专题06 解决问题-应用题（思维导图+必备知识&考点清单+分层训练）全国通用-2026年小升初数学二轮复习真题培优讲练

该小学数学小升初复习讲义聚焦解决问题-应用题专题，涵盖复合应用、典型应用、分数应用等核心考点，通过导图指引构建思维框架，知识清单梳理解题方法，考点讲练（母题精讲+举一反三）突破重点，分层训练夯实能力，帮助学生系统掌握各类应用题解题技巧。 亮点在于真题导向与思维培养结合，如鸡兔同笼问题用假设法、行程问题画线段图分析，培养学生数学思维与模型意识。分层训练分基础与拓展，适配不同学生，助力教师精准教学，有效提升学生应用题解决能力。

2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•全国通用 专题06 解决问题-应用题（必备知识&二轮复习+考点清单 全国通用） 【原卷版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01 复合应用题的解题方法及解题步骤 知识点02 一般复合应用题中常见的数量关系 知识点03 典型应用题 知识点04 分数应用题 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点序列 考点名称 考点一 “提问题”“填条件”问题 考点十六 盈亏问题 考点二 间隔问题 考点十七 牛吃草问题 考点三 周期问题 考点十八 植树问题 考点四 归一问题 考点十九 分段计费问题 考点五 归总问题 考点二十 找次品 考点六 和差倍问题 考点二十一 数与形 考点七 年龄问题 考点二十二 鹐巢问题 考点八 经济问题 考点二十三 求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题) 考点九 行程问题 考点二十四 求一个数比另一个数多/少百分之几 考点十 工程问题 考点二十五 求一个数的百分之几是多少 考点十一 数字编码问题 考点二十六 比一个数多/少百分之几的数是多少 考点十二 排列组合问题 考点二十七 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 考点十三 用列举法解决问题 考点二十八 已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 考点十四 优化问题 考点二十九 已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 考点十五 鸡兔同笼 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 复合应用题的解题方法及解题步骤 知识必备 解题方法 解题步骤 分析法 就是从问题入手，逐步分析题目中已知条件 1.审题：审清题意，并找出已知条件和所求问题； 2.分析：分析题目的数量间的关系，从而确定先算什么，再算什么…最后算什么； 3.列式计算：列出算式，算出得数； 4，检验作答：进行检验，写出答案。 综合法 就是从应用题的已知条件，逐步推向末知，直到求出解 分析综合法 就是将分析法，综合法结合起来交替使用的方法 知识点02 一般复合应用题中常见的数量关系 知识必备 类型 数量关系 类型 数量关系 价钱问题 单价×数量=总价 总价÷数量=单价 总价÷单价=数量 产量问题 单产量×数量=总产量 总产量÷数量=单产量 总产量÷单产量=数量 行程问题 速度×时间=路程 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间 收支问题 收入-支出=结余 收入-结余=支出 支出+结余=收入 工程问题 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作时间=工作效率 工作总量÷工作效率=工作时间 打折问题 现价÷原价=折数 原价×折数=现价 现价÷折数=原价 知识点03 典型应用题 知识必备 类型 特征 数量关系 关键点 平均数问题 已知几个不相等的同类数量以及份数，求每份数 总数量÷总份数=平均数 找准总数量和总份数 归一问题 题中每份的量保持不变，解题时先求出不变的单位量，再求未知量 总数量÷份数=单位量 单位量×单位量份数=总数量 总数量÷单位量=单位量份数 确定不变的每份量 归总问题 题中的总量保持不变，解题时先求总量，再求未知量 每份量×份数=总数量 确定不变的总数量 相遇问题 两个物体同时做相向运动，经过一段时间后在途中相遇 速度和×相遇时间=路程 路程÷速度和=相遇时间 路程÷相遇时间=速度和 弄清物体运动的方向和时间等 追及问题 两个物体同时做同向运动，后者在一段时间内追及前者 路程差÷速度差=追及时间 速度差×追及时间=路程差 路程差÷追及时间=速度差 弄清物体运动的方向和时间等 水中行船 问题 一般船是匀速运动，水速在船逆行和顺行中的作用不同 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 分清是顺水速度还是逆水速度 过桥问题 涉及车长、桥长等问题 路程=桥长+车长 路程÷速度=时间 分清路程是否包含车长 和差问题 已知两个量的和与差，求这两个量 较大数=（和十差）÷2 较小数=（和一差）÷2 移多补少 和倍问题 已知两个量的差及两个量的倍数关系，求这两个量 和÷（倍数+1）=1倍的量 确定哪个量是1倍的量 差倍问题 已知两个量的差及两个量的倍数关系，求这两个量 差÷（倍数-1）=1倍的量 确定哪个量是1倍的量 年龄问题 有关人的岁数问题，常与和倍、差倍等问题结合在一起 参照和倍、差倍的数量关系 年龄差始终保持不变 盈亏问题 一定数量的物品分成若干份，在不同的分配中，有余（盈）或不足 （亏），已知余或不足的数量，求物品的总数或份数 （盈数+亏数）÷两次分得的差=份数 找出两次分得的差与盈亏的总数 鸡兔同笼问题 已知鸡与兔的总头数和总腿数，求鸡与兔各有多少只的应用题 兔的只数=（总腿数-2×总头数）÷2 鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2 假设法、方程法 植树问题 不封闭 图形 两端都植树 棵数=段数+1 分清封闭还是不封闭，两端都植树还是都不植 两端都不植树 棵数=段数-1 封闭图形 在圆、正方形等边上植树 棵数=段数 知识点04 分数应用题 知识必备 一、解决分数应用题的关键: 关键——找出“量”与“率”的对应. 要点——“标准量”，即单位“1”的寻找. 二、单位“1”的标志与线索: 1.明显标志：“占”、“是”、“比”、“相当于”这些词语后面的对象. 例：a是（占、相当于）b的几分之几，就把b看作单位“1”． 甲比乙多（少）几分之几，就把乙看作单位“1”. 2.隐含线索：题目没有明确给出比较对象，需要分析增加（减少）了谁的几分之几，一般是指增加（减少）了前面那种状态的几分之几，也就是说前面那种状态下的量就是单位“1”. 例：水结成冰后体积增加了几分之几，意思是增加了原来状态（水）的几分之几. 三、“率”的寻找方法：明示的“率”自不必说. 没有明确指出的“率”，一般可以画线段图，通过分析整体的组成来找出. 四、常用数量关系式和解题模式： 1.常用的数量关系式：在分数（百分数）应用题中存在着三个量，即标准量（单位“１”的量）、比较量（部分量）和分率（百分率）。 分数（百分数）应用题基本的数量关系式： 标准量（单位“１”的量）×分率（百分率）＝比较量（部分量） 比较量（部分量）÷标准量（单位“１”的量）＝分率（百分率） 比较量（部分量）÷分率（百分率）＝标准量（单位“１”的量） 2.解题模式：（1）量÷对应率＝单位“1” （2）分数即份数，设数法解决 （3）多对象多状态多维度，列表解决 五、分数应用题的基本类型及方法： 1.求一个数的几（或百）分之几是多少？ 解题方法：已知数×几（或百）分之几 2.已知一个数的几（或百）分之几是多少，求这个数. 解题方法：已知数÷几（或百）分之几 3.求甲数比乙数多（或少）几（或百）分之几。解题方法：两数之差÷乙数。 4.（1）已知甲数比乙数多几（或百）分之几，求甲数。 解题方法：乙数×（1+几（或百）分之几） （2）已知甲数比乙数少几（或百）分之几，求甲数。 解题方法：乙数×（1一几（或百）分之几） 5.（1）已知甲数比乙数多几（或百）分之几，求乙数。 解题方法：甲数÷（1+几（或百）分之几）。 （2）已知甲数比乙数少几（或百）分之几，求乙数。 解题方法：甲数÷（1一几（或百）分之几） 6. 求甲数是乙数的几分之几（百分之几） 解题方法：甲数÷乙数（求百分之几需转化为百分数） 六、单位“1”的转化及应用：把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化；如果甲是乙的，乙是丙的，则甲是丙的；如果甲是乙的，则乙是甲的；如果甲的等于乙的，则甲是乙的÷＝，乙是甲的÷＝ 考●点●讲●练 考点一 “提问题”“填条件”问题 母题精讲（2025·四川南充·小升初模拟）为了提高学生学习数学的兴趣，丰富学生对数学的多元认 知，某学校各个年级都开设了“趣味数学社团”。六年级开设的数学社团有：阅读、运算、魔方、汉诺塔、数独（每人只能参与其中一个）。小华统计了六年级部分同学参与的情况，并绘制了两幅统计图。 请根据图中的信息回答下列问题。 （1）小华共统计了（    ）人，将条形统计图和扇形统计图补充完整。 （2）若该学校六年级参加数学社团的有200名学生，请根据以上数据估计该校六年级有（    ）人参加“数独”社团。 （3）请你根据统计图中的信息，提出一个数学问题并解答。 举一反三（2025·江西上饶·小升初真题）“赣南山水育橙黄，一口甜透四季光。”2024年赣南某县的脐橙大丰收了，11月份销售大约占总产量的，12月份销售大约4万吨，______，2024年这个县的脐橙总产量大约有多少万吨？（选择以下任意一个条件，画线段图表示数量关系，并列式解答） ①已销售和未销售之比是4∶1 ②已经销售的占了总产量的80% ③12月份销售的是未销售的2倍 ④还剩总产量的未销售 我选择信息（   ） （1）线段图： （2）列式解答： 考点二 间隔问题 母题精讲（2024·贵州安顺·小升初真题）科科学家研究发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目、特征都吻合于一种奇特的数列：1，1，2，3，5，8，13，21……请你仔细观察此数列，它的第9个数应该是( )。 举一反三（2024·重庆云阳·小升初真题）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，那么按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上一面的点数是几？ 考点三 周期问题 母题精讲（2025·浙江温州·小升初真题）把分数化成小数以后，小数点后面第2024位上的数字是( )。 举一反三（2025·湖北十堰·小升初真题）例如：a1表示12的个位数字，即：； a2表示22的个位数字，即：； a3表示32的个位数字，即a3＝9； a4表示42的个位数字，即：； 则( )。 考点四 归一问题 母题精讲（2024·山东滨州·小升初真题）如图，有一个两层水箱。 (1)这个水箱下层的容积是________立方米。 (2)注满下层需要9.6分钟，照这样的流速，注满整个水箱需要________分钟。 (3)从水箱底部注水，在注满整个水箱的过程中，注水的高度随着时间的延长而增加，下面________号图能正确表示注水情况。 举一反三（2024·山东济宁·小升初真题）亮亮一家从兖州自驾来水泊梁山游玩，兖州到梁山的路程120千米，亮亮爸爸的汽车油箱总容量是50升。出发时，他查看汽车的燃油表，发现已用去的汽油。 （1）爸爸的油箱还剩汽油多少升？ （2）如果亮亮爸爸车子的油耗大约是0.12升/千米，中途不加油，他能到梁山吗？（计算说明） （3）亮亮爸爸1.5小时行驶90千米，照这样的速度，剩下的30千米大约还需多少小时？ 考点五 归总问题 母题精讲2023·贵州黔西南·小升初真题）一间教室用边长是0.6米的方砖铺地，要用160块。现在改用边长是0.8米的方砖铺，要用多少块？ 举一反三妙妙想计划在暑期里看完一本小说。如果每天看36页，第12天可以看完；如果每天看40页，第11天可以看完。这本书最多有( )页。 考点六 和差倍问题 母题精讲（2025·福建宁德·小升初真题）在智慧农业园区，有一块由智能系统管理的长方形种植区域，用于种植两种特色蔬菜（由智能设备自动分区，示意如图）。种A蔬菜的面积比种B蔬菜的面积多400平方米，A蔬菜种植了多少平方米？ 举一反三（2025·湖北武汉·小升初真题）妈妈今年74岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子32岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为40岁，那么儿子今年______岁。 考点七 年龄问题 母题精讲（2024·山东济南·小升初真题）如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1厘米，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合。 （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为（    ）厘米。 （2）图中点A所表示的数是（    ），点B所表示的数是（    ）。 （3）由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请问爷爷现在多少岁了？ 举一反三（2025·重庆·小升初真题）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁。当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁。现在三个人的年龄各是多少岁？ 考点八 经济问题 母题精讲（2026·贵州黔东南·小升初模拟）某景区要在一个周长是62.8米的圆形花坛周围修一条1米宽的水泥路，并铺上水泥道砖。铺水泥道的面积是多少平方米？水泥道砖每个平方米30元，买道砖用了多少钱？ 举一反三（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 考点九 行程问题 母题精讲（2025·湖北黄石·小升初真题）哥哥从家骑车去相距5千米的图书馆借书，如图所示，他从出发到回家( )分钟，他从图书馆返回时每分钟行( )千米。 举一反三（2025·湖南长沙·小升初真题）星期天早晨8：30，小萍骑电动车从家出发前往和谐广场。12分钟后，妈妈开车去追小萍，在距家6千米的地方追上了小萍。这时，妈妈收到一个电话，需要回家收个快递，于是立即掉头回家，拿到快递后没有停留（接快递时间忽略不计），立刻又回头去追小萍，妈妈再次追上小萍的时候，距家18千米，问：妈妈第二次追上小萍的时间是几时几分？ 考点十 工程问题 母题精讲（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）加工一批零件，原计划每天加工30个，当加工完时，由于改进了技术，工作效率提高了10%，结果提前了4天完成任务，问这批零件共有几个？ 举一反三（2025·浙江杭州·小升初真题）甲、乙两项工作，张师傅单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李师傅单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天。如果每项工作都可以由两人合作完成，那么完成这两项工作，下列两种合作方案，哪种需要天数最少？ 方案一：甲工作和乙工作都由两位师傅合作完成； 方案二：先让李师傅单独完成甲工作，同时让张师傅单独完成乙工作，8天后，再让李师傅和张师傅一起合作完成剩余的乙工作。 考点十一 数字编码问题 母题精讲（2024·福建厦门·小升初模拟）用二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图1是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，其序号为a×23＋b×22＋c×2＋d。例如第一行数字从左往右依次是0，1，1，0，则表示的序号为0×23＋1×22＋1×2＋0＝6，以此规律，第二行序号表示2，第三行序号表示2，第四行序号表示9，该生为6年级2班29号，图2学生识别为五年级，则要在( )涂黑。 图1                         图2 举一反三（2024·浙江金华·小升初真题）李老师为了方便查找电脑中的资料，用“首字母＋时间”的格式命名文件夹，其中字母W代表工作，L代表生活。例如命名为W2404的文件夹存放的是2024年4月的工作资料。按照这个规律，名为L0910的文件夹存放的是（    ）。 A．9月10日的生活资料 B．2009年10月的生活资料 C．2009年1月的生活资料 D．2009年10月的工作资料 考点十二 排列组合问题 母题精讲（2024·广东深圳·小升初真题）北京到香港高铁线全长约2240千米，2024年6月15日8时，京广铁路全线实现时速350千米高标运营。 （1）小亮量得地图上的京港高铁线长5.6厘米。这幅地图的比例尺是多少？ （2）高铁G79从北京出发，前往香港，全程共8个站点，单程一共需要设计多少种不同的车票？ （3）智慧老人、淘气分别从香港和北京两座城市乘不同的高铁同时相向出发，4小时后两车相遇，淘气乘的车每小时行350千米。两车相遇时淘气乘的车比智慧老人乘的车多行了560千米。问智慧老人乘的车每小时行多少千米？（不考虑停站时间） 举一反三（2024·浙江金华·小升初真题）某校食堂免费提供米饭，并提供5种菜品供选购，单价分别为1、2、5、7、9元。小刘同学有15元钱，他想买三个不重样的菜，一共有（    ）种购买情况。 A．4 B．5 C．6 D．7 考点十三 用列举法解决问题 母题精讲（2025·湖北武汉·小升初真题）三个人从五个景点中分别选择一处游览，且可以选择相同的景点，则共有______种游览景点的方法。 举一反三（2024·江苏泰州·小升初真题）有1、2、5、7四个数。 (1)从中任选两个数组成两位数，一共能组成( )个不同的两位数，其中质数有( )个。 (2)用这四个数组成一道两位数乘两位数的乘法算式，乘积最大是( )。 考点十四 优化问题 母题精讲（2025·四川内江·小升初真题）某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元：方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月两次。他选择哪种方式更划算？ 举一反三（2025·重庆渝北·小升初真题）我市一水果销售公司，需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （单位：元/千米） 途中平均速度 （单位：千米/时） 装卸时间 （单位：小时） 装卸费用 （单位：元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 如果这批水果在运输过程中（包含装卸时间）的损耗为每小时160元。 （1）当运输路程为400千米时，你认为采用哪种运输工具比较好？ （2）当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同。 考点十五 鸡兔同笼 母题精讲（2025·云南昭通·小升初模拟）在小学数学的学习中，我们经常用一些巧妙的方法，将看似复杂的问题化繁为简。以下几个常见的问题中，哪个不能使用“假设法”来解决？（    ） A．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几只？ B．已知（a、b、c均不为0），将a、b、c按从大到小的顺序排列。 C．单独做一项工作，甲需要5天，乙需要4天，两人合作需要几天？ D．一个三角形的面积是48cm2，底是10cm，高是多少？ 举一反三（2023·四川成都·小升初真题）一次奥数竞赛中，共有50道题，做错一道扣1分，做对一道得3分，而不做解答则会得0分，宏亮在这次奥数竞赛中共得了97分，经了解，其中有3道题不会做，没有解答，则宏亮在此次奥数竞赛中共答对了多少道题？ 考点十六 盈亏问题 母题精讲有一批同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6人，如果减少一条船，正好每条船坐9人，则该班有（    ）名同学。 A．32 B．36 C．40 D．48 举一反三（2025·四川绵阳·小升初真题）将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分3颗，就会余下糖果17颗；如果每人分5颗，就会缺少糖果13颗。幼儿园小班有多少小朋友？这些糖果共有多少颗？ 考点十七 牛吃草问题 母题精讲（2025·湖南长沙·小升初真题）一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？ 举一反三（2025·重庆江北·小升初真题）牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，这片牧场可供25头牛吃多少天？ 考点十八 植树问题 母题精讲（2025·浙江宁波·小升初真题）在一条长400米的马路两边植树，两端都要种，每隔20米种一棵，一共需要种几棵树？下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 举一反三（2023·四川成都·小升初真题）一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候恰好又有一辆电车从甲站开出，他从乙站到甲站用了( )分钟。 考点十九 分段计费问题 母题精讲（2025·浙江温州·小升初模拟）温州江心屿是市民喜爱的热门打卡点。 (1)小宇家到“江心屿”全程12.5千米，他用某打车平台出行的方式前往该景点，那么一共需要车费多少元？ 行驶距离 某平台出行计价方式 10千米以内（含10千米） 起步价10元 超过10千米部分 每千米3元（不足1千米的按1千米计算） (2)从江心屿的地步行至地，小舟需要24分钟，小宇需要40分钟，他们分别从、两地出发，相向而行，多少分钟可以相遇？ 举一反三（2024·云南昭通·小升初真题）星期天，妈妈准备开车去商场办事。下面是她所办事件所需时间统计表和该商场停车收费标准。 所办事件 维修手机（与维修师傅洽谈时间忽略不计） 购买图书 购买鞋子 购买衣服 车在停车场行驶及妈妈步行等 所需时间 1.5小时 0.5小时 0.3小时 1小时 0.2小时 请帮妈妈设计一个支付停车费最少的方案，再计算一共需要支付多少元？ 考点二十 找次品 母题精讲（2025·湖南长沙·小升初真题）有25盒饼干，其中有1盒吃了两块，如果用天平称，至少要称（    ）次才能保证找到这盒饼干。 A．5 B．4 C．3 D．2 举一反三（2023·陕西西安·小升初真题）外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等。则这20个球的总重量是( )克。 考点二十一 数与形 母题精讲（2025·四川达州·小升初真题）如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要_____个，第个图形需要_____个。 举一反三（2025·河南郑州·小升初真题）古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”。他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子排列的形状把整数进行分类。如：1，3，6，10，…这些数叫做三角形数。那么，在整数45，456和1830中，是三角形数的有（    ）。 A．45和456 B．456和1830 C．45和1830 D．45、456和1830 考点二十二 鹐巢问题 母题精讲（2025·湖南永州·小升初模拟）16只鸽子飞进5个鸽笼里，不管怎么飞，总有一个鸽笼至少飞进( )只鸽子。 举一反三（2023·四川成都·小升初真题）班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个问题：班上有几个人与你生日的月份相同，班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）。结果发现，所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？ 考点二十三 求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题) 母题精讲（2025·湖北黄石·小升初真题）张亮在一个长方体的玻璃容器中装了一些水，他把一块底面半径为4厘米的圆柱形铁块完全浸没在水中，发现水面上升了8厘米，把铁块提起5厘米时，这时水面下降了2厘米。（如图所示，玻璃厚度忽略不计）（π取3） (1)圆柱形铁块露出水面部分的体积是多少？ (2)圆柱形铁块的体积占玻璃容器容积的百分之几？ 举一反三（2025·重庆九龙坡·小升初真题）甲、乙、丙三个试管中各盛有100克、200克、300克水，把某种浓度的盐水100克倒入甲中，充分混合后从甲中取出100克倒入乙中，再充分混合后从乙中取出100克倒入丙中，最后得到丙的盐水浓度是0.75%，一开始倒入试管甲中的盐水浓度是___________%。 考点二十四 求一个数比另一个数多/少百分之几 母题精讲2025·湖南长沙·小升初真题）下列四句话中，正确的是（    ）。 A．一种商品打折出售正好保本，则不打折时该商品只获20%的利润 B．林场种100棵树苗，死了3棵，又补种了3棵，共成活100棵，成活率为100% C．大牛和小牛头数的比是，表示大牛比小牛多 D．按1，8，27，（    ），125，216的规律排，括号中的数应为64 举一反三（2025·河南新乡·小升初真题）李克强总理在十三届全国人大一次会议所作的政府工作报告中指出：从2013至2017年，我国国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元。现在，大陆人口约为13亿人。 (1)根据你的理解，把“82.7万亿”填写在下面的数位顺序表中。 数级 …… 亿级 万级 个级 数位 … … … … 千亿位 百亿位 十亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十位 个位 (2)2017年国内生产总值比2013年增长了百分之几？（百分号前保留一位小数） (3)2017年我国人均国内生产总值约为( )元。（结果保留整数） 考点二十五 求一个数的百分之几是多少 母题精讲（2025·重庆九龙坡·小升初真题）从有关方面获悉，在我市农村已经实行了农民新型合作医疗保险制度。享受医保的农民可在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用。下表是医疗费用报销的标准： 医疗费用范围 门诊 住院 0—5000元 5001—20000元 20000元以上 每年报销比例标准 30% 30% 40% 50% （说明：住院医疗费用的报销分段计算。如：某人住院医疗费用共30000元，则5000元按30%报销，15000元按40%报销、余下的10000元按50%报销，题中涉及到的医疗费用指允许报销的医疗费用） (1)某农民在2008年门诊看病自己共支付医疗费280元，则他在这一年中门诊医疗费共花费多少元？ (2)某农民一年内实际住院医疗费为18000元，则他应自付医疗费多少元？ (3)若某农民一年内因本人住院按标准报销医疗费15000元，则该农民当年实际医疗费用共多少元？ 举一反三（2025·湖南长沙·小升初真题）猪猪侠用20000元买了一套产品。一年后将其中价值75%的产品委托喜洋洋商店标价12000元寄售，并按寄售价的5%付了手续费，其余产品自己留用。后来寄售的这部分产品按寄售价卖出了30%，损坏了10%，喜羊羊商店按寄售价赔偿了损失，猪猪侠留用的部分也损坏了20%，最后他把两处剩下的产品全部按原价的70%卖出，猪猪侠最后共损失多少元？ 考点二十六 比一个数多/少百分之几的数是多少 母题精讲（2025·重庆江北·小升初真题）甲、乙两家商店出售同一款兔宝宝玩具，每只原售价都是25元，为了促销，甲店先提价，再降价；乙店则直接降价，那么，调价后对于这款兔宝宝玩具，( )店的售价更便宜，便宜( )元。 举一反三（2025·甘肃兰州·小升初真题）端午节是我国传统节日之一。端午节有一些特定的节日习俗，如划龙舟、包粽子等。某小学在端午节前随机调查了学生对端午节习俗的了解情况（了解程度分：A．很了解；B．比较了解；C．了解较少；D．不了解），并根据调查结果绘制了两幅统计图。 (1)这次活动一共调查了( )名学生。 (2)画出“了解较少”的直条。 (3)以“很了解”的人数为单位“1”，“不了解”的人数比“很了解”的少( )%。 (4)该小学共有学生1000人，根据统计结果推算，“不了解”的学生共有( )人。 考点二十七 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 母题精讲（2025·山东潍坊·小升初真题）乐乐从家出发去上学，走到A地时，发现忘记带科学课材料，于是她赶紧小跑回家；拿好材料后，怕上学迟到，就骑自行车赶往学校。乐乐行程情况（图1）和时间分配图（图2）。 (1)乐乐从A地回家取材料的跑步速度是多少米/分？ (2)乐乐骑车的平均速度是250米/分，乐乐家到学校的距离是多少千米？ 举一反三（2025·湖南永州·小升初模拟）某村修一条乡村公路，第一天修了全长的20%，相当于第二天修的长度的。修了两天还剩下440米，这条乡村公路共有多少米？ 考点二十八 已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 母题精讲（2025·河南商丘·小升初真题）国美电器三分店昨天卖出了2台柜式空调，每台都按8400卖出，其中一台赚了40%，而另一台赔了40%。聪明的小朋友，请你算一算卖出这两台柜式空调是赚了还是赔了？赚了或赔了多少元？ 举一反三（2025·重庆九龙坡·小升初真题）一双鞋的标价为1200元，打六折后仍可以获利20%，这双鞋成本是___________元。 考点二十九 已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 母题精讲．（2024·河北沧州·小升初真题）打字员录入一篇稿件。第一天录入了总页数的，第二天录入了总页数的40%，第二天比第一天多录入9页。这篇稿件共有多少页？ 举一反三（2024·广东梅州·小升初真题）刘老师下载一段视频，对话框显示“完成75%，剩余9分钟”，照这样计算，完成整个下载任务一共需要多少分钟？ 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．（2025·湖北黄石·小升初真题）用下面的图形（    ）可直观得出“1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝52”。 A．B． C． D． 2．（2025·浙江宁波·小升初真题）马拉松比赛全程42千米，等距离共设置了14处降温点（起点终点除外），平均每相邻两处降温点的距离大约是（    ）。 A．3.5千米 B．3千米 C．2.8千米 D．2.6千米 3．（2025·湖北黄石·小升初真题）下面说法中，正确的有（    ）。 ①一个两位小数的近似数是3.0，这个两位小数最大是2.99； ②一个自然数（0除外），不是奇数就是偶数，不是质数就是合数； ③一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，圆柱的高是6cm，那圆锥的高一定是18cm； ④把26个苹果放进4个篮子中，其中至少有一个篮子中放入了8个苹果。 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2025·湖北黄石·小升初真题）下面的每一个图形都是由△、□、○中的两个组成的。观察各个图形，根据图形下面的数，找出规律。 5．（2025·湖南永州·小升初真题）一个布袋中有2个黄球、3个白球、5个红球。如果每次从布袋中取出一个球，至少摸出( )个球才能保证摸到2个同色球。 6．（2025·湖南邵阳·小升初模拟）从A地到B地，甲用了4小时，乙用了5小时，甲和乙的速度比为5∶4。( )（判断对错） 7．（2025·甘肃平凉·小升初模拟）下面是张大爷的一张储蓄存单，请你帮张大爷算算，他的存款到期时实际可得多少元利息？ 中国建设银行（定期）储蓄存单 账号×××××× 币种人民币  金额（大写）五千元  小写￥5000.00元 存入期 存期 年利率 起息日 到期日 2022年4月1日 3年 2022年4月1日 2025年4月1日 8．（2025·湖北武汉·小升初真题）奇思家和妙想家相距4.5千米。周日早上9∶00两人分别从家骑自行车相向而行，9∶10两人相遇，奇思骑行的速度是0.2千米/分，妙想的骑行速度是多少？ 9．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲、乙、丙、丁四个小朋友共有彩色玻璃球200颗，甲给乙26颗，乙给丙36颗，丙给丁32颗，丁给甲4颗后四人的颗数相等。他们原来各有玻璃球多少颗？ 10．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）由甲地到乙地前的路是高速公路，后的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地。A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，甲、乙两地之间的距离是多少？ 【思维拓展拔尖】 1．（2025·湖南长沙·小升初真题）一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行驶20km，回来时每小时行驶30km，这辆汽车往返的平均速度是（    ）。 A．24km/h B．25km/h C．26km/h D．27km/h 2．（2025·甘肃武威·小升初真题）做同样的零件，甲3小时做15个零件，乙做一个零件需小时，丙每小时做7个零件，这三个人中工作效率最高的是（    ）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 3．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 4．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）A的步行速度为每小时5千米，B的步行速度为每小时6千米，他们两人从甲地到乙地去。C骑自行车的速度是A的2倍，从乙地到甲地去，他们三人同时出发，在B、C相遇30分钟后，A又与C相遇，请问：C骑车从乙地到甲地需要______小时。 5．（2025·四川自贡·小升初真题）把红、黄、蓝、绿四种颜色的袜子各10只放到一个袋子里，至少要从中取出11只，才能保证取出一双颜色相同的袜子。( )（判断对错） 6．（2025·浙江温州·小升初真题）若13只母鸡13天下13个蛋，则100只母鸡100天下100个蛋。( )（判断对错） 7．（2026·贵州黔东南·小升初模拟）一项软件开发项目。小张单独完成需要10天时间，而小王单独完成需要20天时间。小张先独立工作了4天，剩下的部分由小张和小王合作完成。他们还需要多少天才能完成这个项目？ 8．（2025·山东青岛·小升初真题）代驾已成为热门，让更多不方便的人群多一点安全，下面是“e代驾”公司的收费标准。 收费标准 时间段 起步价格 里程费 07：00~23：59 9.9元（含2公里） 每公里4元 超过12公里 每公里加收1.5元 00：00~06：59 18元（含3公里） 等候费：免费等候10分钟，超出后1元/分钟 (1)有一天晚上，王叔叔在外就餐后向该公司叫了一个代驾，将车开到7千米（公里）远的家用车库，王叔叔应付多少代驾费？ (2)某天凌晨，李叔叔也向该公司叫了一个代驾，共支付代驾费81.5元（无等候费），此次代驾行驶了多少千米？ 9．（2025·重庆江北·小升初真题）从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的总路程为20千米。某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返回A村又用了1小时45分。已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍。求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度。 10．（2025·重庆渝北·小升初真题）甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练。他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑。每人跑完第一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度提高了，已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点190米。这条椭圆形跑道长多少米？ 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•全国通用 专题06 解决问题-应用题（必备知识&二轮复习+考点清单 全国通用） 【解析版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01 复合应用题的解题方法及解题步骤 知识点02 一般复合应用题中常见的数量关系 知识点03 典型应用题 知识点04 分数应用题 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点序列 考点名称 考点一 “提问题”“填条件”问题 考点十六 盈亏问题 考点二 间隔问题 考点十七 牛吃草问题 考点三 周期问题 考点十八 植树问题 考点四 归一问题 考点十九 分段计费问题 考点五 归总问题 考点二十 找次品 考点六 和差倍问题 考点二十一 数与形 考点七 年龄问题 考点二十二 鹐巢问题 考点八 经济问题 考点二十三 求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题) 考点九 行程问题 考点二十四 求一个数比另一个数多/少百分之几 考点十 工程问题 考点二十五 求一个数的百分之几是多少 考点十一 数字编码问题 考点二十六 比一个数多/少百分之几的数是多少 考点十二 排列组合问题 考点二十七 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 考点十三 用列举法解决问题 考点二十八 已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 考点十四 优化问题 考点二十九 已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 考点十五 鸡兔同笼 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 复合应用题的解题方法及解题步骤 知识必备 解题方法 解题步骤 分析法 就是从问题入手，逐步分析题目中已知条件 1.审题：审清题意，并找出已知条件和所求问题； 2.分析：分析题目的数量间的关系，从而确定先算什么，再算什么…最后算什么； 3.列式计算：列出算式，算出得数； 4，检验作答：进行检验，写出答案。 综合法 就是从应用题的已知条件，逐步推向末知，直到求出解 分析综合法 就是将分析法，综合法结合起来交替使用的方法 知识点02 一般复合应用题中常见的数量关系 知识必备 类型 数量关系 类型 数量关系 价钱问题 单价×数量=总价 总价÷数量=单价 总价÷单价=数量 产量问题 单产量×数量=总产量 总产量÷数量=单产量 总产量÷单产量=数量 行程问题 速度×时间=路程 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间 收支问题 收入-支出=结余 收入-结余=支出 支出+结余=收入 工程问题 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作时间=工作效率 工作总量÷工作效率=工作时间 打折问题 现价÷原价=折数 原价×折数=现价 现价÷折数=原价 知识点03 典型应用题 知识必备 类型 特征 数量关系 关键点 平均数问题 已知几个不相等的同类数量以及份数，求每份数 总数量÷总份数=平均数 找准总数量和总份数 归一问题 题中每份的量保持不变，解题时先求出不变的单位量，再求未知量 总数量÷份数=单位量 单位量×单位量份数=总数量 总数量÷单位量=单位量份数 确定不变的每份量 归总问题 题中的总量保持不变，解题时先求总量，再求未知量 每份量×份数=总数量 确定不变的总数量 相遇问题 两个物体同时做相向运动，经过一段时间后在途中相遇 速度和×相遇时间=路程 路程÷速度和=相遇时间 路程÷相遇时间=速度和 弄清物体运动的方向和时间等 追及问题 两个物体同时做同向运动，后者在一段时间内追及前者 路程差÷速度差=追及时间 速度差×追及时间=路程差 路程差÷追及时间=速度差 弄清物体运动的方向和时间等 水中行船 问题 一般船是匀速运动，水速在船逆行和顺行中的作用不同 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2 分清是顺水速度还是逆水速度 过桥问题 涉及车长、桥长等问题 路程=桥长+车长 路程÷速度=时间 分清路程是否包含车长 和差问题 已知两个量的和与差，求这两个量 较大数=（和十差）÷2 较小数=（和一差）÷2 移多补少 和倍问题 已知两个量的差及两个量的倍数关系，求这两个量 和÷（倍数+1）=1倍的量 确定哪个量是1倍的量 差倍问题 已知两个量的差及两个量的倍数关系，求这两个量 差÷（倍数-1）=1倍的量 确定哪个量是1倍的量 年龄问题 有关人的岁数问题，常与和倍、差倍等问题结合在一起 参照和倍、差倍的数量关系 年龄差始终保持不变 盈亏问题 一定数量的物品分成若干份，在不同的分配中，有余（盈）或不足 （亏），已知余或不足的数量，求物品的总数或份数 （盈数+亏数）÷两次分得的差=份数 找出两次分得的差与盈亏的总数 鸡兔同笼问题 已知鸡与兔的总头数和总腿数，求鸡与兔各有多少只的应用题 兔的只数=（总腿数-2×总头数）÷2 鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2 假设法、方程法 植树问题 不封闭 图形 两端都植树 棵数=段数+1 分清封闭还是不封闭，两端都植树还是都不植 两端都不植树 棵数=段数-1 封闭图形 在圆、正方形等边上植树 棵数=段数 知识点04 分数应用题 知识必备 一、解决分数应用题的关键: 关键——找出“量”与“率”的对应. 要点——“标准量”，即单位“1”的寻找. 二、单位“1”的标志与线索: 1.明显标志：“占”、“是”、“比”、“相当于”这些词语后面的对象. 例：a是（占、相当于）b的几分之几，就把b看作单位“1”． 甲比乙多（少）几分之几，就把乙看作单位“1”. 2.隐含线索：题目没有明确给出比较对象，需要分析增加（减少）了谁的几分之几，一般是指增加（减少）了前面那种状态的几分之几，也就是说前面那种状态下的量就是单位“1”. 例：水结成冰后体积增加了几分之几，意思是增加了原来状态（水）的几分之几. 三、“率”的寻找方法：明示的“率”自不必说. 没有明确指出的“率”，一般可以画线段图，通过分析整体的组成来找出. 四、常用数量关系式和解题模式： 1.常用的数量关系式：在分数（百分数）应用题中存在着三个量，即标准量（单位“１”的量）、比较量（部分量）和分率（百分率）。 分数（百分数）应用题基本的数量关系式： 标准量（单位“１”的量）×分率（百分率）＝比较量（部分量） 比较量（部分量）÷标准量（单位“１”的量）＝分率（百分率） 比较量（部分量）÷分率（百分率）＝标准量（单位“１”的量） 2.解题模式：（1）量÷对应率＝单位“1” （2）分数即份数，设数法解决 （3）多对象多状态多维度，列表解决 五、分数应用题的基本类型及方法： 1.求一个数的几（或百）分之几是多少？ 解题方法：已知数×几（或百）分之几 2.已知一个数的几（或百）分之几是多少，求这个数. 解题方法：已知数÷几（或百）分之几 3.求甲数比乙数多（或少）几（或百）分之几。解题方法：两数之差÷乙数。 4.（1）已知甲数比乙数多几（或百）分之几，求甲数。 解题方法：乙数×（1+几（或百）分之几） （2）已知甲数比乙数少几（或百）分之几，求甲数。 解题方法：乙数×（1一几（或百）分之几） 5.（1）已知甲数比乙数多几（或百）分之几，求乙数。 解题方法：甲数÷（1+几（或百）分之几）。 （2）已知甲数比乙数少几（或百）分之几，求乙数。 解题方法：甲数÷（1一几（或百）分之几） 6. 求甲数是乙数的几分之几（百分之几） 解题方法：甲数÷乙数（求百分之几需转化为百分数） 六、单位“1”的转化及应用：把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化；如果甲是乙的，乙是丙的，则甲是丙的；如果甲是乙的，则乙是甲的；如果甲的等于乙的，则甲是乙的÷＝，乙是甲的÷＝ 考●点●讲●练 考点一 “提问题”“填条件”问题 母题精讲（2025·四川南充·小升初模拟）为了提高学生学习数学的兴趣，丰富学生对数学的多元认 知，某学校各个年级都开设了“趣味数学社团”。六年级开设的数学社团有：阅读、运算、魔方、汉诺塔、数独（每人只能参与其中一个）。小华统计了六年级部分同学参与的情况，并绘制了两幅统计图。 请根据图中的信息回答下列问题。 （1）小华共统计了（    ）人，将条形统计图和扇形统计图补充完整。 （2）若该学校六年级参加数学社团的有200名学生，请根据以上数据估计该校六年级有（    ）人参加“数独”社团。 （3）请你根据统计图中的信息，提出一个数学问题并解答。 【答案】（1）60；见详解； （2）60； （3）见详解； 【思路引导】（1）把统计的总人数看作单位“1”，汉诺塔统计了6人，占总人数的10%，求单位“1”的量用除法计算，用对应数量6人除以对应百分率10%即可，计算可得60人；参加“数独”社团的人数占60人的30%，用60×30%即可得出参加“数独”社团的人数为18人，在条形统计图上数独的位置画一个高度对齐18人的直条；参加“魔方”社团的有12人，用12÷60得出百分数结果为20%，表示参加“魔方”社团的人数占调查总人数的20%，在扇形统计图魔方的地方写上百分数20%；参加“运算”社团的人数为15人，用15÷60得出百分数结果为25%，表示参加“运算”社团的人数占调查总人数的25%，在扇形统计图运算的地方写上百分数25%即可。 （2）把该学校六年级参加数学社团的200名学生看作单位“1”，参加“数独”社团的人数占30%，用200×30%即可得出参加“数独”社团的人数； （3）小华统计的参加“魔方”社团的人数比参加“阅读”社团的人数多几分之几？用参加“魔方”社团的12人减去参加“阅读”社团的9人，得到相差量，再接着除以参加“阅读”社团的9人即可得解。（答案不唯一） 【规范解答】（1）6÷10%＝6÷0.1＝60（人） 60×30%＝60×0.3＝18（人） 12÷60＝0.2＝20% 15÷60＝0.25＝25% 作图如下： 小华共统计了60人，将条形统计图和扇形统计图补充完整。 （2）200×30%＝200×0.3＝60（人） 若该学校六年级参加数学社团的有200名学生，请根据以上数据估计该校六年级有60人参加“数独”社团。 （3）小华统计的参加“魔方”社团的人数比参加“阅读”社团的人数多几分之几？ （12－9）÷9 ＝3÷9 ＝ 答：小华统计的参加“魔方”社团的人数比参加“阅读”社团的人数多。（答案不唯一） 举一反三（2025·江西上饶·小升初真题）“赣南山水育橙黄，一口甜透四季光。”2024年赣南某县的脐橙大丰收了，11月份销售大约占总产量的，12月份销售大约4万吨，______，2024年这个县的脐橙总产量大约有多少万吨？（选择以下任意一个条件，画线段图表示数量关系，并列式解答） ①已销售和未销售之比是4∶1 ②已经销售的占了总产量的80% ③12月份销售的是未销售的2倍 ④还剩总产量的未销售 我选择信息（   ） （1）线段图： （2）列式解答： 【答案】（1）见详解 （2）10万吨 【思路引导】选择信息不唯一，“我”选择的是“②已经销售的占了总产量的80%”。 （1）把2024年这个县的脐橙总产量看作单位“1”，画一条线段表示，把它平均分成5份，其中2份标注“11月份销售”，再把其中2份标注“12月销售4万吨”，这4份标注“已经销售总产量的80%”，整条线段标注“？”吨。 （2）总产量为单位“1”，4万吨占总产量的（80%－），根据分数（百分数）除法的意义，用4万吨除以（80%－）就是总产量。 【规范解答】我选择信息：②已经销售的占了总产量的80% （1）线段图（因选择信息不唯一，线段图不唯一）： （2）4÷（80%－） ＝4÷40% ＝10（万吨） 答：2024年这个县的脐橙总产量大约有10万吨。 【考点剖析】需要重点掌握“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算”。 考点二 间隔问题 母题精讲（2024·贵州安顺·小升初真题）科科学家研究发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目、特征都吻合于一种奇特的数列：1，1，2，3，5，8，13，21……请你仔细观察此数列，它的第9个数应该是( )。 【答案】34 【思路引导】首先，从已知数列观察出特点：1＋1＝2；1＋2＝3；2＋3＝5；3＋5＝8……；由此可知：在已知数列中，从第三项开始每一项是前两项的和；第9项就是第7项与第8项的和，据此解答。 【规范解答】 科科学家研究发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目、特征都吻合于一种奇特的数列：1，1，2，3，5，8，13，21……请你仔细观察此数列，它的第9个数应该是34。 举一反三（2024·重庆云阳·小升初真题）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，那么按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上一面的点数是几？ 【答案】6 【思路引导】根据题意，第一次操作：将骰子向右翻滚90°，上、下、左、右、前、后分别是5、2、4、3、1、6；再逆时针方向旋转90°，上、下、左、右、前、后分别是5、2、6、1、4、3； 第二次操作：第一步向右翻滚90°，上、下、左、右、前、后分别是6、1、2、5、4、3；第二步逆时针方向旋转90°，上、下、左、右、前、后分别是6、1、3、4、2、5； 第三次操作：第一步向右翻滚90°，上、下、左、右、前、后分别是3、4、1、6、2、5，第二步逆时针方向旋转90°，上、下、左、右、前、后分别是3、4、5、2、1、6； 而最初的正方体骰子上，上、下、左、右、前、后分别是3、4、5、2、1、6，经过三次刚好转回去了，所以每操作一次，上面的点数按照5，6，3，5，6，3，5，6，3…的顺序排列。3个数字一循环；用2024÷3，余数是几，就是第几个数；没有余数，就是第三个数，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，朝上的数字规律是5，6，3，5，6，3…，三个数字一循环。 2024÷3＝674……2 连续完成2024次变换后，骰子朝上一面的点数是6。 答：连续完成2024次变换后，骰子朝上一面的点数是6。 【考点剖析】本题主要考查旋转和空间想象能力，可以通过实践进行探究，找出规律，再求出问题。 考点三 周期问题 母题精讲（2025·浙江温州·小升初真题）把分数化成小数以后，小数点后面第2024位上的数字是( )。 【答案】1 【思路引导】分数 化成小数后是循环小数，循环节为“714285”，共6位。要求小数点后第2024位上的数字，需要确定2024在循环节中的位置。通过计算2024除以6的余数，余数对应循环节中的第几位数字。 【规范解答】，循环节为“714285”，共6位。 余数为2。 余数为2对应循环节中的第2位数字，循环节“714285”的第2位是1。 因此，小数点后面第2024位上的数字是1。 【考点剖析】解决循环小数“求某一位数字”的问题，核心是先确定循环节及周期，再通过“总数÷周期”的余数判断位置。 举一反三（2025·湖北十堰·小升初真题）例如：a1表示12的个位数字，即：； a2表示22的个位数字，即：； a3表示32的个位数字，即a3＝9； a4表示42的个位数字，即：； 则( )。 【答案】9059 【思路引导】12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100，112＝121，122＝144，132＝169、142＝196、152＝225、162＝256、172＝289、182＝324、192＝361、202＝400……中每10个数字为一组，每组数字的个位数字分别是1、4、9、6、5、6、9、4、1、0，每组个位数字的和是（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0＝45）。用2013除以10，算出商和余数，商是几，的和里就有几个45；再看余数，余数是几，就看这一组的前几个数的个位上数字是几，再相加即可。 【规范解答】1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0 ＝（1＋9）＋（2＋8）＋（3＋7）＋（4＋6）＋5＋0 ＝10＋10＋10＋10＋5＋0 ＝45 2013÷10＝201……3 45×201＋1＋4＋9 ＝9045＋1＋4＋9 ＝9046＋4＋9 ＝9050＋9 ＝9059 9059 【考点剖析】本题考查周期问题。以10个数为一组，求出每组数个位数字的和是解题关键。 考点四 归一问题 母题精讲（2024·山东滨州·小升初真题）如图，有一个两层水箱。 (1)这个水箱下层的容积是________立方米。 (2)注满下层需要9.6分钟，照这样的流速，注满整个水箱需要________分钟。 (3)从水箱底部注水，在注满整个水箱的过程中，注水的高度随着时间的延长而增加，下面________号图能正确表示注水情况。 【答案】(1)24 (2)14.4 (3)3 【思路引导】（1）根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 （2）首先求出平均每分钟注水多少立方米，然后用整个水箱的容积除以每分钟注入水的体积即可。 （3）因为上下层水箱的高相等，下层水箱的底面积大，所以开始时水面上升的慢，当把下层水箱注满后，水面上升的就快。据此根据图像判断即可。 【规范解答】（1）（1）4×3×2 ＝12×2 ＝24（立方米） 答：这个水箱下层的容积是24立方米。 （2）（2）（2×2×3＋24）÷（24÷9.6） ＝（12＋24）÷2.5 ＝36÷2.5 ＝14.4（分钟） 答：注满整个水箱需要14.4分钟。 （3）因为上下层水箱的高相等，下一层水箱的底面积大，所以开始时水面上升的慢，当把下一层注满后，水面上升的快。因此可知，3号图表示正确的注水情况。 举一反三（2024·山东济宁·小升初真题）亮亮一家从兖州自驾来水泊梁山游玩，兖州到梁山的路程120千米，亮亮爸爸的汽车油箱总容量是50升。出发时，他查看汽车的燃油表，发现已用去的汽油。 （1）爸爸的油箱还剩汽油多少升？ （2）如果亮亮爸爸车子的油耗大约是0.12升/千米，中途不加油，他能到梁山吗？（计算说明） （3）亮亮爸爸1.5小时行驶90千米，照这样的速度，剩下的30千米大约还需多少小时？ 【答案】（1）20升； （2）能，理由见详解； （3）0.5小时 【思路引导】（1）把汽车油箱总容量看作单位“1”，已用去的汽油，则还剩（1－）的汽油。已知汽车油箱总容量是50升，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，列式：50×（1－）即可求出张叔叔的油箱还剩汽油多少升； （2）根据乘法的意义，用0.12乘120可以求出从甲地到乙地一共需要多少升汽油，再和（1）题所得的剩下的汽油升数进行比较即可； （3）速度＝路程÷时间，据此用90除以1.5即可求出驾车的速度，再根据路程÷速度＝时间，用30除以所得的速度，即可求出大约还需多少小时。 【规范解答】（1）50×（1－） ＝50× ＝20（升） 答：爸爸的油箱还剩汽油20升。 （2）0.12×120＝14.4（升） 20＞14.4 行驶剩余的路程需要14.4升，小于油箱所剩的20升油。 答：中途不加油，他能到梁山。 （3）30÷（90÷1.5） ＝30÷60 ＝0.5（小时） 答：剩下的30千米大约还需0.5小时。 考点五 归总问题 母题精讲2023·贵州黔西南·小升初真题）一间教室用边长是0.6米的方砖铺地，要用160块。现在改用边长是0.8米的方砖铺，要用多少块？ 【答案】90块 【思路引导】方砖为正方形，用边长是0.6米的米方砖铺地，现在改用边长是0.8米的方砖铺。根据正方形面积公式“面积＝边长×边长”，分别计算出两种方砖每块的面积。用边长为0.6米的单块面积乘160，得到教室地面的总面积。然后用教室总面积除以边长是0.8米的单块面积，即可得到改用新方砖所需的块数。 【规范解答】0.6×0.6＝0.36（平方米） 0.8×0.8＝0.64（平方米） 0.36×160＝57.6（平方米） 57.6÷0.64＝90（块） 答：现在改用边长是0.8米的方砖铺，要用90块。 举一反三妙妙想计划在暑期里看完一本小说。如果每天看36页，第12天可以看完；如果每天看40页，第11天可以看完。这本书最多有( )页。 【答案】432 【思路引导】如果每天看36页，第12天可以看完，若第12天看了1页，则共有（36×11＋1）页，若第12天看了36页，则共有（36×12）页；如果每天看40页，第11天可以看完，若第11天看了1页，则共有（40×10＋1）页，若第11天看了40页，则共有（11×40）页，据此求解。 【规范解答】如果每天看36页，第12天可以看完，最少有：36×11＋1＝396＋1＝397（页），最多有：36×12＝432（页）；如果每天看40页，第11天可以看完，最少有：40×10＋1＝401（页），最多有：11×40＝440（页）。同时满足两个条件，这本书最多有432页。 【考点剖析】解此题的关键是把第一种情况看作一个条件，然后把第二种情况看作一个条件，结合题意，得出同时满足这两个条件的数即可。 考点六 和差倍问题 母题精讲（2025·福建宁德·小升初真题）在智慧农业园区，有一块由智能系统管理的长方形种植区域，用于种植两种特色蔬菜（由智能设备自动分区，示意如图）。种A蔬菜的面积比种B蔬菜的面积多400平方米，A蔬菜种植了多少平方米？ 【答案】1400平方米 【思路引导】由图可知：长方形的长是60米，宽是40米，根据长方形面积＝长×宽，求出种植区的总面积，即A、B两种蔬菜的面积和；又已知A的面积比B多400平方米，即两者的面积差，根据和差问题中求大数的公式：大数＝（和＋差）÷2，即A的面积＝（和＋差）÷2，代入数值，即可求出A蔬菜的种植面积。 【规范解答】60×40＝2400（平方米） （2400＋400）÷2 ＝2800÷2 ＝1400（平方米） 答：A蔬菜种植了1400平方米。 举一反三（2025·湖北武汉·小升初真题）妈妈今年74岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子32岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为40岁，那么儿子今年______岁。 【答案】46 【思路引导】先求妈妈从40岁到74岁经过的年数为74－40＝34年，设当女儿年龄是儿子的时，儿子为3x岁、女儿为2x岁，则今年儿子为（3x＋34）岁、女儿为（2x＋34）岁；当儿子32岁时，距离今年的年数为（3x＋34）－32＝3x＋2年，即3x＋2年前，此时女儿的年龄为（2x＋34）－（3x＋2）＝32－x岁，妈妈的年龄为74－（3x＋2）＝72－3x岁，根据“此时妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁”的条件，列出方程72－3x＝2（32－x）＋4，解方程得x＝4，因此儿子今年的年龄为3×4＋34＝46岁。 【规范解答】74－40＝34（岁） 解：设当年儿子为3x岁、女儿为2x岁，则今年儿子为（3x＋34）岁、女儿为（2x＋34）岁。 72－3x＝2（32－x）＋4 72－3x＝64－2x＋4 72－3x＋3x＝64－2x＋4＋3x 72＝68＋x 68＋x＝72 68＋x－68＝72－68 x＝4 3×4＋34 ＝12＋34 ＝46（岁） 儿子今年46岁。 考点七 年龄问题 母题精讲（2024·山东济南·小升初真题）如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1厘米，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合。 （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为（    ）厘米。 （2）图中点A所表示的数是（    ），点B所表示的数是（    ）。 （3）由题（1）（2）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题： 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经130岁，是老寿星了，哈哈！”，请问爷爷现在多少岁了？ 【答案】（1）5 （2）10；15 （3）75岁 【思路引导】（1）根据题意和图意可知，5～20相当于木棒AB长度的3倍，据此用除法求出木棒AB的长度。 （2）图中点A所表示的数等于5加上AB的长度，点B表示的数是20减去AB的长度。 （3）把A点看作小红的年龄，B点看作爷爷的年龄，那么AB的长度就是小红与爷爷的年龄差。 “若爷爷是小红现在年龄”看作B点移动到A点，“小红还要35年才出生”，则小红的年龄向左移动与AB相等的长度，因为还未出生，所以此时小红的年龄对应的数是﹣35； “若小红是爷爷现在的年龄”看作A点移动到B点，“爷爷已经130岁”，则此时爷爷的年龄向右移动与AB相等的长度，此时爷爷的年龄对应的数是130； 那么﹣35与130相差（130＋35），相当于AB长度的3倍，据此用除法求出AB的长度，也就是爷爷比小红大的年龄，再用130减去两人的年龄差，求出爷爷现在的年龄。 【规范解答】（1）三根木棒长是：20－5＝15（厘米） 木棒长为：15÷3＝5（厘米） 由此可得到木棒长为（5）厘米。 （2）5＋5＝10 20－5＝15 图中点A所表示的数是（10），点B所表示的数是（15）。 （3）爷爷比小红大： （130＋35）÷3 ＝165÷3 ＝55（岁）     爷爷的年龄： 130－55＝75（岁） 答：爷爷现在75岁。 举一反三（2025·重庆·小升初真题）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁。当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁。现在三个人的年龄各是多少岁？ 【答案】爸爸40岁，哥哥14岁，妹妹10岁 【思路引导】设当妹妹9岁时，哥哥的年龄为x岁，则此时爸爸的年龄为3x岁，爸爸比哥哥大2x岁，哥哥比妹妹大（x－9）岁；当爸爸34岁时，哥哥年龄为（34－2x）岁，妹妹年龄为（34－2x）－（x－9）＝（43－3x）岁，根据哥哥年龄是妹妹的2倍列方程34－2x＝2（43－3x），解得x＝13，此时妹妹9岁、哥哥13岁、爸爸39岁，三人年龄和为61岁，现在年龄和64岁，比61岁多3岁，经过3÷3＝1年，现在妹妹9＋1＝10岁，哥哥13＋1＝14岁，爸爸39＋1＝40岁。 【规范解答】解：设妹妹9岁时，哥哥x岁，爸爸3x岁。 34－2x＝2（43－3x） 34－2x＝86－6x 34－2x＋6x＝86－6x＋6x 34＋4x＝86 34＋4x－34＝86－34 4x＝52 4x÷4＝52÷4 x＝13 此时爸爸：3×13＝39（岁） 三人年龄和：9＋13＋39＝61（岁） 64－61＝3（岁） 3÷3＝1（年） 妹妹现在的年龄：9＋1＝10（岁） 哥哥现在的年龄：13＋1＝14（岁） 爸爸现在的年龄：39＋1＝40（岁） 答：现在爸爸的年龄是40岁，哥哥的年龄是14岁，妹妹的年龄是10岁。 考点八 经济问题 母题精讲（2026·贵州黔东南·小升初模拟）某景区要在一个周长是62.8米的圆形花坛周围修一条1米宽的水泥路，并铺上水泥道砖。铺水泥道的面积是多少平方米？水泥道砖每个平方米30元，买道砖用了多少钱？ 【答案】65.94平方米；1978.2元 【思路引导】根据公式求出圆形花坛的内圆半径。根据路宽，利用“外圆半径＝内圆半径＋路宽”求出外圆半径。圆环面积公式计算水泥路的面积，再根据“总价＝单价×面积”计算买道砖所需的费用，计算中取值3.14。 【规范解答】 （米） （米） （平方米） 65.94×30＝1978.2（元） 答：铺水泥道的面积是65.94平方米。买道砖用了1978.2元。 举一反三（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 【答案】(1) 第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。 (2) 30 【思路引导】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为 元。 根据总价÷单价＝数量，第一批数量为箱，第二批数量为箱。第二批数量比第一批少 25%，以第一批的数量为单位“1”，则第二批数量等于第一批数量的 。据此列方程求解。 （2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元； 第二批的数量90箱，但是出现了20%的损耗，即售出数量为购进数量的 ，则只能卖出72箱。售价下降 ，即售价为元。总收入减去总成本 等于利润 1716 元，列方程求解 。 【规范解答】（1）解：设第一批购进每箱单价为 元，则第二批每箱单价为 元。： 第二批单价：（元） 答：第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。 （2） （箱） （元） （箱） （箱） 2400＋2700＝5100（元） a=30 答： 的值是 30。 考点九 行程问题 母题精讲（2025·湖北黄石·小升初真题）哥哥从家骑车去相距5千米的图书馆借书，如图所示，他从出发到回家( )分钟，他从图书馆返回时每分钟行( )千米。 【答案】 140 0.25 【思路引导】（1）图中横轴表示时间、纵轴表示路程，从折线统计图上可以得出哥哥从出发到回到家里，共用了140分钟。 （2）由图可知总路程是5千米，由返回时折线下降可知，所用时间是从120分钟到140分钟，先计算出所用时间，再根据路程÷时间＝速度，求出速度即可。 【规范解答】（1）他从出发到回家，共用了140分钟。 （2）140－120＝20（分钟） 5÷20＝0.25（千米/分） 举一反三（2025·湖南长沙·小升初真题）星期天早晨8：30，小萍骑电动车从家出发前往和谐广场。12分钟后，妈妈开车去追小萍，在距家6千米的地方追上了小萍。这时，妈妈收到一个电话，需要回家收个快递，于是立即掉头回家，拿到快递后没有停留（接快递时间忽略不计），立刻又回头去追小萍，妈妈再次追上小萍的时候，距家18千米，问：妈妈第二次追上小萍的时间是几时几分？ 【答案】9时42分 【思路引导】先看路程：妈妈第一次追上到第二次追上，小萍走了12千米，妈妈走了24千米，相同时间内妈妈路程是小萍的2倍，所以妈妈速度是小萍的2倍。 路程相同时，速度与时间成反比，走同样6千米，小萍用时是妈妈的2倍，时间差12分钟，说明小萍走6千米用24分钟，妈妈用12分钟。 小萍速度：6÷24＝0.25千米/分，走18千米总用时：18÷0.25＝72分钟。 出发时间8时30分，加72分钟即为最终时间。 【规范解答】速度比：妈妈速度∶小萍速度＝（6＋18）∶（18－6）＝24∶12＝2∶1 小萍走6千米用时：12×2＝24（分钟） 小萍速度：6÷24＝0.25（千米/分钟） 小萍走18千米总用时18÷0.25＝72（分钟） 最终时间：8时30分＋72分＝8时30分＋1时12分＝9时42分 答：妈妈第二次追上小萍的时间是9时42分。 【考点剖析】本题关键是利用相同时间内的路程比得出速度倍数关系，再结合时间差求出小萍速度与总用时。 考点十 工程问题 母题精讲（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）加工一批零件，原计划每天加工30个，当加工完时，由于改进了技术，工作效率提高了10%，结果提前了4天完成任务，问这批零件共有几个？ 【答案】1980个 【思路引导】明确“提前4天”是由于剩余工作量效率提高导致的。原计划与改进技术后的工作效率比为 1：（1＋10%）＝10：11 。在工作总量（剩余的）一定的情况下，工作时间与工作效率成反比，所以原计划与实际完成剩余工作的时间比为11：10。时间差1份对应提前的4天，由此可求出原计划完成剩余工作所需的时间，进而求出剩余工作量，最后根据剩余工作量占总量的求出零件总数。 【规范解答】则原效率与新效率的比为：1：（1＋10%）＝10：11 原计划时间与实际时间的比为 11：10 4÷（11−10）×11 ＝4÷1×11 ＝44（天） 30×44＝1320（个） 1320÷（1－） ＝1320÷ ＝1320× ＝1980（个） 答：这批零件共有1980个。 举一反三（2025·浙江杭州·小升初真题）甲、乙两项工作，张师傅单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李师傅单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天。如果每项工作都可以由两人合作完成，那么完成这两项工作，下列两种合作方案，哪种需要天数最少？ 方案一：甲工作和乙工作都由两位师傅合作完成； 方案二：先让李师傅单独完成甲工作，同时让张师傅单独完成乙工作，8天后，再让李师傅和张师傅一起合作完成剩余的乙工作。 【答案】方案二需要天数最少 【思路引导】分别计算两种方案完成两项工作的总时间，再比较两种方案总时间的大小，时间短的方案更优。 （1）方案一中，甲工作和乙工作都由两人合作完成。需要先分别计算甲工作合作完成的时间和乙工作合作完成的时间，再将两者相加得到方案一的总时间。工作总量视为单位“1”，合作时间＝工作总量÷工作效率和。 甲工作合作完成时间：张师傅单独完成甲工作的工作效率为1÷10＝；李师傅单独完成甲工作工作效率为1÷8＝；两人合作完成甲工作的效率为＋，则甲工作合作完成时间为1÷（＋）天； 乙工作合作完成时间：张师傅单独完成乙工作的工作效率为1÷15＝；李师傅单独完成乙工作的工作效率为1÷20＝。两人合作完成乙工作的效率为＋，则乙工作合作完成时间为1÷（＋）天； 方案一的总时间＝甲工作合作完成时间＋乙工作合作完成时间。 （2）方案二中，甲工作由李师傅单独完成，所以甲工作8天完成。 乙工作分两阶段：前8天张师傅单独做，张师傅单独完成乙工作8天的工作量为×8；剩余工作量由两人合作完成，剩余工作量为1－×8，两人合作完成乙工作的效率为＋，剩余乙工作所需的时间为（1－×8）÷（＋）。 总时间为8天加上合作完成剩余乙工作的时间。 （3）比较两种方案的总时间，数值小的方案用时更少 【规范解答】方案一： 两位师傅合作完成甲工作的效率： 完成甲工作所需时间：（天） 两位师傅合作完成乙工作的效率： 完成乙工作所需时间：（天） 总时间：（天） 方案二： 李师傅单独完成甲工作需8天，8天后甲工作完成。 张师傅单独完成乙工作的效率：，8天完成工作量： 乙工作剩余工作量： 两位师傅合作完成剩余乙工作所需时间：（天） 总时间：（天） 因为，，故方案二需要天数最少。 答：两种合作方案，方案二需要天数最少。 【考点剖析】本题需注意工程问题中合作完成工作的效率计算及时间叠加方式。关键在于明确方案中合作的具体方式。通过分步计算剩余工作量和合作效率，可准确比较两种方案的总时间。 考点十一 数字编码问题 母题精讲（2024·福建厦门·小升初模拟）用二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图1是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，其序号为a×23＋b×22＋c×2＋d。例如第一行数字从左往右依次是0，1，1，0，则表示的序号为0×23＋1×22＋1×2＋0＝6，以此规律，第二行序号表示2，第三行序号表示2，第四行序号表示9，该生为6年级2班29号，图2学生识别为五年级，则要在( )涂黑。 图1                         图2 【答案】（4，4） 【思路引导】根据例子可知，第一行数字表示的序号代表年级，所以图2学生识别为五年级，那么a×23＋b×22＋c×2＋d＝5；又因为黑色小正方形表示1，即b＝1，代入式子中可得出a×23＋c×2＋d＝1；由于a、c、d只能为0或1，进而得出d的值，用数对表示d的位置。 【规范解答】图2学生识别为五年级，则第一行数字表示的序号a×23＋b×22＋c×2＋d＝5； 图2中b＝1，则a×23＋1×22＋c×2＋d＝5，即a×23＋c×2＋d＝1； 因为a、c、d只能为0或1，只有当a＝0，c＝0，d＝1时，a×23＋c×2＋d的值为1； 所以d＝1，也就是要在（4，4）涂黑。 举一反三（2024·浙江金华·小升初真题）李老师为了方便查找电脑中的资料，用“首字母＋时间”的格式命名文件夹，其中字母W代表工作，L代表生活。例如命名为W2404的文件夹存放的是2024年4月的工作资料。按照这个规律，名为L0910的文件夹存放的是（    ）。 A．9月10日的生活资料 B．2009年10月的生活资料 C．2009年1月的生活资料 D．2009年10月的工作资料 【答案】B 【思路引导】分析题目，文件名中的第1位字母表示资料类型，第2、3位数字表示年份的后两位，即20XX年，第4、5位数字表示月份，据此作答。 【规范解答】“L0910”中的L表示生活资料，09表示年份是2009年，10表示月份是10月，所以名为L0910的文件夹存放的是2009年10月的生活资料。 故答案为：B 考点十二 排列组合问题 母题精讲（2024·广东深圳·小升初真题）北京到香港高铁线全长约2240千米，2024年6月15日8时，京广铁路全线实现时速350千米高标运营。 （1）小亮量得地图上的京港高铁线长5.6厘米。这幅地图的比例尺是多少？ （2）高铁G79从北京出发，前往香港，全程共8个站点，单程一共需要设计多少种不同的车票？ （3）智慧老人、淘气分别从香港和北京两座城市乘不同的高铁同时相向出发，4小时后两车相遇，淘气乘的车每小时行350千米。两车相遇时淘气乘的车比智慧老人乘的车多行了560千米。问智慧老人乘的车每小时行多少千米？（不考虑停站时间） 【答案】（1）1∶40000000；（2）28种；（3）210千米 【思路引导】（1）根据比例尺＝图上距离∶实际距离，把数据代入计算即可； （2）从北京出发，前往香港，全程共8个站点，每两个站点间需要一种车票。从第1站出发，可到其余7站，有7种；从第2站出发（已和第1站算过），可到其余6站，有6种；依此类推，从第7站出发，可到第8站，有1种。将这些情况数相加即得单程车票种数，即单程一共需要设计（7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）种不同的车票； （3）根据路程÷时间＝速度，560÷4＝140（千米），求出淘气乘的车每小时比智慧老人乘的车多行了140千米，再用淘气乘的车每小时行的千米数减140千米，即可求出智慧老人乘的车每小时行多少千米。 【规范解答】（1）2240千米＝224000000厘米 5.6∶224000000＝1∶40000000 答：这幅地图的比例尺是1∶40000000。 （2）7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（种） 答：单程一共需要设计28种不同的车票。 （3）350－560÷4 ＝350－140 ＝210（千米） 答：智慧老人乘的车每小时行210千米。 举一反三（2024·浙江金华·小升初真题）某校食堂免费提供米饭，并提供5种菜品供选购，单价分别为1、2、5、7、9元。小刘同学有15元钱，他想买三个不重样的菜，一共有（    ）种购买情况。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路引导】选择的三种菜相加的和不超过15元即可。按照顺序写，才能不重复不遗漏。 【规范解答】1＋2＋5＝8、1＋2＋7＝10、1＋2＋9＝12 1＋5＋7＝13、1＋5＋9＝15 2＋5＋7＝14 则一共有6种购买情况。 故答案为：C 考点十三 用列举法解决问题 母题精讲（2025·湖北武汉·小升初真题）三个人从五个景点中分别选择一处游览，且可以选择相同的景点，则共有______种游览景点的方法。 【答案】125 【思路引导】举例：假设3个人从2张照片中分别选择一张照片，且可以选择相同的照片，设2张照片的名称是A和B，则3人可以选的情况种类是：AAA、AAB、ABA、ABB、BAA、BAB、BBA、BBB，共有8种情况，则根据分步乘法计数原理，总的选择情况是2×2×2＝8（种）。由此可以推导三个人从五个景点中分别选择一处游览时共有的游览景点的方法种数。 【规范解答】第一个人选择景点时，有5种选择；第二个人选择景点时，有5种选择；第三个人选择景点时，有5种选择。 5×5×5 ＝25×5 ＝125（种） 则共有125种游览景点的方法。 举一反三（2024·江苏泰州·小升初真题）有1、2、5、7四个数。 (1)从中任选两个数组成两位数，一共能组成( )个不同的两位数，其中质数有( )个。 (2)用这四个数组成一道两位数乘两位数的乘法算式，乘积最大是( )。 【答案】(1) 12 2 (2)3692 【思路引导】（1）先把1、2、5、7四个数组成的两位数全部列举出来，数出个数；再根据质数的意义，从中找出质数，数出个数即可。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 （2）比较1、2、5、7四个数的大小，把最大的数和最小的数分别放在一个两位数的十位和个位上，把第二大的数和第三大的数分别放在另一个两位数的十位和个位上，这样这两个数的差值最小，那么它们的乘积最大。 【规范解答】（1）由1、2、5、7四个数组成的两位数分别是：12、15、17、21、25、27、51、52、57、71、72、75，共12个； 其中质数是：17、71，有2个。 填空如下： 从中任选两个数组成两位数，一共能组成（12）个不同的两位数，其中质数有（5）个。 （2）7＞5＞2＞1 71×52＝3692 用这四个数组成一道两位数乘两位数的乘法算式，乘积最大是（3692）。 考点十四 优化问题 母题精讲（2025·四川内江·小升初真题）某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元：方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月两次。他选择哪种方式更划算？ 【答案】方式二 【思路引导】方式一的总费用为单次费用乘次数；方式二的总费用为单次费用乘次数，再加上会员费；比较两种付费方式的总费用，最后选择总费用最少的付费方式即可。 【规范解答】方式一：一年＝12个月 12×2×30 ＝24×30 ＝720（元） 方式二：一年＝12个月 12×2×14＋240 ＝24×14＋240 ＝336＋240 ＝576（元） 因为576元＜720元，所以方式二更划算。 答：他选择方式二更划算。 举一反三（2025·重庆渝北·小升初真题）我市一水果销售公司，需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （单位：元/千米） 途中平均速度 （单位：千米/时） 装卸时间 （单位：小时） 装卸费用 （单位：元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 如果这批水果在运输过程中（包含装卸时间）的损耗为每小时160元。 （1）当运输路程为400千米时，你认为采用哪种运输工具比较好？ （2）当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同。 【答案】（1）汽车； （2）550千米 【思路引导】（1）总费用包括途中费用、装卸费用和损耗费用；分别计算汽车和火车的总费用，比较即可；分别用汽车、火车平均每千米的费用乘路程400千米，分别求出的途中费用，装卸费用汽车为1000元，火车为2000元，根据路程÷速度＝时间，分别求出汽车、火车行驶完400千米用的时间，再分别用汽车、火车行驶完400千米用的时间分别加上2小时和4小时，就是这批水果在运输过程中（包含装卸时间）汽车、火车各自用的总时间，再分别乘160元，求出汽车、火车各自的损耗费用，最后再把汽车、火车各自的途中费用、装卸费用和损耗费用相加求出各自的总费用，再进行比较即可解答。 （2）设运输路程为x千米时，两种工具总费用相同，则汽车的途中费用为10x元，火车的途中费用为8x元，汽车的装卸费用为1000元，火车的装卸费用为2000元，根据时间＝路程÷速度，汽车行驶的时间为小时，火车行驶的时间为小时，汽车行驶的时间加上用汽车的装卸时间就是汽车运输过程的总时间，总时间×160就是用汽车运输的损耗费用，火车行驶的时间加上火车的装卸时间，就是火车运输过程的总时间，总时间×160就是用火车运输的损耗费用，根据两种运输工具的总费用相等列方程解答即可。 【规范解答】（1）400÷80＝5（小时） 5＋2＝7（小时） 160×7＋10×400＋1000 ＝1120＋4000＋1000 ＝5120＋1000 ＝6120（元） 400÷100＝4（小时） 4＋4＝8（小时） 160×8＋8×400＋2000 ＝1280＋3200＋2000 ＝4480＋2000 ＝6480（元） 6120＜6480 答：采用汽车运输比较好。 （2）解：设运输路程为x千米时，两种工具总费用相同。 10x ＋ 1000 ＋ 160×（＋2） ＝ 8x ＋ 2000 ＋ 160×（＋4） 10x＋1000＋2x＋320＝8x＋2000＋1.6x＋640 12x＋1320＝9.6x＋2640 12x＋1320－1320＝9.6x＋2640－1320 12x＝9.6x＋1320 12x－9.6x＝9.6x＋1320－9.6x 2.4x＝1320 x＝1320÷2.4 x＝550 答：当运输路程为550千米时，两种运输工具所需总费用相同。 【考点剖析】明确总费用包括途中费用、装卸费用和损耗费用，求出两种运输工具各自的总时间是解题的关键；设运输路程为x千米时，两种工具总费用相同，根据等量关系两种工具总费用相同列方程解答第二问。 考点十五 鸡兔同笼 母题精讲（2025·云南昭通·小升初模拟）在小学数学的学习中，我们经常用一些巧妙的方法，将看似复杂的问题化繁为简。以下几个常见的问题中，哪个不能使用“假设法”来解决？（    ） A．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几只？ B．已知（a、b、c均不为0），将a、b、c按从大到小的顺序排列。 C．单独做一项工作，甲需要5天，乙需要4天，两人合作需要几天？ D．一个三角形的面积是48cm2，底是10cm，高是多少？ 【答案】D 【思路引导】鸡兔同笼问题，可以通过假设全是鸡或者全是兔，通过脚的数量差异计算鸡兔数量，属于假设法的应用； 假设a×＝b×＝c×的乘积都为1，直接计算出a、b、c的值，再进行比较即可； 假设工作总量为单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，求出甲、乙的工作效率后，再求出两人的合作效率，最后求出两人合作所需的时间； 已知三角形的面积和底，求高，根据三角形的面积公式：底×高÷2，直接可以求出三角形的高，据此解答。 【规范解答】A．鸡兔同笼问题中，假设全是鸡或全是兔，如假设全是鸡，脚的数为35×2＝70（只），比实际少94－70＝24（只），每只兔比鸡多4－2＝2（只）脚，兔的数量为24÷2＝12（只），鸡的数量为35－12＝23（只），可以用假设法； B．假设等式结果为1，a×＝1，a＝1÷＝1×2＝2，b×＝1，b＝1÷＝1×3＝3，c×＝1，c＝1÷＝1×4＝4，4＞3＞2，则c＞b＞a，可以用假设法； C．假设工作总量为1，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，甲效率为1÷5＝，乙效率为1÷4＝，合作效率为：＋＝＋＝，合作时间为：1÷＝1×＝（天），可以用假设法； D．根据三角形的面积＝底×高÷2，已知面积和底求高时，直接通过公式变形：高＝面积×2÷底，48×2÷10＝96÷10＝9.6（cm），直接公式计算，不可用假设法。 故答案为：D 举一反三（2023·四川成都·小升初真题）一次奥数竞赛中，共有50道题，做错一道扣1分，做对一道得3分，而不做解答则会得0分，宏亮在这次奥数竞赛中共得了97分，经了解，其中有3道题不会做，没有解答，则宏亮在此次奥数竞赛中共答对了多少道题？ 【答案】36道 【思路引导】根据题意，一共有50道题，其中有3题不会做没有解答，则解答了50－3＝47（道），再根据“做错一道扣1分，做对一道得3分”，可知做错一道比做对一道少得4分。据此用鸡兔同笼思想，假设全部做对，计算出可以得的分数，再与实际分数对比，求出相差的分数，用相差的分数除以4即可得出做错的题目数量，再用47减去做错的题目数量即可得出宏亮在此次奥数竞赛中共答对的题目数。 【规范解答】（道） 假设47道全部做对。 （分） 做错： （道） 做对：（道） 检验：（道） （分） 答：宏亮在此次奥数竞赛中共答对了36道题。 【考点剖析】考查鸡兔同笼的实际应用，本题也可以列方程求解。 考点十六 盈亏问题 母题精讲有一批同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6人，如果减少一条船，正好每条船坐9人，则该班有（    ）名同学。 A．32 B．36 C．40 D．48 【答案】B 【思路引导】方法一：若增加一条船，正好每条船坐6人，不增加，则有6×1＝6人坐不下。减少一条船，正好每船坐9人，不减少，则空余座位9×1＝9个。根据盈亏问题的解题方法，即（盈＋亏）÷两次剩余人数之差＝船的只数，原有船数可以求出。再根据已知条件求出该班人数。 方法二：设使用x条船，根据关系式：（使用船数＋1）×6＝（使用船数-1）×9，列方程计算即可求出使用船数，再用（使用船数＋1）×6，计算即可得解。 【规范解答】方法一：（9＋6）÷（9－6） ＝15÷3 ＝5（条） （5＋1）×6 ＝6×6 ＝36（人） 方法二 解：设使用x条船，据题意可得方程： （x＋1）×6＝（x－1）×9 6x＋6＝9x－9 9x－6x＝9＋6 3x＝15 x＝15÷3 x＝5 则班级人数为：（5＋1）×6 ＝6×6 ＝36（人） 该班有36名同学。 故答案为：B 举一反三（2025·四川绵阳·小升初真题）将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分3颗，就会余下糖果17颗；如果每人分5颗，就会缺少糖果13颗。幼儿园小班有多少小朋友？这些糖果共有多少颗？ 【答案】15人；62颗 【思路引导】第一次每人分3颗，第二次每人分5颗，第二次比第一次每人多5－3＝2（颗），因此每人多2颗，原来余17颗就变为少13颗，两次的分配差额是（17＋13）颗，可以用“总差额÷每人两次差额＝人数”，据此解答． 【规范解答】（17＋13）÷（5－3） ＝30÷2 ＝15（人） 15×3＋17 ＝45＋17 ＝62（颗） 【考点剖析】此题在求人数时，运用了关系式：（盈数＋亏数）÷两次分物数量的差＝分物份数（人数）。 考点十七 牛吃草问题 母题精讲（2025·湖南长沙·小升初真题）一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？ 【答案】 5小时 【思路引导】根据题意设一部抽水机1小时的抽水量为1份，泉水每小时涌出的量为：（10×20－15×10）÷（20－10）＝5（份），则原有泉水量为10×20－5×20＝100（份），所以用25部这样的抽水机去抽，泉水每小时涌出量用5部抽水机去抽，剩下的就抽原有的泉水了：100÷（25－5）＝5（小时）。 【规范解答】（10×20－15×10）÷（20－10） ＝（200－150）10 ＝5010 ＝5（份） 10×20－5×20 ＝200－100 ＝100（份） 25－5＝20（份） 100÷20＝5（小时） 答：用25部这样的抽水机5小时可以把水抽干。 【考点剖析】解答此题的关键是根据题意设一部抽水机1小时的抽水量为1份，抽水机在一定时间内抽水量包含两类：池中原有量；池中一定时间内新涌出的量。可先求出10部抽水机20小时的抽水量及15部抽水机10小时的抽水量，并利用抽水量之差除以时间之差，求出泉水每小时涌出的量份数，然后求出原有泉水量的份数。所以用25部这样的抽水机去抽，泉水每小时涌出量用5部抽水机去抽，剩下的就抽原有的泉水了：100÷（25－5）＝5（小时）。 举一反三（2025·重庆江北·小升初真题）牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么，这片牧场可供25头牛吃多少天？ 【答案】5天 【思路引导】假设每头牛每天吃1份草，通过两种不同吃法消耗的总草量差与时间差，求出草的生长速度，进而求出原有草量。最后计算25头牛吃的天数时，需考虑到每天新生的草需要一部分牛去吃，剩下的牛吃原有的草。 【规范解答】假设每头牛每天吃1份草。 10头牛20天吃草的总份数：（份） 15头牛10天吃草的总份数：（份） 草每天生长的份数： （份） 牧场原有的草份数： （份） 可供25头牛吃的天数： （天） 答：这片牧场可供25头牛吃5天。 【考点剖析】本题是牛吃草问题，解题的关键在于求出草每天生长的数量和牧场原有的草量。 考点十八 植树问题 母题精讲（2025·浙江宁波·小升初真题）在一条长400米的马路两边植树，两端都要种，每隔20米种一棵，一共需要种几棵树？下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】两端都种的植树问题，棵数＝间隔数＋1，先根据“间隔数＝总长÷间距”求出马路一边的间隔数，再加上1求出马路一边的植树棵数，即400÷20＋1，最后乘2求出马路两边的植树总棵数，据此解答。 【规范解答】（400÷20＋1）×2 ＝（20＋1）×2 ＝21×2 ＝42（棵） 所以，一共需要种42棵树。 故答案为：C 举一反三（2023·四川成都·小升初真题）一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车才到达甲站，这时候恰好又有一辆电车从甲站开出，他从乙站到甲站用了( )分钟。 【答案】40 【思路引导】这个人从乙站到甲站一共遇到了12辆车，10辆是路上遇到的，2辆分别在甲乙两站遇到的。每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟，则这个人从乙站出发时，第4辆车正从甲站开出。这个人到达甲站的时候，正好第12辆车正从甲站开出，所以这个人从乙站到甲站所用的时间就是第4辆车从甲开出到第12辆车从甲开出之间的时间。 【规范解答】10＋1＋1＝12（辆） （12－4）×5 ＝8×5 ＝40（分钟） 考点十九 分段计费问题 母题精讲（2025·浙江温州·小升初模拟）温州江心屿是市民喜爱的热门打卡点。 (1)小宇家到“江心屿”全程12.5千米，他用某打车平台出行的方式前往该景点，那么一共需要车费多少元？ 行驶距离 某平台出行计价方式 10千米以内（含10千米） 起步价10元 超过10千米部分 每千米3元（不足1千米的按1千米计算） (2)从江心屿的地步行至地，小舟需要24分钟，小宇需要40分钟，他们分别从、两地出发，相向而行，多少分钟可以相遇？ 【答案】(1)19元 (2)15分钟 【思路引导】（1）根据题目要求，行驶距离为12.5千米，按13千米计费。10千米以内（含10千米）的起步价10元，超过10千米的部分每千米3元。总距离13千米减去10千米，算出超出部分为3千米。再用超出距离乘超出部分每千米的价格，得到超出部分的车费，最后用超出部分的车费加上起步价，求得总车费。 （2）将绕江心屿环岛一周的总路程视为单位“1”。分别计算出小舟的速度为1÷24＝，小宇的速度为1÷40＝，两人速度和为＋，根据相遇时间＝总路程÷速度和，即1÷（＋），求得相遇时间。 【规范解答】（1）行驶距离为12.5千米，按13千米计费。 （13－10）×3 ＝3×3 ＝9（元） 10＋9＝19（元） 答：一共需要车费19元。 （2）1÷24＝ 1÷40＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝15（分钟） 答：15分钟可以相遇。 举一反三（2024·云南昭通·小升初真题）星期天，妈妈准备开车去商场办事。下面是她所办事件所需时间统计表和该商场停车收费标准。 所办事件 维修手机（与维修师傅洽谈时间忽略不计） 购买图书 购买鞋子 购买衣服 车在停车场行驶及妈妈步行等 所需时间 1.5小时 0.5小时 0.3小时 1小时 0.2小时 请帮妈妈设计一个支付停车费最少的方案，再计算一共需要支付多少元？ 【答案】方案见详解；10元 【思路引导】根据1小时及以内2.5元，而超过1小时，每0.5小时2.5元，即超过部分1小时5元，可知把妈妈所办事件的时间尽量控制在1小时内完成，分几次进出停车场，可使支付停车费用最少。如果有超出1小时的，把需要的时间分为两部分，一部分是1小时及以内的费用，另一部分是超过一小时的费用，把两部分费用相加求出一共的费用；最后把所有的费用相加即可。 【规范解答】购买图书、购买鞋子及妈妈步行一共需要：0.5＋0.3＋0.2＝1（小时） 维修手机的时候去买衣服用时：1.5＋0.2＝1.7（小时） 支付停车费最少的方案：先开车进停车场，去商场购买图书、鞋子及步行，然后开车离开停车场；第二次进停车场，去商场维修手机的时候购买衣服，再开车离开。 1.7＝1＋0.7 2.5＋2.5＋2.5×2 ＝2.5＋2.5＋5 ＝10（元） 答：支付停车费最少的方案：先开车进停车场，去商场购买图书、鞋子及步行，然后开车 离开停车场；第二次进停车场，去商场维修手机的时候购买衣服，再开车离开。一共需要支付10元。 【考点剖析】解决本题的关键是把几件事统筹安排，尽量在1小时内完成，这样停车费用最少。 考点二十 找次品 母题精讲（2025·湖南长沙·小升初真题）有25盒饼干，其中有1盒吃了两块，如果用天平称，至少要称（    ）次才能保证找到这盒饼干。 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【思路引导】由题意可知，其中有1盒吃了两块，说明次品比正品轻，把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【规范解答】分析可知： 综上所述，如果用天平称，至少要称3次才能保证找到这盒饼干。 故答案为：C 举一反三（2023·陕西西安·小升初真题）外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等。则这20个球的总重量是( )克。 【答案】88 【思路引导】由题意可知，由于只有4克和5克两种重量的球，则两个球组合在一起，重量最重为5＋5＝10克，其次为5＋4＝9克，最轻为4＋4＝8克。因此最初取出的2个球必为4克与5克各一个。有3对比那两个球重，所以这3对是两个5克的球，共6个5克的球；有5对比那两个球轻，所以这5对是两个4克的球，共10个4克的球；有一对与那两个球相等，所以这1对也是1个4克和1个5克的球，最后计算出20个球的总重量，据此解答。 【规范解答】2×3×5＋2×5×4＋（4＋5）×2 ＝2×3×5＋2×5×4＋9×2 ＝30＋40＋18 ＝88（克） 则这20个球的总重量是88克。 【考点剖析】本题关键是明确取出的2个球的重量是9克，比其重的是10克，比其轻的是8克。 考点二十一 数与形 母题精讲（2025·四川达州·小升初真题）如图，按照这种方式摆下去，第10个图形需要_____个，第个图形需要_____个。 【答案】 40 4n 【思路引导】 观察图可知，第1个图形有4个，第2个图形有4×2＝8个，第3个图形有4×3＝12个，由此可得规律：第n个图形有4n个，据此规律解答。 【规范解答】10×4＝40（个） n×4＝4n（个） 即第10个图形需要10×4＝40个，第n个图形需要4n个。 举一反三（2025·河南郑州·小升初真题）古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”。他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子排列的形状把整数进行分类。如：1，3，6，10，…这些数叫做三角形数。那么，在整数45，456和1830中，是三角形数的有（    ）。 A．45和456 B．456和1830 C．45和1830 D．45、456和1830 【答案】C 【思路引导】观察图形，第一个图形有1个三角形数，第二个图形有3＝1＋2个三角形数，第三个图形有6＝1＋2＋3个三角形数，第四个图形有10＝1＋2＋3＋4个三角形数，由此可知，第n个图形的三角形数是1＋2＋……＋n＝n（n＋1）÷2，由此代入数值求得n的整数解。 【规范解答】n（n＋1）÷2＝45 n（n＋1）＝90 n＝9 符合题意 n（n＋1）÷2＝456 n（n＋1）＝912 n无整数解，不符合题意。 n（n＋1）÷2＝1830 n（n＋1）＝3660 n＝60 符合题意 45，456和1830中是三角形数的有45和1830。 故答案为：C 【考点剖析】观察图形，找到三角形数的规律：第n个图形的三角形数是1＋2＋……＋n＝n（n＋1）÷2，是解题关键。 考点二十二 鹐巢问题 母题精讲（2025·湖南永州·小升初模拟）16只鸽子飞进5个鸽笼里，不管怎么飞，总有一个鸽笼至少飞进( )只鸽子。 【答案】4 【思路引导】把16只鸽子尽可能平均放进5个鸽笼，计算16÷5＝3（只）……1（只），得出每个鸽笼先放3只，还剩1只鸽子。剩下的1只鸽子无论放进哪个鸽笼，这个鸽笼的鸽子数量就会变成3＋1＝4只，因此总有一个鸽笼至少飞进4只鸽子。 【规范解答】16÷5＝3（只）……1（只） 3＋1＝4（只） 所以16只鸽子飞进5个鸽笼里，不管怎么飞，总有一个鸽笼至少飞进4只鸽子。 举一反三（2023·四川成都·小升初真题）班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个问题：班上有几个人与你生日的月份相同，班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）。结果发现，所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？ 【答案】2个 【思路引导】回答中包含了由0到14的所有整数，因此有1~15人在同月份或同日期 日期＋月份的总数一共有（种） 因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。 若无人同生日，设从1月到12月人数依次减少，1日到31日人数依次减少，那么1日最多有12个人，否则1日必定有人同生日。而此时12个人生日在1日，那么说明每个月的1日都有人，月份至少为，而，因此1~12月里面最多只能有10个月有人在1日过生日，日期中最多10人相同，1~15又都要出现，因此，11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。据此解答。 【规范解答】答案的数量：（个） 日期＋月份的总数一共有：（种） 因此恰好有1~15人，每种情况出现一次且有60个月份＋60个日期。 若无人同生日，月份至少为，而 11，12，13，14，15均为同月出现的回答，但此时，月份依然超过了最高限制，因此矛盾，不可能无人同一天生日。 答：该班至少有2个同学生日相同。 考点二十三 求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题) 母题精讲（2025·湖北黄石·小升初真题）张亮在一个长方体的玻璃容器中装了一些水，他把一块底面半径为4厘米的圆柱形铁块完全浸没在水中，发现水面上升了8厘米，把铁块提起5厘米时，这时水面下降了2厘米。（如图所示，玻璃厚度忽略不计）（π取3） (1)圆柱形铁块露出水面部分的体积是多少？ (2)圆柱形铁块的体积占玻璃容器容积的百分之几？ 【答案】(1)240立方厘米 (2)26.67% 【思路引导】（1）求这个铁块露出水面部分的体积是多少，就是求底面半径是4厘米，高是5厘米的圆柱体的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高即可解答； （2）求这个铁块的体积占玻璃容器容积的百分之几，就可以求上升了8厘米的高度是长方体的玻璃容器高度的百分之几，所以用除法即可解答。 【规范解答】（1）1）3××5 ＝3×（4×4）×5 ＝3×16×5 ＝48×5 ＝240（立方厘米） 答：圆柱形铁块露出水面部分的体积是240立方厘米。 （2）8÷30×100% ＝×100% ≈26.67% 答：圆柱形铁块的体积占玻璃容器容积的26.67%。 举一反三（2025·重庆九龙坡·小升初真题）甲、乙、丙三个试管中各盛有100克、200克、300克水，把某种浓度的盐水100克倒入甲中，充分混合后从甲中取出100克倒入乙中，再充分混合后从乙中取出100克倒入丙中，最后得到丙的盐水浓度是0.75%，一开始倒入试管甲中的盐水浓度是___________%。 【答案】18 【思路引导】根据题意，我们可以先求出倒入丙试管中的100克溶液含有盐的克数为：0.75%×（300＋100）＝3（克），同理再求出倒入乙试管的100克溶液中含有盐的质量，接着再求出倒入甲试管的100克溶液中含有盐的质量，最后再用甲试管中盐的质量÷100×100%即可求出试管甲中盐水的浓度。 【规范解答】0.75%×（300＋100）＝0.75%×400＝3（克） 3÷100×（100＋200）＝＝9（克） 9÷100×（100＋100）＝＝18（克） 18÷100×100%＝18% 即一开始倒入试管甲中的盐水浓度是（18）%。 考点二十四 求一个数比另一个数多/少百分之几 母题精讲2025·湖南长沙·小升初真题）下列四句话中，正确的是（    ）。 A．一种商品打折出售正好保本，则不打折时该商品只获20%的利润 B．林场种100棵树苗，死了3棵，又补种了3棵，共成活100棵，成活率为100% C．大牛和小牛头数的比是，表示大牛比小牛多 D．按1，8，27，（    ），125，216的规律排，括号中的数应为64 【答案】D 【思路引导】A．保本意味着“折后售价＝成本价”，未说明打几折，无法确定不打折时的利润率。 B．成活率＝成活棵数÷总棵数×100%。 C．假设大牛有4只，小牛有3只，用大牛的数量减去小牛的数量求出多的数量，再用多的数量除以小牛的数量即可求出大牛比小牛多的分率。 D．1＝1×1×1，8＝2×2×2，125＝5×5×5，216＝6×6×6，可以发现，第n个数就是n×n×n。 【规范解答】A．例如打八折保本，假设原价是100元，则成本价是100×80%＝100×0.8＝80（元） （100－80）÷80×100% ＝20÷80×100% ＝0.25×100% ＝25% 若打八折出售正好保本，则不打折时该商品获25%的利润，而非20%，该选项错误。 B．100÷（100＋3）×100% ＝100÷103×100% ≈0.971×100% ＝97.1% 成活率是97.1%，而非100%，该选项错误。 C．（4－3）÷3 ＝1÷3 ＝ 大牛比小牛多，而非，该选项错误。 D．4×4×4 ＝16×4 ＝64 括号中的数应为64，该选项正确。 举一反三（2025·河南新乡·小升初真题）李克强总理在十三届全国人大一次会议所作的政府工作报告中指出：从2013至2017年，我国国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元。现在，大陆人口约为13亿人。 (1)根据你的理解，把“82.7万亿”填写在下面的数位顺序表中。 数级 …… 亿级 万级 个级 数位 … … … … 千亿位 百亿位 十亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十位 个位 (2)2017年国内生产总值比2013年增长了百分之几？（百分号前保留一位小数） (3)2017年我国人均国内生产总值约为( )元。（结果保留整数） 【答案】(1)82700000000000 (2)53.1% (3)63615 【思路引导】（1）2017年我国国内生产总值为82.7万亿元，根据数位顺序表的填写要求，需将该数值按数位展开。82.7万亿即82700000000000元，换算后在数位顺序表中填写如下：十万亿位：8，万亿位：2，千亿位：7，其余各位（亿位至个位）均为0； （2）先用2017年国内生产总值减去2013年国内生产总值求出差值，再用差值除以2013年国内生产总值，求出值再用四舍五入的方法把结果保留三位小数，再化成百分数； （3）82.7万亿改写成82700000000000，13亿改写成1300000000，将82700000000000与1300000000同时除以100000000去掉8个0，得827000与13，再用827000÷13求出值，然后用四舍五入的方法保留整数。 【规范解答】（1） 数级 …… 亿级 万级 个级 数位 … … … … 千亿位 百亿位 十亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十位 个位 8 2 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 （2）（82.7－54）÷54 ＝28.7÷54 ＝0.531481… ≈0.531 0.531×100%＝53.1% 答：2017年国内生产总值比2013年增长了53.1%。 （3）82.7万亿＝82700000000000 13亿＝1300000000 82700000000000÷1300000000 ＝（82700000000000÷100000000）÷（1300000000÷100000000） ＝827000÷13 ＝63615.384615… ≈63615（元） 所以2017年我国人均国内生产总值约为63615元。 考点二十五 求一个数的百分之几是多少 母题精讲（2025·重庆九龙坡·小升初真题）从有关方面获悉，在我市农村已经实行了农民新型合作医疗保险制度。享受医保的农民可在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用。下表是医疗费用报销的标准： 医疗费用范围 门诊 住院 0—5000元 5001—20000元 20000元以上 每年报销比例标准 30% 30% 40% 50% （说明：住院医疗费用的报销分段计算。如：某人住院医疗费用共30000元，则5000元按30%报销，15000元按40%报销、余下的10000元按50%报销，题中涉及到的医疗费用指允许报销的医疗费用） (1)某农民在2008年门诊看病自己共支付医疗费280元，则他在这一年中门诊医疗费共花费多少元？ (2)某农民一年内实际住院医疗费为18000元，则他应自付医疗费多少元？ (3)若某农民一年内因本人住院按标准报销医疗费15000元，则该农民当年实际医疗费用共多少元？ 【答案】(1)400元 (2)11300元 (3)35000元 【思路引导】（1）把总费用看作单位“1”，门诊费用按30%的比例报销，也就是个人需要承担总费用的70%，用自付金额除以个人承担的占比，就能算出总门诊医疗费。 （2）把18000元的总费用拆成两段计算：第一段是0到5000元的部分，按30%报销，用5000元乘30%算出这部分的报销金额；第二段是5001到18000元的部分，共13000元，按40%报销，用13000元乘40%算出这部分的报销金额；把两段的报销金额相加，得到总的报销费用；最后用总住院费用减去总报销费用，就得到了个人需要自付的医疗费。 （3）0到5000元的部分，用5000元乘30%算出最多可报销1500元；5001到20000元的部分，用15000元乘40%算出最多可报销6000元；前两段加起来最多可报销7500元，总报销金额是15000元，说明费用超过了20000元。用总报销金额减去前两段的报销总额，得到第三段的报销金额；再用第三段的报销金额除以50%的报销比例，算出第三段对应的实际费用；最后把前两段的最高费用20000元，加上第三段的实际费用，就得到了总的实际医疗费用。 【规范解答】（1）280÷（1－30%） ＝280÷70% ＝280÷0.7 ＝400（元） 答：他在这一年中门诊医疗费共花费400元。 （2）5000×30%＋（18000－5000）×40% ＝5000×0.3＋13000×0.4 ＝1500＋5200 ＝6700（元） 18000－6700＝11300（元） 答：他应自付医疗费11300元。 （3）5000×30%＝5000×0.3＝1500（元） （20000－5000）×40% ＝15000×40% ＝15000×0.4 ＝6000（元） 15000－1500－6000 ＝13500－6000 ＝7500（元） 7500÷50%＝7500÷0.5＝15000（元） 20000＋15000＝35000（元） 答：该农民当年实际医疗费用共35000元。 举一反三（2025·湖南长沙·小升初真题）猪猪侠用20000元买了一套产品。一年后将其中价值75%的产品委托喜洋洋商店标价12000元寄售，并按寄售价的5%付了手续费，其余产品自己留用。后来寄售的这部分产品按寄售价卖出了30%，损坏了10%，喜羊羊商店按寄售价赔偿了损失，猪猪侠留用的部分也损坏了20%，最后他把两处剩下的产品全部按原价的70%卖出，猪猪侠最后共损失多少元？ 【答案】6700元 【思路引导】根据题意，先求出付手续费用：12000×5%＝600元；再求出售出＋损坏赔偿的部分：12000×（30%＋10%）＝4800元；然后求得余下部分：75%×（1－30%－10%）＋（1－75%）×（1－20%）＝65%；最后求得出售部分所得：20000×65%×70%＝9100元，那么总的收入：9100＋4800－600＝13300元．用进价减去总收入，即为损失的钱数。 【规范解答】付手续费用：12000×5%＝600（元） 售出＋损坏赔偿：12000×（30%＋10%） ＝12000×40% ＝4800（元） 余下部分：75%×（1－30%－10%）＋（1－75%）×（1－20%） ＝75%×60%＋25%×80% ＝45%＋20% ＝65% 最后出售部分所得：20000×65%×70%＝9100（元） 总收入：9100＋4800－600＝13300（元） 损失：20000－13300＝6700（元） 猪猪侠最后共损失6700元。 考点二十六 比一个数多/少百分之几的数是多少 母题精讲（2025·重庆江北·小升初真题）甲、乙两家商店出售同一款兔宝宝玩具，每只原售价都是25元，为了促销，甲店先提价，再降价；乙店则直接降价，那么，调价后对于这款兔宝宝玩具，( )店的售价更便宜，便宜( )元。 【答案】 甲 0.5 【思路引导】求比一个数多百分之几的数是多少，用具体量×（1＋百分率）。求比一个数少百分之几的数是多少，用具体量×（1－百分率）。甲店先提价10%，表示提价后的价钱比原价多10%，用求出提价后的价钱，再降价20%，表示现价比提价后的价钱少20%，用提价后的价钱×（1－20%）求出甲店中兔宝宝玩具的现价。乙店则直接降价，表示乙店的现价比原价少10%，用求出现价。最后将甲店与乙店的现价作比较，确定便宜的店，并求出便宜的钱数。 【规范解答】甲店： （元） 乙店： （元） 所以，甲店的售价更便宜。 （元） 所以，便宜0.5元。 举一反三（2025·甘肃兰州·小升初真题）端午节是我国传统节日之一。端午节有一些特定的节日习俗，如划龙舟、包粽子等。某小学在端午节前随机调查了学生对端午节习俗的了解情况（了解程度分：A．很了解；B．比较了解；C．了解较少；D．不了解），并根据调查结果绘制了两幅统计图。 (1)这次活动一共调查了( )名学生。 (2)画出“了解较少”的直条。 (3)以“很了解”的人数为单位“1”，“不了解”的人数比“很了解”的少( )%。 (4)该小学共有学生1000人，根据统计结果推算，“不了解”的学生共有( )人。 【答案】(1)200 (2)见详解 (3)75% (4)80 【思路引导】（1）扇形统计图表示的是每一项占整体的百分比，总和是“1”，条形统计图表示的是每一项的具体人数，总和是调查的总人数；综合观察两个统计图，求调查总人数是求单位“1”，找人数和该项占整体的百分率都已知量，用人数÷该项占比＝总人数（单位“1”）； （2）总人数－其它三项的人数和＝C项人数； （3）求一个数比另一个数少百分之几，用两个数相差的部分÷单位“1”计算； （4）学校总人数是单位“1”，总人数ד不了解”人数占比＝“不了解”的学生总数。 【规范解答】（1）A项有64人，A项占比32%，则调查总人数为： 64÷32% ＝64÷0.32 ＝200（人） （2）200－（64＋70＋16） ＝200－150 ＝50（人） （3）“不了解”的人数比“很了解”的少（      ）%。”就是求少的人数占“很了解”人数的百分之几： （64－16）÷64×100% ＝48÷64×100% ＝0.75×100% ＝75% （4）“不了解”的人数占调查总人数的百分率为： 16÷200×100% ＝0.08×100% ＝8% 1000人的8%是“不了解”的人数： 1000×8% ＝1000×0.08 ＝80（人） 考点二十七 已知一个数的百分之几是多少，求这个数 母题精讲（2025·山东潍坊·小升初真题）乐乐从家出发去上学，走到A地时，发现忘记带科学课材料，于是她赶紧小跑回家；拿好材料后，怕上学迟到，就骑自行车赶往学校。乐乐行程情况（图1）和时间分配图（图2）。 (1)乐乐从A地回家取材料的跑步速度是多少米/分？ (2)乐乐骑车的平均速度是250米/分，乐乐家到学校的距离是多少千米？ 【答案】(1)150米/分 (2)3千米 【思路引导】（1）观察可知，乐乐小跑回家的距离是450米，小跑回家的时间是（8－5）分钟，根据路程÷时间＝速度，列式解答即可。 （2）将总时间看作单位“1”，由图可知，走路用了5分钟，占总时间的25%，走路用的时间÷对应百分率＝总时间，总时间－骑自行车前的时间＝骑自行车的时间，用骑车的速度×骑车的时间＝总路程，据此列式解答。最后按1000米＝1千米换算单位。 【规范解答】（1）450÷（8－5） ＝450÷3 ＝150（米/分） 答：乐乐从A地回家取材料的跑步速度是150米/分。 （2）5÷25% ＝5÷0.25 ＝20（分） 20－8＝12（分） 250×12＝3000（米） 3000米＝3千米 答：乐乐家到学校的距离是3千米。 举一反三（2025·湖南永州·小升初模拟）某村修一条乡村公路，第一天修了全长的20%，相当于第二天修的长度的。修了两天还剩下440米，这条乡村公路共有多少米？ 【答案】800米 【思路引导】把这条公路的全长看作单位“1”，先求出第二天修的占全长的比例，根据题意，“第一天修的长度是第二天修的长度的”，用20%÷＝25%，得到第二天修的占全长的比例；再用加法计算两天一共修的路程占全长的比例，即（20%＋25%）；接着求出剩下路程占全长的比例，即（1－20%－25%）；最后根据量率对应（部分量÷部分分率＝单位“1”的量），用剩下的长度除以对应的比例得到这条路的全长。 【规范解答】20%÷ ＝20%× ＝20%×1.25 ＝25% 1－20%－25% ＝80%－25% ＝55% 440÷55% ＝440÷0.55 ＝800（米） 答：这条乡村公路共有800米。 考点二十八 已知比一个数多/少百分之几是多少，求这个数 母题精讲（2025·河南商丘·小升初真题）国美电器三分店昨天卖出了2台柜式空调，每台都按8400卖出，其中一台赚了40%，而另一台赔了40%。聪明的小朋友，请你算一算卖出这两台柜式空调是赚了还是赔了？赚了或赔了多少元？ 【答案】赔了；3200元 【思路引导】要判断赚赔，需先求两台空调的成本价。 赚40%的那台：售价是成本的1＋40%，因此“成本＝售价÷（1＋40%）”； 赔40%的那台：售价是成本的1－40%，因此“成本＝售价÷（1－40%）”。 算出总成本后，与总售价（8400×2）比较，差值即为赚赔金额。 【规范解答】8400÷（1＋40%） ＝8400÷1.4 ＝6000（元） 8400÷（1－40%） ＝8400÷0.6 ＝14000（元） 6000＋14000＝20000（元） 8400×2＝16800（元） 因为20000＞16800，所以赔了，赔的金额为20000－16800＝3200（元）。 答：卖出这两台柜式空调是赔了，赔了3200元。 举一反三（2025·重庆九龙坡·小升初真题）一双鞋的标价为1200元，打六折后仍可以获利20%，这双鞋成本是___________元。 【答案】600 【思路引导】打六折即现价是原价的60%，先根据现价＝原价×折扣，计算出打六折后的售价，再根据获利20%，即六折后售价是成本的1＋20%，根据“已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法”求出成本。 【规范解答】六折后售价：1200×60% ＝1200×0.6 ＝720（元） 成本：720÷（1＋20%） ＝720÷120% ＝720÷1.2 ＝600（元） 考点二十九 已知一部分量占总量的百分之几及另一部分量，求总量 母题精讲．（2024·河北沧州·小升初真题）打字员录入一篇稿件。第一天录入了总页数的，第二天录入了总页数的40%，第二天比第一天多录入9页。这篇稿件共有多少页？ 【答案】60页 【思路引导】以总页数为单位“1”，第二天比第一天多录了全书的，也就是9页，即已知一个数的几分之几求这个数，用除法，除以一个分数相当于乘这个分数的倒数。 【规范解答】9÷（40%－） ＝9÷（） ＝9÷（） ＝9÷ ＝9× ＝60（页） 答：这篇稿件共有60页。 举一反三（2024·广东梅州·小升初真题）刘老师下载一段视频，对话框显示“完成75%，剩余9分钟”，照这样计算，完成整个下载任务一共需要多少分钟？ 【答案】36分钟 【思路引导】根据题意，将完成下载一共需要的时间看作单位“1”，剩余9分钟占完成下载一共需要的时间的（1－75%），根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法计算，据此解答。 【规范解答】9÷（1－75%） ＝9÷25% ＝36（分钟） 答：完成整个下载任务一共需要36分钟。 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．（2025·湖北黄石·小升初真题）用下面的图形（    ）可直观得出“1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝52”。 A．B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据“1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝52”，找出图形中不同颜色正方形数量分布与算式“先递增到5再递减”的规律一致，且整体构成边长为5的正方形（面积为52）的选项。 【规范解答】A．图形从颜色和数量分布可以看作是1＋3＋5＋7＋5＋3＋1，不能对应题目中的算式，因此选项A错误； B．图形从颜色和数量分布可以看作是1＋2＋6＋6＋10，不能对应题目中的算式，因此选项B错误； C．图形中不同颜色正方形数量呈现“从1开始递增到5，再递减回1”的分布，完全对应算式“1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1”；同时这些正方形组成一个边长为5的大正方形，其面积为52，因此C选项正确。 D．图形中不同颜色正方形数量与“先递增到5再递减”的规律不对应，因此D选项错误。 可直观得出“1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝52” 的图形是。 2．（2025·浙江宁波·小升初真题）马拉松比赛全程42千米，等距离共设置了14处降温点（起点终点除外），平均每相邻两处降温点的距离大约是（    ）。 A．3.5千米 B．3千米 C．2.8千米 D．2.6千米 【答案】C 【思路引导】由于起点不设，终点不设，属于“两端都不栽”模型，所以间隔数＝降温点数＋1。用42除以（14＋1），即可得解。 【规范解答】42÷（14＋1） ＝42÷15 ＝2.8（千米） 马拉松比赛全程42千米，等距离共设置了14处降温点（起点终点除外），平均每相邻两处降温点的距离大约是2.8千米。 故答案为：C 3．（2025·湖北黄石·小升初真题）下面说法中，正确的有（    ）。 ①一个两位小数的近似数是3.0，这个两位小数最大是2.99； ②一个自然数（0除外），不是奇数就是偶数，不是质数就是合数； ③一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等，圆柱的高是6cm，那圆锥的高一定是18cm； ④把26个苹果放进4个篮子中，其中至少有一个篮子中放入了8个苹果。 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【思路引导】①根据四舍五入规则，“四舍”时原数最大。据此求出满足小数的最大值，和题目比较。 ②自然数（0除外）按能否被2整除分为奇数和偶数；按因数个数分为质数、合数和1，其中1既不是质数也不是合数。 ③当圆柱和圆锥体积相等、底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。 ④先将26个苹果平均放入4个篮子，再通过分配余下的苹果，判断其中一个篮子中苹果数量。 【规范解答】①要使两位小数四舍五入后为3.0，其十分位为0，百分位最大为4，所以这个两位小数最大是3.04，而非2.99。因此，说法①错误。 ②因为1既不是质数也不是合数，所以“不是质数就是合数”的说法错误。 ③6×3＝18cm，因此，说法③正确。 ④26÷4＝6（个）……2（个），即给每个篮子放6个后还余2个，余下的2个苹果无论放进哪个篮子，至少有一个篮子有6＋1＝7个苹果，而非8个。因此，说法④错误。 综上，只有说法③正确，即有1个说法正确。 4．（2025·湖北黄石·小升初真题）下面的每一个图形都是由△、□、○中的两个组成的。观察各个图形，根据图形下面的数，找出规律。 【答案】； 【思路引导】第一个图：11是两个三角形，一个在另一个的里面； 第二个图：32表示一个正方形，一个圆形，圆形在正方形的里面； 第三个图：21表示一个圆形，一个三角形，三角形在圆的里面； 第四个图：13表示一个三角形，一个正方形，正方形在三角形的里面； 由此可知：数字1表示三角形，2表示圆形，3表示正方形；而且第二个数字表示的图形在第一个的里面。 【规范解答】23表示一个圆形，一个正方形在圆形里面； 12表示一个三角形，一个圆形在三角形里面。 5．（2025·湖南永州·小升初真题）一个布袋中有2个黄球、3个白球、5个红球。如果每次从布袋中取出一个球，至少摸出( )个球才能保证摸到2个同色球。 【答案】4 【思路引导】总共有3种颜色的球，假设前面取的3个球颜色都不相同，那么再取1个球，不管这个球是哪种颜色，都会和前面3个球中的一个球颜色相同，这样就有2个同色球。 【规范解答】3＋1＝4（个） 所以，至少摸出4个球才能保证摸到2个同色球。 6．（2025·湖南邵阳·小升初模拟）从A地到B地，甲用了4小时，乙用了5小时，甲和乙的速度比为5∶4。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】将A地到B地的路程看作单位“1”。根据速度＝路程÷时间，用单位“1”除以甲和乙所用的时间，即可得到甲的速度1÷4＝，乙的速度1÷5＝；再根据比的意义，用甲速度比乙速度，得到甲和乙的速度比，根据比的基本性质化简。 【规范解答】1÷4＝ 1÷5＝ 甲速度∶乙速度 ＝∶ ＝（×20）∶（×20） ＝5∶4 因此，原题说法正确。 故答案为：√ 7．（2025·甘肃平凉·小升初模拟）下面是张大爷的一张储蓄存单，请你帮张大爷算算，他的存款到期时实际可得多少元利息？ 中国建设银行（定期）储蓄存单 账号×××××× 币种人民币  金额（大写）五千元  小写￥5000.00元 存入期 存期 年利率 起息日 到期日 2022年4月1日 3年 2022年4月1日 2025年4月1日 【答案】375元 【思路引导】由存款单可知：本金是5000元，利率是2.5%，存期是3年；根据利息＝本金×利率×存期，求出存款到期时实际可得的利息。 【规范解答】5000×2.5%×3 ＝5000×0.025×3 ＝125×3 ＝375（元） 答：他的存款到期时实际可得375元利息。 8．（2025·湖北武汉·小升初真题）奇思家和妙想家相距4.5千米。周日早上9∶00两人分别从家骑自行车相向而行，9∶10两人相遇，奇思骑行的速度是0.2千米/分，妙想的骑行速度是多少？ 【答案】0.25千米/分 【思路引导】根据题意，先用相遇时刻减去出发时刻，求出相遇时两人的骑行时间。根据相遇问题：速度和＝路程÷相遇时间，求出两人的速度和，再用速度和减去奇思的骑行速度，求出妙想的骑行速度。 【规范解答】9时10分－9时＝10（分钟） 4.5÷10－0.2 ＝0.45－0.2 ＝0.25（千米/分） 答：妙想的骑行速度是0.25千米/分。 9．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）甲、乙、丙、丁四个小朋友共有彩色玻璃球200颗，甲给乙26颗，乙给丙36颗，丙给丁32颗，丁给甲4颗后四人的颗数相等。他们原来各有玻璃球多少颗？ 【答案】甲原来有72颗，乙原来有60颗，丙原来有46颗，丁原来有22颗。 【思路引导】玻璃球的总颗数不变，先求出最后四人相等时每人的颗数，然后根据每人“给出”和“得到”的数量变化，利用逆推原理（原有数量＝现有数量－得到数量＋给出数量）分别求出四人原来的颗数。 【规范解答】200÷4＝50（颗） 甲原来有：50－4＋26＝72（颗） 乙原来有：50－26＋36＝60（颗） 丙原来有：50－36＋32＝46（颗） 丁原来有：50－32＋4＝22（颗） 答：甲原来有72颗，乙原来有60颗，丙原来有46颗，丁原来有22颗。 10．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）由甲地到乙地前的路是高速公路，后的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地。A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，甲、乙两地之间的距离是多少？ 【答案】252千米 【思路引导】把甲、乙两地的总路程看作3份，其中高速公路占2份、普通公路占1份，设1份路程为x千米，总路程就是3x千米；A车从甲地出发，在高速公路上行驶了（2x－40）千米，速度是80千米/时，所以A车行驶时间为（2x－40）÷80；B车从乙地出发，先走完1份普通公路x千米（速度70千米/时），再在高速公路上行驶40千米（速度100千米/时），所以B车行驶时间为x÷70 ＋ 40÷100；因为两车同时出发、相遇时行驶时间相等，所以可以列出等式（2x－40）÷80＝x÷70 ＋ 40÷100，解方程求出x的值后，再算3x求出总路程。 【规范解答】解：设1份路程为x千米，总路程就是3x千米。 （2x－40）÷80＝x÷70＋40÷100 ＝＋ ×560＝×560＋×560 （2x－40）×7＝8x＋224 14x－280＝8x＋224 14x－280＋280－8x＝8x＋224＋280－8x 6x＝504 6x÷6＝504÷6 x＝84 3×84＝252（千米） 答：甲、乙两地之间的距离是252千米。 【思维拓展拔尖】 1．（2025·湖南长沙·小升初真题）一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行驶20km，回来时每小时行驶30km，这辆汽车往返的平均速度是（    ）。 A．24km/h B．25km/h C．26km/h D．27km/h 【答案】A 【思路引导】根据题意可知，汽车从甲地到乙地的路程不知道可以看作单位“1”，根据时间＝路程÷速度可得去时的时间为，返回的时间为，然后根据平均速度＝往返的总路程÷往返的时间和，然后解答即可。 【规范解答】1÷20＝ 1÷30＝ （1×2）÷（＋） ＝2÷ ＝2× ＝24 （km/h） 2．（2025·甘肃武威·小升初真题）做同样的零件，甲3小时做15个零件，乙做一个零件需小时，丙每小时做7个零件，这三个人中工作效率最高的是（    ）。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】已知甲3小时做15个零件，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，那么甲每小时做的零件数为：15÷3＝5（个）。乙做一个零件需小时，把零件数看作单位“1”，根据“工作效率＝1÷做一个零件所需时间”，可得乙每小时做的零件数为：1÷＝6（个）。甲每小时做5个，乙每小时做6个，丙每小时做7个。因为7＞6＞5，所以丙的工作效率最高。 【规范解答】15÷3＝5（个） 把零件数看作单位“1”。 1÷ ＝1×6 ＝6（个） 7＞6＞5 所以丙的工作效率最高。 故答案为：C 3．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 【答案】 26 10 【思路引导】1个黑圆时，白圆有6个； 2个黑圆时，白圆有6＋4＝6＋4×1＝6＋4×（2－1）＝10个； 3个黑圆时，白圆有6＋4＋4＝6＋4×2＝6＋4×（3－1）＝14个； …… n个黑圆时，白色圆片数为： 6＋4×（n－1） ＝6＋4n－4 ＝（4n＋2）个。 当白色圆片个数为42个时，即4n＋2＝42，解关于n的方程即可。 【规范解答】当有n个黑圆片时，白色圆片个数为（4n＋2）个 当n＝6时， 4n＋2 ＝4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（个） 解：4n＋2＝42 4n＝42－2 4n＝40 n＝40÷4 n＝10 4．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）A的步行速度为每小时5千米，B的步行速度为每小时6千米，他们两人从甲地到乙地去。C骑自行车的速度是A的2倍，从乙地到甲地去，他们三人同时出发，在B、C相遇30分钟后，A又与C相遇，请问：C骑车从乙地到甲地需要______小时。 【答案】12 【思路引导】先用A的速度乘2求出C的速度，利用速度和×时间＝路程和，求出A、C半小时走的路程；这段路程就是B、C相遇时B比A多走的路程，用路程差÷速度差求出相遇时间；再用速度和×相遇时间求出全程，最后用路程÷速度，求出C走完全程的时间。注意单位换算，将30分钟转化为0.5小时。 【规范解答】C的速度：5×2＝10（千米/小时） B、C相遇时，A与B的路程差： （5＋10）×0.5 ＝15×0.5 ＝7.5（千米） B、C的相遇时间： 7.5÷（6－5） ＝7.5÷1 ＝7.5（小时） 甲乙两地的总路程： （6＋10）×7.5 ＝16×7.5 ＝120（千米） C从乙地到甲地的总时间：120÷10＝12（小时） 5．（2025·四川自贡·小升初真题）把红、黄、蓝、绿四种颜色的袜子各10只放到一个袋子里，至少要从中取出11只，才能保证取出一双颜色相同的袜子。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据鸽巢原理，考虑最不利情况：前4次各取不同颜色的袜子各1只。此时再取1只，无论颜色如何，必然与之前某颜色重复，据此分析。 【规范解答】最不利情况下，取出4只袜子各颜色不同（红、黄、蓝、绿各1只）。此时再取1只，无论颜色为何，必与已取的某颜色重复。因此至少需取出4＋1＝5（只）。题目中“至少取11只”的说法错误。 故答案为：× 6．（2025·浙江温州·小升初真题）若13只母鸡13天下13个蛋，则100只母鸡100天下100个蛋。( )（判断对错） 【答案】 × 【思路引导】根据“13只母鸡13天下13个蛋”，先求出13只母鸡平均每天下蛋的数量：（个）。 再求每只母鸡每天下蛋的数量：（个）。 通过计算100只母鸡100天应下的蛋数（），并与100个蛋进行比较，判断说法是否正确。 【规范解答】13只母鸡平均每天下蛋的数量：（个） 每只母鸡每天下蛋的数量：（个） 100只母鸡100天下蛋的数量：（个） ≠ 100，因此“100只母鸡100天下100个蛋”的说法是错误的。 【考点剖析】解决这类“归一问题”，核心是先求出“单一量”，再根据单一量计算总量，避免直接按“数量与时间同步放大”的错误直觉判断。本题的陷阱正是忽略了“单只母鸡的产蛋效率”，直接用“数量对应”代替了实际的效率计算。 7．（2026·贵州黔东南·小升初模拟）一项软件开发项目。小张单独完成需要10天时间，而小王单独完成需要20天时间。小张先独立工作了4天，剩下的部分由小张和小王合作完成。他们还需要多少天才能完成这个项目？ 【答案】4天 【思路引导】将工作总量看作单位“1”，工作效率＝1÷单独完成需要的天数，首先计算小张先工作4天完成的工作量，进而求出剩余工作量；最后根据“合作时间＝剩余工作总量÷工作效率和”，求出合作所需的天数。 【规范解答】 （天） 答：他们还需要4天才能完成这个项目。 8．（2025·山东青岛·小升初真题）代驾已成为热门，让更多不方便的人群多一点安全，下面是“e代驾”公司的收费标准。 收费标准 时间段 起步价格 里程费 07：00~23：59 9.9元（含2公里） 每公里4元 超过12公里 每公里加收1.5元 00：00~06：59 18元（含3公里） 等候费：免费等候10分钟，超出后1元/分钟 (1)有一天晚上，王叔叔在外就餐后向该公司叫了一个代驾，将车开到7千米（公里）远的家用车库，王叔叔应付多少代驾费？ (2)某天凌晨，李叔叔也向该公司叫了一个代驾，共支付代驾费81.5元（无等候费），此次代驾行驶了多少千米？ 【答案】(1)29.9元 (2)17千米 【思路引导】（1）王叔叔晚上叫的代驾，起步价是9.9元，超过2公里的部分为5公里，这部分需要支付（5×4）元，最后利用加法求出一共需要支付多少钱； （2）李叔叔凌晨叫的代驾，起步价是18元。将总共的代驾费减去18元，求出超过3千米部分付了多少钱。将12千米减去3千米，将差乘4元，求出12千米超过3千米的部分需要支付多少元。对比发现，实际超过3千米部分付的钱比12千米超过3千米部分付的钱多，说明代驾路程大于12千米。这部分的单价是（4＋1.5）元，将超过12千米部分的钱除以（4＋1.5），求出超过12千米多少千米，再将其加上12千米，即可求出此次代驾行驶了多少千米。 【规范解答】（1）9.9＋（7－2）×4 ＝9.9＋5×4 ＝9.9＋20 ＝29.9（元） 答：王叔叔应付29.9元代驾费。 （2）81.5－18＝63.5（元） （12－3）×4 ＝9×4 ＝36（元） 63.5＞36，说明代驾路程超过12千米。 （63.5－36）÷（4＋1.5） ＝27.5÷5.5 ＝5（千米） 12＋5＝17（千米） 答：此次代驾行驶了17千米。 9．（2025·重庆江北·小升初真题）从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A村至B村的总路程为20千米。某人骑自行车从A村到B村用了2小时，再从B村返回A村又用了1小时45分。已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍。求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度。 【答案】12千米；8千米/时 【思路引导】某人从A村到B村，再返回A村，共用时间2＋＝（小时），去时的下坡路＋来时的下坡路＝全程，去时的上坡路＋来时的上坡路＝全程，即20千米。所以上坡和下坡各行了20千米，下坡时的速度是上坡时速度的2倍，根据按比分配，算出上坡时间为×＝（小时），根据路程÷时间＝速度，用为20除以算出上坡速度。再根据上、下坡速度的关系，求出下坡的速度。假设都是下坡的路程，那么从A村到B村的2小时应该行驶16乘2千米。与实际的20千米相减，算出相差的千米数。再除以相差的速度（16－8），求得从A到C所用时间。最后根据速度×时间＝路程，算出A、C之间的路程。 【规范解答】2＋＝（小时） × ＝× ＝（小时） 20÷＝8（千米/时） 8×2＝16（千米/时） 假设都是下坡的路程。 （16×2－20）÷（16－8） ＝（32－20）÷8 ＝12÷8 ＝（小时） 8×＝12（千米） 答：求A、C之间的路程是12千米。自行车上坡时的速度是8千米/时。 10．（2025·重庆渝北·小升初真题）甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练。他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑。每人跑完第一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度提高了，已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点190米。这条椭圆形跑道长多少米？ 【答案】 400米 【思路引导】根据题意：第一圈乙速是甲速的；甲第二圈速度提高，乙第二圈速度提高。同时同地反向出发，跑完第一圈后回头跑第二圈，存在“反向跑→同向跑”的运动状态变化。且第二次相遇点距第一次相遇点190米，需通过路程比定位两次相遇点的位置，再结合距离差求跑道长。先设甲第一圈速度为基准值，推导两人各阶段速度；再分“第一次相遇”“跑完第一圈”“第二次相遇”三个阶段，计算各阶段的路程与位置；最后通过两次相遇点的位置差求解。 【规范解答】设椭圆形跑道长度为S，乙速是甲速的，设甲跑第一圈的速度为，则乙跑第一圈的速度为。 第一次相遇（反向跑） 两人反向跑，速度比，路程比与速度比一致。 总路程为S，则甲跑了S，乙跑了S。 第一次相遇点：距离出发点S处。 跑完第一圈的位置与速度变化 甲跑第一圈的时间：，此时乙跑的路程：，还剩跑完第一圈。 乙跑完剩余的时间：。 甲第二圈速度： 在时间内甲跑第二圈的路程：。 此时状态：甲在第二圈处（往回跑），乙回到出发点，开始跑第二圈，乙第二圈速度： 两人变为相向跑（甲向出发点跑，乙向甲的反方向跑）。 第二次相遇（相向跑） 两人此时的距离：，速度和为。 相遇时间：。 乙在时间内跑的路程：。 第二次相遇点：距离出发点（乙的起跑方向）。 结合距离差求跑道长 答：椭圆形跑道长度为400米。 【考点剖析】行程问题中，时间相同时，路程比等于速度比。环形跑道中出现“回头跑”时，需拆分“跑第一圈”“跑第二圈”的阶段，分别分析速度、路程、位置的变化，避免整体分析导致的逻辑混乱。两次相遇点的距离需结合跑道的环形特性，以“出发点”为基准，统一位置表述，再计算差值建立方程，这是解环形跑道相遇问题的关键步骤。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $