第10章 二元一次方程组 单元复习（8大知识点总结+12大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

第10章 二元一次方程组 知识点框架 核心考点 易错警示 二元一次方程（组）的概念 1.判定二元一次方程/方程组 2.含参数方程求参数值 1.忽略未知数次数为1 2.含xy项、分式误判 3.参数取值忽略系数不为0 方程（组）的解 1.检验解的正确性 2.已知解求参数 1.代入计算出错 2.未检验是否满足所有方程 代入消元法 1.系数为±1优先代入 2.含括号方程组化简 1.代入漏乘、符号错 2.代回原方程无法消元 加减消元法 1.系数成倍数用加减 2.化系数为相等/相反数 1.方程两边未同乘 2.相减时全项变号遗漏 三元一次方程组 1.消一元化二元 2.缺项优先消对应元 1.消元目标混乱 2.回代漏求未知数 实际应用 1.行程、利润、配套、工程 2.古算题、方案选择 1.等量关系找错 2.单位不统一、作答不全 思想方法 1.整体代入、换元法 2.分类讨论、数形结合 1.不会整体观察 2.换元后忘记回代 【易错题型】 【题型1】二元一次方程（组）概念与解法易错题 1.易错点总结 含xy项、平方项、分式仍判为二元一次方程 代入消元代回原方程，出现0=0无解 加减消元只变部分项符号 含参数时忽略未知数系数≠0 2.纠错技巧 判定三要素：两未知数、次数均1、整式方程 代入口诀：变形一式，代入另一式 加减口诀：同减异加，全项变号 含参先保系数不为0，再求参数 【例题1】.（25-26七年级下·北京·期中）关于，的方程是二元一次方程，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义列出关于的方程和不等式，求解即可得到的值． 【详解】解：根据二元一次方程的定义，可得：， 由，可得：，即或， 由，可得：， 综上所述，可得：． 【变式题1-1】.（上海市静安区2025-2026学年第二学期六年级数学期中练习）下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：共含两个未知数，每个方程都是整式方程，每个方程中未知数的次数都为1，据此逐一验证选项即可. 【详解】解：∵ 二元一次方程组需要满足三个条件：①方程组总共含有两个未知数；②每个方程都是整式方程；③每个方程中未知数的次数为1． 对各选项判断如下： A 选项中第二个方程不是整式方程，故A 选项不符合要求； B 选项中方程组共含两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数次数都为1，符合二元一次方程组定义，故B选项符合要求； C 选项中方程组共含三个未知数，不符合二元一次方程组定义，故C选项不符合要求； D 选项中第二个方程的项次数为2，不符合二元一次方程组定义，故D选项不符合要求． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·北京昌平·期中）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则________． 【答案】 【分析】二元一次方程指只含有两个未知数，且含未知数的项的次数都为1的整式方程，根据二元一次方程的定义得出，，求解即可得出答案. 【详解】解：由题意得：，， 解得， 由得， 故. 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山东淄博·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ①②得，解得， 把代入①得，解得， 则方程组的解为； （2）解：方程组整理得， ②①得，解得， 把代入②得 ，解得， 则方程组的解为． 【基础题型】 【题型2】代入消元法解二元一次方程组 1.核心考点 核心：变→代→解→回代→联立 适用：某未知数系数为±1 2.解题技巧 选简单方程变形，用一个未知数表示另一个 代入另一方程，严禁代回原方程 结果用大括号规范书写 【例题2】.（25-26八年级上·河北张家口·月考）解二元一次方程组过程中，下列变形正确的是（    ） ． A．由①得代入②消去x B．由①得代入②消去x C．由②得代入①消去y D．由②得代入①消去y 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握利用代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 通过对方程组进行变形，判断每个选项的表达式是否正确即可． 【详解】解：由②可得， 代入①可消去， 则选项D错误， 由①得， 则选项A、选项B错误； 故选：C． 【变式题2-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组，下面四个选项中正确的是（   ） A．由②得，再代入① B．由②得，再代入① C．由①得，再代入② D．由①得，再代入② 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．利用代入消元法判断即可． 【详解】解：A．由②得，再代入①，原说法错误，故此选项不符合题意； B．由②得，再代入①，原说法错误，故此选项不符合题意； C．由①得，再代入②，原说法正确，故此选项符合题意； D．由①得，再代入②，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式题2-2】.（2026·江苏苏州·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】采用代入消元法求解，将第二个方程的代入第一个方程，消去，转化为一元一次方程求解． 【详解】解：， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴ 方程组的解为． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 将②变形，得， 将③代入①，得， 解得， 将代入③，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将②变形，得， 将③代入①，得， 解得， 将代入③，得， ∴方程组的解为． 【题型3】加减消元法解二元一次方程组 1.核心考点 核心：化系数→加减→解→回代→联立 适用：同一未知数系数相等/相反/成倍数 2.解题技巧 系数化相等用减，化相反用加 方程两边同乘，每项都乘不漏项 相减必全项变号，防符号错误 【例题3】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏洞，而纠正错误的过程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养． 小明解方程组的过程如表所示： 解：由，得：③  ……第一步 ，得：  ……第二步 把代入①，得：  ……第三步 ∴原方程组的解为  ……第四步 请你思考并解决下列问题：在上述过程中，哪一步是消元？消元的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】第二步是消元，依据见解析，小明的解答过程不正确，正确的过程见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据解二元一次方程组的方法解答即可． 【详解】解：第二步是消元； 消元的依据是：等式的性质1或等式的两边都加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式． 小明的解答过程不正确，正确过程如下： 解：得：③， 得：， 将代入①得：， 即， ∴原方程组的解为． 【变式题3-1】.（2026·广东汕尾·一模）下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：，解得． 把代入③，得． ∴方程组的解为 美美的做法： 由，得③． 由，得， 解得． 把代入①，得． ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是______；美美的消元方法是______． (2)判断______（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【答案】(1)代入消元法，加减消元法 (2)美美，见解析 【分析】（1）根据两人的消元方法可得答案； （2）根据两人的解题过程可知美美在计算时方程右边的4没有乘以2，导致后续过程错误，据此利用加减消元法写出正确的解题过程即可． 【详解】（1）解：由题意得，善善的消元方法是代入消元法，美美的消元方法是加减消元法； （2）解：由题意得，美美的解答过程有误，正确解答如下： 由，得③， 由，得，解得． 把代入①，得． ∴原方程组的解为． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·北京·期中）在解多元方程组时，我们通常采用消元的方法，通过逐步消去未知数，将其最终转化为一元方程进行求解．常用的消元方法有“代入消元法”和“加减消元法”． (1)对于二元一次方程组，采用代入消元法，将①式代入②式，消去y可以得，则方程①是___________； (2)在解关于x，y的方程组时，采用加减消元法，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，求a和b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变形得，即知答案； （2）根据消去未知数x，可知，根据消去未知数y，可知，联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ， 可知； （2）解：可以消去未知数x， ， 可以消去未知数y， ， 联立方程组， 整理，得， ，得， ， 把代入③，得， ， ． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·北京·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ，得，解得， 把代入①，得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： ，得，解得， 把代入①，得，解得， ∴原方程组的解为． 【题型4】已知方程组的解求参数值 1.核心考点 方法：解代入方程→建方程组→求参数 考查：解的定义与逆向运算 2.解题技巧 解严格对应x、y代入 多参数联立求解，结果带回检验 一步一算，不跳步防错 【例题4】.（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．7、3 C．3、7 D．2、4 【答案】B 【分析】先将已知的代入，求出第二个被遮盖的的值，再将和的值代入，求出第一个被遮盖的数，即可得到结果． 【详解】解：∵方程组的解为， 将代入，得， 解得，即第二个被遮盖的数为， 再将，代入，得，即第一个被遮盖的数为， 因此被遮盖的前后两个数分别为、． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南开封·期中）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数的和是_____． 【答案】 【分析】将代入方程，先求出表示的数，再代入求出表示的数，最后计算两个数的和即可． 【详解】解：把代入得， 解得：． 把代入得， 则被遮住的两个数的和为． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】把代入方程组，得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得：， 解得：， ． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·福建厦门·期中）已知是关于的方程的一个解，则的值为___________． 【答案】1 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将与的值代入原方程，即可求出的值． 【详解】解：将代入方程，得， 移项合并同类项，得， 化系数为，解得． 【题型5】含参方程组同解问题 1.核心考点 考点：同解→公共解→代入求参 考查：解的公共性、参数计算 2.解题技巧 先联立无参方程求公共解 解代入含参方程求参数 分步计算，逐一验证 【例题5】.（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若方程组解为，则关于的方程组的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解变形与整体换元思想，解题的关键是通过整体换元，将新方程组转化为已知解的原方程组形式求解． 设，，将新方程组转化为与原方程组形式一致的方程组，利用原方程组的解求出、的值，再反解出、． 【详解】解：设，， 则原方程组可化为：， 由已知方程组的解为，可得： 即：， 解得：． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·重庆丰都·期中）若关于的方程组和方程组有相同的解，则____ 【答案】0 【分析】根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，利用加减消元法解出x，y的值，再建立关于a，b的二元一次方程组，利用加减消元法解出a，b的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵关于的方程组和方程组有相同的解， ∴其解也是的解， 解得：， 则变成， 解得：， ∴． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）理解题意，先建立方程组，再运用加减消元法解出； （2）先把代入得，，再相加得，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴联立得，， ，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴这个相同的解为； （2）解：由（1）得， 把分别代入，， ∴，， 把上式两式相加得， ∴． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·河南开封·期中）已知方程组和的解相同，求代数式的值． 【答案】1 【分析】根据这四个方程的解相同，重新联立方程即可求出x和y，然后代入另外两个含a和b的方程中，即可求出a和b，最后代入即可． 【详解】解：联立得：， 解得 把代入 解得 ． 【题型6】整体代入法解特殊方程组 1.核心考点 思想：整体换元，简化重复结构 适用：含相同整式（如x+y、2x-3y） 2.解题技巧 把相同部分看作整体，先求整体值 整体代入消元，再求x、y 换元必回代，不丢原未知数 【例题6】.（24-25八年级上·山东枣庄·期末）（1）解方程组： （2）整体思想就是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理.整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． 若方程组的解为； 在上面方程组的基础上，求方程组的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． （1）根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可． （2）将和看作一个整体，得出关于，的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 【详解】解：（1）， ①②得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为． （2）由题知，将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·山西晋城·月考）下面是小文同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 …… 任务： (1)类比“例1”的方法，解方程组． (2)已知二元一次方程组，请利用“整体思想”求出的值． (3)已知，类比“例2”的方法，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）类比于“例1”的方法可进行求解； （2）将方程①变形为，然后代入②可进行求解； （3）将方程①变形为，然后可得，，进而问题可求解 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解得． 把代入②，得． 所以原方程组的解为； （2）解：， 将方程①变形为③， 把②代入③，得， 得． （3）解：， 将方程①变形为③， 将②代入③，得， 解得． 把代入②，得． 所以． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·吉林长春·月考）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知数字的值求代数式的值等． （1）根据题意列式，计算出来即可； （2）根据题意利用换元法解方程即可； （3）先求出的值，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，解得：， 故答案为：； （2）解：， 设，， ∴， 得：，即：， 将代入①得：，即：， ∴，解得：； （3）解：， 得：，即：， 将代入②得：，即：， ∴， 故答案为：． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可转化为，运用以上知识解决下列问题： (1)解方程组； (2)关于x，y的二元一次方程组解为，求方程组的解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查换元法解分式方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的，熟练掌握解方程及方程组的方法是解题的关键． （1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案. 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：∵关于x，y二元一次方程组的解为， ，解得：. 【题型7】解三元一次方程组 1.核心考点 思路：三元→二元→一元 方法：代入/加减消去一个未知数 2.解题技巧 优先消系数简单/缺项未知数 消元后按二元方程组求解 三未知数全部求出，规范联立 【例题7】.（24-25七年级下·福建泉州·月考）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法，代入消元法解三元一次方程组是解决问题的关键． （1）先由得，将④代入③得，再将代入④得，进而将代入①得，由此可得该方程组的解； （2）先由得，得，得，将代入④得，再将，代入①得，由此可得该方程组的解． 【详解】（1）解：， ，得：， 将④代入③，得：    ， 解得：， 将代入④，得， 将代入①，得：， ∴该方程组的解为：； （2）解：， ，得：， ，得：， ，得：， 解得：， 将代入④，得：， 解得：， 将，代入①，得：， 解得：， ∴该方程组的解为：． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用加减消元的思想，先将三个方程相加求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得： ， ∴， ， 将代入得： ， 解得：． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·北京·期中）现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．我们的目标是把矩阵变成下面这种样子：，这样就直接看出方程组的解为． (1)方程组对应的矩阵为_____． (2)关于的三元一次方程组的系数排成的矩阵为，则对应的方程组为_____，若为定值．求与满足的数量关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意即可写出方程组对应的矩阵； （2）由题意即可写出矩阵对应的方程组，由方程组即可得与满足的数量关系． 【详解】（1）解：由题意得，方程组对应的矩阵为：． （2）解：由题意得，矩阵对应的方程组为， 得，， ∴， ∵为定值， ∴，即． 【变式题7-3】.（2026·福建漳州·一模）阅读材料，回答问题． 探索《九章算术》中机械化算法思想 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案． 例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：            （1）                           （2）                （3）                   （4） 将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是，第三行的方程，易解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值． (1)直接写出示例方程组的解； (2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题： （i）解方程组： （ii）已知关于的方程组：有唯一解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值； （2）根据材料的方法仿照解题即可． 【详解】（1）解：方程组， 由③得，， 代入②，解得， 代入①，解得， ∴方程组的解为； （2）解：（i）方程组， 仿照材料可得： 最后一个数阵对应的方程组是， 由⑥得， 代入⑤，解得， 代入④，解得， ∴方程组的解为； （ii）方程组， 仿照材料可得： 最后一个数阵对应的方程组是 ， 当，即时， 由⑥得， 代入⑤，解得， 代入④，解得， ∴方程组的解为，符合题意； ∴． 【提升题型】 【题型8】错解复原问题（看错参数求真值） 1.核心考点 模型：看错一个参数，其余方程仍成立 考查：方程解的意义、逆向构造 2.解题技巧 错解代入未看错方程，正解代入全方程 联立求真值，区分看错与正确条件 分步列式，不混淆对错条件 【例题8】.（25-26七年级下·湖南长沙·期中）小红和小虎两人共同解方程组，小虎看错了方程①中的，解得，小红看错了方程②中的，解得，求，的值． 【答案】， 【分析】分别将结果代入方程组中没有看错的方程中，得出关于的方程，求解即可． 【详解】解：∵小虎看错了方程①中的， ∴满足方程②， ， 解得，   ∵小红看错了方程②中的， 满足方程①， ， 解得， 综上所述，，． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两人同时解关于、的方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，求原方程组的正确解． 【答案】． 【分析】将代入方程，将代入方程，求出，的值，再把，代入解方程组即可． 【详解】解：将代入方程，得：，解得， 将代入方程，得：，解得， 把，代入原方程组， 得， 解得， ∴原方程组的正确解为． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】，． 【分析】先根据看错系数但未看错的方程仍然成立的原则，将甲、乙的解分别代入未看错的方程，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出和的值． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的，解得， ∴是方程②的解， ∴，即③． ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴是方程①的解， ∴，即④． 由，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴，． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程组的解． 【答案】 【分析】根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：甲看错了b，把甲求得的解代入①得，, 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②得，, 得， ∴， 得：， 解得， 把代入②得：， ∴原方程组的解为． 【题型9】二元一次方程组解决行程、利润问题 1.核心考点 行程：路程=速度×时间，顺逆流模型 利润：利润=售价-进价，总价=单价×数量 2.解题技巧 顺流=静水+水速；逆流=静水−水速 列表梳理速度、时间、路程 利润题统一单位，看清“每/各” 【例题9】.（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， (1)列出关于，的二元一次方程； (2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出方程即可； （2）添加甲的速度比乙快，求两人的速度，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，整理，得； （2）解：增加条件：甲的速度比乙快，即， 则，解得； 答：甲，乙两人的速度分别为和． 【变式题9-1】.（2026·山东淄博·一模）情景与对话： 情景：小明和小亮同时出发，从甲地到乙地． 对话：小明说：我走完全程的一半时，小亮才走了16千米． 小亮说：我走完全程的一半时，小明已走了25千米． 问题与探索： 小明走完全程时，小亮未走完的路程还有多少千米？ 【答案】8 【分析】设全程长度为千米，小明的速度为，小亮的速度为，根据两次行走的时间相等列出等式，求出全程长度，再计算小明走完全程时小亮走的路程，最终得到小亮未走完的路程． 【详解】解：设全程长度为千米，小明的速度为，小亮的速度为， 当小明走完全程一半时，两人所用时间相等，得， 整理得， 当小亮走完全程一半时，两人所用时间相等，得， 整理得， ∴，即， ∵， ∴， 全程长度为千米， ∴速度比，即， 小明走完全程的时间为， 这段时间内小亮走的路程为：（千米）， 小亮未走完的路程为（千米） 答：小明走完全程时，小亮未走完的路程还有千米． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·云南·期中）根据以下素材，探索完成任务． 阳光体育·足球促销 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元． 素材二 该商场在3月份购进A款、B款两种足球共50个，进货共用3600元 素材三 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）： ① “买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 (1)求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ (2)某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 【答案】(1)3月份该商场购进A款足球20个，购进B款足球30个； (2)选择促销方案①更合适 【分析】（1）设3月份该商场购进A款足球x个，购进B款足球y个，根据该商场在3月份购进A款、B款两种足球共50个，进货共用3600元建立方程组求解即可； （2）分别求出两种方案需要的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设3月份该商场购进A款足球x个，购进B款足球y个， 由题意得，， 解得， 答：3月份该商场购进A款足球20个，购进B款足球30个； （2）解：方案①的费用为元， 方案②的费用为， ∵， ∴选择促销方案①更合适． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·浙江宁波·期中）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购A，B两款新能源汽车若干辆（两者都要），若买10辆A款和5辆B款需付款160万元，若买5辆A款和10辆B款需付款170万元，设A款的单价为万元，B款的单价为万元． (1)求和的值． (2)若购买A款和B款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案． (3)根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总计付款304万元，B款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则A款中享受国补的有______________辆． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)共有种购买方案，方案：购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车；方案：购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车； (3)8 【分析】（1）根据“买辆A款和辆款需付款万元，买辆A款和辆款需付款万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案； （3）设A款中享受国补的有辆，款中没有享受国补的和款中享受国补的共辆，则款中没有享受国补的有，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，， 均为非负整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A款的单价为万元，款的单价为万元， 根据题意得：， 解得：； （2）解：设购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或， 共有种购买方案，方案：购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车；方案：购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车； （3）解：（万元）， A款中没有享受国补的单价与款中享受国补的单价相同． 设A款中享受国补的有辆，A款中没有享受国补的和款中享受国补的共辆，款中没有享受国补的共辆， 款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的， ，即款中没有享受国补的有辆， 根据题意得： 解得：， ，，均为非负整数， ∴ 必须能被8整除，必须是偶数， ∴：， 是偶数，符合条件， ：， 是奇数，不符合，舍去， ∴A款中享受国补的有8辆． 【题型10】二元一次方程组解决配套、工程问题 1.核心考点 配套：部件数量成比例 工程：工作总量=效率×时间，常设为1 2.解题技巧 配套抓比例相等列方程 工程设效率为未知数 结果验证是否配套、符合总量 【例题10】.（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·月考）甲，乙两个工厂共同负责1500千克的鲜奶加工，原计划甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，由于人员调动，甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划每天加工鲜奶多少千克． 【答案】原计划甲工厂每天加工，乙工厂每天加工． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题目已知条件将二元一次方程列出并求解是解决本题的关键． 先设出甲乙加工的千克数，根据甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成可列第一个方程，再由已知条件可列第二个方程，根据二元一次方程组的求法求解即可． 【详解】解：设甲工厂原计划每天加工，乙工厂原计划每天施工， 因为甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成， 所以， 又因为甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了， 所以， 即，解得：， 答：原计划甲工厂每天加工180kg，乙工厂每天加工． 【变式题10-1】.（24-25七年级下·贵州黔西南·期末）在贵州某县乡村振兴项目中，为发展旅游业，需对一条苗族风情古寨旁的河道进行生态整治．现有一段长480米的河道整治任务由甲、乙两支施工队接力完成．甲工程队每天整治12米，乙工程队每天整治30米，共用时25天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______ 则可列方程组为 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． (3)为了合理控制项目成本，工程指挥部在确保施工质量的前提下，希望优化预算基于上述施工方案，甲工程队每天的施工费用为500元，工程指挥部要求总施工费用不超过22000元，那么乙工程队每天的施工费用最多是多少元？ 【答案】(1)①；②表示甲工程队工作的天数；表示乙工程队工作的天数． (2)甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道300米，见解析 (3)乙工程队每天的施工费用最多是1450元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键． （1）①小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成米的整治河道任务且共同时天，即可得出关于，的二元一次方程组； ②小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． （3）设乙工程队每天的施工费用为元，可得，再解不等式即可求解． 【详解】（1）解：①； ②表示甲工程队工作的天数；表示乙工程队工作的天数． （2）选择①． 解：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，则， 解得， 答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道300米， 选择②， 设甲工程队工作的天数是天，乙工程队工作的天数是天．则 ， 解得， 甲整治的河道长度：（米）；乙整治的河道长度：（米）． 答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道300米． （3）解：设乙工程队每天的施工费用为元． 则， 解得， 答：乙工程队每天的施工费用最多是1450元． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 【答案】(1) (2)需甲车型辆，乙车型辆 【分析】（）根据丙型车需要的运载量除以每一辆丙型汽车运载量即可得出丙型车的数量； （）设分别需甲、乙两种车型辆，辆，由题意得，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：丙型车的数量为（辆）， （2）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆， 由题意得， 解得， 答：需甲车型辆，乙车型辆； 【变式题10-3】.（25-26七年级下·北京·期中）学校义卖活动中，有手工皂和香薰蜡烛两种商品需要分装打包，由社团的甲、乙两个小组分别负责，甲组负责打包手工皂，打包份的总耗时可表示为分钟；乙组负责打包香薰蜡烛，打包份的总耗时可表示为分钟． （1）第一天，社团准备了12份商品分配给两个小组，两组刚好同时完成打包，则分配给甲组的手工皂的份数与乙组的香薰蜡烛的份数之比为__________． （2）第二天，社团分配给甲组的份数在第一天的基础上增加了份，分配给乙组的份数在第一天的基础上增加了份，若两组仍能同时完成打包，且、均为小于12的正整数，则的值为__________． 【答案】 【分析】（1）设分配给甲组的手工皂份数为x份，乙组的香薰蜡烛份数为y份，两组同时完成即耗时相等列方程求解，再计算份数之比； （2）根据两组仍同时完成列方程，结合第一天的等式化简得到m与n的关系，根据m，n的取值范围确定的值即可． 【详解】解：（1）设分配给甲组的手工皂份数为x份，乙组的香薰蜡烛份数为y份，由题意得： ， 解得：， ∴； （2）由题意，两组同时完成，耗时相等，得： ， 展开得， 由第一天的结果可知，代入上式得： ， 整理得：， 即， ∵m，n均为小于12的正整数， ∴满足条件的对应值比值恒为， 故． 【培优题型】 【题型11】方案选择与最优决策问题 1.核心考点 考点：分类讨论方案，选最优（利润/费用） 情境：购物、采购、生产决策 2.解题技巧 先求所有正整数方案 计算各方案利润/成本，比较选优 作答明确方案与理由 【例题11】.（25-26七年级下·浙江·期中）根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 【答案】(1) (2)千瓦时． (3)①见解析，②14.6 【分析】（1）根据题意列出方程组并解方程组即可； （2）设型机器人用了台，型机器人用了台．列出方程并求出正整数解即可得到答案； （3）①设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台．根据题意列出二元一次方程，并求出正整数解即可；②根据各方案的耗电量进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：设型机器人用了台，型机器人用了台． 由题意，得， 整理，得． 因为，都是正整数，所以是4的倍数， 所以，， 所以总耗电量为（千瓦时）． （3）①设安排型机器人台，型机器人台，则型机器人台． 由题意，得， 整理，得． 由题意得，是2的倍数，故所有可行方案列表如下： 方案 型/台 型/台 型/台 总耗电量/千瓦时 一 2 16 1 14.9 二 4 12 2 14.8 三 6 8 3 14.7 四 8 4 4 14.6 ②方案四：有A型号的机器人台，有B型号的机器人台，有C型号的机器人台；最省电，其耗电量为14.6千瓦时 【变式题11-1】.（25-26七年级下·山东淄博·期中）随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表： 类别 素材内容 素材1 （效率对比） 配送时间计算模型： 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为，且取货加送货上楼固定消耗10分钟． 无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为，起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟 （注：配送总时长＝行驶时长＋固定消耗时长） 素材2 （运营成本） 某咖啡店的配送账单： 上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元． 素材3 （运力升级） 新机型采购计划： 为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼型”和“旋翼型”两种新型无人机共建新机队． 旋翼型：单价0.4万元，最大载重15千克； 旋翼型：单价0.6万元，最大载重25千克． 公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买． 问题解决： (1)任务1：现有一份紧急文件需要从地送往地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省________分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离） (2)任务2：根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？ (3)任务3：根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的载重最大？最大载重是多少？ 【答案】(1)； (2)单，过程见详解； (3)①共有4种满足条件的采购方案，分别为：方案一：旋翼A型无人机2台，旋翼B型无人机7台；方案二：旋翼A型无人机5台，旋翼B型无人机5台；方案三：旋翼A型无人机8台，旋翼B型无人机3台；方案四：旋翼A型无人机11台，旋翼B型无人机1台； ②采购旋翼A型无人机2台，旋翼B型无人机7台的方案一载重最大，最大载重为 【分析】（1）本题主要考查等量关系式“时间路程速度”． （2）本题主要考查二元一次方程组的应用． （3）本题主要考查二元一次方程的整数解． 【详解】（1）解：传统骑手的送货时间为（时），（分）； 无人机送货时间为（时），（分）； （分）， ∴使用“无人机”比“传统骑手”节省分钟． （2）解：设使用“无人机”配送单，使用“传统骑手”配送单． 则， 解得， ∴咖啡店使用“无人机”配送了单． （3）解：①设购买旋翼型无人机台，旋翼型无人机台． 则，解出整数解． 方案一：当时，，即购买旋翼型无人机台，购买旋翼型无人机台； 方案二：当时，，即购买旋翼型无人机台，购买旋翼型无人机台； 方案三：当时，，即购买旋翼型无人机台，购买旋翼型无人机台； 方案四：当时，，即购买旋翼型无人机台，购买旋翼型无人机台． ②旋翼型无人机与旋翼型无人机的载重为：， 分别将①中数据代入： 当时，，（）； 当时，，（）； 当时，， （）； 当时，，（）； 综上所述，当按照旋翼型无人机2台，购买旋翼型无人机7台的方案一购买时，载重最大，最大载重为． 【变式题11-2】.（25-26七年级下·福建福州·期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖和横式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)【任务1】若，求，，的值； (2)【任务2】求的最大值． 【答案】(1)，，的值分别为、、 (2) 【分析】（1）张标准卡纸通过剪裁得到张小长方形，而一张可以剪裁个小长方形，先算出总的小长方形，减去，即为剩余的小长方形，一个小长方形可剪裁两个小正方形，再乘以即可求解，根据个竖式叠盖纸盒需要个小长方形和个正方形，个横式叠盖纸盒个小长方形和个小正方形，即可建立二元一次方程组求解； （2）由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要个小长方形，则，求其整数解，判断其最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 则， 解得， ∴，，的值分别为、、． （2）解：由题意得，每个竖式叠盖纸盒需要5.5个小长方形，每个横式叠盖纸盒需要6个小长方形， 即， 其整数解为、、、， ∴的最大值为． 【变式题11-3】.（25-26七年级下·福建福州·期中）综合与实践：设计制作纸盒方案 素材一：如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形． 素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料． ②制作纸盒后没有剩余材料． 问题解决： 为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒个，竖式无盖纸盒个． 问题一：初探材料用量 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） 个横式无盖纸盒 个竖式无盖纸盒 问题二：再探关系 需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计 ________ ________ 300 (1)请完善上述表格，并写出、之间满足的关系式：________； 方案选择： (2)能否用这300张纸板制作这两种纸盒，使得到的竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍，且材料没有剩余，如果可以，请设计你的分配方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)可以得到竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍，此时60张纸板裁成正方形，240张纸板裁成长方形． 【分析】（1）根据题意，用正方形和长方形的所需张数除以1张纸板可裁剪的数量，即可表示；再根据纸板的总数量列式整理即可； （2）假设可以得到竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍，根据题意得到二元一次方程组，求出、的值，满足题意，再代入（1）所得代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，需裁成正方形的纸板数为张，需裁成长方形的纸板数为张， 则， 整理得：； （2）解：假设可以得到竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍， 由题意可得， 解得：，满足、为正整数，符合题意， 则（张），（张）， 即可以得到竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍，此时60张纸板裁成正方形，240张纸板裁成长方形． 【题型12】新定义运算与方程组综合 1.核心考点 情境：新定义规则转方程组 考查：转化能力、规范计算、创新应用 2.解题技巧 按定义写代数式，联立方程组 用常规方法求解，紧扣定义 不超纲使用公式，步骤完整 【例题12】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． (1)求点的“倾斜系数”k的值； (2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点的“倾斜系数”，且，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)①或，理由见解析；②或 【分析】本题主要考查点的坐标的特征，本题是新定义型题目，正确理解“倾斜系数”的定义是解题的关键． （1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可； （2）①根据“倾斜系数”k的定义得或，进而得出结论即可； ②由①知，或，根据，分别求出a、b的值，即可求出P点坐标． 【详解】（1）解：由题意知，，或， 而， ∴点的“倾斜系数”k的值为3； （2）解：①或，理由如下： ∵点的“倾斜系数”， ∴或， 即或， ∴a和b的数量关系为：或； ②由①知，或， ∵， ∴或， ∴或， ∴或． 【变式题12-1】.（25-26七年级下·山东青岛·期中）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，求与它的“亲密方程”组成的方程组的解； (3)若（2）中方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“亲密方程”的定义即可得解； （2）联立方程组，利用加减消元法求解即可； （3）将解代入二元一次方程中，得到，，整体代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：根据“亲密方程”的定义可得，方程的“亲密方程”为；        （2）解：由题意得：， 得，， 即， ， ， ， 将代入得，，解得， ， ， ， 方程组的解为； （3）解：是方程的一个解， ， ，， ． 【变式题12-2】.（25-26七年级下·湖南长沙·期中）定义：若为关于x和y的二元一次方程的一组整数解，即，都为整数，则称在平面直角坐标系中的点为方程的“整解点”，例如：为方程的一组整数解，那么点为方程的“整解点”． (1)请求出方程在第一象限内的“整解点”； (2)已知关于x和y的二元一次方程（，且b为正整数）有“整解点”，将该点向上平移6个单位，向右平移2个单位后仍是该方程的“整解点”，求ab的值； (3)有以下关于x和y的三个二元一次方程： ①， ②， ③， 其中p和q为常数且满足，若这三个方程有相同的“整解点”，试求出其相同的“整解点”． 【答案】(1)方程在第一象限内的“整解点”为和 (2)或 (3)三个方程相同的“整解点”为和 【分析】（1）根据新定义，结合第一象限内的点的符号特征，求出方程的正整数解即可； （2）根据点的平移规则得到平移后的点的坐标为点，将两个点代入方程组，求出，，根据新定义和已知条件，得到或5，再进行求解即可； （3）根据题意推出，且为整数，也为整数，进而得到的取值为1，，3，，分情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：方程的“整解点”在第一象限， ，， 当时，，点为其在第一象限内的“整解点”， 当时，，点为其在第一象限内的“整解点”， 当时，，点为“整解点”，但不在第一象限， 当时，，不符合第一象限要求， 方程在第一象限内的“整解点”为和． （2）解：点是方程的“整解点”， ①， 点也是该方程的“整解点”， ②， 由②①，得， ， 将代入①，得， ， 点是“整解点”， ，n均为整数， 是整数， 又为正整数， 是5的正因数， 或5， 又， 或； （3）由①③，得：， 整理得：， 又，即， 等式两边同时除以，得：， 由①②③，得： ， 整理得：， ， ∴， ，且x，y均为整数， 为整数，也为整数， 为3的因数，即的取值为1，，3，， 当时，，解得，代入方程③得，不符合题意，舍去， 当时，，解得， 当时，，解得，代入方程③得，不符合题意，舍去， 当时，，解得． 三个方程相同的“整解点”为和． 【变式题12-3】.（24-25七年级下·广东广州·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点与的坐标满足，（为常数，），则称点的“系友好点”是点．例如，点的“1系友好点”是点． (1)点的“1系友好点”的坐标是________，若一个点的“2系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是________； (2)点的坐标为，点是点的“系友好点”，点是点的“系友好点”，以此类推，点是点的“系友好点”．若为正整数，则点的横坐标与纵坐标之和为________； (3)已知点在第二象限，且满足，点是点的“系友好点”，求点的坐标； (4)点在轴正半轴上，点的“系友好点”为点，若无论为何值，的值为一个定值，求实数的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）设点的“1系友好点”的坐标是，根据新定义即可求出点的“1系友好点”的坐标；设点的“系友好点”的坐标是，根据新定义得到，解得，即可得到这个点的坐标； （2）根据新定义求出，，，结合，可以发现当为奇数时，的横坐标与纵坐标之和为，当为偶数时，的横坐标与纵坐标之和为，再判断出为正偶数，即可得出结论； （3）根据点A是点的“系友好点”得到，由得到，则，由点在第二象限得到，即可得到，进而得到，即可得到点A的坐标； （4）设点的坐标是，根据“k系友好点”为点得到，则点的坐标是，由点在轴正半轴上得到，，分和两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：设点的“1系友好点”的坐标是， 根据题意可得，， ∴点的“1系友好点”的坐标是； 设点的“系友好点”的坐标是， 则， 解得， ∴这个点的坐标是； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ； ∵， ∴当为奇数时，的横坐标与纵坐标之和为，当为偶数时，的横坐标与纵坐标之和为， ∵为正整数，即为正偶数， ∴点的横坐标与纵坐标之和为； （3）解：∵点A是点的“系友好点”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设点的坐标是， ∵点在轴正半轴上，“k系友好点”为点， ∴， ∴ ∴点的坐标是， ∵点在轴正半轴上， ∴，， 当时， ∵为定值， ∴，即， 此方程无解， 当时， ， ∵为定值， ∴，即， 解得或（舍去）， 综上，． 1.核心易错点 判定方程时，忽略二元、一次、整式三个条件； 消元时符号错误、漏乘、代回原方程； 实际应用找错等量关系，单位不统一； 含参数问题忘记系数不能为0。 2.本章重难点 重点：代入消元法、加减消元法解方程组； 重点：根据题意列二元一次方程组解决实际问题； 难点：整体思想、换元法解复杂方程组； 难点：含参数方程组的同解、整数解、最优方案探究。 3.解题通用步骤 解方程：先整理→选方法（代入/加减）→消元→求解→检验； 应用题：审→找等量→设元→列方程组→求解→作答； 含参题：先求公共解/表达式，再按限制条件分析。 4.必备技巧口诀 代入消元：系数简单优先变，代入别代原方程； 加减消元：同减异加要记牢，两边同乘不漏项； 实际应用：两个未知两个量，两组等量列方程； 整体代入：相同结构看成整，先求整体再求元。 5.高分关键 步骤完整、书写规范，解必须用大括号联立； 实际问题一定要检验是否符合题意； 复杂题目优先观察整体结构，简化再计算。 同步练习 一、单选题 1．已知是方程的一组解，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将已知的解代入方程中，从而求出未知参数的值． 【详解】解：已知是方程的一组解， 将，代入方程中，得到，解得． 2．用代入法解方程组时，将方程①代入方程②正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将①代入②，得， 去括号，得． 3．已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】将已知解代入原方程，解一元一次方程即可得到m的值． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的一个解， ∴， 解得 ． 4．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于和的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察两个二元一次方程组可得，解方程组即可得解． 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解是， ， 得，， ， 将代入得，， ， 方程组的解是． 二、填空题 5．把方程写成用含有y的代数式表示x的形式，得____． 【答案】 【详解】解： 方程两边同时除以，得. 6．若实数，满足，则__________． 【答案】 【分析】算术平方根和绝对值都具有非负性，它们的和为零时，必须每个部分都为零，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得： ． 7．已知二元一次方程，请写出该方程的一个整数解：________．（只写一个） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程的整数解，任取一个整数，求出对应的值即可得到方程的一个整数解． 【详解】解：， 当时，， 解得：， 二元一次方程的一个整数解为； 8．已知方程组的解满足，则m的值为_____． 【答案】 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组得到，代入中，求出即可． 【详解】解：， ，得， ∴， 又， ∴， ∴． 三、解答题 9．利用方程（组）的知识解决问题： 如图，学校规划在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．其中横向和纵向通道的宽度均相等，六块草坪的形状、大小完全相同，其中一块草坪的两边．如果考虑到铺设草坪需要额外准备面积的草皮作为损耗更换用，那么所需准备草皮的总面积是多少？ 【答案】需准备草皮的总面积是 【分析】设，，横向和纵向通道的宽度为，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：设，，横向和纵向通道的宽度为， 由题意得， 解得， ∵，， ∴， 答：需准备草皮的总面积是． 10．综合与实践 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：，其中称盘质量为克，重物质量为m克，秤砣质量为M克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【方案设计】 秤盘 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务：确定和的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程； (2)当称盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，请列出关于，的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出和的值． (4)若用此杆秤称质量为400克的重物，此时秤砣应放在距离零刻度线____厘米处． 【答案】(1) (2) (3) (4)20 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）将已知数值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴； （2）由题意得：， ∴， ∴； （3）由（1）（2）可得：， 解得：； （4）根据题意得：，，，， 代入得：， 解得：， ∴此时秤砣应放在距离零刻度线20厘米处． 11．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ①②得 解得 把代入①得 解得 ∴原方程组的解是． （2）解： 整理原方程组，第一个方程两边同乘12得 展开移项整理得 展开整理第二个方程得 ， 即 得到方程组 ① ②得 解得 把代入② 得 解得 ∴原方程组的解是． 12．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点，我们将关于，的二元一次方程称为点的“特征方程”．例如点的“特征方程”为． (1)若点的“特征方程”的一个解是，求的值． (2)已知是点的“特征方程”的一个解，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，若是点的特征方程的一个解，求的最小整数值，并写出此时和的值． 【答案】(1) (2)3，的值可以为，的值可以为 【分析】本题主要考查了二元一次方程． （1）先写出点的“特征方程”，再代入其已知的一个解，即可得到关于t的一元一次方程，解方程即可； （2）先写出点的“特征方程”， 再代入其已知的一个解，得到a、b的关系式；根据平移直接得到点的坐标，再写出点，进而得到一个关于m、n的关系式，结合m、n都是正数，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意，点的“特征方程”为：， ∵点的“特征方程”的一个解是， ∴， 解得：； （2）解：根据题意可知：点的“特征方程”为， ∵是的一个解， ∴， ∵点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点， ∴， ∴点的“特征方程”为， ∵是点的“特征方程”的一个解， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小整数值为3． 即：的值可以为，的值可以为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 二元一次方程组 知识点框架 核心考点 易错警示 二元一次方程（组）的概念 1.判定二元一次方程/方程组 2.含参数方程求参数值 1.忽略未知数次数为1 2.含xy项、分式误判 3.参数取值忽略系数不为0 方程（组）的解 1.检验解的正确性 2.已知解求参数 1.代入计算出错 2.未检验是否满足所有方程 代入消元法 1.系数为±1优先代入 2.含括号方程组化简 1.代入漏乘、符号错 2.代回原方程无法消元 加减消元法 1.系数成倍数用加减 2.化系数为相等/相反数 1.方程两边未同乘 2.相减时全项变号遗漏 三元一次方程组 1.消一元化二元 2.缺项优先消对应元 1.消元目标混乱 2.回代漏求未知数 实际应用 1.行程、利润、配套、工程 2.古算题、方案选择 1.等量关系找错 2.单位不统一、作答不全 思想方法 1.整体代入、换元法 2.分类讨论、数形结合 1.不会整体观察 2.换元后忘记回代 【易错题型】 【题型1】二元一次方程（组）概念与解法易错题 1.易错点总结 含xy项、平方项、分式仍判为二元一次方程 代入消元代回原方程，出现0=0无解 加减消元只变部分项符号 含参数时忽略未知数系数≠0 2.纠错技巧 判定三要素：两未知数、次数均1、整式方程 代入口诀：变形一式，代入另一式 加减口诀：同减异加，全项变号 含参先保系数不为0，再求参数 【例题1】.（25-26七年级下·北京·期中）关于，的方程是二元一次方程，则的值为__________． 【变式题1-1】.（上海市静安区2025-2026学年第二学期六年级数学期中练习）下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·北京昌平·期中）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则________． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山东淄博·期中）解方程组： (1)； (2)． 【基础题型】 【题型2】代入消元法解二元一次方程组 1.核心考点 核心：变→代→解→回代→联立 适用：某未知数系数为±1 2.解题技巧 选简单方程变形，用一个未知数表示另一个 代入另一方程，严禁代回原方程 结果用大括号规范书写 【例题2】.（25-26八年级上·河北张家口·月考）解二元一次方程组过程中，下列变形正确的是（    ） ． A．由①得代入②消去x B．由①得代入②消去x C．由②得代入①消去y D．由②得代入①消去y 【变式题2-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组，下面四个选项中正确的是（   ） A．由②得，再代入① B．由②得，再代入① C．由①得，再代入② D．由①得，再代入② 【变式题2-2】.（2026·江苏苏州·一模）解方程组：． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·河南南阳·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【题型3】加减消元法解二元一次方程组 1.核心考点 核心：化系数→加减→解→回代→联立 适用：同一未知数系数相等/相反/成倍数 2.解题技巧 系数化相等用减，化相反用加 方程两边同乘，每项都乘不漏项 相减必全项变号，防符号错误 【例题3】.（25-26八年级上·广东佛山·期末）错题是绝佳的学习素材，识别并辨析错误能精准排查知识漏洞，而纠正错误的过程，还能帮我们培养严谨且高阶的学科素养． 小明解方程组的过程如表所示： 解：由，得：③  ……第一步 ，得：  ……第二步 把代入①，得：  ……第三步 ∴原方程组的解为  ……第四步 请你思考并解决下列问题：在上述过程中，哪一步是消元？消元的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【变式题3-1】.（2026·广东汕尾·一模）下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：，解得． 把代入③，得． ∴方程组的解为 美美的做法： 由，得③． 由，得， 解得． 把代入①，得． ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是______；美美的消元方法是______． (2)判断______（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·北京·期中）在解多元方程组时，我们通常采用消元的方法，通过逐步消去未知数，将其最终转化为一元方程进行求解．常用的消元方法有“代入消元法”和“加减消元法”． (1)对于二元一次方程组，采用代入消元法，将①式代入②式，消去y可以得，则方程①是___________； (2)在解关于x，y的方程组时，采用加减消元法，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，求a和b的值． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·北京·期中）解方程组： (1)； (2)． 【题型4】已知方程组的解求参数值 1.核心考点 方法：解代入方程→建方程组→求参数 考查：解的定义与逆向运算 2.解题技巧 解严格对应x、y代入 多参数联立求解，结果带回检验 一步一算，不跳步防错 【例题4】.（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．7、3 C．3、7 D．2、4 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南开封·期中）如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数的和是_____． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（　　） A． B．2 C．3 D． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·福建厦门·期中）已知是关于的方程的一个解，则的值为___________． 【题型5】含参方程组同解问题 1.核心考点 考点：同解→公共解→代入求参 考查：解的公共性、参数计算 2.解题技巧 先联立无参方程求公共解 解代入含参方程求参数 分步计算，逐一验证 【例题5】.（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若方程组解为，则关于的方程组的解为_____． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·重庆丰都·期中）若关于的方程组和方程组有相同的解，则____ 【变式题5-2】.（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·河南开封·期中）已知方程组和的解相同，求代数式的值． 【题型6】整体代入法解特殊方程组 1.核心考点 思想：整体换元，简化重复结构 适用：含相同整式（如x+y、2x-3y） 2.解题技巧 把相同部分看作整体，先求整体值 整体代入消元，再求x、y 换元必回代，不丢原未知数 【例题6】.（24-25八年级上·山东枣庄·期末）（1）解方程组： （2）整体思想就是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理.整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． 若方程组的解为； 在上面方程组的基础上，求方程组的解． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·山西晋城·月考）下面是小文同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 …… 任务： (1)类比“例1”的方法，解方程组． (2)已知二元一次方程组，请利用“整体思想”求出的值． (3)已知，类比“例2”的方法，求的值． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·吉林长春·月考）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可转化为，运用以上知识解决下列问题： (1)解方程组； (2)关于x，y的二元一次方程组解为，求方程组的解． 【题型7】解三元一次方程组 1.核心考点 思路：三元→二元→一元 方法：代入/加减消去一个未知数 2.解题技巧 优先消系数简单/缺项未知数 消元后按二元方程组求解 三未知数全部求出，规范联立 【例题7】.（24-25七年级下·福建泉州·月考）解下列方程组： (1)； (2)． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式题7-2】.（25-26七年级下·北京·期中）现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．我们的目标是把矩阵变成下面这种样子：，这样就直接看出方程组的解为． (1)方程组对应的矩阵为_____． (2)关于的三元一次方程组的系数排成的矩阵为，则对应的方程组为_____，若为定值．求与满足的数量关系． 【变式题7-3】.（2026·福建漳州·一模）阅读材料，回答问题． 探索《九章算术》中机械化算法思想 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案． 例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：            （1）                           （2）                （3）                   （4） 将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是，第三行的方程，易解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值． (1)直接写出示例方程组的解； (2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题： （i）解方程组： （ii）已知关于的方程组：有唯一解，求的取值范围． 【提升题型】 【题型8】错解复原问题（看错参数求真值） 1.核心考点 模型：看错一个参数，其余方程仍成立 考查：方程解的意义、逆向构造 2.解题技巧 错解代入未看错方程，正解代入全方程 联立求真值，区分看错与正确条件 分步列式，不混淆对错条件 【例题8】.（25-26七年级下·湖南长沙·期中）小红和小虎两人共同解方程组，小虎看错了方程①中的，解得，小红看错了方程②中的，解得，求，的值． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两人同时解关于、的方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，求原方程组的正确解． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程组的解． 【题型9】二元一次方程组解决行程、利润问题 1.核心考点 行程：路程=速度×时间，顺逆流模型 利润：利润=售价-进价，总价=单价×数量 2.解题技巧 顺流=静水+水速；逆流=静水−水速 列表梳理速度、时间、路程 利润题统一单位，看清“每/各” 【例题9】.（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， (1)列出关于，的二元一次方程； (2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 【变式题9-1】.（2026·山东淄博·一模）情景与对话： 情景：小明和小亮同时出发，从甲地到乙地． 对话：小明说：我走完全程的一半时，小亮才走了16千米． 小亮说：我走完全程的一半时，小明已走了25千米． 问题与探索： 小明走完全程时，小亮未走完的路程还有多少千米？ 【变式题9-2】.（25-26七年级下·云南·期中）根据以下素材，探索完成任务． 阳光体育·足球促销 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元． 素材二 该商场在3月份购进A款、B款两种足球共50个，进货共用3600元 素材三 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）： ① “买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 (1)求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ (2)某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 【变式题9-3】.（25-26七年级下·浙江宁波·期中）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购A，B两款新能源汽车若干辆（两者都要），若买10辆A款和5辆B款需付款160万元，若买5辆A款和10辆B款需付款170万元，设A款的单价为万元，B款的单价为万元． (1)求和的值． (2)若购买A款和B款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案． (3)根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总计付款304万元，B款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则A款中享受国补的有______________辆． 【题型10】二元一次方程组解决配套、工程问题 1.核心考点 配套：部件数量成比例 工程：工作总量=效率×时间，常设为1 2.解题技巧 配套抓比例相等列方程 工程设效率为未知数 结果验证是否配套、符合总量 【例题10】.（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·月考）甲，乙两个工厂共同负责1500千克的鲜奶加工，原计划甲，乙两个工厂共同加工5天可全部完成，由于人员调动，甲工厂每天的加工效率比原来提高了，乙工厂每天的加工效率比原来降低了，但最终按原计划完成了加工任务，求甲，乙两个工厂原计划每天加工鲜奶多少千克． 【变式题10-1】.（24-25七年级下·贵州黔西南·期末）在贵州某县乡村振兴项目中，为发展旅游业，需对一条苗族风情古寨旁的河道进行生态整治．现有一段长480米的河道整治任务由甲、乙两支施工队接力完成．甲工程队每天整治12米，乙工程队每天整治30米，共用时25天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______ 则可列方程组为 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． (3)为了合理控制项目成本，工程指挥部在确保施工质量的前提下，希望优化预算基于上述施工方案，甲工程队每天的施工费用为500元，工程指挥部要求总施工费用不超过22000元，那么乙工程队每天的施工费用最多是多少元？ 【变式题10-2】.（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 【变式题10-3】.（25-26七年级下·北京·期中）学校义卖活动中，有手工皂和香薰蜡烛两种商品需要分装打包，由社团的甲、乙两个小组分别负责，甲组负责打包手工皂，打包份的总耗时可表示为分钟；乙组负责打包香薰蜡烛，打包份的总耗时可表示为分钟． （1）第一天，社团准备了12份商品分配给两个小组，两组刚好同时完成打包，则分配给甲组的手工皂的份数与乙组的香薰蜡烛的份数之比为__________． （2）第二天，社团分配给甲组的份数在第一天的基础上增加了份，分配给乙组的份数在第一天的基础上增加了份，若两组仍能同时完成打包，且、均为小于12的正整数，则的值为__________． 【培优题型】 【题型11】方案选择与最优决策问题 1.核心考点 考点：分类讨论方案，选最优（利润/费用） 情境：购物、采购、生产决策 2.解题技巧 先求所有正整数方案 计算各方案利润/成本，比较选优 作答明确方案与理由 【例题11】.（25-26七年级下·浙江·期中）根据以下索材，探索完成任务．随着AI技术的发展，越来越多的行业引人机器人来高效、精准地完成工作．某物流公司先引人了A，B两款传统分拣机器人，后又引入了C款升级版机器人． 素材1：三款机器人的分拣效率与耗电量如下表： 素材2：已知1台A型机器人工作3小时和1台B型机器人工作2小时，共可分拣2300件货物；1台A型机器人工作2小时和1台B型机器人工作5小时，共可分拣3000件货物； 素材3：物流公司需在1小时内完成4000件货物的分拣任务． 型号 工作效率/[件/（小时·台）] 耗电量/[千瓦时/（小时·台）] 2 1.5 600 1.8 (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】若只用A，B两种型号机器人恰好按时完成本次任务（两种型号都要使用），求总耗电量为多少千瓦时． (3)【任务3】该公司引进型机器人后，若采用A，B，C三种机器人同时分拣（每种型号至少投人1台），且C型机器人台数是型机器人台数的，刚好30分钟完成该任务． ①求出所有可行的机器人安排方案； ②直接写出最省电方案的耗电量为________千瓦时． 【变式题11-1】.（25-26七年级下·山东淄博·期中）随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表： 类别 素材内容 素材1 （效率对比） 配送时间计算模型： 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为，且取货加送货上楼固定消耗10分钟． 无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为，起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟 （注：配送总时长＝行驶时长＋固定消耗时长） 素材2 （运营成本） 某咖啡店的配送账单： 上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元． 素材3 （运力升级） 新机型采购计划： 为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼型”和“旋翼型”两种新型无人机共建新机队． 旋翼型：单价0.4万元，最大载重15千克； 旋翼型：单价0.6万元，最大载重25千克． 公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买． 问题解决： (1)任务1：现有一份紧急文件需要从地送往地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省________分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离） (2)任务2：根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？ (3)任务3：根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的载重最大？最大载重是多少？ 【变式题11-2】.（25-26七年级下·福建福州·期中）数学实践：探究用标准卡纸制作礼盒个数最多． 素材1：如图1，每张标准卡纸可以剪裁成张相同的小长方形，每张小长方形可以剪裁成两张小正方形． 素材2：如图2，可以用小长方形和小正方形制作竖式叠盖和横式叠盖纸盒，如图3是竖式叠盖和横式叠盖纸盒的平面展开图． 素材3：数学实践小组一共有张标准卡纸通过剪裁一共得到张小长方形和张小正方形，做成个竖式叠盖纸盒和个横式叠盖纸盒，恰好使剪裁后的小长方形和正方形用完． (1)【任务1】若，求，，的值； (2)【任务2】求的最大值． 【变式题11-3】.（25-26七年级下·福建福州·期中）综合与实践：设计制作纸盒方案 素材一：如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形． 素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料． ②制作纸盒后没有剩余材料． 问题解决： 为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒个，竖式无盖纸盒个． 问题一：初探材料用量 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） 个横式无盖纸盒 个竖式无盖纸盒 问题二：再探关系 需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计 ________ ________ 300 (1)请完善上述表格，并写出、之间满足的关系式：________； 方案选择： (2)能否用这300张纸板制作这两种纸盒，使得到的竖式无盖纸盒的数量为横式无盖纸盒的数量的三倍，且材料没有剩余，如果可以，请设计你的分配方案；如果不能，请说明理由． 【题型12】新定义运算与方程组综合 1.核心考点 情境：新定义规则转方程组 考查：转化能力、规范计算、创新应用 2.解题技巧 按定义写代数式，联立方程组 用常规方法求解，紧扣定义 不超纲使用公式，步骤完整 【例题12】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． (1)求点的“倾斜系数”k的值； (2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点的“倾斜系数”，且，求点P的坐标． 【变式题12-1】.（25-26七年级下·山东青岛·期中）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，求与它的“亲密方程”组成的方程组的解； (3)若（2）中方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【变式题12-2】.（25-26七年级下·湖南长沙·期中）定义：若为关于x和y的二元一次方程的一组整数解，即，都为整数，则称在平面直角坐标系中的点为方程的“整解点”，例如：为方程的一组整数解，那么点为方程的“整解点”． (1)请求出方程在第一象限内的“整解点”； (2)已知关于x和y的二元一次方程（，且b为正整数）有“整解点”，将该点向上平移6个单位，向右平移2个单位后仍是该方程的“整解点”，求ab的值； (3)有以下关于x和y的三个二元一次方程： ①， ②， ③， 其中p和q为常数且满足，若这三个方程有相同的“整解点”，试求出其相同的“整解点”． 【变式题12-3】.（24-25七年级下·广东广州·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点与的坐标满足，（为常数，），则称点的“系友好点”是点．例如，点的“1系友好点”是点． (1)点的“1系友好点”的坐标是________，若一个点的“2系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是________； (2)点的坐标为，点是点的“系友好点”，点是点的“系友好点”，以此类推，点是点的“系友好点”．若为正整数，则点的横坐标与纵坐标之和为________； (3)已知点在第二象限，且满足，点是点的“系友好点”，求点的坐标； (4)点在轴正半轴上，点的“系友好点”为点，若无论为何值，的值为一个定值，求实数的值． 1.核心易错点 判定方程时，忽略二元、一次、整式三个条件； 消元时符号错误、漏乘、代回原方程； 实际应用找错等量关系，单位不统一； 含参数问题忘记系数不能为0。 2.本章重难点 重点：代入消元法、加减消元法解方程组； 重点：根据题意列二元一次方程组解决实际问题； 难点：整体思想、换元法解复杂方程组； 难点：含参数方程组的同解、整数解、最优方案探究。 3.解题通用步骤 解方程：先整理→选方法（代入/加减）→消元→求解→检验； 应用题：审→找等量→设元→列方程组→求解→作答； 含参题：先求公共解/表达式，再按限制条件分析。 4.必备技巧口诀 代入消元：系数简单优先变，代入别代原方程； 加减消元：同减异加要记牢，两边同乘不漏项； 实际应用：两个未知两个量，两组等量列方程； 整体代入：相同结构看成整，先求整体再求元。 5.高分关键 步骤完整、书写规范，解必须用大括号联立； 实际问题一定要检验是否符合题意； 复杂题目优先观察整体结构，简化再计算。 同步练习 一、单选题 1．已知是方程的一组解，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 2．用代入法解方程组时，将方程①代入方程②正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A． B．2 C． D．3 4．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于和的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．把方程写成用含有y的代数式表示x的形式，得____． 6．若实数，满足，则__________． 7．已知二元一次方程，请写出该方程的一个整数解：________．（只写一个） 8．已知方程组的解满足，则m的值为_____． 三、解答题 9．利用方程（组）的知识解决问题： 如图，学校规划在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．其中横向和纵向通道的宽度均相等，六块草坪的形状、大小完全相同，其中一块草坪的两边．如果考虑到铺设草坪需要额外准备面积的草皮作为损耗更换用，那么所需准备草皮的总面积是多少？ 10．综合与实践 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：，其中称盘质量为克，重物质量为m克，秤砣质量为M克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【方案设计】 秤盘 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务：确定和的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程； (2)当称盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，请列出关于，的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出和的值． (4)若用此杆秤称质量为400克的重物，此时秤砣应放在距离零刻度线____厘米处． 11．解方程组 (1) (2) 12．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点，我们将关于，的二元一次方程称为点的“特征方程”．例如点的“特征方程”为． (1)若点的“特征方程”的一个解是，求的值． (2)已知是点的“特征方程”的一个解，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，若是点的特征方程的一个解，求的最小整数值，并写出此时和的值． 学科网（北京）股份有限公司 $