学易金卷：高一数学下学期第三次月考02（江苏专用）【测试范围：苏教版必修第二册第9～14章】

**基本信息** 以冰雪运动市场数据、三面角余弦定理等真实情境与创新载体，覆盖复数、立体几何、统计等模块，通过基础题与探究题梯度设计，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数象限、立体几何位置关系、统计数据特征|单选4用冰雪运动数据考查数据意识，多选11结合正方体中点线面培养空间观念| |填空题|3/15|解三角形多解、向量投影、异面直线夹角|填空14通过正方体展开图提升几何直观| |解答题|5/77|复数运算、解三角形面积、函数图像变换、统计图表、类比推理|解答19类比余弦定理至三面角，培养推理能力与创新意识，贴合高考命题趋势|

■■■ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 ! 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C]D] 5[A]B][C]D] 2[A][B][C]D] 6[A][B][C]D] 3[A[B][C]D] 7[A][B][C][D] 戡 4[A][B][CD] 8[A]B][C]D] 二、 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[AB][C]D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分） 蕾 12 13 14 ! 探 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 频率 组距 0.025 0.020 0.010 0.005 0405060708090100分数 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) A A D B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册第9章~第14章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，满足,则复数所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若为空间中不同的两条直线，为空间不同的平面，若，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知2018-2024年中国冰雪运动核心市场规模（单位：亿元）依次为：454.3，487.5，445.2，594.9，713.9，833.1，1083.0.对于这7个数据，则（    ） A．该组数据的极差是628.7 B．该组数据的中位数是594.9 C．该组数据的40%分位数是445.2 D．该组数据的平均数小于630 5．已知为原点，若点、的坐标分别为、，，当点在线段AB上，且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．用斜二测画法作出的水平放置的直观图如图所示，其中，，则绕所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，，，三点在地面上的同一直线上，，从两点测得点的仰角分别为，，则点离地面的高为（    ）. A．   B． C．     D． 8．正四面体棱长为2，点为其外接球球心，点满足，且点在平面上，则三棱锥体积最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．计算下列各式的值，其结果为1的有（   ） A． B． C． D． 10．已知三条边是连续的正整数，且最小角的余弦值为，则（    ） A．是锐角三角形 B．的面积为 C．外接圆半径为 D．若是最大角，则 11．如图，在棱长为1的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点满足，，下列说法正确的是（    ）    A．平面 B．若Q，M，N，P四点共面，则 C．若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D．若，则以为顶点，以过M、N、Q三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若满足条件，，的有两个，则的取值范围是______. 13．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则_____ 14．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，异面直线与的夹角是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知复数，，其中i是复数单位. (1)若，求实数a的值； (2)若是纯虚数，a是正实数，求的值. 16．（15分） 如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，△ABC的面积为S，且． (1)求角B的大小； (2)若为平面ABC上△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值． 17．（15分） 已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围. 18．（17分） 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数和平均数 (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 19．（17分） 类比二维平面内的余弦定理，三维空间中有三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱锥中，底面为菱形，，，，且. (1)在图2中，用三面角余弦定理求的值； (2)在图2中，线段上是否存在一点，使得，若存在，求值；若不存在，说明理由； (3)在图2中，直线与平面内任意一条直线的夹角为，证明：. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册第9章~第14章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，满足,则复数所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若为空间中不同的两条直线，为空间不同的平面，若，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知2018-2024年中国冰雪运动核心市场规模（单位：亿元）依次为：454.3，487.5，445.2，594.9，713.9，833.1，1083.0.对于这7个数据，则（    ） A．该组数据的极差是628.7 B．该组数据的中位数是594.9 C．该组数据的40%分位数是445.2 D．该组数据的平均数小于630 5．已知为原点，若点、的坐标分别为、，，当点在线段AB上，且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．用斜二测画法作出的水平放置的直观图如图所示，其中，，则绕所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，，，三点在地面上的同一直线上，，从两点测得点的仰角分别为，，则点离地面的高为（    ）. A．   B． C．     D． 8．正四面体棱长为2，点为其外接球球心，点满足，且点在平面上，则三棱锥体积最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．计算下列各式的值，其结果为1的有（   ） A． B． C． D． 10．已知三条边是连续的正整数，且最小角的余弦值为，则（    ） A．是锐角三角形 B．的面积为 C．外接圆半径为 D．若是最大角，则 11．如图，在棱长为1的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点满足，，下列说法正确的是（    ）    A．平面 B．若Q，M，N，P四点共面，则 C．若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D．若，则以为顶点，以过M、N、Q三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若满足条件，，的有两个，则的取值范围是______. 13．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则_____ 14．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，异面直线与的夹角是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知复数，，其中i是复数单位. (1)若，求实数a的值； (2)若是纯虚数，a是正实数，求的值. 16．（15分） 如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，△ABC的面积为S，且． (1)求角B的大小； (2)若为平面ABC上△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值． 17．（15分） 已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围. 18．（17分） 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数和平均数 (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 19．（17分） 类比二维平面内的余弦定理，三维空间中有三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱锥中，底面为菱形，，，，且. (1)在图2中，用三面角余弦定理求的值； (2)在图2中，线段上是否存在一点，使得，若存在，求值；若不存在，说明理由； (3)在图2中，直线与平面内任意一条直线的夹角为，证明：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 7 B C B C C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 0 10 11 AD BCD ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(W3,2) 13.7 14.60 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【详解】(1)因为a=(a+i2,2,=4-3i,互=i, Z 所以z1=iz2,即(a+i)2=a2-1+2ai=3+4i,(1分) 所以 2a4,解得实数a的值为24分 [a2-1=3 （2)由题意得三=a+-a+2ai4+30_4a-6a-+3a2+8a-31,（6分) 224-3i 25 25 因为三是纯虚数，所以 4a2-6a-4=0 0+830解得a=2或a=分(9分) 又因为a是正实数，所以a=2,所以三=i,(10分) 1/6 应学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 12 3 2025 所以+ =i+i2+i+…+i2025 22（22 2) +… =(i+i+iP+i）+(的+i+i7+i）+…+(i2021+i202+203+i2024）+i202s =(i-1-i+1)+(i-1-i+1)+…+(i-1-i+1)+i=i(13分) 16.(15分) 【详解】(1)解：在ABC中，由4S=a2+c2-b2, 有4×2 xaesin B-=a+c2-,(1分) 则sinB=g+c2- -cos B 2ac 即tanB=1,(3分) B∈(0，π)， 4·5分) 所以B=交」 (2)解：在△BCD中，BD=2,DC=1, ·BC2=12+22-2×1×2×cosD=5-4cosD,(7分) 又4-乃，则48C为等腰直角三角形，(8分) cac-ac-,n分 1 4 又SABDC= xBDx DCsin D=sin D, 1 8ac至-csD+nD-+5m0引13分) 5 当D-时，四边形4B0C的面积最大值，最大值为+V5.(15分) 17.(15分) 【详解1D由f到=sn〔经+)sinx+}1osa sinac-1 2 1 3 -sin 2@x+*cos2 @x-1= sin 2x++ -1 2r+4分》 因为f(x)图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为 4 所以其最小正周期为T=4×及=2红→0=1，(5分) 420 2/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则fx=)sim2x+-3 x+6厂4 令-I+2km≤2x+亚sT+2km,k∈Z, 2 62 解之得x∈ -+k,2+km(keZ):(7分) 3 6 (2)由题意可知将∫(x:)图象上的所有点的横坐标向右平移严个单位长度（纵坐标不变）， 再向上平移子个单位长度可得y 2 再将级坐标和长为限来的2信，符到系数8=2：骨引，(9分 [引x 6'2 所以g(x)e[0,, 令t=gx,则条件可化为1-2m=22-3t在t∈[0,1时有解，(11分) 易知y=2231在0 上单调递减，在 上单。 0以 易知y=2t2-3t∈ 13分) 9 「117 则1-2m∈ 0 8 解之得m 2'16 (15分) 18.(17分) 【详解】(1)由每组小矩形的面积之和为1得，0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1, 所以a=0.030.(3分) (2)成绩落在[40,80)内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65，(4分) 落在[40,90)内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3+0.25=0.9，(5分) 显然第75百分位数m∈(80,90)，由0.65+(m-80)×0.025=0.75, 解得m=84,所以第75百分位数为84.(8分) 平均数约为 0.005×45+0.010×55+0.020×65+0.030×75+0.025×85+0.010×95×10=74;(11分) (3)由图可知，成绩在50,60)的市民人数为100×0.1=10， 成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20， 故2=10×56+65x20=62,(14分) 10+20 3/6 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 -09036-6+7j+1042[6s-6a+4-23,16分y 所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23.(17分) 19.(17分) 【详解】(1)设AC∩BD=0,连接A,O, 因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD,AB=AD,O为BD的中点， 又∠A,AD=∠A,AB,AA,为公共边，所以△AAD兰△AAB, 所以A,D=AB,A,O⊥BD, 因为AC∩A,O=O,AC,AOc平面AAC,所以BD⊥平面A,AC, 因为BDC平面ABCD,所以平面A,AC⊥平面ABCD, 故二面4-4C-B的大小为受 又∠BAD-胥，则∠CMB-名0B=l40=5,4C=240=25, 又A4=4C=2V5,所以△AAC为等边三角形，∠A4C=元 由三面角余弦定理得cos∠AAB=cos∠4ACcos∠BAC+sin∠44Csin∠BACcos cos 3 cos. π 22222 ;(6分) 6 4 D B (2)存在， CE 1 CD2’理由如下 由三面角余弦定理得cos∠AAE=cos∠4ACcos∠EAC+sin∠44Csin∠EACcos 2 即coscos∠EAC=3V2 28 ，Cos ZEAC=3V27 14 显然∠EAC为锐角，故sin∠EAC= 14 14 4/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 EC AE 在△EAC中，由正弦定理得 sin∠E.4C sin∠ACE' EC AE 即√万1，故AE=√7EC, 142 由余弦定理得cos∠ACE=EC2+AC2-AE2 2EC.AC 即EC2+12-7EC2V3 2C-2V5=2,解得EC=1(负值舍去， 比封告-方使w∠44.3：12分 28 (3)由题意得0<9≤受，设平面48CD内任一条直线为1， 当过点A时，记AC与1的夹角为9,0<9，≤)字 由(1)及三面角公式可得cosp=cos∠4A0cos9, 因为c0s0,∈[0,1，所以cosp=cos AA0cos9,≤cos∠A40=cos, 3, 又0<0≤所以肾0， A D: 1- 0 B 当1不过点4时，过点4作111，记4C与r的夹角为g,0<g≤号 则cosp=cos∠440cosn,≤cos∠440=cos胥， 又0<p分，所以肾sp≤ 3 2, 综上， 5/6 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (17分) D s---0 C B 6/6 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册第9章~第14章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，满足,则复数所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数计算公式化简得到答案. 【详解】 复数所在的象限为第二象限. 故选 【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题型. 2．若为空间中不同的两条直线，为空间不同的平面，若，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】因为，所以，又因为，则，所以充分性成立； 因为，，则与平面不一定垂直，所以必要性不成立， “”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据诱导公式和二倍角公式即可得出结论. 【详解】. . 故选：A 4．已知2018-2024年中国冰雪运动核心市场规模（单位：亿元）依次为：454.3，487.5，445.2，594.9，713.9，833.1，1083.0.对于这7个数据，则（    ） A．该组数据的极差是628.7 B．该组数据的中位数是594.9 C．该组数据的40%分位数是445.2 D．该组数据的平均数小于630 【答案】B 【详解】A，由该组数据最大数与最小数分别为与，故该组数据的极差是，故A错误； B，将该组数据从小到大排序：445.2，454.3，487.5，594.9，713.9，833.1，1083.0，故该组数据的中位数是594.9，故B正确； C，由，故该组数据的分位数是487.5，故C错误； D，该组数据的平均数为，故D错误. 5．已知为原点，若点、的坐标分别为、，，当点在线段AB上，且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，根据向量的线性运算的坐标表示可求出，利用向量的数量积公式及函数的单调性即可求解. 【详解】设 、的坐标分别为、， 则 ，， ，即 ，， 即所求的最大值为 故选：C 6．用斜二测画法作出的水平放置的直观图如图所示，其中，，则绕所在直线旋转一周后所形成的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定的形状与数据，由旋转的性质，得到旋转的几何体为圆锥，由圆锥的表面积公式求解即可． 【详解】由题意，可得的图形如图所示， 为直角三角形，其中，，则， 绕所在直线旋转一周后所形成的几何体为圆锥， 该圆锥的底面半径为，母线长为， 所以圆锥的表面积． 故选：． 7．如图所示，，，三点在地面上的同一直线上，，从两点测得点的仰角分别为，，则点离地面的高为（    ）. A．   B． C．     D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理，结合锐角三角函数的定义进行求解即可. 【详解】在△ACD中，根据正弦定理得，，所以． 在直角△ABD中，． 故选：A 8．正四面体棱长为2，点为其外接球球心，点满足，且点在平面上，则三棱锥体积最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四面体性质以及空间向量基本定理可得，再由锥体体积公式计算可得结果. 【详解】设中心为，如下图： 由正四面体性质可知， 利用勾股定理可得，即，解得； 因此可得； 所以； ，可得，即， 当且仅当时，等号成立. 此时满足， 易知， 因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．计算下列各式的值，其结果为1的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式、和角的正切公式逐项计算判断. 【详解】对于A，，A是； 对于B，，B不是； 对于C， ，C不是； 对于D，，D是. 故选：AD 10．已知三条边是连续的正整数，且最小角的余弦值为，则（    ） A．是锐角三角形 B．的面积为 C．外接圆半径为 D．若是最大角，则 【答案】BCD 【分析】设出三角形的边长，根据题意列出方程求出边长，再根据余弦定理以及正弦定理求解即可. 【详解】设三边为连续正整数：（），最小角对最小边，记最小角为， 则，由余弦定理，化简分子得， 化简得.因此三边长为. 选项A.最大角对最大边，记最大角为，由余弦定理，为钝角， 故是钝角三角形，错误. 选项B.，则， 三角形面积，正确. 选项C.由正弦定理，外接圆半径，，则，， ，正确. 选项D.由二倍角公式，正确. 11．如图，在棱长为1的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点满足，，下列说法正确的是（    ）    A．平面 B．若Q，M，N，P四点共面，则 C．若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D．若，则以为顶点，以过M、N、Q三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为 【答案】ACD 【分析】对于A，由面面平行的性质可得；对于B，延展平面可得平面过的中点，可得；对于C，先找到的轨迹，再由几何关系算出长度；对于D，若，确定正六边形相关边长，进而求其表面积. 【详解】    对于A，在正方体中平面平面，平面，故平面，故正确； 对于B，延展平面，结合平面的基本性质及正方体的结构特征得截面如图（2），易知平面过的中点，所以，错误； 对于C，如图（1），若，取的三等分点(靠近)，的中点，则， 平面，平面，故平面，同理平面， 又且都在平面，所以平面平面， 当点在线段上时，平面，则满足平面，所以即为的轨迹， 由，得，正确； 对于D，如图（2），，则正六边形的面积为，的面积为，所以棱锥的表面积为，故正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若满足条件，，的有两个，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用正弦定理可得，再确定的范围即可作答. 【详解】在中，由正弦定理得：， 因有两解，即给定x值，由求出的角B有两个，它们互补， 当时，，角B唯一确定，只有一解， 则，即有，而当时，是直角三角形，只有一解， 有两解，则必有，即，有， 所以的取值范围是. 故答案为： 13．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则_____ 【答案】 【分析】由向量在向量上的投影向量求得，根据向量的坐标运算得，即可求得. 【详解】由向量在向量上的投影向量为， 所以，所以， 所以， 故答案为： 14．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，异面直线与的夹角是______. 【答案】 【分析】将正方体纸盒展开图还原成正方体，利用异面直线所成角的定义可得结果. 【详解】将正方体纸盒展开图还原成正方体，如下图所示： 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 易知为等边三角形，故. 因此，异面直线与的夹角. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知复数，，其中i是复数单位. (1)若，求实数a的值； (2)若是纯虚数，a是正实数，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用复数的乘法法则及复数相等的条件列式求解即可. （2）利用除法运算化简，根据纯虚数的概念知，则然后根据的周期性求和即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，即， 所以，解得实数a的值为2. （2）由题意得， 因为是纯虚数，所以，解得或， 又因为a是正实数，所以，所以， 所以 16．（15分） 如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，△ABC的面积为S，且． (1)求角B的大小； (2)若为平面ABC上△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积公式及余弦定理计算可得； （2）在中，由余弦定理得到，从而得到，再由从而得到，再利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】（1）解：在中，由， 有， 则， 即，∵， 所以． （2）解：在中，， ∴， 又，则为等腰直角三角形， ， 又， ∴， 当时，四边形的面积最大值，最大值为． 17．（15分） 已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为. (1)求的值及的单调递增区间； (2)将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)；单调递增区间为：； (2) 【分析】（1）先利用诱导公式、正弦的和角公式、二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再根据三角函数的图象与性质计算即可； （2）根据三角函数图象的变换求出解析式，利用整体思想分离参数结合二次函数的性质计算即可. 【详解】（1）由 ， 因为图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为， 所以其最小正周期为， 则， 令， 解之得； （2）由题意可知将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变）， 再向上平移个单位长度可得， 再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数， 当，所以， 令，则条件可化为在时有解， 易知在上单调递减，在上单调递增， 易知， 则，解之得. 18．（17分） 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数和平均数 (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 【答案】(1) (2)第75百分位数为84，平均数为 (3)， 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据百分位数和平均数的计算公式即可求解， （3）借助分层抽样的平均数与方差计算公式计算即可得. 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，， 所以. （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第75百分位数，由， 解得，所以第75百分位数为84. 平均数约为 ； （3）由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故， ， 所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23． 19．（17分） 类比二维平面内的余弦定理，三维空间中有三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱锥中，底面为菱形，，，，且. (1)在图2中，用三面角余弦定理求的值； (2)在图2中，线段上是否存在一点，使得，若存在，求值；若不存在，说明理由； (3)在图2中，直线与平面内任意一条直线的夹角为，证明：. 【答案】(1) (2)存在，，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）证明平面⊥平面，故二面角的大小为，为等边三角形，，代入公式，求出的值； （2）在（1）基础上，得到，由同角三角函数关系和正弦定理得到，再利用余弦定理得到方程，求出，得到答案； （3）分两种情况，当过点和不过点，由（1）及三面角公式可得，又，所以，证明出结论. 【详解】（1）设，连接， 因为底面为菱形，所以，，为的中点， 又，为公共边，所以≌， 所以，⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面， 故二面角的大小为， 又，则，， 又，所以为等边三角形，， 由三面角余弦定理得 ； （2）存在，，理由如下： 由三面角余弦定理得， 即，， 显然为锐角，故， 在中，由正弦定理得， 即，故， 由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 此时，使得； （3）由题意得，设平面内任一条直线为， 当过点时，记与的夹角为，， 由（1）及三面角公式可得， 因为，所以， 又，所以， 当不过点时，过点作，记与的夹角为，， 则， 又，所以， 综上， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $