第9章 二次根式（知识清单）数学新教材青岛版八年级下册

第九章二次根式 知识点01 二次根式的概念 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如(a≥O)的式子叫做二次根式，“”称为二次根 号. [补充说明] ①二次根式的两个要素(判断依据):含有二次根号“”且根指数为2;被开方数为非负数; ②二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如:，都是二次根式; ③二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足a0; ④在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了a≥0. 知识点02 二次根式有无意义的条件 1.二次根式有意义:被开方数为非负数，即a有意义a≥0， 2.二次根式无意义:被开方数为负数，即a无意义a<0. 知识点03 .二次根式的性质 1二次根式(a≥0)的非负性 (a≥0)表示“a的算术平方根，也就是说，(a≥0)是一个非负数 2二次根式(a≥0) 3二次根式= 知识点04 最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 ①被开方数不含分母， ②被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.同类二次根式 ①同类二次根式概念:化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 ②合并同类二次根式的方法:把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘 法分配律。 知识点05二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则:·=(a≥0;b≥0)(二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不 变) （2）二次根式的乘法法则的推广: ①=(; ; ) ②当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. ③二次根式的乘法法则的逆用=·(a≥0;)(二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质) ④二次根式的乘法法则的逆用的推广:=(; ; ) 2.二次根式的除法 (1)二次根式的除法法则:二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 即：（a≥0 b>0，） （2）逆用： （3）推广：① ②，其中 [注意] 除法法则成立的前提条件是a≥0且b>0，不要与乘法法则的前提条件混淆. 3.二次根式的加减法 (1)二次根式加减法则:先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 (2)二次根式加减运算的步骤: ①化:将各个二次根式化成最简二次根式; ②找:找出化简后被开方数相同的二次根式; ③合:合并被开方数相同的二次根式：将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． （2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用． （3）二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式． 易错点1 二次根式的判断 错误：①忽略被开方数的非负性 ②看化简后的结果判断 注意：①二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足a0; ②二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如:， 都是二次根式; 例题1 下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【来源】湖南省郴州市永兴县等校联考2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 被开方数，不是二次根式，不合题意； B. 是三次根式，不合题意； C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，符合题意． 故选：D 易错点2 二次根式有意义的条件 错误：二次根式出现在分母位置时，忽视被开方数不等于0的条件 注意：当二次根式出现在分母位置时，不仅要满足被开方数>0，还必须要求分母整体 ≠0，即被开方 数>0。 例题2 使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】山东省威海市环翠区威海恒山实验学校2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试题 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的分母不能为零以及二次根式的被开方数的非负性是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：． 故选B． 易错点3 利用二次根式的性质化简 错误：忽略二次根式中被开方数的非负性，比如在化简时，直接得出a，而未考虑a的正负;对二次根式性质的运用条件把握不准。 注意：化简前先明确被开方数的取值范围;运用性质时严格遵循条件。计算过程中仔细判断符号，多进行分类讨论，做完后检查化简结果是否符合二次根式的定义和性质。 例题3已知，化简__________． 【答案】/ 【难度】0.65 【来源】北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试题 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值性质，根据二次根式的性质，再结合x的取值范围去掉绝对值符号，最后合并同类项，即可解题． 【详解】解：， ，， 因此，， 原式， 故答案为：． 易错点4 最简二次根式的判断 错误：被开方数为小数或分数时不是最简二次根式 注意：最简二次根式必须满足： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 例题4（2024秋•延庆区期末）下列二次根式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解答】解：、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 、是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：． 易错点5 隐含条件下的二次根式化简 错误：化简特殊的带有字母的二次根式时、忽视字母的正负性致错。 注意：①二次根式的化简中，下列性质用得特别多，要注意两者的区别和联系 ； ． ②化简特殊的带有字母的二次根式时，应先分析字母的正负性． 例题5 化各式为最简二次根式：① ；② ； 【答案】 ① ② 【难度】0.65 【来源】上海五浦汇实验学校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查化简二次根式，根据化简即可． 【详解】解：① ②． 故答案为：，． 易错点6 二次根式乘除法则公式成立的条件． 错误：利用二次根式乘除法则公式进行化简和计算时，忽视字母的取值范围致错。 注意：二次根式的乘法法则:·=成立的前提条件是a≥0;b≥0，除法法则 成立的前提条件是a≥0且b>0，不要与乘法法则的前提条件混淆. 例题6若成立，则x的取值范围是_____． 【来源】湖北省恩施州巴东县三校联考2022-2023学年八年级下学期第一次质量检测数学试题 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质，二次根式有意义的条件，得出关于的不等式组，进而求出出答案． 【详解】解：等式成立， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，正确解不等式组是解题关键． 易错点7 二次根式运算中结果的化简问题 错误：二次根式运算中忽视对结果的化简而致错 注意：结果一定要化成最简二次根式或整式 例题7计算： (1)． (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.94 【来源】第二章小结 八年级数学上册（北师大2024）【江西铭文�支点】2025-2026学年八年级上学期同步练 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了实数的计算，熟练掌握实数的计算法则是解题的关键. （1）先进行去括号，然后合并同类项即可求解； （2）首先去括号，然后合并同类项即可求解； （3）先计算平方，然后去括号合并同类项即可求解. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． (4)解： ． 1．下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】云南省个旧市2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 2．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【来源】湖南省郴州市永兴县等校联考2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 被开方数，不是二次根式，不合题意； B. 是三次根式，不合题意； C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，符合题意． 故选：D 3 若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】重庆市四川外国语大学附属外国语学校2025-2026学年八年级数学上学期定时练习周测15 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义，则分母不为0，二次根式有意义，则被开方数非负．据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，且 解得， 故选：A 4.化简 __________． 【答案】 【难度】0.65 【来源】上海市杨浦实验中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试题 【知识点】整式的加减运算、二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，整式的化简，根据二次根式有意义的条件求出，然后在此条件下简化绝对值表达式和化简二次根式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5 .已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：___________． 【来源】第12章 二次根式（A卷�知识通关练） -【单元测试】2022-2023学年八年级数学下册分层训练AB卷（苏科版） 【答案】 【分析】根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式，然后根据整式的加减计算法则化简即可得答案． 【详解】解：∵的三边分别为a、b、c， ∴， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，整式的加减计算，三角形三边的关系，正确根据三角形三边的关系得到是解题的关键． 6.下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的识别，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式），逐一判断各二次根式是否符合条件． 【详解】解： ① 是三次根式，不是二次根式，故不是最简二次根式； ② 被开方数含分母，故不是最简二次根式； ③ 被开方数9能开方（），故不是最简二次根式； ④ 即 ，被开方数含分母，故不是最简二次根式； ⑤ 被开方数 无分母且不能因式分解为完全平方形式（在实数范围内），故是最简二次根式； ⑥ 即 ，被开方数含能开得尽方的因式 ，故不是最简二次根式； ∴ 只有⑤是最简二次根式，共1个， 故选：A． 7.在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【来源】第二章 实数 3 二次根式 第2课时 二次根式的化简及其加减法 【知识点】化为最简二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，正确判断最简二次根式是解题的关键．化简二次根式，，，，，即得答案． 【详解】解：，，，，， 是最简二次根式的是，只有1个． 故选：A． 8.（2024秋•鼓楼区校级期末）若实数满足，则的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】根据二次根式的性质即可求出的取值范围． 【解答】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 9.已知，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由得，，由二次根式和绝对值的性质进行化简，即可求解． 【解答】解：， ， ， 原式 ； 故选：． 10.化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【来源】上海市宝山实验学校2025-2026学年八年级上学期月考数学试卷1 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查化简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可； （3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 11.化简下列二次根式： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【解答】(1)解：∵， ∴， ∴． (2)解： ，， ， ， 12.下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法运算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、和在实数范围内无定义，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 13.下列各式从左至右的变形中，一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质，二次根式有意义的条件，二次根式的乘除法逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，或没有意义，则不成立，不符合题意； B、当时，，不符合题意； C、，符合题意； D、当时，和没有意义，则不成立，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，二次根式的乘除法，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 14.（2024秋•管城区校级期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先算括号里面的，再算除法即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 15.计算：(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章二次根式 知识点01 二次根式的概念 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如_______(a≥O)的式子叫做二次根式，“”称为二次根 号. [补充说明] ①二次根式的两个要素(判断依据):含有二次根号“”且根指数为2;被开方数为非负数; ②二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如:，都是二次根式; ③二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足a0; ④在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了a≥0. 知识点02 二次根式有无意义的条件 1.二次根式有意义:被开方数为_____，即a有意义a≥0， 2.二次根式无意义:被开方数为_____，即a无意义a<0. 知识点03 .二次根式的性质 1二次根式(a≥0)的非负性 (a≥0)表示“a的算术平方根，也就是说，(a≥0)是一个非负数 2二次根式(a≥0) 3二次根式= 知识点04 最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 ①______不含分母， ②被开方数中不含____________. 2.同类二次根式 ①同类二次根式概念:化简后_________的二次根式叫做同类二次根式。 ②合并同类二次根式的方法:把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是________。 知识点05二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则:____________(a≥0;b≥0)(二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不 变) （2）二次根式的乘法法则的推广: ①=(; ; ) ②当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. ③二次根式的乘法法则的逆用=·(a≥0;)(二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质) ④二次根式的乘法法则的逆用的推广:=(; ; ) 2.二次根式的除法 (1)二次根式的除法法则:二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 即：_________（a≥0 b>0，） （2）逆用： （3）推广：① ②，其中 [注意] 除法法则成立的前提条件是____________，不要与乘法法则的前提条件混淆. 3.二次根式的加减法 (1)二次根式加减法则:先将二次根式化成_________，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 (2)二次根式加减运算的步骤: ①化:将各个二次根式化成最简二次根式; ②找:找出化简后被开方数相同的二次根式; ③合:合并被开方数相同的二次根式：将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先____，再___，最后___，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． （2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用． （3）二次根式混合运算的结果一定要化成__________________． 易错点1 二次根式的判断 错误：①忽略被开方数的非负性 ②看化简后的结果判断 注意：①二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足a0; ②二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如:， 都是二次根式; 例题1 下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 易错点2 二次根式有意义的条件 错误：二次根式出现在分母位置时，忽视被开方数不等于0的条件 注意：当二次根式出现在分母位置时，不仅要满足被开方数>0，还必须要求分母整体 ≠0，即被开方 数>0。 例题2 使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 易错点3 利用二次根式的性质化简 错误：忽略二次根式中被开方数的非负性，比如在化简时，直接得出a，而未考虑a的正负;对二次根式性质的运用条件把握不准。 注意：化简前先明确被开方数的取值范围;运用性质时严格遵循条件。计算过程中仔细判断符号，多进行分类讨论，做完后检查化简结果是否符合二次根式的定义和性质。 例题3已知，化简__________． 易错点4 最简二次根式的判断 错误：被开方数为小数或分数时不是最简二次根式 注意：最简二次根式必须满足： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 例题4（2024秋•延庆区期末）下列二次根式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 易错点5 隐含条件下的二次根式化简 错误：化简特殊的带有字母的二次根式时、忽视字母的正负性致错。 注意：①二次根式的化简中，下列性质用得特别多，要注意两者的区别和联系 ； ． ②化简特殊的带有字母的二次根式时，应先分析字母的正负性． 例题5 化各式为最简二次根式：① ；② ； 易错点6 二次根式乘除法则公式成立的条件． 错误：利用二次根式乘除法则公式进行化简和计算时，忽视字母的取值范围致错。 注意：二次根式的乘法法则:·=成立的前提条件是a≥0;b≥0，除法法则 成立的前提条件是a≥0且b>0，不要与乘法法则的前提条件混淆. 例题6若成立，则x的取值范围是_____． 易错点7 二次根式运算中结果的化简问题 错误：二次根式运算中忽视对结果的化简而致错 注意：结果一定要化成最简二次根式或整式 例题7计算： (1)． (2)． (3) (4) 1．下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 3 若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.化简 __________． 5 .已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：___________． 6.下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7.在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8.（2024秋•鼓楼区校级期末）若实数满足，则的取值范围是 　　． 9.已知，则　　 A． B． C． D． 10.化简下列二次根式： (1)； (2)； (3)． 11.化简下列二次根式： (1)． (2) 12.下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 13.下列各式从左至右的变形中，一定正确的是（　　） A． B． C． D． 14.（2024秋•管城区校级期末）计算： （1）； （2）． 15.计算：(1)； (2)； (3)． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $