题号猜押07 上海中考数学23题（5大题型，相似三角形）（上海专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押07上海中考数学23题（相似三角形） 押题预测 ◆题型一、子母型相似明 1.(2026上海虹口·二模)如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC, AD=AE,连接BD、CE,LADB=90°，延长BD交CE于点F,交AC于点G, (I)求证：四边形ADFE为正方形； (2)如果∠FBC=LACF,求证：2AD2=FG·FB. 【答案】()证明见解析 (②)证明见解析 【分析】(1)先利用已知的两个直角LBAC、∠DAE,通过减去公共角∠DAC,推导出LBAD=∠CAE;再 结合AB=AC、AD=AE,用SAS证明△BAD≌aCAE,得到LADB=LAEC=90°；接着结合∠DAE=90°， 判定四边形ADFE是矩形，最后根据邻边AD=AE,得出四边形ADFE为正方形； (2)连接AF，先由(1)中正方形ADFE的性质，结合勾股定理得到AF2=2AD2;再利用等腰直角 △ABC的角度关系和外角定理，推导出∠FAG=∠ABF;随后通过两角对应相等证明△AFG∽△BFA,得到比 例试8行，交又相果后结合4F=210,证符2D=GB 【详解】(1)证明：∠BAC=LDAE=90°， :∠BAC-∠DAC=LDAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, :在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE .△BAD≌△CAE(SAS 1/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 LAEC=∠ADB=90°， :∠DAE=90°，∠ADF=180°-∠ADB=90°， :四边形ADFE是矩形， AD=AE, 四边形ADFE为正方形. (2)证明：连接AF, B :四边形ADFE是正方形，AF是正方形的对角线， AD=DF,∠ADF=90°，∠AFB=45°， 由勾股定理得：AF2=AD2+DF2=AD2+AD2=2AD2, AB=AC,∠BAC=90°， .∠ABC=45°，即LABF+∠FBC=45°， :∠FBC=∠ACF, ∠ABF+∠ACF=45°， :由(1)知EC⊥BF,即∠BFC=90°， ∴∠CFG=∠BAG=90°， :∠AGF是△CGF的外角， .∠AGF=∠CFG+LACF=90°+∠ACF, 在△AFG中，由内角和定理：∠AGF=180°-∠AFB-∠FAG=180°-45-∠FAG=135°-∠FAG, 90°+∠ACF=135°-∠FAG, 整理得∠ACF+∠FAG=45°， :LABF+∠ACF=45°， .∠FAG=∠ABF, :在△AFG和△BFA中 ∠FAG=∠FBA,∠AFG=∠BFA, 2/40 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △AFG∽△BFA, FG AF AFFB,即AF=FGFB,代入AF'=2AD, 得：2AD2=FG·FB 2.(2026上海静安·二模)如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，点F是正方形外一点，连结AE、EF 、AF,对角线AC与线段EF相交于点M,如果AB·AF=AE·AC,且∠EAC=∠DAF, D 4 B E (I)求证：LACF=90°，AF=√2EF; (②)当点E是边BC的中点时，请直接写出△AMF与△EMC面积的比值：-一 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形 (1)先证明△ABE∽△ACF,得∠ACF=90°，再证明△ABC∽△AEF，得△AEF是等腰直角三角形，利用等 腰直角三角形斜边是直角边的√2倍，即可证明AF=√2EF, (2)先证明△AEM∽△FCM,再证明△AMF△EMC,设BE=EC=x,得AE=√5x,AF=V10x,最 后利用SE AF 求解即可 SAEMC EC 【详解】(I)证明：：AC是正方形ABCD的对角线， ∠BAC=∠CAD=45°， .∠EAC=∠DAF, ∠BAC-∠EAC=∠CAD-∠DAF, 即∠BAE=∠CAF, AB·AF=AEAC, AB AE AC AF' .△ABE∽△ACF, 3/40 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ACF=∠B=90°， :∠BAE=∠CAF, .ZBAE ZEAC ZCAF ZEAC, 即∠BAC=∠EAF=45°， AB AE AC AF AB AC ·AE=AF ∴△ABC∽△AEF, :△AEF是等腰直角三角形， AF=√2EF. (2)解：：∠AEF=∠ACF=90°，∠AME=∠FMC △AEM∽△FCM, AM EM ·FMCM AM FM EM CM' :∠AMF=∠EMC, .△AMF∽△EMC, :点E是边BC的中点， 设BE=EC=x,则BC=AB=2x, AE=AB2+BE2=5x, AF=2AE=10x, S△AME= 10x x =10 3.(2026上海杨浦二模)如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC、BD交于M,点E在线段DM上， 且∠ACD=∠ECB. D M 备用图 4/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)延长BA、CE交于N,求证：BC2=BN·AB; (②)点F在AC的延长线上，且LBFD=∠ABC,求证：∠AFD=∠BFE. 【答案】()证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)由平行四边形的性质可得∠BAC=∠ACD,则∠ECB=∠BAC,结合∠CBN=∠ABC可证明 △ABC∽△CBN,从而命题得证； (2)作△ABD的外接圆，根据题干和平行四边形的性质可得LBAD+∠BFD=180°，则A、B、F、D四 点共圆，从而得到∠ADB=∠AFB,由(1)可知∠ECB=∠BAC,因此ABF CEB,则S=BF BC-BE ，变形 得织D BFBE· 根据圆周角定理可得∠DAF=∠DBF,从而证明△ADF∽△BEF,命题得证， 【详解】(1)证明：如图， E M 在平行四边形ABCD中，AB∥CD, ∠BAC=∠ACD, 又：LACD=LECB, .ZECB ZBAC, ,∠CBN=∠ABC, ∴△ABC∽△CBN, ·% BC2=BN·AB; (2)证明：如图，作△ABD的外接圆， 5/40 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD是平行四边形， AD=BC,AD∥BC,AB∥CD, .∠BAD+∠ABC=180°，∠BAC=∠ACD,∠ADB=∠EBC, .∠BFD=∠ABC, .∠BAD+∠BFD=180°， A、B、F、D四点共圆，即点F在△ABD的外接圆上， AB=AB' ∠ADB=∠AFB, ∠EBC=∠AFB, ZACD ZECB ∴.∠BAC=∠ECB, ABF∽CEB, 能器 AF BC AD=BC, 部始 DE=DE, ∠DAF=∠DBF, .△ADF∽△BEF, ∠AFD=LBFE. 【点晴】利用对角互补联想到四点共圆，结合圆周角定理证明相似三角形是解题关键. 4.(2025上海崇明·二模)已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E,M是边DC延长 线上的一点，联结AM,与边BC交于F,与对角线BD交于点G. 6/40 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G M (I)求证：AG=GF.GM: (2)联结CG,如果LBAG=∠BCG,求证：平行四边形ABCD是菱形. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分】析①)证明&AGBn。MGD,得到C-C,证明A4 GD.FGB,得到G-BG GM GD ,进而得到 FG AG GA GM ,即可得证： (2)证明△CGF∽aMGC,推出AG=CG,进而得到BD⊥AC,即可得证. 【详解】(1)证明：：平行四边形ABCD, AD∥BC,AB∥CD, .△AGB∽△MGD,△AGDn△FGB, AG BG FG BG GM GD'GA GD FG=AG GA GM .AG2=GF.GM; (2)证明：AB∥DM, LBAG=∠CMG, .∠BAG=∠BCG, .∠CMG=∠BCG, :∠MGC=LCGF, .aCGF∽aMGC, CG FG MG CG .CG2 =MG.FG, AG2=GF.GM, .AG=CG, 7140 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E, .AE EC, .GE⊥AC,即：BD⊥AC, .平行四边形ABCD是菱形 【点晴】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定.本 题的综合性较强，解题的关键是证明三角形相似 5.(2025上海奉贤·二模)如图，已知平行四边形ABCD中，点F是对角线BD上一点，∠BFC=∠A,延长 CF交边AD于点E. B (I)求证：AB2=CF.CE; (2)当BD=CE时，求证：四边形ABCD是菱形. 【答案】()见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性 质，证明三角形相似是解题的关键： (1)根据平行四边形的性质，得到AB=DC,证明aDCF∽aECD,得到CD=CE.CF,等量代换即可得 出结论； C2)平行线分线段成比例，得到EF-DF,进而得到EF=DP,推出∠FED=∠FDE,相似三角形的性 EC DB 质，推出∠CDF=∠CED,进而得到∠FDE=∠CDF,结合平行线的性质，推出∠ABD=∠FDE,进而得到 AB=AD,即可得证， 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD, ∠A+∠ADC=180°. 又：∠BFC+∠DFC=180°，∠A=∠BFC, .∠ADC=∠DFC. 又：∠DCF=∠ECD, 8/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △DCF∽aECD. DC CF EC CD .CD2=CE.CF. .AB2 CE.CF. (2):四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, D EF DF :EC=DB, ∴EF=DF, .∠FED=∠FDE. .ADCFAECD, .LCDF=∠CED, .ZFDE ZCDF :AB∥CD, ∴∠ABD=∠CDB, ∴∠ABD=∠FDE, .AB AD. :四边形ABCD是平行四边形， :四边形ABCD是菱形 6.(2025·上海嘉定·二模)如图，平行四边形ABCD中，已知AD=2AB,M是边AD的中点，连接MC. CE⊥AB,垂足E在边AB上，连接EM并延长，交CD延长线于点F, A (I)求证：∠EMC=2∠DMC; (2)求证：CM2=AB.CF. 【答案】(1)见解析 (②)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，准确识图，灵活运用相关知识 9140 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是解题的关键。 (I)证明LF=∠MCF,∠DCM=∠DMC,由∠EMC=∠F+∠MCF=2LF即可得到结论； (2)证明CDM-CMP,则CD-CM,得到CM:=CD.CF,即可证明结论. CM CF 【详解】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD, :AB∥CD, AM EM DM FM :M是边AD的中点， ∴AM=DM :EM=MF :CE⊥AB, .∠CEB=90°， :AB∥CD, ∠ECD=∠CEB=90°， 在RtAECF中，：M是斜边EF的中点， NC-EFMF .∠F=∠MCF :AD=2AB,AB=CD,M是边AD的中点， .DM=DC, .∠DCM=∠DMC, :∠EMC=∠F+∠MCF=2∠F, .∠EMC=2∠DMC; (2):∠DCM=∠DMC,∠F=∠MCF, ∠F=∠DMC, 又：∠DCM=∠MCF, .CDM-CMF, CD CM CM CF 即CM2=CD.CF, 10/40 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB=CD, .CM2=AB.CF. 7.(2025上海闵行·二模)己知，如图：在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E是边BC延 长线上一点，连接AE,交BD于点F,交CD于点G. G (I)求证：AF2=FG·FE; (②)连接CF,如果LDAE=LFCD,求证：四边形ABCD是菱形. 【答案】（①）见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定.本 题的综合性较强，解题的关键是证明三角形相似 1)证明△4 FB&GFD,△AFDn△EFB,得到D-FG,4F=D,进而得到A5=FG BE AF EF BE ,即可得证： (2)证明△GFC∽△CFE,推出AF=CF,进而得到BD⊥AC,即可得证. 【详解】(1)证明：：平行四边形ABCD中， AB∥CD,AD∥BC, △AFB∽△GFD,△AFD∽△EFB, FD FG AF FD BF=AF’EF=BF, F AF FG .AF2=FG.FE; (2)解：如图：：AD∥BC, 11/40 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠E=∠DAE, .∠DAE=∠FCD, .∠E=∠FCD, :∠GFC=∠CFE, ∴△GFC∽△CFE, CF FG EF CE .CF2=FG.FE, :AF2=FG·FE .AF=CF, :平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O, ∴.A0=OC, OF⊥AC,即：BD⊥AC, :.平行四边形ABCD是菱形. 8.(2025·上海松江·二模)已知：如图，四边形ABCD是菱形，P是对角线BD上一点，连结AP、CP并延 长，分别与边CD、AD交于点E、F. (1)求证：AE=CF; (2)如果∠APF=2∠ABD,求证：BP.BD=2AB2. 【答案】(1)证明详见解析 (②)证明详见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以 上基本性质是解答本题的关键， (I)由菱形的性质可知AD=CD,BD垂直平分AC,继而可知∠ACD=∠CAD,PA=PC,求得 ∠PAC=∠PCA,进而判定△ACE≌△CAF(ASA),得出结论； (2)由菱形的性质和己知条件，根据角的和差计算易得∠BLA=∠BAP=90°，进而可判定△ABL∽△PBA,再 根据相似三角形的对应线段成比例即可得出结论 12/40 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：(1)：四边形ABCD是菱形， :AD=CD,BD垂直平分AC, .∠ACD=∠CAD, :点P在BD上， PA=PC, :LPAC=∠PCA, 在△ACE和△CAF中， [∠ACE=∠CAF AC=CA ∠EAC=∠FCA :△ACE≌△CAF(ASA, :AE =CF. (2)设AC交BD于点L,则LB=LD=BD, F D E :AB=CB,BD⊥AC, B .∠ABD=∠CBD, .∠ABC=2LABD, ∠APF=2∠ABD, ∠APF=∠ABC, .∠ABC+∠APC=∠APF+∠APC=180°， .∠BAP+∠BCP=360°-∠ABC+∠APC)=180°， :∠BAC=∠BCA,∠PAC=∠PCA, ∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=∠BCA+∠PCA=∠BCP, 2LBAP=180°， .∠BLA=∠BAP=90°， :∠ABL=∠PBA, .△ABL∽△PBA, 13/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB LB BPAB' BP AB .BP.BD 2AB2. 题型二、8字型相似正明 9.(2026上海崇明·二模)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是对角线BD上一点，BE>ED, AE=EC. G B (I)求证：四边形ABCD是菱形； (2)点F是边BC上一点，AF与BD相交于点G,若BG·BE=AB·BF,求证：AB2=BE·DG· 【答案】(1)见解析 (②)见解析 【分析】(1)连接AC交BD于点O,利用等腰三角形的性质证明OE⊥AC,即可得到结论： (2)根据题意得到AB-BG 一BE,证明△4DGO△FBG，推出==，即可得到结论 BE AD AB 【详解】(1)证明：如图，连接AC交BD于点O, D G :四边形ABCD是平行四边形， 0A=0C,0B=0D, AE CE, .OE⊥AC, ·四边形ABCD是菱形； 14/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：：BG·BE=AB·BF, AB BG BE BF 由(1)知，四边形ABCD是菱形： AD∥BC,AB=AD, .AADG△FBG, DG BG AD BF AB DGDG BE AD AB .AB2=BE·DG. 10.(2026上海宝山二模)如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC,对角线AC与BD交于点E, 将△ABD沿着直线AB翻折得到△ABF(点D对应点F). D (I)求证：四边形AFBC是平行四边形； ②安果四边形5C是矩，且B8距求证：48=2CD. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)先得到梯形ABCD是等腰梯形，然后根据等腰梯形的性质以及折叠的性质，通过两组对边分 别相等的四边形是平行四边形证明即可； (2)先根据比例线段证明AD=CD,然后结合翻折，矩形的性质证明∠3=30°，即可求证. 【详解】(1)证明：由翻折可得，BD=BF,AD=AF, :梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC, ∴梯形ABCD是等腰梯形，AF=BC, .AC BD, .AC =BF, .四边形AFBC是平行四边形： (2)证明：如图， 15/40 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 :四边形AFBC是矩形， .∠F=∠ACB=90°，AC∥BF, ∠3=∠4，设∠3=∠4=Q， :AB∥CD △DECn△BEA,∠2=∠3=a, DE CD BE AB :AD、DE AB BE AD CD AB AB' .AD=CD, .∠1=∠2=u, “翻折， .∠5=∠BAD=∠1+∠3=2a, :∠F=90°， ∠4+∠5=3a=90°， 0=30°， .∠3=30°， :∠ACB=90°， .AB =2BC, AD=CD,AD=BC, .AB =2CD 11.(2025上海虹口二模)如图9，在梯形ABCD中，AD∥BC,连接BD,∠BDC=90°，点E在BC上， 连接DE,使得LEDC=LECD,点F在边AB上，连接CF,分别交BD、ED于点G、H,且FH=CH, 连接DF. 16/40 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)求证：四边形ABED为菱形： (2)如果∠BDE=∠DFC,求证：4EH·BE=BG·BD. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定，等腰三角形的 性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； (1)根据题意得出∠1=∠3，∠2=∠ECD进而得出BE=CE,根据中位线的性质可得出EH∥BF,结合已 知可得四边形ABED是平行四边形，根据BE=DE,即可得证； (2)证明*FGDBGC,得出C-DB进而证明*FGBDGC得出∠5=∠BDC,证明∠6=∠3，即可 BG GC 证明aBFG∽△BDC得出BF·BC=BG·BD,进而根据FH=2EH,BC=2BE,即可得证 【详解】(1)证明：如图， E :∠BDC=90°，即∠1+∠2=90° .∠3+∠ECD=90° ,∠EDC=∠ECD,即∠2=∠ECD ∠1=∠3 .BE=DE 又：∠2=∠ECD .DE=CE BE=CE,即E是BC的中点， 又：FH=CH, 17/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H是CF的中点， EH∥BF 又：AD∥BC :四边形ABED是平行四边形， BE=DE :.四边形ABED为菱形； (2)证明：∠BDE=∠DFC,即∠4=∠1 又∠1=∠3 .∠4=∠3 .∠FGD=∠BGC ..AFGDABGC .FG_DB BG GC 又：∠FGB=∠DGC ∴△FGBn△DGC .∠5=∠BDC :AB∥DE .∠1=∠6 又∠1=∠3 ∠6=∠3 △BFG∽△BDC BF BG BD BC .BF·BC=BG·BD 又：EH是△BFC的中位线， ∴.FH=2EH 又BC=2BE BF·BC=4EH·BE=BG·BD即4EH·BE=BG·BD 12.(2025上海杨浦·二模)己知：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且 ∠BAE=∠DAF,延长AE、AF分别交DC、BC延长线于点H、G. 18/40 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D H (I)求证：DF.CD=BE·BC; (②)联结EF、HG,如果EF∥HG,求证：四边形ABCD是正方形. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判 定等待，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键。 (1)由矩形的性质可得AD=BC,AB=CD,∠B=∠D=90°，再证明△BAE∽△DAF推出 DF·AB=BE·AD,则DF·CD=BE·BC; (2)先导角证明∠CEH=∠CFG,则可证明△ECH∽△FCG,证明△ECF∽△GCH,进而可证明 CH=CG,CE=CF,再证明△EAG≌△FAH (AAS),，得到AE=AF,即可证明AB=AD,据此可证明结论， 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， AD=BC,AB=CD,∠B=∠D=90°， 又：∠BAE=∠DAF, .△BAE∽△DAF, :AB、BE ·ADDF DF·AB=BE·AD,即DF.CD=BE·BC; (2)证明：△BAE∽△DAF, 19/40 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B E H ∠AEB=∠AFD, :∠CEH=∠AEB,∠CFG=∠AFD, ∴.∠CEH=∠CFG, 又：∠ECH=∠FCG, ·△ECH∽△FCG, EC CH ·FCCG :EF∥GH, ∴△ECF∽△GCH, EC CF CG CH EC CG CF CH' CH CG CG CH ..CH=CG, .CE CF, CG+CE=CH+CF,即EG=FH, 又：∠EAG=∠FAH,∠EGA=∠FHA, :△EAG≌△FAH(AAS, ∴AE=AF, :△BAE∽△DAF, :8-4g=1, AD AF .AB=AD, .四边形ABCD是正方形. 20/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型三、垂直型相以明 13.(2026上海闵行·二模)如图，在Rt△ABC中，LABC=90°，AB=BC.点D在边BC上，点E在CB的 延长线上，连结AD、AE,过点E作AD的垂线，分别交AB、AD、AC于点M、H和F，且AE=EF. B (1I)求证：BD=BE; (2)求证： AM 2MH AEDE· 【答案】(1)见详解 (②)见详解 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点. (1)根据Rt△ABC为等腰直角三角形，△EAF为等腰三角形，得到对应底角相等，根据三角形外角定理 以及角的和差关系得到∠EAB=∠FEC,根据等角的余角相等得到∠AEB=∠HDE,继而根据等腰三角形三 线合一的性质得证结论 (2)通过证明△AEB∽△EMB,，△AMH∽△EMB,得到对应线段成比例，继而通过线段的等量代换得证 结论 【详解】(1)证明；：AB=BC, :Rt△ABC为等腰直角三角形， .LBAC=LBCA=45°，∠ABE=∠ABC=90°， AE=EF, :△EAF为等腰三角形， ∴∠EAF=∠EFA, :∠EAF=∠BAC+∠EAB,∠EAF=LBCA+∠FEC, ∠EAB=∠FEC, .EF⊥AD, ∴.∠AHE=∠DHE=90°， 21/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠DHE=∠FEC+∠HDE=90°， :∠EAB+∠AEB=∠ABE=90°， ∴∠AEB=∠HDE, .AE AD, :△AED是等腰三角形， :LABE=∠ABC=90°， :BD=BE; (2)证明：由(I)知，∠EAB=∠FEC,BD=BE,△AED是等腰三角形， ∠EAB=∠DAB=∠FEC, 又：∠AHE=∠ABE=90°，∠ABE=∠EBM=90°，∠EMB=∠AMH, ∴.△AEB∽△EMB,△AMH∽△EMB, :AE_EM,EM AM BE BM BM MH 旅“ 即AM-MH AE BE 又：BE=BD=DE, 2 “代入上式得4M=2MH AE DE 14.(2025上海普陀二模)已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,DE⊥BC交 BC的延长线于点E,BO·BD=BC·BE. (I)求证：四边形ABCD为菱形； (②)连结AE交DC于点F,如果AE⊥CD,求证： CF OC DE BO 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)证明△BED∽△BOC,推出∠BED=∠BOC=90°可得结论； (2)证明△ACH≌△ACF(AAS),推出CF=CH,证明四边形AHED是矩形，推出AH=DE,证明 22/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △B0C∽△AHC,推出 OC BO CH AH 可得结论。 【详解】(1)证明：DE⊥BC, .∠BED=90°， BO·BD=BC·BE, BO BC ·BEBD :∠DBE=∠CBO, ∴.△BEDABOC, .∠BED=LB0C=90°， ∴AC⊥BD, :四边形ABCD是平行四边形， ·四边形ABCD是菱形； (2)证明：如图，过点A作AH⊥BC于点H, :四边形ABCD是菱形， A D .AC平分∠BCD,AD∥BC, .ZACH ZACF, :AH⊥BC,AE⊥CD, ∴.∠AHC=∠AFC=90°， AC=AC, :△ACH≌AACF(AAS), .CF=CH, :AD∥BC,AH⊥BC, AH⊥AD, :DE⊥BE, .∠AHE=∠DEH=∠HAD=90°， :四边形AHED是矩形， 23/40 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .AH DE, :∠AHC=∠BOC=90°，∠BCO=∠ACH, .△BOC∽△AHC, OC BO CH AH CO CH CF BO AH DE 【点晴】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，矩形及菱形的性质与判定，熟练掌 握相似三角形的性质与判定、矩形及菱形的性质与判定是解题的关键. 。题型四、黄金分割 15.(2025·上海徐汇·二模)已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,连接AC、BD,ABC是等边三角 形，DE∥BC,DE与AC交于点E,∠ADB=2∠DBC. B (I)求证：△ADE∽△DBC; (2)求证：点E是线段AC的黄金分割点. 【答案】（①）见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的判定和性质是解 题的关键 (1)根据ABC为等边三角形，AB∥CD,得到∠DCB=∠1+∠3=120°，由DE∥BC,得到 LEDC=180°-∠DCB=180°-120°=60°，∠AED=∠EDC+∠3=120°，由DE∥BC,得到∠5=∠6，结合 ∠ADB=2∠5，得到∠5=∠4，由相似三角形的判定方法即可求解； (2)根据题意可得aCDE为等边三角形，即CE=DE=CD,由ABC为等边三角形，得到AC=BC,根据 △4DE△08C,得到二8，即二C,由此即可求解 【详解】(1)证明：如图所示， 24/40 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 46 2 :ABC为等边三角形， .∠1=∠2=60°， :AB∥CD, ∴.∠3=∠2=60° .∠DCB=∠1+∠3=120°， :DE∥BC, .∠EDC=180°-∠DCB=180°-120°=60°， .∠AED=∠EDC+∠3=120°， .∠AED=∠DCB, DE∥BC, ∠5=∠6， :∠ADB=2∠5，且∠ADB=∠4+∠6， .∠5=∠4， ∴△ADEn△DBC. (2)解：：∠3=∠EDC=60°， :△CDE为等边三角形，即CE=DE=CD, :ABC为等边三角形， .AC=BC, △ADE∽△DBC, …5能 是，即c-4E4c :点E是线段AC的黄金分割点. ◆题型五、利用全等证相似 25/40 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16.(2025上海二模)如图，在矩形ABCD中，点E在对角线AC上，AE<EC,BE=DE. D E B (I)求证：四边形ABCD是正方形； (②)点F在对角线AC上，且∠ADF=∠BEC,求证：BE·DF=EF·AB. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)如图，连接BD交AC于点O,根据矩形的性质得B0=D0,根据BE=DE,推出AC垂直平 分BD,继而得到AB=AD,即可得证： (2)如图，连接BF,根据正方形的性质得AB=AD,∠BAF=∠DAF,证明△BAF≌△DAF(SAS)得 ∠48=∠4D,证明：86F0,4F得55，即可得证 【详解】(1)证明：如图，连接BD交AC于点O, B :四边形ABCD是矩形， B0=D0, BE=DE, AC垂直平分BD, .AB AD, :四边形ABCD是正方形： (2)证明：如图，连接BF, 26/40 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B 由(1)知：四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAF=∠DAF, 在△BAF和△DAF中， AB=AD ∠BAF=∠DAF, AF=AF △BAF≌△DAF(SAS), .∠AFB=∠AFD,即∠EFB=∠DFA, :∠ADF=∠BEC,即∠BEF=∠ADF, ∴.△BEF∽△ADF, D DF BEEF BE EF AB DF' BE·DF=EF·AB 【点晴】本题考查正方形的判定和性质，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性 质，相似三角形的判定和性质.掌握正方形的判定及相似三角形的判定和性质是解题的关键. 17.(2025·上海徐汇·二模)如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E、F分别在边AD、AB上，EF∥BD ,延长CB到G,且BG=BC,连接GF、CE. B G F A E (I)求证：GF=CE; (2)延长GF交CE于点H,连接BH,求证：2BH=GHGF. 【答案】()证明见解析 27/40 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)证明见解析 【分析】(1)先由正方形的性质结合平行线分线段成比例得到BF=DE,然后证明△FBG≌△EDC(SAS)即 可 (2)由△FBG≌△EDC,得到∠1=∠2，证明LGHC=90°，由直角三角形斜边上中线的性质得到 8H=BG=GC,明△GBFAGHC,则C花，那2价 2 么GH2BH'再交叉相乘即可 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， :AB=AD=BC=CD,∠ABC=ADC=∠BCD=90°， :EF∥BD, BF DE ·BAAD .BF DE, :∠ABC=90°， .∠FBG=180°-∠ABC=90°， ∠FBG=∠EDC, BG BCBC=CD, ∴.BG=CD, :△FBG≌aEDC(SAS), .GF=CE; (2)证明：如图： B 2 3 .△FBG≌△EDC, ∠1=∠2， :∠BCD=90 .∠1+∠3=90°， ∠2+∠3=90°， ∠GHC=90°， 28/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BG=BC, :BH BG-GC. :∠FBG=90°， .∠FBG=∠CHG=90° ∠2=∠2， .△GBF∽△GHC, GB GF GH GC BH GF GH 2BH' .2BH2=GH.GF. 【点晴】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的 性质等知识点，找出相似三角形是解题的关键. 通关特训 1.(2026上海松江二模)己知AB是半圆O的直径，弦AC、BD交于点E,OC与BD交于点F,满足 DE CE 1 BE AE 2 D E 0 图1 图2 (I)求证：0C⊥BD; (2)如图2，M是OB的中点，CM与BD交于点G,求证：四边形CEOG是菱形. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)先证明△CED∽△AEB,得到CD=BO,继而可证明△CFD≌△OFB(AAS),再由垂径定理 的推论即可证明； (2)先证明△EA0n△CAM,则∠AE0=LACM,故0E∥CM,那么得到CF=F OFE 2,由(1)知， 29/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △CFD≌△OFB,则CF=OF,那么FG=EF,即可得到四边形CEOG是平行四边形，再由对角线互相垂 直即可证明菱形， 、【详解】)证明：BE=AE=2,∠CED=∠AEB, .△CEDn△AEB, DE=CD 1 BEAB2'∠D=LB, :AB是半圆O的直径， BO 1 AB2' CD_BO ·ABAB .CD BO, ∠D=∠B,∠CFD=LOFB, .△CFD≌△OFB(AAS, .DF=BF, :0C经过圆心， .OC⊥BD; (2)证明：：M是OB的中点， OM 1 OB=2' 0A=0B, 0A2,即0、2 OM 1 AM-31 CE 1 AE 2 AC3' AE AO AC AM :∠EAO=∠CAM, .△EAO∽△CAM, .∠AEO=∠ACM, OE∥CM, CF FG ·OF-EF' 30/40 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由(1)知，△CFD≌△0FB, .CF=OF, .FG=EF, :四边形CE0G是平行四边形， :OC⊥BD,即OC⊥EG, :.四边形CEOG是菱形. 2.(2024上海二模)己知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD,BD=BC,∠DBC的平分线 交AD延长线于点E,交CD于点F. D C (I)求证：四边形BCED是菱形； (2)连接AC交BF于点G,如果AC⊥CE,求证：AB2=AG·AC. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(I)先证明DB=DE,可得DE=BC,结合DE∥BC,可得四边形DBCE是平行四边形，从而可 得结论， (2)如图，连接AC交BF于点G,交BD于K,证明梯形ABCD是等腰梯形，证明LABG=LACB=45°， 结合∠BAG=∠CAB,可得△ABG∽△ACB,再利用相似三角形的性质可得结论. 【详解】(1)证明：：AD∥BC, .∠AEB=∠CBE, ,∠DBC的平分线交AD延长线于点E,交CD于点F, ∴.∠DBE=∠CBE, ∴∠AEB=∠DBE, .DB=DE, BD=BC, DE=BC,而DE∥BC, 四边形DBCE是平行四边形， 31/40 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DB=DE, :四边形DBCE是菱形； (2)如图，连接AC交BF于点G,交BD于K, D E G B :在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD, ∴.梯形ABCD是等腰梯形， ∠ABC=∠DCB,AC=BD, 菱形BCED, BD∥CE,BD=CE=DE,LDBC=∠DEC, AC=CE,LEDC=∠ECD, :AC⊥CE, .∠CAE=∠CEA=45°，AC1BD, .LDBC=∠DEC=∠ACB=45°，∠EDC=∠ECD=67.5°， ∴.∠ACD=90°-67.5°=22.5°， .∠ABD=∠ABC-45°=∠DCB-45°=22.5°， :BE平分∠DBC, ∠DBF=∠CBF=22.5°， .∠ABG=∠ACB=45°， :∠BAG=∠CAB, .△ABG∽△ACB, AB AG AC AB .AB2=AG·AC. 【点晴】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角 形的判定与性质，掌握基本几何图形的性质是解本题的关键. 3.(2025上海金山二模)如图，已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD,AD<BC,联结AC、 32/40 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BD交于点F,E为BF上一点，∠AED=LABC. B (I)求证：AB2=BE,BD; (2)若BE=DF,求证：AB=AD. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关 键。 (1)先证明∠BAD=∠ABB,得到△BABo△BDA:由相似三角形性质可得B-BE,进而得出结论。 BDAB (2)先证明aDCF∽aDBC,得到∠DCF=∠DBC;再证明△ABD DCA,得到LABD=LDCA,等量代 换即可。 【详解】(1)证明：AD川BC, ∴.∠ABC+∠BAD=180° :∠AED+∠AEB=180°，∠AED=∠ABC, .∠BAD=∠AEB 又：∠ABE=∠ABD, .△BAE∽△BDA, .AB BE BD AB AB2=BE·BD (2)AB2=BE.BD,BE DF,AB=CD, .CD2 DF.BD, CD BD DF CD :∠CDF=∠CDB, .∴.△DCF∽△DBC, .∠DCF=∠DBC. :在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD, 33/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AC=BD 又AD=DA, .∴△ABD≌ADCA(SSS) ∠ABD=∠DCA, .∠DBC=∠ABD ADI BC, .∠DBC=LADB, .∠ABD=∠ADB, .AB=AD 4(2025上海青浦二模)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,点E是一点，且OA·BE=OE·CE· A B (I)求证：四边形AECD是平行四边形； (②)如果∠BDE=∠DAE,求证：OB·CD=BE·DE, 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，平行的判定与性质，熟练掌握 以上知识点是解题的关键， (1)通过AD∥BC,证明aAD0oaEB0,得到OA=OD 推出 OE OB 结合04~BE=0E,CE,即O1-CE OE BE OD CE 从面得0，BC第合ZL0BE=LDBC,雅H△0BEO△D8C,那么LB0E=∠BD0 OB BE OE‖CD,即AE∥CD,最后结合AD∥BC从而得证； (2)先证明aD0E∽△ADE,得到DE-OD 再明△AD0B0,得到光=班2P近O的 AE AD AE BE DE OB 由四边形AECD是平行四边形.可知AE=CD.从而有 ,最后得证 CD BE 【详解】(1)证明：“AD∥BC, .∠ADO=∠EBO,∠DAO=∠BEO, .△ADOn△EBO, 34/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OA OD OE OB :OA·BE=OE.CE, OA CE OE BE OD CE OB BE OD+OBCE+BE OB BE BD BC ·OBBE 又∠OBE=∠DBC .△OBE∽ADBC .∠BOE=∠BDC ·OE CD,即AE∥CD. :AD∥BC, :四边形AECD是平行四边形. (2)证明：：∠BDE=∠DAE,∠OED=∠DEA, .△DOE△ADE. DE OD AE AD :AD∥BC, ∴.∠ADO=∠EBO,∠DAO=∠BEO, ∴.△ADOn△EBO, OD OB AD BE DE OB AE BE :四边形AECD是平行四边形. ·AE=CD. DE OB CD BE 即OB·CD=BE·DE. 5.(2025·上海浦东新·二模)己知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AF=CE ,对角线BD分别交EC、AF于点M、N,联结AM、CN· 35/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M D (I)求证：四边形AMCN是菱形： (2)过点C作CP⊥CE交BD的延长线于点P,如果CM'=MN,NB,求证： NC PD NP PC 【答案】Q①)见解析 (2)见解析 【分析】(1)联结AC,根据正方形的性质先证△BEC≌△DFA(HL),再证四边形AECF是平行四边形，进 而可证明aCBM≌△ADN(ASA),得CM=AN,四边形AMCN是平行四边形，结合AC⊥BD可证得结论； (2)根据正方形及菱形的性质先证aCND≌aCMB,得∠DCN=∠BCM,由CM?=MN,NB,可证得 △CNM∽△BNC,得∠NCM=∠NBC=45°，再证△NCD∽△NPC,得 CN CD WPC,DCN=∠P,再证 ∠BCM=∠DCN=∠DCP=∠P,得CD=DP,即可证得结论. 【详解】(1)证明：联结AC, M D A :四边形ABCD是正方形， AB∥CD,AD∥BC,AB=CD=BC=AD,AC⊥BD, .AF CE, △BEC≌△DFA(HL), BE=FD,∠BCM=∠DAN, .AE=CF, .四边形AECF是平行四边形， 36/40 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AF∥CE, :AD∥BC, .∠ADB=∠CBD, aCBM≌△4DN(ASA), .CM=AN, :四边形AMCN是平行四边形 又：AC⊥BD,即AC⊥MN, :平行四边形AMCN是菱形； (2)证明：：四边形ABCD是正方形，BD是对角线 ∠CDB=∠CBD=45°，∠BCD=90°， 由(1)得四边形AMCN是菱形， .CM=CN,则∠CNM=∠CMN, ∴∠CND=∠CMB, △CND≌aCMB, .∠DCN=∠BCM, B M F W D :CM2=MN·NB, .CN2=MN.NB CN NB MN CN' :∠CNM=LBNC, ∴.△CNMn△BNC, ∴.∠NCM=∠NBC=45°， :CP⊥CE,则∠PCE=90°， 37/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠PCN=∠CDN=45°， .∠CND=∠PNC, .△NCD∽△NPC, CN CD ,∠DCN=∠P, PN PC .∠BCM+∠DCM=∠DCM+∠DCP=90°，∠DCN=∠BCM, .∠BCM=∠DCN=∠DCP=∠P, .CD DP, CN DP PN PC 【点晴】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定及性质，相似三角形的判定及性 质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键。 6.(2025·上海二模)如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作 DE⊥AC,垂足为点E,延长CA交⊙O于点F,连接BF, D (I)求证：DE是⊙O的切线； (2)连接OE,若BF=2V5,FC=10,求OE的长. 【答案】(1)见解析 (2)V14 【分析】(1)连接OD,利用等腰三角形性质推出OD‖AC,结合DE⊥AC得到DE⊥OD,从而根据切线 判定定理完成证明， (2)先利用AB为直径得到∠F=90°，设AB=AC=x,在Rt△ABF中用勾股定理求出AB的长度，进而得 到OD的长度；再通过矩形性质得到DE的长度，最后在RtODE中用勾股定理计算OE. 【详解】(1)证明：连接0D, 38/40 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F E C D :0D=0B, ∠ODB=∠ABC, :AB AC, ∠C=∠ABC, .∠0ODB=∠C, .OD AC, :DE⊥AC于点E, .∠0DE=∠DEC=90°， .OD是⊙O的半径，且DE⊥OD, .DE是⊙O的切线 (2)解：连接OE,延长DO交BF于点H, F E D :AB是⊙O的直径， ∠F=90°， :∠HDE=∠DEF=90°， :四边形DEFH是矩形， ∠DHF=90°， .AB=AC,BF=25,FC=10,OH L BF, .AF -10-AC-10-AB,DE-FH-BH-BF-5. BF2+AF2=AB2, 39/40 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :(25+(10-AB)2=AB2, 解得AB=6, 1 0D=2AB=3, 0E=VOD2+DE2=V32+(5=4, .OE的长为14. 【点晴】本题主要考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性 质、勾股定理的应用，熟练掌握切线的判定定理和勾股定理，结合等腰三角形与矩形的性质进行边角转化 是解题的关键. 40/40函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押07上海中考数学23题（相似三角形） 押题预测 题型一、子母型相似证明 1.(2026·上海虹口·二模)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， AB=AC,AD=AE,连接BD、CE,∠ADB=9O°，延长BD交CE于点F,交AC于点G. (I)求证：四边形ADFE为正方形： 2如果∠FBC=∠ACF,求证：2D=FG-FB 2.(2026:上海静安·二模)如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，点F是正方形外一点，连结AE、 EF、AF,对角线AC与线段EF相交于点M,如果AB·AF=AE·AC,且∠EAC=∠DAF. D E ()求证：∠4CF=90°AF=V2EF (2)当点E是边BC的中点时，请直接写出△AMF与△EMC面积的比值：-· 1/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026上海杨浦·二模)如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC、BD交于M,点E在线段DM 上，且∠ACD=∠ECB F 备用图 ④延长BA、CE交于N,求证： BC2=BN·AB (2)点F在AC的延长线上，且∠BFD=∠ABC,求证：∠AFD=∠BFE. 4.(2025·上海崇明·二模)已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E,M是边DC延 长线上的一点，联结AM,与边BC交于F,与对角线BD交于点G. E B F M AG2=GF.GM (1)求证： (2)联结CG,如果∠BAG=∠BCG,求证：平行四边形ABCD是菱形. 2/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2025·上海奉贤·二模)如图，已知平行四边形ABCD中，点F是对角线BD上一点，∠BFC=∠A,延 长CF交边AD于点E. C AB2=CF.CE (1)求证： (2)当BD=CE时，求证：四边形ABCD是菱形. 6.(2025·上海嘉定·二模)如图，平行四边形ABCD中，已知AD=2AB,M是边AD的中点，连接MC. CE⊥AB,垂足E在边AB上，连接EM并延长，交CD延长线于点F, M A D B (①)求证：∠EMC=2∠DMC: CM2=AB.CF (2)求证： 7.(2025上海阀行二模)已知，如图：在平行四边形1BCD 中，对角线 AC,BD 交于点0，点5是边8C 延长线上一点，连接AE,交BD于点F,交CD于点G. 3/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G (I)求证：AF2=FG·FE: (2)连接CF,如果∠DAE=∠FCD,求证：四边形ABCD是菱形. 8.(2025·上海松江·二模)已知：如图，四边形ABCD是菱形，P是对角线BD上一点，连结AP、CP并 延长，分别与边CD、AD交于点E、F. B (I)求证：AE=CF: (2)如果∠APF=2∠ABD,求证：BP.BD=2AB2. 题型二、8字型相似证明 9.(2026·上海崇明·二模)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是对角线BD上一点，BE>ED, AE=EC 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E (I)求证：四边形ABCD是菱形： 2点F是边BC上一点，F与BD相交于点C,若 G G-BE=AB-BF,求证： AB2=BE.DG 10.(2026上海宝山二模)如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC,对角线AC与BD交于点 E,将△ABD沿着直线AB翻折得到△ABF(点D对应点F)· D (1)求证：四边形AFBC是平行四边形： AD DE (2)如果四边形AFBC是矩形，且ABBE,求证：AB=2CD· 11.(2025·上海虹口·二模)如图9，在梯形ABCD中，AD∥BC,连接BD,∠BDC=90°，点E在BC上， 连接DE,使得∠EDC=∠ECD,点F在边AB上，连接CF,分别交BD、ED于点G、H,且FH=CH, 连接DF. 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E (I)求证：四边形ABED为菱形： (2)如果∠BDE=∠DFC,求证：4EH·BE=BG·BD 12.(2025·上海杨浦·二模)已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BCCD上，且 ∠BAE=∠DAF,延长AE、AF分别交DC、BC延长线于点H、G. D H (I)求证：DF·CD=BE·BC; (2)联结EF、HG,如果EF∥HG,求证：四边形ABCD是正方形 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、 垂直型相似证明 13.(2026上海闵行·二模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC.点D在边BC上，点E在 CB的延长线上，连结AD、AE,过点E作AD的垂线，分别交AB、AD、AC于点M、H和F，且 AE=EF M (I)求证：BD=BE: AM 2MH (2)求证：AE DE· 14.(2025·上海普陀·二模)己知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,DE⊥BC交 BC的延长线于点E,BO·BD=BC·BE. A D B E (I)求证：四边形ABCD为菱形： CF OC (②)连结AE交DC于点F,如果AE⊥CD,求证：DEBO· 7/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 题型四、黄金分割 15.(2025·上海徐汇·二模)己知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,连接AC、BD,△ABC是等边三 角形，DE∥BC,DE与AC交于点E,∠ADB=2∠DBC. D E B (I)求证：△ADE∽△DBC; (2)求证：点E是线段AC的黄金分割点. 7 题型五、利用全等证相似 16.(2025·上海·二模)如图，在矩形ABCD中，点E在对角线AC上，AE<EC,BE=DE. ()求证：四边形ABCD是正方形： (2)点F在对角线AC上，且∠ADF=∠BEC,求证：BE·DF=EF·AB 8/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(2025上海徐汇·二模)如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E、F分别在边AD、AB上， EF∥BD,延长CB到G,且BG=BC,连接GF、CE. G F A (I)求证：GF=CE: 2诞长GF交CE于点”，连接册，求证： 2BH2 =GH.GF 通关特训 1.(2026·上海松江·二模)已知AB是半圆O的直径，弦AC、BD交于点E,OC与BD交于点F,满足 DE CE 1 BEAE2· D D B M 图1 图2 (1)求证：OC⊥BD: (2)如图2，M是OB的中点，CM与BD交于点G,求证：四边形CEOG是菱形. 9/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2024上海·二模)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD,BD=BC,∠DBC的平分 线交AD延长线于点E,交CD于点F. D E F B (I)求证：四边形BCED是菱形： 2连接1C交F AC⊥C 于点G,如果 ,求证：AB=AGAC 3.(2025上海金山二模)如图，已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD,AD<BC,联结 AC、BD交于点F,E为BF上一点，∠AED=∠ABC. D F C (I)求证：AB2=BE·BD; (2)若BE=DF,求证：AB=AD. 10/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4(2025·上海青浦二模)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,点E是一点，且OABE=OE·CE. A D B (1)求证：四边形AECD是平行四边形： (2)如果∠BDE=∠DAE,求证：OB·CD=BE·DE. 5.(2025·上海浦东新·二模)已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且 AF=CE.对角线BD分别交EC、AF于点M、N,联结AM、CN. C B M E D A (I)求证：四边形AMCN是菱形： NC PD (②)过点C作CP⊥CE交BD的延长线于点P,如果CM?=MNNB'求证：NPPC· 11/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(2025上海二模)如图，在△1BC中，48=4C,以48为直径的O0交BC于点D,过点D作 ⊙O.BC D DE⊥AC,垂足为点E,延长CA交⊙O于点F,连接BF. O C ()求证： DEO 是的切线： 2连接0E,若BF=25,FC=10,求05的长 12/12