专题08 平面图形的认识与测量（思维导图+必备知识&考点清单+分层训练）全国通用-2026年小升初数学二轮复习真题培优讲练

该小学数学小升初复习讲义聚焦平面图形的认识与测量专题，涵盖线和角、三角形、四边形、圆及组合图形等核心知识点，通过导图指引构建思维框架、知识清单提炼考点、考点讲练突破难点、分层训练夯实能力的流程，帮助学生系统掌握图形性质、周长与面积计算等关键技能。 特色在于融合数学眼光与思维培养，如通过“方中圆和圆中方”问题的割补法教学发展几何直观，母题精讲结合举一反三强化推理意识。分层训练设计基础题与拓展题，如组合图形阴影面积计算，助力学生提升空间观念与应用能力，教师可据此精准对接小升初考点，高效指导复习。

2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•全国通用 专题08 平面图形的认识与测量 （必备知识&二轮复习+考点清单 全国通用） 【原卷版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01 知识点01 线和角的认识 知识点02 三角形的认识与测量 知识点03 四边形的认识与测量 知识点04 圆的周长和面积 知识点05 组合图形的面积 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点序列 考点名称 考点一 平面图形的认识及分类 考点十三 三角形的内角和 考点二 直线、射线、线段 考点十四 多边形的内角和 考点三 平行与垂直的特征、性质 考点十五 三角形的周长的计算与应用 考点四 长方形的周长计算与应用 考点十六 圆的周长计算及应用 考点五 正方形的周长计算与应用 考点十七 圆的面积计算及应用 考点六 画指定周长的长方形、正方形 考点十八 圆环的面积 考点七 长方形的面积计算与应用 考点十九 方中圆和圆中方的面积问题 考点八 正方形的面积计算与应用 考点二十 含圆的组合图形的周长 考点九 画指定面积的长方形、正方形 考点二十一 含圆的组合图形的面积 考点十 平行四边形的面积计算与应用 考点二十二 扇形的周长和面积 考点十一 梯形面积的计算与应用 考点二十三 画圆及扇形 考点十二 三角形面积的计算与应用 考点二十四 求组合图形中阴影部分的面积 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 线和角的认识 知识必备 1.线段、直线、射线的特点 (1)线段有两个端点,可以度量长度;射线只有一个端点,它可以向一端无限延伸,不可以度量长度;直线　没有　端点,它可以向两端无限延伸,不能度量长度。  (2)两点之间线段最短。  2.垂直与平行 (1)同一平面内,两条直线的位置关系是平行和相交　。如果两条直线相交成　直角　,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足。过直线外一点只能画一条已知直线的垂线。  (2)平行线之间的距离处处相等;点到直线的所有连线中,垂线段最短。 3.角 (1) 由一点出发的两条射线组成的图形叫角;角的大小与两边的画出的长短　无关,与两边张开的大小有关。  (2)角的分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 大于0。 小于90。 90。 大于90。 小于180。 180° 360° 知识点02 三角形的认识与测量 知识必备 1.三角形的认识 (1)三角形的特殊性质:三角形具有稳定性　。  (2)三角形三边关系:在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 (3)三角形的分类:三角形按角分,分为　锐角三角形、直角三角形和钝角　三角形;按边分,分为特殊三角形和一般三角形。等腰三角形和等边三角形是特殊三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。  (4)三角形的内角和是（ 180° ) 2.三角形的面积 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,这个平行四边形的底就是三角形的底,所拼成平行四边形的高就是三角形的高。每个三角形的面积是所拼成平行四边形面积的一半。因为平行高四边形的面积=底×高　,所以三角形的面积=　底×高　,用字母 表示为: S=ah 。 知识点03 四边形的认识与测量 知识必备 1.四边形的认识 (1)四边形的特殊性质:不稳定,易变形　 。  (2)平行四边形两组对边分别平行且相等,梯形只有一组对边　平行　。 2.四边形的测量 (1)平行四边形的面积:平行四边形可以割补成一个长方形,这个长方形的长就是平行四边形的底　,这个长方形的宽就是平行四边形的高　,长方形的面积=长×宽,因此平行四边形的面积=底×高　,用字母表示为: S=ah　。 (2)梯形的面积:两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。这个平行四边形的底是原梯形的上底与下底之和,这个平行四边形的高是原梯形的高　。所拼成的平行四边形的面积就是（上底+下底）×高　,而原来的一个梯形的面积是拼成平行四边形面积的一半,所以梯形的面积=　(上底+下底)×高÷2　,用字母表示为:　S=(a+b)×h÷2　。 知识点04 圆的周长和面积 知识必备 1.圆的周长 (1)圆周率:圆的周长与直径的比值叫作圆周率。圆周率用希腊字母“π”表示,它是一个无限不循环 小数。经过精密计算:π=3.1415926…在小学数学中,我们常常取圆周率的近似值3.14 (2)圆的周长=圆周率×直径或圆周率×半径×2　用字母表示为:C=πd或2πr　 2.圆的面积:把一个圆平均分成若干份,剪开后拼成一个近似的平行四边形,如果分的份数越多,拼成的图形越接近长方形,这个近似长方形的长等于圆周长的一半,宽等于圆的半径 ,由此圆的面积S=πr2　 3.圆环的面积 (1)同一个圆心的两个半径不相等的圆,它们之间的部分叫作　圆环　 (2)面积公式:　S=πR2-πr2　 知识点05 组合图形的面积 知识必备 1.求组合图形面积的方法 (1)分割法:把阴影部分分割成几个基本图形,利用求几个基本图形面积的　和　求出阴影部分的面积。　 (2)添补法:在阴影部分上添补一个基本图形,使其变成另一个基本图形,计算出这个基本图形的面积后　减去　补上的基本图形的面积,从而求出阴影部分的面积。 考●点●讲●练 考点一 平面图形的认识及分类 母题精讲（2025·四川成都·小升初真题）下面说法中，错误的有（    ）。 ①过两点只能画1条直线。 ②大三角形的内角和比小三角形的内角和大。 ③长分别为4cm、5cm、9cm的小棒可以围成三角形。 ④王师傅做的95个零件都合格，合格率是95%。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 举一反三（2024·福建莆田·小升初真题）下列选项中，能用2a＋6表示的是（    ）。 A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 考点二 直线、射线、线段 母题精讲（2025·江西上饶·小升初真题）下列描述错误的有（    ）个。 ①最大的负整数是﹣1。 ②两条直线不是相交就是平行。 ③a＋1＝b（a、b为自然数），它们的最小公倍数是ab。 ④两个等底等高的梯形一定能拼成一个平行四边形。 ⑤物体的高度与影长成正比例关系。 A．2 B．3 C．4 举一反三（2024·河北保定·小升初真题）操作。 （1）画出将圆A先向右平移2格，再向上平移2格后的图形B，平移后圆心的位置用数对表示是（    ）。 （2）过C点作直线O的平行线。 （3）先以P点为顶点画一个等腰三角形D，再画出将等腰三角形绕P点逆时针方向旋转90°后的图形E。 考点三 平行与垂直的特征、性质 母题精讲（2025·山东青岛·小升初真题）如图，∠C＝60°，AB＝BC，∠1＝( )°，三角形ABC按角分是( )三角形，按边分是( )三角形。 举一反三（2025·陕西西安·小升初真题）如图，已知L1平行于L2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝，顶点A，B分别在L1，L2上，当时，( )°。 考点四 长方形的周长计算与应用 母题精讲（2024·重庆渝北·小升初真题）如图所示，正方形ABCD是由1个长方形和3个三角形拼成的。已知正方形的周长是36厘米，求长方形的周长。 举一反三图形变换探究题。 如图1所示，三角形AOB是直角三角形，其中OB＝3，OA＝4，AB＝5，将三角形AOB沿AO翻折180°，得到三角形ABC； （1）请在图2中以BC为一边画一个长方形，使得点A落在BC边的对边上；此时长方形的周长是（    ）。 图1             图2         图3 （2）请在图3中以AC为一边画一个长方形，使得点B落在AC边的对边上；此时长方形的周长是（    ）。 考点五 正方形的周长计算与应用 母题精讲（2022·安徽黄山·小升初真题）如图，若①号正方形面积为100cm2，②号正方形面积为25cm2，那么，大正方形ABCD的周长是( )cm。 举一反三如图，用5个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起，相邻两个正方形的一个角都与另一个正方形的中心点重合。如果所构成图形的周长是180cm，那么，每个正方形的边长是( )cm，整个图形覆盖的面积是( )cm2。 考点六 画指定周长的长方形、正方形 母题精讲下面每个方格的边长表示1厘米。 （1）画一个周长是28厘米的长方形，要求长与宽的比是4∶3。 （2）把你画的长方形分为面积是1∶2的两个小长方形。 举一反三如图，每个小方格表示1平方厘米。   （1）画出一个周长是20厘米，长和宽的比为3∶2的长方形。     （2）再把画的长方形分成一个三角形和一个梯形，使三角形和梯形面积比是1∶2。 考点七 长方形的面积计算与应用 母题精讲（2025·重庆北碚·小升初真题）如图，大、中、小3个正方形的边长分别为8、4、2，那么图中阴影三角形的面积为______。 举一反三（2025·江西吉安·小升初真题）三国时期数学家刘徽提出“出入相补”原理，就是把一个平面图形分割成若干部分后重组，面积的总和保持不变。下面图形的转化中，不符合“出入相补”原理的是（    ）。 A． B． C． D． 考点八 正方形的面积计算与应用 母题精讲（2025·浙江杭州·小升初真题）剪两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，重叠部分所形成的图形如何变化？ 三位同学经过研究后得到以下结论，你的意见是（    ）。 小天：重叠图形的形状在变化，所以面积也在发生变化。 小亮：我选择几个特殊位置试一试，发现重叠图形的面积始终是这个正方形的四分之一。 小丽：通过割补，我发现重叠图形可以变成一个正方形，所以重叠部分的面积不变。 A．小天对 B．小亮对 C．小丽对 D．小亮和小丽都对 举一反三（2025·浙江杭州·小升初真题）图形计算。 请计算该“右转危险区”的面积。（本题取3） 卡车、货车等车身较长的大型车辆在转弯时，驾驶员都会产生视觉盲区，容易造成交通事故，为此设置了“右转危险区”标线。下图中圆弧CD是以F为圆心所画的四分之一圆，圆弧BE是以A为圆心所画的四分之一圆。 考点九 画指定面积的长方形、正方形 母题精讲（2024·福建厦门·小升初真题）按照题目要求，完成下列各题。 （1）如图，将三角形OAB绕点O顺时针旋转90°后得到图形OA'B'，请画出图形OA'B'； （2）请你在方格纸中画出一个与三角形OAB面积相等的长方形。 举一反三（2024·湖南常德·小升初真题）如图每个小方格表示1平方厘米。 （1）图中灰色部分的面积是（    ）平方厘米。 （2）在如图方格纸的上边画一个面积是12平方厘米的长方形。 考点十 平行四边形的面积计算与应用 母题精讲（2025·甘肃兰州·小升初真题）奇奇把一个三角形剪、拼成了一个平行四边形（如下图）。这个三角形的面积是，底是，拼成的平行四边形的高是( )cm。 举一反三（2025·重庆江北·小升初真题）下图中四边形ABCD是梯形，四边形ABED是平行四边形，已知部分面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是___________平方厘米。 考点十一 梯形面积的计算与应用 母题精讲（2025·湖南邵阳·小升初模拟）如图，四边形CDEF是边长为8厘米的正方形，且AB是半圆的半径，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 举一反三（2025·浙江宁波·小升初真题）如图，圆的半径为4dm，四边形OABC为梯形，求阴影部分的面积？ 考点十二 三角形面积的计算与应用 母题精讲（2025·河南商丘·小升初真题）梯形的面积为20，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2。的长为5，那么三角形的面积为（    ）。 A． B． C． D． 举一反三（2025·山东·小升初模拟）下图是由一个三角形和一个平行四边形组成的。已知AG＝8厘米，BF＝5厘米，FB⊥BC，涂色部分的面积是50平方厘米，四边形ABFC的面积是( )平方厘米。 考点十三 三角形的内角和 母题精讲（2025·广东汕头·小升初模拟）一个三角形，三个内角度数的比是3∶1∶1，如果按边分，这个三角形是( )三角形；如果按角分，这个三角形是( )三角形。 举一反三（2025·江西上饶·小升初真题）一个三角形最小的内角是50°，关于这个三角形，正确的说法是（    ）。 A．可能是钝角三角形 B．可能是直角三角形 C．一定是锐角三角形 考点十四 多边形的内角和 母题精讲（2025·江苏淮安·小升初真题）如图1，用正方形纸剪出一个特殊的三角形。 (1)∠1＝________°，∠2＝________°。 (2)通过折、剪，我们得到的这个特殊三角形是________三角形，如果正方形的边长是5厘米，那么这个三角形的周长是________厘米。 (3)如果把这个特殊三角形沿虚线剪去一个角（如图2），那么剩下的四边形中，∠3＋∠4＝________°。 举一反三（2024·重庆璧山·小升初真题）如图，一个五边形的内角和是540°，试一试，推导出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝( )°。 考点十五 三角形的周长的计算与应用 母题精讲（2025·湖南邵阳·小升初模拟）下列说法中，正确的是（    ）。 A．一个班男生的平均身高是130厘米，女生的平均身高是138厘米。如果这个班男生人数比女生人数多，那么这个班学生的平均身高一定小于134厘米 B．把1米长的绳子剪了6次，每段占全长的 C．2025年第一季度有91天 D．一个等腰三角形的周长是40厘米，相邻两边的长度的比是2∶1，这个等腰三角形的腰长可能是10或者16厘米 举一反三（2024·江苏泰州·小升初真题）在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”。以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②。 (1)如果一个边长是27厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③周长是( )厘米。 (2)如果一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是( )厘米。（用含有的式子表示） 考点十六 圆的周长计算及应用 母题精讲（2026·贵州黔东南·小升初模拟）某景区要在一个周长是62.8米的圆形花坛周围修一条1米宽的水泥路，并铺上水泥道砖。铺水泥道的面积是多少平方米？水泥道砖每个平方米30元，买道砖用了多少钱？ 举一反三（2025·甘肃平凉·小升初模拟）把一个圆柱的侧面展开后得到一个正方形。若这个圆柱的底面半径是5厘米，那么它的高是( )厘米，这个圆柱的体积是( )立方厘米。 考点十七 圆的面积计算及应用 母题精讲（2025·重庆江北·小升初真题）求圆中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比。 举一反三（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是( )平方厘米。（π取3.14） 考点十八 圆环的面积 母题精讲（2025·新疆克拉玛依·小升初真题）某开发区的大标语牌上要画出如下图所示的三种标点符号：句号、逗号、问号。已知大圆半径都为，小圆半径都为，且。若均匀用料，画哪个标点符号油漆用得多？（作简要说明） 举一反三（2025·广东湛江·小升初真题）一台圆柱体扫地机器人底面直径6dm，一座美术馆大厅柱子直径14dm，这台机器人绕着柱子清扫一圈，则机器人走过的路径长为62.8dm它扫过的面积是28.26dm2。( )（判断对错） 考点十九 方中圆和圆中方的面积问题 母题精讲（2024·福建泉州·小升初真题）如图三个图，都是在边长2分米的正方形内画半圆或圆。 （1）它们的阴影面积相等么？请说明理由。 （2）我选择第 图，计算出阴影面积占正方形面积的。 举一反三（2024·江苏泰州·小升初真题）中国古代建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。仔细观察如图，可以通过计算发现外方、圆、内方的面积比是（    ）。其实，只要把内方绕它的中心旋转一下，就能清楚地看出外方和内方之间的关系，请画出旋转后的内方。 考点二十 含圆的组合图形的周长 母题精讲（2025·湖南邵阳·小升初模拟）如下图，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 举一反三（2025·江西上饶·小升初真题）小军喜欢剪纸，他在边长为8cm的正方形纸片上剪了个造型，如图，阴影部分的周长是（    ）。 A．16π＋4 B．16（π＋2） C．8（π＋4） 考点二十一 含圆的组合图形的面积 母题精讲（2025·浙江宁波·小升初真题）下图中，O为大圆的圆心，大圆的半径为4厘米，则A与B的面积比为( )，B的周长是( )厘米。 举一反三（2025·吉林长春·小升初真题）已知：线段AB＝40cm。 （1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以3厘米/秒运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以5厘米/秒运动，问经过几秒后P、Q相遇？ （2）几秒钟后，P、Q相距16cm？ （3）如图2，AO＝PO＝8厘米，∠POB＝40°，点P绕着点O以20度/秒的速度顺时针旋转一周停止，同时点Q沿直线AB，自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q运动的速度。 考点二十二 扇形的周长和面积 母题精讲（2025·河南郑州·小升初真题）求阴影部分面积。 （1） （2） 举一反三（2025·北京丰台·小升初真题）（1）三角形ABC，顶点C的位置是（1，5）。先画出三角形ABC，再画出把它按2∶1放大后的三角A'B'C'。 （2）以B'为圆心，在三角形A'B'C'内，画出一个最大的扇形。 （3）如果每个小方格的边长表示1厘米，画出的扇形面积是（    ）平方厘米。 考点二十三 画圆及扇形 母题精讲（2025·江西吉安·小升初真题）按要求在下面的方格图中画图并完成填空。（每个小方格的边长表示1cm。） (1)画出①号图形向下平移5格后的图形； (2)画出①号图形绕A点逆时针旋转90°后的图形； (3)分别画出从上面、前面、左面看右图的图形； (4)以点（19，11）为圆心画一个直径6cm的圆，并标出圆心。 举一反三（2025·湖北武汉·小升初真题）①画出三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的图形。 ②画出三角形ABC按2∶1放大后的图形。 ③在方格图上找一个点作为圆心，并用字母O标注，然后画一个圆，使点D、E、F、G都在这个圆上。 考点二十四 求组合图形中阴影部分的面积 母题精讲（2025·河南郑州·小升初真题）如图，分别以正方形的三条边为直径画了三个半圆，那么，正方形的面积与阴影部分面积的比是（    ）。 A．3∶1 B．4∶1 C．3∶2 D．2∶1 举一反三（2025·河北石家庄·小升初真题）求图中阴影部分的面积。 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．（2025·山东·小升初模拟）一个半圆的半径为r厘米，直径为d厘米。这个半圆的周长是（    ）厘米。 A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·小升初真题）如图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，阴影的一段边缘是半径为6厘米的圆弧，阴影部分的面积等于（    ）平方厘米。（取π＝3.14，精确至0.01平方厘米） A．36.46 B．48 C．20.6 D．40.26 3．一个圆柱的侧面展开后是正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（    ）。 A．2π∶1 B．1∶1 C．1∶π D．π∶1 4．（2025·湖南永州·小升初真题）一个三角形，三个内角的度数比是，这是一个( )三角形。 5．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）如图，在正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，4为半径作圆弧。以C为圆心，6为半径作圆弧。若图中阴影部分的面积分别为S1、S2时，则______。（结果保留π） 6．（2023·贵州黔西南·小升初真题）求下面图形涂色部分的面积。 7．（2026·贵州黔东南·小升初模拟）求下图阴影部分的面积。 8．（2024·黑龙江大兴安岭·小升初真题）北京天坛公园是北京著名的景点，公园里的皇穹宇的围墙俗称回音壁（如图），是闻名世界的声学奇迹。回音壁的墙高约4米，墙内的直径约60米。墙内景区的面积约有多大？ 9．（2025·湖北黄石·小升初真题）如图是三位同学探索五边形的内角和时的想法，你最喜欢哪种？请你任选其中两种想法，并计算出五边形的内角和。 (1)我选择想法( )，算式：( )。 (2)我选择想法( )，算式：( )。 10．（2025·河南商丘·小升初真题）图形与操作。 (1)按要求在图中画一画。 (2)计算变化后图形中阴影部分的面积。 (3)你能求出原图中阴影部分的周长吗？试一试。 【思维拓展拔尖】 1．要剪一个面积是12.56平方厘米的圆形纸片，至少需要面积是（    ）平方厘米的正方形纸片。 A．12.56 B．16 C．20 2．在一个正方形里画一个最大的圆，这个圆的面积是正方形面积的（    ）。 A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·小升初真题）图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的。已知图2中阴影部分的面积和为15平方厘米，那么原三角形的面积是（    ）平方厘米。 A．26 B．27 C．28 D．29 4．（2025·重庆江北·小升初真题）如图，直角的斜边，以点为中心，将顺时针旋转，点分别到达点，则边扫过的面积（即图中阴影部分面积）是( )。（取3） 5．（2025·山东青岛·小升初真题）下图是两个完全相同的等腰直角三角形，甲和乙分别是等腰直角三角形的两种不同的内接正方形，则图中甲与乙的面积比是( )。 6．（2025·重庆江北·小升初真题）在一个圆形时钟的表面，为指针的旋转中心，表示秒针，表示分针，若现在的时间恰好是14点整，当的面积刚好达到最大值时，经过( )秒。 7．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，求阴影部分的面积。 8．（2025·湖北黄石·小升初真题）健身房内有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面直径是40厘米，高是1.2米。在一次训练中，沙子全部流到地上形成了一个高50厘米的近似圆锥形沙堆，这个沙堆的占地面积是多少平方米？（结果保留两位小数） 9．（2025·甘肃兰州·小升初真题）王老师骑自行车从家到学校要10分钟，_____，王老师家到学校的路程是多少米？ ①自行车车轮的外直径是70厘米。 ②早上7：30从家出发。 ③王老师步行大约要半小时。 ④车轮每分钟转100圈。 (1)要解决上面的问题，应该选择方框中的信息( )（填序号）。 (2)列式解答。 10．（2025·重庆北碚·小升初真题）如图所示，四边形中和四边形都是正方形，，连接，与相交于点，与相交于点，如果正方形的面积是1，那么三角形的面积是多少？ 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•全国通用 专题08 平面图形的认识与测量 （必备知识&二轮复习+考点清单 全国通用） 【解析版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01 知识点01 线和角的认识 知识点02 三角形的认识与测量 知识点03 四边形的认识与测量 知识点04 圆的周长和面积 知识点05 组合图形的面积 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点序列 考点名称 考点一 平面图形的认识及分类 考点十三 三角形的内角和 考点二 直线、射线、线段 考点十四 多边形的内角和 考点三 平行与垂直的特征、性质 考点十五 三角形的周长的计算与应用 考点四 长方形的周长计算与应用 考点十六 圆的周长计算及应用 考点五 正方形的周长计算与应用 考点十七 圆的面积计算及应用 考点六 画指定周长的长方形、正方形 考点十八 圆环的面积 考点七 长方形的面积计算与应用 考点十九 方中圆和圆中方的面积问题 考点八 正方形的面积计算与应用 考点二十 含圆的组合图形的周长 考点九 画指定面积的长方形、正方形 考点二十一 含圆的组合图形的面积 考点十 平行四边形的面积计算与应用 考点二十二 扇形的周长和面积 考点十一 梯形面积的计算与应用 考点二十三 画圆及扇形 考点十二 三角形面积的计算与应用 考点二十四 求组合图形中阴影部分的面积 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 线和角的认识 知识必备 1.线段、直线、射线的特点 (1)线段有两个端点,可以度量长度;射线只有一个端点,它可以向一端无限延伸,不可以度量长度;直线　没有　端点,它可以向两端无限延伸,不能度量长度。  (2)两点之间线段最短。  2.垂直与平行 (1)同一平面内,两条直线的位置关系是平行和相交　。如果两条直线相交成　直角　,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足。过直线外一点只能画一条已知直线的垂线。  (2)平行线之间的距离处处相等;点到直线的所有连线中,垂线段最短。 3.角 (1) 由一点出发的两条射线组成的图形叫角;角的大小与两边的画出的长短　无关,与两边张开的大小有关。  (2)角的分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 大于0。 小于90。 90。 大于90。 小于180。 180° 360° 知识点02 三角形的认识与测量 知识必备 1.三角形的认识 (1)三角形的特殊性质:三角形具有稳定性　。  (2)三角形三边关系:在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 (3)三角形的分类:三角形按角分,分为　锐角三角形、直角三角形和钝角　三角形;按边分,分为特殊三角形和一般三角形。等腰三角形和等边三角形是特殊三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。  (4)三角形的内角和是（ 180° ) 2.三角形的面积 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,这个平行四边形的底就是三角形的底,所拼成平行四边形的高就是三角形的高。每个三角形的面积是所拼成平行四边形面积的一半。因为平行高四边形的面积=底×高　,所以三角形的面积=　底×高　,用字母 表示为: S=ah 。 知识点03 四边形的认识与测量 知识必备 1.四边形的认识 (1)四边形的特殊性质:不稳定,易变形　 。  (2)平行四边形两组对边分别平行且相等,梯形只有一组对边　平行　。 2.四边形的测量 (1)平行四边形的面积:平行四边形可以割补成一个长方形,这个长方形的长就是平行四边形的底　,这个长方形的宽就是平行四边形的高　,长方形的面积=长×宽,因此平行四边形的面积=底×高　,用字母表示为: S=ah　。 (2)梯形的面积:两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。这个平行四边形的底是原梯形的上底与下底之和,这个平行四边形的高是原梯形的高　。所拼成的平行四边形的面积就是（上底+下底）×高　,而原来的一个梯形的面积是拼成平行四边形面积的一半,所以梯形的面积=　(上底+下底)×高÷2　,用字母表示为:　S=(a+b)×h÷2　。 知识点04 圆的周长和面积 知识必备 1.圆的周长 (1)圆周率:圆的周长与直径的比值叫作圆周率。圆周率用希腊字母“π”表示,它是一个无限不循环 小数。经过精密计算:π=3.1415926…在小学数学中,我们常常取圆周率的近似值3.14 (2)圆的周长=圆周率×直径或圆周率×半径×2　用字母表示为:C=πd或2πr　 2.圆的面积:把一个圆平均分成若干份,剪开后拼成一个近似的平行四边形,如果分的份数越多,拼成的图形越接近长方形,这个近似长方形的长等于圆周长的一半,宽等于圆的半径 ,由此圆的面积S=πr2　 3.圆环的面积 (1)同一个圆心的两个半径不相等的圆,它们之间的部分叫作　圆环　 (2)面积公式:　S=πR2-πr2　 知识点05 组合图形的面积 知识必备 1.求组合图形面积的方法 (1)分割法:把阴影部分分割成几个基本图形,利用求几个基本图形面积的　和　求出阴影部分的面积。　 (2)添补法:在阴影部分上添补一个基本图形,使其变成另一个基本图形,计算出这个基本图形的面积后　减去　补上的基本图形的面积,从而求出阴影部分的面积。 考●点●讲●练 考点一 平面图形的认识及分类 母题精讲（2025·四川成都·小升初真题）下面说法中，错误的有（    ）。 ①过两点只能画1条直线。 ②大三角形的内角和比小三角形的内角和大。 ③长分别为4cm、5cm、9cm的小棒可以围成三角形。 ④王师傅做的95个零件都合格，合格率是95%。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】①直线的性质：经过两个点可以画一条直线，并且只能画一条直线（两点确定一条直线）。 ②三角形内角和为180°。 ③三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边。 ④合格率＝合格数量÷总数量×100%。 据此逐项判断即可。 【规范解答】①过两点只能画1条直线。该说法正确。 ②大三角形的内角和与小三角形的内角和都是180°。该说法错误。 ③4cm＋5cm＝9cm，这三根小棒不能围成三角形。该说法错误。 ④95÷95×100%＝1×100%＝100%，95个零件都合格，合格率是100%。该说法错误。 故答案为：C 举一反三（2024·福建莆田·小升初真题）下列选项中，能用2a＋6表示的是（    ）。 A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 【答案】C 【思路引导】2a＋6表示2个相同的数量a与6的和，长方形周长是长的2倍与宽的2倍的和，面积等于长乘宽，据此逐项分析解答。 【规范解答】A．整条线段长是三小段线段长度的和2＋a＋6化简后是a＋8； B．整条线段长是三小段线段长度的和a＋6＋6化简后是a＋12； C．长方形的周长是2a＋3×2化简后是2a＋6； D．长方形的面积是2×a＋3×a化简后是5a。 故答案为：C 考点二 直线、射线、线段 母题精讲（2025·江西上饶·小升初真题）下列描述错误的有（    ）个。 ①最大的负整数是﹣1。 ②两条直线不是相交就是平行。 ③a＋1＝b（a、b为自然数），它们的最小公倍数是ab。 ④两个等底等高的梯形一定能拼成一个平行四边形。 ⑤物体的高度与影长成正比例关系。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【思路引导】①最大的负整数是﹣1，最小的正整数是1，0既不是正数也不是负数，以此判断正误。 ②在同一个平面内，两条直线不是相交就是平行，以此判断正误。 ③若a＋1＝b（a、b为自然数），则a与b互质，互为质数的两个数最大公因数为1，最小公倍数为ab，以此判断正误。 ④两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，以此判断正误。 ⑤在同一时间、同一地点，物体的高度和影长的比值是一定的，以此判断正误。 【规范解答】①最大的负整数是﹣1，①正确。 ②同一平面内，两条直线不是相交就是平行，②错误。 ③a＋1＝b（a、b为自然数），a与b互质，所以它们的最小公倍数是ab，③正确。 ④两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，④错误。 ⑤在同一时间、同一地点，物体的高度和影长的比值是一定的（因为太阳光线的角度是固定的），⑤错误。 描述错误的有3个。 故答案为：B 举一反三（2024·河北保定·小升初真题）操作。 （1）画出将圆A先向右平移2格，再向上平移2格后的图形B，平移后圆心的位置用数对表示是（    ）。 （2）过C点作直线O的平行线。 （3）先以P点为顶点画一个等腰三角形D，再画出将等腰三角形绕P点逆时针方向旋转90°后的图形E。 【答案】（1）图见详解；（4，5） （2）（3）见详解 【思路引导】（1）根据平移的特征，将圆A的圆心先向右平移2格，再向上平移2格后画出平移后的圆。数对的表示方法：（列数，行数），数对的第一个数表示列，第二个数表示行，找出平移后的圆心在方格中对应的列数和行数，再用数对表示出来。 （2）根据画平行线的步骤“一贴、二靠、三推、四画”，把三角板的一条直角边与已知直线O重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和C点重合，过C点沿三角板的直角边画直线即可。 （3）等腰三角形是有两条边相等的三角形。先以点P为顶点画一个等腰三角形，然后根据旋转的特征，将三角形绕点P逆时针旋转90°，点P的位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 【规范解答】（1）画出将圆A先向右平移2格，再向上平移2格后的图形B，平移后圆心的位置用数对表示是（4，5）。 （1）（2）（3）如图： 考点三 平行与垂直的特征、性质 母题精讲（2025·山东青岛·小升初真题）如图，∠C＝60°，AB＝BC，∠1＝( )°，三角形ABC按角分是( )三角形，按边分是( )三角形。 【答案】 45 锐角 等边 【思路引导】根据题意，明确三角形的内角和是180°，已知∠C＝60°，AB＝BC，等腰三角形的两个底角相等，所以∠C＝∠A＝60°，三角形的另一个角就是180°减去60°，再减去60°等于60°；三个角均小于90°的三角形是锐角三角形；用180°减去75°和60°得到∠1的度数，等边三角形的三条边相等，三个角也相等。 【规范解答】180°－60°－60° ＝120°－60° ＝60° ∠1＝180°－60°－75° ＝120°－75° ＝45° ∠1＝45°，三角形ABC按角分是锐角三角形，按边分是等边三角形。 举一反三（2025·陕西西安·小升初真题）如图，已知L1平行于L2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝，顶点A，B分别在L1，L2上，当时，( )°。 【答案】65 【思路引导】步骤1：明确等腰直角三角形的角：等腰直角三角形中，除了直角，另外两个角和都是（因为等腰，所以两个底角相等；又因为三角形内角和，所以。 步骤2：看和三角形的角的关系：想象把和“拼”在一起，因为与平行，所以从到的“倾斜程度”是一致的。上下两个角相等都是70°，，那这两个角加起来的大角是。 步骤3：求：因为是一条直线（平角），所以和刚才的“大角”加起来是，因此。 【规范解答】 ＝90÷2 ＝45° 如图，已知平行于，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝，顶点A，B分别在，上，当时，。 【考点剖析】解题关键是结合等腰直角三角形的角的特征（底角），利用平行线对应的“平角背景”，通过角的和差关系求出的度数。 考点四 长方形的周长计算与应用 母题精讲（2024·重庆渝北·小升初真题）如图所示，正方形ABCD是由1个长方形和3个三角形拼成的。已知正方形的周长是36厘米，求长方形的周长。 【答案】18厘米 【思路引导】由题意可得，两个三角形都是等腰直角三角形，线段AG＝线段GF＝长方形的宽，线段GB＝长方形的长，线段AG（线段GF）＋线段GB＝正方形的边长，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，所以长方形的周长是正方形两条边长的和，用正方形的周长÷4＝边长，再边长乘2即可。 【规范解答】36÷4＝9（厘米） 9×2＝18（厘米） 答：长方形的周长是18厘米。 【考点剖析】明确所求图形周长与已知图形周长间的关系是解决本题的关键。 举一反三图形变换探究题。 如图1所示，三角形AOB是直角三角形，其中OB＝3，OA＝4，AB＝5，将三角形AOB沿AO翻折180°，得到三角形ABC； （1）请在图2中以BC为一边画一个长方形，使得点A落在BC边的对边上；此时长方形的周长是（    ）。 图1             图2         图3 （2）请在图3中以AC为一边画一个长方形，使得点B落在AC边的对边上；此时长方形的周长是（    ）。 【答案】（1）作图见详解；周长是：20 （2）作图见详解；周长是：19.6 【思路引导】（1）有图1可知，三角形ABC的底BC长是6，高AO是4；先在BC上方画与BC等长并且经过点A的平行线段DE，再连接BE与DC，使它们都垂直于DE，据此作图；此时长方形的长是BC和DE，长度为6；宽是BE和CD，与三角形ABC的高相等长度是4；再根据公式：长方形周长＝（长＋宽）×2，计算出周长。 （2）先在AC左下方画与AC等长并且经过点B的平行线段FG，再作连接AG与CF垂线段，即可画出长方形；此时长方形的长是AC和FG，长度是5；根据三角形的等面积法求宽AG；因为三角形ABC的面积：以AB为底时，高是AO；以AC为底时，AG是高；根据面积公式：AB×AO×＝AC×AG×，可得AG＝AB×AO÷AC；据此求出长方形的宽AG的长，再计算周长即可。 【规范解答】（1）作图如下： 周长：（6＋4）×2 ＝10×2 ＝20 （2）作图如下： 宽：6×4÷5 ＝24÷5 ＝4.8 （4.8＋5）×2 ＝9.8×2 ＝19.6 【考点剖析】此题考查了学生的作图能力以及三角形等面积求出边长的方法。 考点五 正方形的周长计算与应用 母题精讲（2022·安徽黄山·小升初真题）如图，若①号正方形面积为100cm2，②号正方形面积为25cm2，那么，大正方形ABCD的周长是( )cm。 【答案】60 【思路引导】大正方形ABCD的边长等于①号正方形的边长加②号正方形边长的和，根据正方形的面积公式，即可求出①号正方形和②号正方形的边长，再根据正方形的周长公式求出大正方形ABCD的周长即可。 【规范解答】10×10＝100（cm2），所以①号正方形的边长是10cm； 5×5＝25（cm2），所以②号正方形的边长是5cm； （10＋5）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 所以大正方形ABCD的周长是60cm。 【考点剖析】此题考查了对正方形的面积公式和周长公式的灵活运用。 举一反三如图，用5个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起，相邻两个正方形的一个角都与另一个正方形的中心点重合。如果所构成图形的周长是180cm，那么，每个正方形的边长是( )cm，整个图形覆盖的面积是( )cm2。 【答案】 15 900 【思路引导】如图，用5个相同的正方形纸片所叠成的图形的周长是图形的蓝色线段，它是三个正方形的周长，由此除以3即可先求出一个正方形的周长，再根据边长＝周长÷4，即可求出正方形的边长；图形中重叠的是4个红色小正方形的面积，相当于一个大正方形的面积，整个图形覆盖的面积＝5个正方形的面积－4个红色小正方形的面积＝4个正方形的面积，根据正方形面积＝边长×边长即可求解。 【规范解答】 （厘米） （平方厘米） （平方厘米） 则每个正方形的边长是15cm，整个图形覆盖的面积是900cm2。 【考点剖析】解决本题的关键是能根据覆盖后图形的周长求出正方形的边长。 考点六 画指定周长的长方形、正方形 母题精讲下面每个方格的边长表示1厘米。 （1）画一个周长是28厘米的长方形，要求长与宽的比是4∶3。 （2）把你画的长方形分为面积是1∶2的两个小长方形。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）根据长方形的周长计算公式“C＝2（a＋b）”，28÷2＝14（厘米），即所画长方形的长、宽之和为14厘米。把14厘米平均分成（4＋3）份，先根据除法求出1份是多少厘米，再用乘法分别求出4份（长方形长）、3份（长方形宽）各是多少厘米，然后即可画出此长方形； （2）然后再把这个长方形平均分成（1＋2）份，每份都是长方形，其中一部分为1份，1部分为2份即可。 【规范解答】（1）28÷2＝14（厘米） 14÷（4＋3） ＝14÷7 ＝2（厘米） 2×4＝8（厘米） 2×3＝6（厘米） 即所画长方形长是8厘米，宽是6厘米，据此可画出这个长方形。 （2）再把这个长方形分成1∶2的两个小长方形。 如下图： 【考点剖析】根据周长画长方形，关键是根据长方形周长计算公式求出长方形的长、宽，然后再根据按比例分配求出长方形的长、宽，结合要求画图即可。 举一反三如图，每个小方格表示1平方厘米。   （1）画出一个周长是20厘米，长和宽的比为3∶2的长方形。     （2）再把画的长方形分成一个三角形和一个梯形，使三角形和梯形面积比是1∶2。 【答案】见详解 【思路引导】（1）根据长方形周长公式：（长＋宽）×2，求出长和宽的和，然后按照3∶2的比，分别求出长方形的长和宽，以此进行画图即可； （2）按照长方形面积公式：长×宽，求出长方形面积，再按照1∶2求出三角形的面积，根据三角形面积公式：底×高÷2，求出三角形的高，最后将长方形分成一个三角形和一个梯形即可。 【规范解答】（1）20÷2＝10（厘米）   10÷（3＋2） ＝10÷5 ＝2（厘米） 2×3＝6（厘米） 2×2＝4（厘米） 即所画长方形的长是6厘米，宽是4厘米（画图如下）。 （2）6×4＝24（平方厘米） 24÷（1＋2） ＝24÷3 ＝8（平方厘米） 8×2÷4＝4（厘米） 即三角形的高是4厘米，底是4厘米， 把画的长方形分成一个三角形和一个梯形，使三角形和梯形面积比是1∶2（下图）。 【考点剖析】此题主要考查了学生对长方形周长公式、面积公式以及三角形、梯形面积和画法的掌握与理解。 考点七 长方形的面积计算与应用 母题精讲（2025·重庆北碚·小升初真题）如图，大、中、小3个正方形的边长分别为8、4、2，那么图中阴影三角形的面积为______。 【答案】16 【思路引导】加辅助线后，用长方形的面积减去左上、右上、右下三角形的面积，即可求得阴影三角形的面积。 【规范解答】加辅助线如图： 图中阴影三角形的面积为 ＝8×10－32－－2 ＝80－32－30－2 ＝16 【考点剖析】本题重点在于加辅助线后，将求找不到底和高的三角形的面积变为用长方形减去三个直角三角形的面积，即可求得阴影三角形的面积。 举一反三（2025·江西吉安·小升初真题）三国时期数学家刘徽提出“出入相补”原理，就是把一个平面图形分割成若干部分后重组，面积的总和保持不变。下面图形的转化中，不符合“出入相补”原理的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】依据“出入相补”原理，就是把一个平面图形分割成若干部分后重组，面积的总和保持不变，即可解答。 【规范解答】A．梯形面积经过“出入相补”原理后和平行四边形面积相等，符合题意； B．平行四边形的底和长方形的长相同，平行四边形的高小于长方形的宽，不符合题意； C．圆面积经过“出入相补”原理后和平行四边形面积相等，符合题意； D．三角形面积经过“出入相补”原理后和长方形面积相等，符合题意。 综上，只有B选项不符合“出入相补”原理。 故答案为：B 【考点剖析】“出入相补” 原理：图形分割重组后面积总和不变。 考点八 正方形的面积计算与应用 母题精讲（2025·浙江杭州·小升初真题）剪两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形，重叠部分所形成的图形如何变化？ 三位同学经过研究后得到以下结论，你的意见是（    ）。 小天：重叠图形的形状在变化，所以面积也在发生变化。 小亮：我选择几个特殊位置试一试，发现重叠图形的面积始终是这个正方形的四分之一。 小丽：通过割补，我发现重叠图形可以变成一个正方形，所以重叠部分的面积不变。 A．小天对 B．小亮对 C．小丽对 D．小亮和小丽都对 【答案】D 【思路引导】正方形的中心到各边的距离相等，且等于边长的一半。设原正方形边长为a，中心到边的距离为a。 当两个正方形边平行时，重叠部分为小正方形，此时重叠部分面积为a×a＝，是原正方形面积的； 不管旋转的角度是多少，从正方形中心点作两边的垂线，通过割补将重叠部分转化为正方形，所以重叠部分面积是原正方形面积的，始终不变。 【规范解答】根据分析可知： 在旋转过程中，重叠部分的形状会不断变化，但面积不变，小天说法错误； 重叠部分为小正方形，发现重叠图形的面积始终是这个正方形的四分之一，小亮说法正确； 通过割补重叠图形可以变成一个正方形，所以重叠部分的面积不变，始终是这个正方形的四分之一，小丽说法正确。 因此，小亮和小丽的说法都对。 故答案为：D 举一反三（2025·浙江杭州·小升初真题）图形计算。 请计算该“右转危险区”的面积。（本题取3） 卡车、货车等车身较长的大型车辆在转弯时，驾驶员都会产生视觉盲区，容易造成交通事故，为此设置了“右转危险区”标线。下图中圆弧CD是以F为圆心所画的四分之一圆，圆弧BE是以A为圆心所画的四分之一圆。 【答案】21平方米 【思路引导】如图所示，延长ED、BC交于点G，①的面积等于正方形CFDG的面积减去小扇形的面积，小扇形的面积等于半径为4米圆面积的，②的面积等于半径为10米圆面积的，“右转危险区”的面积＝正方形ABGE的面积－①的面积－②的面积，据此解答。 【规范解答】 ①的面积：4×4－3×42× ＝16－3×16× ＝16－3×（16×） ＝16－3×4 ＝16－12 ＝4（平方米） ②的面积：3×102× ＝3×100× ＝3×（100×） ＝3×25 ＝75（平方米） “右转危险区”的面积：10×10－4－75 ＝100－4－75 ＝96－75 ＝21（平方米） 所以，“右转危险区”的面积是21平方米。 【考点剖析】本题主要考查含圆的组合图形面积的计算方法，分析图形求出①的面积和②的面积是解答题目的关键。 考点九 画指定面积的长方形、正方形 母题精讲（2024·福建厦门·小升初真题）按照题目要求，完成下列各题。 （1）如图，将三角形OAB绕点O顺时针旋转90°后得到图形OA'B'，请画出图形OA'B'； （2）请你在方格纸中画出一个与三角形OAB面积相等的长方形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 （2）三角形面积＝底×高÷2，长方形面积＝长×宽，据此先求出三角形面积，再确定长方形的长和宽，作图即可。 【规范解答】（1）作图如下： （2）3×4÷2＝6 6＝3×2 画出的长方形长3格，宽2格即可，作图如下： （长方形画法不唯一） 举一反三（2024·湖南常德·小升初真题）如图每个小方格表示1平方厘米。 （1）图中灰色部分的面积是（    ）平方厘米。 （2）在如图方格纸的上边画一个面积是12平方厘米的长方形。 【答案】（1）9 （2）见详解 【思路引导】（1）数出小方格的个数，乘1即可求解； （2）画一个长为6厘米、宽为2厘米的长方形即可。（本题画法不唯一） 【规范解答】（1）9×1＝9（平方厘米） 图中灰色部分的面积是9平方厘米。 （2）如图：2×6＝12（平方厘米） （答案不唯一）。 考点十 平行四边形的面积计算与应用 母题精讲（2025·甘肃兰州·小升初真题）奇奇把一个三角形剪、拼成了一个平行四边形（如下图）。这个三角形的面积是，底是，拼成的平行四边形的高是( )cm。 【答案】3.6// 【思路引导】图形剪拼过程中，面积不变，底也不变，即三角形底和平行四边形的底相等，面积相等，平行四边形高＝面积÷底。 【规范解答】平行四边形面积＝三角形面积＝21.6cm²，平行四边形底＝三角形的底＝6cm，则平行四边形高为： 21.6÷6＝3.6（cm） 举一反三（2025·重庆江北·小升初真题）下图中四边形ABCD是梯形，四边形ABED是平行四边形，已知部分面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是___________平方厘米。 【答案】4 【思路引导】此题需要添加一条辅助线，先连接AE，根据平行四边形两个已知部分的面积计算出平行四边形的面积，再求出三角形AED的面积，三角形AED的面积等于与它等底等高的平行四边形，即平行四边形ABED的面积的一半。由题意可知，三角形AED和三角形ACD是等底等高的三角形，面积相等。阴影部分的面积等于三角形ACD的面积减去8。 【规范解答】如图：平行四边形ABED的面积是16＋8＝24（平方厘米） 连接AE，三角形AED的面积是24÷2＝12（平方厘米） 四边形ABCD是梯形，所以AD∥BC，所以三角形AED和三角形ACD是等底等高的三角形，面积相等。 阴影部分的面积是12－8＝4（平方厘米） 【考点剖析】此题考查以下两个核心知识点： 1.三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半，即平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形； 2.平行线间的距离处处相等，因此以平行线间线段为底的三角形的高相等，等底等高的三角形面积相等。 考点十一 梯形面积的计算与应用 母题精讲（2025·湖南邵阳·小升初模拟）如图，四边形CDEF是边长为8厘米的正方形，且AB是半圆的半径，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】11.44平方厘米 【思路引导】由图可知，阴影部分面积＝梯形ABCD的面积－圆的面积，同时AB＝BC＝正方形边长的一半＝8÷2＝4厘米，即梯形的上底为4厘米，下底为8厘米，高为4厘米，圆的半径为4厘米，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积＝，代入数据计算即可。 【规范解答】8÷2＝4（厘米） （4＋8）×4÷2 ＝12×4÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） ×3.14×42 ＝×3.14×16 ＝×16×3.14 ＝4×3.14 ＝12.56（平方厘米） 24－12.56＝11.44（平方厘米） 阴影部分的面积是11.44平方厘米。 举一反三（2025·浙江宁波·小升初真题）如图，圆的半径为4dm，四边形OABC为梯形，求阴影部分的面积？ 【答案】45.12dm2 【思路引导】阴影部分的面积等于圆面积加上右下角不规则图形的面积，右下角不规则图形的面积等于直角梯形的面积减去圆面积，根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2以及圆面积＝πr2”即可解答本题。 【规范解答】×3.14×42＋（4＋6）×4÷2－ ＝3×3.14×4＋10×2－3.14×4 ＝37.68＋20－12.56 ＝45.12（dm2） 阴影部分的面积是45.12dm2。 【考点剖析】阴影部分的面积等于圆面积加上右下角不规则图形的面积，右下角不规则图形的面积等于直角梯形的面积减去圆面积。 考点十二 三角形面积的计算与应用 母题精讲（2025·河南商丘·小升初真题）梯形的面积为20，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2。的长为5，那么三角形的面积为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据两个平行线之间的距离相等，且在梯形ABCD中，即三角形ADE和三角形ABE的高相等，三角形的面积是三角形面积的2倍，则，根据三角形的面积＝底×高×可以得出这两个三角形的底相等，即AD＝4。 EC＝5，则BC＝BE＋EC＝7，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高×，列出方程，得出梯形的高是。则三角形DEC的面积＝EC×高×，代入数据计算即可。 【规范解答】根据题意假设高为h。 因为， 即 则 因为，则 三角形DEC的面积 故答案为：A 举一反三（2025·山东·小升初模拟）下图是由一个三角形和一个平行四边形组成的。已知AG＝8厘米，BF＝5厘米，FB⊥BC，涂色部分的面积是50平方厘米，四边形ABFC的面积是( )平方厘米。 【答案】130 【思路引导】从图中可以看出，三角形BFC与平行四边形BCDE等底等高，那么三角形BFC的面积是平行四边形面积的一半；因为涂色部分的面积＝平行四边形的面积－三角形BFC的面积，那么涂色部分的面积也等于平行四边形面积的一半，所以三角形BFC的面积等于涂色部分的面积50平方厘米；根据三角形的底＝面积×2÷高，据此求出BC的长度以及三角形ABC的面积；最后把三角形ABC的面积加上三角形BFC的面积，求出四边形ABFC的面积。 【规范解答】BC的长度： 50×2÷5 ＝100÷5 ＝20（厘米） 三角形ABC的面积：20×8÷2＝80（平方厘米） 四边形ABFC的面积：80＋50＝130（平方厘米） 考点十三 三角形的内角和 母题精讲（2025·广东汕头·小升初模拟）一个三角形，三个内角度数的比是3∶1∶1，如果按边分，这个三角形是( )三角形；如果按角分，这个三角形是( )三角形。 【答案】 等腰 钝角 【思路引导】根据比的意义，三个内角的度数比是3∶1∶1，说明有两个角的度数相等，两底角相等的三角形是等腰三角形。 用内角和180°乘最大角的对应的分率即可求出最大角，若最大角为钝角，则这个三角形是钝角三角形；若最大角为直角，则这个三角形是直角三角形；若最大角为锐角，则这个三角形是锐角三角形。 【规范解答】三个内角的度数比是3∶1∶1，说明有两个角的度数相等，两底角相等的三角形是等腰三角形； ，则这个三角形的最大角为钝角； 一个三角形，三个内角度数的比是3∶1∶1，如果按边分，这个三角形是等腰三角形；如果按角分，这个三角形是钝角三角形。 举一反三（2025·江西上饶·小升初真题）一个三角形最小的内角是50°，关于这个三角形，正确的说法是（    ）。 A．可能是钝角三角形 B．可能是直角三角形 C．一定是锐角三角形 【答案】C 【思路引导】由三角形的内角和180°和其最小的内角是50°，求出另外两个角的和，可假设另外两个角较小角最小为 50°，即可求得最大角的角度，进而判断三角形是什么三角形。 【规范解答】因为180°－50°＝130°，所以另外两个角的和是130°。假设另外两个角中还有一个是50°，则最大的内角是130°－50°＝80°，所以这个三角形一定是锐角三角形。 故答案为：C 考点十四 多边形的内角和 母题精讲（2025·江苏淮安·小升初真题）如图1，用正方形纸剪出一个特殊的三角形。 (1)∠1＝________°，∠2＝________°。 (2)通过折、剪，我们得到的这个特殊三角形是________三角形，如果正方形的边长是5厘米，那么这个三角形的周长是________厘米。 (3)如果把这个特殊三角形沿虚线剪去一个角（如图2），那么剩下的四边形中，∠3＋∠4＝________°。 【答案】(1) 30 60 (2) 等边 15 (3)240 【思路引导】（1）根据图形折叠，可知最后剪下来的是等边三角形，等边三角形的每个内角都是60度，即∠2＝60°，根据折叠性质即可求出∠1＝60°÷2＝30°； （2）根据等边三角形的性质可知，三边相等，都等于正方形边长，根据封闭图形一周的长度即为周长，据此即可求出三角形的周长； （3）根据等边三角形的性质可知三个内角都是60°，而四边形的内角和是360°，据此即可求出∠3和∠4的度数和。据此解答。 【规范解答】（1）∠2＝60°。∠1＝60°÷2＝30° 所以∠1＝30°，∠2＝60°。 （2）5×3＝15（厘米） 通过折、剪，我们得到的这个特殊三角形是等边三角形，如果正方形的边长是5厘米，那么这个三角形的周长是15厘米。 （3）∠3＋∠4＝360°－60°－60°＝240° 即剩下的四边形中，∠3＋∠4＝240°。 举一反三（2024·重庆璧山·小升初真题）如图，一个五边形的内角和是540°，试一试，推导出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝( )°。 【答案】360 【思路引导】从图中可知，∠1和∠6、∠2和∠7、∠3和∠8、∠4和∠9、∠5和∠10都组成平角180°，且五边形的内角和是540°，即∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10＝540°，据此求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数之和。 【规范解答】因为∠1＋∠6＝180°，∠2＋∠7＝180°，∠3＋∠8＝180°，∠4＋∠9＝180°，∠5＋∠10＝180°，则： ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＝（180°－∠6）＋（180°－∠7）＋（180°－∠8）＋（180°－∠9）＋（180°－∠10） ＝180°＋180°＋180°＋180°＋180°－∠6－∠7－∠8－∠9－∠10 ＝180°×5－（∠6＋∠7＋∠8＋∠9＋∠10） ＝900°－540° ＝360° 所以，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°。 考点十五 三角形的周长的计算与应用 母题精讲（2025·湖南邵阳·小升初模拟）下列说法中，正确的是（    ）。 A．一个班男生的平均身高是130厘米，女生的平均身高是138厘米。如果这个班男生人数比女生人数多，那么这个班学生的平均身高一定小于134厘米 B．把1米长的绳子剪了6次，每段占全长的 C．2025年第一季度有91天 D．一个等腰三角形的周长是40厘米，相邻两边的长度的比是2∶1，这个等腰三角形的腰长可能是10或者16厘米 【答案】A 【思路引导】当男生和女生的人数相同时，这个班学生的平均身高为男生和女生平均身高的平均值，则男生更多的情况即可判断； 绳子剪6次，应成7段，且没说明是平均分，据此判断； 2025年是平年，一月份31天，二月份有28天，三月份有31天，求和后看结果是否等于91天即可； 根据三角形的三边关系，这个等腰三角形三边的比只能是；再根据三角形的周长是40厘米，求出腰长即可。 【规范解答】A．（130＋138）÷2 ＝268÷2 ＝134（厘米） 当男生和女生的人数相同时，这个班学生的平均身高为男生和女生平均身高的平均值，则男生更多，则这个班学生的平均身高一定小于134厘米，原题说法正确； B．绳子剪6次，应成7段，且没说明是平均分，所以每段占全长的分率不能用表示。原题说法错误； C．2025年是平年，一月份有31天，二月份有28天，三月份有31天，所以2025年第一季度有（31＋28＋31＝90）天，不是91天，原题说法错误； D．根据三角形的三边关系，这个等腰三角形三边的比只能是2∶2∶1。 （厘米） 所以这个三角形的腰长为16厘米。原题说法错误。 故答案为：A 举一反三（2024·江苏泰州·小升初真题）在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”。以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②。 (1)如果一个边长是27厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③周长是( )厘米。 (2)如果一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是( )厘米。（用含有的式子表示） 【答案】(1)144 (2) 【思路引导】如图②把新图形的周长看作12份，则原来图形①的周长看作是9份，，也就是每一次“生长”，新图形的周长都变成原来的，再按规律解答即可。 【规范解答】（1）边长是27厘米的等边三角形，周长是27×3＝81（厘米）。 第一个“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第二次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 因此一个边长是27厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形周长是144厘米。 （2）边长为a厘米等边三角形，周长是（3a）厘米。 第一次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第二次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第三次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第四次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 因此一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是厘米。 【考点剖析】解答本题的关键是通过图形①和图形②的特例分析从而总结出图形周长变化的规律，再直接利用规律求解。 考点十六 圆的周长计算及应用 母题精讲（2026·贵州黔东南·小升初模拟）某景区要在一个周长是62.8米的圆形花坛周围修一条1米宽的水泥路，并铺上水泥道砖。铺水泥道的面积是多少平方米？水泥道砖每个平方米30元，买道砖用了多少钱？ 【答案】65.94平方米；1978.2元 【思路引导】根据公式求出圆形花坛的内圆半径。根据路宽，利用“外圆半径＝内圆半径＋路宽”求出外圆半径。圆环面积公式计算水泥路的面积，再根据“总价＝单价×面积”计算买道砖所需的费用，计算中取值3.14。 【规范解答】 （米） （米） （平方米） 65.94×30＝1978.2（元） 答：铺水泥道的面积是65.94平方米。买道砖用了1978.2元。 举一反三（2025·甘肃平凉·小升初模拟）把一个圆柱的侧面展开后得到一个正方形。若这个圆柱的底面半径是5厘米，那么它的高是( )厘米，这个圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】 31.4 2464.9 【思路引导】分析圆柱的高：圆柱的侧面展开后是一个正方形，说明圆柱的底面周长和高是相等的。已知圆柱底面半径r＝5厘米，根据圆的周长公式（其中π通常取3.14），可以算出底面周长，也就是圆柱的高。 分析圆柱的体积：圆柱的体积公式为，我们已经求出了高h，且已知半径r＝5厘米，将其代入公式就能算出体积。 【规范解答】3.14×5×2 ＝15.7×2 ＝31.4（厘米） 3.14×52×31.4 ＝3.14×25×31.4 ＝78.5×31.4 ＝2464.9（立方厘米） 把一个圆柱的侧面展开后得到一个正方形。若这个圆柱的底面半径是5厘米，那么它的高是31.4厘米，这个圆柱的体积是2464.9立方厘米。 考点十七 圆的面积计算及应用 母题精讲（2025·重庆江北·小升初真题）求圆中阴影部分与大圆的面积之比和周长之比。 【答案】面积之比是1∶4；周长之比是7∶8 【思路引导】根据图意可知：大圆的面积是由图中四个同样大小的阴影部分组成；阴影部分的周长＝小圆的周长＋小圆周长＋大圆周长，圆的周长公式：C＝2πr，据此解答。 【规范解答】根据以上分析可知，把阴影部分沿圆心旋转90度，旋转4次后可得到大圆，所以阴影部分与大圆的面积之比是1∶4。 设小圆的半径为r，则大圆的半径是2r。 大圆周长：2π×2r＝4πr 阴影部分周长：2πr＋×2πr＋×4πr ＝2πr＋πr＋πr ＝πr 周长之比：πr∶4πr ＝（πr÷πr）∶（4πr÷πr） ＝∶4 ＝（×2）∶（4×2） ＝7∶8 答：阴影部分与大圆的面积之比是1∶4，周长之比是7∶8。 举一反三（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【答案】17.875 【思路引导】阴影部分面积可通过“整体减部分”的思路计算阴影面积：将阴影所在的大三角形ABC视为“整体”，减去大三角形内的两个空白部分（小直角三角形、扇形），即可得到阴影面积。大三角形ABC是正方形的一半，小直角三角形的直角边等于半圆半径（正方形边长的一半），扇形是圆的（因圆心角为90°），通过圆面积公式计算。 【规范解答】计算三角形ABC的面积： （平方厘米） 计算小三角形面积： （厘米） （平方厘米） 计算扇形的面积： （平方厘米） 计算阴影部分面积： （平方厘米） 阴影部分的面积是17.875平方厘米。 【考点剖析】计算阴影面积常用“整体减空白”：先确定阴影所在的“整体区域”，再求出区域内空白部分的面积，相减即可快速得结果。 考点十八 圆环的面积 母题精讲（2025·新疆克拉玛依·小升初真题）某开发区的大标语牌上要画出如下图所示的三种标点符号：句号、逗号、问号。已知大圆半径都为，小圆半径都为，且。若均匀用料，画哪个标点符号油漆用得多？（作简要说明） 【答案】问号的油漆用得多 【思路引导】由图可知，句号的涂色部分是大圆挖去小圆，面积用大圆面积减去小圆面积；逗号的涂色部分是大圆的一半，面积用大圆面积除以2；问号的涂色部分是大圆的环形（大圆减小圆）加上一个小圆，面积用的环形面积加上小圆面积。根据圆的面积公式S＝πr2，结合题目中R＝2r的条件，将半径代入分别求出三个标点的涂色面积，最后对比三个面积的大小，即可判断出哪个标点用的油漆更多。 【规范解答】句号的面积：π（R2－r2） ＝π[（2r）2－r2）] ＝π[4r2－r2] ＝π×3r2 ＝3πr2 逗号的面积：π×R2÷2 ＝π×（2r）2÷2 ＝π×4r2÷2 ＝4πr2÷2 ＝2πr2 问号的面积：π（R2－r2）＋πr2 ＝π[（2r）2－r2）]＋πr2 ＝π[4r2－r2]＋πr2 ＝π×3r2＋πr2 ＝πr2＋πr2 ＝πr2 πr2＞3πr2＞2πr2 答：问号的油漆用得多。 举一反三（2025·广东湛江·小升初真题）一台圆柱体扫地机器人底面直径6dm，一座美术馆大厅柱子直径14dm，这台机器人绕着柱子清扫一圈，则机器人走过的路径长为62.8dm它扫过的面积是28.26dm2。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】机器人绕柱子清扫一圈，走过的路径是一个圆的周长，把圆柱体底面看作是一个内圆，机器人绕柱子一圈看作是一个外圆，则扫地机器人扫过的面积看作是圆环面积。 圆柱体底面直径是14dm，则半径（内圆半径）为14÷2＝7dm，扫地机器人底面直径6dm，所以外圆的直径为14＋6＝20dm，即半径（外圆半径）为20÷2＝10dm，根据圆的周长公式C＝πd（π取3.14，d为直径），圆环面积公式：S＝π（R2－r2）（R为外圆半径，r为内圆半径），把数据代入计算后再判断即可。 【规范解答】14÷2＝7（dm） 14＋6＝20（dm） 20÷2＝10（dm） 3.14×20＝62.8（dm） 3.14×（102－72） ＝3.14×（100－49） ＝3.14×51 ＝160.14（dm2） 机器人走过的路径长为62.8dm它扫过的面积是160.14dm2，原说法错误。 故答案为：× 考点十九 方中圆和圆中方的面积问题 母题精讲（2024·福建泉州·小升初真题）如图三个图，都是在边长2分米的正方形内画半圆或圆。 （1）它们的阴影面积相等么？请说明理由。 （2）我选择第 图，计算出阴影面积占正方形面积的。 【答案】（1）相等；原因见详解 （2）①； 【思路引导】（1）图①：两个半圆的面积和等于直径是2分米的圆的面积；阴影部分面积＝正方形面积－直径为2分米圆的面积，根据正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出阴影部分面积。 图②：四个空白面积加起来是一个直径2分米的圆的面积；阴影部分面积＝正方形面积－直径为2分米的圆的面积，据此求出阴影部分面积。 图③：三个空白面积加起来就是直径2分米的圆的面积，阴影部分面积＝正方形面积－圆的面积，据此求出阴影部分面积，再进行比较，即可解答。 （2）选择图①（选法不唯一），用阴影部分的面积÷正方形面积，即可解答。 【规范解答】（1）图①： 2×2－3.14×（2÷2）2 ＝2×2－3.14×12 ＝4－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（平方分米） 图②： 2×2－3.14×（2÷2）2 ＝2×2－3.14×12 ＝4－3.14 ＝0.86（平方分米） 图③： 2×2－3.14×（2÷2）2 ＝2×2－3.14×12 ＝4－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（平方分米） 0.86＝0.86＝0.86，阴影部分的面积相等。 答：阴影部分的面积相等，因为计算的阴影部分的面积结果相同。 （2）0.86÷（2×2） ＝0.86÷4 ＝ 我选择第①图，计算出阴影面积占正方形面积的。（选择的图答案不唯一） 举一反三（2024·江苏泰州·小升初真题）中国古代建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。仔细观察如图，可以通过计算发现外方、圆、内方的面积比是（    ）。其实，只要把内方绕它的中心旋转一下，就能清楚地看出外方和内方之间的关系，请画出旋转后的内方。 【答案】4∶π∶2；图见详解 【思路引导】依据题意可得：假设圆的半径是1，由此确定外方的边长，利用圆的面积＝π×半径×半径，正方形的面积＝边长×边长，分别求出圆的面积和外方的面积，内方旋转之后可以看出其面积正好为外方的一半，据此求出内方的面积，再将三个图形的面积做比即可。 【规范解答】假设圆的半径是1，如图： 外方的边长为：1×2＝2 外方的面积：2×2＝4 圆的面积：π×1×1＝π 内方的面积：4÷2＝2 外方、圆、内方的面积比是4∶π∶2。 考点二十 含圆的组合图形的周长 母题精讲（2025·湖南邵阳·小升初模拟）如下图，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】7.43平方厘米 【思路引导】通过观察图形可知，阴影部分的面积可用梯形的面积减去半圆的面积来求。根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，将上底2厘米，下底4厘米，高3厘米代入梯形的面积公式求出梯形的面积；根据圆的面积＝πr2，半圆的直径为2厘米，半径为（2÷2）厘米，将半径数值代入到公式中求出圆的面积，再除以2求出半圆的面积；最后用梯形的面积减去半圆的面积即可。 【规范解答】（2＋4）×3÷2 ＝6×3÷2 ＝18÷2 ＝9（平方厘米） 3.14×（2÷2）2÷2 ＝3.14×12÷2 ＝3.14×1÷2 ＝3.14÷2 ＝1.57（平方厘米） 9－1.57＝7.43（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是7.43平方厘米。 举一反三（2025·江西上饶·小升初真题）小军喜欢剪纸，他在边长为8cm的正方形纸片上剪了个造型，如图，阴影部分的周长是（    ）。 A．16π＋4 B．16（π＋2） C．8（π＋4） 【答案】C 【思路引导】根据图示，阴影部分的周长等于直径是8厘米的圆的周长，外加正方形的周长组成。 【规范解答】直径是8厘米的圆的周长为：πd＝8π 正方形的周长为：84 阴影部分的周长为：8π＋84＝8（π＋4） 故答案选：C。 考点二十一 含圆的组合图形的面积 母题精讲（2025·浙江宁波·小升初真题）下图中，O为大圆的圆心，大圆的半径为4厘米，则A与B的面积比为( )，B的周长是( )厘米。 【答案】 3∶1 18.84 【思路引导】如图所示，先把A中的①移动到②的位置，再把整个圆的面积看作单位“1”，此时A的面积占整个圆面积的，B的面积占整个圆面积的，由此根据比的意义求出A与B的面积比；图中大圆的半径等于小圆的直径，B的周长由三条弧组成，其中两条短弧的长度之和等于小圆的周长，长弧的长度等于大圆周长的，根据“”和“”求出B的周长，据此解答。 【规范解答】 A的面积∶B的面积 ＝∶ ＝（×4）∶（×4） ＝3∶1 3.14×4＋2×3.14×4× ＝12.56＋6.28×4× ＝12.56＋6.28×（4×） ＝12.56＋6.28×1 ＝12.56＋6.28 ＝18.84（厘米） 所以，A与B的面积比为3∶1，B的周长是18.84厘米。 举一反三（2025·吉林长春·小升初真题）已知：线段AB＝40cm。 （1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以3厘米/秒运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以5厘米/秒运动，问经过几秒后P、Q相遇？ （2）几秒钟后，P、Q相距16cm？ （3）如图2，AO＝PO＝8厘米，∠POB＝40°，点P绕着点O以20度/秒的速度顺时针旋转一周停止，同时点Q沿直线AB，自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q运动的速度。 【答案】（1）5秒 （2）3秒或7秒 （3）12厘米/秒或厘米/秒 【思路引导】（1）先用点P的速度加上点Q的速度，算出两个点的速度和。再根据路程÷速度和＝时间，算出两点相遇时间。 （2）P、Q相距16厘米存在两种情况。第一种是两点没相遇，差16厘米。这时两点已经走的路程是（40－16）厘米。第二种是两点相遇之后，又继续走了16厘米。这时两点已经走的路程是（40＋16）厘米。最后根据路程÷速度和＝时间，算出时间。 （3）根据题意，点P，Q只能在线段AB上相遇。用40°除以20°和（180°＋40°）除以20°算出点P落在AB上的时间。也就是Q在线段AB上运动的时间。而点Q两次走的路程分别是（40－2×8）和40。最后根据路程÷时间＝速度。算出点Q两种情况的速度即可。 【规范解答】（1）40÷（3＋5） ＝40÷8 ＝5（秒） 答：经过5秒后P、Q相遇。 （2）（40－16）÷（3＋5） ＝24÷8 ＝3（秒） （40＋16）÷（3＋5） ＝56÷8 ＝7（秒） 答：3秒或7秒后，P、Q两点相距16厘米。 （3）点P，Q只能在线段AB上相遇 一、点P旋转到线段AB上的时间为40°÷20°＝2（秒） （40－8×2） ＝（40－16）÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米/秒） 二、点P旋转到线段AB上的时间为 （40°＋180°）÷20° ＝220°÷20° ＝11（秒） 40÷11（厘米/秒） 答：点Q的速度为12厘米/秒或厘米/秒。 考点二十二 扇形的周长和面积 母题精讲（2025·河南郑州·小升初真题）求阴影部分面积。 （1） （2） 【答案】（1）21.76cm2 （2）82.24cm2 【思路引导】（1）由图可知，空白部分是一个直径为8cm的圆，先用直径除以2计算出圆的半径，然后根据“圆的面积＝πr2（r为半径）”求出空白部分的面积；图中梯形的上底为8cm、下底为10cm、高为8cm，根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”代入数值计算出梯形的面积；最后用梯形的面积减去圆的面积即可。 （2）将阴影部分分成两部分：一部分扇形面积等于圆的面积（由图可知，所在圆的半径为8cm），先根据“圆的面积＝πr2（r为半径）”求出半径是8cm的圆的面积，再用圆的面积乘计算出扇形面积；另一部分是底为8cm，高为8cm的三角形，根据“三角形的面积＝底×高÷2”计算出三角形的面积；最后将扇形面积和三角形面积求和即可。 【规范解答】（1）（8＋10）×8÷2－3.14×（8÷2）2 ＝18×8÷2－3.14×42 ＝144÷2－3.14×16 ＝72－50.24 ＝21.76（cm2） 所以阴影部分的面积是21.76cm2。 （2）3.14×82×＋8×8÷2 ＝3.14×64×＋64÷2 ＝200.96×＋32 ＝50.24＋32 ＝82.24（cm2） 所以阴影部分的面积是82.24cm2。 举一反三（2025·北京丰台·小升初真题）（1）三角形ABC，顶点C的位置是（1，5）。先画出三角形ABC，再画出把它按2∶1放大后的三角A'B'C'。 （2）以B'为圆心，在三角形A'B'C'内，画出一个最大的扇形。 （3）如果每个小方格的边长表示1厘米，画出的扇形面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）14.13 【思路引导】（1）根据数对表示的位置先列后行，找点描线；三角形按2∶1放大，即将这个三角形的底和高同时扩大2倍； （2）三角形是等腰直角三角形，扇形的圆心角是45°，以边A'B'为扇形的半径画图即可； （3）45°的圆心角是360°的，利用圆的面积＝，求出半径为6厘米圆的面积，再乘即可。 【规范解答】（1）（2）如图： （2）45°÷360°＝ 3.14×62× ＝3.14×36× ＝113.04× ＝14.13（平方厘米） 即画出的扇形面积是14.13平方厘米。 考点二十三 画圆及扇形 母题精讲（2025·江西吉安·小升初真题）按要求在下面的方格图中画图并完成填空。（每个小方格的边长表示1cm。） (1)画出①号图形向下平移5格后的图形； (2)画出①号图形绕A点逆时针旋转90°后的图形； (3)分别画出从上面、前面、左面看右图的图形； (4)以点（19，11）为圆心画一个直径6cm的圆，并标出圆心。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4)见详解 【思路引导】（1）作平移后的图形步骤：找点－找出构成图形的关键点；定方向、距离－确定平移方向和平移距离；画线－过关键点沿平移方向画出平行线；定点－由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连点－连接对应点。 （2）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 （3）从上面看有3行，前边2行并排各3个小正方形，后边1行靠左2个小正方形；从前面看有3列，左边1列3个小正方形，中间1列1个小正方形，右边1列2个小正方形；从左面看有3行，下边1行3个小正方形，中间1行靠左2个小正方形，上边1行靠左1个小正方形。 （4）数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此确定圆心的位置，直径÷2＝半径。画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【规范解答】（1）作图如下： （2）作图如下： （3）作图如下： （4）6÷2＝3（cm）、作图如下： 举一反三（2025·湖北武汉·小升初真题）①画出三角形ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的图形。 ②画出三角形ABC按2∶1放大后的图形。 ③在方格图上找一个点作为圆心，并用字母O标注，然后画一个圆，使点D、E、F、G都在这个圆上。 【答案】见详解 【思路引导】①根据图形旋转的性质，以点A为旋转中心，将三角形ABC的各边按逆时针方向旋转90°。先确定点B、C绕点A逆时针旋转90°后的位置，再连接各点得到旋转后的图形。 ②根据图形放大的性质，将三角形ABC的各边长度扩大到原来的2倍。AB的长度原来占3格，放大后的长度占6格，AC的长度原来占2格，放大后的长度占4格。先确定点B、C放大后的位置，再连接各点得到放大后的图形 ③观察可知D、E、F和G连接后是一个正方形，以正方形对角线的交点为圆心，以正方形对角线的一半为半径画一个圆即可。 【规范解答】根据分析，作图如下： 考点二十四 求组合图形中阴影部分的面积 母题精讲（2025·河南郑州·小升初真题）如图，分别以正方形的三条边为直径画了三个半圆，那么，正方形的面积与阴影部分面积的比是（    ）。 A．3∶1 B．4∶1 C．3∶2 D．2∶1 【答案】D 【思路引导】 如图，将下面的阴影部分分成两部分补到上面阴影部分，则阴影部分的面积为正方形的面积的一半；由此得出阴影部分面积与正方形面积的比。 【规范解答】如图： 阴影部分的面积为正方形的面积的一半。 如图，分别以正方形的三条边为直径画了三个半圆，那么，正方形的面积与阴影部分面积的比是2∶1。 故答案为：D 举一反三（2025·河北石家庄·小升初真题）求图中阴影部分的面积。 【答案】32.5 【思路引导】 通过分割平移，连接AE将阴影部分①移动到位置②，则阴影部分面积①和③的和可以转化②和③的和即为梯形ABED的面积即可。 【规范解答】 即阴影图形面积为32.5。 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．（2025·山东·小升初模拟）一个半圆的半径为r厘米，直径为d厘米。这个半圆的周长是（    ）厘米。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】半圆的周长＝圆周长的一半＋直径的长度。d＝2r，圆的周长C＝2πr，圆周长的一半为2πr÷2＝πr，则半圆的周长：（πr＋d）或（πr＋2r）。 【规范解答】A．仅为圆周长的一半，未包含直径，不符合半圆周长的定义，所以A错误； B．其中πr是圆周长的一半，d是直径，两者相加即为半圆的周长，所以B正确； C．其中πd是整个圆的周长，加上直径后远大于半圆的周长，所以C错误； D．表示的是整个圆的周长与直径之和的一半，并非半圆的周长，所以D错误。 2．（2025·山东青岛·小升初真题）如图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，阴影的一段边缘是半径为6厘米的圆弧，阴影部分的面积等于（    ）平方厘米。（取π＝3.14，精确至0.01平方厘米） A．36.46 B．48 C．20.6 D．40.26 【答案】D 【思路引导】如图，阴影部分的面积＝大三角形的面积－右下角小空白的面积。大三角形的两条直角边分别是（10＋6）厘米和6厘米。三角形的面积＝底×高÷2，代入计算即可。小空白的面积＝正方形的面积－圆的面积。正方形的边长6厘米，圆的半径6厘米。正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，代入计算即可。 【规范解答】6×6－×3.14×62 ＝36－×3.14×36 ＝36－3.14××36 ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（平方厘米） （10＋6）×6÷2 ＝16×6÷2 ＝96÷2 ＝48（平方厘米） 48－7.74＝40.26（平方厘米） 3．一个圆柱的侧面展开后是正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（    ）。 A．2π∶1 B．1∶1 C．1∶π D．π∶1 【答案】C 【思路引导】圆柱侧面展开为正方形，说明圆柱的高等于底面周长。底面周长公式为C＝πd，因此高h＝πd，进而推导底面直径与高的比。 【规范解答】一个圆柱的侧面展开后是正方形，则πd＝h。 d∶h＝d∶πd＝（d÷d）∶（πd÷d）＝1∶π 这个圆柱的底面直径与高的比是1∶π。 4．（2025·湖南永州·小升初真题）一个三角形，三个内角的度数比是，这是一个( )三角形。 【答案】钝角 【思路引导】三角形内角和为180°，先按度数比，进行按比分配，求出一份的度数，再求出最大角5份的度数，再根据角的大小判断三角形类型。 【规范解答】，因此，这是一个钝角三角形。 5．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）如图，在正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，4为半径作圆弧。以C为圆心，6为半径作圆弧。若图中阴影部分的面积分别为S1、S2时，则______。（结果保留π） 【答案】13π－36 【思路引导】 如图设左边空白部分的面积为S，根据题意，正方形ABCD的边长为6，正方形的面积＝6×6＝36，以C为圆心、6为半径作圆弧得到一个圆心角为90°的扇形的面积＝圆的面积×，S＋＝正方形ABCD的面积－圆的面积的＝36－π××＝36－9π，以D为圆心、4为半径得到一个圆心角为90°的扇形，即S＋＝π××＝4π，然后再用（S＋）－（S＋）即可求出的结果。 【规范解答】设左边空白部分的面积为S， ＝； ＝； （）－（）＝＝＝＝＝ 即 6．（2023·贵州黔西南·小升初真题）求下面图形涂色部分的面积。 【答案】21.98cm2 【思路引导】本题是求圆环（涂色部分）的面积，由图可知外圆的半径为4cm，内圆的半径为3cm。根据圆的面积公式S＝πr2（S表示面积，π通常取3.14，r表示半径），分别求出外圆和内圆的面积，再用外圆的面积减内圆的面积即可得到涂色部分的面积。 【规范解答】3.14×42＝3.14×16＝50.24（cm2） 3.14×32＝3.14×9＝28.26（cm2） 50.24－28.26＝21.98（cm2） 图形涂色部分的面积是21.98cm2。 7．（2026·贵州黔东南·小升初模拟）求下图阴影部分的面积。 【答案】39.25cm2 【思路引导】观察图形，下方的小阴影半圆与上方的空白小半圆面积相等。将下方小阴影半圆移动到上方空白小半圆的位置后，阴影部分恰好组成一个半径为5cm的半圆。然后根据圆的面积＝计算出圆的面积，再除以2得出半圆的面积，即阴影部分的面积。 【规范解答】3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（cm2） 8．（2024·黑龙江大兴安岭·小升初真题）北京天坛公园是北京著名的景点，公园里的皇穹宇的围墙俗称回音壁（如图），是闻名世界的声学奇迹。回音壁的墙高约4米，墙内的直径约60米。墙内景区的面积约有多大？ 【答案】2826平方米 【思路引导】求墙内景区的面积，就是求一个直径约60米的圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【规范解答】3.14×（60÷2）2 ＝3.14×302 ＝3.14×900 ＝2826（平方米） 答：墙内景区的面积约有2826平方米。 9．（2025·湖北黄石·小升初真题）如图是三位同学探索五边形的内角和时的想法，你最喜欢哪种？请你任选其中两种想法，并计算出五边形的内角和。 (1)我选择想法( )，算式：( )。 (2)我选择想法( )，算式：( )。 【答案】(1) A 180°×3＝540° (2) B 180°×4－180°＝540° 【思路引导】（1）选择A，五边形被分成3个三角形，利用三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和等于3个三角形的内角和。 （2）选择B，五边形被分成4个三角形，五边形的内角和等于4个三角形的内角和减去180°（因为多算了一个平角180°）。 （3）选择C，五边形被分成5个三角形，五边形的内角和等于5个三角形的内角和减去360°（因为多算了一个周角360°）。 据此任选两种解答即可。（答案不唯一） 【规范解答】（1）我选择想法A，算式：180°×3＝540°。 （2）我选择想法B，算式： 180°×4－180° ＝720°－180° ＝540° 10．（2025·河南商丘·小升初真题）图形与操作。 (1)按要求在图中画一画。 (2)计算变化后图形中阴影部分的面积。 (3)你能求出原图中阴影部分的周长吗？试一试。 【答案】(1)见详解 (2)8平方厘米 (3)20.56厘米 【思路引导】（1）先确定旋转中心为O点，根据阴影①绕O点逆时针旋转90°，阴影②绕O点顺时针旋转90°的方向和度数，画出旋转后的图形。 （2）变化后阴影部分的面积是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是正方形的边长，根据三角形的面积公式可计算出阴影部分面积。 （3）原图中阴影部分的周长是一个直径为4cm的圆的周长，依据圆的周长公式为计算出圆的周长，最后加上两条4厘米的线段长度得到阴影部分的周长。 【规范解答】（1）见下图 （2）4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（平方厘米） 所以，变化后图形中阴影部分的面积8平方厘米。 （3）3.14×4＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 原图中阴影部分的周长是20.56厘米。 【考点剖析】关键点是知道并发现将①和②通过旋转后阴影部分的面积变成一个等腰直角三角形。 【思维拓展拔尖】 1．要剪一个面积是12.56平方厘米的圆形纸片，至少需要面积是（    ）平方厘米的正方形纸片。 A．12.56 B．16 C．20 【答案】B 【思路引导】要剪出面积为12.56平方厘米的圆形纸片，所需最小正方形的边长等于该圆形的直径。先根据圆的面积公式求出圆的半径，再计算圆的直径，也就是正方形的边长，最后根据正方形的面积公式计算出正方形的面积。 【规范解答】已知圆的面积为12.56平方厘米 r2＝12.56÷3.14＝4（平方厘米） r＝2厘米 圆的直径：2×2＝4（厘米） 正方形面积：4×4＝16（平方厘米） 2．在一个正方形里画一个最大的圆，这个圆的面积是正方形面积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】以正方形的边长为直径的圆是正方形里面最大的圆，假设出正方形的边长，根据“”和“”分别求出圆和正方形的面积，最后求出圆的面积除以正方形面积的商。 【规范解答】假设正方形的边长为1。 圆的面积： ＝ ＝ ＝ 正方形的面积：1×1＝1 ÷1＝ 这个圆的面积是正方形面积的。 3．（2025·湖南长沙·小升初真题）图1是一个三角形，沿虚线折叠后得到图2，这个多边形的面积是原三角形面积的。已知图2中阴影部分的面积和为15平方厘米，那么原三角形的面积是（    ）平方厘米。 A．26 B．27 C．28 D．29 【答案】B 【思路引导】设原三角形的面积是S，折叠后重合部分的面积是x。折叠后的多边形面积＝原三角形面积－重合部分面积，即S－x。已知多边形的面积是原三角形面积的，因此S－x＝S，可以推出x＝S－S＝S。图2中阴影部分的面积＝多边形面积－重合部分面积，即S－x。代入x＝S，得阴影面积是S－S＝S。根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用15除以即可求出原三角形的面积，据此解答。 【规范解答】15÷[－（1－）] ＝15÷[－] ＝15÷ ＝15× ＝27（平方厘米） 原三角形的面积是27平方厘米。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查图形折叠的性质和分数除法的应用。明确折叠后重合部分的面积是原三角形面积与折叠后多边形的面积差，是解题的关键。 4．（2025·重庆江北·小升初真题）如图，直角的斜边，以点为中心，将顺时针旋转，点分别到达点，则边扫过的面积（即图中阴影部分面积）是( )。（取3） 【答案】75 【思路引导】根据题意，直角顺时针旋转了120°，则∠ABE＝120°；∠CBD＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°。 直角的面积与直角的面积相等。 阴影部分的面积＝以AB为半径、圆心角是120°的扇形面积＋直角的面积－直角的面积－以BC为半径、圆心角为120°的扇形面积 ＝以AB为半径、圆心角是120°的扇形面积－以BC为半径、圆心角为120°的扇形面积 扇形的面积＝πr2× 【规范解答】阴影部分面积：3×102×－3×52× ＝3×100×－3×25× ＝3×100×－3×25× ＝3××（100－25） ＝3××75 ＝1×75 ＝75 5．（2025·山东青岛·小升初真题）下图是两个完全相同的等腰直角三角形，甲和乙分别是等腰直角三角形的两种不同的内接正方形，则图中甲与乙的面积比是( )。 【答案】9∶8 【思路引导】 如图，连接小正方形的对角线，等腰直角三角形1、2的面积都是小正方形乙的，等腰直角三角形5的面积是正方形乙的，可以求出正方形乙占大三角形的比例；等腰直角三角形3、4的面积都是小正方形甲的，可以求出正方形甲占大三角形的比例。两个大三角形的面积相等，那么正方形甲和正方形乙的面积比即可求出。 【规范解答】若设正方形乙的面积为1，则大三角形的面积是：1＋＋＋＝，正方形乙占大三角形的比例为：1÷＝；因为小三角形3、4的面积和等于正方形甲的面积，所以正方形甲占大三角形的比例是；那么正方形甲和正方形乙的面积比为：∶＝（×18）∶（×18）＝9∶8。 6．（2025·重庆江北·小升初真题）在一个圆形时钟的表面，为指针的旋转中心，表示秒针，表示分针，若现在的时间恰好是14点整，当的面积刚好达到最大值时，经过( )秒。 【答案】 / 【思路引导】由题可知，在三角形AOB中，秒针OA和分针OB的长度固定，当两针互相垂直时，三角形面积最大；14点整，两针重合指向12，秒针比分针多走90°时两针垂直，钟面一圈360°，分为60小格，多走度数÷钟面度数×总格数＝多走格数；秒针每秒走1小格，分针每分钟走1小格，1分钟＝60秒，1格÷60秒＝分针速度；秒针速度－分针速度＝速度差，多走格数÷速度差＝经过时间。 【规范解答】90°÷360°×60＝15（格） 1÷60＝（格/秒） （格/秒） （秒） 7．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图，求阴影部分的面积。 【答案】10.26平方厘米 【思路引导】 图中阴影部分的形状是不规则图形，将阴影部分通过割补，使其变成规则图形。如图所示：，阴影部分的面积＝扇形的面积－三角形的面积。由图可知，扇形是一个直角扇形，半径为6厘米，即扇形的面积是半径为6厘米的圆面积的，三角形的底和高都是6厘米，据此根据圆的面积＝πr2，三角形面积＝底×高÷2计算即可解答。 【规范解答】3.14×62×－6×6÷2 ＝3.14×36×－6×6÷2 ＝113.04×－36÷2 ＝28.26－18 ＝10.26（平方厘米） 8．（2025·湖北黄石·小升初真题）健身房内有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面直径是40厘米，高是1.2米。在一次训练中，沙子全部流到地上形成了一个高50厘米的近似圆锥形沙堆，这个沙堆的占地面积是多少平方米？（结果保留两位小数） 【答案】约0.90平方米 【思路引导】圆柱的体积＝底面积（S＝πr2）×高，据此先求出圆柱形沙包的体积，也就是圆锥形沙堆的体积；再根据圆锥的体积＝Sh，得出沙堆的占地面积＝圆锥形沙堆的体积÷（×沙堆的高），据此解答即可。注意单位的统一，1米＝100厘米，结果保留两位小数，看小数点后第三位小数，根据“四舍五入法”取舍。 【规范解答】40厘米＝0.4米 50厘米＝0.5米 沙堆的体积：3.14×（0.4÷2）2×1.2 ＝3.14×0.22×1.2 ＝3.14×0.04×1.2 ＝0.1256×1.2 ＝0.15072（立方米） 沙堆的占地面积： 0.15072÷（×0.5） ＝0.15072÷÷0.5 ＝0.15072×3÷0.5 ＝0.45216÷0.5 ＝0.90432 ≈0.90（平方米） 答：这个沙堆的占地面积约是0.90平方米。 9．（2025·甘肃兰州·小升初真题）王老师骑自行车从家到学校要10分钟，_____，王老师家到学校的路程是多少米？ ①自行车车轮的外直径是70厘米。 ②早上7：30从家出发。 ③王老师步行大约要半小时。 ④车轮每分钟转100圈。 (1)要解决上面的问题，应该选择方框中的信息( )（填序号）。 (2)列式解答。 【答案】(1)①④ (2)2198米 【思路引导】（1）要解决王老师家到学校的路程问题，已知骑车时间为10分钟，需要补充能计算自行车行驶速度的条件。 （2）先将车轮外直径70厘米换算为0.7米，根据圆的周长公式C＝πd（π取3.14）求出车轮一圈的长度；再用周长乘每分钟转的100圈，求出自行车每分钟行驶的距离；最后用每分钟行驶的距离乘10分钟的骑车时间，即可求出王老师家到学校的总路程。 【规范解答】（1）②出发时间、③步行时间均与路程计算无关；①给出车轮外直径，可计算车轮周长，④给出车轮每分钟转的圈数，结合两者能求出自行车每分钟行驶的距离，因此选择①和④。 要解决上面的问题，应该选择方框中的信息①④。 （2）70厘米＝0.7米 3.14×0.7×100×10 ＝2.198×100×10 ＝2198（米） 答：王老师家到学校的路程是2198米。 10．（2025·重庆北碚·小升初真题）如图所示，四边形中和四边形都是正方形，，连接，与相交于点，与相交于点，如果正方形的面积是1，那么三角形的面积是多少？ 【答案】 【思路引导】因为，所以，即可求出的比值； 在三角形与三角形中计算的比值；根据三角形的面积＝底×高÷2，即可计算三角形与三角形的面积的关系，三角形为正方形面积的一半，即可求出三角形的面积。 【规范解答】因为，所以； 所以，即； 在三角形与三角形中，，即； 根据鸟头模型，； 则。 【考点剖析】两个三角形顶点处的两条边的长度的乘积比，等于两个三角形的面积比。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $