黑龙江省哈尔滨市备考卷（2-2）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学备考卷

【三轮复习】2026年黑龙江省哈尔滨市中考数学备考卷（2-2） 一．选择题（共10小题） 1．若a、b互为倒数，则2ab+5的值为（　　） A．1 B．7 C．﹣3 D．﹣5 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　） A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011 4．如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（　　） A． B． C． D． 5．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（　　） A． B． C． D． 6．开口向下，顶点坐标为（﹣3，4）的抛物线为（　　） A．y＝3（x﹣3）2﹣4 B．y＝3（x+3）2+4 C．y＝﹣3（x﹣3）2﹣4 D．y＝﹣3（x+3）2+4 7．用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形，拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多11枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为（　　） A．57枚 B．50枚 C．48枚 D．47枚 8．如图是一个三层楠竹阶梯花架，它的侧面可以抽象为图2，已知最上层与中间层的垂直距离为BD＝30cm，中间层与最下层的垂直距离为DF＝45cm，BC∥DE∥FG，CE＝50cm，则线段CG的长为（　　） A．75cm B．105cm C．120cm D．125cm 9．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，点F为AB的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线AD交BC于点E，连接EF，则EF的长是（　　） A．5 B． C．8 D． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝4，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作PQ⊥AB交AC于点Q，将△APQ沿直线PQ折叠得到△DPQ，设动点P的运动时间为x秒，△DPQ与△ABC重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共10小题） 11．在函数y中，自变量x的取值范围是　 　 ． 12．因式分解：3a2﹣12＝　 　 ． 13．不透明袋子中有3个红球，2个白球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为　 　 ． 14．关于x的不等式组无解，则a的取值范围值是　 　 ． 15．如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝ 　 　 米． 16．杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂．已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.8m，当动力臂为1.6m时，动力为　 　 N． 17．定义新运算：，则☆的运算结果为　 　 ． 18．在△ABC中，∠B＝24°，∠C＝56°，点P在BC边上运动，当△PAB为等腰三角形时，∠CAP的度数是　 　 ． 19．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别是（﹣n，0）和（n+2，0），且抛物线还经过点（2，y1）和（﹣2，y2），则y1　 　 y2． 20．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP＝45°，点F在射线DP上，且AE：DF＝1：，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论： ①sin∠BFE；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面积最大值是2；④若AEAD，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 21．先化简，再求代数式的值，其中x＝2sin30°+2cos45°． 22．如图，在6×8的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中，在线段AB上找一点D，使． （2）在图2中，在△ABC内部画出点O，使点O到△ABC三边的距离相等，并直接写出OA的长． 23．近年来，教育部相继出台文件，加强对义务教育阶段学生作业、手机、睡眼、读物、体质管理等“五项管理”以及考试管理作出部署，琼海市某学校对本校开展“五项管理”工作以来收到的成效进行调研，采用随机抽样的方法，抽取了九年级若干名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的扇形统计图和统计图表，请根据图表信息回答下列问题： （1）本次被抽取的九年级学生共有 　 　 名； 组别 睡眠时间分组 频数 A t＜6 4 B 6≤t＜7 m C 7≤t＜8 10 D 8≤t＜9 21 E t≥9 7 （2）统计图表中m＝ 　 　 ；本次被抽取的学生中，他们平均每天睡眠时间的中位数落在的“组别”是 　 　 ； （3）请估计该校1000名九年级学生中睡眠达到8小时或以上的人数为 　 　 人； （4）教育部发布《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》明确初中生每天睡眠时间应达到9小时，针对本次调查中不符合这一要求的学生，请你为他们提一条合理的建议． 24．如图，在正方形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在CD上，连接AE，AF，且AE⊥AF． （1）如图1，求证：AE＝AF； （2）如图2，过点A作AM平分∠EAF交BC于点M，连接MF，过点D作DN∥FM交BC于点N，DN分别交AF，AM于点G，H，请直接写出图中始终与∠E相等的角（∠E除外）． 25．有A、B两种型号呼吸机，若购买6台A型呼吸机和2台B型呼吸机共需12万元．若购买3台A型呼吸机和5台B型呼吸机共需10.8万元． （1）求A、B两种型号呼吸机每台分别多少万元？ （2）采购员想采购A、B两种型号呼吸机共30台，预计总费用低于40万元，请问A型号呼吸机最多购买几台？ 26．已知：在⊙O中，弦AC交弦BD于点E，点F在线段AB上，连接DF交AC于点G，∠AED＝∠CDF． （1）如图1，求证：BF＝DF； （2）如图2，若AB＝AC，连接OG，求证：∠AGO＝∠DGO； （3）如图3，在（2）的条件下，，连接OF，延长OF交⊙O于点H，当∠AFG是锐角时，求线段FH的长． 27．已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝ax2+7ax﹣12交x轴于A、B两点，交y轴于点C，AO＝OC， （1）如图①，求抛物线的解析式； （2）如图②，P为第三象限抛物线上一点，连接AP并延长交y轴于点T，设P的横坐标为t，CT的长为d，求d与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图③，在（2）的条件下，D为第一象限抛物线上一点，连接AD交y轴于点E，过点D作x轴垂线交x轴于点F，交AP延长于点G，连接OG，若FG＝AF+DF，∠DAB+∠OGF＝45°，Q为x轴正半轴上一点，连接PQ，PQ＝2AE，求点Q的坐标． 【三轮复习】2026年黑龙江省哈尔滨市中考数学备考卷（2-2） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．若a、b互为倒数，则2ab+5的值为（　　） A．1 B．7 C．﹣3 D．﹣5 【解答】解：∵a、b互为倒数， ∴ab＝1， ∴2ab+5＝2+5＝7， 故选：B． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C．选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D．选项中的图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3．ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　） A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011 【解答】解：175000000000＝1.75×1011． 故选：D． 4．如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图如下： ． 故选：C． 5．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设撕坏的一角■＝x，则原式可表示为：根据图片信息列出方程可得： ， ， ， ， ， 故选：A． 6．开口向下，顶点坐标为（﹣3，4）的抛物线为（　　） A．y＝3（x﹣3）2﹣4 B．y＝3（x+3）2+4 C．y＝﹣3（x﹣3）2﹣4 D．y＝﹣3（x+3）2+4 【解答】解：由题知， 抛物线y＝3（x﹣3）2﹣4的顶点坐标为（3，﹣4）， 故A选项不符合题意； 抛物线y＝3（x+3）2+4的顶点坐标为（﹣3，4）且开口向上， 故B选项不符合题意； 抛物线y＝﹣3（x﹣3）2﹣4的顶点坐标为（3，﹣4）， 故C选项不符合题意； 抛物线y＝﹣3（x+3）2+4的顶点坐标为（﹣3，4）且开口向下， 故D选项符合题意． 故选：D． 7．用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形，拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多11枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为（　　） A．57枚 B．50枚 C．48枚 D．47枚 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形中正方形的个数为：4＝1×3+1，等边三角形的个数为：3＝1×2+1，正方形比等边三角形多的个数为：1×3+1﹣（1×2+1）＝1×（3﹣2）； 第2个图形中正方形的个数为：7＝2×3+1，等边三角形的个数为：5＝2×2+1，正方形比等边三角形多的个数为：2×3+1﹣（2×2+1）＝2×（3﹣2）； 第3个图形中正方形的个数为：10＝3×3+1，等边三角形的个数为：7＝3×2+1，正方形比等边三角形多的个数为：3×3+1﹣（3×2+1）＝3×（3﹣2）； …， 所以第n个图形中正方形的个数为（3n+1）个，等边三角形的个数为（2n+1）个，正方形比等边三角形多的个数为n个； 当n＝11时， 3n+1+2n+1＝5n+2＝5×11+2＝57（个）， 故选：A． 8．如图是一个三层楠竹阶梯花架，它的侧面可以抽象为图2，已知最上层与中间层的垂直距离为BD＝30cm，中间层与最下层的垂直距离为DF＝45cm，BC∥DE∥FG，CE＝50cm，则线段CG的长为（　　） A．75cm B．105cm C．120cm D．125cm 【解答】解：∵BC∥DE∥FG， ∴， ∵BD＝30cm，DF＝45cm，CE＝50cm， ∴， ∴CG＝125cm． 故选：D． 9．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，点F为AB的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线AD交BC于点E，连接EF，则EF的长是（　　） A．5 B． C．8 D． 【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC， ∴AE⊥BC， ∵F是AB的中点， ∴EFAB＝5． 故选：A． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝4，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作PQ⊥AB交AC于点Q，将△APQ沿直线PQ折叠得到△DPQ，设动点P的运动时间为x秒，△DPQ与△ABC重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵AB＝2BC， ∴tanA， 由题意得：AP＝PD＝x， ∴QPx， 当0≤x≤2时，重合部分为△QPD的面积， yx•xx2， ∴函数图象为开口向上的抛物线， 当2＜x≤4时，重合部分为梯形PBEQ的面积， ∵AB＝4， ∴PB＝4﹣x，BD＝2x﹣4， ∴BE＝x﹣2， ∴yx2+4x﹣4， ∴函数图象为开口向下的抛物线， 故选：B． 二．填空题（共10小题） 11．在函数y中，自变量x的取值范围是x≠﹣6　 ． 【解答】解：由题意得x+6≠0， 解得x≠﹣6． 故答案为：x≠﹣6． 12．因式分解：3a2﹣12＝　3（a+2）（a﹣2）　 ． 【解答】解：3a2﹣12 ＝3（a2﹣4） ＝3（a+2）（a﹣2）， 故答案为：3（a+2）（a﹣2）． 13．不透明袋子中有3个红球，2个白球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为　　 ． 【解答】解：∵不透明袋子中有3个红球，2个白球，4个黄球， ∴从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为：； 故答案为：． 14．关于x的不等式组无解，则a的取值范围值是a≤3　 ． 【解答】解：∵不等式组无解， ∴a﹣1≤2， 解得：a≤3． 故答案为：a≤3． 15．如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝ 　300　 米． 【解答】解：设线段AB对应的圆心角度数为n， ∵100π， ∴n＝60°， 又AO＝BO， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝AO＝BO＝300（米）， 故答案为：300． 16．杠杆平衡时，阻力×阻力臂＝动力×动力臂．已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.8m，当动力臂为1.6m时，动力为　500　 N． 【解答】解：1000×0.8÷1.6＝500（N）， ∴动力为500N． 故答案为：500． 17．定义新运算：，则☆的运算结果为　　 ． 【解答】解：☆ ， 故答案为：． 18．在△ABC中，∠B＝24°，∠C＝56°，点P在BC边上运动，当△PAB为等腰三角形时，∠CAP的度数是　76°或22°　 ． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝56°，∠B＝24°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°， 当PB＝AB时，∠PAB＝∠APB， ∵∠B＝24°， ∴ ∴∠CAP＝∠A﹣∠PAB＝100°﹣78°＝22°； 当PA＝PB时，∠PAB＝∠B＝24°， ∴∠CAP＝∠A﹣∠PAB＝100°﹣24°＝76°； 当PA＝AB时，∠APB＝∠B＝24°， ∴∠PAB＝180﹣24°﹣24°＝132°＞∠BAC，不符合点P在BC边上的位置关系； 故答案为：76°或22° 19．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别是（﹣n，0）和（n+2，0），且抛物线还经过点（2，y1）和（﹣2，y2），则y1　＞　 y2． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别是（﹣n，0）和（n+2，0）， ∴对称轴为 ∵抛物线还经过点（2，y1）和（﹣2，y2）， ∴2﹣1＝1，1﹣（﹣2）＝3， ∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线的距离离y轴越远，函数值越小， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 20．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP＝45°，点F在射线DP上，且AE：DF＝1：，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论： ①sin∠BFE；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面积最大值是2；④若AEAD，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是 　①③④　 ． 【解答】解：①在AB上截取AH＝AE，连接EH，如图1所示： ∵AE：DF＝1：， ∴设AE＝a，DF， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴AB＝AD＝CB＝CD＝4，∠BAD＝∠ADC＝∠C＝∠ABC＝90°， ∴AH＝AE＝a， ∴△AHE是等腰直角三角形， ∴∠AEH＝∠AHE＝45°， ∴∠BHE＝180°﹣∠AHE＝135°， 由勾股定理得：HE， ∴HE＝DF， ∵∠CDP＝45°， ∴∠EDF＝∠ADC+∠CDP＝135°， ∴∠BHE＝∠EDF＝135°， ∵AB＝AD，AH＝AE， ∴AB﹣AH＝AD﹣AE， 即BH＝ED， 在△BHE和△EDF中， ， △BHE≌△EDF（SAS）， ∴BE＝FE，∠HBE＝∠FED， ∵∠HBE+∠BEH＝180°﹣∠BHE＝45°， ∴∠FED+∠BEH＝45°， ∴∠FED+∠BEH+∠AHE＝90°， 即∠FED+∠AEB＝90°， ∴∠BEF＝180°﹣（∠FED+∠AEB）＝90°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴∠BFE＝∠FBE＝45°， ∴sin∠BFE＝sin45°， 故结论①正确； ②过点B作BM⊥BF，交DA的延长线于点M，如图2所示： ∴∠MBF＝∠ABC＝90°， ∴∠MBA+∠ABF＝∠ABF+∠GBC， ∴∠MBA＝∠GBC， ∵∠BAD＝∠C＝90°， ∴∠BAM＝∠C＝90°， 在△BAM和△BCG中， ， ∴△BAM≌△BCG（SAS）， ∴AM＝CG，BM＝BG， ∴AE+CG＝AE+AM＝ME， ∵∠ABC＝90°，∠FBE＝45°， ∴∠ABE+∠GBC＝45°， ∴∠ABE+∠MBA＝45°， 即∠MBE＝45°， ∴∠MBE＝FBE＝45°， 在△MBE和△GBE中， ， ∴△MBE≌△GBE（SAS）， ∴ME＝EG， ∴AE+CG＝EG， 故结论②不正确； ③过点F作FN⊥AD，交AD的延长线于点N，如图3所示： 由（1）可知：设AE＝a，DF， ∴ED＝AD﹣AE＝4﹣a， ∵∠CDN＝∠ADC＝90°，∠CDP＝45°， ∴∠FDN＝∠CDN﹣∠CDP＝45°， ∴△NDF是等腰直角三角形， ∴DN＝FN， 由勾股定理得：DF√2DN， ∴DN＝FNDFa， ∴△DEF的面积SDE•FN， 整理得：， ∴当a＝2时，S为最大，最大值为2， 故结论③正确； ④设CG＝x，则DG＝CD﹣CG＝4﹣x， ∵AEAD， ∴DE＝AD﹣AE， 由②可知：AE+CG＝EG， ∴EG， 在Rt△DEG中，由勾股定理得：EG2＝DE2+DG2， ∴， 解得：x＝2， ∴CG＝2， ∴DG＝4﹣x＝2， ∴CG＝DG＝2， ∴点G是线段CD的中点， 故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④． 三．解答题（共7小题） 21．先化简，再求代数式的值，其中x＝2sin30°+2cos45°． 【解答】解：原式 ， 当，原式． 22．如图，在6×8的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中，在线段AB上找一点D，使． （2）在图2中，在△ABC内部画出点O，使点O到△ABC三边的距离相等，并直接写出OA的长． 【解答】解：（1）根据相似三角形的判定和性质进行作图，如图，点D即为所求； （2）如图，点O即为所求， ∵AB＝AC，且BD＝CD＝3， ∴∠ADB＝90°， ∴， ∴AB＝DE， 又∵， ∴∠BFE＝90°， ∴， ∴∠BFE＝∠BDO， 又∵∠OBD＝∠EBF， ∴△OBD∽△EBF， ∴， 即， ∴， ∴． 23．近年来，教育部相继出台文件，加强对义务教育阶段学生作业、手机、睡眼、读物、体质管理等“五项管理”以及考试管理作出部署，琼海市某学校对本校开展“五项管理”工作以来收到的成效进行调研，采用随机抽样的方法，抽取了九年级若干名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的扇形统计图和统计图表，请根据图表信息回答下列问题： （1）本次被抽取的九年级学生共有 　50　 名； 组别 睡眠时间分组 频数 A t＜6 4 B 6≤t＜7 m C 7≤t＜8 10 D 8≤t＜9 21 E t≥9 7 （2）统计图表中m＝ 　8　 ；本次被抽取的学生中，他们平均每天睡眠时间的中位数落在的“组别”是 D ； （3）请估计该校1000名九年级学生中睡眠达到8小时或以上的人数为 　560　 人； （4）教育部发布《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》明确初中生每天睡眠时间应达到9小时，针对本次调查中不符合这一要求的学生，请你为他们提一条合理的建议． 【解答】解：（1）本次被抽取的九年级学生共有4÷8%＝50（名）， 故答案为：50； （2）m＝50﹣4﹣10﹣21﹣7＝8， 本次被抽取的九年级学生，中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据落在的“组别“是D， 所以平均每天睡眠时间的中位数落在的“组别”是D； 故答案为：8，D； （3）估计该校1000名九年级学生中睡眠达到8小时或以上的人数为1000560（名）． 故答案为：560． （4）建议：杜绝玩手机．（答案不唯一）． 24．如图，在正方形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在CD上，连接AE，AF，且AE⊥AF． （1）如图1，求证：AE＝AF； （2）如图2，过点A作AM平分∠EAF交BC于点M，连接MF，过点D作DN∥FM交BC于点N，DN分别交AF，AM于点G，H，请直接写出图中始终与∠E相等的角（∠E除外）． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，AB＝BC＝AD＝CD， ∵AE⊥AF， ∴∠EAF＝90°， ∴∠BAE＝∠DAF， 在△ABE和△ADF中，， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴AE＝AF； （2）∵△ABE≌△ADF， ∴∠E＝∠AFD， ∵AM平分∠EAF， ∴∠EAM＝∠FAM， ∵AM＝AM， ∴△AEM≌△AFM（SAS）， ∴∠AFM＝∠E， ∵DN∥FM， ∴∠AGH＝∠AFM， ∴∠AGH＝∠E， ∵∠E+∠BAE＝∠BAE+∠BAF＝90°， ∴∠E＝∠BAF； ∵∠DGF＝∠AGN， ∴∠E＝∠DGF， ∴与∠E相等的角有∠AFD，∠BAF，∠AFM，∠AGH，∠DGF． 25．有A、B两种型号呼吸机，若购买6台A型呼吸机和2台B型呼吸机共需12万元．若购买3台A型呼吸机和5台B型呼吸机共需10.8万元． （1）求A、B两种型号呼吸机每台分别多少万元？ （2）采购员想采购A、B两种型号呼吸机共30台，预计总费用低于40万元，请问A型号呼吸机最多购买几台？ 【解答】解：（1）设A种型号呼吸机每台x万元，B种型号呼吸机每台y万元， 依题意得：， 解得：． 答：A种型号呼吸机每台1.6万元，B种型号呼吸机每台1.2万元． （2）设购进A型呼吸机m台，则购进B型呼吸机（30﹣m）台， 依题意得：1.6m+1.2（30﹣m）＜40， 解得：m＜10． ∵m为整数， ∴m最大为9． ∴A型号呼吸机最多购买9台． 26．已知：在⊙O中，弦AC交弦BD于点E，点F在线段AB上，连接DF交AC于点G，∠AED＝∠CDF． （1）如图1，求证：BF＝DF； （2）如图2，若AB＝AC，连接OG，求证：∠AGO＝∠DGO； （3）如图3，在（2）的条件下，，连接OF，延长OF交⊙O于点H，当∠AFG是锐角时，求线段FH的长． 【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠CDF，∠AED＝∠C+∠BDC，∠CDF＝∠BDC+∠BDF， ∴∠C＝∠BDF， ∵∠C＝∠B， ∴∠B＝∠BDF， ∴BF＝DF； （2）证明：连接OA，OD，AD，BC，如图， ∵AB＝AC， ∴， ∴∠ABC＝∠ADB， ∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD，∠ADB＝∠ADF+∠BDF， 又由（1）知：∠ABD＝∠BDF， ∴∠ADF＝∠CBD， ∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠ADF＝∠CAD， ∴AG＝GD， 在△AOG和△DOG中， ， ∴△AOG≌△DOG（SSS）， ∴∠AGO＝∠DGO； （3）解：连接OB，OD，过点A作AM⊥DF于点M．过点O作ON⊥AB于点N，如图， 由（2）知：∠C＝∠BDF， ∵AC⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠CDF＝90°， ∴∠C+∠CDE＝90°，∠BDF+∠EGD＝﹣90°， ∴∠CDE＝∠EGD， ∵∠EGD＝∠AGF，∠BAC＝∠BDC， ∴∠BAC＝∠AGF， ∴AF＝FG． 在△AMG和△DEG中， ， ∴△AMG≌△DEG（AAS）， ∴AM＝DE＝4， ∴FM， ∴NG＝FG﹣FM3， ∴AG5， ∴DG＝AG＝5， ∴DF＝FG+DG． ∴BF＝DF． 在△BFO和△DFO中， ， ∴△BFO≌△DFO（SSS）， ∴∠BFO＝∠DFO＝90°﹣∠BDF＝∠DGE， ∴OF∥AC， ∴∠FOG＝∠OGC， 由（2）知：∠AGO＝∠DGO， ∵∠AGF＝∠DGC， ∴∠FGO＝∠CGO， ∴∠FOG＝∠FGO， ∴FO＝FG， ∵∠BFO＝∠DGO，∠DGO＝∠AGF， ∴∠BFO＝∠AGF， ∵∠FNO＝∠AMG＝90°， ∴△FON∽△GAM， ∴， ∴， ∴NF，ON， ∴BN＝BF﹣NF， ∴OB， ∴OH＝OB， ∴FH＝OH﹣OF． 27．已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝ax2+7ax﹣12交x轴于A、B两点，交y轴于点C，AO＝OC， （1）如图①，求抛物线的解析式； （2）如图②，P为第三象限抛物线上一点，连接AP并延长交y轴于点T，设P的横坐标为t，CT的长为d，求d与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图③，在（2）的条件下，D为第一象限抛物线上一点，连接AD交y轴于点E，过点D作x轴垂线交x轴于点F，交AP延长于点G，连接OG，若FG＝AF+DF，∠DAB+∠OGF＝45°，Q为x轴正半轴上一点，连接PQ，PQ＝2AE，求点Q的坐标． 【解答】解：（1）∵y＝ax2+7ax﹣12， ∴令x＝0，y＝12， ∴C（0，﹣12）， ∴OC＝12， ∵AO＝OC， ∴AO＝12， ∴A（﹣12，0）， ∵y＝ax2+7ax﹣12过点A， ∴144a﹣84a﹣12＝0， ∴， ∴； （2）作PR⊥x轴于点R， ∵P的横坐标为t，在抛物线上， ∴P（t，t2t﹣12）， ∴OR＝﹣t，PRt+12（t+12）（t﹣5）， ∴AR＝OA﹣OR＝12+t， ∴tan∠PAR， ∴， ∴OTt+12， ∴CT＝OT﹣OCt+12﹣12t， ∴dt； （3）延长FD至点H，使DH＝AF，连接OH， ∵FG＝AF+DF， ∴FG＝DH+DF＝FH， ∵DF⊥AF， ∴OH＝OG，∠1＝90°， ∴∠OGF＝∠OHF， ∵∠DAB+∠OGF＝45°， ∴∠DAB+∠OHF＝45°， 作DM⊥AD，HM⊥DH交于点M，连接MA，MD， ∴∠2＝∠MD＝90°， ∵∠IDA＝∠DAF+∠1， ∴∠2+∠3＝∠DAF+∠1， ∴∠3＝∠DAF， ∵∠1＝∠MID＝90°， ∴△AFD≌△DHM（AAS）， ∴MH＝DF，DM＝DA， ∴tan∠5， ∴∠5＝45°， ∵∠DAB+∠OHF＝45°， ∴∠3+∠OHF＝45°， ∴∠4＝45°， ∴∠5＝∠4＝45°， ∴MA∥OH， ∵∠1＝90°，∠MHD＝90°， ∴∠1+∠MHD＝180°， ∴MH∥AF， ∴四边形MAOH为平行四边形， ∴MH＝AO＝12， ∴DF＝12， ∴点D的纵坐标为12代入抛物线，， ∴x＝8，x2＝﹣15（舍）， ∴D（8，12）， ∴OF＝8，AF＝20，OG＝32， ∴G（8，﹣32）， 设AG直线解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∴， ∴， ∴， ∵点P在直线AG上， 设， 代入抛物线tt﹣12t， 解得t＝﹣3或t＝﹣12（舍）， ∴P（﹣3，）， ∴OR＝3，， 设AD直线解析式为y＝mx+n（m≠0）， ∴， ∴， ∴， 令x＝0，， ∴E（0，）， ∴OE， ∴PR＝2OE， 在Rt△AOE，， Rt△PRQ中，sin∠PQR， ∵PQ＝2AE， ∴sin∠EAO＝sin∠PQR， ∴tan∠EAO＝tan∠PQR， ∴， ∴， ∴RQ＝24， ∴OQ＝RQ﹣OR＝21． ∴Q（21，0）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $