专题09 立体图形的认识与测量（思维导图+必备知识&考点清单+分层训练）全国通用-2026年小升初数学二轮复习真题培优讲练

该小学数学讲义聚焦立体图形的认识与测量专题，涵盖圆柱圆锥测量、排水法求体积等核心知识点，通过导图指引构建思维框架，知识清单梳理考点考向，考点讲练分析重点难点，分层训练夯实基础与拓展思维，帮助学生系统掌握表面积体积计算及应用方法。 亮点在于真题母题与变式训练结合，如用排水法测量不规则物体体积培养几何直观，观察物体通过三视图训练发展空间观念，分层设计基础与拔尖练习，助力学生突破组合体、等积变形等难点，为教师提供精准教学方向，提升复习效率与学生知识掌握度。

2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•全国通用 专题09 立体图形的认识与测量 （必备知识&二轮复习+考点清单 全国通用） 【解析版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01：圆柱与圆锥的测量 知识点02：用排水法计算不规则物体的体积 知识点03：立体图形的表面积和体积计算常用公式： 知识点04：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点序列 考点名称 考点一 观察物体 考点十二 圆柱的容积 考点二 立体图形的认识 考点十三 圆柱与圆锥体积的关系 考点三 长方体的表面积计算与应用 考点十四 圆锥的体积（容积） 考点四 正方体的表面积计算与应用 考点十五 组合体的表面积（长方体、正方体） 考点五 长方体的体积的计算与应用 考点十六 组合体的表面积（圆柱) 考点六 正方体的体积的计算与应用 考点十七 组合体的体积（长方体、正方体） 考点七 长方体、正方体的容积 考点十八 组合体的体积（圆柱、圆锥） 考点八 表面涂色的正方体 考点十九 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 考点九 圆柱的侧面积的计算与应用 考点二十 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 考点十 圆柱的表面积的计算与应用 考点二十一 体积的等积变形（长方体、正方体） 考点十一 圆柱的体积的计算与应用 考点二十二 体积的等积变形（圆柱、圆锥) 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 圆柱与圆锥的测量 知识必备 圆柱的侧面积、表面积 (1)圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示为:S侧=πdh(或2πrh)　 (2)圆柱的表面积=底面积×2+侧面积　,用字母表示为:S= 2πr2+2πrh　　 2.圆柱的体积=底面积×高,用字母表示为:V=πr2h 。  3.圆锥的体积=×底面积×高,用字母表示为:V=　πr2h　 知识点02 用排水法计算不规则物体的体积 知识必备 1.体积小的物体可以直接放入有水的长方体或圆柱等规则的容器里,观察水面所处的刻度的变化　体积差　就是物体的体积。  2.体积大的物体,可以放入装满水的长方体或圆柱等规则的容器里,排出水的　体积　就是物体的体积。 知识点03 立体图形的表面积和体积计算常用公式 知识必备 立体图形 表面积 体积 长方体 S=2 ：长 b:宽 h：高 S：表面积 正方体 S= ：棱长 S：表面积 圆柱 圆锥 注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 知识点04 解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 知识必备 （1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点. （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点 （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积. （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变. （3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。 考●点●讲●练 考点一 观察物体 母题精讲（2025·浙江台州·小升初模拟）一个用若干块小立方体搭成的图形，从正面和上面看都是，这个图形至少有（    ）块小立方体搭成的。 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【思路引导】 这个立方体图形，从正面看是，说明从正面看是由4个小正方体组成的，分两层，下层3个，上层1个居中。从上面看也是，由4个正方体组成，分两层，下层3个，这3个就是从正面看到的这4个小正方体中的3个，上层1个，说明在这4个小正方体的后面最少还有1个小正方体，据此解答。 【规范解答】 如图所示：这个立体图形至少有5个小立方体搭成。 故答案为：C 举一反三（2025·上海闵行·小升初真题）学校的科创教室，像一座未来科技的魔法学院，有机器人、3D打印机、编程电脑和各种实验器材。在这里，你可以动手搭建、编程、实验，把天马行空的想象变成触手可及的现实。小丁丁就用3D打印了一堆正方体积木块叠放在一起，每个正方体积木的棱长都是2厘米，如果从三个不同方位看到的图形形状如下。 (1)这一堆正方体积木共有( )个，表面积是( )平方厘米； (2)小丁丁准备制作收纳盒来装这些积木，下图是一种带有正方形的长方体收纳盒展开图，小丁丁在制作时发现存在多余的面，你觉得多余的面是( )面（填字母）。如果图中长方形A的长是14厘米，宽是7厘米，那么修正后制作的这个收纳盒最多可以装正方体积木( )个（盖严盖子）。 【答案】(1) 6 88 (2) B 63 【思路引导】（1）根据从上面看到的图形可知，这个几何体第一层有4个小正方体；从前面和左面看，这个几何体有2层，上层有2个小正方体，一共有4＋2个小正方体组成。 表面积为上下两部分计算，下面一共有14个正方形面露在外面，上层有8个正方形面积露在外面，一共有14＋8＝22（个）小正方形面；根据正方形面积＝边长×边长，求出一个小正方形面积，进而求出几何体的表面积。 （2）根据长方体特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同，据此找出多余的面；根据图可知，长方体的宽和高相等；用长方体的长、宽、高分别除以正方体的边长， 求出长、宽、高各能放几个正方体，再把它们相乘，即可解答。 【规范解答】（1）4＋2＝6（个） 14＋8＝22（个） （2×2）×22 ＝4×22 ＝88（平方厘米） 这一堆正方体积木共有6个，表面积是88平方厘米。 （2）根据长方体特征可知，B面多余。 14÷2＝7（个） 7÷2＝3（个）……1（厘米） 7÷2＝3（个）……1（厘米） 7×3×3 ＝21×3 ＝63（个） 小丁丁准备制作收纳盒来装这些积木，下图是一种带有正方形的长方体收纳盒展开图，小丁丁在制作时发现存在多余的面，你觉得多余的面是B面。如果图中长方形A的长是14厘米，宽是7厘米，那么修正后制作的这个收纳盒最多可以装正方体积木63个。 考点二 立体图形的认识 母题精讲（2025·甘肃庆阳·小升初真题）小辰用相同的小正方体搭一个立体图形，从上面看是，从左面看是，搭成这样的立体图形最多要用（    ）个小正方体。 A．6 B．8 C．9 【答案】C 【思路引导】要确定最多用多少个小正方体，需结合图片从上面看的形状（底层布局）和从左面看的形状（层数限制）分析。从上面看的形状显示，底层有 5 个小正方体。从左面看的形状显示，立体图形最多有 2 层；再确定总数量。 【规范解答】1．先看从上面看的图形，确定底层有 5 个小正方体（布局：第1列2个，第2、3、4列各1个）。 2．再看从左面看的图形，知道立体图形可以有2层。 3．要最多，就在底层的第二行每个小正方体的上方都放1个（符合左面视图的层数要求），上层可以放 4 个。 4．总数：5＋4＝9个。 故答案为：C。 【考点剖析】解题关键： 抓“底层布局”：“从上面看”直接决定底层的数量和排列，是解题的基础。 抓“层数限制”：“左面/正面”视图决定了每一列（或每一行）的最大层数，是确定上层数量的核心限制。 举一反三（2024·河南郑州·小升初真题）休息时，淘淘和弟弟玩积木，从如图的5组积木中选取3组，排成如图的正方体，正确的是（    ）。 ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】B 【思路引导】利用正方体的特征以及空间想象能力，通过观察每组积木的形状和数量，判断哪三组积木能够拼成3×3×3的大正方体，依次分析每个选项，看其包含的三组积木能否组合成一个完整的正方体。 【规范解答】拼成的大正方体所需积木的数量：3×3×3＝27（个） A．①②③拼在一起积木的数量：9＋7＋12＝28（个） 28＞27，无论怎样摆放，都无法拼成大正方体； B．①③④拼在一起积木的数量：9＋12＋6＝27（个） 27＝27，通过合理摆放，发现刚好能够拼成大正方体； C．②③④拼在一起积木的数量：7＋12＋6＝25（个） 25＜27，无论怎样摆放，都无法拼成大正方体； D．③④⑤拼在一起积木的数量：12＋6＋8＝26（个） 26＜27，无论怎样摆放，都无法拼成大正方体。 故答案为：B 考点三 长方体的表面积计算与应用 母题精讲（2025·福建宁德·小升初真题）母亲节，李兵送给妈妈一个水杯（如下图，底面直径60毫米，高210毫米）。 (1)李兵要用一个长方体的盒子包装它，这个盒子的表面积至少多少平方厘米？ (2)妈妈一天饮水量不少于1500毫升。喝这样的3杯，能达到要求吗？请说明理由。（杯壁的厚度忽略不计，π取3） 【答案】(1)576平方厘米 (2)能达到（理由见详解） 【思路引导】（1）要用一个长方体的盒子包装它，盒子的长至少是60毫米，宽至少是60毫米，高至少是210毫米。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可求出这个盒子的表面积，注意单位名数的换算。 （2）因为水杯是圆柱形，根据题意可知，圆柱形水杯的底面直径是60毫米，高是210毫米；根据圆柱的容积＝底面积×高，代入数据，求出这个水杯的容积，再乘3，求出3杯水的容积，再和1500毫升比较，即可解答，注意单位名数的换算。 【规范解答】（1）（1）60毫米＝6厘米；210毫米＝21厘米 （6×6＋6×21＋6×21）×2 ＝（36＋126＋126）×2 ＝（162＋126）×2 ＝288×2 ＝576（平方厘米） 答：这个盒子的表面积至少576平方厘米。 （2）60毫米＝6厘米；210毫米＝21厘米。 3×（6÷2）2×21×3 ＝3×32×21×3 ＝3×9×21×3 ＝27×21×3 ＝567×3 ＝1701（立方厘米） 1701立方厘米＝1701毫升 1701毫升＞1500毫升，喝这样的3杯，能达到要求。 答：喝这样的3杯，能达到要求。 举一反三（2025·四川绵阳·小升初真题）粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 【答案】10260元 【思路引导】先根据1米＝10分米＝100厘米将长宽高统一成米为单位，教室是一个长方体，只粉刷四周和顶棚，粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，然后减门窗和黑板的面积可算出一间教室需要粉刷多少平方米，再乘5可算出5间一共多少平方米，再乘1.2可算出需要多少千克涂料，最后乘15可算出需要多少钱。 【规范解答】60分米＝6米，350厘米＝3.5米 （8×6＋8×3.5×2＋6×3.5×2）－32 ＝（48＋56＋42）－32 ＝（104＋42）－32 ＝146－32 ＝114（平方米） 114×5×1.2×15 ＝570×1.2×15 ＝684×15 ＝10260（元） 答：粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要10260元。 考点四 正方体的表面积计算与应用 母题精讲（2024·安徽亳州·小升初真题）下面是一个正方体的展开图，与“自”字相对的是________字，如果折成的正方体棱长4厘米，这个正方体的表面积是________平方厘米，体积是________立方厘米。 【答案】 功 96 64 【思路引导】观察正方体展开图可知，中间4个面是正方体的侧面，上面“自”和下面“功”分别是上底面和下底面，所以与“自”字相对的是“功”字；已知正方体棱长4厘米，根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”可计算出正方体的表面积；根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”可计算出正方体的体积。 【规范解答】图形是一个正方体的展开图，与“自”字相对的是“功”字。 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 所以这个正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米。 举一反三（2025·河南郑州·小升初真题）如下图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具，它的表面积是( )平方厘米。 【答案】120 【思路引导】正方体的表面积＝6×边长×边长，代入计算出正方体原表面积，因为前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，相当于每个小正方体的地方都增加了4个面，每个面的面积＝边长×边长。 【规范解答】正方体的表面积： 6×4×4 ＝24×4 ＝96（平方厘米） 6个小正方体增加的面积： 6×4×1×1 ＝24×1×1 ＝24×1 ＝24（平方厘米） 96＋24＝120（平方厘米） 所以它的表面积是120平方厘米。 【考点剖析】本题考查了正方体的表面积，点睛之处在于，在挖掉一个小正方体后，需要弄清楚与之前对比表面积是增加了还是减少了，因为挖进去后的正方体有5个面，所以实际上对比之前增加了4个面，所以表面积会等于原表面积加上6个正方体增加的面，也就是24个小正方形。 考点五 长方体的体积的计算与应用 母题精讲（2025·广东佛山·小升初模拟）在一个底面半径为10厘米的圆柱形玻璃容器中，水深8厘米，要在容器中放入长和宽都是8厘米，高16厘米的一块铁块。（水没有溢出） (1)如果把铁块横放入水中，水面上升多少厘米？（得数保留整数。） (2)如果把铁块竖放入水中水面上升多少厘米？（得数保留整数。） 【答案】(1)3厘米 (2)2厘米 【思路引导】（1）铁块横放在水中时，整个铁块浸没在水中，因此水面上升的高度就等于铁块的体积除以容器内部的底面积。 （2）铁块竖放在水中时，铁块未浸没，且放入铁块前后水的体积不变，用水的体积除以容器的底面积与竖放的铁块底面积的差，即可求出此时水面的高度，再减去原来的水面高度即可求出水面上升的高度。 计算时最后得数采用“四舍五入法”保留整数。 【规范解答】（1）8×8×16÷（3.14×102） ＝8×8×16÷（3.14×100） ＝64×16÷314 ＝1024÷314 ≈3（厘米） 答：水面上升3厘米。 （2）3.14×102×8÷（3.14×102－8×8）－8 ＝3.14×100×8÷（3.14×100－64）－8 ＝314×8÷（314－64）－8 ＝2512÷250－8 ＝10.048－8 ＝2.048 ≈2（厘米） 答：水面上升2厘米。 举一反三（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 【答案】（1）A；B （2）烧杯底面积是20平方厘米；注满水槽所用的时间是180秒 【思路引导】（1）观察图②，注水初期仅向烧杯注水，当烧杯刚好注满时，后续注水开始使水槽水面上升，此转折点为点A，故点A表示烧杯中刚好注满水。 当水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时，后续注水的“有效底面积”变为水槽底面积（因烧杯已被水覆盖），水面上升速度改变，此转折点为点B，故点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图2知，当注水18秒时，烧杯刚好注满，此时烧杯容积等于注水体积，根据容积＝底面积×高，注水体积＝注水速度×时间（匀速注水情况），得到S＝18v；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），即100＝90V，因为90V=5×18V则有100＝5S，两边同时约掉，即可求出烧杯底面积S。 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5，当注水速度一定时，此时体积比等于时间比，把烧杯的体积看成1份，水槽一半的体积就是5份，用水槽的底面积乘此时的高度10厘米，再除以5就可以得到烧杯的体积，即：100×10÷5＝200（立方厘米），再根据注水速度＝注水体积÷时间，得到注水速度，即200÷18＝（立方厘米/秒）；再用水槽的总体积除以注水速度，得到注满水槽所用时间，即100×20÷＝180（秒）。 【规范解答】（1）根据分析，可知： 图②中，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图②知，当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），于是S＝18V，100＝90V， 因为90V=5×18V，则有100＝5S， 所以S＝100÷5＝20（平方厘米） 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5， 烧杯的体积：100×10÷5＝200（立方厘米） 注水速度：200÷18＝（立方厘米/秒） 注满水槽所用时间： 100×20÷ ＝2000÷ ＝2000× ＝180（秒） 答：烧杯的底面积为20平方厘米，注满水槽所用的时间为180秒。 【考点剖析】本题核心是利用恒定流量下“体积与时间成正比”的关系，结合图像转折点的实际意义（注满烧杯、水面平齐），通过建立方程求解未知量。关键在于理解不同注水阶段的“有效底面积”变化，从而关联体积、时间和底面积的关系。 考点六 正方体的体积的计算与应用 母题精讲（2025·云南昭通·小升初模拟）在一个棱长4分米的正方体水箱中盛满水，并全部倒入一个空的圆锥形容器里，刚好倒满且没有溢出，圆锥的高是8分米，这个圆锥形容器的底面积是（    ）。（容器厚度忽略不计） A．8平方分米 B．32平方分米 C．24平方分米 D．16平方分米 【答案】C 【思路引导】先根据“”求出正方体水箱中水的体积，圆锥形容器里水的体积等于正方体水箱中水的体积，再根据“”求出这个圆锥形容器的底面积，据此解答。 【规范解答】4×4×4＝64（立方分米） 64×3÷8 ＝192÷8 ＝24（平方分米） 所以，这个圆锥形容器的底面积是24平方分米。 故答案为：C 举一反三将棱长是1.6分米的一个正方体石块浸没到一个长方体水槽中，水面上升了0.8分米，然后放入一个铁块并浸没，水面又上升了2.5分米（水没有溢出），铁块的体积是( )立方分米。 【答案】12.8 【思路引导】根据题意，把一个正方体石块浸没到长方体水槽中，水面上升了0.8分米，那么水面上升部分的体积等于这个正方体石块的体积； 根据正方体的体积公式V＝a3，求出这个石块的体积，也是水面上升部分的体积；再根据长方体的底面积S＝V÷h，求出长方体水槽的底面积； 又已知放入一个铁块，水面又上升了2.5分米，水面上升部分的体积等于铁块的体积，根据长方体的体积公式V＝Sh，求出这个铁块的体积。 【规范解答】正方体的体积： 1.6×1.6×1.6 ＝2.56×1.6 ＝4.096（立方分米） 长方体水槽的底面积： 4.096÷0.8＝5.12（平方分米） 铁块的体积： 5.12×2.5＝12.8（立方分米） 【考点剖析】本题考查不规则物体的体积求法，明确将物体放入或取出水中，水面上升或下降部分的体积等于这个物体的体积，灵活运用正方体、长方体的体积公式求解。 考点七 长方体、正方体的容积 母题精讲（2025·北京丰台·小升初真题）“度量衡”是我国古代计量长度、容积、重量的标准或器具的统称，“度”用以计量长短；“量”用以测量容积大小；“衡”用以测量物体轻重。“商鞅方升”的重要物证——商鞅方升（如图），就是“度量衡”中的“量”，用来测量容积大小。它全长18.7厘米，内口长约12.5厘米，宽约7厘米，深约2.3厘米，容积便是商鞅规定的“一升”。算一算，商鞅规定的“一升”大约相当于现在的（    ）升。 A．0.2 B．1.5 C．0.6 D．2.3 【答案】A 【思路引导】本题求商鞅规定的“一升”相当于现在的多少升，关键是先算其容积再换算单位。已知内口长约12.5厘米、宽约7厘米、深约2.3厘米，根据“长方体的体积（容积）＝长×宽×高”计算出长方体容积；然后将立方厘米换算为立方分米，再换算为升；最后根据题目要求按“四舍五入”法保留一位小数。 【规范解答】12.5×7×2.3 ＝87.5×2.3 ＝201.25（立方厘米） 201.25立方厘米＝（201.25÷1000）立方分米＝0.20125立方分米 0.20125立方分米＝0.20125升 0.20125升≈0.2升 因此商鞅规定的“一升”大约相当于现在的0.2升。 故答案为：A 【考点剖析】本题考查长方体容积公式的应用，熟练掌握长方形的容积公式以及容积单位、体积单位之间的换算是解题的关键。 举一反三（2024·河南郑州·小升初真题）在去伏羲山的路上，他们看到了一块平行四边形的玫瑰花田。 （1）观察如图，请你简要写出平行四边形面积计算公式产生的过程。 在数学学习中，经常运用“转化”思想变未知为已知。请你应用转化的思想解决下列问题。 （2）在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个（    ）角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是（        ），面积是（        ），这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是12平方厘米，则原来三角形的面积是（      ）。 （3）伏羲山悬崖酒店准备新建一个游泳池，泳池长25米，宽11米，由分道线分成5个泳道（如图a）。游泳池底部有一定的倾斜度，使游泳池由1.2米深的浅水区自然过渡到1.6米深的深水区（如图b）。 淘淘根据平行四边形、三角形、梯形、圆形的面积计算公式及圆柱、圆锥的体积计算公式推导方法，设计了一个计算游泳池容积的研究模型，（如图c示意图）。 ①说一说他是怎么研究的？ ②根据这个研究模型，试着算一算这个游泳池的容积是多少？ ③至少要购进多少米的分道线，才能保证5个泳道的分道？（只列式，不计算） 【答案】（1）见详解 （2）平；高的一半；三角形面积的一半；24平方厘米 （3）①见详解 ②385立方米 ③25×（5－1） 【思路引导】（1）如图，把平行四边形沿高剪下一个小直角三角形，然后平移到右边，把平行四边形转化成长方形。这两个图形的面积相等，找出平行四边形的底、高与长方形的长、宽的关系，根据长方形的面积公式推导出平行四边形的面积。 （2）如图，把三角形折成长方形，三个内角拼成了一个平角，将折成的长方形与原来的三角形比较，找出长方形的长、宽与三角形的底、高的关系，进而得出长方形的面积与三角形面积的关系，求出原来三角形的面积。 （3）①从图c可以看出，淘淘把两个完全一样的游泳池模型叠放一起，让两个斜面重合，拼成一个长25米，宽11米，高（1.2＋1.6）米的长方体模型，那么游泳池的容积等于这个长方体模型容积的一半。 ②根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出长方体模型的容积，再除以2，即是这个游泳池的容积。 ③因为有5个泳道，所以需要（5－1）条分道线，每条分道线的长度与游泳池的长相等，据此列式。 【规范解答】（1）把平行四边形转化成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，利用长方形的面积＝长×宽可知，平行四边形的面积＝底×高。 （2）12×2＝24（平方厘米） 在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个（平）角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是（高的一半），面积是（三角形面积的一半），这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是12平方厘米，则原来三角形的面积是（24平方厘米）。 （3）①把两个完全一样的游泳池模型拼成一个长是25米，宽是11米，高是（1.2＋1.6）米的长方体模型，那么游泳池的容积等于这个长方体模型容积的一半。 ②25×11×（1.2＋1.6）÷2 ＝25×11×2.8÷2 ＝385（立方米） 答：这个游泳池的容积385立方米。 ③25×（5－1） ＝25×4 ＝100（米） 答：至少要购进25×（5－1）米的分道线，才能保证5个泳道的分道。 【考点剖析】本题考查转化思想在数学中的应用，明白转化过程中，转化后的平面图形面积与原平面图形面积相等，进而推导出原平面图形的面积公式。利用转化思想把不规则的立体图形转化成规则立体图形，通过学过的立体图形的体积公式求出不规则立体图形的体积。 考点八 表面涂色的正方体 母题精讲（2025·江苏苏州·小升初真题）一个表面涂色的大正方体，用激光把它切割成若干个体积是1立方厘米的小正方体。已知一面涂色的小正方体24个，未涂色的小正方体有( )个，这个大正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】 8 64 【思路引导】根据正方体涂色问题的规律，一面涂色的小正方体位于大正方体的面上。其数量公式为6×（n－2）2，其中n为大正方体的棱长小正方体个数。因此可以推断出n＝4，根据未涂色的小正方体的个数＝（n－2）³，代入计算即可。大正方体的每条棱上有4个小正方体，说明正方体的棱长是4厘米，再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，计算出结果。 【规范解答】24÷6＝4（个） （4－2）×（4－2） ＝2×2 ＝4（个） （4－2）³ ＝2³ ＝8（个） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 所以，未涂色的小正方体有8个，这个大正方体的体积是64立方厘米。 举一反三（24-25五年级上·山东东营·期末）一个6个面都涂着红色的正方体木块，棱长为3分米。如果把它切成棱长1分米的正方体小木块，3个面涂着红色的正方体小木块有（    ）个。 A．1 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【思路引导】正方体切成小正方体后面上涂色的规律：三面有红色的正方体都在顶点处，根据正方体的特征，有8个顶点，据此解答。 【规范解答】一个6个面都涂着红色的正方体木块，棱长为3分米。如果把它切成棱长1分米的正方体小木块，3个面涂着红色的正方体小木块有8个。 故答案为：D 考点九 圆柱的侧面积的计算与应用 母题精讲（2025·山东菏泽·小升初真题）刘小薇在研究圆柱的体积时，将圆柱体模型切拼成一个近似的长方体，她发现如果将这个长方体“躺倒”放（如下图），底面就是圆柱侧面的一半，高就是圆柱的半径，因此她得出一个结论： 圆柱的体积＝侧面积的一半×半径 现有一个圆柱，侧面积是37.68平方厘米，体积是37.68立方厘米，这个圆柱的高是多少厘米？（π取3.14） 【答案】3厘米 【思路引导】根据题意，先用侧面积除以2计算出侧面积的一半；再根据“圆柱的体积＝侧面积的一半×半径”可知“半径＝圆柱的体积÷侧面积的一半”，代入数值计算出圆柱的半径；最后根据“圆柱的体积＝πr2h”可知“h＝圆柱的体积÷π÷r2”，代入数值计算即可。 【规范解答】37.68÷（37.68÷2） ＝37.68÷18.84 ＝2（厘米） 37.68÷3.14÷22 ＝37.68÷3.14÷4 ＝12÷4 ＝3（厘米） 答：这个圆柱的高是3厘米。 举一反三（2024·山东德州·小升初真题）如图1，一种卷纸中间硬纸轴的直径是4厘米，卷纸环的厚度是4厘米，高度是10厘米。 （1）制作中间的硬纸轴需要多少平方厘米的硬纸板？ （2）如图2，纸箱正好可放入24个卷纸，这个纸箱的容积至少是多少立方厘米？ （3）此品牌卷纸有两种包装，规格及价格如图3所示，如果它们的纸质相同，你觉得买哪一种更划算？请通过计算说明。 【答案】（1）125.6平方厘米 （2）34560立方厘米 （3）规格②；计算说明见详解 【思路引导】（1）求制作中间的硬纸轴需要硬纸板的面积，就是求底面直径4厘米、高10厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh即可求解。 （2）每卷纸的底面外圆直径是4＋4＋4＝12厘米；纸箱正好可放入24个卷纸，从图中可知，一层放了12个卷纸，所以放了2层；纸箱的长放了4个卷纸，宽放了3个卷纸，高放了2个卷纸，由此可知这个纸箱的长是（12×4）厘米、宽是（12×3）厘米、高是（10×2）厘米；根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，求出这个纸箱的容积。 （3）比较哪种纸更划算，求1元钱可以买到哪种纸多，这种纸就划算。圆柱形卷纸的底面是圆环，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出两种卷纸的体积，再除以各自的价格，即是1元钱可以买到多少纸，比较大小，即可得出结论。 【规范解答】（1）3.14×4×10 ＝12.56×10 ＝125.6（平方厘米） 答：制作中间的硬纸轴需要125.6平方厘米的硬纸板。 （2）每层放了：3×4＝12（个） 24÷12＝2（层） 每卷纸的底面外圆直径是：4＋4＋4＝12（厘米） 长方体的长：12×4＝48（厘米） 长方体的宽：12×3＝36（厘米） 长方体的高：10×2＝20（厘米） 长方体的容积： 48×36×20 ＝1728×20 ＝34560（立方厘米） 答：这个纸箱的容积至少是34560立方厘米。 （3）规格①： 底面的内圆半径：4÷2＝2（厘米） 底面的外圆半径：2＋4＝6（厘米） 体积： 3.14×（62－22）×10 ＝3.14×（36－4）×10 ＝3.14×32×10 ＝1004.8（立方厘米） 1004.8÷3≈334.93（立方厘米） 规格②： 底面的内圆半径：4÷2＝2（厘米） 底面的外圆半径：2＋8＝10（厘米） 3.14×（102－22）×10 ＝3.14×（100－4）×10 ＝3.14×96×10 ＝3014.4（立方厘米） 3014.4÷8＝376.8（立方厘米） 376.8＞334.93 答：规格②更划算。 【考点剖析】（1）本题考查圆柱侧面积公式的应用。 （2）关键是结合图形，确定长方体纸箱的长、宽、高，再运用长方体的体积（容积）公式解答。 （3）求出底面是圆环的两种圆柱卷纸的体积是解题的关键。 考点十 圆柱的表面积的计算与应用 母题精讲（2025·山东·小升初模拟）一个无盖的圆柱形折叠小水桶，完全拉伸后高是40厘米，底面直径是30厘米。做这个折叠小水桶至少要用防水布多少平方厘米？ 【答案】 4474.5平方厘米 【思路引导】先根据“半径＝直径÷2”计算出底面半径；然后根据“圆的面积＝πr2（r为半径）”计算出底面积，根据“圆的周长＝πd（d为直径）”计算出底面周长；再根据“圆柱的侧面积＝底面周长×高”计算出圆柱侧面积；最后将底面积与侧面积求和即可。 【规范解答】 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 答：做这个折叠小水桶至少要用防水布4474.5平方厘米。 举一反三（2024·福建厦门·小升初模拟）下面这首诗中的“连筒”是唐朝出现的引水工具，就是把无数竹筒串接在一起，通过倾斜一定的角度，把水从一处引到另一处。 下图是一段圆柱形的连筒（中间和上下底面挖空），底面内直径为10厘米，外直径为12厘米。 （1）这个连筒的侧面积是多少平方分米？ （2）在引水过程中，某个时刻这个连筒里的水占连筒容积的，此时水的体积是多少立方米？ （3）“连筒引水”利用了斜面装置省力的特点。古代劳动人民在生产和劳动的过程中发明和运用许多工具与技术，有的一直沿用至今，斜面就是其中的一种。 小乐了解这个知识之后，提出了一个问题：“利用斜面把物体从低处运到高处，所需力的大小与物体的质量有什么关系？”针对这个问题，他通过用弹簧秤在相同的斜面上匀速（指物体在运动的过程中速度保持不变）拉动底面相同、质量不同的木块进行了探究（如图1所示），测得的实验数据绘制成统计图（如图2所示）。（注：“牛”是力的计量单位）      图1                                                                  图2 ①如果拉动一块底面相同、质量为700g的木块，所需的力是多少牛？请在图2中表示出来。 ②请你运用发现的规律，解决下面的问题：工人叔叔把一个质量为30kg的木箱从斜面匀速推上货车需要用228牛的力。如果他在箱子上再叠一个快递箱，把它们一起从斜面匀速推上货车用了342牛的力，那么这个快递箱的质量是多少千克？ 【答案】（1）92.4平方分米 （2）0.00785立方米 （3）①6.3牛；画图见详解 ②15千克 【思路引导】（1）根据圆柱的侧面积公式为 S＝πdh，连筒外直径12厘米，长度2.5米，换算成统一单位名称，代入公式计算出连筒的侧面积。 （2）根据圆柱的体积公式 V＝πr2h，连筒内直径10厘米，长度2.5米，换算成统一单位名称，代入公式计算出连筒的容积，再乘即可。 （3）①根据图象分析，物体质量与所需要的拉力成正比例关系，根据正比例关系列式求解即可，画图见详解。 ②根据物体质量与所需要的拉力成正比例关系，列出正比例式子，计算出用342牛推力的物体质量，再减去木箱的质量，就是快递箱的质量。 【规范解答】（1）2.5米＝25分米   12厘米＝1.2分米 3.14×1.2×25＝94.2（平方分米） 答：这个连筒的侧面积是94.2平方分米。 （2）10厘米＝0.1米 ＝3.14×0.052×（2.5×） ＝3.14×0.0025×1 ＝0.00785（立方米） 答：此时水的体积是0.00785立方米 （3）①解：设所需的力是x牛。 700∶x＝200∶1.8 200x＝700×1.8 200x＝1260 200x÷200＝1260÷200 x＝6.3 （题中所用数据不唯一） 答：如果拉动一块底面相同、质量为700克的木块，所需的力是6.3牛。 ②解：设把一个质量为x千克的箱子从斜面匀速推上货车需要用342牛的力。 342∶x＝228∶30 228x＝342×30 228x＝10260 228x÷228＝10260÷228 x＝45 45－30＝15（千克） 答：这个快递箱的质量是15千克。 【考点剖析】本题考查了圆柱的侧面积与体积，准确找到对应的数据，注意单位名称的转化；两种相关联的量， 比值一定成正比例，辨识出物体质量与所需推力比值不变是解题关键。 考点十一 圆柱的体积的计算与应用 母题精讲（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，体积比是，那么这个圆柱和这个圆锥的高的比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据圆的面积之比等于圆的周长之比的平方，假设圆柱、圆锥的底面面积、体积分别为具体数值，根据圆柱的体积V1＝Sh，圆锥的体积V2 ＝Sh得出高的计算公式，计算出高，写出高的比并进行化简。 【规范解答】圆的面积之比等于圆的周长之比的平方。 （3∶2）2＝＝＝9∶4 令圆柱和圆锥的底面积分别为9和4，体积分别为3和2。 V1＝Sh     则h＝V1÷S＝3÷9＝ V2＝Sh   则 h＝3V2÷S＝3×2÷4＝6÷4＝ ∶＝（×6）∶（×6）＝2∶9 这个圆柱和这个圆锥的高的比是2∶9。 举一反三（2025·浙江杭州·小升初模拟）数学组的同学们在上拓展课，张老师和四名同学测量一些螺丝钉的体积，他们合作进行如下操作： ①小明准备了一个圆柱体玻璃杯，从里面测量得到底面直径是厘米，高是厘米。 ②小刚往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离之比是1∶1。 ③小亮把20枚完全一样的螺丝钉放入水中。（螺丝钉完全浸没在水中） ④小强测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2。请根据以上信息，计算出一枚螺丝钉的体积。（π取3.14） 【答案】0.628立方厘米 【思路引导】根据圆柱体积公式计算玻璃杯的容积；由初始水的高度与水面离杯口的距离比为1：1，可知水体积占杯容积的一半；由放入螺丝钉后水的高度与水面离杯口的距离比为3：2，可知水加螺丝钉的体积占杯容积的；螺丝钉的总体积等于水加螺丝钉的体积减去水的体积；再除以螺丝钉的数量20，得到一枚螺丝钉的体积。 【规范解答】圆柱形玻璃杯的底面半径：（厘米） 圆柱形玻璃杯的底面积： （平方厘米） 圆柱形玻璃杯的容积：（立方厘米） 初始水的高度： （厘米） 初始水的体积：（立方厘米） 放入螺丝钉后水的高度： （厘米） 水加螺丝钉的体积：（立方厘米） 螺丝钉的总体积：（立方厘米） 一枚螺丝钉的体积：（立方厘米） 答：一枚螺丝钉的体积为0.628立方厘米。 【考点剖析】本题考查了比的应用和圆柱的体积，能根据比求出水和螺丝钉的体积占玻璃杯的几分之几，会灵活运用圆柱的体积公式是解题的关键。 考点十二 圆柱的容积 母题精讲（2025·浙江杭州·小升初模拟）往一个圆柱形水桶里注满水。 (1)把表格填写完整； 每分钟注入水量/升 20 25 所需时间/分钟 10 5 (2)每分钟注入水量与所需时间成( )比例。 (3)这个圆柱形水桶底面积是0.4平方米，那么水桶的高是( )分米。 (4)如果将这个水桶的底面按1∶10的比例尺画在纸上，图上面积是( )平方厘米。 【答案】(1)见详解 (2)反 (3)5 (4)40 【思路引导】（1）根据“总容量＝每分钟注入水量×所需时间”可求出水桶总容量。由于总容量一定，每分钟注入水量与所需时间的乘积等于总容量，据此可求出表格中未知量。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。据此解答。 （3）圆柱体积公式为V＝S×h（V表示体积，S表示底面积，h表示高），根据第一小问计算出的体积和已知的底面积，利用公式求出高，注意单位的统一。1升＝1立方分米，1平方米＝100平方分米。 （4）比例尺1∶10是长度比例尺，面积比例尺为长度比例尺的平方，即1∶100。先将实际底面积单位换算为平方厘米（1平方米＝10000平方厘米），再根据面积比例尺求出图上面积，图上面积＝实际面积×比例尺。 【规范解答】（1）20×10＝200（升） 200÷25＝8（分钟） 200÷5＝40（升） 补充表格如下： 每分钟注入水量/升 20 25 40 所需时间/分钟 10 8 5 （2）因为每分钟注入水量×所需时间＝总容量，总容量（乘积）固定不变，故每分钟注入水量与所需时间成反比例。 （3）200升＝200立方分米 0.4平方米＝40平方分米 200÷40＝5（分米） 因此，水桶的高是5分米。 （4）0.4平方米＝4000平方厘米 4000× ＝4000× ＝40（平方厘米） 因此，如果将这个水桶的底面按1∶10的比例尺画在纸上，图上面积是40平方厘米。 举一反三用一张长方形铁皮（如图），裁剪出底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。 （1）请你在图中画出这个水桶的底面和侧面展开图。 （2）这个水桶的底面直径是 dm，高是 dm。 （3）这个水桶实际用了多少平方分米的铁皮？（接头处忽略不计） （4）这个水桶最多能盛水多少升？（铁皮厚度忽略不计） 【答案】（1）见详解 （2）2；2 （3）15.7平方分米 （4）6.28升 【思路引导】（1）由长方形围成圆柱体积最大的原理可知这张铁皮以长为底面周长、以宽为高时围成的圆柱容积最大。根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。通过观察图形可知，这个圆柱形水桶的底面直径是2分米，根据圆的画法，画出直径是2分米的圆，铁皮的长减去2分米就是圆柱的底面周长。据此作图即可。 （2）这个水桶的底面直径和高都是2分米。 （3）根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 （4）根据圆柱的体积（容积）公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【规范解答】（1）作图如下： （2）这个水桶的底面直径是2分米，高是2分米。 （3）8.28－2＝6.28（分米） 6.28×2＋3.14×（2÷2）2 ＝12.56＋3.14×1 ＝12.56＋3.14 ＝15.7（平方分米） 答：这个水桶实际用了15.7平方分米的铁皮。 （4）3.14×（2÷2）2×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28（立方分米） 6.28立方分米＝6.28升 答：这个水桶最多能盛水6.28升。 【考点剖析】面积相等的长方形，围成的圆柱体积是不同的，卷成圆柱的底面周长的那条边越长，围成的圆柱的体积越大。再结合这张长方形铁皮能够围成的圆柱的两种形状：①以宽为底面周长、以长为高围成一个圆柱；②以长为底面周长、以宽为高围成一个圆柱；接着确定能围成的容积最大的圆柱的方法是②；然后再展开相关计算。 考点十三 圆柱与圆锥体积的关系 母题精讲（2025·湖南邵阳·小升初模拟）一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积一共是36立方厘米，这个圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】D 【思路引导】根据圆柱的体积＝，圆锥的体积＝，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，用总体积36立方厘米除以（1＋3）即可求出这个圆锥的体积，再乘3即可求出这个圆柱的体积。 【规范解答】36÷（1＋3）×3 ＝36÷4×3 ＝27（立方厘米） 即这个圆柱的体积是27立方厘米。 故答案为：D 举一反三（2024·河南南阳·小升初真题）把一个高15厘米的圆柱体木料沿着两条互相垂直的直径纵切成完全相同的四块，它的表面积增加了720平方厘米。如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去了多少立方厘米木料？ 【答案】立方厘米 【思路引导】根据题意，把一个圆柱体木料沿底面直径切成相同的四块，表面积增加720平方厘米，那么增加的表面积是8个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径；用增加的表面积除以8，求出一个切面的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面半径； 然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个圆柱体木料的体积； 如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则削去的体积是圆柱体积的（1－），单位“1”已知，用圆柱的体积乘（1－），即可求出削去的体积。 【规范解答】圆柱的底面半径： 720÷8÷15 ＝90÷15 ＝6（厘米） 圆柱的体积： 3.14×62×15 ＝3.14×36×15 ＝1695.6（立方厘米） 削去的体积： 1695.6×（1－） ＝1695.6× ＝1130.4（立方厘米） 答：削去了1130.4立方厘米木料。 【考点剖析】本题考查圆柱切割的特点，明确圆柱沿底面直径切成四块时，增加的表面积是8个切面的面积，每个切面是以圆柱的底面半径和高为长、宽的长方形，以此为突破口，求出圆柱的底面半径，再利用等底等高时圆锥与圆柱的体积关系解答。 考点十四 圆锥的体积（容积） 母题精讲（2025·湖北黄石·小升初真题）健身房内有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面直径是40厘米，高是1.2米。在一次训练中，沙子全部流到地上形成了一个高50厘米的近似圆锥形沙堆，这个沙堆的占地面积是多少平方米？（结果保留两位小数） 【答案】约0.90平方米 【思路引导】圆柱的体积＝底面积（S＝πr2）×高，据此先求出圆柱形沙包的体积，也就是圆锥形沙堆的体积；再根据圆锥的体积＝Sh，得出沙堆的占地面积＝圆锥形沙堆的体积÷（×沙堆的高），据此解答即可。注意单位的统一，1米＝100厘米，结果保留两位小数，看小数点后第三位小数，根据“四舍五入法”取舍。 【规范解答】40厘米＝0.4米 50厘米＝0.5米 沙堆的体积：3.14×（0.4÷2）2×1.2 ＝3.14×0.22×1.2 ＝3.14×0.04×1.2 ＝0.1256×1.2 ＝0.15072（立方米） 沙堆的占地面积： 0.15072÷（×0.5） ＝0.15072÷÷0.5 ＝0.15072×3÷0.5 ＝0.45216÷0.5 ＝0.90432 ≈0.90（平方米） 答：这个沙堆的占地面积约是0.90平方米。 举一反三（2025·湖北武汉·小升初真题）沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 【答案】0.628厘米 【思路引导】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（π取3.14），长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出沙的体积，然后用这些沙的体积除以长方体的底面积即可。 【规范解答】×3.14×（12÷2）2×10÷（30×20） ＝×3.14×62×10÷（30×20） ＝×3.14×36×10÷600 ＝×36×3.14×10÷600 ＝12×3.14×10÷600 ＝37.68×10÷600 ＝376.8÷600 ＝0.628（厘米） 答：在长方形木盒中会平铺大约0.628厘米高的沙子。 【考点剖析】这道题的关键是沙子体积不变，先算沙漏里圆锥形状沙子的体积，再用这个体积除以长方体木盒的底面积，就能得出沙子在木盒里平铺的高度。具体计算时，先由圆锥直径算出半径，代入圆锥体积公式求出沙子体积，再用体积除以长方体底面积，最终得到高度。 考点十五 组合体的表面积（长方体、正方体） 母题精讲（2024·河南新乡·小升初真题）求如图所示几何体的表面积（单位：厘米）。 【答案】168.84平方厘米 【思路引导】已知正方体的棱长为5厘米，根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”计算出正方体的表面积；该圆柱与正方体相连，圆柱的两个底面中，有一个面与正方体接触，不计入几何体表面积，另一个面正好补全正方体表面，所以只需计算圆柱的侧面积，由图可知圆柱底面直径为2厘米，高为3厘米，根据圆柱侧面积公式计算出圆柱的侧面积；最后该几何体的表面积就等于正方体的表面积加上圆柱的侧面积。 【规范解答】5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 3.14×2×3 ＝6.28×3 ＝18.84（平方厘米） 150＋18.84＝168.84（平方厘米） 所以该几何体的表面积是168.84平方厘米。 举一反三（2024·浙江宁波·小升初真题）在一个正方体上挖去一个棱长1厘米的小正方体后，体积和表面积都可能不变。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】第一种：如果在顶点挖去一个小正方体，减少3个面，同时有增加3个面，正方体的表面积不变；体积＝正方体体积－小正方体体积，体积减少。 第二种：如果在中间挖去一个小正方体，减少1个面，同时增加5个面，表面积比原来增加，体积＝正方体体积－小正方体体积，体积减少。 第三种：如果在棱的中间挖去小正方体，减少2个面，同时增加4个面，表面积比原来增加，体积＝大正方体体积－小正方体体积，体积减少，由此可知，在一个正方体上挖去一个棱长1厘米的小正方体后，表面积不变或增加，体积减少，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，在一个正方体上挖去一个棱长1厘米的小正方体后，体积减少，表面积不变或增加。 原题干说法错误。 故答案为：× 考点十六 组合体的表面积（圆柱) 母题精讲（24-25六年级下·江苏南京·期中）单板滑雪U型池赛是冬奥会的比赛项目，比赛在一个形状类似于U型滑道里进行，结构由宽阔平坦的底部和两侧的四分之一的圆管组成。U型池面的面积是多少平方米？ 【答案】368.4平方米 【思路引导】观察可知U型池面的面积由一个长是20米，宽是9米的长方形和一个底面半径是3米、高20米的圆柱的侧面积的一半组成，根据长方形面积＝长×宽，圆柱的侧面积公式，代入数据计算即可。 【规范解答】 （平方米） 答：U型池面的面积是368.4平方米。 举一反三（23-24六年级下·四川广安·期末）计算下面图形的表面积。 【答案】188.4cm2 【思路引导】由于上面的圆柱与下面的圆柱体组合在一起，所以上面的圆柱只求侧面积，下面圆柱体求表面积，然后求和就是这个图形的表面积。根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，把数据代入公式解答即可。 【规范解答】 图形的表面积是188.4cm2。 考点十七 组合体的体积（长方体、正方体） 母题精讲（2025·四川成都·小升初真题）求这个图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】600平方厘米；936立方厘米 【思路引导】观察图形可知，这个图形的表面积就等于棱长10厘米的正方体的表面积，利用正方体的表面积公式计算即可解答，正方体的表面积＝棱长×棱长×6；体积等于棱长10厘米的正方体与棱长4厘米的正方体的体积之差，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此即可解答。 【规范解答】10×10×6 ＝100×6 ＝600（平方厘米） 10×10×10－4×4×4 ＝100×10－16×4 ＝1000－64 ＝936（立方厘米） 所以这个图形的表面积是600平方厘米，体积是936立方厘米。 举一反三（23-24六年级下·四川达州·期末）计算下面图形的表面积和体积。 【答案】10228 cm2；67140 cm3 【思路引导】看图可知，这个立体图形的表面积＝正方体的表面积＋圆柱的侧面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，圆柱的侧面积＝底面周长×高。这个立体图形的体积＝正方体体积＋圆柱体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算即可求出表面积和体积。 【规范解答】表面积： 40×40×6＋20×3.14×10 ＝9600＋628 ＝10228（cm2） 体积： 40×40×40＋（20÷2）2×3.14×10 ＝64000＋102×3.14×10 ＝64000＋3140 ＝67140（cm3） 立体图形的表面积是10228cm2，体积是67140cm3。 考点十八 组合体的体积（圆柱、圆锥） 母题精讲（2025·海南省直辖县级单位·小升初真题）求出下面圆柱体空心钢管的体积。（单位：厘米） 【答案】2512立方厘米 【思路引导】由图可知，大圆柱的底面直径是12厘米，小圆柱的底面直径是8厘米，它们的高都是40厘米，，圆柱体空心钢管的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积，据此解答。 【规范解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝800×3.14 ＝2512（立方厘米） 所以，圆柱体空心钢管的体积是2512立方厘米。 举一反三（2025·江西南昌·小升初真题）我国农村地区有用竹箩筐装稻谷的习惯，如图，这是一个圆柱形的竹箩筐，从里面量高5分米，底面直径是6分米。 （1）编这个箩筐，要编织多少平方米的竹编？（用“进一法”保留一位小数） （2）在装稻谷时，除了把这个箩筐本身装满外，还可以把稻谷在这个箩筐的上面堆一个高相当于底面直径的圆锥形（如图），这样一共装了多少升的稻谷？ 【答案】（1）1.3平方米； （2）160.14升 【思路引导】（1）由图可知，这个箩筐没有盖子，计算要编织多少平方米的竹编就是计算圆柱的侧面积和一个底面积的和，利用“”求出需要编织竹编的面积； （2）由题意可知，装稻谷的体积等于下面圆柱的体积加上上面圆锥的体积，利用“”“”求出所装稻谷的体积，最后把体积单位转化为容积单位，据此解答。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝122.46（平方分米） 122.46平方分米＝1.2246平方米 1.2246平方米≈1.3平方米 答：编这个箩筐，要编织1.3平方米的竹编。 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝160.14（立方分米） 160.14立方分米＝160.14升 答：一共装了160.14升的稻谷。 考点十九 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 母题精讲（2025·浙江杭州·小升初真题）张老师测量一颗钢球体积的过程如下图： （1）将400立方厘米的水倒进一个容量为1升的大杯子中； （2）将5颗相同的钢球放入水中，结果水没满； （3）再将一颗同样的钢球放入水中，结果水满溢出。 根据以上过程，推测这样一颗钢球的体积的范围。 【答案】 100立方厘米＜单颗钢球体积＜120立方厘米 【思路引导】首先统一单位：1升＝1000立方厘米，杯子中原有水400立方厘米，因此杯子剩余空间为：1000－400＝600（立方厘米）。 先分析5颗钢球的体积范围： 放入5颗钢球后水没满，说明5颗钢球的体积小于剩余空间，即：5×单颗钢球体积小于600立方厘米。 可得：单颗钢球体积小于600÷5＝120（立方厘米） 再分析6颗钢球的体积范围： 放入6颗钢球后水溢出，说明6颗钢球的体积大于剩余空间，即：6×单颗钢球体积大于600立方厘米。 可得：单颗钢球体积大于600÷6＝100（立方厘米） 据此推出结论即可。 【规范解答】立方厘米 （立方厘米）。 5颗钢球的体积小于剩余空间，可得单颗钢球体积小于： 600÷5＝120（立方厘米） 6颗钢球的体积大于剩余空间，可得单颗钢球体积大于： 600÷6＝100（立方厘米） 这样一颗钢球的体积范围是： 100立方厘米＜单颗钢球体积＜120立方厘米。 举一反三（2025·浙江宁波·小升初真题）在“小小科学家”嘉年华活动中，有一项连通杯注水实验。请根据实验所得数据，解决下面问题。 材料：①连通杯容器：由一根口径4厘米的玻璃导管和两个圆柱形量杯连接而成（如图）。       ②若干水、铁块。 过程： ①匀速向A杯注水。（当A杯水面与导管底部持平时，水流向B杯） ②7秒后停止注水。（水流经导管的时间忽略不计） ③再向A杯放入一个铁块（完全浸没）。 观察记录： （1）共注水（    ）毫升。 （2）铁块的体积是多少立方厘米？ （3）如果将铁块捞出，哪个杯中的水面会下降？下降几厘米？ 【答案】（1）1120；（2）160立方厘米；（3）A杯；3.2厘米 【思路引导】（1）把A、B两杯中的水合起来就是一共注入的水的体积。观察条形统计图可知，A杯中有800毫升水，B杯中有320毫升水。 （2）观察扇形统计图可知，A、B两杯中的水共占放入铁块后各部分总体积的（37.5%＋50%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法先求出总体积。再用总体积减去A、B两杯中水的体积。 （3）铁块在A杯中，将铁块捞出，A杯中的水面会下降。下降的水的体积等于铁块的体积。停止注水后，A杯中水的体积是800毫升，水面高度是20－4＝16（厘米），根据S底面积＝V÷h可算出A容器的底面。通过下降的水的体积和A杯的底面积，根据h＝V÷S底面积，可算出A杯中水面下降几厘米。 【规范解答】（1）800＋320＝1120（毫升） 共注水1120毫升。 （2）1120÷（37.5%＋50%） ＝1120÷87.5% ＝1280（毫升） 1280－1120＝160（毫升） 160毫升＝160立方厘米 答：铁块的体积是160立方厘米。 （3）800÷（20－4） ＝800÷16 ＝50（平方厘米） 160÷50＝3.2（厘米） 答：如果将铁块捞出，A杯中的水面会下降，下降3.2厘米。 【考点剖析】能根据实验数据和图形进行体积计算，理解连通杯的原理。 考点二十 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 母题精讲（2025·辽宁本溪·小升初真题）一个圆柱形的水桶，底面直径是40厘米，里面装有80厘米深的水。现将一个底面周长为62.8厘米的圆锥形铁块沉浸在水桶之中（水未溢出），水面升高了，圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】 60厘米 【思路引导】已知圆柱形水桶的底面直径是40厘米，则底面半径是40÷2＝20厘米；水桶里装有80厘米深的水，将圆锥形铁块沉浸在水桶之中，水面升高了，即水面上升了80×＝5厘米；根据圆柱体积公式计算出上升的水的体积，即为圆锥形铁块的体积。 已知圆锥形铁块底面周长是62.8厘米，根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，据此可计算出圆锥形铁块的底面半径；根据圆的面积公式计算出圆锥形铁块的底面积；最后根据“圆锥的体积＝×底面积×高”，用圆锥形铁块的体积乘3除以底面积即可计算出圆锥形铁块的高。据此解答。 【规范解答】3.14×（40÷2）2×（80×） ＝3.14×202×5 ＝3.14×400×5 ＝1256×5 ＝6280（立方厘米） 62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 6280×3÷314 ＝18840÷314 ＝60（厘米） 答：圆锥形铁块的高是60厘米。 举一反三（2024·河南新乡·小升初真题）晶晶的爸爸在“琉璃厂”买了一块砚台，为了测量它的体积，做了以下实验： ①天平称出这块砚台质量是1.44千克；②天平称出1立方分米砚台材料质量为2.5千克； ③测量一个圆柱形玻璃容器的底面半径是8厘米；  ④用直尺量出容器的高是10厘米； ⑤在容器里注入一定量的水，量出水面高度为5厘米；    ⑥将砚台完全浸入水中（水未溢出），量出水面高度为8厘米。 根据信息，你能求出这块砚台的体积吗？（π取值3进行计算） 【答案】576立方厘米 【思路引导】利用③、④、⑤和⑥的信息可以求出这块砚台的体积，即在一个底面半径是8厘米的圆柱形玻璃容器里注入一定量的水，量出水面高度为5厘米，将砚台完全浸入水中（水未溢出），量出水面高度为8厘米，此时上升的这部分水的体积也就是这块砚台的体积；根据圆柱的体积＝πr2h，用圆柱的底面积乘水上升的高度，所得结果即为这块砚台的体积。 【规范解答】3×82×（8－5） ＝3×64×3 ＝192×3 ＝576（立方厘米） 答：这块砚台的体积是576立方厘米。 考点二十一 体积的等积变形（长方体、正方体） 母题精讲（2025·山东潍坊·小升初真题）如下图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器中水深6.28cm，将乙容器中的水全部倒入甲容器中，这时水深( )cm；如果倒入与这个圆柱底面积之比是5∶1的圆锥形容器中，刚好倒满，那么圆锥的高是( )cm。 【答案】 8 4.8 【思路引导】（1）先根据长方体体积＝长×宽×高，求出乙容器中水的体积，再利用圆柱的体积＝底面积×高，求出水倒入甲容器后的水深。圆柱底面积S＝πr2、d＝2r。 （2）根据圆柱和圆锥的底面积之比可知，圆锥底面积是圆柱的底面积的5倍，先求出圆锥的底面积，由圆锥体积公式V＝πr2h，可知用水的体积×3÷圆锥的底面积，即可求出圆锥的高。 【规范解答】（1）水的体积：10×10×6.28＝628（cm3） 圆柱底面积：3.14×（10÷2）2 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 水深：628÷78.5＝8（cm） （2）圆锥底面积：78.5×5＝392.5（cm2） 圆锥的高：628×3÷392.5 ＝1884÷392.5 ＝4.8（cm） 举一反三（2025·全国·小升初模拟）用如下五块长方形的亚克力板可以制作一个无盖的长方体，面与面相交的棱要用专业胶水粘连。请你帮忙算一算： 收费标准（含人工费） 亚克力板：2元/平方分米 胶水：0.2元/分米 （1）做一个这样的长方体，买亚克力板需要多少钱？ （2）做一个这样的长方体，买胶水需要多少钱？ （3）将这个长方体装满水，再倒一部分到一个棱长是2分米的正方体容器中，使得两个容器中的水面同样高，那么两个容器中的水面高度是多少分米？（列方程解答，容器壁厚度忽略不计） 【答案】（1）32元 （2）2.8元 （3）0.6分米 【思路引导】（1）根据图形，求出长方体的表面积，需要将5个长方形的面积加起来，长方形的面积＝长×宽，分别计算出5个长方形的面积，再相加求出长方体的表面积，亚克力板是2元/平方分米，最后用长方体的表面积乘上2即可。 （2）先根据长方形的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，求出它的棱长之和，因为是无盖的，再减去上面盖的周长（只有单个面的长方形的周长），即可求出需要粘胶水的长度，再乘0.2即可； （3）将这个长方体装满水，长方体的体积就是水的体积，则根据长方体的体积＝长×宽×高得出水的体积6立方分米，再倒一部分到一个棱长是2分米的正方体容器中，即两个容器中的水的体积的和是6立方分米，设两个容器中的水面高度都是h分米，所以长方体中的水的体积是（3×2×h）立方分米，正方体容器中水的体积是（2×2×h）立方分米，列出方程为3×2×h＋2×2×h＝3×2×1，求出h即可。 【规范解答】（1）3×2＋1×2×2＋3×1×2 ＝6＋4＋6 ＝10＋6 ＝16（平方分米） 16×2＝32（元） 答：做一个这样的长方体，买亚克力板需要32元。 （2）（3＋2＋1）×4 ＝6×4 ＝24（分米） （3＋2）×2 ＝5×2 ＝10（分米） 24－10＝14（分米） 14×0.2＝2.8（元） 答：做一个这样的长方体，买胶水需要2.8元。 （3）解：设两个容器中的水面高度都是h分米。 3×2×h＋2×2×h＝3×2×1 6h＋4h＝6 10h＝6 10h÷10＝6÷10 h＝0.6 答：两个容器中的水面高度都是0.6分米。 考点二十二 体积的等积变形（圆柱、圆锥) 母题精讲（2025·浙江宁波·小升初真题）如下图，三个量杯从里面量，高度都是9厘米。小冬先把圆锥形量杯盛满水，再把这杯水全部倒进圆柱形量杯中，圆柱形量杯的水面高度是( )厘米，接着他又把这些水全部倒进长方体量杯中，长方体量杯的水面高度应为( )厘米。（得数保留一位小数） 【答案】 3 2.4 【思路引导】由图可知，圆锥和圆柱的底面直径都是4厘米，则它们的底面半径相等，，那么圆锥和圆柱的底面积相等，把圆锥形量杯里面的水倒入圆柱形量杯中水的体积不变，由“”可知“”，由“”可知“”，，由此可知，当圆柱和圆锥的体积和底面积分别相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，即圆锥形量杯的高度是圆柱形量杯水面高度的3倍；先根据“”求出圆柱形量杯中水的体积，长方体量杯的水面高度＝水的体积÷长方体量杯的底面积，据此解答。 【规范解答】当圆柱和圆锥的体积和底面积分别相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。 9÷3＝3（厘米） 3.14×（4÷2）2×3÷（4×4） ＝3.14×22×3÷16 ＝3.14×4×3÷16 ＝12.56×3÷16 ＝37.68÷16 ≈2.4（厘米） 所以，圆柱形量杯的水面高度是3厘米，长方体量杯的水面高度应为2.4厘米。 举一反三如图，在一个盛有450毫升水的量杯中，放入一个圆柱，水面对应的刻度为600毫升。若再放入一个与圆柱等底等高的圆锥，则此时水面对应的刻度为____________毫升。 【答案】650 【思路引导】根据题意可知，把圆柱放入量杯中，上升部分水的体积等于这个圆柱的体积，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，据此可以求出圆锥的体积，然后用水和圆柱的体积加上这个圆锥体积的就是量杯中水面的刻度。 【规范解答】450毫升＝450立方厘米 600毫升＝600立方厘米 600－450＝150（立方厘米） 150×＝50（立方厘米） 50立方厘米＝50毫升 600＋50＝650（毫升） 【考点剖析】此题主要考查圆柱体积（容积）公式的灵活运用，等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系及应用。注意容积单位与体积之间的换算。 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）一个长为20分米的方木的横截面是边长为m分米的正方形，将它锯掉8分米后，方木的体积比原来减少（    ）。 A．8m立方分米 B．12m立方分米 C．8m2立方分米 D．12m2立方分米 【答案】C 【思路引导】长方体的体积＝底面积×高，正方形的面积＝边长×边长。方木的横截面是边长为m分米的正方形，那么它的底面积是m×m＝m2（平方分米），锯掉8分米，那么锯掉的体积就等于底面积乘8。据此解答。 【规范解答】m×m＝m2（平方分米） m2×8＝8 m2（立方分米） 所以方木的体积比原来减少8 m2立方分米。 故答案为：C 2．（2025·河南郑州·小升初真题）一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米、h米。如果高增加2米，体积比原来增加（    ）立方米。 A．2ab B．2abh C． D．8 【答案】A 【思路引导】根据长方体的体积＝长×宽×高，分别算出原来长方体的体积和高增加后的体积，用增加后的体积减去原来的体积即可。 【规范解答】ab×（h＋2）－abh ＝abh＋2ab－abh ＝2ab 所以，体积比原来增加2ab立方米。 故答案为：A 3．（2025·湖南永州·小升初真题）用大小相同的小正方体摆成的物体，从正面看是：从上面看是：，从左面看是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【规范解答】根据从上面看确定底层有4个小正方体，根据从正面看确定没有第二层，还原出物体是“前排3个并排，后排中间1个”的形状。站在物体左侧向右看，视线会被前排最左侧的一列和后排中间的一列遮挡，看到的轮廓应该是竖直方向1层，水平方向2个正方形并排的形状。对照A、B、C、D四个选项，只有A选项（两个正方形横向并排）符合从左面看到的形状。 4．（2025·四川达州·小升初真题）一个圆柱与一个圆锥等底等高，它们的体积相差36立方厘米。这个圆柱的体积是_____立方厘米。 【答案】54 【思路引导】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，相差（3－1）份；用体积差除以份数差，求出一份数，再用一份数乘3，求出圆柱的体积。 【规范解答】36÷（3－1） ＝36÷2 ＝18（立方厘米） 18×3＝54（立方厘米） 这个圆柱的体积是54立方厘米。 5．（2023·贵州黔西南·小升初真题）如图，以直角三角形的AC边为轴旋转一周。得到的立体图形是( )，它的体积是( )cm3。 【答案】 圆锥 50.24 【思路引导】以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，计算即可。 【规范解答】以直角三角形的AC边为轴旋转一周。得到的立体图形是圆锥。 圆锥的底面半径是4cm，高是3cm。 3.14×42×3× ＝3.14×16×3× ＝50.24×3× ＝150.72× ＝50.24（cm3） 以直角三角形的AC边为轴旋转一周。得到的立体图形是圆锥，它的体积是50.24cm3。 6．（2025·广东深圳·小升初模拟）已知r＝4分米，h＝6分米，求圆柱体的表面积。 【答案】251.2平方分米 【思路引导】根据圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，即可解答。 【规范解答】3.14×42×2＋3.14×4×2×6 ＝3.14×16×2＋12.56×2×6 ＝50.24×2＋25.12×6 ＝100.48＋150.72 ＝251.2（平方分米） 圆柱的表面积是251.2平方分米。 7．（2025·山东·小升初模拟）求下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） （1）（2） 【答案】（1）628cm2；1177.5cm3；（2）238cm2；195cm3 【思路引导】图1的圆柱： （1）圆柱表面积＝侧面积＋2个底面积，底面积（圆的面积）S底＝πr2，圆柱侧面积公式S侧＝2πrh； 圆柱体积V＝πr2h，代入对应数据计算。 （2）组合图形的表面积＝长方体表面积＋正方体4个面面积，长方体表面积S长＝（ab＋ac＋bc）×2，正方体4个面面积＝4a2； 组合图形的体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体体积V长＝abh，正方体体积V正＝a3，代入对应数据计算。 【规范解答】（1）表面积： 3.14×5×2×15＋3.14×52×2 ＝15.7×2×15＋3.14×25×2 ＝31.4×15＋78.5×2 ＝471＋157 ＝628（cm2） 体积： 3.14×52×15 ＝3.14×25×15 ＝78.5×15 ＝1177.5（cm3） （2）表面积： （7×8＋7×3＋8×3）×2＋3×3×4 ＝（56＋21＋24）×2＋36 ＝101×2＋36 ＝202＋36 ＝238（cm2） 体积： 7×8×3＋3×3×3 ＝168＋27 ＝195（cm3） 8．（2025·山东青岛·小升初真题）下图是一个装满水的无盖长方体容器。（单位：分米，π取3.14） (1)在容器中放入一个底面直径为2分米，高为4分米的实心圆柱铁柱。会溢出多少升水？ (2)如果把这个铁柱锻造成一个实心圆锥。使得圆锥能垂直放入长方体容器，并且底面积最大。这个圆锥的高是多少？ 【答案】(1)12.56升 (2)分米 【思路引导】（1）因为铁柱与长方体一样高，所以，放入后溢出的水的体积就相当于圆柱的体积；最后再把体积化为容积即可；可列式为：3.14×（2÷2）2×4。 （2）把这个铁柱锻造成一个实心圆锥，使得圆锥能垂直放入长方体容器，并且底面积最大。意思是以长方体的宽为直径，锻造一个实心圆锥，求圆锥的高；根据圆锥的体积公进行解答。 【规范解答】（1）3.14×（2÷2）2×4 ＝3.14×12×4 ＝3.14×1×4 ＝3.14×4 ＝12.56（立方分米） 12.56立方分米＝12.56升 答：会溢出12.56升水。 （2）12.56×3÷[3.14×（6÷2）2] ＝12.56×3÷[3.14×32] ＝37.68÷[3.14×9] （分米） 答：这个圆锥的高是分米。 9．（2025·湖南永州·小升初真题）一个饮料瓶内饮料的高度是6厘米，将这瓶饮料的瓶盖拧紧倒置（如图），空余部分的高度是10厘米。已知这个饮料瓶的容积是672毫升，则瓶内的饮料有多少升？ 【答案】0.252升 【思路引导】饮料瓶的容积等于正放时饮料的体积加上倒置时空余部分的体积，且这两部分的底面积相同，因此可将饮料瓶的总容积看作底面积相同、高6＋10＝16（厘米）的圆柱的体积；已知饮料瓶的容积是672毫升，根据“1毫升＝1立方厘米，圆柱的体积＝底面积×高”，先进行单位转化，求出饮料瓶的底面积，进而用底面积乘饮料的高求出饮料的体积，最后根据1000毫升＝1升进行单位转化即可。 【规范解答】672毫升＝672立方厘米 672÷（6＋10） ＝672÷16 ＝42（平方厘米） 42×6＝252（立方厘米） 252立方厘米＝0.252升 答：瓶内的饮料有0.252升。 10．（2025·江西吉安·小升初真题）按要求在下面的方格图中画图并完成填空。（每个小方格的边长表示1cm。） (1)画出①号图形向下平移5格后的图形； (2)画出①号图形绕A点逆时针旋转90°后的图形； (3)分别画出从上面、前面、左面看右图的图形； (4)以点（19，11）为圆心画一个直径6cm的圆，并标出圆心。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【思路引导】（1）作平移后的图形步骤：找点－找出构成图形的关键点；定方向、距离－确定平移方向和平移距离；画线－过关键点沿平移方向画出平行线；定点－由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连点－连接对应点。 （2）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 （3）从上面看有3行，前边2行并排各3个小正方形，后边1行靠左2个小正方形；从前面看有3列，左边1列3个小正方形，中间1列1个小正方形，右边1列2个小正方形；从左面看有3行，下边1行3个小正方形，中间1行靠左2个小正方形，上边1行靠左1个小正方形。 （4）数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此确定圆心的位置，直径÷2＝半径。画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【规范解答】（1）作图如下： （2）作图如下： （3）作图如下： （4）6÷2＝3（cm）、作图如下： 【思维拓展拔尖】 1．（2025·湖北黄石·小升初真题）下面说法中，正确的有（    ）。 ①一个两位小数的近似数是3.0，这个两位小数最大是2.99； ②一个自然数（0除外），不是奇数就是偶数，不是质数就是合数； ③一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，圆柱的高是6cm，那圆锥的高一定是18cm； ④把26个苹果放进4个篮子中，其中至少有一个篮子中放入了8个苹果。 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【思路引导】①根据四舍五入规则，“四舍”时原数最大。据此求出满足小数的最大值，和题目比较。 ②自然数（0除外）按能否被2整除分为奇数和偶数；按因数个数分为质数、合数和1，其中1既不是质数也不是合数。 ③当圆柱和圆锥体积相等、底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。 ④先将26个苹果平均放入4个篮子，再通过分配余下的苹果，判断其中一个篮子中苹果数量。 【规范解答】①要使两位小数四舍五入后为3.0，其十分位为0，百分位最大为4，所以这个两位小数最大是3.04，而非2.99。因此，说法①错误。 ②因为1既不是质数也不是合数，所以“不是质数就是合数”的说法错误。 ③6×3＝18cm，因此，说法③正确。 ④26÷4＝6（个）……2（个），即给每个篮子放6个后还余2个，余下的2个苹果无论放进哪个篮子，至少有一个篮子有6＋1＝7个苹果，而非8个。因此，说法④错误。 综上，只有说法③正确，即有1个说法正确。 2一个圆柱侧面展开是正方形，这个圆柱底面周长与高的比是（    ）。 A． B．1∶1 C． D．无法确定 【答案】B 【思路引导】由圆柱的侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高，据此分析当“一个圆柱的侧面展开是一个正方形”时，圆柱的高与底面周长的关系，从而求出它们的比。 【规范解答】题目中圆柱侧面展开是正方形，而正方形是特殊的长方形，其长和宽相等。因此，圆柱的底面周长（展开图的长）与圆柱的高（展开图的宽）相等，则圆柱的底面周长∶高＝1∶1。 3．（2025·山东·小升初模拟）我们在《科学》中知道，空气是由多种气体混合而成的，其中氧气大约占空气体积的21%，氮气大约占空气体积的78%。一个正方体的空纸箱，棱长是5分米，里面大约有氧气( )升，有氮气( )升。（纸箱厚度忽略不计） 【答案】 26.25 97.5 【思路引导】根据题意，先根据正方体的体积计算公式求出空纸箱的体积，由于纸箱厚度忽略不计，其体积数值上等于内部容积，再将体积单位换算为容积单位，最后分别用容积乘氧气和氮气所占的体积百分比，即可得到两种气体的体积，据此解答 【规范解答】正方体体积：5×5×5＝25×5＝125（立方分米） 纸箱容积：125（立方分米）＝125（升） 氧气体积：125×21%＝125×0.21＝26.25（升） 氮气体积：125×78%＝125×0.78＝97.5（升） 4．（2025·河北保定·小升初模拟）在一个圆柱形的水桶里，垂直放入一段半径是2cm的圆钢，如果把它完全放入水中，桶里的水就上升10cm，如果把水中的圆钢露出水面6cm，那么这时桶里的水就下降3cm。这根圆钢的高是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】 20 251.2 【思路引导】已知圆钢半径为2厘米，根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14），求出圆钢底面积。当圆钢露出水面6厘米时，露出部分的体积等于水桶底面积乘水下降的高度，求出露出部分体积。水下降3厘米，用露出部分体积除以水下降的高度，求出水桶底面积。当圆钢完全放入水中时，水上升10厘米，圆钢体积等于水桶底面积乘水上升的高度，求出圆钢的体积。圆钢的高等于体积除以底面积，求出圆钢的高。 【规范解答】圆钢的底面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 露出水面的圆钢体积：12.56×6＝75.36（cm3） 水桶底面积：75.36÷3＝25.12（cm2） 圆钢的体积：25.12×10＝251.2（cm3） 圆钢的高：251.2÷12.56＝20（cm） 所以这根圆钢的高是20cm，体积是251.2cm3。 【考点剖析】本题关键在于利用“圆钢露出水面的体积＝水桶中下降的水的体积”这一关系，先求出水桶的底面积，再结合“圆钢完全放入时水上升的体积＝圆钢的体积”，最终算出圆钢的高和体积。 5．（2025·陕西汉中·小升初模拟）正方体和圆柱体的底面周长相等，高相等，体积也相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】正方体和圆柱体的体积公式均为底面积乘高。高相等时，体积大小由底面积决定。底面周长相等时，圆的面积大于正方形的面积，因此圆柱的底面积大于正方体的底面积，导致圆柱体积大于正方体体积。由此解答。 【规范解答】正方体的体积为底面积乘高，圆柱体的体积也为底面积乘高。 已知高相等，因此体积大小取决于底面积。 底面周长相等时，圆的面积大于正方形的面积，故圆柱的底面积大于正方体的底面积。 所以圆柱体积大于正方体体积，体积不相等。因此，题中说法错误。 故答案为：× 6．（2025·湖南永州·小升初真题）求下图中组合图形的表面积。（单位：dm） 【答案】112.84dm2 【思路引导】组合图形的表面积是圆柱侧面积与长方体表面积的和；由图可知，圆柱的底面直径是2dm，高是3dm，长方体的长是5dm，宽是3dm，高是4dm，根据“圆柱的侧面积＝底面周长×高、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”代入数据计算，分别求出圆柱的侧面积和长方体的表面积，再相加即可。 【规范解答】3.14×2×3＋（5×3＋5×4＋3×4）×2 ＝3.14×2×3＋（15＋20＋12）×2 ＝3.14×2×3＋47×2 ＝18.84＋94 ＝112.84（dm2） 7．（2025·湖北黄石·小升初真题）张亮在一个长方体的玻璃容器中装了一些水，他把一块底面半径为4厘米的圆柱形铁块完全浸没在水中，发现水面上升了8厘米，把铁块提起5厘米时，这时水面下降了2厘米。（如图所示，玻璃厚度忽略不计）（π取3） (1)圆柱形铁块露出水面部分的体积是多少？ (2)圆柱形铁块的体积占玻璃容器容积的百分之几？ 【答案】(1)240立方厘米 (2)26.67% 【思路引导】（1）求这个铁块露出水面部分的体积是多少，就是求底面半径是4厘米，高是5厘米的圆柱体的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高即可解答； （2）求这个铁块的体积占玻璃容器容积的百分之几，就可以求上升了8厘米的高度是长方体的玻璃容器高度的百分之几，所以用除法即可解答。 【规范解答】（1）1）3××5 ＝3×（4×4）×5 ＝3×16×5 ＝48×5 ＝240（立方厘米） 答：圆柱形铁块露出水面部分的体积是240立方厘米。 （2）8÷30×100% ＝×100% ≈26.67% 答：圆柱形铁块的体积占玻璃容器容积的26.67%。 8．（2025·山东·小升初模拟）湖南省浏阳市是最早被称为“花炮之乡”的县市，素有“浏阳花炮震天下”的美名。浏阳市的光明烟花厂打算制作一款新产品，下图是他们设计的烟花模型图。那么一款这样的烟花需要多少平方分米的材料制作烟花筒？（不含上、下底面） 【答案】50.24平方分米 【思路引导】根据题意，先由图中4个圆柱并排的总宽度16厘米，求出单个圆柱的底面直径；再根据圆柱侧面积公式（不含上下底面）计算单个烟花筒的侧面积；接着数出图中烟花筒总数为4×4＝16个，用单个侧面积乘总数得到总面积；最后将单位从平方厘米换算为平方分米，据此解答。 【规范解答】计算单个圆柱的底面直径：16÷4＝4（厘米） 计算单个烟花筒的侧面积：3.14×4×25 ＝12.56×25 ＝314（平方厘米）。 计算16个烟花筒的总侧面积：4×4×314＝5024（平方厘米）。 单位换算：5024÷100＝50.24（平方分米） 答：那么一款这样的烟花需要50.24平方分米的材料制作烟花筒。 9．（2025·浙江宁波·小升初模拟）在底面半径为6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径为4厘米、高9厘米的圆锥体铅块，放水将铅块全部淹没，当铅块取出后，玻璃缸中的水位下降多少厘米？ 【答案】 厘米 【思路引导】先根据圆锥体积公式求出铅块体积，此体积即为减少的水的体积，再根据圆柱底面积公式求出玻璃缸底面积，最后用减少的水的体积（圆锥铅块的体积）除以玻璃缸底面积得到水位下降的高度。用到圆锥体积公式和圆柱底面积公式。 【规范解答】 （立方厘米） （平方厘米） ÷ ＝48÷36 ＝ ＝（厘米） 答：当铅块取出后，玻璃缸中的水位下降厘米。 10．（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 【答案】60立方厘米 【思路引导】根据左图可知，甲容器中装水的体积是甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出水的体积；将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使甲、乙两个容器中的水面高度相同，此时水的总体积不变。用甲容器中水的体积除以甲、乙容器的底面积之和，即可求出此时水面的高度；再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积，即是从甲容器倒出的水的体积，据此进行解答。 【规范解答】甲容器中水的体积：10×3×10÷2 ＝30×10÷2 ＝300÷2 ＝150（立方厘米） 底面积之和：10×3＋5×4 ＝30＋20 ＝50（平方厘米） 高：150÷50＝3（厘米） 乙容器中水的体积：5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：需要从甲容器中倒出60立方厘米的水。 【考点剖析】本题的核心是抓住两个不变量：一是水的总体积不变，二是最终甲、乙容器中水面的高度相同。利用这两个条件，才能将“倒出部分水”的问题，转化为“总体积÷总底面积＝共同高度”的简单计算。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•全国通用 专题09 立体图形的认识与测量 （必备知识&二轮复习+考点清单 全国通用） 【原卷版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01：圆柱与圆锥的测量 知识点02：用排水法计算不规则物体的体积 知识点03：立体图形的表面积和体积计算常用公式： 知识点04：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点序列 考点名称 考点一 观察物体 考点十二 圆柱的容积 考点二 立体图形的认识 考点十三 圆柱与圆锥体积的关系 考点三 长方体的表面积计算与应用 考点十四 圆锥的体积（容积） 考点四 正方体的表面积计算与应用 考点十五 组合体的表面积（长方体、正方体） 考点五 长方体的体积的计算与应用 考点十六 组合体的表面积（圆柱) 考点六 正方体的体积的计算与应用 考点十七 组合体的体积（长方体、正方体） 考点七 长方体、正方体的容积 考点十八 组合体的体积（圆柱、圆锥） 考点八 表面涂色的正方体 考点十九 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 考点九 圆柱的侧面积的计算与应用 考点二十 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 考点十 圆柱的表面积的计算与应用 考点二十一 体积的等积变形（长方体、正方体） 考点十一 圆柱的体积的计算与应用 考点二十二 体积的等积变形（圆柱、圆锥) 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 圆柱与圆锥的测量 知识必备 圆柱的侧面积、表面积 (1)圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示为:S侧=πdh(或2πrh)　 (2)圆柱的表面积=底面积×2+侧面积　,用字母表示为:S= 2πr2+2πrh　　 2.圆柱的体积=底面积×高,用字母表示为:V=πr2h 。  3.圆锥的体积=×底面积×高,用字母表示为:V=　πr2h　 知识点02 用排水法计算不规则物体的体积 知识必备 1.体积小的物体可以直接放入有水的长方体或圆柱等规则的容器里,观察水面所处的刻度的变化　体积差　就是物体的体积。  2.体积大的物体,可以放入装满水的长方体或圆柱等规则的容器里,排出水的　体积　就是物体的体积。 知识点03 立体图形的表面积和体积计算常用公式 知识必备 立体图形 表面积 体积 长方体 S=2 ：长 b:宽 h：高 S：表面积 正方体 S= ：棱长 S：表面积 圆柱 圆锥 注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 知识点04 解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 知识必备 （1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点. （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点 （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积. （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变. （3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。 考●点●讲●练 考点一 观察物体 母题精讲（2025·浙江台州·小升初模拟）一个用若干块小立方体搭成的图形，从正面和上面看都是，这个图形至少有（    ）块小立方体搭成的。 A．7 B．6 C．5 D．4 举一反三（2025·上海闵行·小升初真题）学校的科创教室，像一座未来科技的魔法学院，有机器人、3D打印机、编程电脑和各种实验器材。在这里，你可以动手搭建、编程、实验，把天马行空的想象变成触手可及的现实。小丁丁就用3D打印了一堆正方体积木块叠放在一起，每个正方体积木的棱长都是2厘米，如果从三个不同方位看到的图形形状如下。 (1)这一堆正方体积木共有( )个，表面积是( )平方厘米； (2)小丁丁准备制作收纳盒来装这些积木，下图是一种带有正方形的长方体收纳盒展开图，小丁丁在制作时发现存在多余的面，你觉得多余的面是( )面（填字母）。如果图中长方形A的长是14厘米，宽是7厘米，那么修正后制作的这个收纳盒最多可以装正方体积木( )个（盖严盖子）。 考点二 立体图形的认识 母题精讲（2025·甘肃庆阳·小升初真题）小辰用相同的小正方体搭一个立体图形，从上面看是，从左面看是，搭成这样的立体图形最多要用（    ）个小正方体。 A．6 B．8 C．9 举一反三（2024·河南郑州·小升初真题）休息时，淘淘和弟弟玩积木，从如图的5组积木中选取3组，排成如图的正方体，正确的是（    ）。 ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．③④⑤ 考点三 长方体的表面积计算与应用 母题精讲（2025·福建宁德·小升初真题）母亲节，李兵送给妈妈一个水杯（如下图，底面直径60毫米，高210毫米）。 (1)李兵要用一个长方体的盒子包装它，这个盒子的表面积至少多少平方厘米？ (2)妈妈一天饮水量不少于1500毫升。喝这样的3杯，能达到要求吗？请说明理由。（杯壁的厚度忽略不计，π取3） 举一反三（2025·四川绵阳·小升初真题）粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 考点四 正方体的表面积计算与应用 母题精讲（2024·安徽亳州·小升初真题）下面是一个正方体的展开图，与“自”字相对的是________字，如果折成的正方体棱长4厘米，这个正方体的表面积是________平方厘米，体积是________立方厘米。 举一反三（2025·河南郑州·小升初真题）如下图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具，它的表面积是( )平方厘米。 考点五 长方体的体积的计算与应用 母题精讲（2025·广东佛山·小升初模拟）在一个底面半径为10厘米的圆柱形玻璃容器中，水深8厘米，要在容器中放入长和宽都是8厘米，高16厘米的一块铁块。（水没有溢出） (1)如果把铁块横放入水中，水面上升多少厘米？（得数保留整数。） (2)如果把铁块竖放入水中水面上升多少厘米？（得数保留整数。） 举一反三（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 考点六 正方体的体积的计算与应用 母题精讲（2025·云南昭通·小升初模拟）在一个棱长4分米的正方体水箱中盛满水，并全部倒入一个空的圆锥形容器里，刚好倒满且没有溢出，圆锥的高是8分米，这个圆锥形容器的底面积是（    ）。（容器厚度忽略不计） A．8平方分米 B．32平方分米 C．24平方分米 D．16平方分米 举一反三将棱长是1.6分米的一个正方体石块浸没到一个长方体水槽中，水面上升了0.8分米，然后放入一个铁块并浸没，水面又上升了2.5分米（水没有溢出），铁块的体积是( )立方分米。 考点七 长方体、正方体的容积 母题精讲（2025·北京丰台·小升初真题）“度量衡”是我国古代计量长度、容积、重量的标准或器具的统称，“度”用以计量长短；“量”用以测量容积大小；“衡”用以测量物体轻重。“商鞅方升”的重要物证——商鞅方升（如图），就是“度量衡”中的“量”，用来测量容积大小。它全长18.7厘米，内口长约12.5厘米，宽约7厘米，深约2.3厘米，容积便是商鞅规定的“一升”。算一算，商鞅规定的“一升”大约相当于现在的（    ）升。 A．0.2 B．1.5 C．0.6 D．2.3 举一反三（2024·河南郑州·小升初真题）在去伏羲山的路上，他们看到了一块平行四边形的玫瑰花田。 （1）观察如图，请你简要写出平行四边形面积计算公式产生的过程。 在数学学习中，经常运用“转化”思想变未知为已知。请你应用转化的思想解决下列问题。 （2）在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个（    ）角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是（        ），面积是（        ），这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是12平方厘米，则原来三角形的面积是（      ）。 （3）伏羲山悬崖酒店准备新建一个游泳池，泳池长25米，宽11米，由分道线分成5个泳道（如图a）。游泳池底部有一定的倾斜度，使游泳池由1.2米深的浅水区自然过渡到1.6米深的深水区（如图b）。 淘淘根据平行四边形、三角形、梯形、圆形的面积计算公式及圆柱、圆锥的体积计算公式推导方法，设计了一个计算游泳池容积的研究模型，（如图c示意图）。 ①说一说他是怎么研究的？ ②根据这个研究模型，试着算一算这个游泳池的容积是多少？ ③至少要购进多少米的分道线，才能保证5个泳道的分道？（只列式，不计算） 考点八 表面涂色的正方体 母题精讲（2025·江苏苏州·小升初真题）一个表面涂色的大正方体，用激光把它切割成若干个体积是1立方厘米的小正方体。已知一面涂色的小正方体24个，未涂色的小正方体有( )个，这个大正方体的体积是( )立方厘米。 举一反三（24-25五年级上·山东东营·期末）一个6个面都涂着红色的正方体木块，棱长为3分米。如果把它切成棱长1分米的正方体小木块，3个面涂着红色的正方体小木块有（    ）个。 A．1 B．4 C．6 D．8 考点九 圆柱的侧面积的计算与应用 母题精讲（2025·山东菏泽·小升初真题）刘小薇在研究圆柱的体积时，将圆柱体模型切拼成一个近似的长方体，她发现如果将这个长方体“躺倒”放（如下图），底面就是圆柱侧面的一半，高就是圆柱的半径，因此她得出一个结论： 圆柱的体积＝侧面积的一半×半径 现有一个圆柱，侧面积是37.68平方厘米，体积是37.68立方厘米，这个圆柱的高是多少厘米？（π取3.14） 举一反三（2024·山东德州·小升初真题）如图1，一种卷纸中间硬纸轴的直径是4厘米，卷纸环的厚度是4厘米，高度是10厘米。 （1）制作中间的硬纸轴需要多少平方厘米的硬纸板？ （2）如图2，纸箱正好可放入24个卷纸，这个纸箱的容积至少是多少立方厘米？ （3）此品牌卷纸有两种包装，规格及价格如图3所示，如果它们的纸质相同，你觉得买哪一种更划算？请通过计算说明。 考点十 圆柱的表面积的计算与应用 母题精讲（2025·山东·小升初模拟）一个无盖的圆柱形折叠小水桶，完全拉伸后高是40厘米，底面直径是30厘米。做这个折叠小水桶至少要用防水布多少平方厘米？ 举一反三（2024·福建厦门·小升初模拟）下面这首诗中的“连筒”是唐朝出现的引水工具，就是把无数竹筒串接在一起，通过倾斜一定的角度，把水从一处引到另一处。 下图是一段圆柱形的连筒（中间和上下底面挖空），底面内直径为10厘米，外直径为12厘米。 （1）这个连筒的侧面积是多少平方分米？ （2）在引水过程中，某个时刻这个连筒里的水占连筒容积的，此时水的体积是多少立方米？ （3）“连筒引水”利用了斜面装置省力的特点。古代劳动人民在生产和劳动的过程中发明和运用许多工具与技术，有的一直沿用至今，斜面就是其中的一种。 小乐了解这个知识之后，提出了一个问题：“利用斜面把物体从低处运到高处，所需力的大小与物体的质量有什么关系？”针对这个问题，他通过用弹簧秤在相同的斜面上匀速（指物体在运动的过程中速度保持不变）拉动底面相同、质量不同的木块进行了探究（如图1所示），测得的实验数据绘制成统计图（如图2所示）。（注：“牛”是力的计量单位）      图1                   图2 ①如果拉动一块底面相同、质量为700g的木块，所需的力是多少牛？请在图2中表示出来。 ②请你运用发现的规律，解决下面的问题：工人叔叔把一个质量为30kg的木箱从斜面匀速推上货车需要用228牛的力。如果他在箱子上再叠一个快递箱，把它们一起从斜面匀速推上货车用了342牛的力，那么这个快递箱的质量是多少千克？ 考点十一 圆柱的体积的计算与应用 母题精讲（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，体积比是，那么这个圆柱和这个圆锥的高的比是（    ）。 A． B． C． D． 举一反三（2025·浙江杭州·小升初模拟）数学组的同学们在上拓展课，张老师和四名同学测量一些螺丝钉的体积，他们合作进行如下操作： ①小明准备了一个圆柱体玻璃杯，从里面测量得到底面直径是厘米，高是厘米。 ②小刚往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离之比是1∶1。 ③小亮把20枚完全一样的螺丝钉放入水中。（螺丝钉完全浸没在水中） ④小强测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2。请根据以上信息，计算出一枚螺丝钉的体积。（π取3.14） 考点十二 圆柱的容积 母题精讲（2025·浙江杭州·小升初模拟）往一个圆柱形水桶里注满水。 (1)把表格填写完整； 每分钟注入水量/升 20 25 所需时间/分钟 10 5 (2)每分钟注入水量与所需时间成( )比例。 (3)这个圆柱形水桶底面积是0.4平方米，那么水桶的高是( )分米。 (4)如果将这个水桶的底面按1∶10的比例尺画在纸上，图上面积是( )平方厘米。 举一反三用一张长方形铁皮（如图），裁剪出底面和侧面，做一个容积最大的圆柱形无盖水桶。 （1）请你在图中画出这个水桶的底面和侧面展开图。 （2）这个水桶的底面直径是 dm，高是 dm。 （3）这个水桶实际用了多少平方分米的铁皮？（接头处忽略不计） （4）这个水桶最多能盛水多少升？（铁皮厚度忽略不计） 考点十三 圆柱与圆锥体积的关系 母题精讲（2025·湖南邵阳·小升初模拟）一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积一共是36立方厘米，这个圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．12 B．18 C．24 D．27 举一反三（2024·河南南阳·小升初真题）把一个高15厘米的圆柱体木料沿着两条互相垂直的直径纵切成完全相同的四块，它的表面积增加了720平方厘米。如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去了多少立方厘米木料？ 考点十四 圆锥的体积（容积） 母题精讲（2025·湖北黄石·小升初真题）健身房内有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面直径是40厘米，高是1.2米。在一次训练中，沙子全部流到地上形成了一个高50厘米的近似圆锥形沙堆，这个沙堆的占地面积是多少平方米？（结果保留两位小数） 举一反三（2025·湖北武汉·小升初真题）沙漏是古人用的一种计时仪器。如图这个沙漏里（装满沙子）的沙子一点点漏入下面的长方形木盒中，如果沙子漏完了，那么在长方形木盒中会平铺大约多少厘米高的沙子？ 考点十五 组合体的表面积（长方体、正方体） 母题精讲（2024·河南新乡·小升初真题）求如图所示几何体的表面积（单位：厘米）。 举一反三（2024·浙江宁波·小升初真题）在一个正方体上挖去一个棱长1厘米的小正方体后，体积和表面积都可能不变。( )（判断对错） 考点十六 组合体的表面积（圆柱) 母题精讲（24-25六年级下·江苏南京·期中）单板滑雪U型池赛是冬奥会的比赛项目，比赛在一个形状类似于U型滑道里进行，结构由宽阔平坦的底部和两侧的四分之一的圆管组成。U型池面的面积是多少平方米？ 举一反三（23-24六年级下·四川广安·期末）计算下面图形的表面积。 考点十七 组合体的体积（长方体、正方体） 母题精讲（2025·四川成都·小升初真题）求这个图形的表面积和体积。（单位：厘米） 举一反三（23-24六年级下·四川达州·期末）计算下面图形的表面积和体积。 考点十八 组合体的体积（圆柱、圆锥） 母题精讲（2025·海南省直辖县级单位·小升初真题）求出下面圆柱体空心钢管的体积。（单位：厘米） 举一反三（2025·江西南昌·小升初真题）我国农村地区有用竹箩筐装稻谷的习惯，如图，这是一个圆柱形的竹箩筐，从里面量高5分米，底面直径是6分米。 （1）编这个箩筐，要编织多少平方米的竹编？（用“进一法”保留一位小数） （2）在装稻谷时，除了把这个箩筐本身装满外，还可以把稻谷在这个箩筐的上面堆一个高相当于底面直径的圆锥形（如图），这样一共装了多少升的稻谷？ 考点十九 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 母题精讲（2025·浙江杭州·小升初真题）张老师测量一颗钢球体积的过程如下图： （1）将400立方厘米的水倒进一个容量为1升的大杯子中； （2）将5颗相同的钢球放入水中，结果水没满； （3）再将一颗同样的钢球放入水中，结果水满溢出。 根据以上过程，推测这样一颗钢球的体积的范围。 举一反三（2025·浙江宁波·小升初真题）在“小小科学家”嘉年华活动中，有一项连通杯注水实验。请根据实验所得数据，解决下面问题。 材料：①连通杯容器：由一根口径4厘米的玻璃导管和两个圆柱形量杯连接而成（如图）。       ②若干水、铁块。 过程： ①匀速向A杯注水。（当A杯水面与导管底部持平时，水流向B杯） ②7秒后停止注水。（水流经导管的时间忽略不计） ③再向A杯放入一个铁块（完全浸没）。 观察记录： （1）共注水（    ）毫升。 （2）铁块的体积是多少立方厘米？ （3）如果将铁块捞出，哪个杯中的水面会下降？下降几厘米？ 考点二十 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 母题精讲（2025·辽宁本溪·小升初真题）一个圆柱形的水桶，底面直径是40厘米，里面装有80厘米深的水。现将一个底面周长为62.8厘米的圆锥形铁块沉浸在水桶之中（水未溢出），水面升高了，圆锥形铁块的高是多少厘米？ 举一反三（2024·河南新乡·小升初真题）晶晶的爸爸在“琉璃厂”买了一块砚台，为了测量它的体积，做了以下实验： ①天平称出这块砚台质量是1.44千克；②天平称出1立方分米砚台材料质量为2.5千克； ③测量一个圆柱形玻璃容器的底面半径是8厘米；  ④用直尺量出容器的高是10厘米； ⑤在容器里注入一定量的水，量出水面高度为5厘米；    ⑥将砚台完全浸入水中（水未溢出），量出水面高度为8厘米。 根据信息，你能求出这块砚台的体积吗？（π取值3进行计算） 考点二十一 体积的等积变形（长方体、正方体） 母题精讲（2025·山东潍坊·小升初真题）如下图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器中水深6.28cm，将乙容器中的水全部倒入甲容器中，这时水深( )cm；如果倒入与这个圆柱底面积之比是5∶1的圆锥形容器中，刚好倒满，那么圆锥的高是( )cm。 举一反三（2025·全国·小升初模拟）用如下五块长方形的亚克力板可以制作一个无盖的长方体，面与面相交的棱要用专业胶水粘连。请你帮忙算一算： 收费标准（含人工费） 亚克力板：2元/平方分米 胶水：0.2元/分米 （1）做一个这样的长方体，买亚克力板需要多少钱？ （2）做一个这样的长方体，买胶水需要多少钱？ （3）将这个长方体装满水，再倒一部分到一个棱长是2分米的正方体容器中，使得两个容器中的水面同样高，那么两个容器中的水面高度是多少分米？（列方程解答，容器壁厚度忽略不计） 考点二十二 体积的等积变形（圆柱、圆锥) 母题精讲（2025·浙江宁波·小升初真题）如下图，三个量杯从里面量，高度都是9厘米。小冬先把圆锥形量杯盛满水，再把这杯水全部倒进圆柱形量杯中，圆柱形量杯的水面高度是( )厘米，接着他又把这些水全部倒进长方体量杯中，长方体量杯的水面高度应为( )厘米。（得数保留一位小数） 举一反三如图，在一个盛有450毫升水的量杯中，放入一个圆柱，水面对应的刻度为600毫升。若再放入一个与圆柱等底等高的圆锥，则此时水面对应的刻度为____________毫升。 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．（2025·四川绵阳·小升初真题）一个长为20分米的方木的横截面是边长为m分米的正方形，将它锯掉8分米后，方木的体积比原来减少（    ）。 A．8m立方分米 B．12m立方分米 C．8m2立方分米 D．12m2立方分米 2．（2025·河南郑州·小升初真题）一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米、h米。如果高增加2米，体积比原来增加（    ）立方米。 A．2ab B．2abh C． D．8 3．（2025·湖南永州·小升初真题）用大小相同的小正方体摆成的物体，从正面看是：从上面看是：，从左面看是（    ）。 A． B． C． D． 4．（2025·四川达州·小升初真题）一个圆柱与一个圆锥等底等高，它们的体积相差36立方厘米。这个圆柱的体积是_____立方厘米。 5．（2023·贵州黔西南·小升初真题）如图，以直角三角形的AC边为轴旋转一周。得到的立体图形是( )，它的体积是( )cm3。 6．（2025·广东深圳·小升初模拟）已知r＝4分米，h＝6分米，求圆柱体的表面积。 7．（2025·山东·小升初模拟）求下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） （1）（2） 8．（2025·山东青岛·小升初真题）下图是一个装满水的无盖长方体容器。（单位：分米，π取3.14） (1)在容器中放入一个底面直径为2分米，高为4分米的实心圆柱铁柱。会溢出多少升水？ (2)如果把这个铁柱锻造成一个实心圆锥。使得圆锥能垂直放入长方体容器，并且底面积最大。这个圆锥的高是多少？ 9．（2025·湖南永州·小升初真题）一个饮料瓶内饮料的高度是6厘米，将这瓶饮料的瓶盖拧紧倒置（如图），空余部分的高度是10厘米。已知这个饮料瓶的容积是672毫升，则瓶内的饮料有多少升？ 10．（2025·江西吉安·小升初真题）按要求在下面的方格图中画图并完成填空。（每个小方格的边长表示1cm。） (1)画出①号图形向下平移5格后的图形； (2)画出①号图形绕A点逆时针旋转90°后的图形； (3)分别画出从上面、前面、左面看右图的图形； (4)以点（19，11）为圆心画一个直径6cm的圆，并标出圆心。 【思维拓展拔尖】 1．（2025·湖北黄石·小升初真题）下面说法中，正确的有（    ）。 ①一个两位小数的近似数是3.0，这个两位小数最大是2.99； ②一个自然数（0除外），不是奇数就是偶数，不是质数就是合数； ③一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，圆柱的高是6cm，那圆锥的高一定是18cm； ④把26个苹果放进4个篮子中，其中至少有一个篮子中放入了8个苹果。 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2一个圆柱侧面展开是正方形，这个圆柱底面周长与高的比是（    ）。 A． B．1∶1 C． D．无法确定 3．（2025·山东·小升初模拟）我们在《科学》中知道，空气是由多种气体混合而成的，其中氧气大约占空气体积的21%，氮气大约占空气体积的78%。一个正方体的空纸箱，棱长是5分米，里面大约有氧气( )升，有氮气( )升。（纸箱厚度忽略不计） 4．（2025·河北保定·小升初模拟）在一个圆柱形的水桶里，垂直放入一段半径是2cm的圆钢，如果把它完全放入水中，桶里的水就上升10cm，如果把水中的圆钢露出水面6cm，那么这时桶里的水就下降3cm。这根圆钢的高是( )cm，体积是( )cm3。 5．（2025·陕西汉中·小升初模拟）正方体和圆柱体的底面周长相等，高相等，体积也相等。( )（判断对错） 6．（2025·湖南永州·小升初真题）求下图中组合图形的表面积。（单位：dm） 7．（2025·湖北黄石·小升初真题）张亮在一个长方体的玻璃容器中装了一些水，他把一块底面半径为4厘米的圆柱形铁块完全浸没在水中，发现水面上升了8厘米，把铁块提起5厘米时，这时水面下降了2厘米。（如图所示，玻璃厚度忽略不计）（π取3） (1)圆柱形铁块露出水面部分的体积是多少？ (2)圆柱形铁块的体积占玻璃容器容积的百分之几？ 8．（2025·山东·小升初模拟）湖南省浏阳市是最早被称为“花炮之乡”的县市，素有“浏阳花炮震天下”的美名。浏阳市的光明烟花厂打算制作一款新产品，下图是他们设计的烟花模型图。那么一款这样的烟花需要多少平方分米的材料制作烟花筒？（不含上、下底面） 9．（2025·浙江宁波·小升初模拟）在底面半径为6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径为4厘米、高9厘米的圆锥体铅块，放水将铅块全部淹没，当铅块取出后，玻璃缸中的水位下降多少厘米？ 10．（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $