专题02 五大类数列题型-2026年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（全国通用）

专题02 五大类数列题型-2026年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（解析版） 【题型1 错位相减求和无需错位直接出答案】 【题型2 裂项相消巧妙变形问题】 【题型3 分组求和必记常见结论】 【题型4 含类求和问题】 【题型5 含绝对值求和问题】 数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下： 一、累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 二、累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 三、构造法 1.第一种形式：形如（其中均为常数且）型的递推式 （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出 2.第二种形式：形如型的递推式 （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为第一种形式，求出 ，再用累加法便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为第一种形式便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型第一种形式的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为累加法，求出之后得． 【题型1 错位相减求和无需错位直接出答案】 错位相减；形式必须是 则 正规方法（1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． 等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设的公差为， 由题意可知， 所以，解得， 所以． （2）由， 所以①， ②， ①②得， ， ， ， 综上. 已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析，(2) 【详解】（1），且 因此，是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（1）：，因此 令 两式相减得： 所以，. 1．已知数列的前n项和为，且，且. (1)证明数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若，求正整数k的所有取值. 【答案】(1)证明见解析(2)(3)，， 【详解】（1）证明：因为，两边同时除以得，， 化简得，所以， 又，所以数列为以为首项，为公差的等差数列， 所以，. （2）解：由（1）可知，，所以， 则①， 又②， ①②得， 所以. （3）解：由（1）（2）可知，，. 所以，. 由可得，，整理可得. 令，易知在上单调递增， 在上单调递增，所以，在上单调递增. 又，， ，， 所以，当时，有，即，在，时不成立. 所以k可取，，. 2．在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1),(2) 【分析】（1）利用数列的递推关系和等比数列的性质可得； （2）根据（1）得到数列的表达式，采用错位相减法即可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，且， 因为，且，，成等比数列， 所以，即，解得(舍)， 所以； 数列的前n项和满足①， 所以当时，， 当时，②， 所以由①②得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）可得， 所以③， ④， 由③④得 ， . 3．设数列的前项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和； (3)对于（2）中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由之间的关系得数列为等比数列，由此即可得解. （2）由等比数列求和公式、错位相减法，即可得解. （3）化简得，分奇偶讨论，结合单调性求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 两式相减，得，又， 所以数列为等比数列，首项为3，公比为3， 所以数列的通项公式是. （2）因为，， 所以 所以， 则有， 两式相减得： ， 于是得. （3）不等式代入得： 两边除以整理得： ​，分奇偶讨论： 当为奇数时：，不等式化为​， 令，， 因为，所以， 对奇数单调递增，最小值为，故； 当为偶数时：，不等式化为​，即， 同理，对偶数单调递减，最大值为，故， 综上，的取值范围为： ​. 4．已知正项等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等差中项建立关于公比的方程，解方程即可得公比，再根据通项公式求解即可； （2）结合（1）得，进而根据分组求和与错位相减法求和求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为． 因为成等差数列，所以． 因为，所以，整理得， 解得或． 因为，所以， 故的通项公式为． （2）由（1）知． 记数列的前项和为，则． 因为， 所以两式相减得， 所以． 因为数列的前项和为， 所以． 5．已知数列满足，且（且）. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）构造等差数列，根据等差数列通项公式计算求解； （2）先化简，再应用错位相减法计算求解. 【详解】（1）已知，整理得 ， 即，则数列为首项 ，公差为1的等差数列， 所以 ，所以； （2），， 所以，　① ，　② 由①-②，得 ， 所以. 6．已知数列的前项和为，，设. (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列的前项和为，若数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据之间的关系，结合等比数列的定义进行运算证明即可. （2）根据（1）的结论，结合错位相减法进行求解即可；运用裂项相消法进行运算证明即可. 【详解】（1）由，得， ，得， 故，所以数列是等比数列； （2）由， 由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 因为， 所以， ， ，得， ； 故， 则. 7．已知数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)已知数列的前项和为，且是等差数列，记数列的前项和为. ①求； ②求. 【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）根据条件得数列是常数列，从而得，再利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）①根据条件，求出，再由错位相减法，即可求解；②根据①可得，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以，所以数列是常数列， 所以 ，所以， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以. （2）①因为是等差数列，所以，即， 因为，所以，解得， 因为，所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，即， 当时，，当时也成立，所以， 因为， 所以， 则， 两式相减得， 所以， ②由①可得， 所以. 8．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用与关系化简可得，结合等比数列的通项公式求解即可； （2）由（1）可得，利用错位相减法求出即可证明结论. 【详解】（1）因为在数列中，，当时，， 两式相减得，可得， 又因为时，，可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故； （2）由（1）知， 所以数列的前n项和为，① ，② ① ②得 ， 所以. 又因为，所以，所以. 【题型2：裂项相消巧妙变形问题】 裂项相消求和 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨⑩ （1）基本步骤 （2）裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （3）消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 设为等差数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记，为数列的前项和，求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）等差数列中，，， ，解得，， . （2），， . 已知数列中，，. (1)求证：数列为等差数列； (2)令的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）已知 ，且 ，由递推关系可知 对任意正整数成立， 则该递推关系可整理为 ，又首项， 因此数列是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由（1）可得，所以， 所以， 所以 记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意知，所以，即， 将替换为，得， 两式相减，得． 所以， 所以． （2）由（1）知， 所以， 1．设各项均为正数的等比数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本量法可求首项与公比，故可求通项公式； （2）求出的通项，利用裂项相消法结合不等式的性质可证题设中的不等式. 【详解】（1）设公比为，则，故， 故. （2），故， 所以. 2．已知等差数列中，，. (1)求数列的通项公式. (2)记数列的前项和为，证明. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求得数列的通项公式； （2）求出，可求得，利用裂项求和法可证得结论成立. 【详解】（1）（1）解：设等差数列的公差为， 由可得，解得， . （2）（2）解：由（1）可得， 所以，， 因此，. 3．已知数列为等差数列，前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，进而求得的通项公式； （2）由（1）求得，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为，且，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为. （2）解：由（1）知：，可得 所以数列的前项和： . 4．已知正数列的前项和为，，其中. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用递推式及的关系求得，利用等差数列的定义写出通项公式； （2）应用裂项相消法求. 【详解】（1）因为，当时，， 所以，而，则， 当时，有， 所以， 所以，， 所以，则是首项、公差均为2的等差数列， 所以. （2）因为，所以， 因此. 5．已知为等比数列的前项和，若是和的等差中项，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，若恒成立，求的表达式以及的取值范围. 【答案】(1)，. (2)， 【分析】（1）根据等比数列的通项公式和前项求和公式以及等差中项化简计算，即可求解； （2）由（1）可得，结合裂项相消求和法可得，判断为递增数列，则，进而求解. 【详解】（1）设数列的公比为，由，，成等差数列可得， 故，解得， 由，得，解得， 故，即数列的通项公式为，. （2）由（1）可得， 故， 易知单调递减，故单调递增， 即为递增数列，则， 又当时，且，所以， 故，所以. 6．已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设条件变形可得，进而可得是等差数列，运算得解； （2）由（1）求得，利用裂项相消法求和. 【详解】（1），， 是以1为首项，1为公差的等差数列. ， . （2）， . 7．已知数列中，，点（）在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：数列是等差数列； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等比数列通项公式求法求解即可； （2）根据等差数列定义证明即可； （3）根据裂项相消法计算即可求解. 【详解】（1）因为点在函数的图象上， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以是公比的等比数列， 所以； （2）因为，， 所以，， ，， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列； （3）由（2）得，， 所以， 【题型3：分组求和必记常见结论】 ①等差数列求和公式： ②等比数列求和公式： ③ ④ ⑤ 一、题型特征 数列通项不是等差、不是等比，但可以拆成等差数列 + 等比数列 + 常数项分开求和，再相加，就叫分组求和 通项形式：an = 等差 + 等比，an = 等差 - 等比，an = 指数式 + 多项式，an = 奇偶项规律不一样 二、核心解题步骤 1. 拆分通项公式，把an拆成两个数列之和 2. 分别判断拆开后的数列：等差、等比 3. 分别套用等差数列求和公式、等比数列求和公式 4. 两个和相加/相减，得到前n项和Sn 5. 化简整理最终结果 三、常见必考模型 1. an = kn + b + qⁿ等差 + 等比 分组求和 2. an = n² + 2ⁿ平方数列 + 等比数列 3. an = (-1)ⁿ·n + 2ⁿ正负交替 + 等比 4. 奇数项一个规律，偶数项一个规律 奇偶分开各自求和，再合并 四、等差求和公式 Sn = n(a1+an)/2 = na1 + n(n-1)d/2 五、等比求和公式 q≠1时Sn = a1(1-qⁿ)/(1-q) = a1(qⁿ-1)/(q-1) q=1时Sn = n·a1 六、奇偶项分组求和（高考重难点） 1. n为偶数：奇数n/2项，偶数n/2项，分别求和相加 2. n为奇数：奇数(n+1)/2项，偶数(n-1)/2项，分别求和相加易错：一定要分清项数，不能算错个数 七、正负交错数列分组 an = (-1)ⁿ n奇数项负，偶数项正，两两一组：(-1+2)+(-3+4)+……每一组和都等于1，快速分组计算 八、高频易错点 1. 等比数列求和必须讨论公比q=1 2. 奇偶项数列，项数极易算错 3. 拆分符号不要出错，减号也要分组 4. 最后结果一定要合并化简，不能保留两个求和式子 5. (-1)ⁿ 一定要分n奇、n偶两种情况写答案 九、大题标准答题模板 由通项公式可得 an = 等差数列通项 + 等比数列通项，分别对等差数列、等比数列求和 Sn = 等差前n项和 + 等比前n项和，代入公式化简，即可得出数列前n项和 已知等差数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前和为，求的值(结果可以用幂的形式表示）. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得， 所以. （2）由（1）知，当为偶数时，；当为奇数时，； 所以 . 已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由可得，结合等比数列定义即可得证； （2）由等比数列性质可得数列的通项公式，再借助等比数列求和公式分组求和即可得. 【详解】（1）由，可得， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 则. 在数列中，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）因为， 且， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）得，. 所以. 所以 . 1．已知数列满足，且（）． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及数列{an}的前n项和． 【答案】(1)证明见解析(2)， 【分析】（1）将题目的条件变形，然后结合等比数列的定义证明即可. （2）利用等比数列的通项公式结合分组求和即可. 【详解】（1）由已知，变形得， 又因为，所以，故，故． 又因为，所以， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）知数列是以2为首项，2为公比的等比数列． 所以．因此数列的通项公式为． 数列前n项和： . 2．已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式： (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意求出和的值，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式； （2）根据题意得出，故，利用分组求和计算即可. 【详解】（1）方法1：设等差数列的公差为，， 因为，所以， 又，所以，解得， 因为，所以的通项公式为； 方法2：设等差数列的公差为， 故，，所以； （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以， 因为，所以， 则 ， 所以数列的前项和为. 3．已知数列满足，，设，的前项和分别为，． (1)试求，的值并探究与的关系； (2)当时，试求的通项公式； (3)试求的值． 【答案】(1)，，； (2)； (3) 【分析】（1）根据题目条件得到，并得到当为奇数时，，求出与的关系； （2）推导出是等比数列，从而求出的通项公式； （3）求出的通项公式，从而得到，结合（1）求出答案 【详解】（1），， 故，， 当为奇数时，， 故 ； （2）当时，因为， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 则，所以； （3）时，因为， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以的前项中偶数项的和为 故． 4．已知数列的首项是，且． (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最小整数n的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 所以， 又， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 可得. （2）由（1）得为等比数列， 设数列的前项和为，， 所以， 构造函数令，根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数， 为整数，所以当，，不成立， 当，，成立， 所以满足条件的最小整数n的值为. 5．已知等差数列前项和为. (1)求数列的通项公式. (2)若数列的前项和为，且，求的最小值. 【答案】(1). (2)32. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 则由题意得：，解得， 所以， 所以. （2）令， ， ， 所以 ， 又， 因为 所以的最小值为32. 6．已知等差数列的公差为，前项和为，且，，，其中． (1)求公差及的值； (2)设数列，数列的前项和为，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）代入已知条件，计算即可解决问题； （2）利用三角函数的周期性，将数列进行分组，然后进行分组求和，先求出一个周期内的和，最后求出全部和. 【详解】（1）解：（1）， ，，． ，，，． （2）解：由（1）得，，， ． 又的周期，当时，； 当时，；当时，； 当时，，其中． 在一个周期内，，， ，， ， 数列的前20项为5个完整的周期，． 7．已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质求出，再列方程组求解； （2）利用分组求和以及等差、等比求和公式计算. 【详解】（1）设的公差为，数列的公比为， 由，得， 因为，，所以，，得，， 故，； （2）由（1）可知，， 则 【题型4：含类进行求和问题】 我们估且把这种求和的方法称为“并项 法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通项公式为的摆动数列前项和的步骤如下： 第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当为奇数时，的表达式； 第二步：然后对分奇、偶进行讨论，即当为偶数时，由 求出 ； 第三步：当为奇数且时，由求出，特别注意对时要单独讨论，即要单独求出. 第四步：将代入当为奇数且时的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示 若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 【答案】(1),(2) (3) 【分析】（1）将变形后可得，据此可求的通项，再结合累加法可求的通项； （2）利用分组求和法可求； （3）利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为，故， 故，所以为常数列， 而，故，故即. 故，所以， 由累加法可得，而， 故，而，故. （2）, 当为偶数时，. 当为奇数时，. 故. （3）当为奇数时，，当为偶数时，， 而， 令， 则， 故， 故 ， 故. 而，则， 故， 故， 故. 记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为中，且， 当时，所以， 所以，化简得，即得， 所以， 所以，当时，所以， 综上，； （2）由（1）可得， 即得， ， ， ， 所以. 1．已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 【答案】(1)；(2)证明见解析； (3). 【分析】（1）变形给定等式，构造常数列求出通项公式. （2）利用等比数列前n项和公式，结合差值比较法推理证明. （3）按为偶数、奇数分类，利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，即， 因此，数列是常数列，则，即， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，则，数列是等比数列， 则，，， ， ，因此， 所以对任意，. （3）由（1）得，所以，， 则， 当n为偶数时，， 设，， ， ， 两式相减得 ，于是， 又， 因此； 当n为奇数时，， ，而满足上式， 所以. 2．已知点在函数的图象上，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2)1013 【分析】（1）根据题意代入点解得，则，分和两种情况，结合与之间的关系运算求解； （2）根据题意可得，令，可得当n为奇数时，，利用并项求和法运算求解. 【详解】（1）因为点在函数的图象上，则， 解得，即，则， 当时，则； 当时，则，可得； 且符合上式，所以. （2）因为，则， 令，数列的前n项和为， 当n为奇数时，， 可得， 所以数列的前2026项和为1013. 3．已知数列满足，． (1)求，，的值，并猜测的通项公式；（无需证明猜测） (2)设，求数列的前项和； (3)设，数列的前项和为．若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)，，， (2). (3) 【分析】（1）根据已知递推公式，代入，求出，，的值，然后根据等差数列的定义得出通项公式； （2）分奇偶讨论，并项求和；（3）先裂项求和求出，根据数列的单调性求出的最值，进而求出的最小值. 【详解】（1）已知，， ，，， ， 因为，，所以. 则 ，即， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . （2）， 为偶数时，， 为奇数时，， 所以. （3）， ， 随着的增大，减小，增大，所以， 若对任意，不等式恒成立， 所以，实数的最小值为. 4．已知数列中，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求； (3)数列满足：，求的最大项． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)1 【分析】（1）通过对递推式两边同除以，构造出等差数列，进而求出数列的通项公式； （2）根据的奇偶性，对进行分组求和，得到统一的表达式； （3）先求出数列的通项，再构造辅助数列，通过函数单调性分析其最大项. 【详解】（1）等式两边同除以，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．由上知，即得． （2）由（1）知，． 当为偶数时， 当为奇数时，． 综上，． （3）当时，；当时， 有，可得． 所以，．记，则． 令，则， 可得在区间上单调递增，则，即得，即． 所以当时，，即，可知数列从第4项开始每一项均小于1． 因为，所以数列的最大项是第三项， 其值为1，即得数列的最大项为1． 5．已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 【答案】(1) (2)，最小值为9 【分析】（1）由等差数列的通项公式比较系数即可求解； （2）由分组求和法和并项求和法求出，再利用其单调性即可得出最小值. 【详解】（1）设的公差为d，因为， 所以，整理得， 所以，解得， 故的通项公式为． （2）由（1）， 则 易得在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为． 6．已知数列的前n项和为，且满足，又知，． (1)求，； (2)求的通项公式； (3)，求的前n项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用已知递推式结合已知条件，代入计算求解； （2）利用已知递推式，运用错位相减法求出递推关系，再分奇、偶项分类讨论求解； （3）先求出的通项公式，再根据的性质，分奇、偶数讨论求解． 【详解】（1），，， ，解得，故； 同理，解得， ． （2）①， 时， ②， 式①减②得， ， 又符合上式， 数列的奇、偶项分别成等差数列， 当时，首项，公差， 则， 当时，首项，公差， 则， 综上，． （3）， i）当时， ， ii）当时，则， ， 综上，． 7．已知等差数列，是数列的前项和，满足，；数列的各项都是正数，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前2n项和； (3)在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前2026项和． 【答案】(1)， (2) (3)2646 【分析】（1）由等差数列的基本量运算求得，求得通项；进而求得，再根据等比数列的基本量运算求得答案； （2）由（1）易得，分奇数项和偶数项，分别利用裂项相消法和公式法求解； （3）易得中截至共有项，再由时，有2016项，然后由求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，即，解得， 故； 所以，， 因为，所以数列为等比数列，设公比为， 则，得，又，所以， 所以. （2）由（1），可得， 设的前项和中，偶数项的和为，奇数项的和为， 所以，， 当为偶数时，， ， 当为奇数时，， ， 所以. （3）， 截至共有项， 当时，， . 8．数列的前n项和，数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用与的关系可求数列的通项公式，当时，由已知可得，两式相除可求数列的通项公式； （2）结合（1），利用分组求和法可求数列的前100项和． 【详解】（1）令，则，， 当时，，也符合上式，∴； 当时，由，可得， 两式相除可得，也符合上式，∴． （2），，，…，， ，，，…，， 将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次， 则，，…， ，，，…，， ∴ ． 【题型5：含绝对值求和问题】 一、题型特征 等差数列an带有绝对值 an=|kn+b|，数列项先正后负 / 先负后正 需要找到正负分界项，分段去掉绝对值再求和 二、核心解题思路 1. 先不看绝对值，判断原数列是等差数列 2. 求an=0时n的值，找到正负分界项k 3. n≤k时，an符号一致 n＞k时，an符号相反 4. 分段求和：前k项直接求和，后面各项取相反数求和 5. 分n≤k、n＞k两种情况写Sn 三、标准解题步骤 1. 求数列通项an，判断等差公差d 2. 令an≥0，解出正项最大项序号k 3. 当n≤k时，|an|=an，Sn=原数列前n项和 4. 当n＞k时 Sn=2×前k项和 - 原数列前n项和 四、万能公式结论 设第k项开始变号 n≤k ，Sn=Sn原 n＞k ，Sn=2Sk - S原n 五、正负规律 1. 公差d＞0，数列递增：先负后正 2. 公差d＜0，数列递减：先正后负 3. 分界项一定是整数，不是整数就近取整 六、常见易错点 1. 分界项k一定要取正整数，不能直接用小数 2. 分界项本身符号不要搞错 3. n＞k时，后面每一项都要变号，不是只变一项 4. 必须分两种情况写答案，不能合并 5. 等差数列求和公式不要代错首项、项数 七、大题标准答题模板 如果数列为等差数列，为其前项和，那么有： ①若则有 ②若则有 如果数列为等比数列，为其前项和，那么有： 八、交错绝对值特殊题型 an=(-1)ⁿ|an| 奇偶分开分组，奇数一组、偶数一组 分别求和再相加减，注意项数计算给出数列，要求数列的前项和，必须分清取什么值时 数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为， 当时，则； 当时，则， 可得； 综上所述：. （2）因为， 当时，； 当时，令，解得；令，解得； 综上所述：当时，；当时，. 当时，则； 当时，则 ； 综上所述：. 记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式an与前n项和公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）设的公差为，则， 解得，所以的通项公式为， ； （2）由（1）得，令，解得， 当时，数列的前项均为正数， 则； 当时，数列的前7项为正数，从第8项至第项为负数， 则， ， 综上，. 1．在数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前100项和. 【答案】(1)；(2)4222. 【详解】（1）当时，由，得，因此数列是常数列，，则， 时，，也满足, 则，所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以. 2．已知等差数列，满足，. (1)求的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求. 【答案】(1) (2)130 【分析】（1）求出其公差，写出通项即可； （2）当时，，则，利用等差数列求和公式求解. 【详解】（1）设的公差为， （2）由（1）可知，令，则， 当时，，当时，， . 3．已知是等差数列的前项和，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前20项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的求和公式建立方程组可得答案； （2）先求出的通项公式，根据等差数列求和公式可得答案. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 则 解得， 故的通项公式为. （2）由（1）可知，， 所以易知为等差数列. 当时，，则， 设的前项和为，则， 所以数列的前20项和为 4．已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求及 (2)若，求数列的前20项和． 【答案】(1)证明见解析，， (2) 【分析】（1）先对已知条件变形得到，判断为等差数列，求出，再由求出通项公式，并验证是否成立，求出. （2）先求出，进而得到的分段表达式，再分别计算不同段的和得到. 【详解】（1）由题意可得：， 化简可得：， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. （2）因为， 所以， 所以，数列的前项和为： . 5．记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于与的方程组，计算即可求解； （2）先求，讨论的符号去绝对值，再结合运算求解. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意可得，解得，   所以 ； （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ；       综上所述：. 6．在数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将递推关系式变形，构造常数列，从而求得通项公式； （2）根据绝对值表达式进行分类讨论，借助等差数列求和公式分别计算不同区间的前 项和，最终整合成分段函数形式. 【详解】（1）由，可得， 又， ， 即数列的通项公式为. （2）由（1）知， 设的前项和为，其中， 故， 当时，，当时，， ∴当时，； 当时， ， 综上，数列的前项和. 7．已知数列满足，，数列为等差数列，为与的等差中项，且. (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由题意可得，可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，进而可求数列的通项公式； （2）设数列公差为，利用已知求得数列的通项公式.法一：当时，，当时，，进而计算可求得.法二：记数列前项和为，利用等差数列的前项和公式求得，结合，可求. 【详解】（1）因为，所以， 即， 又因为，所以，即. 所以，数列是以2为首项，2为公比的等比数列. 则，所以. （2）设数列公差为， 由（1）知，， 因为为与的等差中项，所以， 又因为，则. 所以. 解法一： 当时，， 当时，， . 综上，数列的前项和. 解法二： 记数列前项和为，则 . 又因为， 当时，. 当时， . 综上，数列的前项和 8．设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项的和. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立关于公差、公比的方程组求解. （2）由（1）求出，再按分段，利用等差数列前n项和公式求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，， 由，得，解得， 所以的通项公式为，的通项公式为. （2）由（1）得，则 当时，； 当时， ， 所以. 学科网（北京）股份有限公司2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 五大类数列题型-2026年高考数学大题秒杀技巧及专项训练（原卷版） 【题型1 错位相减求和无需错位直接出答案】 【题型2 裂项相消巧妙变形问题】 【题型3 分组求和必记常见结论】 【题型4 含类求和问题】 【题型5 含绝对值求和问题】 数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下： 一、累加法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 二、累乘法 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 三、构造法 1.第一种形式：形如（其中均为常数且）型的递推式 （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出 2.第二种形式：形如型的递推式 （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为第一种形式，求出 ，再用累加法便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为第一种形式便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型第一种形式的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为累加法，求出之后得． 【题型1 错位相减求和无需错位直接出答案】 错位相减；形式必须是 则 正规方法（1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． 等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 1．已知数列的前n项和为，且，且. (1)证明数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若，求正整数k的所有取值. 2．在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 3．设数列的前项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和； (3)对于（2）中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 4．已知正项等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 5．已知数列满足，且（且）. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 6．已知数列的前项和为，，设. (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列的前项和为，若数列的前项和为，求证：. 7．已知数列满足. (1)求数列的通项公式. (2)已知数列的前项和为，且是等差数列，记数列的前项和为. ①求； ②求. 8．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【题型2：裂项相消巧妙变形问题】 裂项相消求和 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨⑩ （1）基本步骤 （2）裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （3）消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 设为等差数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记，为数列的前项和，求. 已知数列中，，. (1)求证：数列为等差数列； (2)令的前项和为，求证：. 记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 1．设各项均为正数的等比数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 2．已知等差数列中，，. (1)求数列的通项公式. (2)记数列的前项和为，证明. 3．已知数列为等差数列，前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 4．已知正数列的前项和为，，其中. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 5．已知为等比数列的前项和，若是和的等差中项，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，若恒成立，求的表达式以及的取值范围. 6．已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 7．已知数列中，，点（）在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：数列是等差数列； (3)设，求数列的前项和. 【题型3：分组求和必记常见结论】 ①等差数列求和公式： ②等比数列求和公式： ③ ④ ⑤ 一、题型特征 数列通项不是等差、不是等比，但可以拆成等差数列 + 等比数列 + 常数项分开求和，再相加，就叫分组求和 通项形式：an = 等差 + 等比，an = 等差 - 等比，an = 指数式 + 多项式，an = 奇偶项规律不一样 二、核心解题步骤 1. 拆分通项公式，把an拆成两个数列之和 2. 分别判断拆开后的数列：等差、等比 3. 分别套用等差数列求和公式、等比数列求和公式 4. 两个和相加/相减，得到前n项和Sn 5. 化简整理最终结果 三、常见必考模型 1. an = kn + b + qⁿ等差 + 等比 分组求和 2. an = n² + 2ⁿ平方数列 + 等比数列 3. an = (-1)ⁿ·n + 2ⁿ正负交替 + 等比 4. 奇数项一个规律，偶数项一个规律 奇偶分开各自求和，再合并 四、等差求和公式 Sn = n(a1+an)/2 = na1 + n(n-1)d/2 五、等比求和公式 q≠1时Sn = a1(1-qⁿ)/(1-q) = a1(qⁿ-1)/(q-1) q=1时Sn = n·a1 六、奇偶项分组求和（高考重难点） 1. n为偶数：奇数n/2项，偶数n/2项，分别求和相加 2. n为奇数：奇数(n+1)/2项，偶数(n-1)/2项，分别求和相加易错：一定要分清项数，不能算错个数 七、正负交错数列分组 an = (-1)ⁿ n奇数项负，偶数项正，两两一组：(-1+2)+(-3+4)+……每一组和都等于1，快速分组计算 八、高频易错点 1. 等比数列求和必须讨论公比q=1 2. 奇偶项数列，项数极易算错 3. 拆分符号不要出错，减号也要分组 4. 最后结果一定要合并化简，不能保留两个求和式子 5. (-1)ⁿ 一定要分n奇、n偶两种情况写答案 九、大题标准答题模板 由通项公式可得 an = 等差数列通项 + 等比数列通项，分别对等差数列、等比数列求和 Sn = 等差前n项和 + 等比前n项和，代入公式化简，即可得出数列前n项和 已知等差数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前和为，求的值(结果可以用幂的形式表示）. 已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和. 在数列中，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 1．已知数列满足，且（）． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式及数列{an}的前n项和． 2．已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式： (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． 3．已知数列满足，，设，的前项和分别为，． (1)试求，的值并探究与的关系； (2)当时，试求的通项公式； (3)试求的值． 4．已知数列的首项是，且． (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最小整数n的值． 5．已知等差数列前项和为. (1)求数列的通项公式. (2)若数列的前项和为，且，求的最小值. 6．已知等差数列的公差为，前项和为，且，，，其中． (1)求公差及的值； (2)设数列，数列的前项和为，求． 7．已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【题型4：含类进行求和问题】 我们估且把这种求和的方法称为“并项 法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如通项公式为的摆动数列前项和的步骤如下： 第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当为奇数时，的表达式； 第二步：然后对分奇、偶进行讨论，即当为偶数时，由 求出 ； 第三步：当为奇数且时，由求出，特别注意对时要单独讨论，即要单独求出. 第四步：将代入当为奇数且时的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示 若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若求数列的前项和. 记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 1．已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 2．已知点在函数的图象上，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2026项和． 3．已知数列满足，． (1)求，，的值，并猜测的通项公式；（无需证明猜测） (2)设，求数列的前项和； (3)设，数列的前项和为．若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值． 4．已知数列中，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求； (3)数列满足：，求的最大项． 5．已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 6．已知数列的前n项和为，且满足，又知，． (1)求，； (2)求的通项公式； (3)，求的前n项和． 7．已知等差数列，是数列的前项和，满足，；数列的各项都是正数，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前2n项和； (3)在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前2026项和． 8．数列的前n项和，数列满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和． 【题型5：含绝对值求和问题】 一、题型特征 等差数列an带有绝对值 an=|kn+b|，数列项先正后负 / 先负后正 需要找到正负分界项，分段去掉绝对值再求和 二、核心解题思路 1. 先不看绝对值，判断原数列是等差数列 2. 求an=0时n的值，找到正负分界项k 3. n≤k时，an符号一致 n＞k时，an符号相反 4. 分段求和：前k项直接求和，后面各项取相反数求和 5. 分n≤k、n＞k两种情况写Sn 三、标准解题步骤 1. 求数列通项an，判断等差公差d 2. 令an≥0，解出正项最大项序号k 3. 当n≤k时，|an|=an，Sn=原数列前n项和 4. 当n＞k时 Sn=2×前k项和 - 原数列前n项和 四、万能公式结论 设第k项开始变号 n≤k ，Sn=Sn原 n＞k ，Sn=2Sk - S原n 五、正负规律 1. 公差d＞0，数列递增：先负后正 2. 公差d＜0，数列递减：先正后负 3. 分界项一定是整数，不是整数就近取整 六、常见易错点 1. 分界项k一定要取正整数，不能直接用小数 2. 分界项本身符号不要搞错 3. n＞k时，后面每一项都要变号，不是只变一项 4. 必须分两种情况写答案，不能合并 5. 等差数列求和公式不要代错首项、项数 七、大题标准答题模板 如果数列为等差数列，为其前项和，那么有： ①若则有 ②若则有 如果数列为等比数列，为其前项和，那么有： 八、交错绝对值特殊题型 an=(-1)ⁿ|an| 奇偶分开分组，奇数一组、偶数一组 分别求和再相加减，注意项数计算给出数列，要求数列的前项和，必须分清取什么值时 数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式an与前n项和公式； (2)求数列的前n项和. 1．在数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前100项和. 2．已知等差数列，满足，. (1)求的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求. 3．已知是等差数列的前项和，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前20项和． 4．已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求及 (2)若，求数列的前20项和． 5．记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 6．在数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 7．已知数列满足，，数列为等差数列，为与的等差中项，且. (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 8．设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项的和. 学科网（北京）股份有限公司2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $