山东省济南市备考卷（2-1）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学备考卷

【三轮复习】2026年山东省济南市中考数学备考卷（2-1） 一．选择题（共10小题） 1．﹣2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 2．如图1为云纹青铜大铙，它是西周乐器、鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了我国古代青铜文化曾经的历史和辉煌、图2为其示意图，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 3．据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有1500万种左右，数字1500万用科学记数法表示为（　　） A．1.5×103 B．1.5×106 C．1.5×107 D．15×106 4．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（　　） A．（x+3y）2＝x2+9y2 B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 C．x2•x5＝x10 D．3x2y﹣2xy2＝xy 6．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．|a|＞|b| B．a+b＜0 C．a+2＞b+2 D．|a﹣1|＞|b﹣1| 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝7，则sinB等于（　　） A． B． C． D． 8．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟中恰好1只雄鸟1只雌鸟的概率是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在AB和BC上分别截取BM和BN，使BM＝BN，分别以M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O，作射线BO交AC于点D； ②分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交AC，BC于点E和点F． 根据以上作图，若∠A＝54°，∠C＝18°，AD＝4，BC＝10，则CF的长为（　　） A．4 B． C． D．5 10．若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，则有下列结论：①a+c＝0；②b＝4；③；④﹣1＜a＜0，其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二．填空题（共5小题） 11．要使分式有意义，x应满足的条件是　 　 ． 12．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝　 　 ． 14．如图，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，∠EFD的平分线与AB交于点G，过点G作GH⊥EF于点H，∠1＝20°，则∠2＝　 　 度． 15．将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为GM，展开后，沿GE、GF折叠，使点A、点B的对应点都落在折痕GM上，再次展开后，沿CH折叠，点B点的对应点为点E．点I为线段ED上一点，将纸片沿CI折叠，点D的对应点D1落在CE上，若AB＝4，则EI的长为　 　 ． 三．解答题（共10小题） 16．计算：． 17．解不等式组并写出它的所有的整数解． 18．如图，在菱形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF．求证：∠AEF＝∠AFE． 19．图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕中心P（点P是AB中点）的视线EP与水平线EA形成的夹角∠E＝18°时，观看屏幕最舒适，此时AC⊥CD，∠BCD＝30°，∠APE＝90°．已知液晶显示屏的宽AB为34cm． （1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE（结果精确到1cm）； （2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC（结果精确到1cm）． （参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.95，， 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，ED，AB的延长线交于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BF＝4，且，求⊙O的半径与线段AE的长． 21．某校开展了“安全伴我行”宣传教育活动．为了解活动效果，随机从该校抽取m名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为A，B，C，D四个等级．将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 等级 成绩x 频数 A 90≤x＜100 46 B 80≤x＜90 n C 70≤x＜80 32 D 0≤x＜70 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出m，p的值； （2）抽取的这m名学生中，其成绩的中位数落在 　 　 等级； （3）该校有2000名学生参加这次测试，请估计有多少名学生的成绩达到A等级． 22．为响应“绿色出行”号召，某社区计划采购共享单车和共享电动车两种代步工具，已知共享电动车的单价比共享单车贵200元，用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同． （1）求共享单车和共享电动车的单价各是多少元？ （2）该社区计划采购两种代步工具共30辆，且共享单车的采购数量不大于共享电动车采购数量的2倍，请问采购多少辆共享单车时，总费用最少？最少总费用是多少元？ 23．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，在第一象限内以OA为边作▱OABC，点C在反比例函数的图象上，D是边AB的中点，点C的横坐标为2． （1）如图1，若点D的纵坐标为，求反比例函数的解析式； （2）如图2，若点D在反比例函数图象上且△OCD∽△CDB，求▱OABC的面积； （3）如图3，在（1）的条件下，将直线l1：yx向上平移得到直线l2，直线l2与双曲线交于M1，M2两点，点P为M1M2的中点，过点M1作M1N⊥l1于点N．试探究的值是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 24．如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l：y＝x﹣3经过B，C两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知P为线段BC上一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N． ①当PM的长度随t的增大而增大时，请直接写出t的取值范围； ②当时，求点P的横坐标； （3）如图2，将二次函数y＝x2+bx+c在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线l′，直接写出当直线l′与这个新图象分别有2个或3个公共点时，n的取值范围或n的值． 25．【问题呈现】 如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．易知　 　 ． 【类比探究】 如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．则　 　 ． 【拓展提升】 如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且，连接BD，CE． （1）求的值； （2）延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【三轮复习】2026年山东省济南市中考数学备考卷（2-1） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．﹣2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 【解答】解：﹣2026的相反数是2026． 故选：B． 2．如图1为云纹青铜大铙，它是西周乐器、鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了我国古代青铜文化曾经的历史和辉煌、图2为其示意图，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据主视图可判断它的左视图是， 故选：A． 3．据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有1500万种左右，数字1500万用科学记数法表示为（　　） A．1.5×103 B．1.5×106 C．1.5×107 D．15×106 【解答】解：1500万＝15000000＝1.5×107． 故选：C． 4．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据轴对称图形和中心对称图形的概念分析判断如下： A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 5．下列计算正确的是（　　） A．（x+3y）2＝x2+9y2 B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 C．x2•x5＝x10 D．3x2y﹣2xy2＝xy 【解答】解：A．（x+3y）2＝x2+6xy+9y2，因此选项A不符合题意； B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，因此选项B符合题意； C．x2•x5＝x2+5＝x7，因此选项C不符合题意； D．3x2y与2xy2不是同类项，不能合并计算，因此选项D不符合题意； 故选：B． 6．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．|a|＞|b| B．a+b＜0 C．a+2＞b+2 D．|a﹣1|＞|b﹣1| 【解答】解：根据实数a，b在数轴上对应点的位置，得：﹣1＜a＜0，1＜b＜2， ∴|a|＜|b|，a+b＞0，a＜b，|a﹣1|＞|b﹣1|， 故选项A，B不正确，不符合题意；选项D正确，符合题意； ∵a＜b， ∴a+2＜b+2， 故选项C不正确，不符合题意． 故选：D． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝7，则sinB等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝7， ∴sinB， 故选：C． 8．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟中恰好1只雄鸟1只雌鸟的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：列表如下： 雌 雄 雌 （雌，雌） （雌，雄） 雄 （雄，雌） （雄，雄） 共有4种等可能的结果，其中恰好1只雄鸟1只雌鸟的结果有2种， ∴恰好1只雄鸟1只雌鸟的概率为． 故选：A． 9．如图，在△ABC中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在AB和BC上分别截取BM和BN，使BM＝BN，分别以M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O，作射线BO交AC于点D； ②分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交AC，BC于点E和点F． 根据以上作图，若∠A＝54°，∠C＝18°，AD＝4，BC＝10，则CF的长为（　　） A．4 B． C． D．5 【解答】解：连接DF， ∵∠C＝18°，∠A＝54°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣18°﹣54°＝108°， 由作法得BD平分∠ABC，PQ垂直平分CD， ∴∠ABD＝∠CBD＝54°， ∴∠A＝∠ABD＝54°， ∵AD＝4， ∴BD＝AD＝4， ∵CF＝DF， ∴∠C＝∠CDF＝18°， ∴∠DFB＝∠C+∠CDF＝36°， ∴∠BDF＝180°﹣∠DFB﹣∠CBD＝90°， 设CF＝DF＝x，则BF＝BC﹣CF＝10﹣x， 则BF2＝BD2+DF2， ∴（10﹣x）2＝16+x2， 解得． 故选：B． 10．若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，则有下列结论：①a+c＝0；②b＝4；③；④﹣1＜a＜0，其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”， ∴A，B关于原点对称， ∴m＝4，n＝﹣1， ∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得， ∴． ∴①②正确， ∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧， ∴， ∴， ∴﹣1＜a＜0，④正确， ∵a+c＝0， ∴0＜c＜1，c＝﹣a， 当时，， ∵﹣1＜a＜0， ∴． ∴，③错误． 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．要使分式有意义，x应满足的条件是x≠2　 ． 【解答】解：根据分母不等于0得分母x﹣2≠0， 解得x≠2， 故答案为：x≠2． 12．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 　　 ． 【解答】解：通过连接小正方形的对角线，如图， 9个小正方形被分成18个全等的等腰直角三角形，其中阴影区域占6个全等的等腰直角三角形， ∴P（最终停留在阴影区域）， 故答案为：． 13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝　50°　 ． 【解答】解：∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠EAD+∠2， ∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝30°﹣20°＝10°， Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD ＝90°﹣30°﹣10°＝50°． 故答案为50°． 14．如图，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，∠EFD的平分线与AB交于点G，过点G作GH⊥EF于点H，∠1＝20°，则∠2＝　50　 度． 【解答】解：∵FG平分∠EFD，∠1＝20°， ∴∠EFD＝2∠1＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠HEB＝∠EFD＝40°， ∵GH⊥EF， ∴∠GHE＝90°， ∴在△EGH中，∠2＝180°﹣90°﹣∠GHE＝180°﹣90°﹣40°＝50°， 故答案为：50． 15．将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为GM，展开后，沿GE、GF折叠，使点A、点B的对应点都落在折痕GM上，再次展开后，沿CH折叠，点B点的对应点为点E．点I为线段ED上一点，将纸片沿CI折叠，点D的对应点D1落在CE上，若AB＝4，则EI的长为　　 ． 【解答】解：∵矩形ABCD中，对折AD与BC重合，得G是AB中点， ∴， 沿GE折叠A到GM上，得 AE＝AG＝2， 沿CH折叠B对应点为E，得CE＝BC＝AD， 设BC＝AD＝a， 对CE用勾股定理：CE2＝（a﹣AE）2+AB2， 代入CE＝a，AE＝2，AB＝4， 得：a2＝（a﹣2）2+42， 展开解得a＝5，即AD＝BC＝CE＝5， ∴ED＝AD﹣AE＝5﹣2＝3， 沿CI折叠D到CE上的D1，得CD1＝CD＝AB＝4，ID1＝ID， ∴ED1＝CE﹣CD1＝5﹣4＝1， 设El＝x，则ID＝3﹣x，故lD1＝3﹣x， 由折叠性质得∠ED1I＝90°， 在Rt△ED1I中：x2＝12+（3﹣x）2， 展开化简得6x＝10， 解得， 即， 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 16．计算：． 【解答】解： ＝1+4﹣2+2+1 ＝6． 17．解不等式组并写出它的所有的整数解． 【解答】解：， 解①得：x≥﹣1， 解②得：x＜3． 则不等式组的解集是：﹣1≤x＜3． 则整数解是：﹣1，0，1，2． 18．如图，在菱形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF．求证：∠AEF＝∠AFE． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE． 19．图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕中心P（点P是AB中点）的视线EP与水平线EA形成的夹角∠E＝18°时，观看屏幕最舒适，此时AC⊥CD，∠BCD＝30°，∠APE＝90°．已知液晶显示屏的宽AB为34cm． （1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE（结果精确到1cm）； （2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC（结果精确到1cm）． （参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.95，， 【解答】解：（1）依题意得：∠APE＝90°，∠E＝18°，AB＝34cm，点P是AB中点， ∴△AEP是直角三角形，APAB＝14（cm）， 在Rt△AEP中，sinE， ∴AE57（cm）， 答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为57cm． （2）过点B作BF⊥AC于点F，如图所示： ∴∠AFB＝∠CFB＝90°， ∴△AFB和△CFB都是直角三角形， 依题意得：AE∥CD，AC⊥CD，∠BCD＝30°， ∴AE⊥AC，BF∥CD， ∴∠EAC＝90°，∠CBF＝∠BCD＝30°， 在Rt△AEP中，∠EAP＝90°﹣∠E＝90°﹣18°＝72°， ∴∠BAF＝∠EAC﹣∠EAP＝90°﹣72°＝18°， 在Rt△AFB中，sin∠BAF，cos∠BAF， ∴BF＝AB•sin∠BAF＝34×sin18°≈34×0.3＝10.2（cm），AF＝AB•cos∠BAF＝34×cos18°≈34×0.95＝32.3（cm）， 在Rt△CFB，tan∠CBF， ∴CF＝BF•tan∠CBF＝10.2×tan30°）5.78（cm）， ∴AC＝AF+CF＝32.3+5.78＝38.08≈38（cm）， 答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为38cm． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，ED，AB的延长线交于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BF＝4，且，求⊙O的半径与线段AE的长． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C． ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB． ∴∠ODB＝∠C． ∴OD∥AC． ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE． ∵OD是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：在Rt△ODF中， ∵，OB＝OD， ∴， ∴OD＝6． 即⊙O的半径为6． ∵OB＝OA＝OD＝6， ∴AF＝FB+OB+OA＝4+6+6＝16， FO＝BF+OB＝10． ∵OD⊥EF，AE⊥EF， ∴OD∥AE． ∴， ∴， ∴AE． 21．某校开展了“安全伴我行”宣传教育活动．为了解活动效果，随机从该校抽取m名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为A，B，C，D四个等级．将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 等级 成绩x 频数 A 90≤x＜100 46 B 80≤x＜90 n C 70≤x＜80 32 D 0≤x＜70 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出m，p的值； （2）抽取的这m名学生中，其成绩的中位数落在 B 等级； （3）该校有2000名学生参加这次测试，请估计有多少名学生的成绩达到A等级． 【解答】解：（1）由题意得，m＝32÷16%＝200． ∴n＝200﹣46﹣32﹣8＝114， ∴p%100%＝57%， ∴p＝57． （2）将抽取的这200名学生的成绩按照从大到小的顺序排列，排在第100和101的成绩落在B等级， 即成绩的中位数落在B等级． 故答案为：B． （3）2000460（人）． ∴约有460名学生的成绩达到A等级． 22．为响应“绿色出行”号召，某社区计划采购共享单车和共享电动车两种代步工具，已知共享电动车的单价比共享单车贵200元，用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同． （1）求共享单车和共享电动车的单价各是多少元？ （2）该社区计划采购两种代步工具共30辆，且共享单车的采购数量不大于共享电动车采购数量的2倍，请问采购多少辆共享单车时，总费用最少？最少总费用是多少元？ 【解答】解：（1）设共享单车单价为x元 由题意得：， 解得x＝500， 经检验，x＝500是原分式方程的解， ∴共享电动车单价：500+200＝700（元）， 答：共享单车单价500元，共享电动车单价700元． （2）设采购共享单车m辆，总费用w元， ∴w＝500m+700（30﹣m）＝500m+21000﹣700m＝﹣200m+21000， 又∵m≤2（30﹣m）， ∴m≤20， ∵﹣200＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝20时，w取得最小值， w＝﹣200×20+21000＝17000（元）， 答：采购20辆共享单车时总费用最少，最少费用17000元． 23．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，在第一象限内以OA为边作▱OABC，点C在反比例函数的图象上，D是边AB的中点，点C的横坐标为2． （1）如图1，若点D的纵坐标为，求反比例函数的解析式； （2）如图2，若点D在反比例函数图象上且△OCD∽△CDB，求▱OABC的面积； （3）如图3，在（1）的条件下，将直线l1：yx向上平移得到直线l2，直线l2与双曲线交于M1，M2两点，点P为M1M2的中点，过点M1作M1N⊥l1于点N．试探究的值是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【解答】解：（1）∵C点的横坐标为2， ∴C（2，）， 设A（m，0）， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴B（2+m，）， ∵D是AB的中点， ∴D（1+m，）， ∵点D的纵坐标为， ∴， 解得k＝6， ∴反比例函数的解析式为y； （2）设A（m，0）， 由（1）可知C（2，），B（2+m，），D（1+m，）， ∵D点在反比例函数上， ∴k， 解得m＝3， ∴A（3，0），B（5，），D（4，）， ∵△OCD∽△CDB， ∴，即4•， 解得k＝±4， ∵k＞0， ∴k＝4， ∴C（2，2）， ∴▱OABC的面积＝3×26； （3）的值为定值，理由如下： 设直线直线l1：yx向上平移b个单位长度，与y轴交于点E，与x轴交于G点， ∴直线l2的解析式为yx+b， ∴E（0，b）， 过点O作OF⊥l1交于点F， ∵M1N⊥l1， ∴M1N＝OF， 当y＝0时，x， ∴G（，0）， ∴sin∠EGO， ∵∠OEF＝∠EGO， ∴OF＝M1Nb， 当x+b时，3x2﹣4bx+24＝0， ∴x1+x2b， ∵点P为M1M2的中点， ∴P（b，b）， ∴OPb， ∴． 24．如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l：y＝x﹣3经过B，C两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知P为线段BC上一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N． ①当PM的长度随t的增大而增大时，请直接写出t的取值范围； ②当时，求点P的横坐标； （3）如图2，将二次函数y＝x2+bx+c在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线l′，直接写出当直线l′与这个新图象分别有2个或3个公共点时，n的取值范围或n的值． 【解答】解：（1）在y＝x﹣3中， 令x＝0得y＝﹣3； 令y＝0得x＝3； ∴B（3，0），C（0，﹣3）， 将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）①如图， ∵点P为线段BC上一点， 设其横坐标为t，则0≤t≤3， ∴P（t，t﹣3），M（t，t2﹣2t﹣3）， ∴PM＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|＝|t（t﹣3）|， 当t＝0时，t﹣3＝﹣3，则PM＝0； 当0＜t＜3时，t﹣3＜0，则， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，PM的长度随着t的增大而增大，则此情况， 当t＝3时，t﹣3＝0，则PM＝0； 综上所述，当PM的长度随t的增大而增大时，t的取值范围是； ②由①知PM＝|t2﹣3t|， ∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线， ∴MN＝|2（t﹣1）|＝|2t﹣2|，， ∴或， 则t2﹣4t+1＝0或t2﹣2t﹣1＝0， 解得或或或， ∵0≤t≤3， ∴点P的横坐标为或； （3）在y＝x2﹣2x﹣3中， 令y＝0得0＝x2﹣2x﹣3， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（1，﹣4）， ∴将抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方， 则翻折上来的部分抛物线顶点为（1，4）， ∴翻折上来的部分抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3（﹣1≤x≤3）， 直线l向上平移n个单位长度得到直线l′：y＝x﹣3+n，如图， ∴当直线l′经过点A或与y＝﹣x2+2x+3相切时，直线l′与新图象恰好有三个不同的交点； 当直线l′经过点B时，直线l′与新图象恰好有一个交点， ①当直线l′经过点A（﹣1，0）时，把A（﹣1，0）代入l′：y＝x﹣3+n， 得0＝﹣1﹣3+n， 解得n＝4， 即当n＝4时，直线l′与这个新图象有3个公共点； ②当l′：y＝x﹣3+n与y＝﹣x2+2x+3相切时， 联立，只有一组公共解， 即方程x2﹣x+n﹣6＝0的判别式为0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4（n﹣6）＝0， 解得， 即当时，直线l′与这个新图象有3个公共点； ③当直线l′经过点B（3，0）时，把B（3，0）代入l′：y＝x﹣3+n， 得0＝3﹣3+n， 解得n＝0， 即当n＝0时，直线l′与这个新图象有1个公共点； ④如图，当时，直线l′与这个新图象有4个公共点； ⑤如图，当时，直线l′与这个新图象有2个公共点； ⑥如图，当0＜n＜4时，直线l′与这个新图象有2个公共点； ⑦如图，当n＜0时，直线l′与这个新图象没有公共点； 综上所述，当直线l′与这个新图象有2个公共点时：；有3个公共点时：或n＝4． 25．【问题呈现】 如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．易知　1　 ． 【类比探究】 如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．则　　 ． 【拓展提升】 如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且，连接BD，CE． （1）求的值； （2）延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【解答】【问题呈现】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE， ∴1． 故答案为：1； 【类比探究】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ∴． 故答案为：； 【拓展提升】解：（1）∵，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ∴； （2）由（1）得：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴∠BFC＝∠BAC， ∴sin∠BFC． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $