山东省济南市备考卷（2-1） (2)-【中考三轮复习】全国2026年中考数学备考卷

【三轮复习】2026年山东省济南市中考数学备考卷（2-1） 一．选择题（共10小题） 1．在数，π，0，﹣4中有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　） A． B． C． D． 3．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000m．将数21500000用科学记数法表示为（　　） A．2.15×107 B．0.215×109 C．2.15×108 D．21.5×107 4．中国传统纹样承载着对称美学的精髓，同时也体现了古代工匠对几何对称的深刻认知、下列传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．寿字纹 B．万字纹 C．冰裂纹 D．柿蒂纹 5．下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．a4÷a＝a3 D．2a+3a＝5a2 6．若m＞n，则下列各式不正确的是（　　） A．m﹣4＞n﹣4 B．m2＞mn C． D．n﹣m＜0 7．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关能让小灯泡L1发光的概率为（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知△ABC． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N． （2）分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P． （3）作射线AP交BC于点D． （4）分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点． （5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F． 依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD，则CD的长是（　　） A．2 B．1 C． D．4 10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣1且过点（﹣3，0）下列关系中正确个数（　　） ①abc＞0；②a+b+c＝0；③若方程ax2+bx+c＝t有两个不相等的实数根，则t＜0；④am2+bm+c≥a﹣b（m≠﹣1）；⑤3b＝2c． A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共5小题） 11．若分式有意义，则x的取值范围是　 　 ． 12．不透明袋子里装有5个红球，4个绿球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率是　 　 ． 13．如图，AB∥CD，∠BOC＝110°，BE、CF分别平分∠ABO、∠OCD，则∠2﹣∠1＝　 　 ． 14．近年新能源汽车越来越受到人们的追捧，为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量y1（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线ABC，用普通充电器时，汽车电池电量y2（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象是线段AD，若该汽车电池电量从10%充至90%，则快速充电器比普通充电器少 　 　 h． 15．如图，长方形ABCD中，BC＝10，AB＝6，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是　 　 ． 三．解答题（共10小题） 16．计算：． 17．求满足不等式组的非负整数解． 18．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，连结AE，CE． （1）求证：AE＝CE； （2）若AE＝DE，AE⊥AB，求∠ABD的度数． 19．小瑜同学想测量小区内某栋楼房MA的高度，设计测量方案如下：她从楼底A处前行5米到达B处，沿斜坡BD向上行走16米，到达坡顶D处（A、B、C在同一条直线上），已知斜坡BD的坡角α为12.8°，小瑜的眼睛到地面的距离DE为1.7米，她站在坡顶测得楼顶M的仰角恰好为45°．根据以上数据，请你求出楼房MA的高度．（计算结果精确到0.1米）（参考数据：sin12.8°，cos12.8°，tan12.8°） 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点P在BC的延长线上，且∠BAC＝2∠P． （1）求证：直线AP是⊙O的切线； （2）若BC＝6，tan∠P，求⊙O的半径长及tan∠PAC的值． 21．为了解我市中学生对政情防控知识的课题情况，在全市机抽取了m名中学生进行了一次测试，随后绘制成尚不完整的统计图表：（测试卷满分100分，按成绩划分为人，B，C，D四个等级） 等级 成绩x 频数 A 90≤x≤100 48 B 80≤x＜90 n C 70≤x＜80 32 D 0≤x＜70 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：①m＝　 　 ；n＝　 　 ，p＝　 　 ； ②抽取的这m名中学生，其成绩的中位数落在 　 　 等级（填A，B，C或D）； ③扇形统计图中“D”等级所对应的扇形圆心角为 　 　 度． （2）我市约有5万名中学生，若全部参加这次测试，请你估计约有多少名中学生的成绩能达到A等级． 22．马面裙作为汉服的重要组成部分，承载着我国深厚的历史文化底蕴．在某网店中，销量最高的A，B两款马面裙备受消费者青睐，A，B两款马面裙的售价分别为150元/件和200元/件，两款马面裙3月份的总销量为600件，销售总额为110000元． （1）求3月份A，B两款马面裙的销量分别为多少件？ （2）为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂预定A，B两款马面裙共2400件，且A款马面裙数量不超过B款马面裙数量的，已知A款马面裙进价为100元/件，B款马面裙进价160元/件，请你设计一种方案，使得这批马面裙全部售出后获利最大，并求出最大利润． 23．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝kx+b相交于点A（a，1）和点B（1，4），AO的延长线交反比例函数的图象于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点D是线段AB上一点．连结CD，交反比例函数在第一象限的图象于点E，连结OE、AE．当的值最小时，求的值． 24．已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2．当时，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，且点D的横坐标小于2，是否在坐标轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 25．平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在△ABC中，点D在BC边上，，在AB边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别边BC，B′C′上一点，∠BAD＝∠B'A'D'，∠CAD＝∠C′A′D′，，求证△ABC∽△A′B′C′． 【应用拓展】 （3）如图③，已知△ABC，直线l1∥l2∥l3． ①在图③中，求作△A′B′C′，使点A′，B′，C′分别在l1，l2，l3上，且△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的△A'B'C'的边A'C'与l2交于点D′，发现随着△ABC形状的变化，B′D′的长度也随之变化．若∠ABC＝120°，l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为4，则B′D′的最小值是 　 　 ． 【三轮复习】2026年山东省济南市中考数学备考卷（2-1） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．在数，π，0，﹣4中有理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：和π为无理数，0和﹣4为有理数， ∴有理数有2个， 故选：B． 2．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形， 又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线， 故选：D． 3．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000m．将数21500000用科学记数法表示为（　　） A．2.15×107 B．0.215×109 C．2.15×108 D．21.5×107 【解答】解：21500000＝2.15×107． 故选：A． 4．中国传统纹样承载着对称美学的精髓，同时也体现了古代工匠对几何对称的深刻认知、下列传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．寿字纹 B．万字纹 C．冰裂纹 D．柿蒂纹 【解答】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断如下： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 5．下列运算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．a4÷a＝a3 D．2a+3a＝5a2 【解答】解：A．a2•a3＝a5，故该选项不正确，不符合题意； B．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故该选项不正确，不符合题意； C．a4÷a＝a3，故该选项正确，符合题意； D．2a+3a＝5a，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 6．若m＞n，则下列各式不正确的是（　　） A．m﹣4＞n﹣4 B．m2＞mn C． D．n﹣m＜0 【解答】解：A、∵m＞n，∴m﹣4＞n﹣4，故不符合题意； B、∵m＞n，当m＝0时，n＜0，此时m2＝mn＝0，故m2＞mn不成立，故符合题意； C、∵m＞n，∴，∴，故不符合题意； D、∵m＞n，∴m﹣m＞n﹣m，∴n﹣m＜0，故不符合题意； 故选：B． 7．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D， 则tan∠BAC， 故选：C． 8．如图，在所给的电路图中，同时闭合两个开关能让小灯泡L1发光的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设S1、S2、S3、S4分别用1、2、3、4表示， 画树状图得： 概率为：， 故选：C． 9．如图，已知△ABC． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N． （2）分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P． （3）作射线AP交BC于点D． （4）分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点． （5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F． 依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD，则CD的长是（　　） A．2 B．1 C． D．4 【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD， ∴∠EAD＝∠FAD，EA＝ED，FA＝FD， ∵EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴∠FAD＝∠EDA， ∴DE∥AF， 同理可得AE∥DF， ∴四边形AEDF为平行四边形， 而EA＝ED， ∴四边形AEDF为菱形， ∴AE＝AF＝2， ∵DE∥AB， ∴，即， ∴CD． 故选：C． 10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣1且过点（﹣3，0）下列关系中正确个数（　　） ①abc＞0； ②a+b+c＝0； ③若方程ax2+bx+c＝t有两个不相等的实数根，则t＜0； ④am2+bm+c≥a﹣b（m≠﹣1）； ⑤3b＝2c． A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：∵开口向下，对称轴为直线，与y轴交于正半轴， ∴c＞0，a＜0，b＝2a＜0， ∴abc＞0，故①正确，符合题意； ∵图象过（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1， ∴图象过（1，0）， ∴a+b+c＝0；故②正确，符合题意； 由图象可知：当x＝﹣1时，函数有最大值为a﹣b+c＞0， ∴当方程ax2+bx+c＝t有两个不相等的实数根时，t＜a﹣b+c，故③错误，不符合题意； ∵am2+bm+c（m≠﹣1）是x＝m时的函数值，可能大于0，可能小于0，也可能等于0，而a﹣b＝a﹣2a＝﹣a＞0， ∴无法得到am2+bm+c≥a﹣b，故④错误，不符合题意； ∵c＞0，b＜0， ∴2c＞0，3b＜0， ∴3b≠2c，故⑤错误，不符合题意； 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．若分式有意义，则x的取值范围是x≠2　 ． 【解答】解：若分式有意义， 则x﹣2≠0， 解得x≠2， 故答案为：x≠2． 12．不透明袋子里装有5个红球，4个绿球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率是　　 ． 【解答】解：∵不透明袋子里装有5个红球，4个绿球，2个白球，共11个球， ∴从袋子中随机摸出一个，摸到白球的概率为． 故答案为：． 13．如图，AB∥CD，∠BOC＝110°，BE、CF分别平分∠ABO、∠OCD，则∠2﹣∠1＝　35°　 ． 【解答】解：过点O作OG∥AB， ∴∠5＝∠3（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥CD， ∴AB∥OG∥CD， ∵BE平分∠ABO， ∴∠4＝∠ABO＝2∠1（角平分线的定义）， ∵∠BOC＝110°，即∠4+∠5＝2∠1+∠3＝110°， ∴∠3＝110°﹣2∠1， ∵CF平分∠OCD， ∴2∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣（110°﹣2∠1）＝70°+2∠1（角平分线的定义）， ∴2∠2﹣2∠1＝70°， ∴∠2﹣∠1＝35°． 故答案为：35°． 14．近年新能源汽车越来越受到人们的追捧，为了解某新能源汽车的充电速度，某校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量y1（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象是折线ABC，用普通充电器时，汽车电池电量y2（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象是线段AD，若该汽车电池电量从10%充至90%，则快速充电器比普通充电器少 　1.5　 h． 【解答】解：设线段BC对应的函数关系式为y1＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）， 将坐标B（0.5，70）和C（1.5，100）分别代入y1＝k1x+b1， 得， 解得， ∴线段BC对应的函数关系式为y1＝30x+55（0.5≤x≤1.5）， 设线段AD对应的函数关系式为y2＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）， 将坐标A（0，10）和D（3，100）分别代入y2＝k2x+b2， 得， 解得， ∴线段AD对应的函数关系式为y2＝30x+10（0≤x≤3）， 当y1＝90时，得30x+55＝90， 解得x， 当y2＝90时，得30x+10＝90， 解得x， 1.5（h）， ∴快速充电器比普通充电器少1.5h． 故答案为：1.5． 15．如图，长方形ABCD中，BC＝10，AB＝6，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是　2　 ． 【解答】解：由矩形ABCD，得∠B＝∠C＝90°，CD＝AB，AD＝BC，AD∥BC． 由△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处，得△DFE≌△DCE， ∴DF＝DC，∠DFE＝∠C＝90°，EF＝CE， ∴DF＝AB，∠AFD＝90°， ∴∠AFD＝∠B， 由AD∥BC得∠DAF＝∠AEB， ∴△ABE≌△DFA（AAS）． ∴AE＝AD＝BC＝10，DF＝CD＝AB＝6， 在Rt△ADF中， 由勾股定理可得 AF8， 则EF＝AE﹣AF＝10﹣8＝2， ∴CE＝EF＝2． 故答案为：2． 三．解答题（共10小题） 16．计算：． 【解答】解：原式＝﹣1+2+21 ＝﹣1+2+1﹣1 ． 17．求满足不等式组的非负整数解． 【解答】解：解不等式①，得x≤1， 解不等式②，得x＞﹣7， 故原不等式组的解集是﹣7＜x≤1， ∴该不等式组的非负整数解是0，1． 18．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，连结AE，CE． （1）求证：AE＝CE； （2）若AE＝DE，AE⊥AB，求∠ABD的度数． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝CE； （2）解：∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AE＝DE， ∴∠EAD＝∠ADB＝∠ABD， ∵AE⊥AB， ∴∠BAE＝90°， ∵∠ABD+∠ADB+∠DAE+∠BAE＝180°， ∴3∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝30°． 19．小瑜同学想测量小区内某栋楼房MA的高度，设计测量方案如下：她从楼底A处前行5米到达B处，沿斜坡BD向上行走16米，到达坡顶D处（A、B、C在同一条直线上），已知斜坡BD的坡角α为12.8°，小瑜的眼睛到地面的距离DE为1.7米，她站在坡顶测得楼顶M的仰角恰好为45°．根据以上数据，请你求出楼房MA的高度．（计算结果精确到0.1米）（参考数据：sin12.8°，cos12.8°，tan12.8°） 【解答】解：∵坡角α为12.8°，BD＝16米，∠DCB＝90°， ∴CD＝BD•sinα≈163.52（米），BC＝BD•cosα≈1615.6（米）， ∵AB＝5米， ∴AC＝AB+BC＝5+15.6＝20.6（米）， ∴EF＝AC＝20.6米， ∵∠MEF＝45°，∠MFE＝90°， ∴∠EMF＝45°， ∴∠MEF＝∠EMF， ∴MF＝EF＝20.6米， ∵ED＝1.7米， ∴MA＝MF+ED+CD＝20.6+1.7+3.52≈25.8（米）， 答：楼房MA的高度约为25.8米． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点P在BC的延长线上，且∠BAC＝2∠P． （1）求证：直线AP是⊙O的切线； （2）若BC＝6，tan∠P，求⊙O的半径长及tan∠PAC的值． 【解答】（1）证明：连接AD，如图， ∵AB为直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠CAD＝∠BAD∠BAC． ∵∠BAC＝2∠P， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠P． ∵∠P+∠PAD＝90°， ∴∠BAD+∠PAD＝90°， ∴∠PAB＝90°， ∴OA⊥PA． ∵OA是⊙O的半径， ∴直线AP是⊙O的切线； （2）解：由（1）知：∠CAD＝∠BAD＝∠P， ∴tan∠BAD＝tan∠P， ∵tan∠BAD， ∴． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BDBC＝3， ∴， ∴AD＝4． ∴AB5， ∴⊙O的半径长为； 过点C作CE⊥PA于点E，如图， ∵tan∠P， ∴设EC＝3k，则PE＝4k， ∴PC5k． ∵CE⊥PA，AB⊥PA， ∴EC∥AB， ∴， ∴， 解得：k． ∴EC． ∴AE， ∴tan∠PAC． 21．为了解我市中学生对政情防控知识的课题情况，在全市机抽取了m名中学生进行了一次测试，随后绘制成尚不完整的统计图表：（测试卷满分100分，按成绩划分为人，B，C，D四个等级） 等级 成绩x 频数 A 90≤x≤100 48 B 80≤x＜90 n C 70≤x＜80 32 D 0≤x＜70 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：①m＝　200　 ；n＝　112　 ，p＝　56　 ； ②抽取的这m名中学生，其成绩的中位数落在 B 等级（填A，B，C或D）； ③扇形统计图中“D”等级所对应的扇形圆心角为 　14.4　 度． （2）我市约有5万名中学生，若全部参加这次测试，请你估计约有多少名中学生的成绩能达到A等级． 【解答】解：（1）①由题意得m＝32÷16%＝200， 故n＝200﹣48﹣32﹣8＝112，p%100%＝56%， 故答案为：200；112；56； ②把抽取的这200名中学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数均落在B等级，故中位数落在B等级， 故答案为：B； ③360°14.4°， 故答案为：14.4； （2）51.2（万名）， 答：估计约有多1.2万名中学生的成绩能达到A等级． 22．马面裙作为汉服的重要组成部分，承载着我国深厚的历史文化底蕴．在某网店中，销量最高的A，B两款马面裙备受消费者青睐，A，B两款马面裙的售价分别为150元/件和200元/件，两款马面裙3月份的总销量为600件，销售总额为110000元． （1）求3月份A，B两款马面裙的销量分别为多少件？ （2）为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂预定A，B两款马面裙共2400件，且A款马面裙数量不超过B款马面裙数量的，已知A款马面裙进价为100元/件，B款马面裙进价160元/件，请你设计一种方案，使得这批马面裙全部售出后获利最大，并求出最大利润． 【解答】解：（1）设3月份A款马面裙的销量为x件，B款马面裙的销量为y件， 由题意得：， 解得：， 答：3月份A款马面裙的销量为200件，B款马面裙的销量为400件； （2）设网店购进A款a件，再购进B款（2400﹣a）件，总利润为W元， 由题意得：， 解得：a≤800， 设总利润为W元， 由题意得：W＝（150﹣100）a+（200﹣160）（2400﹣a）＝10a+96000， ∵10＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴a＝800时，W的最大值＝10×800+96000＝104000（元）， 此时2400﹣x＝2400﹣800＝1600， 答：网店购进A款马面裙800件，B款马面裙1600件，获利最大，最大利润为104000元． 23．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝kx+b相交于点A（a，1）和点B（1，4），AO的延长线交反比例函数的图象于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点D是线段AB上一点．连结CD，交反比例函数在第一象限的图象于点E，连结OE、AE．当的值最小时，求的值． 【解答】解：（1）把B（1，4）代入， 得， ∴m＝4， ∴反比例函数的解析式为， 把A（a，1）代入， 得， ∴a＝4， ∴A（4，1）， 把 A（4，1），B（1，4）代入y＝nx+b得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5； （2）由函数图象可得，当0＜x＜1或x＞4时，反比例函数图象位于一次函数图象上方， ∴不等式的解集为0＜x＜1或x＞4； （3）如图，过D，E分别作y轴的平行线，交过C与x轴的平行线交于K，H，EH，AO的交点为N，DK，AE的交点为Q， ∴EH∥DK， ∴， ∵AO的延长线交反比例函数的图象于点C，A（4，1）， ∴C（﹣4，﹣1）， 设直线CD为y＝k（x+4）﹣1＝kx+4k﹣1， ∴， ∴， 即kx2+（4k﹣1）x﹣4＝0， ∴， 解得， 同理， 解得， ∴ ， ∵D在线段AB上，当D，B重合时，同理可得kCB＝1； 当D，A重合时，同理可得， ∴； 当最小，最小， ∵， ∴， ∴此时， 解得，舍去）， ∴E（2，2），， 同理可得，直线OA为， ∴， ∴， 同理可得直线AE为， ∴， ∴， ∴． 24．已知在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2．当时，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，且点D的横坐标小于2，是否在坐标轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+3，得y＝3， ∴C（0，3）． 把y＝0代入y＝﹣x+3得x＝3， ∴B（3，0）， 将C（0，3）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图，分别过点A、点D作y轴的平行线，交直线BC于点F和点G， 当x＝﹣1时y＝4， ∴F（﹣1，4）， 即AF＝4， ∵， ∴， ∵AF∥DG， ∴△AEF∽△DEG， ∴， ∴， 设点D（m，﹣m2+2m+3），G（m，﹣m+3）， 则DG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝2 解得m1＝1，m2＝2， ∴点D坐标为（1，4）或（2，3）； （3）存在，点P的坐标为（0，0）或（9，0）或． 由题意得，点D（1，4）， 由点A、B、C、D的坐标得，，，BD＝2，， ∵CD2+BC2＝BD2， ∴∠BCD＝90°， 在Rt△BCD中，则，sin∠CBD，， 当点P在y轴时，如图， ∵以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似， 当∠CAP＝∠BCD＝90°时，则， 则， ∵OC＝3， ∴， 则点； 当∠CPA＝∠DCB＝90°时，此时，点P、O重合， ∴CP＝OC＝3，AP＝AO＝1， ∴， ∴△CPA∽△BCD， 故点P（0，0）； 当点P'在x轴上时，只有∠ACP'＝∠DCB＝90°，以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似， 则， 则点P′（9，0）； 综上，点P的坐标为（0，0）或（9，0）或时，以A、C、P为顶点的三角形与△BCD相似． 25．平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在△ABC中，点D在BC边上，，在AB边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别边BC，B′C′上一点，∠BAD＝∠B'A'D'，∠CAD＝∠C′A′D′，，求证△ABC∽△A′B′C′． 【应用拓展】 （3）如图③，已知△ABC，直线l1∥l2∥l3． ①在图③中，求作△A′B′C′，使点A′，B′，C′分别在l1，l2，l3上，且△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的△A'B'C'的边A'C'与l2交于点D′，发现随着△ABC形状的变化，B′D′的长度也随之变化．若∠ABC＝120°，l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为4，则B′D′的最小值是 　　 ． 【解答】（1）解：如图，作∠BDE＝∠C，与AB交于点E，点E即为所求． （2）证明：如图，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D′作D′E∥A′C′交A′B′于点E′． ∵DE∥AC，D′E′∥A′C′， ∴∠CAD＝∠ADE，∠C′A′D′＝∠A′D′E′， ∵∠CAD＝∠C′A′D′， ∴∠ADE＝∠A′D′E， 又∵∠BAD＝∠B′A′D′， ∴△ADE∽△A′D′E′， ∴， ∵， ∴， ∵DE∥AC，D′E∥A′C′， ∴，， ∴， 即， ∵DE∥AC，D′E′∥A′C′， ∴△BDE∽△BCA，△B′D′E′∽△B′C′A′， ∴，， ∴， 即， ∴， 又∵∠BAD＝∠B′A′D′，∠CAD＝∠C′A′D′， ∴∠BAD+∠CAD＝∠B'A'D'+∠C'A'D'， 即∠BAC＝∠B'A'C'， ∴△ABC∽△A'B'C'． （3）解：①如图，△A′B′C′即为所求； 作法：第1步：作直线l分别交l1，l2，l3于点M，N，P； 第2步：过点A作一条射线l′，在l′上截取AE＝MN，EF＝PN； 第3步：连接CF，过点E作 EQ∥FC交AC于点Q，连接BQ； 第4步：在l2任取一点B′，作∠D′B′A′＝∠QBA交l1于点A′； 第5步：作∠D′B′C′＝∠QBC交l3于点C′，则△A′B′C即为求． ②如①右图，延长A′B′交l3于点Q，则∠C′B′Q＝60°， ∵l2∥l3， ∴△A′D′B′∽△A′C′Q， ∴， ∴B′D′C′Q， ∴求出C′Qmin即可求得B′D′min， 当△B′C′Q为等边三角形时，C′Q取得最小值， 过点B′作B′H⊥C′Q于点H， ∵l2，l3之间的距离为4， ∴B′H＝4， ∴C′Qmin， ∴B′D′min， 故答案为：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $