝，×3＝，×3＝5，3×5＝15。 所以，这组数据是，，，5，15。 （2）×＝，×＝，×＝，×＝，×＝。 所以，这组数据是，，，，，。 举一反三01（2025·重庆北碚·小升初真题）观察数列：，，，，，，，，……，，的规律，数列中第2008项是______。 【答案】 【思路引导】首先根据题意，可得分母是2、4、6、8…的个数，分别是1、2、3、4…，若有m行，则共有个数。当时，一共有个数据；当时，一共有个数据。可得数列中第2008项的分母是63×2＝126，分子是，据此判断出数列中第2008项是多少。 【规范解答】数列改写如下： 第1行：， 第2行：，， 第3行：，，， 第4行：，，，， 故第行：，，，， 一共有个数据， 当时，一共有个数据， 当时，一共有个数据， 故分母，，分子为，故第2008项是。 【考点剖析】观察所给分数的分子和分母，可知可得分母是2、4、6、8...的个数分别是1、2、3、4... 若有m行，则共有个数。找到和2008相邻的两个数，m＝62和63，所以第2008项m＝63，这个分数的分母为63×2，分子为，即可写出第2008项的数。 举一反三02（2025·重庆渝北·小升初真题）有一串数、、、、、、、、、、、、、、、、…，这串数从左开始数，第__________个数是。 【答案】111 【思路引导】观察这串数，分母是1的有1个，1＝1×2－1；分母是2的有3个，3＝2×2－1；分母是3的有5个，5＝3×2－1；分母是4的有7个，7＝4×2－1……同分母分数的个数＝分母是几就用几×2－1；分子从1先递增到与分母相同，再递减到1。据此先计算分母1到10的分数总个数，再加上分母11的分数中的位置即可。 【规范解答】分母是1的分数：1个； 分母是2的分数：3个； 分母是3的分数：5个； 分母是4的分数：7个； 分母是5的分数：5×2－1 ＝10－1 ＝9（个） 分母是6的分数：6×2－1 ＝12－1 ＝11（个） 分母是7的分数：7×2－1 ＝14－1 ＝13（个） 分母是8的分数：8×2－1 ＝16－1 ＝15（个） 分母是9的分数：9×2－1 ＝18－1 ＝17（个） 分母是10的分数：10×2－1 ＝20－1 ＝19（个） 1＋3＋5＋7＋……＋17＋19 ＝（1＋19）×10÷2 ＝20×10÷2 ＝100（个） 100＋11＝111（个） 第111个数是。 【考点剖析】关键是看懂这一列数的排列规律，先求出分母1到10的分数总个数。 考点五 图形的变化规律 母题精讲（2025·湖南长沙·小升初真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 【答案】 26 10 【思路引导】1个黑圆时，白圆有6个； 2个黑圆时，白圆有6＋4＝6＋4×1＝6＋4×（2－1）＝10个； 3个黑圆时，白圆有6＋4＋4＝6＋4×2＝6＋4×（3－1）＝14个； …… n个黑圆时，白色圆片数为： 6＋4×（n－1） ＝6＋4n－4 ＝（4n＋2）个。 当白色圆片个数为42个时，即4n＋2＝42，解关于n的方程即可。 【规范解答】当有n个黑圆片时，白色圆片个数为（4n＋2）个 当n＝6时， 4n＋2 ＝4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（个） 解：4n＋2＝42 4n＝42－2 4n＝40 n＝40÷4 n＝10 举一反三01（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…。依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，点、、…在一条直线上，则点P从0跳动( )次可到达的位置。 【答案】903 【思路引导】看图可知，点P从0跳动6次到达的位置，6＝1＋2＋3；点P从0跳动21次到达的位置，21＝1＋2＋3＋4＋5＋6；……由此可知，跳动次数为从1开始连续整数的和，是从1开始连续3个整数的和，是从1开始连续（2×3）个整数的和，是从1开始连续（3×3）个整数的和……是从1开始连续（4×3）个整数的和，由此可知，是从1开始连续（14×3）个整数的和，即跳动的次数。 【规范解答】14×3＝42 1＋2＋3＋…＋41＋42 ＝（1＋42）×42÷2 ＝43×42÷2 ＝43×21 ＝903（次） 举一反三02（2025·江西上饶·小升初真题）新型材料石墨烯的原子结构类似六边形，小刚用磁力球和磁力棒制作原子结构的模型，第n个图形需要( )个磁力球，( )根磁力棒。 【答案】 4n＋2 5n＋1 【思路引导】如图所示，制作一个六边形需要6个磁力球和6根磁力棒，每多一个六边形，多4个磁力球和5根磁力棒，据此解答。 【规范解答】根据分析，可以把第1个六边形需要的磁力球个数记为：2＋4，需要磁力棒的个数记为：1＋5 所以六边形的个数与磁力球个数的关系是：磁力球个数＝2＋4×六边形的个数，即磁力球个数＝4n＋2； 六边形的个数与磁力棒个数的关系是：磁力棒个数＝1＋5×六边形的个数，即磁力棒个数＝5n＋1； 所以，第n个图形需要（4n＋2）个磁力球，（5n＋1）根磁力棒。 考点六 图形的运动规律 母题精讲（2025·湖南长沙·小升初真题）如图有两直线M、N，在直线M上有3个点，在直线N上有10个点，把两条直线上所有的点用直线相连，则直线M和直线N之间最多形成__________个交点。 【答案】165 【思路引导】直线M上的3个点，不妨按从左到右的顺序分析：最左边的一个点，和直线N上的10个点相连成10条直线，而中间的一个点能和直线N上的10个点相连成10条直线最多能形成10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55个交点，右边的一个点和直线N上的10个点相连成10条直线与先前的20条连线最多能形成（10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）×2＝110个交点，由此求得答案即可。 【规范解答】（10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）×（2＋1） ＝55×3 ＝165（个） 所以直线M和直线N之间最多形成165个交点。 举一反三01（2025·北京昌平·小升初真题）密码学中的数学规律。 密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。在密码学中，加密前的信息称为“明文”，加密后的信息称为“密文”。 请你根据下面的倍恩回答问题： 字母按规律加密后会得到新字母，如： 明文A→密文D  明文ONE→密文RQH 明文TWO→密文WZR ①观察字母的变化，你能发现加密规律吗？把你的发现写在下面空白处。 ②用规律加密和解密。 加密：明文PANDA→密文 ；解密：密文IULHQG→明文 。         　 ③你发现了吗？用上面的规律加密时会遇到一个问题，例如明文W加密后会得到密文Z，但是X、Y、Z加密后没有与之对应的字母了，聪明的密码学者想到了一个办法：明文X→密文A，明文Y→密文B。按照这样的加密规律，密文CRR→明文是 。（你可以在上面的字母表中写一写，画一画） 【答案】①密文字母是明文字母向右移动3个位置后对应的字母，明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母。 ②SDQGD；FRIEND ③ZOO 【思路引导】（1）首先观察字母变化的规律，总结加密方法。 通过对比明文字母和密文字母的位置关系，发现每个明文字母在字母表中向右移动3个位置得到密文字母。例如：A（第1位）→D（第4位）；O（第15位）→R（第18位）；T（第20位）→W（第23位）。 同理明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母，据此写出规律。 （2）应用规律进行加密和解密即可。 （3）解密时，当字母左移3位超出字母表范围时，从字母表末尾Z再开始循环：C（第3位）左移3位→Z（第26位），R（第18位）左移3位→O（第15位），据此解答。 【规范解答】（1）我发现的加密规律是：密文字母是明文字母向右移动3个位置后对应的字母，明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母。 （2）加密：将明文PANDA的每个字母向右移动3个位置：P→S，A→D，N→Q，D→G，A→D，所以明文PANDA→密文SDQGD； 解密：密文IULHQG的每个字母分别向左移动3个位置：I→F，U→R，L→I，H→E，Q→N，G→D，所以密文IULHQG→明文FRIEND。 （3）根据解密规律以及当字母左移3位超出字母表范围时，从字母表末尾Z再开始循环原则，题目密文字母对应明文字母如下：C→Z，R→O ，R→O，所以密文CRR→明文是ZOO。 （写一写，画一画见字母表中） 【考点剖析】这道题的难点在于需要从有限例子中归纳出“字母向右数3位”的加密规则，同时还要掌握字母表循环逻辑，并完成加密到解密的逆向思维转换。 举一反三02（2025·山东临沂·小升初真题）“？”处的图形是哪一个？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先判断外面大直角的方向，依次顺时针旋转90度，可以确定是B或D，里面小直角依次是顺时针旋转45度，据此判断。 【规范解答】据分析观察接下来外面的大直角顺时针旋转90度，直角的顶点应在右上角，一条直角边在上方，另一条直角边在右边，里面的小直角顺时针旋转45度，则直角的顶点应在右上角，一条直角边在上方，另一条直角边在右边，即。 故答案为：D 考点七 数表中的规律 母题精讲（2025·湖南长沙·小升初真题）如图是数独游戏。要求：每一行、每一列都用到1~9，不能重复；每个的格子（实线内）也都用到1~9，不能重复。A应该是__________，B应该是__________。 【答案】 9 8 【思路引导】先锁定A所在的3×3宫格，找出该宫格已有的数字，确定剩余可填数；再结合A所在的列和行，排除已出现的数字，推出A＝9；接着用同样的方法分析B，先看B所在的行，确定剩余可填数，再结合其所在的宫格排除重复数字，最后验证列的规则，得出B＝8。 【规范解答】A所在的3×3宫格已有的数字1、2、7，A所在的列已有的数字1、3、5、7，A所在的行已有的数字2、4、6、8，排除已出现的数字，推出A＝9； B所在的3×3宫格已有的数字1、2、7、9，B所在的行已有的数字1、4、6，B所在的列已有的数字1、3、5、7、9，排除已出现的数字，得出B＝8。 【考点剖析】以3×3宫格为基础锁定剩余可填数范围，再结合所在行、列已有的数字，交叉排除重复项。 举一反三01（2025·湖南长沙·小升初真题）观察表一，寻找规律。表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则表格中a＝______；b＝______；c＝______。 【答案】 18 30 15 【思路引导】1. 表一规律推导：观察表一，第1行是1，2，3，4...（第1行第n列数为n），第2行是2，4，6，8...（第2行第n列数为2n），第3行是3，6，9，12...（第3行第n列数为3n）……由此得出核心规律：表一中第m行第n列的数＝（行号与列号的乘积）同时，每一行的数公差为行号m，每一列的数公差为列号n。 2. 求a（表二）：表二数字排布为“12在上，15在中间，a在下”。12是第3行第4列或第4行第3列（3×4＝12），15是第3行第5列或第5行第3列（3×5＝15）（同一行，公差为3），15也属于第5列，a是第3行第6列（或第6行第3列），按“行号×列号”计算得出结果即可。 3. 求b（表三）：表三数字排布为“20和24同行，25和b同行，20和25同列”。20是第4行第5列（4×5＝20），24是第4行第6列（4×6＝24，该行公差为4）；25是第5行第5列（5×5＝25，该列公差为5），因此b是第5行第6列，按规律计算得出结果即可。 4. 求c（表四）：表四数字排布为“8和c差一行，c和20同列”。结合答案特征，8为第2行（或第4行），20为第4列（或第5列），故c为第3行第5列（或第5行第3列），按“行号×列号”计算得出结果即可。   【规范解答】1.计算a：第3行第6列：3×6＝18（或第6行第3列：6×3＝18）。故a＝18。 2.计算b：第5行第6列：5×6＝30。故b＝30。 3.计算c：第3行第5列：3×5＝15（或第5行第3列：5×3＝15）。故c＝15。    【考点剖析】解决数表规律题的核心是先推导行、列通用表达式（如本题“行号×列号”），再结合截取部分的数字排布确定目标数的行、列位置，最后代入计算；若数字有多种位置可能，需通过排布特征筛选唯一解。 举一反三02（2025·重庆北碚·小升初真题）在生活中，有些人将2月8日写成，有些人则写成，这样会造成混淆，因为当我们看到时，不知道到底是指8月2日，还是指2月8日，但是及则容易区别而不会混淆，因为一年中只有12个月，请问用这种记法，一年中有______天会造成混淆。 【答案】132 【思路引导】由题可知，当日期大于12时，不会造成混淆，所以只有每个月的前12天可能造成混淆。又因为1月1日，2月2日，…，12月12日这样的日子不会造成混淆，所以一年中有12×12－12＝132（天）会造成混淆。 【规范解答】号的天数共有：（天）； 其中日和月相同的，如、等共有12天； 一年中有（天）会造成混淆。 考点八 简单覆盖规律 母题精讲有n个连续自然数，按照1，2，3，4，5，…，n-3，n-2，n-1，n的顺序依次排成一排，每次框出4个连续的自然数，共可得到（ ）个不同的和． A．n B．n-1 C．n-2 D．n-3 【答案】D 【解析】按照题中的计算方法，四个数字只能得到1一个和，五个数字能得到2个和，六个数字能得到3个和，也就是得到的和是自然数的个数减3． 【规范解答】1、2、3、4四个数只能得到一种和，4-3=1； 1、2、3、4、5，能得到1+2+3+4=10，2+3+4+5=14，得到两种和，5-3=2； 1、2、3、4、5、6，能得到1+2+3+4=10，2+3+4+5=14，3+4+5+6=18，得到三种和，6-3=3； 所以n个自然数可以得到（n-3）种和． 故答案为D． 举一反三01下图是一张中国象棋的棋盘，可以看成是由8×9个方格组成的． （1）若的位置是(0，4)，你能指出的位置吗？     （2）从现在的位置，下一步可能走到什么位置？这样的位置有几个？请指出它们的坐标．     （3）若对方的不动，至少需要几步才能吃掉对方的，请在棋盘上画出马的行进路线，并标出每一步的落点坐标． 【答案】（1） (4，3) （2） （3）4步，行进路线如上题图. 【规范解答】（1）解： 的位置是(4，3). （2）解：8个位置；如图： （3）解：至少需4步，行进路线如上题图. 举一反三02从如图的方格纸上去掉一个，一共有( )种不同的去法。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【答案】9 【思路引导】观察图形可知，横着去有黑、红、绿3种方法（下图所示），竖着去同样有3种去法，所以一共有3×3＝9（种）。 【规范解答】3×3＝9（种） 答：一共有9种不同的去法。 【考点剖析】要求从如图的方格纸上去掉一个，只要数出图形中有几个，即数出有几个2×2的正方形，就有几种不同的去法。 考点九 通过操作实验探索规律 母题精讲2025·山东青岛·小升初真题）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 【答案】(1)7；10 (2)b＝3a＋1 (3)61 【思路引导】（1）剪1次分成4段，剪2次分成（4＋3＝4＋3×1）段，剪3次分成（4＋3＋3＝4＋3×2）段。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是b＝4＋3×（a－1）。 （3）应用：像这样如果剪切20次，就是当a＝20时，代入a和b的关系式，求出b即可。 【规范解答】（1）剪2次： 4＋3×1 ＝4＋3 ＝7（段） 剪3次： 4＋3×2 ＝4＋6 ＝10（段） 填数如下： （2）4＋3×（a－1） ＝4＋3a－3 ＝（3a＋1）段 因此剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系为b＝3a＋1。 （3）当a＝20时，代入b＝3a＋1得： 3×20＋1 ＝60＋1 ＝61（段） 举一反三01（2024·浙江湖州·小升初真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有21个服务驿站（包括甲站、乙站）。一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要先卸下前面每站发往该站的货包各1个，再装上该站发往后面每站的货包各1个。在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是几个？ 【答案】110个 【思路引导】由题意可得，21个服务驿站，每站的货包各1个，起点即甲站不装货包，所以快递货车由甲站出发时装有20个货包，到第2站时先卸下1个，还剩下19个货包，再装上发往后面每站的货包共19个，所以第2站车上装有（19×2）个货包；据此得出每个站点的货包数量： 第1站：20×1 第2站：19×2 第3站：18×3 …… 第10站：11×10 第11站：10×11 第12站：9×12 …… 第19站：2×19 第20站：1×20 照此规律，从第12站开始货包数量逐渐减少，据此得出货包数量最多的个数。 【规范解答】11×10＝110（个） 答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是110个。 【考点剖析】找出每个站点装载货包数量的规律是解题的关键。 举一反三02用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为。 （1）如上图所示中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与之间的关系式，答：S＝（    ）。 多边形的序号 ① ② ③ ④ …… 多边形的面积 2 （    ） 3 （    ） …… 各边上格点的个数和 4 5 6 （    ） …… （2）请你再画出2个格点多边形，使每个多边形内部都有而且只有2个格点。 此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和之间的关系式S＝（    ）。 （3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有个格点时，猜想S与有怎样的关系？请直接写出结果。 【答案】（1）x；2.5；4；8 （2）作图见详解；x＋1 （3）S＝x＋n－1 【思路引导】（1）②多边形的面积是2.5，④多边形的面积是4，各边上格点的个数和是8。通过计算，发现这四个图形的面积都是各边上格点的个数和的，所以S＝x； （2）按照题目的要求作图； 通过观察计算发现，这两个多边形的面积与它各边上格点的个数和之间的关系式为S＝x＋1； （3）通过继续在方格中画格点多边形，发现当格点多边形内部有且只有个格点时，S＝x＋n－1。 【规范解答】（1）通过数图形、分析可以发现S＝x；②多边形的面积是2.5；④多边形的面积是4，各边上格点的个数和是8。 （2） 通过观察、分析数据发现S＝x＋1； （3）继续画图、分析数据、探索，可以发现S＝x＋n－1。 【考点剖析】理解题意，观察图形，通过画图、分析数据、探索规律是解决探究问题的方法。 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．根据下面一组有规律的算式，可以推出下一个算式是（    ）。 6×7＝42 66×67＝4422 666×667＝444222 A．6666×667＝4446222 B．666×6667＝4440222 C．6666×6677＝44508882 D．6666×6667＝44442222 【答案】D 【思路引导】第一个算式1个6和1个7相乘等于42，第二个算式2个6和67相乘等于4422，第三个算式3个6和667相乘等于444222，第四个算式应该是4个6和6667相乘等于44442222，据此选择即可。 【规范解答】可以推出下一个算式是6666×6667＝44442222。 故答案为：D 2．（2025·湖南长沙·小升初真题）下列四句话中，正确的是（    ）。 A．一种商品打折出售正好保本，则不打折时该商品只获20%的利润 B．林场种100棵树苗，死了3棵，又补种了3棵，共成活100棵，成活率为100% C．大牛和小牛头数的比是，表示大牛比小牛多 D．按1，8，27，（    ），125，216的规律排，括号中的数应为64 【答案】D 【思路引导】A．保本意味着“折后售价＝成本价”，未说明打几折，无法确定不打折时的利润率。 B．成活率＝成活棵数÷总棵数×100%。 C．假设大牛有4只，小牛有3只，用大牛的数量减去小牛的数量求出多的数量，再用多的数量除以小牛的数量即可求出大牛比小牛多的分率。 D．1＝1×1×1，8＝2×2×2，125＝5×5×5，216＝6×6×6，可以发现，第n个数就是n×n×n。 【规范解答】A．例如打八折保本，假设原价是100元，则成本价是100×80%＝100×0.8＝80（元） （100－80）÷80×100% ＝20÷80×100% ＝0.25×100% ＝25% 若打八折出售正好保本，则不打折时该商品获25%的利润，而非20%，该选项错误。 B．100÷（100＋3）×100% ＝100÷103×100% ≈0.971×100% ＝97.1% 成活率是97.1%，而非100%，该选项错误。 C．（4－3）÷3 ＝1÷3 ＝ 大牛比小牛多，而非，该选项错误。 D．4×4×4 ＝16×4 ＝64 括号中的数应为64，该选项正确。 3．（2025·广东广州·小升初模拟）将9个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前两个数之和，如果第8个数和第9个数分别是81和131，那么第一个数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】用倒推法解决问题，每个数恰好等于它前面两个数之和。第7个数＋第8个数＝第9个数，第8个数和第9个数分别是81和131，则第7个数＝131－81＝50；第6个数＋第5个数＝第7个数，这样一个一个数往前面推。直至找出第一个数即可。 【规范解答】根据分析： 第7个数：131－81＝50 第6个数：81－50＝31 第5个数：50－31＝19 第4个数：31－19＝12 第3个数：19－12＝7 第2个数：12－7＝5 第1个数：7－5＝2 第一个数是2。 故答案为：B 4．（2025·重庆綦江·小升初真题）先找规律，再填空。 （1，24），（2，12），（3，8），（____，6）。 【答案】4 【思路引导】观察所给的数对（1，24），（2，12），（3，8），发现每个数对中两个数的乘积都为24；由此规律求出第四个数对中第一个数。 【规范解答】第一个数对（1，24），1×24＝24 第二个数对（2，12），2×12＝24 第三个数对（3，8），3×8＝24 规律：数对中两个数的乘积都为24。 第四个数对的第1个数是：24÷6＝4。 填空如下： （1，24），（2，12），（3，8），（4，6）。 5．（2025·重庆江北·小升初真题）按下面规律铺黑白砖，第49幅图形中有______块黑瓷砖。 【答案】148 【思路引导】根据图形可知，第一个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有4块，可以写成3×1＋1；第二个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有7块，可以写成3×2＋1；第三个图形中，黑颜色的正方形瓷砖有10块，可以写成3×3＋1；……由此可以得出一般规律，第n幅图形黑颜色的正方形瓷砖有（3n＋1）块，由此进行解答。 【规范解答】第n幅图形中有（3n＋1）块黑瓷砖。 当n＝49时 49×3＋1 ＝147＋1 ＝148（块） 6．（2025·湖南长沙·小升初真题）按照下面图形的变化规律画下去，第20个图形一共有__________个直角三角形。 【答案】76 【思路引导】看图可知，第1个图形一共有0个直角三角形，0＝（1－1）×4；第2个图形一共有4个直角三角形，4＝（2－1）×4；第3个图形一共有8个直角三角形，8＝（3－1）×4……由此可知，直角三角形的个数＝（第几个图形就用几－1）×4，据此列式计算。 【规范解答】（20－1）×4 ＝19×4 ＝76（个） 第20个图形一共有76个直角三角形。 7．（2025·四川·小升初真题）有一列数：，，，，，，，，，，，，，，从左开始数，第111个分数是。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】这一列数中，分母是1的分数有1个，分子是1；分母是2的分数有3个，分子是1，2，1；分母是3的分数有5个，分子是1，2，3，2，1；分母是4的分数有7个；分子是1，2，3，4，3，2，1．分数的个数分别是1，3，5，7…，当分母是n时有2n－1个分数；由此求出从分母是1的分数到分母是11的分数一共有多少个；分子是自然数，先从1增加，到和分母相同时再减少到1；所以还有10个分母是11的分数，由此求解。 【规范解答】分母是11的分数一共有；2×11－1＝21（个） 从分母是1的分数到分母是11的分数一共：1＋3＋5＋7＋…＋21 ＝（1＋21）×11÷2 ＝22×11÷2 ＝121（个） 还有10个分母是11的分数 121－10＝111 有一列数：，，，，，，，，，，，，，，从左开始数，是第111个数。原题说法正确。 故答案为：√ 8．（2025·甘肃兰州·小升初真题）多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… (1)如果继续摆下去，7个凳子的总高度是( )厘米。 (2)凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 【答案】(1)81 (2)不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 【思路引导】（1）先观察表格里凳子数量和总高度的变化，发现1个凳子高45厘米，每增加1个凳子，总高度增加6厘米，由此得出总高度的计算公式：总高度＝45＋6×（凳子数量－1），再把凳子数量7代入公式，即可求出7个凳子的总高度。 （2）正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则成正比例关系。接着计算不同数量凳子对应的总高度与数量的比值，发现这些比值不固定，因此判断凳子的数量与总高度不成正比例关系。 【规范解答】（1）45＋6×（7－1） ＝45＋6×6 ＝45＋36 ＝81（厘米） （2）1个凳子：45÷1＝45 2个凳子：51÷2＝25.5 3个凳子：57÷3＝19 答：不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 9．（2024·河南鹤壁·小升初真题）观察下面的算式： 32－1＝4×2＝8 42－1＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80 （1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律计算101×99。 【答案】（1）52－1＝6×4＝24 （2）9999 【思路引导】（1）观察32－1＝4×2＝8可得：4＝3＋1，2＝3－1，4和2相差2。 可将算式改写成：32－1＝（3＋1）×（3－1）＝4×2＝8 那么42－1＝5×3＝15可改写成：42－1＝（4＋1）×（4－1）＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48可改写成：72－1＝（7＋1）×（7－1）＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80可改写成：92－1＝（9＋1）×（9－1）＝10×8＝80 可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1），据此写出这样的算式即可。 （2）101和99相差2，101＝100＋1，99＝100－1，根据算式的规律n2－1＝（n＋1）×（n－1），可得101×99＝（100＋1）×（100－1）＝1002－1，据此求解即可。 【规范解答】（1）根据分析可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1） 52－1＝6×4＝24（答案不唯一） （2）101×99 ＝（100＋1）×（100－1） ＝1002－1 ＝10000－1 ＝9999 10．（2022·福建南平·小升初真题）探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如： 6×6＝36    5×7＝35    4×8＝32    3×9＝27    (1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。 (2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？ (3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（    ）。 A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1 B．（a＋1）×（a－1）＝a2 C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1 D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2 (4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。 【答案】(1)7×7＝49 6×8＝48 5×9＝45 4×10＝40 (2)两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。 (3)C (4)4088483 【思路引导】根据算式的规律，可以发现： 6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来：（a＋1）×（a－1）＝a2－1； 6×6和4×8之间的规律可以用字母表示出来：（a＋2）×（a－2）＝a2－22； 6×6和3×9之间的规律可以用字母表示出来：（a＋3）×（a－3）＝a2－32； 据此结合题意解答即可。 【规范解答】（1）根据上面这组乘法算式的特点，在右边横线上再写一组这样的算式： 7×7＝49 6×8＝48 5×9＝45 4×10＝40（答案不唯一） （2）观察上述这两组算式，发现：两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。 （3）奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（a＋1）×（a－1）＝a2－1 故答案为：C （4）根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则： 2021×2023 ＝2022×2022－1 ＝4088484－1 ＝4088483 【考点剖析】本题考查了式的规律知识，结合题意分析解答即可。 【思维拓展拔尖】 1．（24-25六年级下·广东深圳·开学考试）如图，用灰白两种颜色的菱形纸片，按灰色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2020张白色纸片，则n的值为（    ）。 A．671 B．672 C．673 D．674 【答案】C 【思路引导】观察可知，第1个图案中有张白色张片，第2个图案中有张白色张片，第3个图案中有张白色张片第n个图案中有张白色张片，即，据此解方程即可。 【规范解答】 解： 用灰白两种颜色的菱形纸片，按灰色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2020张白色纸片，则n的值为673。 故答案为：C 2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（    ）。 A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31 【答案】C 【思路引导】根据“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21、28、36、45…，“正方形数”的规律为1、4、9、16、25、36、49…，且任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，据此逐项判断即可。 【规范解答】A．13＝3＋10，3和10不是相邻的“三角形数”，不符合题意； B．25＝9＋16，9和16都不是“三角形数”，不符合题意； C．36＝15＋21，15和21是相邻的“三角形数”，且36是“正方形数”，符合题意； D．49＝18＋31，18和31都不是“三角形数”，不符合题意。 因此等式中，符合这一规律的是：36＝15＋21。 故答案为：C 3．下列三个问题的答案能用2y＋1表示的是（    ）。 ① 这个图形的面积是多少？ ③按下面的方法用三角形摆图形： 第一层△△▲ 第二层△△△△▲ 第三层△△△△△△▲ 第四层△△△△△△△△▲ …… 第y层有多少个三角形？ ②同同买了y支签字笔，每支签字笔2元，又买了一块橡皮花了1元。同同一共花了多少元？ A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【思路引导】长方形的面积＝长×宽，那么可以先分别计算出两个小长方形的面积，再相加；也可以先用加法计算出这个图形的长，再乘宽计算出这个图形的面积； 单价×数量＝总价，先用乘法计算出签字笔的总价，再加上橡皮的价格，计算出一共花的钱数； 观察发现第一层有2个△和1个▲，也就是1×2＋1＝2＋1＝3（个）三角形；第二层有4个△和1个▲，也就是2×2＋1＝4＋1＝5（个）三角形；第三层有6个△和1个▲，也就是3×2＋1＝6＋1＝7（个）三角形；第四层有8个△和1个▲，也就是4×2＋1＝8＋1＝9（个）三角形……，以此类推，第y层有（y×2＋1）个三角形；据此解答。 【规范解答】根据分析： ①第一种：2y＋2×1＝2y＋2 第二种：（y＋1）×2＝y×2＋1×2＝2y＋2 那么这个图形的面积是2y＋2，不能用2y＋1表示； ②y×2＋1＝（2y＋1）元 那么同同一共花了2y＋1元； ③y×2＋1＝（2y＋1）个 那么第y层有2y＋1个三角形； 所以问题的答案能用2y＋1表示的是②③。 故答案为：C 4．（2025·广东广州·小升初模拟）先写出一个两位数35，接着在35右端写这两个数字的和8，得到358，再写末两位数字5和8的和13，得到35813，用上述方法得到一个有2025位的整数。则这个整数的数字之和是（    ）。 A．7070 B．7090 C．7089 D．7094 【答案】B 【思路引导】先根据题意多写几位这个整数，直至找出规律：这个整数是以“3581347112”每10个数字为一个循环；先用除法求出2025里有几个10，然后根据余数的情况，判断2025位的最后一个数字； 求这个整数的2025位的数字之和是多少，先求出一个循环周期各个数位上的数字之和，再乘循环的次数，最后加上余数中出现的几个数字即可求解。 【规范解答】接着往下写：35813471123581347112… 发现是以“3581347112”每10个数字为一个循环； 2025÷10＝202……5 余数是5表示是一个循环里的第5个数，即3； （3＋5＋8＋1＋3＋4＋7＋1＋1＋2）×202＋3＋5＋8＋1＋3 ＝35×202＋3＋5＋8＋1＋3 ＝7070＋3＋5＋8＋1＋3 ＝7090 则这个整数的数字之和是7090。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查周期性问题，关键是根据写数的方法找出这个整数的循环规律，再用除法确定2025位最后一个数字是几，进而求出2025位数字之和。 5．（2024·甘肃白银·小升初真题）古希腊时期著名的数学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”。结合图，左起第10个三角形是( )。 【答案】55 【思路引导】第几个图形，这个图形就有几层，从上至下每层上○的个数分别是1，2，3，……，层数。相邻两层○的个数相差1，根据此规律解答。 【规范解答】左起第10个三角形，有10层，自上而下，○数从1到10。 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ＝（1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6） ＝11＋11＋11＋11＋11 ＝55 故左起第10个三角形是55。 6．（2024·山东青岛·小升初真题）观察如图，依次排下去，第5幅图有( )个点子，第n幅图有( )个点子。 【答案】 25 n2 【思路引导】观察点子的数目与图的序数之间的关系，发现：第1幅图：1＝12个；第2幅图：4＝22个；第3幅图：9＝32个；第4幅图：16＝42个，……，据此规律解答。 【规范解答】第1幅图：12＝1×1＝1（个） 第2幅图：22＝2×2＝4（个） 第3幅图：32＝3×3＝9（个） 第4幅图：42＝4×4＝16（个） 所以第5幅图有52＝5×5＝25（个） …… 第n幅图：n2（个） 故第5幅图有25个点子，第n幅图有n2个点子。 7．（2024·贵州安顺·小升初真题）科科学家研究发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目、特征都吻合于一种奇特的数列：1，1，2，3，5，8，13，21……请你仔细观察此数列，它的第9个数应该是( )。 【答案】34 【思路引导】首先，从已知数列观察出特点：1＋1＝2；1＋2＝3；2＋3＝5；3＋5＝8……；由此可知：在已知数列中，从第三项开始每一项是前两项的和；第9项就是第7项与第8项的和，据此解答。 【规范解答】 科科学家研究发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目、特征都吻合于一种奇特的数列：1，1，2，3，5，8，13，21……请你仔细观察此数列，它的第9个数应该是34。 8．（2025·湖北武汉·小升初真题）从7×7方格表中去掉某一个方格，使得剩下的小方格可以被1×3（或3×1）的矩形不遗漏且不重复地覆盖，则被去掉的小方格有______种可能的位置。 【答案】9 【思路引导】采用染1空2的方法对方格表进行染色，可构造两种染色方案。确定黑格数量，根据方格总数与1×3矩形覆盖情况的关系，得出需要去掉1个黑格；再找出两种方案中位置相同的黑格的数量，即为被去掉的可能的位置。 【规范解答】如图，采用染1空2的方法，有两种情况，且每种情况都有17个黑格： 7×7÷3 ＝49÷3 ＝16……1 即共有16个1×3的矩形，每个1×3的矩形恰好覆盖1个黑格2个白格； 所以需要去掉1个黑格，两图同时满足染色和覆盖条件的黑格位置有9种。 所以被去掉的小方格有9种可能的位置。 9．（2024·重庆九龙坡·小升初真题）指令：②＝1×2×3，③＝2×3×4，⑤＝4×5×6，如果⑨－⑧＝⑧×A，求A的值。 【答案】 【思路引导】因为②＝1×2×3，③＝2×3×4，⑤＝4×5×6，所以⑧＝7×8×9，⑨＝8×9×10，分别计算出⑧和⑨的值；因为⑨－⑧＝⑧×A，所以A＝（⑨－⑧）÷⑧，按顺序计算出A的值即可。 【规范解答】⑧＝7×8×9＝56×9＝504 ⑨＝8×9×10＝72×10＝720 ⑨－⑧＝720－504＝216 216÷504＝＝＝ 答：A的值是。 10．（2024·河北廊坊·小升初真题）下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。请画出图形⑤，并把下表补充完整。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 面积/平方厘米 0.25 0.75 1.5 周长/厘米 2 4 6 【答案】见详解 【思路引导】（1）根据分析可知，是图形几，这个图形最高的一列就有几个小正方形，所以图形⑤最右边一列有5个小正方形，向左依次递减，据此画出图形即可。 （2）求出图形④和图形⑤分别有几个小正方形，再用数量乘一个小正方形的体积即可；图形④的周长相当于是边长是（0.5×4）厘米的正方形的周长；图形⑤的周长相当于是边长是（0.5×5）厘米的正方形的周长；根据正方形周长的公式求出周长即可。 【规范解答】 （1）如图： （2）个数的规律：图①的个数：1，面积：1×0.25＝0.25（平方厘米）； 图②的个数：1＋2＝3，面积：3×0.25＝0.75（平方厘米）； 图③的个数： 1＋2＋3 ＝3＋3 ＝6 面积：6×0.25＝1.5（平方厘米）； 图 n 的个数：1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）÷2，面积：n（n＋1）÷2×0.25（平方厘米）； 图④的个数： 4×（4＋1）÷2 ＝4×5÷2 ＝20÷2 ＝10 面积：10×0.25＝2.5（平方厘米）； 图⑤的个数： 5×（5＋1）÷2 ＝5×6÷2 ＝30÷2 ＝15 面积：15×0.25＝3.75（平方厘米）； 周长的规律：图①的周长：4×0.5＝2厘米； 图②的周长：4×1＝4厘米； 图③的周长：4×1.5＝6厘米； 图 n 的周长：4×n×0.5＝2n厘米 图④的周长：4×2＝8厘米； 图⑤的周长：5×2＝10厘米； 如表： 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 面积/平方厘米 0.25 0.75 1.5 2.5 3.75 长/厘米 2 4 6 8 10 【考点剖析】此题是考查数形结合探索规律的问题，根据前几个图形的分析，归纳出规律，是解决此题的关键。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•全国通用 专题07 探索规律（必备知识&二轮复习+考点清单 全国通用） 【原卷版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01 数字中的规律 知识点02 图形中的规律 知识点03 算式中的规律 知识点04 数形结合的规律 知识点05 周期规律 知识点06 找规律问题常见策略 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点一 算式的规律（整数） 考点二 算式的规律（分数） 考点三 整数排列的规律 考点四 分数排列的规律 考点五 图形的变化规律 考点六 图形的运动规律 考点七 数表中的规律 考点八 简单覆盖规律 考点九 通过操作实验探索规律 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 数字中的规律 知识必备 1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发现规律； 2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方； 重要提示：根据规律找到空缺的数后注意与前后数运用规律检验 知识点02 图形中的规律 知识必备 1.根据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换..... 2.可通过观察、分析、猜想等方法探索 知识点03 算式中的规律 知识必备 1.先要真正观察算式与结果的特点，再根据规律计算出这一类算式结果 2.可运用计算器计算，发现得数的规律。 知识点04 数形结合的规律 知识必备 1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题 2.可将“形”转化为“数"，再探索变化规律。 知识点05 周期规律 知识必备 1.找出图形或数字依次重复出现的现象，从而找出规律解决问题 2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。 知识点06 找规律问题常见策略 知识必备 1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数； 2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数； 3．善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律； 4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。 5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析； 6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。 重要提示：对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式. 考●点●讲●练 考点一 算式的规律（整数） 母题精讲（2025·湖南长沙·小升初真题）表示n个a相乘，那么结果的个位数字是( )。 举一反三01（2025·湖南长沙·小升初真题）用表示组成n的数字中不是零的几个数字乘积，例如：；；。则( )。 举一反三02（2025·湖南长沙·小升初真题）①1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝5×9    ②6＋7＋8＋9＋10＝8×5 ③472＋473＋474＋475＋476＋477＋478＝475×7 根据以上三个规律，请你回答下面问题： 101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＝105×_____。 你会写出有同样规律的加法算式吗？请你写出一个。_____ 考点二 算式的规律（分数） 母题精讲（2025·安徽合肥·小升初真题）脱式计算（能简算的要简算）             123×5.67＋8.77×567         1－ 举一反三01（2025·吉林长春·小升初真题）计算。 ①           ② ③            ④ 举一反三02（2024·山东青岛·小升初真题）在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的，得到和两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的，第4次操作就在第三次操作基上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的，经过4次操作后所有数的和是________。 考点三 整数排列的规律 母题精讲（2025·广东佛山·小升初模拟）1、2、5、14、41、122，下一个数是( )。 举一反三01（2025·湖南长沙·小升初真题）观察数列，将数列补充完整：1，3，8，22，60，_____，448。 举一反三02（2025·重庆北碚·小升初真题）使用数字0，2，3，5，7，9组成无重复数字的数。 （1）四位数有多少个？ （2）四位数奇数有多少个？ （3）四位数偶数有多少个？ （4）整数（包括一位，两位，三位，四位）有多少个？ （5）是5的倍数的三位数有多少个？ （6）是25的倍数的四位数有多少个？ （7）大于3920的四位数有多少个？ （8）小于3920的四位数有多少个？ （9）由小到大排列的四位数中，3920是第几个数？ （10）由小到大排列的四位数中，第128个数是多少？ 考点四 分数排列的规律 母题精讲（2025·贵州黔西·小升初模拟）找规律填空。 (1)，，，______，15。 (2)，，，，______，______。 举一反三01（2025·重庆北碚·小升初真题）观察数列：，，，，，，，，……，，的规律，数列中第2008项是______。 举一反三02（2025·重庆渝北·小升初真题）有一串数、、、、、、、、、、、、、、、、…，这串数从左开始数，第__________个数是。 考点五 图形的变化规律 母题精讲（2025·湖南长沙·小升初真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 举一反三01（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…。依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，点、、…在一条直线上，则点P从0跳动( )次可到达的位置。 举一反三02（2025·江西上饶·小升初真题）新型材料石墨烯的原子结构类似六边形，小刚用磁力球和磁力棒制作原子结构的模型，第n个图形需要( )个磁力球，( )根磁力棒。 考点六 图形的运动规律 母题精讲（2025·湖南长沙·小升初真题）如图有两直线M、N，在直线M上有3个点，在直线N上有10个点，把两条直线上所有的点用直线相连，则直线M和直线N之间最多形成__________个交点。 举一反三01（2025·北京昌平·小升初真题）密码学中的数学规律。 密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。在密码学中，加密前的信息称为“明文”，加密后的信息称为“密文”。 请你根据下面的倍恩回答问题： 字母按规律加密后会得到新字母，如： 明文A→密文D  明文ONE→密文RQH 明文TWO→密文WZR ①观察字母的变化，你能发现加密规律吗？把你的发现写在下面空白处。 ②用规律加密和解密。 加密：明文PANDA→密文 ；解密：密文IULHQG→明文 。         　 ③你发现了吗？用上面的规律加密时会遇到一个问题，例如明文W加密后会得到密文Z，但是X、Y、Z加密后没有与之对应的字母了，聪明的密码学者想到了一个办法：明文X→密文A，明文Y→密文B。按照这样的加密规律，密文CRR→明文是 。（你可以在上面的字母表中写一写，画一画） 举一反三02（2025·山东临沂·小升初真题）“？”处的图形是哪一个？（    ） A． B． C． D． 考点七 数表中的规律 母题精讲（2025·湖南长沙·小升初真题）如图是数独游戏。要求：每一行、每一列都用到1~9，不能重复；每个的格子（实线内）也都用到1~9，不能重复。A应该是__________，B应该是__________。 举一反三01（2025·湖南长沙·小升初真题）观察表一，寻找规律。表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，则表格中a＝______；b＝______；c＝______。 举一反三02（2025·重庆北碚·小升初真题）在生活中，有些人将2月8日写成，有些人则写成，这样会造成混淆，因为当我们看到时，不知道到底是指8月2日，还是指2月8日，但是及则容易区别而不会混淆，因为一年中只有12个月，请问用这种记法，一年中有______天会造成混淆。 考点八 简单覆盖规律 母题精讲有n个连续自然数，按照1，2，3，4，5，…，n-3，n-2，n-1，n的顺序依次排成一排，每次框出4个连续的自然数，共可得到（ ）个不同的和． A．n B．n-1 C．n-2 D．n-3 举一反三01下图是一张中国象棋的棋盘，可以看成是由8×9个方格组成的． （1）若的位置是(0，4)，你能指出的位置吗？     （2）从现在的位置，下一步可能走到什么位置？这样的位置有几个？请指出它们的坐标．     （3）若对方的不动，至少需要几步才能吃掉对方的，请在棋盘上画出马的行进路线，并标出每一步的落点坐标． 举一反三02从如图的方格纸上去掉一个，一共有( )种不同的去法。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 考点九 通过操作实验探索规律 母题精讲2025·山东青岛·小升初真题）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 举一反三01（2024·浙江湖州·小升初真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有21个服务驿站（包括甲站、乙站）。一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要先卸下前面每站发往该站的货包各1个，再装上该站发往后面每站的货包各1个。在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是几个？ 举一反三02用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为。 （1）如上图所示中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与之间的关系式，答：S＝（    ）。 多边形的序号 ① ② ③ ④ …… 多边形的面积 2 （    ） 3 （    ） …… 各边上格点的个数和 4 5 6 （    ） …… （2）请你再画出2个格点多边形，使每个多边形内部都有而且只有2个格点。 此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和之间的关系式S＝（    ）。 （3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有个格点时，猜想S与有怎样的关系？请直接写出结果。 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．根据下面一组有规律的算式，可以推出下一个算式是（    ）。 6×7＝42 66×67＝4422 666×667＝444222 A．6666×667＝4446222 B．666×6667＝4440222 C．6666×6677＝44508882 D．6666×6667＝44442222 2．（2025·湖南长沙·小升初真题）下列四句话中，正确的是（    ）。 A．一种商品打折出售正好保本，则不打折时该商品只获20%的利润 B．林场种100棵树苗，死了3棵，又补种了3棵，共成活100棵，成活率为100% C．大牛和小牛头数的比是，表示大牛比小牛多 D．按1，8，27，（    ），125，216的规律排，括号中的数应为64 3．（2025·广东广州·小升初模拟）将9个数从左到右排成一行，从第3个数开始，每个数恰好等于它前两个数之和，如果第8个数和第9个数分别是81和131，那么第一个数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·重庆綦江·小升初真题）先找规律，再填空。 （1，24），（2，12），（3，8），（____，6）。 5．（2025·重庆江北·小升初真题）按下面规律铺黑白砖，第49幅图形中有______块黑瓷砖。 6．（2025·湖南长沙·小升初真题）按照下面图形的变化规律画下去，第20个图形一共有__________个直角三角形。 7．（2025·四川·小升初真题）有一列数：，，，，，，，，，，，，，，从左开始数，第111个分数是。( )（判断对错） 8．（2025·甘肃兰州·小升初真题）多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… (1)如果继续摆下去，7个凳子的总高度是( )厘米。 (2)凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 9．（2024·河南鹤壁·小升初真题）观察下面的算式： 32－1＝4×2＝8 42－1＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80 （1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律计算101×99。 10．（2022·福建南平·小升初真题）探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如： 6×6＝36    5×7＝35    4×8＝32    3×9＝27    (1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。 (2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？ (3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（    ）。 A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1 B．（a＋1）×（a－1）＝a2 C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1 D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2 (4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。 【思维拓展拔尖】 1．（24-25六年级下·广东深圳·开学考试）如图，用灰白两种颜色的菱形纸片，按灰色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2020张白色纸片，则n的值为（    ）。 A．671 B．672 C．673 D．674 2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（    ）。 A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31 3．下列三个问题的答案能用2y＋1表示的是（    ）。 ① 这个图形的面积是多少？ ③按下面的方法用三角形摆图形： 第一层△△▲ 第二层△△△△▲ 第三层△△△△△△▲ 第四层△△△△△△△△▲ …… 第y层有多少个三角形？ ②同同买了y支签字笔，每支签字笔2元，又买了一块橡皮花了1元。同同一共花了多少元？ A．② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（2025·广东广州·小升初模拟）先写出一个两位数35，接着在35右端写这两个数字的和8，得到358，再写末两位数字5和8的和13，得到35813，用上述方法得到一个有2025位的整数。则这个整数的数字之和是（    ）。 A．7070 B．7090 C．7089 D．7094 5．（2024·甘肃白银·小升初真题）古希腊时期著名的数学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，…这样的数称为“三角形数”。结合图，左起第10个三角形是( )。 6．（2024·山东青岛·小升初真题）观察如图，依次排下去，第5幅图有( )个点子，第n幅图有( )个点子。 7．（2024·贵州安顺·小升初真题）科科学家研究发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目、特征都吻合于一种奇特的数列：1，1，2，3，5，8，13，21……请你仔细观察此数列，它的第9个数应该是( )。 8．（2025·湖北武汉·小升初真题）从7×7方格表中去掉某一个方格，使得剩下的小方格可以被1×3（或3×1）的矩形不遗漏且不重复地覆盖，则被去掉的小方格有______种可能的位置。 9．（2024·重庆九龙坡·小升初真题）指令：②＝1×2×3，③＝2×3×4，⑤＝4×5×6，如果⑨－⑧＝⑧×A，求A的值。 10．（2024·河北廊坊·小升初真题）下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。请画出图形⑤，并把下表补充完整。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 面积/平方厘米 0.25 0.75 1.5 周长/厘米 2 4 6 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $