专题05 比和比例（思维导图+必备知识&考点清单+分层训练）全国通用-2026年小升初数学二轮复习真题培优讲练

该小学数学讲义聚焦“比和比例”专题，涵盖比、比例、正反比例、比例尺等核心知识点，通过导图指引构建思维框架，知识清单梳理考点考向，考点讲练结合真题突破重点，分层训练夯实基础与拓展思维，帮助学生系统掌握比的化简、按比分配、比例尺应用等关键技能。 亮点在于真题导向的母题精讲与举一反三设计，如用“人机共跑”人数变化问题训练按比分配，培养学生模型意识。通过图形放大缩小与面积变化练习，发展空间观念，分层训练满足不同学生需求，教师可精准把握考点，提升复习效率与学生解题能力。

2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•全国通用 专题05 比和比例（必备知识&二轮复习+考点清单 全国通用） 【解析版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01 比 知识点02 比例 知识点03 正比例和反比例 知识点04 比例尺 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点序列 考点名称 考点一 求比值 考点十 解比例 考点二 比的基本性质 考点十一 比例的应用 考点三 比的化简 考点十二 正比例的应用 考点四 比与分数、除法的关系 考点十三 反比例的应用 考点五 百分数、分数、小数和比的互化 考点十四 应用比例尺画图 考点六 按比分配问题 考点十五 图上距离与实际距离的换算 考点七 黄金比及应用 考点十六 图形的放大与缩小 考点八 比的应用 考点十七 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 考点九 比例的基本性质 考点十八 比例尺应用 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 比 知识必备 1.比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。 2.比的各部分名称及比的读法： 4 ： 5=4÷5=0.8 ↓ ↓ ↓ ↓ 前项 比号 后项 比值 3.比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变 4.求比值与化简比 （1）求比值：前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。 同类量的比，其比值没有单位名称; 不同类量的比，其比值有单位名称。例如: 100千米:5时=20千米/时 （2）化简比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比或比的化简。 5.比与分数、除法的关系 关系：比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线;比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相当于除号。 （1）比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示: 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） 一（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系；不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 （2）比的基本性质、分数的基本性质及商不变的规律之间的联系。由比与分数、除法各部分间的关系可知，比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同，其实质是一样的。 6.按比分配: （1）在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫作按比分配。 （2）按比分配应用题的特征：已知总数量和部分数量的比，求各部分数量。 （3）常用的解题方法有两种：一种是先求总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后求各部分数量；另一种是先求每份是多少，再求几份是多少。 知识点02 比例 知识必备 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.比例的各部分名称：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 3.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 4.比和比例的区别 （1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。 （2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。 5.解比例: 解比例就是求比例中的未知项，也就是已知比例中的任意三项，就可以求出未知项。解比例的依据是比例的基本性质。 知识点03 正比例和反比例 知识必备 1.判断正比例和反比例的方法: （1）分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。 （2）分析两种相关联的量，看它们之间是比值一定还是积一定。 （3）如果是比值一定，就成正比例；如果是积一定，就成反比例；如果比值和积都不是一定的，就不成比例。 2.正比例图像:正比例图像是一条直线。 3.用比例的知识解决实际问题 （1）用比例知识解决的实际问题可分为正比例问题和反比例问题两类。 （2）应用比例知识解决实际问题的一般方法和步骤: ①判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例；②设未知量为x；③列出比例，解比例；④检验并作答。 知识点04 比例尺 知识必备 1.比例尺的意义 (1)图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即， (2) 2.比例尺的分类 (1)数值比例尺：1:200000或，比例尺一般写成前项是1或后项是1的形式 (2)线段比例尺：这种用线段表示的比例尺，叫作线段比例尺 3求图上距离或实际距离： 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 考●点●讲●练 考点一 求比值 母题精讲（2025·浙江杭州·小升初真题）化成最简整数比是( )；20公顷∶5平方千米 的比值是( )。 【答案】 6∶5 /0.04 【思路引导】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比。 用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。如果比的前项和后项的单位不统一，先根据进率换算单位，再求比值。 【规范解答】0.2∶ ＝∶ ＝（×30）∶（×30） ＝6∶5 20公顷∶5平方千米 ＝20公顷∶（5×100）公顷 ＝20∶500 ＝20÷500 ＝ 0.2∶化成最简整数比是（6∶5）；20公顷∶5平方千米的比值是（）。 举一反三2025·浙江宁波·小升初真题）如图，用完全一样的长方形纸，沿着长或宽卷一卷、转一转（不考虑粘结处），这四个圆柱的体积存在一定的关系。（π取3） 圆柱①和②的体积比，圆柱③和④的体积比，它们的比值相等。 上面这句话是否正确？请你验证。 （1）用喜欢的方法列式算一算，写出验证的结论。 （2）这两个比与原来长方形纸的长和宽有什么关系？写一写你的发现。 【答案】（1）正确 （2）这两个比的比值与原来长方形的长与宽的比值是相同的 【思路引导】（1）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，把数据代入公式，分别求出四个圆柱的体积，进而求出它们体积比，然后进行比较即可。 （2）根据比的意义，求出长方形长与宽的比，再求出比值，然后与上面两个比的比值进行比较。 【规范解答】（1）圆柱①和②的体积比：＝ 比值是 圆柱③和④的体积比：＝1.5＝ 比值是 圆柱①和②的体积比，圆柱③和④的体积比，它们的比值相等。 答：这句话是正确的。 （2）长方形的长与宽的比：9∶6＝3∶2 比值是 所以，这两个比的比值与原来长方形的长与宽的比值是相同的。 考点二 比的基本性质 母题精讲（2025·山东菏泽·小升初真题）中国梦是国家、民族的梦。中国梦的具体内容是“国家富强，民族振兴，人民幸福”，这12个字中，总字数与左右结构的字数的最简整数比是( )。 【答案】 3∶1/ 【思路引导】“国家富强，民族振兴，人民幸福”中左右结构的字有“强”、“族”、“振”、“福”共4个；再根据比的意义写出总字数和左右结构的字数的比是12∶4；最后根据比的基本性质将比的前项和后项同时除以4即可化成最简整数比。 【规范解答】根据分析： 左右结构的字有“强”、“族”、“振”、“福”共4个。 12∶4 ＝（12÷4）∶（4÷4） ＝3∶1 中国梦是国家、民族的梦。中国梦的具体内容是“国家富强，民族振兴，人民幸福”，这12个字中，总字数与左右结构的字数的最简整数比是3∶1。 举一反三（2025·浙江台州·小升初模拟）走同一段路，甲用了小时，乙用了小时，则甲、乙两人速度的最简整数比是( )，时间的最简整数比是( )。 【答案】 9∶8 8∶9 【思路引导】把这段路的全长看作单位“1”。根据速度＝路程÷时间，分别算出甲乙两人的速度。再利用比的基本性质求出两人速度的最简整数比。先写出两人的时间比，再利用比的基本性质求出两人时间的最简整数比。 比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 【规范解答】 ＝ ＝9∶8 ＝ ＝8∶9 所以，甲、乙两人速度的最简整数比是9∶8，时间的最简整数比是8∶9。 考点三 比的化简 母题精讲（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，体积比是，那么这个圆柱和这个圆锥的高的比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据圆的面积之比等于圆的周长之比的平方，假设圆柱、圆锥的底面面积、体积分别为具体数值，根据圆柱的体积V1＝Sh，圆锥的体积V2 ＝Sh得出高的计算公式，计算出高，写出高的比并进行化简。 【规范解答】圆的面积之比等于圆的周长之比的平方。 （3∶2）2＝＝＝9∶4 令圆柱和圆锥的底面积分别为9和4，体积分别为3和2。 V1＝Sh     则h＝V1÷S＝3÷9＝ V2＝Sh   则 h＝3V2÷S＝3×2÷4＝6÷4＝ ∶＝（×6）∶（×6）＝2∶9 这个圆柱和这个圆锥的高的比是2∶9。 举一反三（2025·湖南长沙·小升初真题）将甲组人数的分给乙组，则乙组人数就比甲组剩下的人数多，原来甲、乙两组人数的比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】将甲组原人数看作单位“1”，将甲组人数的分给乙组，则甲组现在人数为1－＝，根据题干意思，乙组人数就比甲组剩下的人数多，也就是说现在乙组人数是甲组剩下的人数的，所以可用×算出现在乙组人数，再减去甲组分来的，就是原来乙组人数，从而算出比。 【规范解答】（1－）×（1＋） ＝× ＝ －＝ 原来甲、乙两组人数的比是：1∶＝（1×10）∶（×10）＝10∶7。 故答案为：D 【考点剖析】本题主要考查分数运算和比例的应用。通过设定单位“1”，分步求解比例关系。解题关键在于正确理解“多几分之几”的含义及分数运算规则。 考点四 比与分数、除法的关系 母题精讲（2025·湖南永州·小升初真题）。 【答案】12；20；18；120 【思路引导】从已知的入手，根据分数与除法的关系，分子相当于被除数，分母相当于除数，根据商不变规律，被除数和除数同时乘2，即可求出除数为10时被除数的值； 根据分数与比的关系，分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，根据比的基本性质，前项和后项同时乘4，即可求出前项为24时后项的值； 根据分数的基本性质，分子和分母同时乘4，先求出分母为20时分子的值，再用求得的分子减去6，即可求出括号内的数； 分数化成小数，直接用分子除以分母，将求得的小数的小数点向右移动两位，再添上百分号即可。 【规范解答】＝6÷5＝（6×2）÷（5×2）＝12÷10； ＝6∶5＝（6×4）∶（5×4）＝24∶20； ＝，24－6＝18； ＝6÷5＝1.2＝120%； 即＝12÷10＝24∶20＝＝120%。 举一反三（2025·河南郑州·小升初真题）加工一批零件，甲、乙两人单独做所用的时间比是3∶5，现两人合作，完工时甲完成了这批零件的还多66个。这批零件共多少个？ 【答案】336个 【思路引导】根据“工作总量＝工作效率×工作时间”可知，当工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例关系。根据“工作时间＝工作量÷工作效率”可知，当工作时间一定时，工作量与工作效率成正比例关系。 已知加工一批零件，甲、乙两人单独做所用的时间比是3∶5，工作总量一定，那么甲、乙两人的工作效率比为5∶3；现两人合作，工作时间相同，则甲、乙两人的工作量之比等于他们的工作效率之比5∶3，也就是说甲完成的零件个数占零件总数的； 已知完工时甲完成了这批零件的还多66个，把零件总数看作单位“1”，则多的66个零件占零件总数的（－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出零件总数。 【规范解答】66÷（－） ＝66÷（－） ＝66÷（－） ＝66÷ ＝66× ＝336（个） 答：这批零件共336个。 【考点剖析】利用正反比例的意义由甲、乙两人单独做所用的时间比是3∶5得出两人的工作量之比，再把比转化成分数，根据分数除法的意义解答。 考点五 百分数、分数、小数和比的互化 母题精讲（2025·湖南永州·小升初模拟）5∶4＝( )÷12＝( )%＝10∶( )。 【答案】 15 125 8 【思路引导】比的前项对应除法里的被除数、后项对应除数，因此5∶4＝5÷4；根据商不变的规律（被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变）：除数4乘3，被除数5也乘3，就是15÷12；计算5÷4＝1.25；小数转化为百分数的方法是“小数点右移两位，后面加个百分号”：1.25的小数点右移两位是125，加上百分号就是125%；根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变）：比的前、后项都乘2就是10∶8。 【规范解答】根据分析：5∶4＝15÷12＝125%＝10∶8。 举一反三（2024·河北秦皇岛·小升初真题）3÷（    ）＝0.75＝（    ）÷20＝＝（    ）%＝（    ）折。 【答案】4；15；48；75 【思路引导】根据小数化分数的方法：原来有几位小数，就在1后面写几个0做分母，原来的小数去掉小数点做分子，化成分数后，能约分的要先约分，0.75＝； 根据分数与除法的关系：分子做被除数，分母做除数，＝3÷4； 再根据商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变，3÷4＝（3×5）÷（4×5）＝15÷20； 根据分数的基本性质：分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，商不变，＝＝； 根据小数化百分数的方法：小数点向右移动两位，再加上百分号，0.75＝75%，打几折就是百分之几十，75%就是七五折。 【规范解答】根据分析可知 3÷4＝0.75＝15÷20＝＝75%＝七五折。 考点六 按比分配问题 母题精讲（2025·重庆九龙坡·小升初真题）乌龟和兔子进行1000米赛跑，兔子速度是乌龟速度的5倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它500米，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10米，求兔子睡觉期间，乌龟跑了___________米。 【答案】 802 【思路引导】确定总路程与实际跑步路程，乌龟跑完全程1000米，兔子落后10米，求出兔子实际跑的距离，根据兔子速度是乌龟的5倍，求出在兔子跑步的时间内，乌龟跑的路程与兔子跑的路程之间的关系，乌龟一直在跑，其总路程由兔子跑步时乌龟跑的路程和“兔子睡觉时乌龟跑的路程两部分组成，用乌龟的总路程减去兔子跑步期间乌龟跑的路程，即为兔子睡觉期间乌龟跑的路程。 【规范解答】1000－10＝990（米） 因为兔子速度是乌龟速度的5倍，所以在相同时间内，令乌龟速度是1份，兔子速度是5份。 1×时间∶5×时间 ＝1∶5 ＝ 乌龟跑的路程是兔子的，兔子跑步期间乌龟跑的路程：990÷5＝198（米）。 1000−198＝802（米） 举一反三（2025·重庆渝北·小升初真题）2025年4月全球首个人形机器人半程马拉松赛在北京亦庄鸣枪开跑。此次比赛，采用“人机共跑”模式，比赛开始，运动爱好者们和机器人团队（机器人和技术人员）一起冲出起跑线。其中运动爱好者和机器人团队人数比例为190∶3，不一会，部分机器人因续航不足或零件磨损退出比赛，这样运动爱好者和机器人团队人数比例变为171∶2，接着部分运动爱好者也出现体力不支放弃比赛，此时运动爱好者和机器人团队人数比例变为81∶1，放弃的运动爱好者比退出的机器人团队人数多581人，参加这次半程马拉松的运动爱好者和机器人团队人员总数是多少人？ 【答案】 12159人 【思路引导】1.分析变化阶段不变量： （1）机器人退出时，运动爱好者人数不变。 （2）运动爱好者放弃时，机器人团队（退出后剩余）人数不变。 2.统一不变量份数计算变化： （1）机器人退出阶段，以运动爱好者为不变量，统一份数为190 和171 的最小公倍数1710，则初始比例为1710∶27（机器人团队27份），退出后比例为1710∶20（机器人团队20份），退出机器人份数为 27－20＝7份。 （2）运动爱好者放弃阶段，以机器人团队为不变量，统一份数为20，得运动爱好者减少90份（对应放弃人数）。 3.建立等式求每份数量： （1）设每份为x，退出机器人7x人，放弃运动爱好者90x人。 （2）根据人数差 90x－7x＝581，解得x＝7。 4.计算初始总数： （1）初始运动爱好者1710x人，机器人团队27x人。 （2）总数为1710x＋27x＝1737×7＝12159人。 【规范解答】初始运动爱好者与机器人团队人数比为 190∶3，机器人退出后运动爱好者人数不变，比例变为 171∶2。 将运动爱好者份数统一为190 和171 的最小公倍数 1710，则初始比例为1710∶27（机器人团队27份），退出后比例为1710∶20（机器人团队20份），退出机器人份数为 27－20＝7份。 退出后运动爱好者1710份（不变），机器人团队20份，运动爱好者放弃后机器人团队人数不变，比例变为 81∶1。 将机器人团队份数统一为 20 和1的最小公倍数 20，则放弃后比例为1620∶20（运动爱好者1620份），放弃运动爱好者份数为 1710－1620＝90 份。 解：设每份为x，则退出机器人7x 人，放弃运动爱好者 90x 人。根据题意 90x－7x＝581，得x ＝ 7。 初始总数为 1710x＋27x＝1737x＝1737×7＝12159。 答：参加这次半程马拉松的运动爱好者和机器人团队人员总数是12159人。 考点七 比的应用 母题精讲（2025·甘肃兰州·小升初真题）汽车厂按1∶20的比生产汽车模型，一辆轿车模型长24.3厘米，轿车的实际长度是( )米。 【答案】4.86 【思路引导】按1∶20的比生产汽车模型，即轿车模型长度是轿车实际长度的，把轿车的实际长度看作单位“1”，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用轿车模型长度除以即可求出轿车实际长度。计算时要将厘米换算成米（1米＝100厘米，低级单位换算成高级单位，需要除以进率）。 【规范解答】24.3÷ ＝24.3×20 ＝486（厘米） 486厘米＝486÷100＝4.86米 举一反三（2025·湖南长沙·小升初真题）星期天早晨8：30，小萍骑电动车从家出发前往和谐广场。12分钟后，妈妈开车去追小萍，在距家6千米的地方追上了小萍。这时，妈妈收到一个电话，需要回家收个快递，于是立即掉头回家，拿到快递后没有停留（接快递时间忽略不计），立刻又回头去追小萍，妈妈再次追上小萍的时候，距家18千米，问：妈妈第二次追上小萍的时间是几时几分？ 【答案】9时42分 【思路引导】先看路程：妈妈第一次追上到第二次追上，小萍走了12千米，妈妈走了24千米，相同时间内妈妈路程是小萍的2倍，所以妈妈速度是小萍的2倍。 路程相同时，速度与时间成反比，走同样6千米，小萍用时是妈妈的2倍，时间差12分钟，说明小萍走6千米用24分钟，妈妈用12分钟。 小萍速度：6÷24＝0.25千米/分，走18千米总用时：18÷0.25＝72分钟。 出发时间8时30分，加72分钟即为最终时间。 【规范解答】速度比：妈妈速度∶小萍速度＝（6＋18）∶（18－6）＝24∶12＝2∶1 小萍走6千米用时：12×2＝24（分钟） 小萍速度：6÷24＝0.25（千米/分钟） 小萍走18千米总用时18÷0.25＝72（分钟） 最终时间：8时30分＋72分＝8时30分＋1时12分＝9时42分 答：妈妈第二次追上小萍的时间是9时42分。 【考点剖析】本题关键是利用相同时间内的路程比得出速度倍数关系，再结合时间差求出小萍速度与总用时。 考点八 黄金比及应用 母题精讲（2025·浙江宁波·小升初模拟）黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中也藏着黄金比。以肚脐为分割点，当上半身与下半身的比是5∶8时，身材显得最协调，达不到的话可以穿高跟鞋来弥补。妈妈的身高是163厘米，下半身长98厘米，妈妈穿的高跟鞋的最佳高度为多少厘米？ 【答案】6厘米 【思路引导】根据题意，用妈妈的身高减去下半身的长度，就是妈妈上半身的长度。根据上半身与下半身的比是5∶8，可知下半身的长度是上半身长度的，根据求一个数的几分之几是多少，用上半身的长度乘求出黄金比的下半身长度。再减去妈妈原来的下半身长度，就是穿的高跟鞋的最佳高度。 【规范解答】（163－98）×－98 ＝65×－98 ＝104－98 ＝6（厘米） 答：妈妈穿的高跟鞋的最佳高度为6厘米。 举一反三（2025·河南郑州·小升初真题）把如图长方形变成一个宽和长的比为5∶8（接近黄金比0.618∶1）的新长方形。下面方法中（    ）正确。 （1）在它的右侧去掉一个长30厘米，宽2厘米的长方形 （2）在它的下面添一个长50厘米，宽5厘米的长方形 （3）在它的右侧添一个长30厘米，宽6厘米的长方形，再在上边添一个长56厘米，宽5厘米的长方形 A．只有（1）（2） B．只有（1）（3） C．只有（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】B 【思路引导】（1）在原长方形的右侧去掉一个长30厘米，宽2厘米的长方形，得到的新长方形的长是50－2＝48（厘米），宽是30厘米，宽与长的比是30∶48＝5∶8。 （2）在原长方形的下边添一个长50厘米、宽5厘米的长方形，得到的新长方形的长是50厘米，宽是30＋5＝35（厘米），宽与长的比是35∶50＝7∶10。 （3）在原长方形的右侧添上一个长30厘米，宽6厘米的长方形，再在上面添上一个长56厘米，宽5厘米的长方形，得到的新长方形的长是56厘米，宽是35厘米，宽与长的比是35∶56＝5∶8。 【规范解答】（1）在原长方形的右侧去掉一个长30厘米，宽2厘米的长方形。 长为50－2＝48（厘米），宽为30厘米。 这个长方形的宽与长的比是30∶48＝5∶8。 （2）在原长方形的下边添一个长50厘米、宽5厘米的长方形。 长为50厘米，宽为30＋5＝35（厘米）。 这个长方形的宽与长的比是35∶50＝7∶10。 （3）在原长方形的右侧添上一个长30厘米，宽6厘米的长方形。 长为50＋6＝56（厘米），宽为30＋5＝35（厘米）。 这个长方形的宽与长的比是35∶56＝5∶8。 所以（1）（3）是正确的。 故答案为：B 考点九 比例的基本性质 母题精讲（2025·浙江杭州·小升初模拟）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是53，另一个内项是( )，这个比例可能是( )。 【答案】 2∶53＝∶ 【思路引导】乘积是1的两个数互为倒数，根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，可知两个内项也互为倒数；再根据“其中一个内项是53”，用1除以53求出另一个内项。 两个外项只要保证乘积为1即可，据此写出这个比例。 【规范解答】1÷53＝ 所以，另一个内项是，这个比例可能是2∶53＝∶（答案不唯一）。 举一反三（2025·重庆渝北·小升初真题）“宫、商、角、徵、羽”是我国古代音乐的基本音阶，基本音阶“徵”的发音管长度比基本音阶“宫”的发音管长，且“徵”的发音管长度∶“宫”的发音管长度，那么_____。 【答案】 【思路引导】首先依据“徵的发音管长度比宫长”，把宫的长度看作单位“1”，得出徵的长度为1＋＝，进而转化得到徵与宫的长度比为；接着结合题目给出的比例，根据比例的基本性质“内项积等于外项积”列出方程，求出未知数b的值。 【规范解答】徵与宫的长度比∶（1＋）＝＝ 所以。 【考点剖析】先是把“徵比宫长”的分数关系，转化为“徵∶宫＝4∶3”的最简整数比；接着借助比例的基本性质，把比例式转成方程求出未知数b的值。 考点十 解比例 母题精讲（2025·河南新乡·小升初真题）解方程或解比例。      【答案】； 【思路引导】（1）先化简方程左边含有字母的式子，再利用等式的性质2，方程两边同时除以； （2）在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，把比例转化为方程，再利用等式的性质2，方程两边同时除以。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： 举一反三（2025·广东广州·小升初模拟）甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工100个，丙∶乙＝3∶4，甲∶（乙＋丙）＝2∶3，甲、乙、丙一共加工了（    ）个零件。 A．1750 B．1800 C．1850 D．1900 【答案】A 【思路引导】根据题意，设乙加工零件为个。已知甲比乙多加工100个，则甲加工（＋100）个；已知丙∶乙＝3∶4，即丙加工零件个数是乙的，也就是丙加工个； 根据甲∶（乙＋丙）＝2∶3，列出比例方程，并求出方程的解，即乙加工零件的个数，进而求出甲、丙加工零件的个数； 最后把三人加工零件的个数相加，求出他们一共加工零件的总个数。 【规范解答】解：设乙加工零件个，则甲加工零件为（＋100）个，丙加工零件为个。 （＋100）∶（＋）＝2∶3 2（＋）＝3（＋100） 2×＝3＋300 ＝3＋300 －3＝300 ＝300 ＝300÷ ＝300×2 ＝600 甲：600＋100＝700（个） 丙：600×＝450（个） 一共：700＋600＋450＝1750（个） 甲、乙、丙一共加工了1750个零件。 故答案为：A 【考点剖析】根据甲、乙、丙加工零件个数之间的关系，用未知数表示甲、乙、丙加工零件的个数，再根据已知的比例式列出比例方程是解题的关键。 考点十一 比例的应用 母题精讲（2025·浙江杭州·小升初真题）2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭发射取得圆满成功。长征二号F遥二十运载火箭的总长约58.3米，乐乐收藏了这一型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶100，这一模型的高度是多少厘米？ 【答案】58.3厘米 【思路引导】先根据进率“1米＝100厘米”将58.3米换算成5830厘米，根据题意可得出等量关系：模型的高度∶实际的高度＝1∶100，据此列出比例方程，并求解。 【规范解答】58.3米＝5830厘米 解：设这一模型的高度是厘米。 ∶5830＝1∶100 100＝5830×1 ＝5830÷100 ＝58.3 答：这一模型的高度是58.3厘米。 举一反三（2025·浙江宁波·小升初真题）西大河公园是镇海新增的高颜值公园。点A是公园其中一个入口，点B是智能骑车点，点C是体能检测站。从点A观察，它的北偏西30°是点C，而从点B观察，它的正北方向就是点C。 （1）请在图中确定点C的位置。【保留作图痕迹】 （2）如果AB的距离是320米，那么AC的距离是多少米？【提示：测量结果保留整厘米数】（用比例解答） （3）小镇和小海分别从点B和点C处出发，朝点A处匀速行走。4分钟后，小镇到达点A处，小海刚好走了AC的。两人的步行速度相差多少？ 【答案】（1）见详解 （2）640米 （3）40米/分 【思路引导】（1）地图上按上北下南左西右东确定方向，结合角度，画出北偏西30°的直线，再过B点作AB的垂线，与北偏西30°的直线相交的点就是C点； （2）先分别测量出AB和AC的图上距离；根据“图上距离∶实际距离＝比例尺（一定）”，比值一定，则图上距离与实际距离成正比例，据此列出正比例方程，解答即可； （3）根据速度＝路程÷时间，用小镇走的路程（AB的长度）除以步行的时间4分钟，求出小镇的速度； 把AC的全长看作单位“1”，4分钟小海走了AC全长的，单位”1”已知，用AC的全长乘，求出小海4分钟走的路程；再用小海4分钟走的路程除以步行的时间4分钟，求出小海的速度；最后用减法求出两人的步行速度的差即可。 【规范解答】 （1） （2）测量AB的图上距离是3厘米，AC的图上距离是6厘米。（以实际测量为准） 解：设AC的距离是x米。 3∶320＝6∶x 3x＝320×6 3x＝1920 3x÷3＝1920÷3 x＝640 答：AC的距离是640米。 （3）320÷4＝80（米/分） 640×÷4 ＝480÷4 ＝120（米/分） 120－80＝40（米/分） 答：两人的步行速度相差40米/分。 【考点剖析】本题较为综合，关键是正确作图，掌握用比例解决问题的方法，理解分数乘法的意义，以及速度、时间和路程之间的关系。 考点十二 正比例的应用 母题精讲（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 【答案】（1）A；B （2）烧杯底面积是20平方厘米；注满水槽所用的时间是180秒 【思路引导】（1）观察图②，注水初期仅向烧杯注水，当烧杯刚好注满时，后续注水开始使水槽水面上升，此转折点为点A，故点A表示烧杯中刚好注满水。 当水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时，后续注水的“有效底面积”变为水槽底面积（因烧杯已被水覆盖），水面上升速度改变，此转折点为点B，故点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图2知，当注水18秒时，烧杯刚好注满，此时烧杯容积等于注水体积，根据容积＝底面积×高，注水体积＝注水速度×时间（匀速注水情况），得到S＝18v；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），即100＝90V，因为90V=5×18V则有100＝5S，两边同时约掉，即可求出烧杯底面积S。 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5，当注水速度一定时，此时体积比等于时间比，把烧杯的体积看成1份，水槽一半的体积就是5份，用水槽的底面积乘此时的高度10厘米，再除以5就可以得到烧杯的体积，即：100×10÷5＝200（立方厘米），再根据注水速度＝注水体积÷时间，得到注水速度，即200÷18＝（立方厘米/秒）；再用水槽的总体积除以注水速度，得到注满水槽所用时间，即100×20÷＝180（秒）。 【规范解答】（1）根据分析，可知： 图②中，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图②知，当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），于是S＝18V，100＝90V， 因为90V=5×18V，则有100＝5S， 所以S＝100÷5＝20（平方厘米） 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5， 烧杯的体积：100×10÷5＝200（立方厘米） 注水速度：200÷18＝（立方厘米/秒） 注满水槽所用时间： 100×20÷ ＝2000÷ ＝2000× ＝180（秒） 答：烧杯的底面积为20平方厘米，注满水槽所用的时间为180秒。 【考点剖析】本题核心是利用恒定流量下“体积与时间成正比”的关系，结合图像转折点的实际意义（注满烧杯、水面平齐），通过建立方程求解未知量。关键在于理解不同注水阶段的“有效底面积”变化，从而关联体积、时间和底面积的关系。 举一反三（2025·山东·小升初模拟）春秋战国时期，我国有一位发明家叫鲁班，手艺巧夺天工，传说他用木头组成飞鸟，惟妙惟肖，十分逼真。鲁班3天能做15个飞鸟，如果要做80个飞鸟，需要几天？（用比例解答） 【答案】16天 【思路引导】鲁班3天能做15个飞鸟，可以用求出一天的量，即总数和天数成正比例关系，根据总数除以对应的天数等于1天的量这一等量关系列比例，需先把需要的天数设为天。 【规范解答】解：设需要天。 答：如果要做80个飞鸟，需要16天。 考点十三 反比例的应用 母题精讲（2025·广东揭阳·小升初模拟）如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。 (1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是( )关系。 (2)大齿轮有60个齿，小齿轮有15个齿。如果大齿轮每分钟转80圈，小齿轮每分钟转多少圈？ 【答案】(1)反比例 (2)320圈 【思路引导】（1）齿轮转动中，两齿轮在相同时间内的总齿数相等。即每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，那么每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系。 （2）根据每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系，可得出等量关系：小齿轮的齿数×小齿轮每分钟转的圈数＝大齿轮的齿数×大齿轮每分钟转的圈数，据此列出反比例方程，并求解。 【规范解答】（1）转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是反比例关系。 （2）解：设小齿轮每分钟转圈。 15＝60×80 15＝4800 ＝4800÷15 ＝320 答：小齿轮每分钟转320圈。 举一反三（2025·甘肃兰州·小升初真题）中国结的发展可追溯到旧石器时代的缝衣打结，后面逐渐演变到了今天的装饰手艺。某厂家要制作一批中国结，原计划每天制作600个，但实际每天少制作了20%，原计划20天可以完成任务，实际用了多少天？（用比例解） 【答案】25天 【思路引导】这批中国结的总量是不变的，每天制作的个数与天数的乘积是一定的，即两种量成反比例。原计划每天制作600个，实际每天少制作20%，把原计划每天制作的个数看作单位“1”，则实际每天制作数量是原计划的（1－20%），设实际用了x天。因为工作总量不变，所以“原计划效率×原计划时间＝实际效率×实际时间”，据此列方程为：600×（1－20%）×x＝600×20，然后解方程即可。 【规范解答】解：设实际用了天。 答：实际用了25天。 考点十四 应用比例尺画图 母题精讲（2025·四川内江·小升初真题）钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是我国领土。钓鱼岛位于中国东海，距我县直线距离约2000千米。 （1）如果按照1∶10000000的比例尺在纸上画出钓鱼岛到我县的直线距离，在纸上应画（    ）厘米。 （2）我国已经对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监测。一日，一艘海监执法船从A点出发，向正东方向航行200千米到达B点，在B点测得钓鱼岛在B点的东偏北30°方向上，距离B点约300千米。请你在图中用“”标出钓鱼岛的位置。 （3）海监执法船抵达钓鱼岛后，按原路返回A点，请用文字描述海监执法船的返回路线。 【答案】（1）20； （2）见详解； （3）从钓鱼岛向西偏南30°方向走300千米，再向正西走200千米即可到达A点 【思路引导】（1）先根据1千米＝100000厘米把2000千米换算成以厘米为单位，再根据图上距离＝实际距离×比例尺求出在纸上应画多少厘米； （2）先根据图上的1厘米表示实际的100千米用实际距离除以100求出图上应画多少厘米，再根据“上北下南，左西右东”的方位辨别方法确定位置，再结合给出的角度确定位置并画图即可； （3）位置的相对性：方向相反，角度相同，距离相等，再根据“东和西相对，南和北相对”确定出返回时的路线即可。 【规范解答】（1）2000千米＝200000000厘米 200000000×＝20（厘米） 如果按照1∶10000000的比例尺在纸上画出钓鱼岛到我县的直线距离，在纸上应画20厘米。 （2）200÷100＝2（厘米） 300÷100＝3（厘米） 作图如下： （3）答：返回时，从钓鱼岛向南偏西60°方向走300千米，再向正西走200千米即可到达A点。 举一反三（2024·河北衡水·小升初真题）有三艘轮船在海面上航行（如图）。 （1）船B在船A的 偏 　 °方向 千米处。 （2）船C离船A的距离4千米，它可能在什么位置？请在图中将所有可能的位置都标注出来。 【答案】（1）北；东；40；8 （2）见详解 【思路引导】（1）按照在地图上“上北下南，左西右东”的原则，以轮船A所在位置为观测点，轮船B在轮船A的北偏东40°方向上，再依据给定的线段比例尺算出两船间的实际距离。（本题方向答案不唯一） （2）依据给定的线段比例尺算出轮船C和轮船A的图上距离，因为圆上的点到圆心的距离都相等，所以，以轮船A所在位置的点为圆心，以两船的图上距离为半径画圆即可。 【规范解答】（1）2×4＝8（千米） 所以船B在船A的北偏东40°方向8千米处。 （2）船C离船A的距离4千米，以船A为圆心，以4千米为半径，作圆即可。如图： 考点十五 图上距离与实际距离的换算 母题精讲（2025·湖南邵阳·小升初模拟）如下图是小华乘坐出租车去图书馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价8元计算；超出3千米部分按每千米2.4元计算。请你根据相关信息计算。 (1)小华家到图书馆的距离是多少千米？ (2)小华从家乘出租车到图书馆要花多少元？ 【答案】(1)9千米 (2)22.4元 【思路引导】比例尺：1∶150000，表示图上1厘米代表实际150000厘米。根据实际距离＝图上距离÷比例尺，分别算出小华家到苏果超市（图上距离2厘米），以及苏果超市到图书馆的距离（图上距离4厘米），再把两段距离相加，得到小华家到图书馆的实际距离。注意单位的换算，1米＝100厘米，1千米＝1000米，则1千米＝100000厘米，从厘米化成千米，除以进率即可。 （2）起步价8元适用于3千米以内，超出部分按每千米2.4元计算。用超出部分的距离乘每千米的单价2.4元，再加上起步价8元得到总的乘车费用。 【规范解答】（1）2÷＋4÷ ＝2×150000＋4×150000 ＝（2＋4）×150000 ＝6×150000 ＝900000（厘米） 900000÷100000＝9（千米） 答：小华家到图书馆的距离是9千米。 （2）8＋（9－3）×2.4 ＝8＋6×2.4 ＝8＋14.4 ＝22.4（元） 答：小华从家乘出租车到图书馆要花22.4元。 举一反三（2025·湖北武汉·小升初真题）如图是小刚从家出发乘坐出租车去展览馆的路线图（途经文化馆）。出租车在3千米以内（含3千米）的起步价是8元，以后路程每增加1千米车费就增加1.4元。请你算一算，小刚去展览馆一共需要多少元出租车费？ 【答案】45.8元 【思路引导】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，可求得小刚家到展览馆的实际距离，然后将这个距离的长度单位换算为千米，3千米内收费8元，超过部分每千米1.4元，求出相应的租车费用，据此作答即可。 【规范解答】 ＝6÷ ＝6×500000 ＝3000000（厘米） 3000000厘米＝30千米 8＋1.4×（30－3） ＝8＋1.4×27 ＝8＋37.8 ＝45.8（元） 答：小刚去展览馆一共需要45.8元出租车费。 考点十六 图形的放大与缩小 母题精讲（2025·山东青岛·小升初真题） （1）在图上描出下列点：A（4，4），B（5，8），C（6，6）。 （2）依次连接ABC三点，并将所得的图形绕A点按顺时针旋转90°。 （3）将旋转后的图形向右平移5格。 （4）在网格里将平移后的图形按2∶1放大，画出放大后的图形。 （5）求放大后的三角形的面积。（每格表示1厘米） 【答案】（1）（2）（3）（4）见详解 （5）12平方厘米 【思路引导】（1）数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此确定各点的位置。 （2）依次连接ABC三点围成三角形。作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 （3）作平移后的图形步骤：找点－找出构成图形的关键点；定方向、距离－确定平移方向和平移距离；画线－过关键点沿平移方向画出平行线；定点－由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连点－连接对应点。 （4）把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1。 （5）将放大后的三角形分成2个三角形，根据三角形面积＝底×高÷2，计算出一个三角形的面积，乘2即可。 【规范解答】 （1） （2）（3）（4） （5） 如图 3×4÷2＋3×4÷2 ＝6＋6 ＝12（平方厘米） 放大后的三角形的面积是12平方厘米。 举一反三（2022·江西景德镇·小升初真题）下面每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求完成下列各题。 （1）三角形顶点A用数对表示是（  ，  ），顶点B用数对表示是（  ，  ）。 （2）把三角形ABC向下平移5格，再向左平移4格，画出平移后的图形。 （3）把三角形ABC按2∶1放大，画出放大后的图形。 （4）画出三角形ABC绕C点顺时针旋转90°的图形。 （5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是（      ），体积是（    ）立方厘米。 【答案】（1）（10，5）；（13，7） （2）见详解 （3）见详解 （4）见详解 （5）圆锥；12.56 【思路引导】（1）用数对表示位置，数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；三角形顶点A在第10列第5行，顶点B在第13列第7行，用数对表示出顶点A、B的位置。 （2）根据平移的特征，将三角形ABC的各顶点分别先向下平移5格，再向左平移4格，依次连接即可得到平移后的图形。 （3）三角形ABC按2∶1放大，即三角形ABC的各边都扩大到原来的2倍，由此求出放大后三角形的底和高，画出放大后的三角形。 （4）根据旋转的特征，将三角形ABC绕C点顺时针旋转90°，点C位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 （5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是圆锥，那么AC等于圆锥的高，BC等于圆锥的底面半径；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求出这个圆锥的体积。 【规范解答】（1）三角形顶点A用数对表示是（10，5），顶点B用数对表示是（13，7）。 （2）把三角形ABC向下平移5格，再向左平移4格，平移后的图形如图中红色三角形； （3）放大后的三角形的底是：3×2＝6（厘米） 放大后的三角形的高是：2×2＝4（厘米） 放大后的图形如图中绿色三角形。 （4）三角形ABC绕C点顺时针旋转90°后的图形如图中蓝色三角形。 （5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是圆锥； 圆锥的体积： ×3.14×22×3 ＝3.14×4 ＝12.56（立方厘米） 【考点剖析】掌握用数对表示位置、作平移后的图形、作旋转后的图形、作放大图形的作图方法，以及明确直角三角形旋转成圆锥，圆锥的底面半径和高与直角三角形直角边的关系，然后运用圆锥体积公式列式计算。 考点十七 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 母题精讲（2024·河北承德·小升初真题）一个正方形按3∶1放大后，面积扩大到原来的12倍。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据放大的意义可知，一个正方形按3∶1放大，放大后的边长是原来边长的3倍；据此求出放大后正方形的边长，再根据正方形面积＝边长×边长，分别求出放大后和放大前正方形的面积，再用放大后正方形的面积÷放大前正方形的面积，即可解答。 【规范解答】假设原来正方形边长是1，一个正方形按3∶1放大后，放大后的边长是1×3＝3。 （3×3）÷（1×1） ＝9÷1 ＝9 一个正方形按3∶1放大后，面积扩大到原来的9倍。原题干说法错误。 故答案为：× 举一反三（2024·广东湛江·小升初真题）下列说法不正确的是（    ）。 A．小刚说：“我表弟是2020年2月29日出生的”。 B．三角形三个角度数比是2∶4∶3，最大的角是80°。 C．在50克水里加入5克盐，该盐水的含盐率是10%。 D．把一个平面图形按3∶1的比放大，放大后与放大前图形的面积之比是9∶1。 【答案】C 【思路引导】判断2020年是否为闰年，根据闰年的判断规则：普通年份看是否能被4整除，如果能就是闰年，平年2月有28天，闰年2月有29天；三角形的内角和是180°，三个角度数比是2∶4∶3，最大角是内角和的，求一个数的几分之几是多少用乘法计算；先计算出盐水的质量，再用盐的质量除以盐水的质量乘100%即可判断；一个图形按3∶1放大后，就是把这个图形的各边长放大3倍，也就是各边乘3，所得到的新图形的各边都是原图形的3倍，它的面积将是原图形的32倍，据此判断即可。 【规范解答】A．2020÷4＝505，没有余数，所以2020年是闰年，2月有29天，所以原题说法正确； B．180°×＝180°×＝20°×4＝80°，所以原题说法正确； C．5÷（50＋5）×100%＝5÷55×100%≈9.1%≠10%，所以原题说法错误； D．把一个平面图形按3∶1的比放大，放大后与放大前图形的面积之比是（3×3）∶1＝9∶1，所以原题说法正确。 故答案为：C 考点十八 比例尺应用 母题精讲（2025·湖南永州·小升初模拟）在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地的图上距离是4.5厘米。两辆汽车分别从甲乙两地同时相向而行，甲车平均每小时行55.5千米，乙车平均每小时行44.5千米。两车行驶多少小时后途中相遇？ 【答案】1.8小时 【思路引导】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出两地的实际距离，根据1千米＝100000厘米，用求出的距离除以进率100000即可换算为千米。 再根据“相遇时间＝路程÷速度和”用两地之间的距离除以速度和，即可求出两车行驶多少小时后途中相遇，据此解答。 【规范解答】4.5÷＝4.5×4000000＝18000000（厘米） 18000000÷100000＝180（千米） 180÷（55.5＋44.5） ＝180÷100 ＝1.8（小时） 答：两车行驶1.8小时后途中相遇。 举一反三在比例尺是1∶2000000的地图上，量得两个城市之间的铁路长45厘米。甲乙两列火车同时从两个城市出发相对而行，4小时相遇。已知甲乙两车的速度比是3∶2，甲车每小时行多少千米？ 【答案】135千米 【思路引导】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出两地的实际距离，根据1千米＝100000厘米进行单位换算；再根据“速度和＝路程÷相遇时间”即可求出两车的速度和，已知两车的速度比，利用按比例分配的方法就能求出甲车的速度。 【规范解答】两地的实际距离： 45÷＝90000000（厘米） 90000000厘米＝900千米 甲、乙两列火车每小时共行： 900÷4＝225（千米） 甲车每小时行： 225×＝135（千米） 答：甲车每小时行135千米。 【考点剖析】掌握图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，以及相遇问题中的数量关系是解题关键。 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．（2024·北京海淀·小升初真题）下图是六（1）班的教室平面图，亮亮在平面图上量得教室的长为5cm，这间教室的实际长是10m，这幅平面图的比例尺是（    ）。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶200 D．200∶1 【答案】C 【思路引导】比例尺＝图上距离与实际距离的比，先统一单位，再计算比例尺。1m＝100cm。 【规范解答】10m＝1000cm 图上距离∶实际距离 ＝5cm∶1000cm ＝5∶1000 ＝（5÷5）∶（1000÷5） ＝1∶200 2．（2025·山东·小升初模拟）在一个比例中，已知两个内项互为倒数，其中一个外项是最小的质数，另一个外项是（    ）。 A． B．1 C．2 D．不能确定 【答案】A 【思路引导】根据比例的基本性质，内项积等于外项积，因为两个内项互为倒数，所以它们的积是1，外项积也是1，又因为其中一个外项是最小的质数2，所以用1除以2即可求出另一个外项。 【规范解答】1÷2＝ 另一个外项是。 3．（2025·湖南长沙·小升初真题）A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病请假了，结果A做了6天，B做了5天，C做了4天，作为休息的代价，D拿出60元给A、B、C三人作为报酬，若按天数计算劳务费，则这60元中A分（    ）元。 A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【思路引导】根据题意可知：他们一共做了（6＋5＋4＋1）天，那么平均算下来一个人做（6＋5＋4＋1）÷4＝4天； D做了一天因病请假，就少做了（4－1）天，则A多做了（6－4）天、B多做了（5－4）天，那么60元是给多做天数的报酬； 用60元除以多做的天数求出每天的报酬费，再乘A多做的天数即可得到应该分给A的钱数。 【规范解答】一共做的天数：6＋5＋4＋1＝16（天） 平均每人做的天数：16÷4＝4（天） A多做的天数：6－4＝2（天） B多做的天数：5－4＝1（天） 一共多做的天数：2＋1＝3（天） A应分：60÷3×2 ＝20×2 ＝40（元） 4．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）如图，E点和F点分别是长方形ABCD的两条对边的中点，G点是AB边上一点，那么空白部分与阴影部分面积的最简整数比是______。 【答案】3∶1 【思路引导】已知，E点和F点分别是长方形ABCD的两条对边的中点，G点是AB边上一点，阴影部分是三角形，则三角形底与长方形的宽相等，高是长方形的长的一半，假设长方形ABCD的长为2a，宽为b，根据长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2，空白部分面积=长方形面积－阴影部分面积，分别求出阴影部分和空白部分的面积，再求出最简整数比即可。 【规范解答】假设长方形ABCD的长为2a，宽为b，则阴影部分三角形的底为b，高为2a÷2＝a。 长方形的面积：2a×b＝2ab； 三角形的面积：a×b÷2 ＝ ab÷2 ＝ab 空白部分面积：2ab－ab＝ ab 空白部分面积∶阴影部分面积＝ab∶ab ＝（ ab÷ab）∶（ab÷ab） ＝∶ ＝∶ ＝3∶1 所以空白部分与阴影部分面积的最简整数比是3∶1。 5．（2025·湖北黄石·小升初真题）学校操场是一个长方形，画在比例尺是1∶2000的平面图上，长是3厘米，宽是2厘米，学校操场实际面积是( )平方米。 【答案】2400 【思路引导】比例尺1∶2000表示图上1厘米代表实际距离2000厘米，2000厘米＝20米，即图上1厘米代表实际20米。 先根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”求出实际长和宽的长度 再根据“长方形面积＝长×宽”计算即可。 【规范解答】2000厘米＝20米 3×20＝60（米） 2×20＝40（米） 60×40＝2400（平方米） 所以这个操场的实际面积是2400平方米。 【考点剖析】 6．既可以看作是一个分数，也可以看作是一个比。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据比与分数、除法之间的联系，比的前项相当于分数的分子，后项相当于分数的分母，比号相当于分数线。因此，比也可以写成分数的形式，同一个书写形式在不同语境下可以代表不同的数学概念。 【规范解答】根据比与分数的关系可知，两个数的比也可以写成分数的形式。 符合分数的意义，表示把单位“1”平均分成8份，取其中的1份，是一个分数；同时也可以表示这个比，当比写成分数形式时，仍读作一比八。因此既可以看作是一个分数，也可以看作是一个比。 故答案为：√ 7．（2025·湖北黄石·小升初真题）解方程或比例。        25%x－9%x＝48          【答案】x＝1.2；x＝300；x＝4 【思路引导】第1题：先根据等式的性质1在等式两边同时减去1，再根据等式的性质2在等式两边同时除以即可； 第2题：有相同因数x，先根据乘法分配律将方程化简，再根据等式的性质2在等式两边同时除以0.16即可； 第3题：先根据比例的基本性质将比例改写成方程，再根据等式的性质2在等式两边同时除以即可。 【规范解答】① 解： x＝0.6×2 x＝1.2 ②25%x－9%x＝48 解：16%x＝48 0.16x＝48 0.16x÷0.16＝48÷0.16 x＝300 ③ x＝ x＝4 8．（2025·湖北黄石·小升初真题）王军将山里的水果通过直播的形式进行销售。原来销售量是2000kg，现在销售量增加了540%。销售的桔子、苹果和柿子的重量比是1∶4∶5，现在的销售量中苹果有多少千克？ 【答案】5120千克 【思路引导】1.首先根据原来的销售量和增加的百分率，求出现在的销售总量。现在的销售量是原来的销售量乘（1＋增加的百分率）。 2. 然后根据桔子、苹果和柿子的重量比，求出苹果占现在销售总量的几分之几。 3. 最后用现在的销售总量乘苹果所占的分率，即可求出现在的销售量中苹果的重量。 【规范解答】2000×（1＋540%）× ＝2000×（1＋5.4）× ＝2000×6.4× ＝12800× ＝5120（千克） 答：现在的销售量中苹果有5120kg。 9．（2025·甘肃兰州·小升初真题）多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… (1)如果继续摆下去，7个凳子的总高度是( )厘米。 (2)凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 【答案】(1)81 (2)不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 【思路引导】（1）先观察表格里凳子数量和总高度的变化，发现1个凳子高45厘米，每增加1个凳子，总高度增加6厘米，由此得出总高度的计算公式：总高度＝45＋6×（凳子数量－1），再把凳子数量7代入公式，即可求出7个凳子的总高度。 （2）正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则成正比例关系。接着计算不同数量凳子对应的总高度与数量的比值，发现这些比值不固定，因此判断凳子的数量与总高度不成正比例关系。 【规范解答】（1）45＋6×（7－1） ＝45＋6×6 ＝45＋36 ＝81（厘米） （2）1个凳子：45÷1＝45 2个凳子：51÷2＝25.5 3个凳子：57÷3＝19 答：不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 10．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们的工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是甲、乙两人合做6天完成了工程的，因甲中途有事，由乙、丙合作2天，完成了余下工程的，之后三人合做5天完成了这项工程。如果按完成工作量的多少来付酬，每人应得多少元？ 【答案】 甲应得330元，乙应得910元，丙应得560元 【思路引导】把这项工程总量看作单位“1”。首先根据三个阶段的工作情况，分别求出甲乙合作、乙丙合作、三人合作的工作效率之和。其次，利用工作效率之和求出甲、乙、丙各自单独的工作效率。然后，统计每人参与工作的总天数，计算出每人完成的工作量。最后，根据三人完成工作量的比，按比例分配1800元工资。 【规范解答】设这项工程总量为1。 甲、乙工作效率之和： 余下工程： 乙、丙完成的工作量： 乙、丙工作效率之和： 三人完成的工作量： 甲、乙、丙工作效率之和： 甲的工作效率： 乙的工作效率： 丙的工作效率： 甲完成的工作量： 乙完成的工作量： 丙完成的工作量： 三人工作量之比： 总份数： 甲应得工资：（元） 乙应得工资：（元） 丙应得工资：（元） 答：甲应得330元，乙应得910元，丙应得560元。 【思维拓展拔尖】 1．（2025·湖南长沙·小升初真题）如果，那么x与y成（    ）。 A．反比例 B．正比例 C．没有关系 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例，据此选择。 【规范解答】，等式两边同时乘x，可得xy＝8（一定），乘积一定，所以x与y成反比例关系。 2．（2025·河北保定·小升初模拟）在一个比中，比的前项缩小为原来的，比的后项扩大到原来的10倍，所得的新比值是原来比值的（    ）。 A．100倍 B．10倍 C． D． 【答案】C 【思路引导】设这个比为a∶b，即原来比值为，根据题意，所得新比为a∶10b，即可求出所得新比值是原来比值的几分之几。 【规范解答】设这个比为a∶b，即原来比值为，那么比的前项缩小为原来的，即a，比的后项扩大为原来的10倍，即10b，所得新比为：a∶10b。 a∶10b ＝a÷10b ＝a× ＝ ＝× 所以所得新比值是原来比值的。 故答案为：C 3．（2025·甘肃兰州·小升初真题）聪聪的妈妈做摊饼时发现，面、水的质量比是时，摊饼的口感最好。聪聪也想做这样的摊饼，她不能按下面第（    ）种方法确定面和水的用量。 A．每1kg面需要800g水。 B．用同样大的碗盛面、水，盛满面、盛满水的碗数比是5∶4。 C．保证面的质量是水的质量的1.25倍。 D．无论面、水的质量是多少，面一定要比水多200g。 【答案】D 【思路引导】根据题意可知，面和水的质量比是固定的比例关系，据此逐项分析各个选项即可。 【规范解答】A．每1kg面需要800g水。 1kg∶800g ＝1kg∶0.8kg 符合1∶0.8的比例，方法正确。 B．同样大的碗盛面、水，盛满面、盛满水的碗数比是5∶4。 5∶4 ＝（5÷5）∶（4÷5） ＝1∶0.8 符合1∶0.8的比例，方法正确。 C．保证面的质量是水的质量的1.25倍。 1∶0.8 ＝1÷0.8 ＝1.25 也就是面的质量是水的1.25倍，方法正确。 D．无论面、水的质量是多少，面一定要比水多200g。 这不是比例关系，不能保证面和水质量比是1∶0.8，方法错误。 她不能按“无论面、水的质量是多少，面一定要比水多200g”的方法确定面和水的用量。 4．（2025·山东菏泽·小升初真题）成语“立竿见影”用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中的( )关系，把5×6＝2×15改写成比例，可以是( )个不同的比例。 【答案】 正比例 8 【思路引导】①两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。据此解答“立竿见影”的比例关系； ②比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。在5×6＝2×15中，可以把5和6看作比例的两个外项，把2和15看作比例的两个内项；或者把5和6看作比例的两个内项，把2和15看作比例的两个外项；据此写出符合要求的比例即可确定比例的个数。 【规范解答】在阳光下，同一时间、同一地点，物体的高度与影子的长度的比值固定，所以“立竿见影”是应用了比例知识当中的正比例关系； 5×6＝2×15可以改写成：2∶5＝6∶15，15∶5＝6∶2，2∶6＝5∶15，15∶6＝5∶2，5∶2＝15∶6，6∶2＝15∶5，5∶15＝2∶6，6∶15＝2∶5，共8个不同的比例。 成语“立竿见影”用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中的正比例关系，把5×6＝2×15改写成比例，可以是8个不同的比例。 5．（2025·江苏无锡·小升初模拟）甲、乙两地相距240千米，画在比例尺1∶3000000的地图上，应画( )厘米。一辆汽车从甲地开往乙地，1.2小时后距离乙地的图上距离是4.8厘米，这辆汽车每小时行( )千米。 【答案】 8 80 【思路引导】（1）比例尺是图上距离与实际距离的比。题目中的线段比例尺表示图上1厘米代表实际3000000厘米，先根据1千米＝1000米，1米＝100厘米，即1千米＝100000厘米，把240千米换算成240×100000＝24000000厘米；再根据图上距离＝实际距离×比例尺，求得图上应画几厘米。 （2）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出距离乙地的实际距离，再进行单位换算，然后计算已行驶路程，最后除以时间1.2小时得到速度。 【规范解答】（1）1千米＝1000米，1米＝100厘米，即1千米＝100000厘米。 240×100000＝24000000（厘米） 24000000×＝8（厘米） 因此，甲、乙两地相距240千米，画在比例尺1∶3000000的地图上，应画8厘米。 （2）4.8÷ ＝4.8×3000000 ＝14400000（厘米） 14400000÷100000＝144（千米） 240－144＝96（千米） 96÷1.2＝80（千米/时） 因此，一辆汽车从甲地开往乙地，1.2小时后距离乙地的图上距离是4.8厘米，这辆汽车每小时行80千米。 6．（2025·山东青岛·小升初真题）求未知数x。 （x＋0.7）×3＝24         【答案】x＝7.3； 【思路引导】（1）根据等式性质2，方程两边先同时除以3，再根据等式性质1，方程两边同时减0.7来解方程； （2）根据比例的基本性质将比例式转化成方程，再根据等式性质2，方程两边同时除以。其中比例的基本性质：内项积等于外项积。 【规范解答】（x＋0.7）×3＝24 解：（x＋0.7）×3÷3＝24÷3 x＋0.7＝8 x＋0.7－0.7＝8－0.7 x＝7.3 解： 7．（2025·湖南长沙·小升初真题）小红在假期看一本故事书，现在已经看了的和未看的页数之比是1∶5，如果小红再看20页，那么已经看了的和未看的页数之比是3∶5。这本故事书一共有多少页？ 【答案】96页 【思路引导】由题意得：原来已看的页数是总页数的，再看20页后，已看的页数是全书的，所以20页占总页数的（－），用除法即可求出总页数。 【规范解答】20÷（－） ＝20÷（） ＝20÷（） ＝20÷ ＝20× ＝96（页） 答：这本故事书一共有96页。 8．（2025·新疆克拉玛依·小升初真题）仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物重量比为，如果又运走64吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的。仓库原有货物多少吨？ 【答案】360吨 【思路引导】已知运走的货物与剩下的货物重量比为2∶7，把原有货物总量看作2＋7＝9份，把原有货物总量看作单位“1”，则剩下的货物占原有货物的；运走64吨后剩下的货物占原有货物的，则64吨对应的占比为（－）；最后根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”用64吨除以它对应的占比，即可求出仓库原有货物的总量。 【规范解答】64÷（－） ＝64÷（－） ＝64÷（－） ＝64÷ ＝64× ＝360（吨） 答：仓库原有货物360吨。 9．（2025·甘肃兰州·小升初真题）甲、乙两车分别从、两地同时出发，相向而行。甲车每小时行80千米，当两车在途中相遇时，甲、乙两车所行的路程比是。相遇后，甲车保持原来的速度继续向前行驶，1.5小时到达地。乙车的速度是多少千米/小时？、两地间的路程是多少千米？ 【答案】60千米/小时；280千米 【思路引导】甲车速度不变，将甲车速度看作单位“1”，相遇时甲、乙两车的路程比为4∶3，所以乙车速度是甲车速度的；相遇后甲车行驶的路程对应相遇前乙车行驶的路程，根据路程＝速度×时间的公式求出这段路程；再结合乙车速度，根据时间＝路程÷速度的公式求出相遇时间；最后用两车速度和乘相遇时间求出总路程。 【规范解答】乙车速度：80×＝60（千米/小时） 甲车后来行驶路程：80×1.5＝120（千米） 相遇时间：120÷60＝2（小时） 总路程：（80＋60）×2 ＝140×2 ＝280（千米） 答：乙车的速度是60千米/小时，、两地间的路程是280千米。 10．（2025·重庆江北·小升初真题）从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的总路程为20千米。某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返回A村又用了1小时45分。已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍。求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度。 【答案】12千米；8千米/时 【思路引导】某人从A村到B村，再返回A村，共用时间2＋＝（小时），去时的下坡路＋来时的下坡路＝全程，去时的上坡路＋来时的上坡路＝全程，即20千米。所以上坡和下坡各行了20千米，下坡时的速度是上坡时速度的2倍，根据按比分配，算出上坡时间为×＝（小时），根据路程÷时间＝速度，用为20除以算出上坡速度。再根据上、下坡速度的关系，求出下坡的速度。假设都是下坡的路程，那么从A村到B村的2小时应该行驶16乘2千米。与实际的20千米相减，算出相差的千米数。再除以相差的速度（16－8），求得从A到C所用时间。最后根据速度×时间＝路程，算出A、C之间的路程。 【规范解答】2＋＝（小时） × ＝× ＝（小时） 20÷＝8（千米/时） 8×2＝16（千米/时） 假设都是下坡的路程。 （16×2－20）÷（16－8） ＝（32－20）÷8 ＝12÷8 ＝（小时） 8×＝12（千米） 答：求A、C之间的路程是12千米。自行车上坡时的速度是8千米/时。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•全国通用 专题05 比和比例（必备知识&二轮复习+考点清单 全国通用） 【原卷版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01 比 知识点02 比例 知识点03 正比例和反比例 知识点04 比例尺 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点序列 考点名称 考点一 求比值 考点十 解比例 考点二 比的基本性质 考点十一 比例的应用 考点三 比的化简 考点十二 正比例的应用 考点四 比与分数、除法的关系 考点十三 反比例的应用 考点五 百分数、分数、小数和比的互化 考点十四 应用比例尺画图 考点六 按比分配问题 考点十五 图上距离与实际距离的换算 考点七 黄金比及应用 考点十六 图形的放大与缩小 考点八 比的应用 考点十七 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 考点九 比例的基本性质 考点十八 比例尺应用 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 比 知识必备 1.比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。 2.比的各部分名称及比的读法： 4 ： 5=4÷5=0.8 ↓ ↓ ↓ ↓ 前项 比号 后项 比值 3.比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变 4.求比值与化简比 （1）求比值：前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。 同类量的比，其比值没有单位名称; 不同类量的比，其比值有单位名称。例如: 100千米:5时=20千米/时 （2）化简比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比或比的化简。 5.比与分数、除法的关系 关系：比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线;比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相当于除号。 （1）比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示: 名称 比 分数 除法 联系 前项 分子 被除法 ：（比号） 一（分数线） ÷（除号） 后项 分母 除数 比值 分数值 商 区别 同类量的比表示两个数的倍比关系；不同类量的比表示一个新的量。 分数是一种数 除法是一种运算 （2）比的基本性质、分数的基本性质及商不变的规律之间的联系。由比与分数、除法各部分间的关系可知，比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同，其实质是一样的。 6.按比分配: （1）在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫作按比分配。 （2）按比分配应用题的特征：已知总数量和部分数量的比，求各部分数量。 （3）常用的解题方法有两种：一种是先求总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后求各部分数量；另一种是先求每份是多少，再求几份是多少。 知识点02 比例 知识必备 1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 2.比例的各部分名称：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 3.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 4.比和比例的区别 （1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。 （2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。 5.解比例: 解比例就是求比例中的未知项，也就是已知比例中的任意三项，就可以求出未知项。解比例的依据是比例的基本性质。 知识点03 正比例和反比例 知识必备 1.判断正比例和反比例的方法: （1）分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。 （2）分析两种相关联的量，看它们之间是比值一定还是积一定。 （3）如果是比值一定，就成正比例；如果是积一定，就成反比例；如果比值和积都不是一定的，就不成比例。 2.正比例图像:正比例图像是一条直线。 3.用比例的知识解决实际问题 （1）用比例知识解决的实际问题可分为正比例问题和反比例问题两类。 （2）应用比例知识解决实际问题的一般方法和步骤: ①判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例；②设未知量为x；③列出比例，解比例；④检验并作答。 知识点04 比例尺 知识必备 1.比例尺的意义 (1)图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即， (2) 2.比例尺的分类 (1)数值比例尺：1:200000或，比例尺一般写成前项是1或后项是1的形式 (2)线段比例尺：这种用线段表示的比例尺，叫作线段比例尺 3求图上距离或实际距离： 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 考●点●讲●练 考点一 求比值 母题精讲（2025·浙江杭州·小升初真题）化成最简整数比是( )；20公顷∶5平方千米 的比值是( )。 举一反三2025·浙江宁波·小升初真题）如图，用完全一样的长方形纸，沿着长或宽卷一卷、转一转（不考虑粘结处），这四个圆柱的体积存在一定的关系。（π取3） 圆柱①和②的体积比，圆柱③和④的体积比，它们的比值相等。 上面这句话是否正确？请你验证。 （1）用喜欢的方法列式算一算，写出验证的结论。 （2）这两个比与原来长方形纸的长和宽有什么关系？写一写你的发现。 考点二 比的基本性质 母题精讲（2025·山东菏泽·小升初真题）中国梦是国家、民族的梦。中国梦的具体内容是“国家富强，民族振兴，人民幸福”，这12个字中，总字数与左右结构的字数的最简整数比是( )。 举一反三（2025·浙江台州·小升初模拟）走同一段路，甲用了小时，乙用了小时，则甲、乙两人速度的最简整数比是( )，时间的最简整数比是( )。 考点三 比的化简 母题精讲（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，体积比是，那么这个圆柱和这个圆锥的高的比是（    ）。 A． B． C． D． 举一反三（2025·湖南长沙·小升初真题）将甲组人数的分给乙组，则乙组人数就比甲组剩下的人数多，原来甲、乙两组人数的比是（    ）。 A． B． C． D． 考点四 比与分数、除法的关系 母题精讲（2025·湖南永州·小升初真题）。 举一反三（2025·河南郑州·小升初真题）加工一批零件，甲、乙两人单独做所用的时间比是3∶5，现两人合作，完工时甲完成了这批零件的还多66个。这批零件共多少个？ 考点五 百分数、分数、小数和比的互化 母题精讲（2025·湖南永州·小升初模拟）5∶4＝( )÷12＝( )%＝10∶( )。 举一反三（2024·河北秦皇岛·小升初真题）3÷（    ）＝0.75＝（    ）÷20＝＝（    ）%＝（    ）折。 考点六 按比分配问题 母题精讲（2025·重庆九龙坡·小升初真题）乌龟和兔子进行1000米赛跑，兔子速度是乌龟速度的5倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它500米，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10米，求兔子睡觉期间，乌龟跑了___________米。 举一反三（2025·重庆渝北·小升初真题）2025年4月全球首个人形机器人半程马拉松赛在北京亦庄鸣枪开跑。此次比赛，采用“人机共跑”模式，比赛开始，运动爱好者们和机器人团队（机器人和技术人员）一起冲出起跑线。其中运动爱好者和机器人团队人数比例为190∶3，不一会，部分机器人因续航不足或零件磨损退出比赛，这样运动爱好者和机器人团队人数比例变为171∶2，接着部分运动爱好者也出现体力不支放弃比赛，此时运动爱好者和机器人团队人数比例变为81∶1，放弃的运动爱好者比退出的机器人团队人数多581人，参加这次半程马拉松的运动爱好者和机器人团队人员总数是多少人？ 考点七 比的应用 母题精讲（2025·甘肃兰州·小升初真题）汽车厂按1∶20的比生产汽车模型，一辆轿车模型长24.3厘米，轿车的实际长度是( )米。 举一反三（2025·湖南长沙·小升初真题）星期天早晨8：30，小萍骑电动车从家出发前往和谐广场。12分钟后，妈妈开车去追小萍，在距家6千米的地方追上了小萍。这时，妈妈收到一个电话，需要回家收个快递，于是立即掉头回家，拿到快递后没有停留（接快递时间忽略不计），立刻又回头去追小萍，妈妈再次追上小萍的时候，距家18千米，问：妈妈第二次追上小萍的时间是几时几分？ 考点八 黄金比及应用 母题精讲（2025·浙江宁波·小升初模拟）黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中也藏着黄金比。以肚脐为分割点，当上半身与下半身的比是5∶8时，身材显得最协调，达不到的话可以穿高跟鞋来弥补。妈妈的身高是163厘米，下半身长98厘米，妈妈穿的高跟鞋的最佳高度为多少厘米？ 举一反三（2025·河南郑州·小升初真题）把如图长方形变成一个宽和长的比为5∶8（接近黄金比0.618∶1）的新长方形。下面方法中（    ）正确。 （1）在它的右侧去掉一个长30厘米，宽2厘米的长方形 （2）在它的下面添一个长50厘米，宽5厘米的长方形 （3）在它的右侧添一个长30厘米，宽6厘米的长方形，再在上边添一个长56厘米，宽5厘米的长方形 A．只有（1）（2） B．只有（1）（3） C．只有（2）（3） D．（1）（2）（3） 考点九 比例的基本性质 母题精讲（2025·浙江杭州·小升初模拟）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是53，另一个内项是( )，这个比例可能是( )。 举一反三（2025·重庆渝北·小升初真题）“宫、商、角、徵、羽”是我国古代音乐的基本音阶，基本音阶“徵”的发音管长度比基本音阶“宫”的发音管长，且“徵”的发音管长度∶“宫”的发音管长度，那么_____。 考点十 解比例 母题精讲（2025·河南新乡·小升初真题）解方程或解比例。      举一反三（2025·广东广州·小升初模拟）甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工100个，丙∶乙＝3∶4，甲∶（乙＋丙）＝2∶3，甲、乙、丙一共加工了（    ）个零件。 A．1750 B．1800 C．1850 D．1900 考点十一 比例的应用 母题精讲（2025·浙江杭州·小升初真题）2025年4月24日，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭发射取得圆满成功。长征二号F遥二十运载火箭的总长约58.3米，乐乐收藏了这一型号的火箭模型，模型的高度与实际高度的比是1∶100，这一模型的高度是多少厘米？ 举一反三（2025·浙江宁波·小升初真题）西大河公园是镇海新增的高颜值公园。点A是公园其中一个入口，点B是智能骑车点，点C是体能检测站。从点A观察，它的北偏西30°是点C，而从点B观察，它的正北方向就是点C。 （1）请在图中确定点C的位置。【保留作图痕迹】 （2）如果AB的距离是320米，那么AC的距离是多少米？【提示：测量结果保留整厘米数】（用比例解答） （3）小镇和小海分别从点B和点C处出发，朝点A处匀速行走。4分钟后，小镇到达点A处，小海刚好走了AC的。两人的步行速度相差多少？ 考点十二 正比例的应用 母题精讲（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 举一反三（2025·山东·小升初模拟）春秋战国时期，我国有一位发明家叫鲁班，手艺巧夺天工，传说他用木头组成飞鸟，惟妙惟肖，十分逼真。鲁班3天能做15个飞鸟，如果要做80个飞鸟，需要几天？（用比例解答） 考点十三 反比例的应用 母题精讲（2025·广东揭阳·小升初模拟）如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。 (1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是( )关系。 (2)大齿轮有60个齿，小齿轮有15个齿。如果大齿轮每分钟转80圈，小齿轮每分钟转多少圈？ 举一反三（2025·甘肃兰州·小升初真题）中国结的发展可追溯到旧石器时代的缝衣打结，后面逐渐演变到了今天的装饰手艺。某厂家要制作一批中国结，原计划每天制作600个，但实际每天少制作了20%，原计划20天可以完成任务，实际用了多少天？（用比例解） 考点十四 应用比例尺画图 母题精讲（2025·四川内江·小升初真题）钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是我国领土。钓鱼岛位于中国东海，距我县直线距离约2000千米。 （1）如果按照1∶10000000的比例尺在纸上画出钓鱼岛到我县的直线距离，在纸上应画（    ）厘米。 （2）我国已经对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监测。一日，一艘海监执法船从A点出发，向正东方向航行200千米到达B点，在B点测得钓鱼岛在B点的东偏北30°方向上，距离B点约300千米。请你在图中用“”标出钓鱼岛的位置。 （3）海监执法船抵达钓鱼岛后，按原路返回A点，请用文字描述海监执法船的返回路线。 举一反三（2024·河北衡水·小升初真题）有三艘轮船在海面上航行（如图）。 （1）船B在船A的 偏 　 °方向 千米处。 （2）船C离船A的距离4千米，它可能在什么位置？请在图中将所有可能的位置都标注出来。 考点十五 图上距离与实际距离的换算 母题精讲（2025·湖南邵阳·小升初模拟）如下图是小华乘坐出租车去图书馆的路线图。已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价8元计算；超出3千米部分按每千米2.4元计算。请你根据相关信息计算。 (1)小华家到图书馆的距离是多少千米？ (2)小华从家乘出租车到图书馆要花多少元？ 举一反三（2025·湖北武汉·小升初真题）如图是小刚从家出发乘坐出租车去展览馆的路线图（途经文化馆）。出租车在3千米以内（含3千米）的起步价是8元，以后路程每增加1千米车费就增加1.4元。请你算一算，小刚去展览馆一共需要多少元出租车费？ 考点十六 图形的放大与缩小 母题精讲（2025·山东青岛·小升初真题） （1）在图上描出下列点：A（4，4），B（5，8），C（6，6）。 （2）依次连接ABC三点，并将所得的图形绕A点按顺时针旋转90°。 （3）将旋转后的图形向右平移5格。 （4）在网格里将平移后的图形按2∶1放大，画出放大后的图形。 （5）求放大后的三角形的面积。（每格表示1厘米） 举一反三（2022·江西景德镇·小升初真题）下面每个小正方形的边长表示1厘米，请按要求完成下列各题。 （1）三角形顶点A用数对表示是（  ，  ），顶点B用数对表示是（  ，  ）。 （2）把三角形ABC向下平移5格，再向左平移4格，画出平移后的图形。 （3）把三角形ABC按2∶1放大，画出放大后的图形。 （4）画出三角形ABC绕C点顺时针旋转90°的图形。 （5）把三角形ABC绕AC轴旋转一周形成的物体是（      ），体积是（    ）立方厘米。 考点十七 运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 母题精讲（2024·河北承德·小升初真题）一个正方形按3∶1放大后，面积扩大到原来的12倍。( )（判断对错） 举一反三（2024·广东湛江·小升初真题）下列说法不正确的是（    ）。 A．小刚说：“我表弟是2020年2月29日出生的”。 B．三角形三个角度数比是2∶4∶3，最大的角是80°。 C．在50克水里加入5克盐，该盐水的含盐率是10%。 D．把一个平面图形按3∶1的比放大，放大后与放大前图形的面积之比是9∶1。 考点十八 比例尺应用 母题精讲（2025·湖南永州·小升初模拟）在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地的图上距离是4.5厘米。两辆汽车分别从甲乙两地同时相向而行，甲车平均每小时行55.5千米，乙车平均每小时行44.5千米。两车行驶多少小时后途中相遇？ 举一反三在比例尺是1∶2000000的地图上，量得两个城市之间的铁路长45厘米。甲乙两列火车同时从两个城市出发相对而行，4小时相遇。已知甲乙两车的速度比是3∶2，甲车每小时行多少千米？ 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．（2024·北京海淀·小升初真题）下图是六（1）班的教室平面图，亮亮在平面图上量得教室的长为5cm，这间教室的实际长是10m，这幅平面图的比例尺是（    ）。 A．1∶2 B．2∶1 C．1∶200 D．200∶1 2．（2025·山东·小升初模拟）在一个比例中，已知两个内项互为倒数，其中一个外项是最小的质数，另一个外项是（    ）。 A． B．1 C．2 D．不能确定 3．（2025·湖南长沙·小升初真题）A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病请假了，结果A做了6天，B做了5天，C做了4天，作为休息的代价，D拿出60元给A、B、C三人作为报酬，若按天数计算劳务费，则这60元中A分（    ）元。 A．20 B．30 C．40 D．50 4．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）如图，E点和F点分别是长方形ABCD的两条对边的中点，G点是AB边上一点，那么空白部分与阴影部分面积的最简整数比是______。 5．（2025·湖北黄石·小升初真题）学校操场是一个长方形，画在比例尺是1∶2000的平面图上，长是3厘米，宽是2厘米，学校操场实际面积是( )平方米。 6．既可以看作是一个分数，也可以看作是一个比。( )（判断对错） 7．（2025·湖北黄石·小升初真题）解方程或比例。        25%x－9%x＝48          8．（2025·湖北黄石·小升初真题）王军将山里的水果通过直播的形式进行销售。原来销售量是2000kg，现在销售量增加了540%。销售的桔子、苹果和柿子的重量比是1∶4∶5，现在的销售量中苹果有多少千克？ 9．（2025·甘肃兰州·小升初真题）多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… (1)如果继续摆下去，7个凳子的总高度是( )厘米。 (2)凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 10．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们的工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是甲、乙两人合做6天完成了工程的，因甲中途有事，由乙、丙合作2天，完成了余下工程的，之后三人合做5天完成了这项工程。如果按完成工作量的多少来付酬，每人应得多少元？ 【思维拓展拔尖】 1．（2025·湖南长沙·小升初真题）如果，那么x与y成（    ）。 A．反比例 B．正比例 C．没有关系 D．无法确定 2．（2025·河北保定·小升初模拟）在一个比中，比的前项缩小为原来的，比的后项扩大到原来的10倍，所得的新比值是原来比值的（    ）。 A．100倍 B．10倍 C． D． 3．（2025·甘肃兰州·小升初真题）聪聪的妈妈做摊饼时发现，面、水的质量比是时，摊饼的口感最好。聪聪也想做这样的摊饼，她不能按下面第（    ）种方法确定面和水的用量。 A．每1kg面需要800g水。 B．用同样大的碗盛面、水，盛满面、盛满水的碗数比是5∶4。 C．保证面的质量是水的质量的1.25倍。 D．无论面、水的质量是多少，面一定要比水多200g。 4．（2025·山东菏泽·小升初真题）成语“立竿见影”用数学的眼光来看，是应用了比例知识当中的( )关系，把5×6＝2×15改写成比例，可以是( )个不同的比例。 5．（2025·江苏无锡·小升初模拟）甲、乙两地相距240千米，画在比例尺1∶3000000的地图上，应画( )厘米。一辆汽车从甲地开往乙地，1.2小时后距离乙地的图上距离是4.8厘米，这辆汽车每小时行( )千米。 6．（2025·山东青岛·小升初真题）求未知数x。 （x＋0.7）×3＝24         7．（2025·湖南长沙·小升初真题）小红在假期看一本故事书，现在已经看了的和未看的页数之比是1∶5，如果小红再看20页，那么已经看了的和未看的页数之比是3∶5。这本故事书一共有多少页？ 8．（2025·新疆克拉玛依·小升初真题）仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物重量比为，如果又运走64吨，那么剩下的货物只有仓库原有货物的。仓库原有货物多少吨？ 9．（2025·甘肃兰州·小升初真题）甲、乙两车分别从、两地同时出发，相向而行。甲车每小时行80千米，当两车在途中相遇时，甲、乙两车所行的路程比是。相遇后，甲车保持原来的速度继续向前行驶，1.5小时到达地。乙车的速度是多少千米/小时？、两地间的路程是多少千米？ 10．（2025·重庆江北·小升初真题）从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的总路程为20千米。某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返回A村又用了1小时45分。已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍。求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $