专题03 五大类立体几何题型-2026年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（全国通用）

**基本信息** 聚焦立体几何五大核心题型，构建“定理-方法-技巧-易错”四维解题体系，强化几何直观与空间观念 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面平行|含3道例题+7道练习题|中位线法、平行四边形法、建系向量法|以线面平行判定定理为核心，从几何构造到向量计算递进| |线面垂直|含3道例题+7道练习题|三线合一、勾股定理逆定理、面面垂直性质|围绕线面垂直判定定理，整合几何推理与向量验证| |点面距离|含3道例题+7道练习题|等体积法、空间向量公式、几何定义法|基于距离定义，实现体积转化与向量量化的方法融合| |线面夹角|含3道例题+7道练习题|几何法（射影构造）、向量公式（sinθ=|s·n|/(|s||n|)）|结合线面角定义，衔接几何构造与向量计算| |面面夹角|含3道例题+7道练习题|定义法、三垂线法、向量公式（cosθ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)）|以二面角平面角为核心，贯通几何作图与向量应用|

专题03 五大类立体几何题型-2026年高考数学大题秒杀技巧及专项训练 【题型1 线面平行问题（刻度尺平移大法）】 【题型2 线面垂直问题（勾股定理妙解）】 【题型3 点面距离（体积求算）问题】 【题型4 线面夹角问题（两大法）】 【题型5 面面夹角问题（两大法）】 基础工具：法向量的求算 待定系数法：步骤如下： · 第1步： 设出平面的法向量为． · 第2步： 找出(求出)平面内的两个不共线的向量，． · 第3步： 根据法向量的定义建立关于的方程组 · 第4步： 解方程组，取其中的一个解，即得法向量． · 注意： 在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量． 秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减） 向量，是平面内的两个不共线向量，则向量是平面的一个法向量. 特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解. 【题型1 线面平行问题】 一、线面平行判定定理（核心必考） 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行。 符号：直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，l∥m ⇒ l∥平面α 二、三大常用证明方法 方法1：中位线法（90%高考题首选） 1. 找三角形中点，连接中位线2. 中位线平行且等于底边一半3. 得到线线平行，直接推线面平行 技巧：看到中点必连中位线 方法2：平行四边形法 1. 证明一组对边平行且相等2. 得出四边形是平行四边形3. 对边平行，证出线线平行4. 推出线面平行 技巧：棱柱、棱锥、长方体优先用平行四边形 方法3：面面平行推线面平行 两个平面互相平行，其中一个平面内任意一条直线，都平行于另一个平面。α∥β，l⊂α ⇒ l∥β 三、建系向量法 1. 建立空间直角坐标系，写出各点坐标2. 求出直线方向向量向量s3. 求出平面法向量向量n 4. 计算数量积：s·n=05. 得到直线垂直法向量，且直线不在平面内，即可证线面平行 四、大题标准规范步骤（满分写法） 1. 说明直线不在已知平面内2. 在平面内找到一条与已知直线平行的直线3. 由线线平行，根据判定定理 4. 得出直线平行于平面 五、必考易错扣分点 1. 必须写：直线⊄平面，少写直接扣分2. 必须证明平面内存在平行线，不能凭空说平行3. 中位线找准三角形，不要乱连线4. 向量法一定要验证直线不在平面内5. 不能用线面平行推线线平行，顺序不能颠倒 六、快速做题技巧总结 1. 题干出现中点 → 优先三角形中位线 2. 棱柱、棱台对边 → 优先平行四边形 3. 找不到线线平行 → 直接建空间向量 4. 多线平行传递，先证面面平行，再得线面平行 如图所示，已知多面体中，是正方形，平面，. (1)证明：平面； (2)设，求平面与平面的夹角. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是正方形，底面ABCD，是线段PC的中点，在线段PB上，． (1)求证：平面BDE； (2)求证：平面DEF (3)在线段PB之间（不含端点），EG与PA所成的角为，求平面DEF与平面DEG夹角的余弦值． 如图，在四棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，． (1)当时，求证：平面； (2)若三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为，求平面与平面的夹角的余弦值． 1．如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值． 2．如图，在四棱锥中，平面，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，． (1)证明：平面PAC； (2)已知，点满足平面PEC． （i）求； （ii）求平面PBD与平面PEC夹角的余弦值． 4．如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比. 5．如图，在长方体中，，，，，分别为棱，，的中点． (1)在线段上是否存在点，使得，，，四点共面？请说明理由； (2)证明：平面； (3)点在矩形内（包含边界）运动，且满足平面，求周长的最小值． 6．如图，四棱锥的底面为矩形，平面，，为的中点，为的中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线和所成角的余弦值． 7．如图，在正三棱柱中，，点分别是棱的中点，点满足，其中． (1)当时，求证：平面； (2)当时，若平面与平面的夹角的余弦值是，求的值． 【题型2 线面垂直问题（勾股定理妙解）】 一、线面垂直判定定理（核心必考） 一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号：l⊥m，l⊥n，m∩n=P，m⊂α，n⊂α ⇒ l⊥平面α 二、几何法三大常用思路 1. 等腰三角形三线合一：中点+底边，连线垂直底边2. 勾股定理逆定理：边长满足a²+b²=c²，直接得直角垂直3. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线，垂直另一平面 三、面面垂直推线面垂直（高频秒杀） 平面α⊥平面β，交线为l，直线a⊂α，a⊥l ⇒ a⊥平面β 四、平行传递垂直结论 1. 若a∥b，a⊥平面α，则b⊥平面α2. 若a⊥平面α，α∥β，则a⊥平面β 五、空间向量万能法（建系必拿分） 1. 建立空间直角坐标系，写出各点坐标2. 求直线方向向量s3. 求平面内两个不共线向量a、b4. 计算 s·a=0 且 s·b=05. 直线不在平面内，即可证线面垂直 六、做题快速技巧 1. 看到中点 → 优先三线合一2. 给边长数值 → 优先勾股证垂直3. 出现面面垂直 → 优先找交线作垂线 4. 找不到几何垂直 → 直接建向量计算 七、大题必考扣分易错点 1. 必须强调两条相交直线，只证一条绝对扣分2. 必须写明两直线相交，不能平行3. 面面垂直用法：直线必须在平面内、垂直交线，缺一不可4. 向量法不能省略点积为0的计算步骤5. 不能随意默认垂直，所有垂直必须严谨证明 八、逻辑口诀 线线垂直→线面垂直→面面垂直 面面垂直→线面垂直→线线垂直 九、大题标准规范步骤 因为直线垂直平面内两条相交直线，根据线面垂直判定定理，可得直线垂直于该平面。 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面，且，是中点． (1)求证：平面平面： (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设平面与棱交于点，求与平面所成角的正弦值． 如图1，在边长为2的正方形中，分别为线段的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2，记二面角的平面角为． 3999731723083776 (1)若，求三棱柱的体积； (2)若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值． 如图，在四棱锥中，，，底面是正方形，，分别为，的中点．过点的直线与平行，且． (1)证明：底面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 1．如图，在正三棱柱中，为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 2．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，点是线段的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的正弦值为，求四棱锥外接球的表面积． 3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，点E、F分别为棱PD、AD的中点. (1)求证：平面平面ABCD； (2)请作出四棱锥过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长； (3)过B、E、F三点的平面上是否存在动点，使其到点的距离为3？若存在，求点在运动过程中所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由. 4．如图，在直三棱柱中，，平面平面，点分别为上的动点，且. (1)求证：； (2)当线段的长度最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 5．如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面，，，到平面的距离为． (1)求直线与所成的角的大小； (2)求五面体的体积； (3)若二面角的正切值为，求与平面所成角的正弦值． 6．如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 7．如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 【题型3 点面距离（体积求算）问题】 一、题型概述 求空间中点P到平面α的距离，高考必考小题+大题第二问 几何法、等体积法、空间向量法三种通用解法 二、方法1：等体积法 1. 构造三棱锥P-ABC2. 换顶点，V_P-ABC = V_A-PBC3. 底面面积S，高h就是点面距离4. 公式：1/3·S底·h = 体积直接解出 h 即为所求距离 适用：三棱锥、棱锥、线面垂直图形，不用建系 三、方法2：空间向量公式 1. 建立空间直角坐标系，写出点P、平面内任意三点A、B、C2. 取平面内向量AB、AC3. 求出平面法向量n4. 取斜向量AP5. 点面距离公式d = |向量AP · 法向量n| ÷ |n| 核心公式：d=|PA·n|/|n| 四、方法3：几何定义法 1. 过点作平面垂线，找垂足2. 垂线段长度就是点面距离3. 结合线面垂直、勾股定理计算长度 缺点：找垂足麻烦，高考很少单独用 五、重要推论 1. 直线平行平面，则直线上所有点到平面距离相等2. 线面距离 = 直线上任一点到平面距离 3. 两个平行平面距离 = 面上任一点到另一平面距离 六、高频解题技巧 1. 出现三棱锥体积 → 优先等体积法2. 建系方便、垂直多 → 向量公式一步出答案3. 底面是三角形、四边形，先算三角形面积4. 法向量一定要算准确，分子必须加绝对值 七、必考易错扣分点 1. 向量公式分子必须加绝对值，距离永远正数2. 斜向量必须是平面外点指向平面内任意一点3. 法向量方向不影响结果，正负不用管4. 等体积换顶点不能乱换，高一定要对应底面5. 不要漏乘1/3，三棱锥体积公式极易出错 八、大题标准规范步骤 1. 建立空间直角坐标系，求出各点坐标2. 求出平面内两个不共线向量3. 求解平面法向量n4. 代入点到平面距离公式5. 化简得出最终距离 九、快速结论总结 线面距离、面面距离，全部转化为点到平面距离 如图，已知直三棱柱的各棱长均为2，D为BC上的一点，，连接OD且平面. (1)求证：为BC的中点； (2)求三棱锥的表面积及到平面的距离. 如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 如图，在直三棱柱中，底面ABC是正三角形，AB=2，，BC边上的中点为D． (1)求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积； (2)求直三棱柱外接球的表面积； (3)求点到平面的距离． 1．如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若点到平面的距离为，求平面与平面所成的角. 2．如图所示，已知等腰梯形中，，是的中点，将沿对折至，使得与边长为2的菱形成60°的二面角，折叠后发现. (1)求点P到平面的距离； (2)求二面角的正弦值. 3．如图，在三棱柱中，是BC的中点， (1)求到平面ABC的距离； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 4．如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且． (1)求点到平面的距离； (2)点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值． 5．如图，在正三棱柱中，D、E分别是棱、的中点，且. (1)求证：直线平面； (2)求点A到平面的距离. 6．如图，在梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角． (1)证明：平面平面； (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离． 7．如图，在四棱台中，平面，正方形的边长为，且，分别为线段的中点，点在线段上，且. (1)证明：平面平面. (2)求点到平面的距离. (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【题型4 线面夹角问题（两大法）】 一、定义 直线与平面所成角：直线与它在平面内射影的夹角，范围：0° ≤ θ ≤ 90° 二、几何法求解步骤 1. 过直线上一点作平面的垂线，找到垂足2. 连接斜足与垂足，得到直线在平面内射影3. 斜线与射影夹角即为线面角θ4. 在直角三角形中用正弦、余弦、正切求解 核心关系：sinθ = 垂线段长 / 斜线段长 三、空间向量万能公式（高考必考） 1. 建系，求直线方向向量 s 2. 求平面法向量 n 3. 设直线与平面夹角为θ，向量夹角为φ 公式：sinθ = |s · n| / (|s|·|n|) 四、极易混淆重点 1. 向量夹角φ ∈ [0,π] 2. 线面角θ ∈ [0,π/2] 3. 永远用正弦，不用余弦 4. 分子必须加绝对值，角度恒为锐角或直角 五、特殊情况 1. 直线平行平面：线面角 θ=0°2. 直线垂直平面：线面角 θ=90° 六、解题技巧总结 1. 图形有线面垂直 → 几何法最快2. 棱长规整、垂直多 → 直接建向量3. 不要搞混线面角与二面角 4. 不要记错公式：线面角正弦，二面角余弦 七、大题规范答题模板 设直线方向向量为s，平面法向量为n则直线与平面所成角θ满足sinθ=|s·n|/(|s|·|n|)代入坐标计算即可求出线面角大小 八、高频易错扣分点 1. 公式写成cosθ，直接扣分2. 忘记加绝对值，角度出现负数3. 分不清线面角、异面角、二面角4. 射影找错，直角三角形构造错误5. 范围记错，线面角不超过90° 如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)求三棱锥的体积最大值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 如图，四棱锥中，平面，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 如图，在四棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； (3)若，求锐二面角的余弦值． 1．如图，在四棱柱中，平面平面，，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 2．如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 3．如图，在正三棱台中，，，点为的重心． (1)求证：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 4．如图，在三棱锥中，，，，点M，N分别为棱的中点． (1)求证：； (2)求直线MN与平面SBC所成角的正弦值． 5．如图，菱形的边长为2，.现将沿折起，得到四面体，设二面角等于. (1)求证：； (2)若三棱锥的体积为， （i）求直线与平面所成的角； （ii）当时，求二面角的余弦值. 6．如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为，，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若是该空间几何体中过点，，的截面上的一点，且二面角的余弦值为，求点的轨迹长度. 7．如图，在四棱柱中，底面ABCD是菱形，E为中点． (1)求证：平面； (2)若，，，求直线与平面ABCD所成角的正弦值． 【题型5 面面夹角问题（两大法）】 一、定义：两个平面相交，所形成的夹角叫做二面角 二面角平面角范围：0＜θ≤180°，高考题目一般求锐角或直角 二、几何法（定义法） 1. 在交线上取一点2. 分别在两个平面内，作垂直于交线的射线3. 两条射线夹角就是二面角平面角4. 放在三角形里用余弦定理计算角度 三、三垂线法（高考最快几何法） 1. 在一个平面内找一点作另一个平面的垂线2. 过垂足作交线的垂线3. 连接斜足，构成直角三角形4. 直接求出二面角大小 四、空间向量万能公式（必考大题） 1. 建立坐标系，求平面α法向量n12. 求平面β法向量n2 3. 公式：cosθ = |n1·n2| / (|n1|·|n2|) 五、重点区分（绝不记混） 1. 异面直线夹角：范围(0,90°]，用cos 2. 线面角：范围[0,90°]，用sin 3. 二面角：范围(0,180°]，用cos，看图形判断锐角钝角 六、正负与锐角钝角判断 1. 向量算出余弦为正 → 二面角锐角2. 向量算出余弦为负 → 二面角钝角3. 题目没说明时，一般取锐角或直角 七、做题技巧 1. 有面面垂直条件 → 几何法秒算2. 墙角、长方体、垂直多 → 建向量最快3. 法向量方向随便取，不影响绝对值结果4. 先算数值，再看图判断是锐角还是钝角 八、大题标准步骤 求出两个平面的法向量n1，n2 计算cos<n1,n2>=n1·n2/(|n1||n2|)结合图形判断二面角是锐角还是钝角 得出二面角大小 九、高频易错扣分点 1. 线面角用sin，二面角用cos，千万别弄反2. 必须根据图形判断锐角钝角，不能只写绝对值3. 法向量不要算错坐标4. 范围不要和线线角、线面角混淆5. 交线一定要找准，平面角必须垂直棱 如图，在四棱锥中， (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值． 如图，在多面体中，若四边形是边长为2的正方形，，都是边长为2的等边三角形，且，，分别为，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面； (2)设二面角为，求． 1．如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为BC的中点，为上底面的中心． (1)证明：平面ABC； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)过点作棱的垂线，垂足为，求平面与平面所成角的余弦值． 3．在三棱锥中，，，为的中点，点在上，． (1)若二面角的余弦值为，，求证：平面； (2)若，平面，设点到的距离为，到平面的距离为，求的取值范围． 4．将边长为的正方形沿对角线折叠，形成四面体． (1)证明：； (2)若二面角和的平面角互补，求； (3)证明：存在四面体，使得其内部一点O到各个平面的距离均大于． 5．如图1，分别为边长为4的正方形三边的中点.将四边形沿着线段EF折起(如图2)，且点M是线段上一点. (1)求证:； (2)若二面角的大小为 且三棱锥M-DFG的体积为 设过直线且与直线平行的平面为，求平面与平面所成角的余弦值. 6．在斜三棱柱中，，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 7．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，D为AB的中点. (1)求证：； (2)若二面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值. 股份有限公司2 / 4学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 五大类立体几何题型-2026年高考数学大题秒杀技巧及专项训练 【题型1 线面平行问题（刻度尺平移大法）】 【题型2 线面垂直问题（勾股定理妙解）】 【题型3 点面距离（体积求算）问题】 【题型4 线面夹角问题（两大法）】 【题型5 面面夹角问题（两大法）】 基础工具：法向量的求算 待定系数法：步骤如下： · 第1步： 设出平面的法向量为． · 第2步： 找出(求出)平面内的两个不共线的向量，． · 第3步： 根据法向量的定义建立关于的方程组 · 第4步： 解方程组，取其中的一个解，即得法向量． · 注意： 在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量． 秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减） 向量，是平面内的两个不共线向量，则向量是平面的一个法向量. 特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解. 【题型1 线面平行问题】 一、线面平行判定定理（核心必考） 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行。 符号：直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，l∥m ⇒ l∥平面α 二、三大常用证明方法 方法1：中位线法（90%高考题首选） 1. 找三角形中点，连接中位线2. 中位线平行且等于底边一半3. 得到线线平行，直接推线面平行 技巧：看到中点必连中位线 方法2：平行四边形法 1. 证明一组对边平行且相等2. 得出四边形是平行四边形3. 对边平行，证出线线平行4. 推出线面平行 技巧：棱柱、棱锥、长方体优先用平行四边形 方法3：面面平行推线面平行 两个平面互相平行，其中一个平面内任意一条直线，都平行于另一个平面。α∥β，l⊂α ⇒ l∥β 三、建系向量法 1. 建立空间直角坐标系，写出各点坐标2. 求出直线方向向量向量s3. 求出平面法向量向量n 4. 计算数量积：s·n=05. 得到直线垂直法向量，且直线不在平面内，即可证线面平行 四、大题标准规范步骤（满分写法） 1. 说明直线不在已知平面内2. 在平面内找到一条与已知直线平行的直线3. 由线线平行，根据判定定理 4. 得出直线平行于平面 五、必考易错扣分点 1. 必须写：直线⊄平面，少写直接扣分2. 必须证明平面内存在平行线，不能凭空说平行3. 中位线找准三角形，不要乱连线4. 向量法一定要验证直线不在平面内5. 不能用线面平行推线线平行，顺序不能颠倒 六、快速做题技巧总结 1. 题干出现中点 → 优先三角形中位线 2. 棱柱、棱台对边 → 优先平行四边形 3. 找不到线线平行 → 直接建空间向量 4. 多线平行传递，先证面面平行，再得线面平行 如图所示，已知多面体中，是正方形，平面，. (1)证明：平面； (2)设，求平面与平面的夹角. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）∵且与无公共点 ∴ ∵平面，平面 ∴平面. ∵四边形是正方形 ∴ ∵平面，平面 ∴平面， ∵，，平面 ∴平面平面， 又平面 ∴平面. （2）因为平面，，平面， 所以，，因为，所以，，两两垂直， 所以以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示. 则，，，，所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，取,得，故可取； 设平面的一个法向量为， 则，取,得，故可取. 则， 所以平面与平面的夹角为. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是正方形，底面ABCD，是线段PC的中点，在线段PB上，． (1)求证：平面BDE； (2)求证：平面DEF (3)在线段PB之间（不含端点），EG与PA所成的角为，求平面DEF与平面DEG夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据线面垂直的性质和判定定理进行证明即可； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）连接AC，交BD于，连接OE，因为E，O为中点， 所以EO是的中位线，所以， 又因为平面平面BDE，所以平面BDE． （2），又是PC的中点，所以， 因为底面ABCD， 所以， 而平面平面PDC， 所以底面平面PDC，所以 又平面平面PBC， 故平面PBC，平面PBC， 所以， 又因为平面平面DEF， 故平面DEF． （3）设，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设．， ，，， 因为与所成的角为， 则即， 化简得，又因为，解得 又因为，故，设平面DEG的一个法向量为，则 ，令，则 所以． 由（2）可知：平面DEF， 故是平面DEF的一个法向量， 设平面DEF与平面DEG夹角为，则有． 故平面DEF与平面DEG夹角的余弦值为． 如图，在四棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，． (1)当时，求证：平面； (2)若三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理得证； （2）利用棱锥的体积比求出到平面的距离，由得出，建立空间直角坐标系，利用向量法求两平面的夹角余弦即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为当时，E为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）取中点,连接， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，因为，所以， ， 设到平面的距离为， 则， 所以，又，所以， 以分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量， 则，令，则， 取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则. 即平面与平面的夹角的余弦值为. 1．如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到平面，再结合面面平行的判定定理求解即可. （2）利用面面平行的性质定理求解即可. （3）结合题意与空间向量的线性运算得到，最后利用空间向量基本定理建立方程，求解参数即可. 【详解】（1）平面平面， 平面，平面平面， 而平面平面， 平面平面． （2）由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面，. （3）如图，作出符合题意的图形， ，点是的中点， ，，点是的中点，． ，且三棱锥各棱长均为1， ，． 点在上且与端点不重合，，解得． ，， 又， 而， 由（2）知，， ，使得， 即， 由空间向量基本定理可得，解得. 2．如图，在四棱锥中，平面，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接，可证，再由线面平行的判定定理可证平面 （2）先求，再根据可求三棱锥的体积． 【详解】（1）如图，连接，设，连接， 因为，故，而，所以， 故，而平面，平面，故平面. （2）因为，故四边形为直角梯形， 故其面积为， 而平面，故为四棱锥的高， 故，而，故， 而，故的面积与直角梯形的面积之比为， 故，故. 3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，． (1)证明：平面PAC； (2)已知，点满足平面PEC． （i）求； （ii）求平面PBD与平面PEC夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2)； 【分析】（1）设AC，BD交于点，通过证明即可证明平面PAC； （2）（i）取PC中点，通过证明及可得OFEB是平行四边形，即可求得； （ii）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面PBD、PEC的法向量，通过法向量求解余弦值即可． 【详解】（1）因为ABCD为菱形，所以，设AC，BD交于点，则， 又因为，所以，因为，AC，平面PAC，所以平面PAC． （2）（i）取PC中点，则且，由知， 所以，即四点共面， 因为平面PEC，平面OBEF，平面平面，所以， 因此OFEB是平行四边形，故，即． （ii）由（1）可知，平面PAC，因为平面ABCD，所以平面平面PAC， 因为平面平面，所以在平面PAC内作Oz垂直于AC，如图， 以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意可知，，，， 因为，且，所以，， 因此，，， ，， 由此可知，设平面PBD的一个法向量， 则，也即， 令，得，设平面PEC的一个法向量， 则，也即， 令，得，所以， 所以平面PBD与平面PEC夹角的余弦值为． 4．如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析，7∶17 【分析】（1）由正方体的性质及线面平行的判定定理可得； （2）利用平面基本事实3，作出与的交点可得平面和底面ABCD的交线，求出正方体被平面分得的三棱台的体积，根据正方体的体积，求得另一部分的体积，即可得两部分体积比. 【详解】（1）在正方体中，且，且， 且，所以，四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 平面.     （2）在正方形中，直线与直线相交. 延长，交于点，连接， ，平面，则平面. ，平面，平面. 平面平面，则平面和底面ABCD的交线为， 设，则如图平面和底面ABCD的交线为， 连接，则为平面和平面的交线. 由为的中点，得为的中点，. 所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台. 解法一：设正方体的棱长为2. .     另一部分几何体的体积为. 两部分的体积比为7∶17.     解法二：设正方体的棱长为2，所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台， 所以. 另一部分几何体的体积为， 两部分的体积比为7∶17. 5．如图，在长方体中，，，，，分别为棱，，的中点． (1)在线段上是否存在点，使得，，，四点共面？请说明理由； (2)证明：平面； (3)点在矩形内（包含边界）运动，且满足平面，求周长的最小值． 【答案】(1)当为中点时，，，，四点共面，利用平面性质判断 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）延长交于，连接交于，连接，由共面可得，进而得到为中点时，，，，四点共面； （2）通过证明平面平面，进而得到平面； （3）由（2）可知在线段上，再展开平面，利用余弦定理求边长即可． 【详解】（1）如图，延长交于，连接交于，连接， ，，分别为棱，，的中点， ，， 又，， 要使得，，，四点共面， ，又， 四边形为平行四边形， ，即为中点，， 易得，， 所以，存在，当为中点时，，，，四点共面； （2）连接， ，分别为棱，的中点， ，又平面，平面， 平面， 由（1）知，又平面，平面， 平面，又平面， 平面平面，又 平面， 平面； （3）由（2）知平面平面， 在线段上，又， 的周长最小，即最小， 将平面沿翻折到平面中，如图， ， ， ， ， ， 又，所以的最小值为， 即周长的最小值为． 6．如图，四棱锥的底面为矩形，平面，，为的中点，为的中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线和所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线的性质得到，再结合线面平行的判定定理，证明平面； （2）利用三角形中位线定理将异面直线所成角转化为相交直线所成的，再通过勾股定理求出的三边长，最后用余弦定理计算出该角的余弦值，即为异面直线和所成角的余弦值. 【详解】（1）∵ 、分别是、的中点， ∴ 是的中位线，因此 ， 又 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得 平面. （2）由（1）可知，异面直线和所成的角等于异面直线和所成的角（或其补角）， 由题意，，底面为矩形，因此，， ， 又为中点，故， 矩形对角线， 直角中，，， 在中，由余弦定理， 即，整理得， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 7．如图，在正三棱柱中，，点分别是棱的中点，点满足，其中． (1)当时，求证：平面； (2)当时，若平面与平面的夹角的余弦值是，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）建立空间坐标系，利用直线与平面的法向量垂直证明直线与平面平行. （2）逆用平面夹角的余弦公式，结合平面的法向量即可求出的值. 【详解】（1）由题意得，正三棱柱侧棱垂直底面，作，以为原点， 方向为轴，方向且平行于直线为轴，方向为轴，建立坐标系： ， 由中点坐标得：， 由得， 当时，，则， 平面中，， 设平面的法向量为，由， 由①得，代入②式得：， 取，则，，， ，即， 又平面，故平面. （2）当时，： 平面中，， 设平面的法向量为，， 取，则，，故， 平面中，， 设平面的法向量为，， 取，则，故， 设平面与平面的夹角为，， 计算得：，，， 代入得：，整理平方得：，解得. 【题型2 线面垂直问题（勾股定理妙解）】 一、线面垂直判定定理（核心必考） 一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号：l⊥m，l⊥n，m∩n=P，m⊂α，n⊂α ⇒ l⊥平面α 二、几何法三大常用思路 1. 等腰三角形三线合一：中点+底边，连线垂直底边2. 勾股定理逆定理：边长满足a²+b²=c²，直接得直角垂直3. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线，垂直另一平面 三、面面垂直推线面垂直（高频秒杀） 平面α⊥平面β，交线为l，直线a⊂α，a⊥l ⇒ a⊥平面β 四、平行传递垂直结论 1. 若a∥b，a⊥平面α，则b⊥平面α2. 若a⊥平面α，α∥β，则a⊥平面β 五、空间向量万能法（建系必拿分） 1. 建立空间直角坐标系，写出各点坐标2. 求直线方向向量s3. 求平面内两个不共线向量a、b4. 计算 s·a=0 且 s·b=05. 直线不在平面内，即可证线面垂直 六、做题快速技巧 1. 看到中点 → 优先三线合一2. 给边长数值 → 优先勾股证垂直3. 出现面面垂直 → 优先找交线作垂线 4. 找不到几何垂直 → 直接建向量计算 七、大题必考扣分易错点 1. 必须强调两条相交直线，只证一条绝对扣分2. 必须写明两直线相交，不能平行3. 面面垂直用法：直线必须在平面内、垂直交线，缺一不可4. 向量法不能省略点积为0的计算步骤5. 不能随意默认垂直，所有垂直必须严谨证明 八、逻辑口诀 线线垂直→线面垂直→面面垂直 面面垂直→线面垂直→线线垂直 九、大题标准规范步骤 因为直线垂直平面内两条相交直线，根据线面垂直判定定理，可得直线垂直于该平面。 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面，且，是中点． (1)求证：平面平面： (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设平面与棱交于点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）因为四边形为直角梯形，，，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 又因为平面，故平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）由题意可知、、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 设，其中， ， 因为平面，所以， 即，解得，故， 所以， 取直线的一个方向向量为， 所以， 因此与平面所成角的正弦值为. 如图1，在边长为2的正方形中，分别为线段的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2，记二面角的平面角为． 3999731723083776 (1)若，求三棱柱的体积； (2)若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)1(2) 【分析】（1）根据二面角的定义以及线面垂直的判定定理证明该图形为直三棱柱，然后根据棱柱的体积公式即可求解. （2）建立空间直角坐标系，求出点坐标以及平面的一个法向量，然后根据线面角的空间向量公式即可求解. 【详解】（1）由折叠性质可知：，， 因此 就是二面角的平面角，即 ， 三棱柱为直三棱柱， 原正方形边长为2，为中点，故， . 当​时，，， ，侧棱长为高， 因此三棱柱的体积 . （2）建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，垂直平面向上为轴， 各点坐标为 ，，，， 设 ， ，， 由得 ，解得，即， 因此， ，，设平面的法向量为， 由，取得， ， ， 设直线与平面所成角为，由线面角公式得 . 如图，在四棱锥中，，，底面是正方形，，分别为，的中点．过点的直线与平行，且． (1)证明：底面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：因为，，所以． 因为，，底面，底面， 所以底面． （2）解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，得，． 设平面的法向量为，则 令，则，，得． 易得平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 1．如图，在正三棱柱中，为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得平面，进而可得，又，进而可得平面，可证结论； （2）由（1）可证，利用已知计算可得，可得，利用线面垂直的判定定理可证结论； （3）由（2）得为直线与平面所成的角，计算求解即可. 【详解】（1）在等边中，因为为的中点，可得. 在正三棱柱中，可得平面， 又平面，所以. 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）得平面，因平面，则. 又，则， ，所以，可得， 因平面，故平面. （3）由（2）得平面，所以为直线与平面所成的角. 又，所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 2．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，点是线段的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的正弦值为，求四棱锥外接球的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，由面面角向量法可得，进而计算可解. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 因为底面为矩形，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，点是线段的中点， 所以， 因为且平面， 所以平面； （2）以点为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，， 由题意可得，平面， 所以平面的一个法向量可以为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量可以为， 由题意可得，解得， 将四棱锥补充成完整正方体，可知为四棱锥外接球的直径，即， 所以四棱锥外接球的表面积为. 3．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，点E、F分别为棱PD、AD的中点. (1)求证：平面平面ABCD； (2)请作出四棱锥过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长； (3)过B、E、F三点的平面上是否存在动点，使其到点的距离为3？若存在，求点在运动过程中所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)，截面周长为12 (3)存在， 【分析】（1）运用直角梯形垂直关系，再结合已知得到线面垂直，再证明面面垂直； （2）利用平面平行相交的性质作出截面，再通过直角三角形，平行四边形性质求得周长； （3）先计算出点C到平面的距离，如果距离大于3，则不存在；如果距离小于3，则存在；最后如果存在，那么点在运动过程中所围成的图形是：以点为球心半径为的球面被平面所截的面，计算出半径求得圆面积. 【详解】（1）证明： 又平面 平面 又平面 平面平面 （2） 连接交于点，连接，取中点，连接,， 四边形 为平行四边形 点为中点， ，四边形为平行四边形,则 ， 点G平面，故四边形即为所求截面， 平面 ,为直角三角形， ,故四边形为平行四边形， 所以，四边形周长为：; （3）假设平面内存在动点，使其到点的距离为3， 方法一（等体积法）： 设点到平面距离为h，那么 取中点，由可知为正三角形， 所以， 由可得 , 即， 由于， 所以，, , 所以，平面内存在动点，使其到点的距离为3 点在运动过程中所围成的图形是以点为球心半径为的球面被平面所截得的截面，截面形状为圆， 半径,. 方法二（建坐标系）： 取中点，由可知为正三角形， 所以， 以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 那么, 设平面法向量为，那么 取，则为平面一个法向量， 那么点到平面距离， 所以，平面内存在动点，使其到点的距离为3 点在运动过程中所围成的图形是以点为球心半径为的球面被平面所截，截面形状为圆， 半径,. 4．如图，在直三棱柱中，，平面平面，点分别为上的动点，且. (1)求证：； (2)当线段的长度最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）作出符合题意的图形，结合题意与面面垂直的性质得到，再结合线面垂直的判定得到平面，最后得到即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合面面夹角的向量求法求解即可. 【详解】（1）如图，连接交于点， 在直三棱柱中，四边形为矩形， 因为，所以四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）由（1）知，两两垂直， 如图所示，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系. 则. 令，则， 于是， 则当时，取得最小值，此时， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得； 由（1）知平面，则为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 5．如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面，，，到平面的距离为． (1)求直线与所成的角的大小； (2)求五面体的体积； (3)若二面角的正切值为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将异面直线所成的角转化为与所成角可得； （2）将五面体分割成一个四棱锥和一个三棱锥，三棱锥通过顶点转换法可得体积，四棱锥再分割成三个体积相等的三棱锥，再将其中的一个小三棱锥用顶点转换法可得其体积，进而可得五面体的体积. （3）过棱的中点作棱的垂面，再过点作底面的垂线，通过二面角的正切值可判断点垂足在等腰梯形上下底的中点的连线上，且为中点，利用等体积法求点面距离，计算线面角可得. 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面， 由线面平行性质得，因此异面直线与所成角等于与所成角. 在等腰梯形中，，，如图： 设两腰相交于，因为，所以分别是的中点， 所以，故是边长为的正三角形，，因此， 又在中，，，所以. 所以直线与所成的角为. （2）设为的中点，连接，如图： 由（1）知是边长为4的等边的一边上的高线，所以， 所以，， 又因为为的中点，所以. 由（1）知，且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以 所以，且到平面的距离为. 所以， 而， 所以五面体的体积. （3）过点作平面，垂足为，所以，连接，如图： 因为，为的中点，所以. 又因为平面，平面，所以 因为，，平面， 所以平面，平面，故. 所以就是二面角的平面角，故， 在直角三角形中，，， 得. 所以点在等腰梯形上下底的中点的连线上，且为中点， 所以, 设C到平面ADE的距离为h， 由，即． ,, ∴与平面所成角的正弦值为． 6．如图，斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且． (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正棱锥的定义，结合正三棱锥的几何性质、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据全等三角形的判定定理，结合全等三角形的性质、二面角的定义、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可； （3）利用三棱锥体积的等积性，结合正弦定理、线面角的定义进行求解即可.. 【详解】（1）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以三棱锥是正三棱锥， 因此顶点在底面的射影是正三角形的中心， 如图： 设点为边的中点，连接， 显然在上，且，平面， 因为平面， 所以，又因为平面， 所以平面，而平面， 所以，又因为， 所以； （2）因为棱柱的底面是边长为2的正三角形，且， 所以，在中，过作，垂足为，连接， 由全等三角形的性质可知，所以就是二面角的平面角， ， 所以， 因为， 同理可得， 由余弦定理可得， 所以二面角的余弦值； （3）由上可知是正三角形的中心，所以， 由勾股定理可得， 由三棱柱的性质可知平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 因为，所以，即是直角三角形， 设点到平面的距离为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 7．如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，证明出线面垂直； （2）作出辅助线，得到二面角的平面角，根据正切值得到各边长，求出三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：在内任取一点P，过点P作于， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 又平面，所以. 过作于，同理可得， 又平面，平面，， 所以平面. （2）过点作于，由平面平面， 平面平面知平面. 又平面，所以 再过点作于，连接， 因为 ， 平面， 则平面， 所以即为二面角的平面角. 所以， 又，故为等边三角形， 所以，， 故， 又中，，所以，故， 所以，又为等边三角形，故， 所以三棱锥的体积. 【题型3 点面距离（体积求算）问题】 一、题型概述 求空间中点P到平面α的距离，高考必考小题+大题第二问 几何法、等体积法、空间向量法三种通用解法 二、方法1：等体积法 1. 构造三棱锥P-ABC2. 换顶点，V_P-ABC = V_A-PBC3. 底面面积S，高h就是点面距离4. 公式：1/3·S底·h = 体积直接解出 h 即为所求距离 适用：三棱锥、棱锥、线面垂直图形，不用建系 三、方法2：空间向量公式 1. 建立空间直角坐标系，写出点P、平面内任意三点A、B、C2. 取平面内向量AB、AC3. 求出平面法向量n4. 取斜向量AP5. 点面距离公式d = |向量AP · 法向量n| ÷ |n| 核心公式：d=|PA·n|/|n| 四、方法3：几何定义法 1. 过点作平面垂线，找垂足2. 垂线段长度就是点面距离3. 结合线面垂直、勾股定理计算长度 缺点：找垂足麻烦，高考很少单独用 五、重要推论 1. 直线平行平面，则直线上所有点到平面距离相等2. 线面距离 = 直线上任一点到平面距离 3. 两个平行平面距离 = 面上任一点到另一平面距离 六、高频解题技巧 1. 出现三棱锥体积 → 优先等体积法2. 建系方便、垂直多 → 向量公式一步出答案3. 底面是三角形、四边形，先算三角形面积4. 法向量一定要算准确，分子必须加绝对值 七、必考易错扣分点 1. 向量公式分子必须加绝对值，距离永远正数2. 斜向量必须是平面外点指向平面内任意一点3. 法向量方向不影响结果，正负不用管4. 等体积换顶点不能乱换，高一定要对应底面5. 不要漏乘1/3，三棱锥体积公式极易出错 八、大题标准规范步骤 1. 建立空间直角坐标系，求出各点坐标2. 求出平面内两个不共线向量3. 求解平面法向量n4. 代入点到平面距离公式5. 化简得出最终距离 九、快速结论总结 线面距离、面面距离，全部转化为点到平面距离 如图，已知直三棱柱的各棱长均为2，D为BC上的一点，，连接OD且平面. (1)求证：为BC的中点； (2)求三棱锥的表面积及到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析(2)表面积为，距离为 【详解】（1）证明：如图，因为平面且平面， 又因平面平面， 所以.    又因在直三棱柱中，为平行四边形， 所以为的中点， 所以为的中位线. 所以为的中点. （2）因为三棱柱是直三棱柱且所有棱长均为2， 在中，由勾股定理可得，，. 因为，     所以，所以为直角三角形， 三棱锥的表面积为 .     设到平面的距离为，因为，所以 即，解得， 所以到平面的距离为. 如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形， 所以，所以， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为h， 由等体积法得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 如图，在直三棱柱中，底面ABC是正三角形，AB=2，，BC边上的中点为D． (1)求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积； (2)求直三棱柱外接球的表面积； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题意得， ，从而， 所以AD⊥，所以， ，因为，，， ，， 所以， 所以三棱柱截去三棱锥后几何体的表面积为． （2）根据对称性，球心在直三棱柱的中心，设为O， 取H为等边△ABC的外心，所以AH为等边△ABC外接圆半径，设为r， 根据正弦定理，则，因为， 所以，在Rt△AOH中，， 所以直三棱柱外接球的表面积 （3）因为三棱柱是直棱柱， 所以⊥平面，⊥平面ABC，⊥平面ABC， 三棱锥的体积 设点到平面的距离为h，则 所以 1．如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若点到平面的距离为，求平面与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理逆定理来证明线线垂直，再证明线面垂直，最终证明面面垂直； （2）利用空间向量法来求点到面的距离和两平面所成角的大小. 【详解】（1） 由平面，平面，得， 在底面中，，，，， 故，过作，垂足为， 由得，， 又，故，可得， 因此， 由勾股定理逆定理得， 又因为，平面，故平面， 又平面，因此平面平面； （2） 如图以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设，则各点坐标分别为：， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 令，解得，所以， 所以点到平面的距离为， 解得：，即平面的法向量 设平面的法向量为，由， 则， 令，解得，所以，即平面的法向量为， 所以， 因为平面与平面所成的角为锐角，所以平面与平面所成的角的大小为. 2．如图所示，已知等腰梯形中，，是的中点，将沿对折至，使得与边长为2的菱形成60°的二面角，折叠后发现. (1)求点P到平面的距离； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）分析与的垂直关系，确定二面角的平面角，再结合线面垂直的判定，找到在平面内的射影，进而利用三角函数计算距离； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量的夹角公式计算二面角的余弦值，进而求出正弦值. 【详解】（1）由题设，可知， 取中点，连接，，故， 又，，平面， ∴平面， 又平面，故. 故为平面与平面所成二面角的平面角，则. 因为平面，故平面平面，平面平面， 过作交于， 故平面. ∵，∴， 因此点到平面的距离为. （2）以为坐标原点，直线，为x轴，y轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，. ，，. 设平面的法向量为，则，即 取，∴， 设平面的法向量为，则，即 取，∴， ∴，故， 所以二面角的正弦值为. 3．如图，在三棱柱中，是BC的中点， (1)求到平面ABC的距离； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用面面垂直判定定理证明平面平面，再应用面面垂直性质定理证明线面垂直即可求解； （2）建立空间直角坐标系先求平面与平面的法向量，再应用面面角余弦公式计算求解. 【详解】（1）因为是BC的中点，所以， 又平面，所以平面，    又平面，所以平面平面， 又平面平面，作交于点平面， 所以平面，   则为三棱柱的高， 又，所以， 又，所以，则，即为等腰直角三角形， 所以 即到平面的距离为； （2）如图以AB为轴，AC为轴，过点作与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，    则 所以，． 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则， 则平面的法向量为．    设平面的法向量为， 则，所以， 令，则， 则平面的法向量为． 设平面与平面所成角为，则，     所以平面与平面所成角余弦值为 4．如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且． (1)求点到平面的距离； (2)点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法1，利用三棱锥等体积，计算得解；法2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解； （2）法1，取中点，可得二面角的平面角为，进而求得，得解；法2，利用向量法求得平面和平面的法向量，进而求得点的坐标，计算得解. 【详解】（1）方法－：因为为直径，所以， 由，得，，所以， 所以， 在中，，，所以， 设点到平面的距离为，由，得. 方法二：取弧的中点，连接，则， 以为坐标原点，方向为轴方向如图建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， ，令，得， 则点到平面的距离为. （2）方法一：取中点，连接、，则， 又平面，则，，故面，故， 所以二面角的平面角为，即， 在等边中，，为等腰直角三角形得， 在中，，故所求线面角，. 方法二：设， 设平面的法向量， ，令，得， 底面的法向量，则，得， 即，， 设直线与底面所成角为，则. 5．如图，在正三棱柱中，D、E分别是棱、的中点，且. (1)求证：直线平面； (2)求点A到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正三棱柱的结构可判断四边形的形状，进行面面垂直、线面垂直、线线垂直之间的转化；（2）根据三棱锥的体积相等可求距离，也可利用空间向量求解距离问题. 【详解】（1）如图1，连接， 由正三棱柱的结构特征可知， 在正三棱柱中是正三角形，侧面均为矩形，平面. 因为D是棱的中点，所以， 因为平面，所以平面平面. 又平面平面，所以平面. 又平面，所以. 因为，所以矩形为正方形，所以， 又，所以， 因为平面，，所以直线平面. （2）方法一：设点A到平面的距离为h， 因为平面，所以到平面的距离相等，都为. 由（1）知，侧面均为正方形，所以，， 又，所以为等腰三角形，所以. 又，即， 所以，解得，即点A到平面的距离为. 方法二：取的中点，连接，由（1）可知两两互相垂直， 所以以D为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 即，所以点A到平面的距离为. 6．如图，在梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角． (1)证明：平面平面； (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）取的中点，连接，利用平面几何知识证明，再利用面面垂直的性质定理证明平面，即可得证； （2）取的中点，连接，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用异面直线与所成角的余弦值，求出，进而通过向量法求出平面与平面夹角的余弦值； （3）根据点到平面的距离计算公式即可求得. 【详解】（1）取中点，连接， ，， 且，四边形为平行四边形， ，， 所以，，而， ，即， 又直二面角，即平面平面，且交线为， 又平面，平面， 平面 平面平面； （2）取中点，连接，则，， 由（1）同理可得平面， 以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系： 易得平面的一个法向量， 设平面的法向量， 在中，，， 可得出， 则在等腰直角中，， 又因为，所以， 得，，， 由得 取，得，故， 故， 由图可知二面角为锐二面角， 二面角的余弦值为， （3），， 故点到平面的距离：． 7．如图，在四棱台中，平面，正方形的边长为，且，分别为线段的中点，点在线段上，且. (1)证明：平面平面. (2)求点到平面的距离. (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证平面，再证平面，再由面面平行的判定定理可得； （2）直接根据等体积法计算点到面的距离可得； （3）直接用空间向量计算平面与平面的夹角可得. 【详解】（1）取的中点，连接，易证且，则四边形为平行四边形，所以， 又因为，即为的中点，为的中点，所以， 所以，且平面，平面，所以平面. 因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，同理可证， 所以，平面，平面，所以平面. 因为，平面，平面，平面，平面， 所以平面平面. （2）因为平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，而平面，所以. 因为，， 又在直角梯形中，，设为的中点，如图： 显然四边形为正方形，为等腰直角三角形，且， 所以，， 在三角形中，满足，所以， 所以，. 设点D到平面的距离为， 由，所以，得，解得. 所以点到平面的距离为. （3）易知，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，得. 因为平面与坐标平面重合，所以为平面的一个法向量， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【题型4 线面夹角问题（两大法）】 一、定义 直线与平面所成角：直线与它在平面内射影的夹角，范围：0° ≤ θ ≤ 90° 二、几何法求解步骤 1. 过直线上一点作平面的垂线，找到垂足2. 连接斜足与垂足，得到直线在平面内射影3. 斜线与射影夹角即为线面角θ4. 在直角三角形中用正弦、余弦、正切求解 核心关系：sinθ = 垂线段长 / 斜线段长 三、空间向量万能公式（高考必考） 1. 建系，求直线方向向量 s 2. 求平面法向量 n 3. 设直线与平面夹角为θ，向量夹角为φ 公式：sinθ = |s · n| / (|s|·|n|) 四、极易混淆重点 1. 向量夹角φ ∈ [0,π] 2. 线面角θ ∈ [0,π/2] 3. 永远用正弦，不用余弦 4. 分子必须加绝对值，角度恒为锐角或直角 五、特殊情况 1. 直线平行平面：线面角 θ=0°2. 直线垂直平面：线面角 θ=90° 六、解题技巧总结 1. 图形有线面垂直 → 几何法最快2. 棱长规整、垂直多 → 直接建向量3. 不要搞混线面角与二面角 4. 不要记错公式：线面角正弦，二面角余弦 七、大题规范答题模板 设直线方向向量为s，平面法向量为n则直线与平面所成角θ满足sinθ=|s·n|/(|s|·|n|)代入坐标计算即可求出线面角大小 八、高频易错扣分点 1. 公式写成cosθ，直接扣分2. 忘记加绝对值，角度出现负数3. 分不清线面角、异面角、二面角4. 射影找错，直角三角形构造错误5. 范围记错，线面角不超过90° 如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)求三棱锥的体积最大值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）要使三棱锥的体积最大，即点到平面的距离最大． 所以平面平面， 取中点，连接， 则，又为交线，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， ，，， （2），，,平面， 平面，由平面， ，， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中，， 所以， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，故. （3）设， 则， 即① 令② ①②得 ， 取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为， 因为， ，， 所以． 如图，四棱锥中，平面，，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）方法一：取中点，连接， 则，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面 所以平面． 方法二：取的中点，连接， 因为为的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为 所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以 又平面，平面， 所以平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面． （2）方法一：设点到平面的距离为， 因为点为中点，所以点到平面的距离为， ， ， 又， 所以，即， 解得， 易得， 设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 方法二：以分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，， 则，， 设是平面的法向量， 则，令，则，， 所以， 设与平面所成角的大小为， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 如图，在四棱锥中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)若平面底面，求直线与底面所成角的正切值； (3)若，求锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）取的中点为，连接，则，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为，且平面平面，所以平面. （2）由（1）知，所以直线与底面所成角即直线与底面所成角， 如图，过作于， 又平面底面，平面底面平面， 则底面， 所以即为直线与底面所成角. 取的中点，连接，因为，则． 因为为的中点，所以为的中点． 又， 则， 在中，， 所以， 即直线与底面所成角的正切值为 （3）如图，过作交于，连接， 因为，则即为平面和平面的夹角的平面角. 因为四边形为直角梯形，， 所以，又因为，，所以． 当时，在中，， 由余弦定理得， 在中，， 由余弦定理得． 所以锐二面角的余弦值为 1．如图，在四棱柱中，平面平面，，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）平面平面，平面平面，， 平面， 平面， . （2）连接，如下图所示， ，， ， ， 是等边三角形，可得，， ， ， 根据余弦定理可得，解得， ， ，即， ， 平面， 就是直线与平面所成角， ,， ， . 2．如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）用勾股定理证明，再用等腰三角形中线得，进而再由折叠可得，再用线面垂直的判定定理可得； （2）先证平面，从而可得平面，进而可得与平面所成的角为，在直角三角形计算可得. 【详解】（1）因为，且，所以，. 又为的中线，所以. 因为，所以，所以. 由题意知，为的中线，所以. 而是沿折叠到点的位置，所以 因为，，且，且平面， 所以平面. （2）因为，，，所以平面. 又，所以平面，所以与平面所成的角为. 在中，，，所以. 所以直线与平面所成角的正切值. 3．如图，在正三棱台中，，，点为的重心． (1)求证：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）构造条件，先证明线面垂直，进而可证线线垂直. （2）可以通过空间直角坐标系证明；也可以找到直线与平面所成的平面角，解三角形即可；也可以补形为正三棱锥，通过等体积法求得点到平面的距离，进而求解. 【详解】（1）如图，延长交于点，取的中点，连接和， ∵点为的重心，为正三角形， ∴点为的中点，， 又点为的中点，侧面是等腰梯形， ， ，平面，平面， 平面，. （2）法1： 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系． 则，，． 在梯形中，作交于点，作交于点， 由正三角形的性质可得，，由勾股定理得， 由， 即可得，由勾股定理得． ，， ，，. 设平面的法向量为． 由得，令，则，． ． ， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 法2： 如图，过点作交于点，连接． 平面平面， ∴平面平面. 又平面平面，平面，， 平面， 是直线与平面所成角． 在梯形中，作交于点，作交于点， 由正三角形的性质可得，，由勾股定理得， 由， 即可得， 所以，所以． ． 在中，，即直线与平面所成角的正弦值为． 法3： 如图，补形为正三棱锥． 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为． ，， 由，，知，， 由勾股定理得，即， ，即直线与平面所成角的正弦值为． 4．如图，在三棱锥中，，，，点M，N分别为棱的中点． (1)求证：； (2)求直线MN与平面SBC所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取SB的中点，连结DM，DN，证明、可得线面垂直，据此再根据线面垂直的性质即可证明线线垂直； （2）由（1）可推得平面平面SBC，进一步据此找出直线MN与平面SBC的所成角，并根据几何性质，在中即可求解． 【详解】（1）取SB的中点，连接DM，DN， 因点，分别为棱SB，AB的中点，故， 又，故， 同理因点，分别为棱SB，SC的中点，故， 又，所以， 又，且平面MND，故平面MND，因此． （2）因平面MND，故平面平面SBC， 又平面平面，则在平面上的射影为， 因此为直线MN与平面SBC所成的角， 由题意知，，， ，， 又是AB的中点，，，则， 而是SC的中点，，则， 因为，在中，， 故， 于是，所以直线MN与平面SBC所成角的正弦值为． 5．如图，菱形的边长为2，.现将沿折起，得到四面体，设二面角等于. (1)求证：； (2)若三棱锥的体积为， （i）求直线与平面所成的角； （ii）当时，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）根据题意，取的中点，证得，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）由和，得到，结合三棱锥的体积为，列出方程，求得，再由面面垂直的性质，证得即为直线与平面所成角，即可求解； （ii）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）由菱形的边长为，且，可得和都是等边三角形， 现将沿折起，可得，为等边三角形， 如图所示，取的中点，连接，，可得，， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2）（i）由（1）知平面，可得， 又由，，所以是二面角的平面角，即， 因为菱形的边长为，可得， 又因为三棱锥的体积为，可得， 解得，所以或， 因为平面，且平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以点在平面的投影在直线上， 所以即为直线与平面所成角， 所以直线与平面所成角为或； （ii）因为，所以，且， 过点作平面的垂线为轴，，所在直线为轴，轴， 建立空间直角坐标系，可得，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 可得， 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 6．如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为，，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若是该空间几何体中过点，，的截面上的一点，且二面角的余弦值为，求点的轨迹长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据中点以及三角形的中位线可得线线平行，进而根据面面平行的判定可证结论； （2）由（1）可知直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，可证明平面，可得为直线与平面所成的角，计算即可； （3）建立空间直角坐标系，根据面面平行的性质可得截面，设，利用坐标法求得平面的一个法向量，根据向量的夹角公式可得，进而计算可求得点轨迹的长度. 【详解】（1）因为，，的中点分别为， 所以，又平面，平面， 所以平面，平面， 又，且平面，所以平面平面， （2）由（1）可知直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角， 由题意可得，，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 由，，可得，又， 所以，又，所以， 所以，所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）取中点，连接， 由（1）知平面平面， 由平面平面，所以，又的中点. 所以为的中点，同理可得为的中点. 则五边形为过的截面， 以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则令，则，， 所以平面的一个法向量为， 又平面，所以平面的一个法向量为， 又因为二面角的余弦值为， 所以， 所以，两边平方得， 所以，解得或 由于，故， 当时，，当时，， 所以满足题意的点轨迹的长度为. 7．如图，在四棱柱中，底面ABCD是菱形，E为中点． (1)求证：平面； (2)若，，，求直线与平面ABCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，可证为平行四边形，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，可证面ABCD，法一：建立空间直角坐标系，求出线的方向向量和平面的法向量，再利用向量的夹角公式计算即可；法二：根据线面角的定义，找到直线与平面ABCD所成角即为，根据三角函数求值即可. 【详解】（1）连接，设，连接CF， 因为且，则为平行四边形，可得， 且平面，平面，所以平面． （2）因为，可知直线与平面ABCD所成角即为直线CF与平面ABCD所成角， 连接，因为，则， 设，连接， 因为，且为BD中点，则， 且，平面，则平面， 由平面ABCD，可得平面平面ABCD， 又因为，则，即， 且平面平面，平面，所以面ABCD， 法一：可知MC，MD，两两垂直， 以点M为坐标原点，MC，MD，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，可得， 且平面ABCD的法向量为， 则， 所以直线与平面ABCD所成角的正弦值为； 法二：过MD中点，连接FN，NC， 因为平面ABCD，，所以面ABCD， 直线CF与平面ABCD所成角即为， 可得，则， 所以直线与平面ABCD所成角的正弦值为. 【题型5 面面夹角问题（两大法）】 一、定义：两个平面相交，所形成的夹角叫做二面角 二面角平面角范围：0＜θ≤180°，高考题目一般求锐角或直角 二、几何法（定义法） 1. 在交线上取一点2. 分别在两个平面内，作垂直于交线的射线3. 两条射线夹角就是二面角平面角4. 放在三角形里用余弦定理计算角度 三、三垂线法（高考最快几何法） 1. 在一个平面内找一点作另一个平面的垂线2. 过垂足作交线的垂线3. 连接斜足，构成直角三角形4. 直接求出二面角大小 四、空间向量万能公式（必考大题） 1. 建立坐标系，求平面α法向量n12. 求平面β法向量n2 3. 公式：cosθ = |n1·n2| / (|n1|·|n2|) 五、重点区分（绝不记混） 1. 异面直线夹角：范围(0,90°]，用cos 2. 线面角：范围[0,90°]，用sin 3. 二面角：范围(0,180°]，用cos，看图形判断锐角钝角 六、正负与锐角钝角判断 1. 向量算出余弦为正 → 二面角锐角2. 向量算出余弦为负 → 二面角钝角3. 题目没说明时，一般取锐角或直角 七、做题技巧 1. 有面面垂直条件 → 几何法秒算2. 墙角、长方体、垂直多 → 建向量最快3. 法向量方向随便取，不影响绝对值结果4. 先算数值，再看图判断是锐角还是钝角 八、大题标准步骤 求出两个平面的法向量n1，n2 计算cos<n1,n2>=n1·n2/(|n1||n2|)结合图形判断二面角是锐角还是钝角 得出二面角大小 九、高频易错扣分点 1. 线面角用sin，二面角用cos，千万别弄反2. 必须根据图形判断锐角钝角，不能只写绝对值3. 法向量不要算错坐标4. 范围不要和线线角、线面角混淆5. 交线一定要找准，平面角必须垂直棱 如图，在四棱锥中， (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）取的中点为，连接，如下图所示： 在四边形中，，又//，故四边形为平行四边形，故； 在三角形中，，又为中点，故，； 在三角形中，，故； 又面，故面，又面，故面面. （2）因为，故为上靠近的三等分点， 过作垂足为，过作垂足为，连接，如下所示： 由（1）知，，又，故//，又面，故面，又面， 则，又，面，故面，又面，故； 又面面，，面面， 故即为平面与平面的夹角； 在三角形中，因为为上靠近的三等分点，又//，故；； 由（1）知，，故三角形为等边三角形，； 在三角形中，，又，故； 又面面，故，故三角形为直角三角形； 故.，故， 故平面与平面的夹角的正弦值为. 如图，在多面体中，若四边形是边长为2的正方形，，都是边长为2的等边三角形，且，，分别为，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）在四棱锥中，如图， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 因为为的中点，则， 因为，分别为，的中点，四边形是边长为2的正方形，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）如图，连接，，同理可以证明平面平面， 过点作的垂线，垂足为，所以平面， 在等边中，为的中点，. 因为，为的中点，所以. 又，，所以，所以， 取的中点，连接，因为，所以， 又因为，，所以， 所以与所成的角就是二面角的平面角， 以为坐标原点，以，分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 所以， 所以二面角的余弦值为． 如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面； (2)设二面角为，求． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）因为平面，平面，所以， 因为与平面所成角为，所以， 则，， 因为平面，所以点到平面的距离， 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离， 在直角梯形中， 在中，在中， 则在中利用余弦定理得， 则， 则点到直线的距离为， 则. 1．如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为BC的中点，为上底面的中心． (1)证明：平面ABC； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解. (2). 【分析】（1）由已知条件中既有长度关系，又有线面位置关系与角度关系，故可建立空间直角坐标系求解. 取 为原点, 所在平面 为 平面，先求出点 的坐标，再由向量 的方向判断其与平面 的垂直关系. （2）在第(1)问所建坐标系的基础上，先求平面 与平面 的法向量， 再利用两个法向量所成角的余弦值求得两平面的夹角余弦值. 【详解】（1）以 为坐标原点， 所在平面 为 平面， 建立空间直角坐标系. 由题意可取. 设. 因为 ， 所以.(1) 又. 由 ，得即.(2) 同理， 由 ， 得即.(3) 由(2)，(3)联立可得. 代入(1)，得. 因为 在平面 的上方， 所以. 故. 于是. 因为 为上底面 的中心，所以. 所以. 而平面 的方程为 ， 其一个法向量为 . 因此 ，从而. （2）由点的坐标可知， 平面 上各点的 坐标都为 ， 故平面 的一个法向量可取为. 又 . 故平面 的一个法向量可取为. 于是两平面的夹角 满足. 故平面 与平面 的夹角的余弦值为. 2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)过点作棱的垂线，垂足为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接、交于点，证明出平面，可得出，利用勾股定理可得出，利用线面垂直判定定理可证得结论成立； （2）方法一：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果； 方法二：证明出，，可知平面与平面所成角为，求出、的值，即可求出的余弦值，即为所求. 【详解】（1）连接、，设， 因为四边形为正方形，所以，且为的中点， 因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 因为，所以，故， 因为，，、平面，所以平面. （2）解法一：因为平面，四边形为正方形， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、，， 因为，，，所以， 又因为，，、平面，所以平面． 所以取平面的一个法向量为， ，设平面的一个法向量为， 则有，取，可得， 设平面和平面的夹角为，则有， 所以平面和平面的夹角的余弦值为； 解法二：因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为、平面，所以，， 所以平面与平面所成角为， 因为平面，、平面，所以，， 因为，，，为的中点， 所以， 因为平面，所以，所以， 因为，所以， 又因为，所以，从而， 又因为，，，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以，， 因为，所以， 故平面与平面所成角的余弦值为. 3．在三棱锥中，，，为的中点，点在上，． (1)若二面角的余弦值为，，求证：平面； (2)若，平面，设点到的距离为，到平面的距离为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作出二面角的平面角，由余弦定理可得，再利用线面垂直的判定理及性质定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，根据点到点到平面距离向量可得的表答式，再利用函数单调性计算即可求解. 【详解】（1）因为，为中点，则， 又因为，则，可知二面角的平面角为， 即，且， 由余弦定理得， 由勾股定理可得，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 而，平面，所以平面． （2）设，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 设，则，， 所以，所以， 可得，， 所以， 整理可得；又因为，， 所以设平面的法向量为， 则，则， 令，则，可得， 则，可得， 因为，则，可得，， 所以的取值范围为. 4．将边长为的正方形沿对角线折叠，形成四面体． (1)证明：； (2)若二面角和的平面角互补，求； (3)证明：存在四面体，使得其内部一点O到各个平面的距离均大于． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直性质证明； （2）先根据定义得到两个二面角的平面角，再运用余弦定理写出表达式，并结合两个平面角的关系列出方程求解即可； （3）将问题转化为内切球问题，然后利用等体积法写出半径表达式，通过选取合适的折叠角使得半径满足条件. 【详解】（1）取中点，连接，因为，所以，同理有， 且，平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）可知且，所以即为二面角的平面角，设， 取中点，连接，因为，所以，同理有， 所以即为二面角的平面角，设， 在中，，设， 由余弦定理有， 在中，，同理， 由余弦定理有，依题意有， 则即，令，得到，化简得， 解得，在中有，所以，所以， 所以即. （3）我们只需要证明存在四面体， 其内切球半径， 设四面体的体积和表面积分别为和，利用等体积法可得， 其中， ， 由（1）可知，代入得， 所以，取，可得， 此时，因为， 且，所以即，命题得证. 5．如图1，分别为边长为4的正方形三边的中点.将四边形沿着线段EF折起(如图2)，且点M是线段上一点. (1)求证:； (2)若二面角的大小为 且三棱锥M-DFG的体积为 设过直线且与直线平行的平面为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在原正方形中，分别是，的中点， ，，， 平面，平面， 平面， 平面， . （2），， 就是二面角的平面角，即， 如图，以为原点，为轴，为轴，过作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， ，原正方形边长为，，分别是，的中点， ，，，， ，， ，即， ，， ，即， 是的中点， ，即， 设，即，三棱锥的体积为， ，, ， 平面，， ， ， ，解得，即， 平面过直线且与直线平行， 设平面的法向量， ，， ，即， 令，可得，，即， 平面在的平面上， 平面的法向量， 平面与平面所成角，. 6．在斜三棱柱中，，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】（1）取中点，连接，，由面面垂直的性质可得平面，再由余弦定理以及勾股定理，线面垂直判定定理证明即可. （2）由题意，建立空间直角坐标系，由向量法求解即可. 【详解】（1）如图，取中点，连接，，因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，因为， 所以在中，，解得，所以， 所以为直角三角形，所以， 因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以. （2）由（1）可得平面，且，， 因为平面，所以， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 所以，，所以，，， 因为，所以，所以， 因为，所以，因为， 所以，，因为，所以解得， 设平面的法向量为，所以，， 所以，即， 令，则，，所以， 设平面的法向量为，则， 设平面与平面的夹角， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 7．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，D为AB的中点. (1)求证：； (2)若二面角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出平面，再应用线面垂直判定定理得出平面，即可得出线线垂直； （2）先根据二面角计算边长得出△ABC是等腰直角三角形，再建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而得出线面角正弦即可. 【详解】（1）取AC中点E，连接，DE. 因为，， 所以为等边三角形，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为D，E分别为AB，AC的中点，所以. 因为，所以. 因为，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. （2）由（1）得为二面角的平面角， 因为， 所以，所以， 所以. 中，， 所以△ABC是等腰直角三角形. 连接BE，以E为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系. ，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量， 则， 即， 令，则，， 所以，. 设直线与平面所成角为， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 股份有限公司2 / 4学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $