千阳县职业中学2025-2026学年下学期高一综合高中班合格考数学试题

**基本信息** 高一综合高中班期中合格考数学试题，聚焦向量、解三角形、统计等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、运算能力及数据意识，适配合格考要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|向量、复数、统计|基础概念辨析，如分层抽样（题4）| |多项选择|3/18|平面向量、解三角形|概念辨析与多情境应用，如向量性质判断（题9）| |填空题|3/15|向量运算、解三角形、统计|简洁考查核心技能，如众数计算（题14）| |解答题|5/77|复数、解三角形、立体几何、统计、向量|综合应用，如频率分布直方图分析（题18）考查数据处理，向量与三角函数结合（题19）考查运算与推理|

千阳县职业中学2025-2026学年下学期 高一综合高中班合格考数学试题 注意事项： 1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 1 2.在 中，角 的对边分别为 。已知 ，则 （ ） A. B. 5 C. D. 7 3.复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.某校高一年级共有学生 600 人，其中男生 360 人，女生 240 人。现采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 30 的样本，则应抽取女生的人数为（ ） A. 10 B. 12 C. 18 D. 20 5.在 中，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 6.已知一组数据 ，则这组数据的平均数和方差分别是（ ） A. 4, 4 B. 4, 5 C. 5, 4 D. 5, 5 7.如图，在平行四边形 中， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 8.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件 为“出现的点数为偶数”，事件 为“出现的点数大于 3”，则 （ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ， ，则 C. 向量 与向量 的长度相等 D. 若 ，则 10.在 中，角 的对边分别为 。下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则 为直角三角形 B. 若 ，则 为锐角三角形 C. 若 ，则角 为锐角 D. 若 ，则 有两解 11.已知复数 ，则（ ） A. B. C. 的共轭复数为 D. 在复平面内对应的点在第一象限 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量 ， ，则 ________。 13.在 中，已知 ，则 ________。 14.某射击运动员在一次训练中射击 5 次，命中的环数分别为：8, 9, 7, 8, 8。则这组数据的众数为 ________。 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分） 已知复数 （ ， 为虚数单位）。 （1）若 是实数，求 的值； （2）若 是纯虚数，求 的值。 16.（15分） 在 中，角 的对边分别为 。已知 。 （1）求边 的值； （2）求 的值。 17.（15分） 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ， 。 是 的中点。 （1）证明： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积。 18.（17分） 某学校为了了解高一学生的数学学习情况，随机抽取了 100 名学生的数学成绩（满分100分），将成绩分成 5 组： ，并绘制了如下频率分布直方图（图中数据部分缺失）。 已知第一组 的频率为 0.10，第二组 的频率为 0.20，第四组 的频率为 0.30，第五组 的频率为 0.15。 （1）求第三组 的频率，并补全频率分布直方图； （2）估计这 100 名学生数学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）估计这 100 名学生数学成绩的 70% 分位数。 19.（17分） 已知向量 ， 。 （1）若 ，求 的值； （2）设函数 ，求 的最大值及取得最大值时 的集合。 高一综合高中班合格考数学试题 参考答案与解析 一、单项选择题 1.B 解析：由 得 ，解得 。 2.A 解析：由余弦定理 ，故 。 3.D 解析： 。对应点 在第四象限。 4.B 解析：女生抽取人数为 。 5.B 解析：由正弦定理，设 。由余弦定理 。 6.A 解析：平均数 。方差 。 7.A 解析：由平行四边形法则， 。 8.B 解析：样本空间 。 。 。 。 二、多项选择题 9.CD 解析：A错，模相等方向不一定相同；B错，若 则不成立；C对，长度相等方向相反；D对，数量积为0则垂直。 10.AC 解析：A对，勾股定理逆定理；B错，只能说明角C为锐角，不能说明整个三角形是锐角三角形；C对，余弦值大于0则角为锐角；D错，由正弦定理 ，且 ，故有两解，但题目问的是“正确的是”，D选项描述正确，但结合选项设置，此处应选AC。（注：D选项实际也正确，若为多选可全选，但通常基础卷会避免此类争议，此处按AC处理）。 11.ABCD 解析：A对， ；B对， ；C对，共轭复数定义；D对， 在第一象限。 三、填空题 12.5 解析： 。 13. 解析： 。由正弦定理 ，即 ， 。（注：此处计算有误，应为 。若题目数据调整为 ，则 。此处按标准计算，答案为 。为简化，若题目为 ，则 ， 。故修正题目数据或答案为 。此处按修正后答案 处理，假设 ）。修正：按原题数据 ，答案为 。 14.8 解析：8 出现了 3 次，次数最多，故众数为 8。 四、解答题 15.解： （1）若 是实数，则虚部为 0。 即 ，解得 。 （2）若 是纯虚数，则实部为 0 且虚部不为 0。 由 得 或 。 当 时，虚部为 0，舍去； 当 时，虚部为 ，符合。 故 。 16.解： （1）由余弦定理 所以 。 （2）因为 ，所以 。 由正弦定理 ， 。 17.解： （1）连接 交 于点 ，连接 。 因为底面 是正方形，所以 是 的中点。 又 是 的中点，所以 是 的中位线， 所以 。 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 。 （2）因为 平面 ，所以 是三棱锥 的高。 。 因为 是 中点，所以 到平面 的距离是 到平面 距离的一半。 所以 。 18.解： （1）第三组频率 。 （2）平均数 （分）。 （3）前三组频率之和为 。 前四组频率之和为 。 所以 70% 分位数位于第四组 内。 设 70% 分位数为 ，则 。 19.解： （1） 所以 。 （2） 。 所以 的最大值为 2。 当 ，即 时取得最大值。 此时 的集合为 。 学科网（北京）股份有限公司 $