第10章 整式的乘法与除法（知识清单）数学新教材青岛版七年级下册

第10章 整式的乘法与除法 1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即． 2. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：； ． 3.幂的乘方，底数不变，指数相乘。即． 4. 积的乘方等于各因数乘方的积。即． 5.同底数幂相除，底数不变，指数相减。即． 6.单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 7.单项式与单项式相乘的注意事项： 1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． 2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． 3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式． 8.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）． 9.单项式与多项式相乘的注意事项： 1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项． 2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． 3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． 10.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 11.多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即 （m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc． 12.多项式与多项式相乘的注意事项： 1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏． 2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． 13.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．即 14.平方差公式的特点 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． ②右边是相同项的平方减去相反项的平方． ③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式． 15.完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．即， 16.完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同． 17.单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 18.单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式． 19.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 20.多项式除以单项式的注意事项： 1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号． 2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． 3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验． 易错点1 同底数幂的运算混淆 错误：混淆同底数幂的乘除与加减运算规则，误将指数直接相加/减；混淆幂的乘方与同底数幂乘法，误将指数相加。 注意：明确区分运算法则，乘除运算针对指数，加减运算仅同类项可合并；幂的乘方是指数相乘，同底数幂乘法是指数相加。 例题1下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故计算错误； B、，故计算正确； C、，故计算错误； D、，故计算错误． 易错点2 底数符号处理失误 错误：忽略底数的负号，尤其底数为负数或含负号的多项式时，未根据指数奇偶性判断符号，或随意改变底数符号。 注意：底数的符号需全程参与运算，指数为奇数时保留负号，指数为偶数时结果为正；底数为多项式时，整体视为底数，不随意拆分符号。 例题2 计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）原式； （2）． 易错点3 多项式乘多项式漏乘、错乘项 错误：多项式乘多项式时，漏乘某一项，或重复相乘；展开后同类项合并不彻底，或符号错误。 注意：严格按照“每一项乘每一项”的规则展开，避免漏乘；展开后按次数整理同类项，合并时注意系数符号。 例题3 小明在计算一个多项式乘以多项式时，因将乘法看错成了加法，得到的结果为． (1)请求出多项式； (2)请你帮助小明计算出正确的结果． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，小明误算为， ． （2）解：正确结果为，代入， ． 正确结果为：． 易错点4 平方差公式结构误判 错误：误将非“和与差”的乘积套用平方差公式；无法准确识别公式中的“相同项”与“相反项”，导致符号或结果错误。 注意：平方差公式仅适用于“两个数的和与差的乘积”，需明确区分相同项与相反项，结果为相同项的平方减去相反项的平方。 例题4 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A. 中，相同项为，与互为相反数，符合要求，可以用平方差公式计算； B. 中，两项都相同，没有互为相反数的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； C. ，相同项为，与互为相反数，符合要求，可以用平方差公式计算； D. 直接符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算 易错点5完全平方公式结构混淆 错误：混淆和的完全平方与差的完全平方，误将结果写成平方和；漏写中间的交叉项；中间项的符号处理错误。 注意：完全平方公式结果为两数的平方和加上或减去两数积的2倍，需根据两数和或差确定中间项符号，不可遗漏交叉项。 例题5 下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意． 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A、，则A错误； 选项B、，则B错误； 选项C、，则C正确； 选项D、，则D错误． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：与不是同类项，不能合并，选项A，B错误； ，选项C错误； ，选项D正确． 3．下列乘法公式的运用中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，A错误； B、，B错误； C、 ，C正确； D、 ，D错误． 4．若可以用平方差公式进行计算，则横线上的代数式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，是完全平方形式，不符合平方差公式结构， ∴该选项错误； B、，符合平方差公式结构， ∴该选项正确； C、，不存在完全相同的项，也不存在互为相反数的对应项，不符合平方差公式结构， ∴该选项错误； D、，是完全平方形式， ∴该选项错误． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A、，故A计算错误； 选项B、，故B计算正确； 选项C、，故C计算错误； 选项D、与不是同类项，不能合并，故D计算错误． 6．下列各式：①，②，③，④中，是完全平方式的有_____．（填序号） 【答案】③④ 【详解】解：① 对于，不是完全平方式； ② 对于，不是完全平方式； ③ 对于，整理得，是完全平方式； ④ 对于，整理得，是完全平方式． 7．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．小刚同学做一道整式乘法的题目，他误将中前面的“”抄成了“”，得到的结果为．根据上述信息，回答下列问题： (1)__________； (2)求出的正确结果． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：由题意，得 ， ； （2）解： ； 10．在一次单元测验中，嘉嘉在计算一道整式乘法式子时，由于抄错了第一个多项式中常数项的符号，实际计算了，得到的计算结果是． 根据以上信息，解决下面的问题． (1)求出整式乘法式子中b的值． (2)计算出这道整式乘法式子的正确结果． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ∵计算结果是， ∴， 解得：； （2）解： ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 整式的乘法与除法 1. 同底数幂相乘，________________，______________．即． 2. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：； ． 3.幂的乘方，________________，_________________。即． 4. 积的乘方等于________________________。即． 5.同底数幂相除，________________，___________________。 即． 6.单项式与单项式相乘，把它们的_______、__________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则__________________________________． 7.单项式与单项式相乘的注意事项： 1）只在一个单项式里含有的字母，要______________________________，注意不要把这个因式遗漏． 2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘____________________． 3）单项式乘单项式的结果仍然是____________． 8.单项式与多项式相乘，就是用单项式去_______________________，再把所得的积___________．用式子表示：m（a+b+c）=___________________（m，a，b，c都是单项式）． 9.单项式与多项式相乘的注意事项： 1）单项式与多项式相乘，结果是一个___________，其项数与因式中______________________，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项． 2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都_____________________________，同时还要注意_________________． 3）对于混合运算，应注意______________，有同类项必须__________，从而得到最简结果． 10.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘___________________________，再把所得的积相加． 11.多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即 （m+n）（a+b+c）=__________________________=______________________________． 12.多项式与多项式相乘的注意事项： 1）运用多项式乘法法则时，必须做到___________________． 2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于__________________________． 13.两个数的和与这两个数的差的积，等于_______________________．即____________________________. 14.平方差公式的特点 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项______________，另一项___________________． ②右边是____________________减去__________________． ③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式． 15.完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的______________，加上（或减去）它们的__________________．即________________________，____________________________ 16.完全平方公式的特点：两个公式的左边都是____________________，二者仅有一个__________不同；右边都是_________________，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同． 17.单项式相除，把___________________________作为商的因式，对于________________________，则连同它的指数作为商的一个因式． 18.单项式除以单项式法则的实质是_________________________________________________，运算结果仍是单项式． 19.多项式除以单项式，先把这个____________________除以这个单项式，再把所得的_______________． 20.多项式除以单项式的注意事项： 1）多项式除以单项式是将其化为_____________________，在计算时多项式里的各项要包括__________________． 2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商_________________，不要漏项． 3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验． 易错点1 同底数幂的运算混淆 错误：混淆同底数幂的乘除与加减运算规则，误将指数直接相加/减；混淆幂的乘方与同底数幂乘法，误将指数相加。 注意：明确区分运算法则，乘除运算针对指数，加减运算仅同类项可合并；幂的乘方是指数相乘，同底数幂乘法是指数相加。 例题1下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 易错点2 底数符号处理失误 错误：忽略底数的负号，尤其底数为负数或含负号的多项式时，未根据指数奇偶性判断符号，或随意改变底数符号。 注意：底数的符号需全程参与运算，指数为奇数时保留负号，指数为偶数时结果为正；底数为多项式时，整体视为底数，不随意拆分符号。 例题2 计算下列各题： (1)； (2)． 易错点3 多项式乘多项式漏乘、错乘项 错误：多项式乘多项式时，漏乘某一项，或重复相乘；展开后同类项合并不彻底，或符号错误。 注意：严格按照“每一项乘每一项”的规则展开，避免漏乘；展开后按次数整理同类项，合并时注意系数符号。 例题3 小明在计算一个多项式乘以多项式时，因将乘法看错成了加法，得到的结果为． (1)请求出多项式； (2)请你帮助小明计算出正确的结果． 易错点4 平方差公式结构误判 错误：误将非“和与差”的乘积套用平方差公式；无法准确识别公式中的“相同项”与“相反项”，导致符号或结果错误。 注意：平方差公式仅适用于“两个数的和与差的乘积”，需明确区分相同项与相反项，结果为相同项的平方减去相反项的平方。 例题4 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 易错点5完全平方公式结构混淆 错误：混淆和的完全平方与差的完全平方，误将结果写成平方和；漏写中间的交叉项；中间项的符号处理错误。 注意：完全平方公式结果为两数的平方和加上或减去两数积的2倍，需根据两数和或差确定中间项符号，不可遗漏交叉项。 例题5 下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列乘法公式的运用中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若可以用平方差公式进行计算，则横线上的代数式可能是（    ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下列各式：①，②，③，④中，是完全平方式的有_____．（填序号） 7．计算： (1) (2) 8．计算： (1)； (2)． 9．小刚同学做一道整式乘法的题目，他误将中前面的“”抄成了“”，得到的结果为．根据上述信息，回答下列问题： (1)__________； (2)求出的正确结果． 10．在一次单元测验中，嘉嘉在计算一道整式乘法式子时，由于抄错了第一个多项式中常数项的符号，实际计算了，得到的计算结果是． 根据以上信息，解决下面的问题． (1)求出整式乘法式子中b的值． (2)计算出这道整式乘法式子的正确结果． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $