题号猜押08 上海中考数学24题（7大题型，二次函数压轴题）（上海专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押08 上海中考数学24题（二次函数压轴题） 题型一、线段周长问题 1．（2025·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）把代入函数解析式得，即得，得到，再把点坐标代入一次函数解析式求出的值即可求解； （）延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线， 过点作于，可证，可得，，设，得，再把点坐标代入二次函数解析式求出的值即可求解； （）求出平移前抛物线顶点坐标为，可得平移后的抛物线顶点，由对称性可知，即得，再证明，得，即得，得到，再把点坐标代入二次函数解析式即可求出的值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴ ∴， ∵顶点在直线上 ， ∴ ， 解得， ∴抛物线表达式 ； （2）解：如图，延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线， 过点作于， ∵由平移可知， ∴， 同理， ∴， ∵，， ∴， ∴，，     ∴设， ∴， 把代入得， ， 解得 ， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴平移后的抛物线顶点， 设于，作于，交于点， 由对称性可知， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得， ， 整理得，， 解得，（不合，舍去） ∴的值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的平移，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 2．（21-22九年级上·上海杨浦·期末）已知在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于点和点，与轴交于点 ，点是该抛物线在第一象限内一点，联结与线段相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与线段交于点，如果点与点重合，求点的坐标； (3)过点作轴，垂足为点与线段交于点，如果，求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点和点代入，即可求解； （2）分别求出和直线的解析式为，可得，，再求直线的解析式为，联立，即可求点； （3）设，则，则，用待定系数法求出直线的解析式为，联立，可求出，，直线与轴交点，则，再由，可得，则有方程，求出，即可求． 【详解】（1）解：将点和点代入， ， ， ； （2）解：， 对称轴为直线， 令，则， 解得或， ， 设直线的解析式为， ， ， ， ，， 设直线的解析式为， ， ， ， 联立， 或（舍， ； （3）解： 设，则， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 联立， ， ，， 直线与轴交点， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，会求二次函数的交点坐标，本题计算量较大，准确的计算也是解题的关键． 题型二、相似三角形问题 3．（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①；②216 【分析】（1）设抛物线的表达式为，然后把代入求解即可； （2）①根据平移求出，代入并化简得，根据线段垂直平分线的性质得出，由两点间距离公式求出，联立方程组并化简得，解方程求出n的值，最后根据正弦的定义求解即可； ②过D作于E，则，则，，，，由题知：，则，根据等角的正切值相等可得出，则，结合①中，可得，然后化简即可． 【详解】（1）解：已知抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 因为抛物线经过原点， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后新抛物线顶点， 因为D在上， 把D坐标代入，得， ∴， ∵直线：交y轴于点B， ∴， 又，， ∴，，， ∵线段的中垂线经过点A， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； ②抛物线对称轴为， 设，由，， 过D作于E，则 ∴，，，， 由题知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①知：， ∴， 化简，得， 又 ∴． 【点睛】是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是解题的关键． 4．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线与y轴交于点B． (1)如果抛物线经过点，且不经过第二象限，求抛物线的表达式； (2)如果抛物线与坐标轴共有两个公共点，且在y轴右侧是下降的，求m的值； (3)点A在第一象限，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，将抛物线沿着射线方向平移，点A、B、C的对应点分别为点、、，线段与线段交于点D，如果，，求点A的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）分两种情况讨论，一种是经过原点与x轴另一交点，一种是抛物线与轴只有1个交点，与y轴一个交点，根据根的判别式以及在y轴右侧是下降的进行求解即可； （3）记原抛物线对称轴与的交点为，平移后抛物线对称轴与的交点为，先求出顶点，，，由平移的性质可得，那么，则，，再由列式计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴将代入 得：， 整理得：， 解得：或， ∵抛物线不经过第二象限， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：∵，且抛物线在y轴右侧是下降的， ∴对称轴， 令，则 ①当抛物线经过原点时， ， ∴， 解得：或（舍）； ②当抛物线与轴只有1个交点，与y轴一个交点，则， ∴， 解得：， 综上所述：m的值为或； （3）解：记原抛物线对称轴与的交点为，平移后抛物线对称轴与的交点为， ∵， ∴顶点， 当，， ∴ ∵点B关于抛物线对称轴的对称点为点C， ∴， ∵将抛物线沿着射线方向平移，点A、B、C的对应点分别为点、、， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，解直角三角形，平移的性质，相似三角形的判定与性质，综合性强，难度较大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质与性质以及综合运用各知识点进行求解． 5．（2025·上海虹口·二模）如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求直线的表达式，并用含的代数式表示该抛物线的对称轴； (2)已知直线与抛物线交于点，与直线交于点，如果且，求抛物线的表达式； (3)已知抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上且位于第一象限，连接、，线段与轴相交于点，点在线段上，连接，如果，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点不存在 【分析】（1）先求得，进而待定系数法得出直线解析式为，将代入得：得出，进而根据抛物线对称轴公式，即可求解； （2）由（1）抛物线解析式为，得出，进而求得得出，可得解方程得出点的值，即可求解． （3）过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，则为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，根据得出，进而得出，证明，得出是等腰直角三角形，根据得出，进而求得，最后判断得出不在线段上，故点不存在． 【详解】（1）解：在中，令得， ， 设直线解析式为 把，代入得： ，解得 直线解析式为， 把代入得：， 解得， 抛物线的对称轴为直线 （2）由（1）知， 抛物线解析式为， ， ， 解得， 令得， ， 在中，令得， ， ， ， 解得舍去或， 抛物线的表达式为； （3）过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，如图： 抛物线对称轴为直线， 解得， 抛物线解析式为， 令得， 解得或， ， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， 设，则 ， ∴ ，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，即， ． ， 是等腰直角三角形， 轴，则不在线段上，故点不存在． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，相似三角形判定与性质，待定系数法，等腰直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形和全等三角形解决问题． 6．（2026·上海杨浦·二模）已知抛物线，抛物线上有点． (1)当抛物线顶点坐标为，且经过时； ①求抛物线解析式； ②点坐标为，为抛物线上第一象限的一个动点，其横坐标为，若是锐角，且，请求出的取值范围． (2)已知； ①若，与的横坐标之和为，求直线的斜率； ②若该抛物线经过点、，该抛物线与轴不同于点的交点为点，点在线段上，延长交抛物线于点，点的横坐标为，若，求的取值范围； ③若，，点为抛物线上第一象限的动点，已知、，直线与直线分别交抛物线于另一点，请问：直线是否过定点？若是，请求出定点坐标，若不是，则说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①；②；③直线过定点，定点坐标为 【分析】（1）①先设顶点式，再将代入计算即可； ②设交轴于点，过点作的垂线，交抛物线于点，交轴于点，在抛物线上取点，使得，作直线交轴于点，作于点，利用计算出点．利用相似三角形和三角函数计算出，，从而求出．使用待定系数法求出直线的解析式，再与抛物线联立，求出点，同理可得．根据题意可知，点在点和点之间，且不与点重合，从而得到的取值范围； （2）①设点的坐标为，点的坐标为，直线的函数解析式为，将点坐标代入后，作差即可； ②先求出抛物线的解析式为，设点的坐标为，求出直线的解析式后，得到点，则，．表示出和的面积后，构造不等式并求解即可； ③由题意可知，抛物线为，设，求出直线的解析式后，与抛物线联立，求出点，同理可得．使用待定系数法求出直线的解析式为，观察可得，该直线过定点． 【详解】（1）解：①∵抛物线顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②如图，设交轴于点，过点作的垂线，交抛物线于点，交轴于点，在抛物线上取点，使得，作直线交轴于点，作于点， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 在直角中，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 同理，直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ∵是锐角，且， ∴点在点和点之间，且不与点重合， ∴； （2）解：①由题意可知，抛物线的解析式为， 设点的坐标为，点的坐标为，则， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 将，并化简，得， ， 因式分解，得， ∵，， ∴，即， ∴直线的斜率为； ②将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 如图， 由题意可知，， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入，解得， ∴点的坐标为， ∴，， ，， ∵， ∴， 移项并合并，得， 因式分解，得， ∴， 解得或， ∵， ∴； ③∵，，， ∴抛物线的解析式为， 设点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，为定值， ∴直线过定点． 【点睛】本题一次函数与二次函数结合的综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式并具有扎实的代数计算功底是解题关键． 7．（2025·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的开口向下，与轴交于点和，与轴交于点．直线交抛物线于点． (1)如图，抛物线的对称轴是直线． ①求此时抛物线的表达式； ②如果，求点的横坐标； (2)如果点关于直线的对称点恰好是的重心，求的值． 【答案】(1)①；②点的横坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数表达式，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形重心定理，中点坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是数量掌握以上性质并正确作辅助线． （1）①利用对称轴确定系数的关系，再利用待定系数法即可求出抛物线表达式； ②利用圆周角定理确定点的位置，过点做辅助线构造直角三角形，假设出点的坐标，表示出相关点的坐标，证出，利用列出方程，解方程即可； （2）做辅助线确定的重心，表示出，和相关线段的长度，证明，利用对应边成比例表示出，设，则，利用等腰直角三角形的性质和点在直线上，列出方程求解即可求出的值． 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴是直线， ，即， 将代入抛物线得：， 则， 解得：， ， 抛物线的表达式为； ②如图，连接,以为直径作圆，与抛物线在第一象限的交点即为点,过点作轴于点，过点作交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， 在中，令，则， ， 直线交抛物线于点，， 设，则，， ，，，， ， ，即， 整理可得：， 解得：（负值已舍去）， 点的横坐标为； （2）解：如图，取的中点，连接，过点作轴于点、交于点，过点作轴于点，与交于点，连接交于点， ， 抛物线的开口向下，与轴交于点和，， ，即，， 抛物线的对称轴为直线，， ， ， 是的重心，点是的中点， 点在上，， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ，， 点关于直线的对称点是， ，， ，， ， ， ， ，即， 整理得：， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 将代入得：， 整理得：， ∴， 解得， 又∵， ∴可整理为， 解得或（舍去）， 所以. 8．（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴相交于、两点，且点在点左侧，与轴交于点，顶点为点． (1)求线段的长； (2)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后得到抛物线，抛物线的顶点为点．如果点、、在同一直线上，求抛物线的表达式； (3)当四边形的面积为时，若点是轴上一点（点不与点重合），且△与△相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）令，则或1，即可求解； （2）求出， ，平移后的点，再运用待定系数法求出直线表达式为．把点代入直线表达式，求出，即可求解； （3）点P不与点B重合且与相似，则存在，即，即可求解． 【详解】（1）解：令，即， ∵ ， ∴， 解得：，， 由于点在点左侧，可得，， 从而：． （2）解：由，可得：， 平移后的点， 设直线AD表达式：， 把A、D坐标代入， 解得 ∴直线表达式为． 当点、、在同一直线时，把点代入直线表达式，解得：． ∴抛物线的表达式：． （3）解：设直线的表达式为， 把点、代入得，， 解得， ∴直线的表达式为：， 又点， 作轴交于点H，则， 则四边形的面积， 则， 则抛物线的表达式为：； 则点、， 则， ∵点P不与点B重合且与相似，则存在，即， 即，则， ∴, ∴点． 题型三、面积问题 9．（2025·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积公式，即可求解； （3）当时，由点的坐标得，直线表达式中的值为 1 ，则直线的表达式为：，当时，同理可得，直线的表达式为：，分别味立和抛物线的表达式得：或，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则，即点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 则抛物线的表达式为：； （2）证明：设点的横坐标分别为， 令， 则为上述方程的两个根， 则， 则点， 则， 则， 则的面积为定值； （3）解：如图，∵恰好落在的平分线上，则， ∵点的纵坐标相同，则， 则， 则， 则， 即， 解得：（ 不合题意的值已舍去）， 则抛物线的表达式为：， 则点的坐标分别为：； 四边形为梯形， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 当时， 设直线表达式为， 由点的坐标得，解得：， 直线表达式为， 设直线的表达式为：，代入，得：，解得：， 则直线的表达式为：， 分别联立和抛物线的表达式得：或， 解得：或（不合题意的值已舍去）， 即点或． 10．（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 【答案】(1)直线， (2) (3)直线恒过定点． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再求出函数值为0时自变量的值即可求出A、B的坐标； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可推出，则，再根据题意可得点C和点E关于抛物线的对称轴对称，则；求出点C坐标，进而表示出，根据建立方程求解即可； （3）根据图形面积之间的关系可得，则，求出D、E坐标，进而得到直线解析式为，则直线解析式为，进一步求出，同理可得直线解析式为，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，解得或， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，且C、E都在抛物线上， ∴点C和点E关于抛物线的对称轴对称， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 由对称性可知， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴可设直线解析式为， 把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴直线恒过定点． 11．（2026·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线上横坐标为2的一点，与对称轴交于点，连接． ①求的值； ②设直线与轴交于点，过点作的平行线，与轴交于点，当四边形是直角梯形时，求的正切值． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线， (2)①1   ②或 【分析】(1)根据对称轴公式代入化简即可求得对称轴；根据抛物线的对称性及点A的坐标即可求得点B的坐标； (2)①首先，根据题意得抛物线的顶点坐标，由点是抛物线上横坐标为2的一点，得点，再求得直线的表达式为，进而得点，得，，即可得出； ②首先，过P作轴于C，由，，得到，然后，分别求得直线的表达式为，得，直线的表达式为，得直线的表达式为，进而得，即，再分两种情况进行分类讨论，情况一：如图2，当时，，证得，得，即，解得，进而得；情况二：如图3，当时，，证得，得，即，解得， 进而得． 【详解】（1）解：根据题意知抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴交于和点， ∴抛物线的开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点在对称轴的右侧，设点，则，解得， ∴； （2）①解：如图1， ∵抛物线与轴交于， ∴把，代入，得，得， ∴， ∴抛物线的顶点， ∵点是抛物线上横坐标为2的一点， ∴当时，， ∴点， 设直线的表达式为， 把，分别代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点， ∴，， ∴； ②解：过P作轴于C， ∵，， ∴， ∴． 设直线的表达式为，与y轴交于G， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 当时，，解得；当时，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴设直线的表达式为， 把代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴，即． 情况一：如图2，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴； 情况二：如图3，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴； 综上，当四边形是直角梯形时，求的正切值为或． 【点睛】解题的关键是得到，分别求得直线的表达式为，得，直线的表达式为，直线的表达式为，得，即，再分两种情况进行分类讨论，情况一：如图2，当时，，证得；情况二：如图3，当时，，证得． 12．（2026·上海虹口·二模）已知抛物线． (1)画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时和之间的数量关系； 1 2 2 (2)已知点为抛物线与轴的交点，点、在抛物线上，连接、、和． ①如果四边形为正方形，那么的值是 ，和之间的数量关系是 ； ②如图，当时，已知四边形为菱形，．点在抛物线上且横坐标为2，连接、，如果的面积为，求抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线的对称轴是， (2)①， ② 【分析】（1）根据表中两个点的坐标可知，抛物线经过点和，并且这两点对称，所以可知对称轴为； （2）根据正方形的性质可知抛物线的对称轴是，所以；根据正方形的对角线互相平分且相等，把点、的坐标表示出来，并表示出的长度，根据找出和的关系； （3）根据菱形的性质，可知点的坐标，把点的坐标代入抛物线的解析式，可得抛物线的解析式为，点的坐标，点的坐标为，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，从而可知，根据的面积为，可得，解方程求出的值，再根据求出的值，从而得到抛物线的解析式． 【详解】（1）解：由表可知，抛物线经过点和， 抛物线的对称轴是， ， 抛物线的解析式是， 把点的坐标代入可得： （2）①解：当时，可得：， 点的坐标为， 四边形是正方形，是正方形的对角线， 点、关于对称， 抛物线的对称轴是， ； ，点、的纵坐标是， 可得：， 整理得：， 解得：， 点的坐标为，点的坐标为， ， 可得：， ， 解得：或（不符合题意，舍去）； ②解：如下图所示，连接，、， 四边形为菱形， ，，， ， ， ， ，， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为，点的坐标， 点的横坐标为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式是， 则有， 解得： ， 直线的解析式是， 当时，可得：， 点的坐标为, ， ， ， ， ， 抛物线的解析式为． 题型四、新定义 13．（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． (1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． (2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，即可求解； （2）①由点的坐标得，直线的表达式为，可得，四边形是矩形，由解得，进而可得，，由于是的中点，从而求出点坐标； ②抛物线为“优雅”抛物线，求出，由于，可得，结合，求出，联立与，求得坐标，进而求出的解析式． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为， 即， ； （2）解：①如图：由（1）知，点，设， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ②， ， ， ， ， ， ， ，， 解方程组，得，， 将代入得：， 解得 ， 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、图象的平移、一次函数的图象和性质、平行四边形的性质等，利用新定义确定函数表达式是解题的关键. 14．（2026·上海静安·二模）如图1，四边形中，，，，． (1)求证：，并求与的相似比k； (2)如图2，我们以直线为x轴，以过点C且垂直于线段的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知． ①求图像经过点A、B、C三点的二次函数解析式； ②如果我们将（1）中与的关系看作是一种图形变换，这种变换是将先绕点B按顺时针方向旋转，使点C落在上，点D落在上，再将旋转得到的三角形的边长都扩大到原来的k倍，从而得到，我们将称为的像，将称为的原像．如果是的像，而是的原像，试直接写出点E和点F的坐标：点E的坐标是，点F的坐标是． 【答案】(1)证明见解析， (2)①；②， 【分析】（1）由等边对等角和平行线的性质得到，即可证明；设，则，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （2）①首先解直角三角形求出，，然后得到，利用待定系数法求解即可； ②如图，过点E作轴于点G，根据题意得到，，解直角三角形求出，，进而求出点E的坐标；同理求出点F的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； 设，则 ∴，即 ∴ ∴； （2）解：①如图，过点C作于点E 由（1）得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴设二次函数解析式为 将代入得， ∴ ∴二次函数解析式为； ②如图，过点E作轴于点G ∵是的像 ∴， ∴， ∴ ∴点E的坐标为； 如图， ∵是的原像 ∴， ∴ ∴点F的坐标是． 题型五、角度问题 15．（2025·上海青浦·二模） 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，抛物线：经过两点，顶点为点，对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在第二象限，且在抛物线的对称轴上，如果，求点的坐标； (3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后，抛物线上的点落在点处，，，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由一次函数解析式得，，再根据待定系数法解答即可求解； （）由二次函数解析式得顶点的坐标是，在对称轴上取点，对称轴与轴的交点记为点，可得，，即得，过点作，垂足为点，则，由锐角三角函数得，设，则，由可得，即得到，，即得，即可求解； （）由，得点在射线上，且点的纵坐标与点相同，为，即可得点的横坐标为，得到点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，据此得到点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于点， ∴，， 又∵对称轴是直线， ∴，解得， ∴的表达式为； （2）解：∵抛物线的对称轴是直线， 当时，， ∴顶点的坐标是， 在对称轴上取点，对称轴与轴的交点记为点， 在中，∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵点在轴的下方， ∴点在线段上， ∴， 过点作，垂足为点，则， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：∵，， ∴点在射线上，且点的纵坐标与点相同，为， 将代入直线，得， 解得， ∴点的横坐标为， ∴点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点， ∴点向左平移个单位，再向下平移得到点， ∴点的坐标， ∴平移后的抛物线解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，二次函数的平移等，正确画出图形并作出辅助线是解题的关键． 16．（2025·上海静安·二模）已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，m、n的值不能确定，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出两个抛物线与y轴的交点坐标，进而得到，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，再过点B作轴于D，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，则，据此求解即可； （3）求出，则可得到轴，设与y轴交于D，可证明，则可得到，据此可求出a的值，而m、n的值为任意实数，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∵两个抛物线都经过轴上的点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴两个抛物线的解析式分别为，； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，， ∴， 如图所示，过点B作轴于D，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或（舍去）； （3）解：，m、n的值不能确定，理由如下： ∵， ∴， 由（1）得，由（2）得， ∴点A与点B的纵坐标相同， ∴轴， 设与y轴交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∵当时，都能满足， ∴m、n为任意实数， ∴m、n的值不能确定． 17．（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)将该抛物线沿射线方向平移，点A、B的对应点分别是点，且的面积比的面积大3． ① 求新抛物线的对称轴方程；                        ② P是新抛物线上一点，如果，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①对称轴方程是；②点P的坐标是 【分析】（1）先求出，根据，得出，把，代入求出a的值，即可得出解析式； （2）①先求出，则，进而得出边上的高是5，设，求出直线的解析式为，把代入得，则可知抛物线先向右平移了5个单位，又向上平移了5个单位，即可解答； ②在位于直线上方的新抛物线的图像上取一点P，使得，易证，过点P作x轴的垂线，与、x轴分别交于点E、F，得出，设，则，，根据在中，，求出a的值，即可解答． 【详解】（1）解：由，可得， 又， 则， 把，代入得 ，    所以，抛物线的表达式是． （2）解：①由， 可得抛物线的对称轴方程是，， 由，，， 可得， 则， 根据题意， 设边上的高是h， ∴， 解得， 设， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得， 解得：，则， 由，，可知抛物线先向右平移了5个单位，又向上平移了5个单位，则， 所以，新抛物线的表达式是， ∴对称轴方程是． ②在位于直线上方的新抛物线的图像上取一点P，使得， 在中，，则， 根据题意可得，则， ∴，即， 过点P作x轴的垂线，与、x轴分别交于点E、F， ∵，， ∴， 设， 则，， 在中，， 解得， 所以，点P的坐标是． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，二次函数的平移规律，解直角三角形． 题型六、锐角三角比与二次函数 18．（2026·上海闵行·二模）在平面直角坐标系中，过、两点的抛物线（其中、是常数）与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求这条抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且在第四象限，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，连接，作轴，交于点，连接． ①当时，求的值； ②抛物线关于直线对称所得新抛物线的顶点为，如果点刚好落在线段上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或②点或． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①分类在对称轴的左右侧进行讨论，分别把的坐标用来表示，根据构造方程求解即可；②根据对称得到点的坐标，设出直线的解析式，将坐标代入求解即可． 【详解】（1）解：将、两点代入， 得：， 解得： 则抛物线的表达式为：， （2）①当在对称轴的左侧， 由题可知，点,, 设直线的解析式为：， 将点,,、代入解析式得：， 解得：， 则直线的解析式为：， ∵点在抛物线上， 则点， 点，， ∴， ∵ ∴ ∴解得：， 当在对称轴的右侧， 点， 点，， ∴， ∵ ∴ ∴解得：， 综上所述：或 ②根据题意可知 ∵点，点 ∴点 ，， 设直线的解析式为：， 则将，代入解析式得 解得：， 则直线的解析式为：， 将点代入直线解析式 得： 解得或 点或． 19．（2021·上海闵行·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为点B，对称轴为直线，且对称轴与x轴交于点C．直线，经过点A，与线段交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）联结、．当的面积为3时，求直线的表达式； （3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结、，当时，求的余切值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解； （2）先求出顶点B坐标，根据的面积为3求出BE，进而求出点E坐标，利用待定系数法即可求解； （3）分和与不平行两种情况，分别求出D坐标，利用余切定义即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴， ∴ ∴抛物线表达式为； （2）把代入得y=4， ∴抛物线顶点B坐标为， 由的面积为3得, ∴BE=2， ∵点E在线段BC上， ∴点E坐标为， 把点和点代入得， ∴， ∴直线表达式为； （3）如图，①若，如图， 则四边形为平行四边形： 则点坐标为， 联结， ∴； ②若与不平行，如图， 则四边形为等腰梯形： 作BF⊥y轴于F，则， ∴点坐标为， 联结， ∴， 综上所述，此时的余切值为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数性质，求一次函数解析式，余切定义等知识，熟练掌握各知识点是解题关键，解第（3）步时要注意分类讨论思想应用． 题型七、特殊三角形、四边形问题 20．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． （1）依题设点，代入，得，则，即可求解； （2）①由待定系数法的即可求解； ②设，若是以为直角边的直角三角形，分为两种情况：或，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题设点，代入，得， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：①抛物线经过点，，且， ， 解方程组得：， 抛物线的表达式为：， ， 顶点． ②是抛物线上的点， 设， 若是以为直角边的直角三角形， 只有两种情况：或， 法1：（i）当时， 过点作直线轴，于，于， ， ，可得， ， ， ， 即， 整理得， 或（舍去）， ． （ii）当时， 同理可得， ， 或（舍去）， ． 综上所述：． 法2：，，， （i）当时，， ∴， 解得：或， ， ； （ii）当时，， ∴， 解得：或， ， ． 综上所述：． 21．（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 【答案】(1)； (2)点D到的距离为； (3)，． 【分析】（1）先求出A和B坐标，再代入抛物线求解即可； （2）利用矩形对角线相等求出，所以，再求出C点坐标，进而利用的面积建立方程求解即可； （3）先求出直线的解析式，再设出P和Q坐标，利用两点距离公式表示出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 将代入得，， ∴，， 将A、B代入抛物线得， ，解得， ∴抛物线表达式为； （2）解：如图， ∵，， ∴中点坐标为， 被y轴平分， ∴为对角线， ∴， ∴， 由可知，当时，， ∴， ∴，， 设点D到的距离为h， 则， ∴， 即点D到的距离为； （3）解：∵直线与x轴交于点E， ∴当时，，即， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 设，，且， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即， 将代入上式得， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴交点问题、矩形的性质、两点距离公式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1．（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； (3)点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据一次函数可知，的坐标，进而根据可得点是线段的中点，然后根据待定系数法即可求得二次函数表达式； （2）根据是梯形，可知的直线解析式，进而联立方程可知点的坐标，根据割补法即可求解； （3）①过点作,过点作，进而可知，根据相似三角形的性质即可求解；②过点作交对称轴于,过点作交对称轴于，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，一次函数与轴交于点，与轴交于点， 则点，， ∵是直线上一点，且， ∴点是线段的中点， 设点， ∴点， ∴，， ∴点， 将点，点代入抛物线 得 解得： 则抛物线的表达式为：， （2）解：由题可得图， ∵四边形是梯形， ∴, ∵为原点， 则的直线解析式为：， 则联立函数得， 解得或， ∵点在抛物线上，且位于第一象限， ∴, 过点作轴，过点作轴， ， （3）解：①由题可得，过点作,过点作 当,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点，点 ∴，， ，， 则，， 解得：或， ∵点、都在第三象限， ∴, ∴， ∴． ②由题可得，抛物线的对称轴为， 过点作交对称轴于,过点作交对称轴于， 当,与相似, 且边与边对应 则, 抛物线， , ,, ∴, ∴, ∴ 则抛物线的对称轴为：， 设点， ∴,， ，。 解得：或（舍去）， 则∴． 综上所述，，． 2．（2026·上海杨浦·二模）已知二次函数经过点；； (1)直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势． (2)设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长． 【答案】(1)二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 (2)的面积为3，的周长为 【分析】（1）运用待定系数法，将点；；依次代入二次函数解析式，解得，从而得到二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势； （2）先根据题意求出，，，画出函数图象，过点C作轴，过点A作交延长线于点F，然后根据几何图形性质及勾股定理求得的面积与周长． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点；；， ∴将点；；依次代入二次函数解析式， 可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 对称轴为直线，即对称轴为直线， ∵， ∴二次函数顶点坐标为， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （2）解：∵该二次函数图象与x轴交于点A， ∴对于，令， 解得：，， ∵点A在抛物线的右侧， ∴， ∵该二次函数图象与y轴交于点B， ∴对于，令， 解得：， ∴， ∵顶点为C， ∴， 如图，过点C作轴，过点A作交延长线于点F， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ， ， ∴； 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴的周长为：， ∴的面积为3，的周长为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，准确理解相关定义是解题的关键． 3．（2026·上海长宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点． (1)已知． ①求抛物线的表达式． ②若点为该抛物线上一点，且的重心恰好落在轴上，求点的坐标． (2)坐标平面内有点，如果抛物线与线段有且只有一个公共点，求的值或取值范围． 【答案】(1)①抛物线的表达式为；②点B的坐标为或 (2)当或时，抛物线与线段有且只有一个公共点 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合三角函数、一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）①由，判断出点的坐标，利用待定系数法求函数表达式即可；②由重心的性质，结合相似三角形即可求出点的坐标； （2）结合函数图像，可判断当顶点恰好在线段上时满足该情况，结合图像判断，由于时，函数值，在点下方，故时，函数值应在点上方，也可满足抛物线与线段有且只有一个公共点，据此求出的取值和取值范围． 【详解】（1）解：①当时，， 故点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴，且在轴负半轴上， ∴点的坐标为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． ②解：∵重心是三角形中线的交点，且重心将中线分割成长度为的线段，若重心在轴上，则点一定在轴的下方， 令中点为，重心为点,过点作轴交轴于点，过点作x轴交轴于点，如下图所示： 由，， 得点的坐标为 假设点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 得， 解得（图左）或（图右）， 当时，， 当时，， 故点B的坐标为或． （2）解：图象开口向下，且经过点， 由此判断当时，函数对称轴为直线， ∴当时，函数值随的增大而减小，故不可能会与线段有交点， ∴， 当抛物线时，得， 化简得 要使方程有一个解，且对应的解应在的范围内， 则， 解得或（舍去）， 当时，， 解得（舍去）或（满足）， 故当时，满足抛物线与线段有且只有一个公共点； 随着的增大，函数与线段有两个交点， ∵当时，函数值，在点下方， 当时，函数值应在点上方，即即可满足要求， 得， 解得， 综上所述，当或时，抛物线与线段有且只有一个公共点． 4．（2026·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)点为抛物线上的动点，过点作直线． ①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求的值； ②当点不在坐标轴上时，直线交抛物线于点，过点作轴垂线，垂足为点，在线段的延长线上截取，连接，当抛物线的顶点在内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，求二次函数的解析式，二次函数与几何综合，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由对称轴可得，进而再将代入求出值即可求出抛物线解析式，进而求出顶点坐标； （2）①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分是随增大而减小，点即为最高点，据此求解即可； ②分两种情况或分类讨论，每种情况下当点在线段和上时为临界点，据此求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ， 解得， 抛物线的函数表达式为， 当时，， ； （2）解：①由题可知， 当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分是随增大而减小， 点即为最高点， 此时， 解得， 在对称轴右侧，即， ； ②当，如图， 找出临界值，点在上时， 由题可知， ， 解得或（舍去）， ； 点B在线段上时， 由题意， 设直线解析式为，代入坐标得： ， 解得 ∴解析式为， 点B在线段上时，代入坐标得： （舍去），， 综上 当点在点左侧时，即，如图， 同理可得； 点B在线段上时， 由题意， 设直线解析式为，代入坐标得： ， 解得 ∴解析式为， 点B在线段上时，代入坐标得： （舍去）， ∴ 综上，或． 5．（2026·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点在点的左侧，与轴相交于点，其顶点为是轴正半轴上一点，直线交抛物线的对称轴于点，已知，连接，，交抛物线的对称轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，，当和面积相等时，求的值； (3)作点关于点的对称点，作点关于的对称点，把抛物线沿轴翻折后，经适当的平移得到抛物线，若抛物线恰好同时经过点，试探究抛物线和抛物线是否交于某个定点若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先通过抛物线解析式求出与轴交点、的坐标，再利用确定点的坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式； （2）先求出抛物线的对称轴，得到点的坐标；利用“和面积相等”推出，从而得到直线的斜率，求出直线的解析式，进而得到点的坐标，代入抛物线解析式求出的值； （3）先求出抛物线的顶点和直线与对称轴的交点，根据对称得到点、的坐标；写出抛物线关于轴对称并平移后的解析式，代入、坐标求出平移参数；联立与的解析式，求解方程组得到交点，验证其中一个交点是否为与无关的定点． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ，， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为，则， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 和面积相等， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， ， 把代入，得， 解得：； （3）解：抛物线和抛物线是交于定点，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线，顶点为， 抛物线关于轴对称的抛物线为， 设平移后得到的抛物线，如图： 又，， 直线的解析式为， ， 点与点关于点对称， ， 点与点关于对称， ， 把，代入的解析式， 得：， 得：， 抛物线， 联立得：， 解得：，， 抛物线和抛物线是交于定点． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及解析式求解、轴对称与平移变换、面积相等的转化、定点探究等，熟练运用二次函数的性质与点的坐标变换是解题关键． 试卷第1页，共3页 1 / 85 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押08 上海中考数学24题（二次函数压轴题） 题型一、线段周长问题 1．（2025·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上． (1)求抛物线的表达式； (2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标； (3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值． 2．（21-22九年级上·上海杨浦·期末）已知在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于点和点，与轴交于点 ，点是该抛物线在第一象限内一点，联结与线段相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴与线段交于点，如果点与点重合，求点的坐标； (3)过点作轴，垂足为点与线段交于点，如果，求线段的长度． 题型二、相似三角形问题 3．（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接． ①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值； ②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值． 4．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线与y轴交于点B． (1)如果抛物线经过点，且不经过第二象限，求抛物线的表达式； (2)如果抛物线与坐标轴共有两个公共点，且在y轴右侧是下降的，求m的值； (3)点A在第一象限，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，将抛物线沿着射线方向平移，点A、B、C的对应点分别为点、、，线段与线段交于点D，如果，，求点A的坐标． 5．（2025·上海虹口·二模）如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求直线的表达式，并用含的代数式表示该抛物线的对称轴； (2)已知直线与抛物线交于点，与直线交于点，如果且，求抛物线的表达式； (3)已知抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上且位于第一象限，连接、，线段与轴相交于点，点在线段上，连接，如果，且，求点的坐标． 6．（2026·上海杨浦·二模）已知抛物线，抛物线上有点． (1)当抛物线顶点坐标为，且经过时； ①求抛物线解析式； ②点坐标为，为抛物线上第一象限的一个动点，其横坐标为，若是锐角，且，请求出的取值范围． (2)已知； ①若，与的横坐标之和为，求直线的斜率； ②若该抛物线经过点、，该抛物线与轴不同于点的交点为点，点在线段上，延长交抛物线于点，点的横坐标为，若，求的取值范围； ③若，，点为抛物线上第一象限的动点，已知、，直线与直线分别交抛物线于另一点，请问：直线是否过定点？若是，请求出定点坐标，若不是，则说明理由． 7．（2025·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的开口向下，与轴交于点和，与轴交于点．直线交抛物线于点． (1)如图，抛物线的对称轴是直线． ①求此时抛物线的表达式； ②如果，求点的横坐标； (2)如果点关于直线的对称点恰好是的重心，求的值． 8．（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴相交于、两点，且点在点左侧，与轴交于点，顶点为点． (1)求线段的长； (2)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后得到抛物线，抛物线的顶点为点．如果点、、在同一直线上，求抛物线的表达式； (3)当四边形的面积为时，若点是轴上一点（点不与点重合），且△与△相似，求点的坐标． 题型三、面积问题 9．（2025·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为． (1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值； (3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标． 10．（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 11．（2026·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)抛物线的对称轴与轴交于点，点是抛物线上横坐标为2的一点，与对称轴交于点，连接． ①求的值； ②设直线与轴交于点，过点作的平行线，与轴交于点，当四边形是直角梯形时，求的正切值． 12．（2026·上海虹口·二模）已知抛物线． (1)画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时和之间的数量关系； 1 2 2 (2)已知点为抛物线与轴的交点，点、在抛物线上，连接、、和． ①如果四边形为正方形，那么的值是 ，和之间的数量关系是 ； ②如图，当时，已知四边形为菱形，．点在抛物线上且横坐标为2，连接、，如果的面积为，求抛物线的表达式． 题型四、新定义 13．（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． (1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． (2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 14．（2026·上海静安·二模）如图1，四边形中，，，，． (1)求证：，并求与的相似比k； (2)如图2，我们以直线为x轴，以过点C且垂直于线段的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知． ①求图像经过点A、B、C三点的二次函数解析式； ②如果我们将（1）中与的关系看作是一种图形变换，这种变换是将先绕点B按顺时针方向旋转，使点C落在上，点D落在上，再将旋转得到的三角形的边长都扩大到原来的k倍，从而得到，我们将称为的像，将称为的原像．如果是的像，而是的原像，试直接写出点E和点F的坐标：点E的坐标是，点F的坐标是． 题型五、角度问题 15．（2025·上海青浦·二模） 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，抛物线：经过两点，顶点为点，对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点在第二象限，且在抛物线的对称轴上，如果，求点的坐标； (3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后，抛物线上的点落在点处，，，求平移后的抛物线的表达式． 16．（2025·上海静安·二模）已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点． (1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式； (2)已知，求的值； (3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由． 17．（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的表达式； (2)将该抛物线沿射线方向平移，点A、B的对应点分别是点，且的面积比的面积大3． ① 求新抛物线的对称轴方程；                        ② P是新抛物线上一点，如果，求点P的坐标． 题型六、锐角三角比与二次函数 18．（2026·上海闵行·二模）在平面直角坐标系中，过、两点的抛物线（其中、是常数）与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求这条抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且在第四象限，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，连接，作轴，交于点，连接． ①当时，求的值； ②抛物线关于直线对称所得新抛物线的顶点为，如果点刚好落在线段上，求点的坐标． 19．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为点B，对称轴为直线，且对称轴与x轴交于点C．直线，经过点A，与线段交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）联结、．当的面积为3时，求直线的表达式； （3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结、，当时，求的余切值． 题型七、特殊三角形、四边形问题 20．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 21．（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 1．（2026·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点，是直线上一点（不与点重合），且，抛物线经过、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且位于第一象限，如果四边形是梯形，求梯形的面积； (3)点、都在第三象限，其中点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果与相似，且边与边对应，求点的坐标． 2．（2026·上海杨浦·二模）已知二次函数经过点；； (1)直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势． (2)设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长． 3．（2026·上海长宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点． (1)已知． ①求抛物线的表达式． ②若点为该抛物线上一点，且的重心恰好落在轴上，求点的坐标． (2)坐标平面内有点，如果抛物线与线段有且只有一个公共点，求的值或取值范围． 4．（2026·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，对称轴为直线，顶点为． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)点为抛物线上的动点，过点作直线． ①当点在对称轴右侧时，抛物线在直线右侧部分（包含交点）的最高点的纵坐标为，求的值； ②当点不在坐标轴上时，直线交抛物线于点，过点作轴垂线，垂足为点，在线段的延长线上截取，连接，当抛物线的顶点在内部时，直接写出的取值范围． 5．（2026·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点在点的左侧，与轴相交于点，其顶点为是轴正半轴上一点，直线交抛物线的对称轴于点，已知，连接，，交抛物线的对称轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，，当和面积相等时，求的值； (3)作点关于点的对称点，作点关于的对称点，把抛物线沿轴翻折后，经适当的平移得到抛物线，若抛物线恰好同时经过点，试探究抛物线和抛物线是否交于某个定点若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 1 / 85 学科网（北京）股份有限公司 $