黑龙江省哈尔滨市备考卷（2-1）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学备考卷

【三轮复习】2026年黑龙江省哈尔滨市中考数学备考卷（2-1） 一．选择题（共10小题） 1．若一个数的倒数是，则这个数是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．正三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形 3．2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A．1.222×108 B．12.22×106 C．1.222×107 D．0.1222×108 4．如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A． B． C． D． 5．解分式方程时，去分母后变形正确的是（　　） A．（x+1）（x﹣1）﹣4＝x2﹣1 B．（x+1）2﹣4＝x2﹣1 C．（x+1）2﹣4＝1 D．（x+1）2﹣4（x+1）＝x2﹣1 6．关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．与y轴交于点（0，3） C．对称轴是直线x＝1 D．x＞1时，y随x增大而增大 7．如图所示，用棋子摆成英文字母“H”字样，按照这样的规律摆下去，摆成第2024个“H”需要（　　）个棋子． A．10117 B．10120 C．10122 D．10125 8．已知l1∥l2∥l3，，DE＝9，则EF＝（　　） A．12 B．15 C．28 D．24 9．在△ABC中AB＝AC，小明的作图痕迹如图所示，他作出的两条线的交点为O，下列说法正确的是（　　） A．点O是AD的中点 B．AC的垂直平分线一定不经过点O C．点O到△ABC三边距离相等 D．点O到△ABC三个顶点距离相等 10．如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是（　　） A．AC＝4 B．BC＝2 C．tan∠BAP D．AB2+BC2＝AC2 二．填空题（共10小题） 11．函数的自变量x的取值范围是 　 　 ． 12．分解因式：2a2﹣8＝　 　 ． 13．从拼音“zhongkao”中随机抽取一个字母，抽中字母o的概率为 　 　 ． 14．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是　 　 ． 15．如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝120°，OA＝12，则的长为　 　 ． 16．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3．若3≤V≤9，二氧化碳密度ρ的变化范围 　 　 ． 17．定义新运算：a⊗b＝2ab﹣b2，则（3n）⊗（2n）的运算结果是　 　 ． 18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则等腰三角形顶角为　 　 ． 19．已知抛物线y＝（x﹣3）2+c经过点A（2，0），则该抛物线与x轴的另一个交点是 　 　 ． 20．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线，分别交BC，AD于点M，N，延长DC交直线MN于点E，延长BA交直线MN于点F，分别连接DF，BE，有如下结论：①OA＝OC，OB＝OD；②四边形BEDF是菱形；③若FA＝FN＝1，AB＝3，则OD；④若FA＝1，AB＝3，∠ABE＝60°，点P为EF上的一个动点，则PA+PB的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 21．先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos30°﹣2tan45°． 22．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长度的积等于这个点到这边所对顶点连线的长度的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图（1），在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”． （1）如图（2），△ABC的顶点是4×3的网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB边上的所有“好点”； （2）△ABC中，BC＝7，，tanC＝1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长． 23．为了落实中学生“阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校对部分学生进行体育活动项目抽测，抽测的活动项目为：A．坐位体前屈、B．跳远、C．仰卧起坐、D．引体向上、E.50米，每个学生选择自己擅长的一个项目进行测试，请结合下面的信息回答下列问题． 项目 人数 A．坐位体前屈 6 B．跳远 m C．仰卧起坐 10 D．引体向上 4 E.50米 18 （1）本次抽样调查的学生共有　 　 人，m＝　 　 ； （2）若抽测C项目的10人成绩分别为36，49，48，47，50，54，52，53，52，60，则这组数据的中位数是 　 　 ； （3）求扇形统计图中抽测D活动的学生人数所对应圆心角的度数． （4）全校有学生3000人，估计全校擅长跳远的学生人数是多少？ 24．【习题再现】 课本中有这样一道题目： 如图1，在四边形ABCD中，E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，AD＝BC．求证：∠EFM＝∠FEM．（不用证明） 【习题变式】 （1）如图2，在“习题再现”的条件下，延长AD，BC，EF，AD与EF交于点N，BC与EF交于点P．求证：∠ANE＝∠BPE． （2）如图3，在△ABC中，AC＞AB，点D在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，交BA的延长线于点G，连接GD，∠EFC＝60°．求证：∠AGD＝90°． 25．东海龙宫里有一家珍珠商店，店主用1200元购进了甲、乙两种珍珠．已知甲种珍珠每颗进价12元，乙种珍珠每颗进价10元．店主将甲种珍珠以每颗15元出售，乙种珍珠以每颗12元出售，全部售完后共获利270元． （1）这家珍珠商店购进甲、乙两种珍珠各多少颗？ （2）店主决定再次进货，进价不变，购进甲种珍珠的数量与第一次相同，而乙种珍珠的数量是第一次购进乙种珍珠的数量的2倍．乙种珍珠仍按原价出售，但甲种珍珠需要降价出售．若希望再次销售完毕后获利不少于340元，甲种珍珠每颗最低售价应为多少元？ 26．已知，四边形ABCD内接于⊙O，，点T在BC的延长线上． （1）如图1，求证：CD平分∠ACT； （2）如图2，若AC是⊙O的直径，BE平分∠ABC交CD延长线于E，交⊙O于F，连接AE，AF，DF． ①求∠AED的度数； ②若，△DEF的面积等于，求AC的长． 27．【探索发现】 如图1，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【迁移应用】 设直线y＝kx+4（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）如图2，若k＝﹣2，且△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限． ①直接填写：OA＝　 　 ，OB＝　 　 ； ②求点E的坐标． （2）如图3，若k＞0，过点B在y轴左侧作BN⊥AB，且BN＝AB，连结ON，当k变化时，△OBN的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，点M在x轴负半轴上，OM＝16，将直线y＝kx+4（k≠0）向下平移10个单位，点P是平移后直线上的动点，Q是y轴上的动点，△MPQ是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若k＝﹣2，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【三轮复习】2026年黑龙江省哈尔滨市中考数学备考卷（2-1） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．若一个数的倒数是，则这个数是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵，而（）×（）＝1， ∴的倒数是， 故选：B． 2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．正三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形 【解答】解：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 3．2025年全国普通高校毕业生规模预计达12220000．其中“12220000”用科学记数法表示为（　　） A．1.222×108 B．12.22×106 C．1.222×107 D．0.1222×108 【解答】解：12220000＝1.222×107． 故选：C． 4．如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：“斗”的俯视图的是： ． 故选：C． 5．解分式方程时，去分母后变形正确的是（　　） A．（x+1）（x﹣1）﹣4＝x2﹣1 B．（x+1）2﹣4＝x2﹣1 C．（x+1）2﹣4＝1 D．（x+1）2﹣4（x+1）＝x2﹣1 【解答】解：分式方程去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1， 故选：B． 6．关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．与y轴交于点（0，3） C．对称轴是直线x＝1 D．x＞1时，y随x增大而增大 【解答】解：A、∵二次项系数为﹣2， ∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； B、当x＝0时，y＝﹣2（0﹣1）2+3＝1， ∴抛物线与y轴交于点（0，1），故B错误，不符合题意； C、∵y＝﹣2（x﹣1）2+3， ∴抛物线对称轴为直线x＝1，故C正确，符合题意； D、∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴x＞1时，y随x增大而减小，故D错误，不符合题意． 故选：C． 7．如图所示，用棋子摆成英文字母“H”字样，按照这样的规律摆下去，摆成第2024个“H”需要（　　）个棋子． A．10117 B．10120 C．10122 D．10125 【解答】解：图形①用棋子的个数＝2×（2×1+1）+1； 图形②用棋子的个数＝2×（2×2+1）+2； 图形③用棋子的个数＝2×（2×3+1）+3； …， 摆成第2024个“H”字需要棋子的个数＝2×（2×2024+1）+2024＝10122（个）． 故选：C． 8．已知l1∥l2∥l3，，DE＝9，则EF＝（　　） A．12 B．15 C．28 D．24 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴， ∴EF＝15， 故选：B． 9．在△ABC中AB＝AC，小明的作图痕迹如图所示，他作出的两条线的交点为O，下列说法正确的是（　　） A．点O是AD的中点 B．AC的垂直平分线一定不经过点O C．点O到△ABC三边距离相等 D．点O到△ABC三个顶点距离相等 【解答】解：由作图可知AO＝BO， ∵BO≠DO， ∴点O不是AD的中点， 故A选项不正确，不符合题意； ∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴AO＝BO＝CO， ∴点O在AC的垂直平分线上， 故B选项不正确，不符合题意； ∵BO、CO不是∠ABC、∠ACB的平分线， ∴点O到△ABC三边的距离不一定相等， 故C选项不正确，不符合题意； ∵EO、AD分别是AB、BC的垂直平分线， ∴点O到△ABC三个顶点距离相等， 故D选项正确，符合题意； 故选：D． 10．如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，下列结论不正确的是（　　） A．AC＝4 B．BC＝2 C．tan∠BAP D．AB2+BC2＝AC2 【解答】解：如图所示， ①当点P在点A处时，即当AP＝0时，AB＝2， ②当点P到达AC边高（BH）的位置时，AH＝1，此时BP最小，即BH， ③当AP＝4时，点P对应图2末端x＝4时，即AC＝4，则HC＝AC﹣AH＝4﹣1＝3， 则：BC， ∴， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴． 综上所述，选项A、B、D不合题意，选项C符合题意． 故选：C． 二．填空题（共10小题） 11．函数的自变量x的取值范围是 x　 ． 【解答】解：已知函数， 则2﹣3x≠0， 解得：x， 即该函数的自变量x的取值范围是x， 故答案为：x． 12．分解因式：2a2﹣8＝　2（a+2）（a﹣2）　 ． 【解答】解：2a2﹣8 ＝2（a2﹣4） ＝2（a+2）（a﹣2）， 故答案为：2（a+2）（a﹣2）． 13．从拼音“zhongkao”中随机抽取一个字母，抽中字母o的概率为 　　 ． 【解答】解：从拼音“zhongkao”的8个字母中随机抽取一个字母，抽中字母o的概率为， 故答案为：． 14．若关于x的不等式组有解，则m的取值范围是m＞﹣1　 ． 【解答】解：解不等式x+5＜5x+1，得x＞1， 解不等式x﹣m≤2，得x≤2+m， ∵关于x的不等式组有解， ∴2+m＞1， 解得m＞﹣1． 故答案为：m＞﹣1． 15．如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝120°，OA＝12，则的长为　8π　 ． 【解答】解：根据弧长公式l，其中n＝120°，r＝OA＝12，代入得：8π． 故答案为：8π． 16．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3．若3≤V≤9，二氧化碳密度ρ的变化范围 　1.1≤ρ≤3.3　 ． 【解答】解：∵密度ρ与体积V是反比例函数关系， ∴设， ∵当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3， ∴， ∴k＝1.98×5＝9.9， ∴密度ρ关于体积V的函数解析式为：， 观察函数图象可知，ρ随V的增大而减小， 当V＝3m3时，ρ3.3（kg/m3）， 当V＝9m3时，ρ1.1（kg/m3）， ∴当3≤V≤9时，1.1≤ρ≤3.3（kg/m3）， 即二氧化碳密度ρ的变化范围是1.1≤ρ≤3.3（kg/m3）， 故答案为：1.1≤ρ≤3.3． 17．定义新运算：a⊗b＝2ab﹣b2，则（3n）⊗（2n）的运算结果是　8n2 ． 【解答】解：∵a⊗b＝2ab﹣b2， ∴（3n）⊗（2n）＝2×（3n）×（2n）﹣（2n）2＝2×3n×2n﹣4n2＝12n2﹣4n2＝8n2； 故答案为：8n2． 18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则等腰三角形顶角为　60°或120°　 ． 【解答】解：如图1，若三角形为锐角三角形时，AB＝AC，∠ACD＝30°，CD为高， 此时∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， ∴∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°； 如图2，若三角形为钝角三角形时，AB＝AC，∠ACD＝30°，CD为高，即∠ADC＝90°， 此时∠BAC＝∠D+∠ACD＝90°+30°＝120°， 综上，等腰三角形的顶角的度数为60°或120°． 故答案为：60°或120°． 19．已知抛物线y＝（x﹣3）2+c经过点A（2，0），则该抛物线与x轴的另一个交点是 　（ 4，0 ）　 ． 【解答】解：∵抛物线 y＝a（x﹣h） 2+k 的顶点坐标为 （h，k）， ∴y＝（x﹣3）2+c的对称轴为：x＝3， 经过点A（2，0）， ∴另一个交点是（4，0）， 故答案为：（ 4，0 ）． 20．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线，分别交BC，AD于点M，N，延长DC交直线MN于点E，延长BA交直线MN于点F，分别连接DF，BE，有如下结论：①OA＝OC，OB＝OD；②四边形BEDF是菱形；③若FA＝FN＝1，AB＝3，则OD；④若FA＝1，AB＝3，∠ABE＝60°，点P为EF上的一个动点，则PA+PB的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是 　①②④　 ． 【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， 故结论①正确； ②∵EF⊥BD，OB＝OD， ∴EF是BD的垂直平分线， ∴EB＝ED，FB＝FD，∠FOB＝∠EOD＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠FBO＝∠EDO， 在△FBO和△EDO中， ， ∴△FBO≌△EDO（ASA）， ∴FB＝ED， ∴EB＝ED＝FB＝FD， ∴四边形BEDF是菱形， 故结论②正确； ③∵FA＝FN＝1，AB＝3， ∴FB＝FA+AB＝4，∠FAN＝∠FNA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAN＝∠FBM，∠FNA＝∠FMB，∠OAN＝∠OCM， ∴∠FBM＝∠FMB， ∴FM＝FN＝4， 在△OAN和△OCM中， ， ∴△OAN≌△OCM（ASA）， ∴OM＝ON， ∴MN＝2ON， ∴FM＝FN+MN＝1+2ON＝4， ∴ON， ∴OF＝FN+ON， 在Rt△OBF中，OB， ∴OD＝OB， 故结论③不正确； ④过点A作AH⊥BD于点H，连接PD，如图所示： ∴△ABH和△ADH都是直角三角形， ∵FA＝1，AB＝3， ∴FB＝FA+AB＝4， ∵四边形BEDF是菱形， ∴EB＝ED＝FB＝FD＝4， ∵∠ABE＝60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴FE＝FB＝4，∠FBO∠ABE＝30°， ∴OE＝OFFE＝2， 在Rt△OBF中，由勾股定理得：OB， ∴OD＝OB， ∴BD＝OD+OB， 在Rt△ABH中，∠FBO＝30°， ∴AHAB， 由勾股定理得：BH， ∴DH＝BD﹣BH， 在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD， ∵EF是BD的垂直平分线， ∴PB＝PD， ∴PA+PB＝PA+PD， ∴当PA+PD为最小时，PA+PB为最小， 根据“两点之间线段最短”得：PA+PD≥AD， ∴PA+PD的最小值为， ∴PA+PB的最小值为， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 三．解答题（共7小题） 21．先化简，再求代数式的值，其中x＝2cos30°﹣2tan45°． 【解答】解： ＝[]• • • ， ∵x＝2cos30°﹣2tan45°＝22×12， ∴原式． 22．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长度的积等于这个点到这边所对顶点连线的长度的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图（1），在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”． （1）如图（2），△ABC的顶点是4×3的网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB边上的所有“好点”； （2）△ABC中，BC＝7，，tanC＝1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长． 【解答】解：（1）如图1， 斜边AB的中点D与斜边AB上的高CD'的垂足D'均为AB边长的“好点”． （2）如图2， 作AE⊥BC于E， 在Rt△ABE中，tanB， ∴设AE＝3a，BE＝4a， tanC1， ∴CE＝AE＝3a， ∴3a+4a＝7， ∴a＝1， ∴AE＝CE＝3，BE＝4， ∴AB＝5， 设BD＝x， ∴DE＝|4﹣x|， 在Rt△ADE中，由勾股定理得， AD2＝DE2+AE2＝（4﹣x）2+32， ∵点D是BC边上的“好点”， ∴AD2＝BD•CD＝x•（7﹣x）， ∴x•（7﹣x）＝（4﹣x）2+32， ∴x1＝5，x2， 即BD＝5或． 23．为了落实中学生“阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校对部分学生进行体育活动项目抽测，抽测的活动项目为：A．坐位体前屈、B．跳远、C．仰卧起坐、D．引体向上、E.50米，每个学生选择自己擅长的一个项目进行测试，请结合下面的信息回答下列问题． 项目 人数 A．坐位体前屈 6 B．跳远 m C．仰卧起坐 10 D．引体向上 4 E.50米 18 （1）本次抽样调查的学生共有　50　 人，m＝　12　 ； （2）若抽测C项目的10人成绩分别为36，49，48，47，50，54，52，53，52，60，则这组数据的中位数是 　51　 ； （3）求扇形统计图中抽测D活动的学生人数所对应圆心角的度数． （4）全校有学生3000人，估计全校擅长跳远的学生人数是多少？ 【解答】解：（1）本次抽样调查的学生共有6÷12%＝50（人）， m＝50﹣6﹣10﹣4﹣18＝12， 故答案为：50，12； （2）抽测C项目的10人成绩从小到大排列为36，47，48，49，50，52，52，53，54，60，中位数是第5、6个数的平均数，分别是50，52， ∴这组数据的中位数是51， 故答案为：51； （3）扇形统计图中抽测D活动的学生人数所对应圆心角的度数为360°28.8°； （4）3000720（人）， 答：估计全校擅长跳远的学生人数是720人． 24．【习题再现】 课本中有这样一道题目： 如图1，在四边形ABCD中，E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，AD＝BC．求证：∠EFM＝∠FEM．（不用证明） 【习题变式】 （1）如图2，在“习题再现”的条件下，延长AD，BC，EF，AD与EF交于点N，BC与EF交于点P．求证：∠ANE＝∠BPE． （2）如图3，在△ABC中，AC＞AB，点D在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，交BA的延长线于点G，连接GD，∠EFC＝60°．求证：∠AGD＝90°． 【解答】【习题变式】 解：（1）∵F，M分别是CD，BD的中点， ∴MF∥BP，， ∴∠MFE＝∠BPE． ∵E，M分别是AB，BD的中点， ∴ME∥AN，， ∴∠MEF＝∠ANE． ∵AD＝BC， ∴ME＝MF， ∴∠EFM＝∠FEM， ∴∠ANE＝∠BPE． （2）连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH． ∵H，F分别是BD和AD的中点， ∴HF∥BG，， ∴∠HFE＝∠FGA． ∵H，E分别是BD，BC的中点， ∴HE∥AC，， ∴∠HEF＝∠EFC＝60°． ∵AB＝CD， ∴HE＝HF， ∴∠HFE＝∠EFC＝60°， ∴∠AGF＝60°， ∵∠AFG＝∠EFC＝60°， ∴△AFG为等边三角形． ∴AF＝GF， ∵AF＝FD， ∴GF＝FD， ∴∠FGD＝∠FDG＝30°， ∴∠AGD＝60°+30°＝90°． 25．东海龙宫里有一家珍珠商店，店主用1200元购进了甲、乙两种珍珠．已知甲种珍珠每颗进价12元，乙种珍珠每颗进价10元．店主将甲种珍珠以每颗15元出售，乙种珍珠以每颗12元出售，全部售完后共获利270元． （1）这家珍珠商店购进甲、乙两种珍珠各多少颗？ （2）店主决定再次进货，进价不变，购进甲种珍珠的数量与第一次相同，而乙种珍珠的数量是第一次购进乙种珍珠的数量的2倍．乙种珍珠仍按原价出售，但甲种珍珠需要降价出售．若希望再次销售完毕后获利不少于340元，甲种珍珠每颗最低售价应为多少元？ 【解答】解：（1）设这家珍珠商店购进x颗甲种珍珠，y颗乙种珍珠， 根据题意得：， 解得：． 答：这家珍珠商店购进50颗甲种珍珠，60颗乙种珍珠； （2）设甲种珍珠每颗售价为m元， 根据题意得：50（m﹣12）+（12﹣10）×60×2≥340， 解得：m≥14， ∴m的最小值为14． 答：甲种珍珠每颗最低售价应为14元． 26．已知，四边形ABCD内接于⊙O，，点T在BC的延长线上． （1）如图1，求证：CD平分∠ACT； （2）如图2，若AC是⊙O的直径，BE平分∠ABC交CD延长线于E，交⊙O于F，连接AE，AF，DF． ①求∠AED的度数； ②若，△DEF的面积等于，求AC的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， 又∵∠DCT+∠BCD＝180°， ∴∠BAD＝∠DCT， ∵， ∴∠BAD＝∠ACD， ∴∠ACD＝∠DCT， ∴CD平分∠ACT； （2）解：①如图2.1，连接CF， ∵∠ECT是△BCE的一个外角， ∴∠BEC＝∠ECT﹣∠EBC， 同理可得：∠BAC＝∠ACT﹣∠ABC， 由（1）可知：CD平分∠ACT，BE平分∠ABC， ∴∠BEC＝∠ECT﹣∠EBC（∠ACT﹣∠ABC）∠BAC， 即，∠BAC＝2∠BEC， ∵∠BAC＝∠BFC， ∴∠BFC＝2∠BEC， ∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE， ∴∠BEC＝∠FCE， ∴∠FAD＝∠FED， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝180°﹣90°＝90°， ∵∠ADF＝∠ABF＝45°， ∴∠FDE＝∠ADE﹣∠ADF＝45°， ∴∠ADF＝∠EDF， ∴△ADF≌△EDF（AAS）， ∴DA＝DE， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴∠AED＝45°； ②如图2.2，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠FAC＝∠EBC∠ABC＝45°， ∵∠AED＝45°， ∴∠AED＝∠FAC， ∵∠FED＝∠FAD， ∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD， ∴∠AEG＝∠CAD， ∵∠EGA＝∠ADC＝90°， ∴△EGA∽△ADC， ∴， 在Rt△ABG中，∠ABG＝45°， ∴， 在Rt△ADE中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2， ∴设AD＝4x，AC＝5x（x＞0），则（4x）2+CD2＝（5x）2， ∴CD＝3x， ∵∠BEC＝∠FCE， ∴FC＝FE， ∵FM⊥CE， ∴， ∴DM＝4x﹣3.5x＝0.5x＝FM， ∵△DEF的面积等于， ∴， ∵x＞0， ∴， ∴． 27．【探索发现】 如图1，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【迁移应用】 设直线y＝kx+4（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）如图2，若k＝﹣2，且△ABE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限． ①直接填写：OA＝　2　 ，OB＝　4　 ； ②求点E的坐标． （2）如图3，若k＞0，过点B在y轴左侧作BN⊥AB，且BN＝AB，连结ON，当k变化时，△OBN的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，点M在x轴负半轴上，OM＝16，将直线y＝kx+4（k≠0）向下平移10个单位，点P是平移后直线上的动点，Q是y轴上的动点，△MPQ是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若k＝﹣2，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【解答】解：（1）①OA＝2，OB＝4；理由如下： ∵k＝﹣2，则直线y＝﹣2x+4， 令x＝0时，y＝4， 令y＝0时，x＝2， ∴A（2，0），B（0，4）， 即OA＝2，OB＝4， 故答案为：2；4； ②过点E作ED⊥OB于点D，如图2， ∴∠BDE＝∠AOB＝90°， ∵∠ABO+∠EBD＝90°， ∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠BAO＝∠EBD， 在△BED和△ABO中， ， ∴△BED≌△ABO（AAS）， ∴DE＝OB＝4，BD＝OA＝2， ∴OD＝OB+BD＝6， ∴点E的坐标为（4，6）； （2）当k变化时，△OBN的面积是定值；理由如下： 过点N作NM⊥y轴于点M，如图3， 同理：△BMN≌△AOB（AAS）， ∴MN＝OB＝4， ∴， ∴k变化时，△OBN的面积是定值，且定值为8； （3）点Q的坐标为或Q（0，22）；理由如下： ∵将直线y＝kx+4（k≠0）向下平移10个单位，k＝﹣2， ∴平移后的解析式为y＝﹣2x﹣6， ①当P点在x轴的下方时，过点P作PH⊥y轴于H，如图4， 设P（n，﹣2n﹣6），Q（0，t）， ∵M（﹣16，0）， 同理可得：△QMO≌△PQH， ∴QH＝MO＝16，OQ＝PH＝t＝n， ∴16﹣n＝﹣（﹣2n﹣6）， 解得：， ∴点； ②当点P在x轴上方时，同理过点P作PH⊥y轴于H，如图5， 同理可得：△QMO≌△PQH， ∴QH＝MO＝16，OQ＝PH＝t＝﹣n， ∴16﹣n＝﹣2n﹣6， 解得：n＝﹣22，t＝22， ∴点Q（0，22）， 综上所述，点Q的坐标为或Q（0，22）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $